2019高考数学一轮复习_第八章 立体几何 8.6 空间向量在立体几何中的应用课件 理

考点空间向量及其应用1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;aba1=b1,a2=b2,a3=b3(b0);aba1b1+a2b2+a3b3=0.2.设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.3.两个向量的夹角及两点间的距离公式(1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=;|b|=;,知识清单,ab=a1b1+a2b2+a3b3;cos=.(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=,或者dAB=|.其中dAB表示A与B两点间的距离,这就是空间两点的距离公式.4.向量a在向量b上的投影为|a|cos=.5.设n是平面的一个法向量,AB、CD是内的两条相交直线,则n=0,n=0,由此可求出一个法向量n(向量及已知).,6.利用空间向量证明线面平行:只要在平面内找到一条直线,其方向向量为b(b0),已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b(0)即可.或者已知直线上的A、B两点坐标,在平面内找出两点C、D,写成坐标形式,=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),只要证明x1=x2,y1=y2且z1=z2(0)即可.7.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可.8.证明线面垂直:已知直线l,平面,要证l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明:pa且pb,也就是证明:ap=0且bp=0.9.证明面面平行(面面垂直),最终都要转化为证明线线平行(线线垂直).,10.空间角公式(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为异面直线所成的角,则cos=|cos|=.(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与所成的角,则sin=|cos|=.(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.,11.点到平面的距离公式P为平面外一点,a、n分别为平面的过P点的斜向量、法向量,d为P到的距离,则d=|a|cos|=.,设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面,的法向量分别为u,v,则lmaba=kb,kR且k0;lauau=0;uvu=v,R且0.例1(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;,利用空间向量解决平行问题的方法,方法技巧,(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.,解析如图,以A为原点,分别以,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则,即不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨设y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角C-EM-N的正弦值为.(3)依题意,设AH=h(0h4),则H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以,线段AH的长为或.,方法总结利用空间向量法证明线面位置关系与计算空间角的步骤:(1)根据题目中的条件,充分利用垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,尽量使相关点在坐标轴上,求出相关点的坐标;(2)求出相关直线的方向向量及相关平面的法向量,根据题目的要求,选择适当的公式,将相关的坐标代入进行求解或证明;(3)检验,得出最后结论.,设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面,的法向量分别为u,v,则lmabab=0;laua=ku,kR且k0;uvuv=0.例2(2016河南洛阳二模,19)如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求证:ACBF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.,利用空间向量解决垂直问题的方法,解题导引,解析(1)证明:平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,AFAD,AF平面ADEF,AF平面ABCD.AC平面ABCD,AFAC.(2分)过A作AHBC于H,则BH=1,AH=,CH=3,AC=2,AB2+AC2=BC2,ACAB,ABAF=A,AC平面FAB,BF平面FAB,ACBF.(5分)(2)存在.由(1)知,AF,AB,AC两两互相垂直.以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(-1,2).(7分),假设在线段BE上存在一点P满足题意,设=(0),则P.设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).,由=,=(0,2,0),得即令x=1,则z=,所以m=为平面PAC的一个法向量.(9分)同理,可求得n=为平面BCEF的一个法向量.(10分)当mn=0,即=时,平面PAC平面BCEF,故存在这样的点,此时=.(12分),评析本题考查了垂直问题的证明方法,考查了线线、线面、面面垂直的相互转化,利用向量法求解探索性问题是解题的关键.,1.两条异面直线所成角的向量求法设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,其夹角为,异面直线l,m所成的角为,则根据cos=|cos|=求.2.直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则根据sin=|cos|或cos=sin求.3.二面角的平面角的向量求法(1)若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的平面角就是向量与的夹角(如图甲).,空间角与距离的向量求法,(2)设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、丙).4.点面距离的向量求法如图,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离|=|cos|=.,5.线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.例3(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.,解题导引,解析解法一:(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=AD.又因为BCAD,BC=AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,因此CE平面PAB.,(2)分别取BC,AD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.,在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,在PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,在RtMQH中,QH=,MQ=,所以sinQMH=.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.解法二:(1)证明:设AD的中点为O,连接OB,OP.PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,OPAD.BC=AD=OD,且BCOD,四边形BCDO为平行四边形,又CDAD,OBAD,OPOB=O,AD平面OPB.过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.,设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).设P(x,0,z)(z0),由PC=2,OP=1,得得x=-,z=.即点P,而E为PD的中点,E.设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),=,=(1,1,0),方法总结1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l)利用线面平行的判定定理:在平面内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l.利用面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面,满足,从而得l.向量法:(i)求出平面的法向量n和直线l