（信号与信息处理专业论文）完全重构余弦调制滤波器组的设计.pdf

摘要 摘要 多速率滤波器组在通信信号处理、语音和图像的编码压缩、自适应滤波、雷 达信号处理、快速计算、系统辨识、噪声消除等领域均有着广泛的应用。通过它 可以有效地降低信号处理的复杂度、数据传输量和存储量。近年来，余弦调制滤 波器组受到了极大的关注并且是被广泛使用的一类多速率滤波器组，它可以通过 对低通原型滤波器进行优化设计，并通过快速离散余弦变换( d c r ) 得到分析和综 合滤波器组，因此该滤波器组具有计算复杂度低和设计过程简单等优点。 本论文主要讨论了完全重构的余弦调制滤波器组设计方法，其中的重点是完 全重构低延迟双正交余弦调制滤波器组和过采样余弦调制滤波器组。 正交余弦调制滤波器组的信号重构延迟在数值上等于低通原型滤波器的阶 数，因此较长的滤波器会导致较大的系统延迟。在有些应用中，例如在实时性要 求高的信号处理系统中，双正交余弦调制滤波器组不失为一种好的选择，它可以 提供可变的信号重构延迟，因而得到广泛的应用。本文提出了一种线性迭代算法， 设计完全重构的低延迟双正交余弦调制滤波器组。接下来我们推导了过采样余弦 调制滤波器组的完全重构条件，提出了一种迭代算法设计完全重构的过采样余弦 调制滤波器组。 余弦调制滤波器组的设计过程经常采用非线性的优化算法，设计复杂并且优 化难度大。与传统的非线性优化算法相比，文中提出的算法具有计算复杂度小、 计算效率高、结构简单、易于推广等特点。仿真结果证明，文中提出的设计算法 在以上两大类滤波器组的设计中是非常有效的。 结束部分，我们总结了前面的内容并提出一些思路和想法供大家借鉴。 关键词：余弦调制滤波器组完全重构双正交低延迟过采样 a b s t r a c t a b s t r a c t m u l t i r a t ef i l t e rb a n k sh a v ev a r i o u si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o n s ， t r a n s m u l t i p l e x i n g , s u b b a n dc o d i n go fs p e e c h a n di m a g e s ，r a d a r , a d a p t i v e f i l t e r , d e n o i s i n g ，s y s t e mi n d e n t i f i c a t i o na n dm a n yo t h e rf i e l d s t h e r ea r em a n ya d v a n t a g e so f t h ef i l t e rb a n k ss u c ha sr e d u c e dc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y , r e d u c e dt r a n s m i s s i o nr a t e ， r e d u c e ds t o r a g er e q u i r e m e n t i nm u l t i r a t e d i g i t a lf i l t e r b a n k ss y s t e m ，t h ec o s i n e m o d u l a t e df i l t e rb a n k sh a v er e c e i v e dw i d e s p r e a da t t e n t i o na n da r et h em o s tf r e q u e n t l y u s e df i l t e rb a n k sa tp r e s e n t t h e yc a na c h i e v ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nb yo p t i m i z i n gt h e p r o t o t y p ef i l t e ra n da l la n a l y s i sa n ds y n t h e s i sf i l t e r sa r eo b t a i n e df r o mt h ep r o t o t y p e f i l t e r c o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k sa r ew e l lk n o w nf o rt h e i rl o wd e s i g na n d i m p l e m e n t a t i o nc o s t i nt h i sp a p e r , t h ed e s i g no ft h ec o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i t h p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o na t es t u d i e di nd e t a i l sw i t he m p h a s i so nt h ed e s i g no fb i o r t h o g o n a l c o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k sa n do v e r s a m p l e dc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h es y s t e md e l a yi no r t h o g o n a lc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k si se q u a lt ot h eo r d e r o ft h ep r o t o t y p ef i l t e r s c o n s e q u e n t l y , f i l t e rb a n k sw i t hl o n gf i l t e r sh a v el o n gs y s t e m d e l a y ，w h i c ha r eh i g h l yu n d e s i r a b l ei na p p l i c a t i o n ss u c h a sc o m m u n i c a t i o ns i g n a l p r o c e s s i n g ，r e a l t i m es i g n a lp r o c e s s i n g b i o r t h o g o n a lc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h a tc a np r o v i d ev a r i a b l es y s t e md e l a yi sag o o dc h o i c ef o rs u c ha p p l i c a t i o n s a n e f f i c i e n ti t e r a t i v el a g r a n g em u l t i p l i e ra p p r o a c hf o rb i o r t h o g o n a lc o s i n em o d u l a t e d f i l t e rb a n k si sp r o p o s e d t h ec o n s t r a i n t so fo v e r s a m p l e dc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s w i t hp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o na r ed e d u c e di nt h i sp a p e ra n dt h e nw ep r o p o s ea l li t e r a t i v e m e t h o df o rd e s i g n i n gt h ep r o t o t y p ef i l t e r t h eg e n e r a ln o n l i n e a ro p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e sa r eu s u a l l ye m p l o y e d ，w h i c h ，i n g e n e r a l ，a r ec o m p l i c a t e da n dt i m ec o n s u m i n g c o m p a r e dw i t hs t a n d a r dn o n l i n e a r t e c h n i q u e s ，t h ed e s i g na p p r o a c hw ep r o p o s e di n t h i sp a p e rh a sl o wd e s i g nc o s t ，h i i g h d e s i g ne f f i c i e n c ya n ds i m p l es t r u c t u r e i no r d e rt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h i s a l g o r i t h m ，s e v e r a lc o m p u t e rs i m u l a t i o n sh a v e b e e ns h o w n f i n a l l y , w es u mu pa b o v ew o r ka n dg i v eaf o r e c a s to ff u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d ：c o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，b i o r t h o g o n a l ， l o ws y s t e md e l a y , o v e r s a m p l i n g 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：! 望圭日期2 堕2 ：! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保 证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技 大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：! 望主 导师签名：递燃 日期2 翌21 ：7 日期丛盟。21 r 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多速率滤波器组概述 在信息化时代的今天，如何有效的存储、传输、处理数字信号是人们研究的 热点问题。多速率信号处理作为数字信号处理的一个重要分支，给我们提供了一 个灵活实用的信号处理解决方法。多速率的概念是指在一个信息处理系统中，存 在着多个不同的数据处理速率，即多速率系统中必然包含被处理信号采样率的变 换过程。在多速率信号处理中，它的主要内容是信号抽样率的转换器及各种滤波 器组，而传统的单速率数字信号处理系统的基本组成单元是乘法器，加法器和延 迟单元，例如数字滤波器、傅立叶变换、调制器等，因此信号的处理速率是单一 的。多速率信号处理从2 0 世纪7 0 年代以来被广泛的研究和应用。在几十年的发 展过程中，多速率信号处理的理论研究逐步丰富完善，多速率信号处理的应用也 从最初的语音处理发展到通信、图像编码、雷达、自适应信号处理、短时频谱分 析等各个领域。如此广泛的应用也极大地促进了多速率信号处理理论的发展，促 使越来越多的研究者开始关注多速率信号处理的算法和发展，多速率信号处理目 前已经成为现代信号处理的关键技术之一。 多速率信号处理领域中最基础最重要的模块当数多速率滤波器组。多速率滤 波器组的基本原理是先通过分析滤波器组及其级联的下采样器将输入信号分解为 多个子带信号，然后在子带域根据应用场合的不同进行相应处理，最终通过综合 滤波器组及其级联的上采样器将子带信号恢复成为输入信号或稍有失真的输入信 号。传统的多速率滤波器组设计的基本问题就是：如何设计满足一定特性的分析 和综合滤波器组，使整个多速率滤波器组的幅度失真、相位失真和混叠失真可以 控制在一个合理的范围内，甚至可以完全消除。在应用方面，利用子带编码来分 离信号或者压缩信号是滤波器组的最早应用之一。目前，子带滤波器组应用范围 早已超出了最初的应用领域，特别是d a u b c c h i e s 发现满足一定正则条件的滤波器 组可以构成小波以及m a l l e t 提出的基于滤波器组的塔式多分辨分析理论，使得滤 波器组的理论和小波互相促进，既丰富了小波变换理论，又拓宽了它自身的应用 前景。滤波器组的分类方法有很多，从通道数目上可以分为两通道滤波器组和多 通道滤波器组；从滤波器组的各孑带滤波器关系上分有正交滤波器组和双正交滤 波器组；从对信号的重构性上又可以分为近似完全重构滤波器组和完全重构滤波 器组。对于肼通道滤波器组的结构如图1 3 所示： 2 完全重构余弦调制滤波器组的设计 x 0 ) 图1 1 多速率滤波器组的结构 在图1 1 中，如果滤波器组的通道数和上厂f 采样因子的数值相等，即m = r 时， 那么称滤波器组为最大抽取滤波器组( m a x i m a u yd e c i m a t e du n i f o r mf i l t e rb a n k s ) ， 称这种情况为l 缶界采样( c r i t i c a ls u b s a m p l i n g ) 。这是因为m = r 是保证实现信号完全 重构的最大采样因子。在本文中如果不做特别说明的话，我们讨论的都是最大抽 取滤波器组。下面我们对该滤波器组的信号输入输出关系做一个简单的分析：分 析滤波器组的输出信号为咒( ) ，称为子带信号，由式( 1 1 ) 给出 一l 儿( n ) 一x 一t ) 红( 忌) ( 1 1 ) 其中工是滤波器组的子带滤波器啊似) 的长度。在滤波器组的分解部分，分析滤波 器组抒。0 ) ，日1 ( z ) ，h 。( z ) 对信号进行予带分解，将输入信号x o ) 分解为 ) ，o ) 0s fs m 一1 。在滤波器组的综合部分，综合滤波器组磊( z ) e ( z ) ，昂。0 ) 利用子带信号y i ( h ) 重构输入信号，它是分析滤波器组的逆过程。对信号x 伽) 做如 此的分解，合成，原因是对子带信号y ；) 的处理相比于对全带信号x o ) 的处理更能 提高信号处理的性能。将接收到的信号x ( n ) 通过分解，处理和综合后得到信号 ；) ，我们总是希望z o ) = z ( 厅) 。例如在通信中，希望接收到的信号和发送的信 号是完全一致的。当然，要实现x ( n ) t 工o ) 是非常困难的，也几乎是不可能的。 但是如果x ( n ) - c x ( n n 。) ，式中c 和是常数，即x 0 ) 是x o ) 经过延迟后的信号， 且只是在幅度上发生了倍乘的变换关系，那么就称x 0 ) 是x o ) 的完全重构信号， 该滤波器组也就具有对信号完全重构的特性 血c 【r e c o n s t r u c t i o n ，p r ) 。 一般来讲，对信号完全重构是需要满足一定约束条件的，所以很多情况下信 号的失真是很难避免的，在图1 1 的系统中，输出信号x 伽) 对输入信号z 伽) 的失 真主要源自于以下三个方面： ( 1 ) 混叠失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开 第一章绪论 3 并且x ) 的采样频率不能大于其最高频率成份的肼倍所致； ( 2 ) 幅度及相位失真：这两项失真来源于分析和综合滤波器组的幅频响应在 通带范围内不是全通函数并且滤波器组的相频特性不具有线性相位所致。 ( 3 ) 对滤波器组的子带信号做m 倍采样后再做处理( 如编码) 所产生的误差( 如 量化误差) 。需要说明的是，该误差主要来源于信号编码或处理算法，它和滤波器 组并无关系。 对于滤波器组设计中如何消除各类失真的方法，我们将在后面章节的内容中 进行详细的介绍和分析。 1 2 滤波器组的发展和分类 1 2 1 滤波器组理论发展 在信号处理的学科中，子带编码方案是将信号经过不同频带的滤波器进行滤 波，重采样，得到的各子带信号可以分别进行相应的处理，为了能从各子带信号 中恢复得到原始的输入信号，就必须寻求能够完全重构信号的滤波器组。在此基 础之上，逐渐发展建立起来了一套完整的滤波器组理论。接下来的内容中，我们 首先介绍一下多速率滤波器组理论的发展过程，随后对滤波器组分类进行简单的 介绍。 多速率滤波器组理论从提出概念到今天大约经历了3 0 多年的历史，其间主要 经历以下几个阶段： ( 1 ) 提出概念阶段 多速率信号处理的概念最早源于2 0 世纪7 0 年代中期，主要应用于多速率采 样，信号的子带编码等领域。主要的目的是减少计算复杂度以及减少传输数据率 和存储单元需求。1 9 8 0 年，j o h n s o n 提出了一类两通道正交镜像滤波器组 ( q u a d r a t u r em i n o rf i l t e r ，简称q m f ) 4 1 ，这类滤波器组可以完全消除混叠失真和 相位失真，只是存在微小的幅度失真。之后，多速率滤波器组开始逐渐受到人们 的关注。1 9 8 1 年，n u s s n a u m e r 给出了两通道近似重构q m f 的设计方法阎。 1 9 8 4 - 1 9 8 6 年，s m i t h , b a r n w e l l 和m i n t z e r 各自独立地提出了两通道完全重构滤波 器组的设计方法网 7 1 。1 9 8 6 年，w o o d s 将二维q m f 成功应用于图像子带编码【8 】。 ( 2 ) 基本理论发展的初步阶段 在1 9 8 6 年，s m i t h 和b a r n w e l l 提出了两通道的共轭正交滤波器组( c o n j u g a t e q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r , 简称c o f ) 【9 】，这是首次实现完全重构的滤波器组； v e t t e r l i 在1 9 8 6 年，v a i d y a n a t h a n 在1 9 8 7 年分别独立研究了两通道子带滤波器组 4 完全重构余弦调铝q 滤波器组的设计 的完全重构条件【1 0 1 1 1 1 。他们分别引入了多相( p o l y p h a s e ) 分量的滤波器组设计分 析方法，该方法使滤波器组的设计和分析大大简化，从而极大地推动了这一学科 的发展。特别是v a i d y a n a t h a n 提出了无损( l o s t l e s s ) 系统的晶格0 _ a t t i o e ) 结构应用于 设计完全重构的正交滤波器组，该结构可以实现功率互补的滤波器组，大大简化 了滤波器的优化设计2 1 。这些理论都对滤波器组的理论和应用发展产生了很大 的影响。 ( 3 ) 丰富和完善理论的阶段 2 0 世纪9 0 年代，小波的分析研究成为热点。多分辨率分析的研究表明，满 足一定正则条件的滤波器组可以迭代设计出小波。m a l l e t 提出双尺度方程以及塔 式分解算法【1 3 】【1 4 】，这些理论研究成果将滤波器组和小波结合在一起，使滤波器 组与小波的理论和设计有了非常紧密的联系。之后，人们开始重视并利用滤波器 组来设计小波以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，v a i d y a n a t h a np - p 做出了 重大贡献，他系统地提出了两通道和m 通道正交滤波器组的理论 1 5 1 1 1 6 1 【2 】。在 此之后，滤波器组的理论呈现出多元化的发展趋势，非均匀滤波器组和调制型滤 波器组成为新的研究热点。1 9 8 9 年，h o a n g 和v a i d y a n a t h a n 提出了非均匀滤波器 组的理论【1 刀。1 9 9 1 年，n a y e b i 等人提出了非均匀滤波器组的设计方法：k o v a c e v i c 和v e t t e r l i 提出了采样因子可以按照有理数变化的非均匀滤波器组【1 8 】；1 9 9 2 年， v e t t e r l i 提出了两通道滤波器组以及小波基和多分辨率分析的关系 1 9 1 ；n a y e b i 等 人提出了滤波器组的时域设计方法和时变滤波器组 2 0 2 1 1 。1 9 9 2 年，k o i l p i l l a i r d 给出了m 通道余弦调制滤波器组的完全重构条件和格型结构实现【2 2 】。这些 理论都极大地推动了多速率滤波器组的发展并且为后面的深入研究奠定了扎实的 基础。 1 2 2 滤波器组的分类 1 线性相位滤波器组 在实际的信号处理中，许多应用场合会要求滤波器组具有线性相位的特性， 例如信号特征分析、图像数据处理和压缩编码，即要求滤波器组中的每个子带滤 波器都是线性相位的。因此线性相位滤波器组随着应用领域的发展使其理论逐渐 丰富起来。线性相位滤波器组的设计也成为滤波器组设计研究中的一个热点问题。 1 9 8 9 年，n g u y e n 和v a i d y a n a t h a n 提出了一种两通道的双正交线性相位滤波器组 并给出了格型结构的实现 z 3 l 。1 9 9 3 年，s o m a n 和v a i d y a n a t h a n 提出了肘通道的 线性相位正交滤波器组的理论 2 4 1 。l _ i n 和v a i d y a n a t h a n 在1 9 9 5 年提出了线性相 位余弦调制滤波器组，大大简化了线性相位滤波器组的设计过程，该算法起到了 里程碑的作用【2 5 】。上面提到的许多线性相位滤波器组的设计算法已经成功应用 第一章绪论 5 于图像信号处理等领域中。 2 低延迟滤波器组 滤波器组对信号进行分解和重构都需要进行滤波计算，这样增加了信号处理 的时间成本。在实时性要求高的信号处理中( 例如通信信号处理、语音信号处理 等1 ，系统延迟无疑是最重要的因素之一。因此为了减少滤波器组的信号处理延迟， 许多学者研究并提出了一类低延迟完全重构的滤波器组。1 9 9 4 年，n a y e b i 和 b a m w e l l 发表了一种时域的方法设计两通道的低延迟滤波器组，但是所得到的滤 波器组对输入信号并不是完全重构的 2 6 1 。1 9 9 5 年，s c h u l l c r 用矩阵分解的方法设 计低延迟滤波器组，该设计使用的优化算法是非线性的目标函数，不容易求得全 局最优解【2 7 1 。1 9 9 9 年，y a n g 提出了最大最小误差准则的设计方法获得了等波纹 的滤波器组【2 羽。2 0 0 1 年m a o 使用r e m c z 交换算法设计低延迟滤波器组 2 9 1 。低 延迟滤波器组的研究目前也是该领域的热点问题之一。 3 过采样滤波器组 在临界采样滤波器组中，其上厂f 采样因子在数值上等于滤波器组的通道数， 如图1 1 所示。如果当r ( 采样因子) m ( 滤波器组的通道数) 时，此类滤波器组称 为过采样( o v c t s a m p l e d ) 滤波器组。与临界采样滤波器组相比，过采样滤波器组有 以下的优点：( 1 ) 增加了设计的自由度，完全重构约束条件相比临界采样滤波器组 会减少，同时因为过采样滤波器组的完全重构约束条件数目比临界采样时少，因 此在设计时具有更大的自由度，可以设计出频率选择性更好的滤波器组。( 2 ) 滤波 器组系统的抗噪声能力增强；( 3 ) 可以设计出任意延迟的滤波器组；( 4 ) 更加方便设 计线性相位滤波器组；并且过采样滤波器组在多载波通信等系统中也是有着非常 重要的应用价值。此间，c v e t k o v i c 、b o l c s k c i 、碰a w a t s c h 和h e l m u t 分别研究了 过采样滤波器组的框架理论以及它的完全重构条件 3 0 3 1 1 1 3 2 。 4 非均匀滤波器组 所谓非均匀，是指滤波器组对频带划分不是均匀的。在非均匀滤波器组中， 每个子带通道的匕，下采样因子月是不同的，因此设计出的滤波器组对频带的划分 也就更加具有针对性。此时的采样因子不是整数而是分数，这样做的好处是显而 易见的，比如在图像变换中，我们常常将图像分解为低频分量和高频分量，经过 多级分解后，所谓的“低频”和“高频”并不是严格的按照u 2 ，r ，2 的频率划分， 这里的“低频”部分占有更宽的频带范围。这样采用非均匀滤波器组经过一次分 解就可以完成频率成份的划分，然后再根据各子带信号的特点进行压缩、编码， 显然会有更高的处理效率。同样在语音子带编码和自适应子带滤波等应用方面， 非均匀滤波器组相对于均匀频带划分的滤波器组也具有更好的性熊。但是由于这 种非均匀的频带划分，使整个滤波器组完全重构的特性难以保证。目前在非均匀 滤波器组的研究上也同样取得很大的进步，而且我们会发现均匀与非均匀两者在 6 完全重构余弦调制滤波器组的设计 发展过程上的相似性。最初设计的非均匀滤波器组都是近似完全重构的，由于均 匀滤波器组的设计方法相对较为成熟，1 9 8 6 年，c o x 提出合并均匀滤波器组实现 非均匀滤波器组的思想，但当时由于没有出现完全重构的m 带均匀滤波器组的设 计方法，他所设计的非均匀滤波器组是近似完全重构的【3 3 1 。1 9 8 9 年，v m d y n m h a n 首先研究了非均匀滤波器组的完全重构条件，提出了非均匀正交镜像滤波器组 ( q m l 0 的结构1 1 7 1 。随后，n a y e b i 和k o v a c e v i c 等分别提出了非均匀滤波器组设计 的时域法和变换法，成为该方向研究的基石1 1 8 1 【3 4 。根据近年来出现了m 带完 全重构的余弦调制滤波器组( c m f b ) 理论，l e e 提出了合并相邻c m f b 通道的方法 设计非均匀滤波器组【3 5 1 。c h a n 利用c o x 的思想以及完全重构余弦调制滤波器组 的设计方法，得到了完全重构的非均匀余弦调制滤波器组【3 6 】。从中我们也可以 看出，非均匀滤波器组是在均匀滤波器的理论基础上发展得到的，这样对于许多 均匀滤波器组的优化设计算法可以在非均匀领域进行推广，目前该领域是滤波器 组研究设计中的热点问题。 一 1 3 多速率滤波器组应用实例 我们下面对多速率滤波器组在信号处理领域中的两个常见应用实例加以介绍 和说明。 1 3 1 语音编码压缩 通常我们所遇到的信号，其能量往往集中在某一频带范围内，而在其它的频 带中能量很少但又不是少到可以忽略的程度。如果不顾能量较小的频带而进行数 据压缩，则可能会有混叠产生或者某些频率成份的丢失。比较妥当的方法是：使 用滤波器组把能量集中的频带和能量较少的频带分开如图1 2 所示，信号的 大部分的能量集中在厂t 丘的频带范围内，而在五c ，石频带范围内的能量较 少，但这部分能量还不是少到可以忽略的程度。借助滤波器组的概念，我们可以 用低通滤波器和高通滤波器将两个频带分开，其中低通滤波器风0 加) 滤出信号 x ( e i o ) 的大部分能量，而高通滤波器h ，( e t m ) 滤出信号x 0 扣) 的小部分能量。由 于在信号中所占的重要性不同，所以在编码时对忙p ) 采用1 6 ( b i t ) 进行编码而 对x l ( e j - ) 采用8 ( b i t ) 进行编码( 实际应用中，具体采用多少b i t 进行编码还要通过 技术上的衡量来确定) 。这样，如果在不进行分频带编码时，原始信号的采样率为 f ，如果每个采样值都用1 6 ( b i t ) 进行编码，则每秒需要的编码量为f * 1 6 ( b i 0 。而在 进行分频带编码之后，子带信号p ”) 的每秒编码速率为f 2 * 1 6 ( b i t ) ，x 1 0 如) 的 每秒编码速率为f 2 * 8 ( b i t ) ，所以总的b i t 数为f 1 2 ( b i t ) 。这样每秒的编码比特数 第一章绪论 7 就压缩为原来的3 4 ，信号可以进行更为高效的传输。 图1 2 两通道滤波器组进行频带分裂： ( a ) 输入信号；o ，) 分析滤波器组的频率响应；( c ) 分解后的子带信号 1 3 2 语音保密系统 滤波器组在语音保密系统中可以利用普通电话线路进行保密通话，从而达到 防止窃听的目的。设计这种系统的思路是：将原来的语音信号z o ) 经过模数( a d ) 变换器转换为对应的数字信号x ( 理r ) ，将x ( n r ) 利用分析滤波器组分解成d 个分 频带信号v k ( n t ) ，其中k - o 1 ，d 一1 ，并且在时域内将每个分频带信号v a n t ) 分 为r 段，于是我们就得到限x d ) 段的信号，随后我们将r x d 段的信号顺序打乱， 按自己制定的排列方案进行排列( 这就是密码方案) 。这样的处理使得信号的排列 数目可以多达皿x d ) ! 种。比如说d = 8 ，r = 1 5 ，则可有1 2 0 1 种不同的信号排列方式， 密码方案就是选取其中的一种。按这个方案得到的信号命名为r ( n r ) ，将y ( n n 经 过数模( d ，a ) 变换器转换成为y ( f ) ，将这个y ( t ) 代替x q ) 用普通的电话系统传送出 去。由于密码方案是从1 2 0 1 种中取出其中的一种，而别人不知道是如何排列的， 所以破译是非常不容易的。在电话的接收端则采用与发送时相反的过程对信号进 行重构，这样即可完成对信号的解密工作。具体的系统如图1 3 所示： 8 完全重构余弦调制滤波器组的设计 按 保 密 编 码 捧 爿 h 1j 、。i n ljj l 柚h按 一1 i _ j 保 密 安 排 进 行 i 鼻 码 立正 捧 图1 3 滤波器组应用于语音编码系统 1 4 本文所做的主要工作安排 本论文的研究工作得到了国家自然科学基金的资助，内容包括以下几个方面： ( 1 1 本文研究了完全重构余弦调制滤波器组的设计方法，其中的重点是完全重 构的双正交和过采样两大类型的余弦调制滤波器组。针对双正交余弦调制滤波器 组原型滤波器的特点和重构条件，提出了一种线性迭代算法设计双正交余弦调制 滤波器组，算法的设计过程简单高效并且得到的双正交余弦调制滤波器组重构延 迟为相同滤波器长度的正交余弦调制滤波器组的三分之一，在实时信号处理等领 域中有着非常重要的应用价值。 ( 2 ) 针对过采样余弦调制滤波器组的完全重构条件和原型滤波器的特点，我们 提出了一种有效的迭代设计算法设计出完全重构的过采样余弦调制滤波器组。优 化算法得到了令人满意的设计效果。在上面两大类余弦调制滤波器组的设计结果 中，可以看出本文提出的算法计算效率高，过程简单并且容易推广到线性相位余 第一章绪论 9 弦调制滤波器组和吖带小波的构造设计中。本文的各章节内容主要分为以下几个 部分： 第二章：概述了多速率信号处理的基本概念以及多速率滤波器组的基本理论。 介绍了多速率信号处理中的各类信号处理之间的基本关系，艇通道多速率滤波器 组的各种等效性质以及完全重构条件。接下来介绍了调制滤波器组的基本概念， 分别讲述了d f t 滤波器组和余弦调制滤波器组的性质。重点阐述了余弦调制滤波 器组中如何消除混叠失真，相位失真以及幅度失真的概念和条件，最后给出了余 弦调制滤波器组如何构造的显形表达式。 第三章：对任意长度原型滤波器的余弦调制滤波器组完全重构条件进行了推 导论证，分别讨论了正交和双正交余弦调制滤波器组的完全重构条件。根据双正 交余弦调制滤波器组的完全重构条件，我们提出了一种线性迭代算法设计出具有 低延迟特性的双正交余弦调制滤波器组，并且给出了详细的设计过程和仿真结果。 第四章：根据过采样余弦调制滤波器组完全重构条件和特点，我们提出了一 种有效的算法设计过采样余弦调制滤波器组。该算法的程序仿真结果表明了以上 算法的有效性。此外类似的算法设计过程还可以推广到线性相位余弦调制滤波器 组和利用余弦调制滤波器组构造小波的算法中。 最后，我们总结了前面的内容并对新的思路进行了阐述。 完全重构余弦调制滤波器组的设计 第二章余弦调制滤波器组的基础理论 2 1 滤波器组的基本结构元素 在这一章中，我们首先分析多速率信号处理中的一些基本关系，这也是后面 章节中进行多速率滤波器组设计的理论基础。下采样器和上采样器是多速率滤波 器组中的两个最基本的环节，用于改变信号的采样速率。下面我们对这两个基本 环节进行介绍和分析。 2 1 1 下采样器的性质 将信号的采样频率减少m 倍，即对信号进行m 倍的下采样，一个m 倍的下 采样器如图2 1 所示： 其中m 为一正整数。根据下采样的特点，对信号x ( ，1 ) 的m 倍下采样就是只保留 信号的m 倍时间点。因此对于输入信号x ( 雄) ，其m 倍下采样的输入输出关系的 时域形式为： y 。( n ) = x ( m n ) ( 2 1 ) 下采样器输出信号y 。o ) 的z 变换为： ( z ) 一y 。( nz 一一x ( m n ) z ”t 吉薹工( z 枷嘭) ( 2 2 ) 根据式( 2 2 ) 可以得出结论：下采样后的输出信号) ，。o ) 的频谱是输入信号x ( n ) 的 频谱扩展m 倍，然后在频域轴上做2 破( 七= 1 2 ，一埘一1 ) 的均匀移位，幅度降为原 来的1 m 后再叠加而成的。因而，只要输入信号的归一化带宽小于等于丌m ，下 采样后就不会引起信号的频谱混叠，反之，下采样过程在降低信号采样率的同时 会引起信号的频谱混叠。由于在实际的信号处理过程当中，信号的带宽不一定小 等 第二章余弦调制滤波器组基础理论 1 l 于丌m ，为了防止下采样后的频谱混叠发生，在信号下采样之前，一般要先进行 低通滤波，该低通滤波器称为抗混叠滤波器。该过程称为抽取( 妇a t i o n ) 运算。 如图2 2 所示： “q 2 ，1 ，2 上采样器的性质 图2 2 抽取运算过程 ) ， ) 将信号的采样频率增加工倍，即对信号进行工倍的上采样，一个工倍的上采 样器如图2 3 所示： 其中三为一正整数。根据上采样的特点，信号x ( n ) 的l 倍上采样就是在x ( 九) 时域 的每个相邻元素中间插入己一1 个零。对于输入信号x ”) ，其工倍上采样的输入输 出关系的时域形式为： 帅) ；h 量) ，如翱匙的整数倍 1 0 ， 如果n 不是l 的整数倍 上采样器输出信号蚝o ) 的z 变换为： 巧仁) = 期o ) ：1 = 工( 七) z “= x ( z ) ( 2 4 ) ； t = 从式( 2 4 ) 中可以看出：上采样之后，在输入信号频谱的一个周期内，采样信号的 频谱变成了l 个周期，多余的l 一1 个周期称为输入信号频谱的映射。只要输入信 号满足采样定理，则上采样只是增大了信号的采样率，而不会引起信号的频谱混 叠。但是上采样会导致输入信号的频谱出现镜像频谱，为了得到与原始信号致 芝 完全重构余弦调制滤波器组的设计 的采样信号，需要进行一个低通滤波过程，滤除镜像频谱，该低通滤波器称为抗 镜像滤波器，该过程称为内插( i n t c r p o l a t i o n ) 运_ 算，如图2 4 所示： x ) 图2 4 内插运算过程 2 1 3 多速率滤波器组中的等效易位性质 多速率信号处理系统是由各种基本单元进行组合得到的。在多速率信号处理 中，系统的采样率转换环节总是和线性时不变( l t i ) 系统构成级联，改变采样率环 节在级联中的位置有时候会提高实现的计算效率。典型的采样率转换和l t i 系统 级联以及等效性质如图2 5 所示： 匝习叫d 三工丑吐丑 ( a ) 臣习叫d 三匠丑叫 ( ” 图2 5 等效易位结构 从图2 5 中我们可以看出，一个m 倍的下采样器跟一个滤波器( z ) 等效于 h ( z ”) 跟一个m 倍的下采样器；一个滤波器硎跟一个材倍的上采样器等效于 一个m 倍的上采样器跟一个日0 ”) 滤波器。这两个基本的等效易位结构称为 n o b l e 等效。根据上面的讨论，我们对多速率系统中滤波器结合上下采样器的各 种方法以及信号的输入输出关系通过表格的形式做一总结，见表1 ： 第二章余弦调制滤波器组基础理论 1 3 运算类型 幻( 采样因子为n 的下采样) ( 采样因子为n 的上采样) 曲( 相同采样因子的下采样结合上采样) d ) ( 下采样结合上采样中间为滤波器日0 ) ) 曲( 相同采样因子的上采样结合下采样) f ) ( 上采样结合下采样中间为滤波器日( z ) ) y ( z ) - x ( z ”) 2 i 1 二n - - i 石z ) 一 “ 。n = 寿日露b r - i j 力 y 扛) 一z ( z ) = i 1z g ) 荟x - 1 日) 1 4 完全重构余弦调制滤波器组的设计 2 1 4 信号的多相分量表示 2 1 4 1 信号的i 型多相分量表示 给定一个信号x ( n ) 和一个正整数m ，则信号x ( n ) 的i 型多相表示可以定义为 e k ) 一x ( 肋t + 七) ，k = o 1 ，m - 1 下面给出x ( n ) 的i 型多相分量表示的z 变换： z ( z ) 一重蓦气( n ) ：枷卅一蓑z 4 耋气( n ) ( ，) ” 令 e r z ) f f i z 汹+ ) z ”= 气( n ) z 4 则x ( z ) 可变为： x ( z ) = 臣( ) 式( 2 5 ) 中的巨( z ) 称为信号的i 型多相元素。 2 1 4 2 信号的i i 型多相分量表示 给定一个信号x ( n ) 和一个正整数m ，则信号的n 型多相分量表示可以定义为 r k ( n ) f f i x ( m n + m - l - k ) ，k = o ，1 ，m - 1 下面给出信号的i i 型多相表示的z 变换： x = 唯( ，啦曲“；z 叫4 由芝o x 厂 令 一。o ) 一x ( m n + m 一1 - k ) z - r k ( n ) z ” ，- i 则有： x ( z ) = z - “。一t ( z ”) ( 2 6 ) 硒 式( 2 6 ) 中的。0 ) 称为信号的型多相元素。 2 1 5m 通道滤波器组的性质 2 1 5 1m 通道滤波器组的输入输出关系 m 通道最大抽取滤波器组的结构如图2 6 所示： 第二章余弦调制滤波器组基础理论 1 5 x ( n ) 图2 6m 通道的最大抽取滤波器组 滤波器组的输入输出关系：首先对于分析滤波器组，忽略量化误差后我们可 以得到每个子带滤波器的输出为： 五j 乜) 。h k ( z ) x ( o ) ( 2 刀 通过下采样器的子带信号v a n ) 的z 变换为： k o ) 。吉荟也沙磁圾( 碱) ( 2 8 ) 接下来对子带信号唯) 进行m 倍的上采样，上采样器输出的信号可以表示为： 砭o ) 。圪( ) 。砉荟峨乜昭隧。嘭) ( 2 9 ) 最后通过综合滤波器组的输出信号为： 舅仁) 一蓑e ( z 一万1m 磊- i x 。咙) m 荟- i 以( z 峨圾 ( 2 1 0 ) 可以将式( 2 1 0 ) 写为： 龛一薯4 。嘭) ( 2 1 1 ) 其中 4 g ) 。吉荟以乜嘭厩乜) ， o s ，s m l ( 2 1 2 ) 其中4 0 r ) ，一1 ，- , m 一1 是混叠输入项z ( z 嘭) 的传递函数，因此要消除混叠失 真必须满足以下条件： 4 ( 力- 0 , ，- 1 , j 村一1 可以定义整个滤波器组系统的失真函数为： 1 6 完全重构余弦调制滤波器组的设计 a o ( z ) 一吉m 荟- i 五( z 溉 ( 2 1 3 ) 如果4 0 ) 不是全通滤波器，则称滤波器组的输出宕o ) 存在幅度失真；如果4 仁) 不具有线性相位特性，则称滤波器组的输出i 0 ) 存在相位失真。如果4 具有 纯延迟的形式，即 4 ( z ) 一c z - n o( 2 1 4 ) 则滤波器组的输入输出关系满足： 。 z 0 ) 一c x ( n 一)( 2 1 5 ) 其中c 为非零的常数，为一个正整数。满足上述输入输出关系的滤波器组是能 够实现对输入信号完全重构的系统，也就是说滤波器组将不存在混叠失真，幅度 失真和相位失真。 2 1 5 2m 通道滤波器组的完全重构条件 应用前面两个小节介绍的滤波器组中的恒等变换和多相分解性质，可以看出 图2 7 的结构可以转化为图2 8 的等效结构瞄阳： 卜 倒p 一匹h p 旷) 1 丑廿 世卜一f 。 - 贮 蹦埘 一目 卜寸日一 图2 7m 通道滤波器组的多相表示 图2 8 肘通道滤波器组的等效结构 可以令 p ( z ) = r ( z ) e ( ：) m 通道最大抽取滤波器组的完全重构条件是5 】： 咐以懈触吐乏叫 回 其中芦是非零的常数，和，是正整数，o s r s m 一1 。蝴(