（计算数学专业论文）非张量积形式二维小波有限元.pdf

摘要 本文在金坚明教授构造出的二维d a u b e c h i e s t j 、波的基础上，具体计算 出二维d a u b e c h i e s t 、波，并将其应用于有限元法，在非张量积形式二维小 波有限元方面作了一些尝试 全文分为两个部分，第一部分主要引用了金坚明教授构造的二 维d a u b e c h i e s t j 、波，并在此基础上具体计算出二维小波函数及其偏导数 第二部分利用前部分计算出的小波函数，以薄板问题为例具体阐述了采 用二维d a u b e c h i e s t j 、波的非张量积形式二维小波有限元法 ab s t r a c t b a s e do nt w o - - d i m e n s i o n a ld a u b e c h i e sw a v e l e tc o n s t r u c t e db yp r o f e s s i o nj i nj i a n m i n g ，t h i sp a p e rw ec o m p u t et h ef u n c t i o na n dd i f f e r e n t i a lo f t w o d i m e n s i o n a ld a u b e c h i e sw a v e l e t ，d os o m ee x e r c i s ea b o u tn o n - t e n s o r - p o w e r f o r m a lt w o - d i m e n s i o n a lw a v e l e tf e m t h ep a p e rc o n s i s t so ft w op a r t i np a r ti w er e c o m m e n ds o m er e - s u l ta b o u tt w o - d i m e n s i o n a ld a u b e c h i e sw a v e l e tc o n s t r u c t e db yp r o f e s s i o n j i nj i a n m i n g ，b a s e do ni t ，w eg i v ev a l u eo ft w o - d i m e n s i o n a ld a u b e c h i e s w a v e l e ta n di t sd i f f e r e n t i a l i np a r ti i ，w ek n o wv a l u eo ft w o d i m e n s i o n a l d a u b e c h i e sw a v e l e ta n di t s d i f f e r e n t i a l ，s o w i t ht h e e x a m p l eo fs h e e t d i s c u s sn o n - - t e n s o r - - p o w e rf o r m a lt w o - d i m e n s i o n a lw a v e l e tf e mw i t ht w o - d i m e n s i o n a ld a u b e c h i e sw a v e l e t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：薛碰翅日期：丑匹年互月丑日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：莲趟麴导师签名：金鳖麴日期：邀年月爿日 j 月l j吾 小波分析是调和分析发展史上里程碑式的进展，是近半个世纪以来 调和分析的展示和结晶，与传统的傅立叶变换相比，小波分析有良好的 局部化特性与逼近性，被誉为数学显微镜因此在诸多领域小波分析都 得到了广泛的利用，如信号处理、图像识别、逼近论和微分方程数值解 等领域 小波分析在微分方程数值解方面的应用已经有了很多但是在应用 二维问题时，大多采用张量积形式，给计算带来的诸多不便d a u b e c h i e s 小波是1 9 8 8 年i n g r i dd a u b e c h i e s 在文献o r t h o n o r m a lb a s e so ，c o m p a c t l y s u p p o r t e dw a v e l e t s 中提出的，我们称依照文中方法构造出的小波函数 为d a u b e c h i e s t j 、波二维d a u b e c h i e s t j 、波是由金坚明教授在诸多文献中推 导构造出的在微分方程数值解二维问题中如果采用二维d a u b e c h i e s 小 波，则可以抛开张量积形式，此文旨在此方面做一些尝试 本文包含两部分内容：第一部分给出了二维d a u b e c h i e s 小波的一些 相关定理，并依照这些定理给出二维d a u b e c h i e s 小波及计算出了尺度函 数仍小波母函数妒及其一阶、二阶偏导数在网格 ( z 1 ，x 2 ) i x l ，z 2 a ) 的值，其中a = 后2 一肘，m z ，七= 0 ，1 ，2 m ；第二部分以薄板问题 为例，说明采用二维d a u b e c h i e s 4 b 波的非张量积形式的二维小波有限元 法 二维d a u b e c h i e s d 、波 1 9 8 8 年i n g r i dd a u b e c h i e s 于文献o r t h o n o r m a l b a s e s o fc o m p a c t l ys u p p o r t e d w a v e l e t s 中构造出了一维具有有限支集的小波函数，称之为d a u b e c h i e s d 、波而自然 界有诸多问题不仅限于一维，并且采用n 个维小波张量积形式解决高维问题时，不仅 计算复杂度较高，同时也丧失了某些小波的特性，因此对多维小波的研究是势在必行的 本部分主要参照了金坚明教授的文献i7 】一1 1 0 】，对二维小波进行必要阐述并具体构 造二维d a u b e e h i e s d 、波，最终求得尺度函数 p ，小波函数妒及一阶，二阶偏导数在网格 0 l ，钝) i x l ，z 2 a ) 的值，其中a = 2 - ”，m z ， = 0 ，1 ，2 m ) 1 1 二维小波简介 定义1 1 1 若l 2 ( r 2 ) 的闭予空间序列 巧) z 满足 ( 3 ) 巧cu z 品了一 o 。 u 嵋= l 2 ( 瓞2 ) ，n 巧= o ) ( 1 1 2 ) j j = 一” ，( $ ) k = = = f ( 2 z ) k + 1 ，z( 11 3 ) f ( z ) 巧 = 争，( 。一) 埒，v k z 2( 11 4 ) ( 5 ) 存在函数9 ( 叫ek ，使得 g ( x k ) i k e z 。构成k 的一组融e s z 基即存在两个常数 a ，b ，对任意 c k ) k z z f 2 ( z 2 ) 有 a i c e l 2 i 啪( z k ) t 2 b 川2 z ：k z 2k e z 2 则称 峙) ，e z 为上2 ( r 2 ) 卜的一个多分辨分析 2 1 二维d a u b e c h i e s j 波 一般k 可表示为 k = s p a n 妒j k 慷z 2 ) 其中妒，k ( 。) = 2 - j 咿( 2 - i x k ) ，仍，k 为k 上的一组规范正交基 再m ( 1 1 1 】式可知，若 2 - i 妒( 2 。z ) euc 则有 2 。1 妒( ；) = h _ p ( z 一) ，h k 趣 k e z 2 其中 忙2 。上。妒( ；) 州z k ) d 嚣 m ( i 1 6 ) 式两边经过f o u r i e r 变换可得 = ( ) = m o ( 詈) ( 善) 其中 m o ) = 2 。1 e 。鼬 z 2 ：为2 r i 周期函数，称为共轭滤波器， 称为频率响应 ( 1 ) ( 2 ) 所以 引理1 1 1 l + 2 k 7 r ) 1 2 = 1 k z 2 定理1 1 1 由式( 1 19 ) 确定的m o ( u ) 有如下关系武 m o ( w ) 1 ，m o ( o ) = l ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 _ 7 ) m o ( u + 1 7 r ) 1 2 + i r a o ( u ) 队 + k l r ) j 2 叭u + 圳21 ( 1 1 1 1 ) 证明因为 z 2 一 ( 2 2 2 + i ) + 2 2 2 】 叭。+ 2 k 7 r ) 1 2 = l k z 2 桫( 2 w + 2 女”) 2 = l k e e 2 3 5l 二维d a u b e c h i e s j 、波 又因为 妒“( 。) = 1 7 1 0 ( 芸) 妒“( 芸) 则有 j m o + 女”) 妒“+ 丌) j 2 = 1 k e z 2 由此可得 ei m o ( u + 七”) f 2 妒“( u + 女”) f 2 + i m 。( “，+ 奄丌) 1 2 f 妒“( u + ”) f 2 k e 2 z a + ik e 2 2 2 + j 吼p + 刎m “+ ) j 2 = l k e z 2 一【( 2 2 2 + i ) + 2 2 2 】 i m 。( u + i ”) 1 2 ei 妒“( 。+ 七7 r ) 1 2 + i m 。( u ) 1 2 i l p “( u + 7 r ) 1 2 k e 2 2 2 + i k e 2 z ? + i m 。+ h ) m “+ h ) 1 2 = 1 由引理1 1 1 和m o ) 的周期性有： f 竹1 0 ( + 1 7 r ) f 2 + f m o ( u ) f 2 + f 竹铀( + 七7 r ) f 2 f 妒 ( u + 后丌) 1 2 = 1 k e z 2 一i ( 2 2 2 + i ) + 2 2 2 】 至此显然有m o ) 1 由 ( u ) = m 。( 詈) 妒 ( 詈) 有 ( o ) = ”如( o ) ( o ) 则有m o ( o ) = 1 定义1 1 2 让巧一1 = bow j ，= 时，则有 一i = o ，2 ( r 2 ) _ ( 1 1 1 2 ) j = m】= 一o 。 设 w j = s p a n ，k l k z 2 )( 1 1 1 3 ) 其中奶，= 2 - 3 妒( 2 1 z 一女) 为上w j 上规范正交基则称砂( 七) 为基本小波函数 n n 2 。1 世( i ) w lcv o 故有 2 - 1 掣( ；) = 蝌( z 一)( 1 1 1 4 ) z ， 其中 ， g = 2 1 母( 苦) 妒 一k ) d x 由( 1 11 4 ) 式两边经过f 0 u “o r 变换可得 妒“( 甜) = g ( 等) 妒“( 等) ( 1 1 1 5 ) 其中g ) = 2 1 g k e 埘”为2 7 r i 周期函数 由 = 0 ，n z 2 ，。r 2 车= ；0 即矗：p ( u ) e 一“。妒( u ) d u = 0 由公式( 1 1 8 ) 和( 1 1 1 5 ) 可得 厶俄帮m 0 ( 詈) g ( 扩刈 甘k e z 2j ，2 k 2 ，r ”f 烈耖m 。( 蛩= 。 甘乏一烈抄妒m 0 ( ) 巧丽e 一“a u = 。 由引理1 1 1 可知进一步有 则有 取 门州 = 0 詈+ i ”) g ( 善+ i ”) + m 。( 筹) g ( 兰) + m o ( 詈+ 0 9 丌) 丽+ m 0 ( 詈+ ( 0 ) 丌) 硐e - i n 。d u m 。( 詈+ i ”) g ( 詈+ 1 ”)+ m 。( 詈) g ( 詈) + m 。( 等+ ( 5 ) 一) 否两+ m 。( 詈+ ( 2 ) ”) 石丽= 。 m o + i ，r ) g ( w + b r ) + m o ) 丽 + 仇。+ ( 6 ) 7 r ) 面丽+ m o + ( o ) 7 r ) g + ( 0 ) 7 r ) = 0 g ( “) = 丌l o ( u 十b r ) e 一 ( 6 ) w 于是m ( 1 1 1 6 ) 式经过简单推导可得 r n 。( “，+ 1 ) m 。( u + 2 1 7 r ) e l ( 5 ) + h 1 - - r z o ( 。) m 。( “+ i ”) e i ( 6 ) w + m 。( 。+ ( 3 ) 。) ”。( 。+ ( 2 ) ”) e 。( 5 ) + ( 5 ) f 1 + t o o ( 。+ m ) m 。( 。+ 跏) e 诎u + ( 帅 1 二维d a u b e c h i e s j 渡 ：e ；( 6 ) u - t o o ( u + 1 7 r ) z 。( u ) + m o ( u + 1 7 r ) m o ( u ) 一m o ( w + ( 6 ) 7 r ) m 。( u + ( 2 ) 7 广) + m o ( w + ( 7 r ) m o ( u + ( ? ) 7 ) ) = 0 又因为m o p ) = 2 1 。z 。愚。e 一5 ，所以孬；i 苟= 2 1 。z 。k e 而丽= 2 一 。e “。e “h = 2 。1e 。e e h l ”e m 2 ”= 2 1 h n e i n “( - 1 ) “1 ( 一1 ) “。 = 2 “ 。e “( 一1 ) 咐” n e z 2 则有 m o ( w + b r ) e i ( 舢= 2 1 h e i - 。e - i ( o i ) “( 1 ) 时n 。；2 一， 。e i n 一( 肌( 一1 ) n - + m 令佗= 一( n 一( 3 ) ) ，n = ( 0 一n 贝u 有n 1 = 1 一n i ，扎2 = 一啦 于是由f 1 1 1 6 ) 式有 g ) ：而万干1 ；雨一t ( 3 ) u = 2 1 刊e - i n l 。( 一1 ) 1 一( “i + 畦) = 2 1 ( 扣。- - l n w ( 一1 ) 慨 n z 又 g ( u ) = 2 。1 蜘e 。 n e z 2 所以 g n 。吣一。( 1 ) 1 一时” 1 2 二维小波函数的构造 定义叩f ( z ) 为 确( z ) = ( 丁刍疋4 ) ( z ) ， z 披2 其中肌为a 的集特征函数，a = ( z 1 z 2 ) l l 2 z 1 1 2 ，一1 2 z 2 l 2 ) ( 巧，) ( z ) = 2 * ，( 2 z 一女) z 2 6 ( 1 1 1 7 ) 1 二维d a u b e c h i e s z j 、波 由f o u r i e r 变换司得 删= ( 磊1 垃m 。( 2 。u ) 掣掣 其中m o ( u ) = i 1 h k e 。“，u r 2 ，当l _ o 。可得 目盆。( 去) n m 。( 2 1 u ) 引理l2 ，l假设对任意 0 有 i h k l l k l 5 c o ，i k l = 研+ 鹾 k z 2 这时枪) = ( 击) 1 - im 0 ( 2 - j u ) 对任意给定的r 2 是收敛的，而且在有界集上是一致收 敛的 引理1 2 ，2如果 m 。( u ) = ；( - + e 一，m ) ；( i + e - u 2 ) 莎( u ) 其中莎( u ) = f ( k ) e 一鼬， e z 2 满足 s u pi f ( k ) l l k l 5 0 ，使得 i m o ( 2 一u ) i g i u ，i 一“一n 1 b 引理1 , 2 3定义 m 。( 。) = i 1 h k e 。鼬 一k 弘 并且假定 m 。( u ) = i 1 、。i o _ 1 ，i ( 1 + e - i 一2 ) 1 伊( 。) 其中乒) = ，( ) e 。“， 满足 s u p f ( k ) l l k l 0 ，s u pj 箩扣) i = 1 3 2 ” 那么由下式 讹( 叫= 2 h e r l f 2 z 一) z 琏2 1 二维d a u b e c h i e s z j 、波 p o ( 。) = 声o ( z 1 ) 豇o ( z 2 ) ，x = ( 2 ；1 ，x 2 ) 。( 1 2 1 8 ) 脚，* _ ：器 叭。， 硒( f ) = 1 j 厂- 1 1j ，- 1 1 嘶) e 前如 = 磊1 上1 。风) e 咱“血，- 舶( 蚴e - i 如z z d z ： 定理l _ 2 1让 ( 1 ) f 圾胎j 5 o ； ( 2 ) 一2 。 一2 t = 以m 屯s ，t z 2 ； ( 3 ) h k = 2 ； 定义m 。) = 2 h k e 。鼬，破，并假定 酬啪嘶，e ；c 1 + e - i ”) 您m 芦岫 其中 ( 4 ) f ( k ) l l k l o ； 女e z 2 ( 5 ) s u pf f ( k ) e 一鼬f 2 一，n z + ； u r 。k e z 2 定义 州u ) = ( 去) 盘m 0 ( 2 ) ，w 醒。 妒( z ) = 2 g k 妒( 2 x 一) ，ze 形 月z 2 r l 二维d a u b e c h i e s t j 、波 那么妒j ，k = 2 - j c p ( 2 - j x 一) 定义了一个多尺度分析；奶k = 2 1 t f f ( 2 - j z 女) 是相应的正交 小波基，只需让q o = m ，a = ( x i ，z 2 ) | 一1 2 x l 1 2 ；一1 2 。2 1 2 ，哺+ 1 = 2 h 聊l ( 2 x 一) ，从而得到抽一妒当f o 。时，= s p a n 妒( z 一) ，z 孵，k z 2 ) ， k z v k ) 是多尺度分析 为构造具有有限支集的规范正交小波基，我们假定序列 饥) 是有限的设h k o 当 n 2 + ，那么妒( 。) 和妒( 茹) 具有有限支集 上面我们已经由m o ) 出发构造出了二维d a u b e c h i e s 4 、波，但是此时m o ) 还未知， 为此下面构造二维共轭滤波器“o ) 假定只有有限个h 女o 且u = ( b ) 和( ：) 是m o ( u ) = 0 的n 重根，那么m o ( u ) 可以写成如 下形式 ， m 。( u ) = ；( 1 + e 一曲) ；( 1 + e b 。) 1 “q ( e 一w ) ( 1 2 2 0 ) 其中日( - ) 为实系数多项式 再由式( l 1 1 1 ) 得： l m o ( u ) f 2 + i m o ( w + 1 7 r ) 1 2 + f m o ( u + ( 6 ) 7 r ) 1 2 + i 付如( u + ( 2 ) - ) 1 2 一l 令掣l = c o s 2 ( 警) ，轨= c o s 2 ( 警) ，有： ，谚p ( ( 1 一y 1 ) ，( 1 一) ) + ( 1 一y 1 ) ( 1 一伽) 。p ( l ，y 2 ) + ( 1 一y 1 ) p ( y l ，( 1 一沈) ) + g y ( 1 一驰) v p ( ( 1 一驰) ，轨) = l 、 。 其中p ( s i n 2 ( 警) ，s i n 2 ( 警) ) = q ( e “) r 引理1 2 4设4 是一个正的仅含余弦的三角多项式， n a ( u ) = a t c o s k u c o s 女。此 h = 0 b = 0 那么存在一个双阶三角多项式 使得 将 日( u ) 1 2 = a ( u ) 0 b k r 栅一 e “ 。岫 | | u日 ，蜘 ，班 p 口 吖 ，儿r 瑚神 = 妇 代八方程( 1 2 2 1 ) 得： _ v 一1 v 1 ( j 州1 ) ( 。吉“) j 纠1 出2 ( 1 一y 1 ) ”( 1 一y 2 ) “+ ( 1 一y 1 ) 1 ( 1 一驰) 出口f j 1 = 0 j 2 = o + 矾1 ( 1 一y 2 ) j 2 ( 1 一y i ) 。v f ，+ ( 1 一玑) - 饽y ，n 1 一啦) | 现在如能证得上式等于1 ，则可得p 知( l ，驰) 是方程( 1 2 2 1 ) 的解 引理1 2 5 n n ， ( 1 ) ( n j + 。j 2 ) i 讲1 织2 ( 1 一v ) “( 1 一) 1 “+ ( 1 一1 ) t ( 1 一耽) 如，+ 1 + j l = o 如= o 。 + 鲥1 ( 1 一y 2 ) 血( 1 一1 ) n + i + 1 + ( 1 一可1 ) 瞻分，+ 1 ( 1 一轨) + 1i = 1 f 1 2 2 2 ) 于是得出 是方程( 1 1 2 2 1 ) 的解 事实上，对于给定的，p n ( y l ，耽) 是满足( 1 2 2 1 ) 的阶多项式，而对于一个满 足( 1 2 2 1 ) 的多项式p ( 1 ，y 2 ) = p j ，j 。衍1 卯，它的前项与既恒等，所以p ( l ，伽) 总 j l ，2 有如下形式： 代x ( i 2 e 1 ) ，则有 求解便有 p ( y i ，y 2 ) = p n ( y ：，y 2 ) + f 班n 冗( y 1 ，y 2 ) f 硝( 1 一1 ) “( 1 一她) ”r ( 1 y 1 ，1 一玑) + ( 1 一y 1 ) ( 1 钝) v 3 ，兄( 掣l ，轮) + ，( 1 一2 ) ”p ( 1 一”1 ) ”r ( i v l ，抛) + ( 1 一y 1 ) 。可；v ( 1 一址) 。v r ( 1 ，1 一妇) = o r ( 1 一y i ，1 一掣2 ) + r ( 叭，1 一驰) + r ( 1 y 2 ) + r ( y l ，1 一y 2 ) = 0 由此表明r ( - ，珈) 是以平面，= j 1 ，妇= ；的交线为反对称轴的多项式 聍 ，斩誉r h j nr ：i脚 | | 蚴 螬妒r m 郴 ，圻 町 一nr 脚 = 1 3 二维小波函数的计算 对小波函数舻和尺度函数妒的计算要从着手下面我们不失一般性的取= 3 ，则 不妨设 22 q 。( e 。) 2 = ( 2 掬( 2 如 = o j = o 由于q 。( ) 为实系数多项式，那么有 由此得到方程组 s i 一s i ( 警) i q 3e 山) 1 2 = q 3 ( e 。1 。) q a ( e ”) q 3 。+ 靠1 + q + g 。+ q i l 十q 扎+ 酲o + q 2 1 + q 毳= 譬 蚰。口0 l + 驰1 驰2 + 口1 0 口1 l + q 1 1 q 1 2 + q 2 0 q 2 1 + q 2 l 口2 2 = 一番 卯0 9 0 2 + q l o q a 2 + q 2 0 q 2 2 = 盏 q o o g l l + q o l q l 2 + q x o q 2 14 - q l l q n2 舞 q o o q l 2 + q l o q 2 2 = 一装 蛳9 2 2 = 去 q o l 9 1 0 + q 0 2 q 1 1 + g l l 啦o + q 1 2 q 2 1 = 舞 知l 叮2 0 + q 0 2 q 2 1 = 一器 q 0 2 q l o + q 1 2 q 2 0 = 一蕊 q 0 2 q 2 0 = 去 求解得到： 缅o ：o 1 8 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 ，q 0 1 = 0 , 0 8 4 5 0 0 5 4 2 6 5 8 9 9 9 1 6 ，铷20 0 1 3 5 9 4 0 4 4 7 2 3 7 1 5 6 t 5 ， 9 1 0 ：一1 1 6 5 4 9 9 4 5 7 3 4 1 0 1 1 3 ，9 1 1 = 0 5 2 5 2 5 5 1 2 8 6 0 8 4 1 5 5 ， q n2 0 0 8 4 5 0 0 5 4 2 6 5 8 9 8 8 5 7 啦o ：2 5 8 6 1 5 0 8 2 6 6 6 7 8 8 2 5 ，q 2 l = 一1 1 6 5 4 9 9 4 5 7 3 4 1 0 1 1 3 ，q 2 2 。o 1 8 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 7 那蛐u 。篡协勘扣。惟骞q i j e * e ：i 酬= 阻+ e 一，如e 2 ， 。陲善 哪u 触 ：l = ，q l ! 三些2 1 1 1 ：皇! 譬j ：垫 又由( 1 1 9 ) 式，对比系数便得到： b o o = 00 0 5 8 5 9 3 8 h 0 3 = - f 1 0 1 1 0 7 8 8 1 0 9 h l o = - 00 1 8 8 4 3 7 ， h l a = o0 0 2 5 3 4 5 6 ， b o = - 0 0 1 0 8 7 0 2 ， h 2 3 = 00 0 1 4 6 2 0 9 h 3 0 = 0 1 3 9 0 4 5 h 3 3 = - 0 0 1 8 7 0 2 2 h 4 0 = 0 , 2 0 6 0 3 h 4 3 = - 0 0 2 7 7 1 1 8 h 5 0 = 0 0 8 0 8 1 7 2 5 3 = - 00 1 0 8 7 0 2 ， h o t = 00 1 4 9 3 5 0 4 = - 0 0 t 7 1 3 6 6 2 h i l = - o ( 1 4 8 0 3 8 9 h l a = 0 0 0 4 3 9 3 7 h 2 1 ；- 0 1 2 7 7 1 1 8 2 4 = 0 ( 1 0 2 5 3 4 5 6 ， 3 l = 03 5 4 4 7 3 ， h 3 4 = - 00 3 2 4 2 0 5 h 4 1 = 05 2 5 2 3 8 h 4 4 = - 0 0 4 8 0 3 8 9 b l = 02 0 6 1 ) 3 ， b 4 = - 0 0 1 8 8 4 3 7 h 0 2 = 0 0 1 0 0 8 1 ， h 0 5 = o 0 0 0 4 2 4 8 1 4 h 1 2 = 一0 0 3 2 4 2 0 5 ha s = - 0 0 0 1 3 6 6 2 2 7 = - 0 0 1 8 7 0 2 2 2 5 = - 0 0 0 1 1 7 8 8 1 0 9 3 2 = 0 2 3 9 2 2 7 b 5 = 0 0 1 0 t ) 8 1 ， h 4 2 = 0 3 5 4 4 7 3 h 5 = 0 0 1 4 9 3 7 5 5 7 = 0 1 3 9 0 4 5 ， h s s = 0 0 0 $ 8 5 9 , 3 8 这里得n t h 当k 1 5 ，七l 5 ，l 1 m 0 ，n 2 5 i 5 ，j o 时都为o ，所咀妒( 嚣，) 的支集为【o ，5 】x 【0 ，5 1 再由两尺度关系( 1 1 6 ) 自 齐次方程组如下： 妒( 1 ，1 ) = h n 妒( 1 ，1 ) + h l o 妒( 1 ，2 ) + h m 妒( 2 ，1 ) + h o oc # ( 2 ，2 ) ；妒( 1 ，2 ) = 1 3 妒( 1 ，1 ) + h 1 2 妒( 1 ，2 ) + h n 妒( 1 ，3 ) + h l o l p ( 1 ，4 ) + h 0 3 l p ( 2 ，1 ) + h 0 2c p ( 2 ，2 ) + h o l p ( 2 ，3 ) + h o o 妒( 2 ，4 ) v o ，3 ) = h i s ( p ( 1 ，1 ) + h l a p ( 1 ，2 ) + h 1 3 o ( 1 ，3 ) + h 1 2 p ( 1 ，4 ) + h o s 妒( 2 ，1 ) + h 0 4 妒( 2 ，2 ) + h o s t o ( 2 ，3 ) + 妒( 2 ，4 ) 妒( 1 ，4 ) = h i s s ( 1 ，3 ) + h 1 4 o ( 1 ，4 ) 十h o s p ( 2 ，3 ) + h 0 4 l p ( 2 ，4 ) ；妒( 2 ，1 ) = h 3 1 l p ( 1 ，1 ) + h 3 0 v ( 1 ，2 ) + h 2 1c f l ( 2 ，1 ) + h 2 0 f a ( 2 ，2 ) + l l 妒( 3 ，1 ) + h l o 妒( 3 ，2 ) + h o l 妒( 4 ，1 ) + h o o 妒( 4 ，2 ) l p ( 2 ，2 ) = h a 3 l p ( 1 ，1 ) + h 3 2 o ( 1 ，2 ) + h 3 1 l p ( 1 ，3 ) + h a o 妒( 1 ，4 ) + h u a 妒( 2 ，1 ) + h 2 2c p ( 2 ，2 ) + h 2 1 t o ( 2 ，3 ) + 2 0 妒( 2 ，4 ) + h t 3c p ( 3 ，1 ) + h 1 2 妒( 3 ，2 ) + h nc p ( 3 ，3 ) + h l o p ( 3 ，4 ) + h 0 3 妒( 4 ，1 ) + h 0 2 妒( 4 ，2 ) + h 0 1 l p ( 4 ，3 ) + ，啪妒( 4 ，4 ) 妒( 2 ，3 ) = 妒( 1 ，1 ) + h 3 4 妒( 1 ，2 ) + 3 3 _ p ( 1 ，3 ) + h 3 蝉( 4 ，4 ) + h u s 妒( 2 ，1 ) + h 2 4 p ( 2 ，2 ) + 2 3 妒( 2 ，3 ) + 2 2 妒( 2 ，4 ) + 1 5 p ( 3 ，1 ) + h 1 4 妒( 3 ，2 ) + 1 3 妒( 3 ，3 ) + h 1 2 5 0 ( 3 ，4 ) + h 0 5 妒( 4 ，1 ) + h 0 4 妒( 4 ，2 ) + h o a a ( 4 ，3 ) + 妒( 4 ，4 ) 女妒( 2 ，4 ) = h 3 5 9 ，( 1 ，3 ) + h 3 4 ( p ( 1 ，4 ) + h 2 5 ( p ( 2 ，3 ) + 2 4 妒( 2 ，4 ) j 妒。，。，：h 5 1 + 妒6 ( 1 1 ；嚣：3 h s o 十g “( 1 1 ：舅2 ：4 h 4 + 1 。f l “( 2 。；嚣：3 h 4 0 + t p “( 2 孑牙2 4 ，4 ( ，。z a ) 妒( 3 ，1 ) = ，1 ) 十，) +，1 ) +，) ”一。 + h 3 1 l p ( 3 ，1 ) + h 3 0 c p ( 3 ，2 ) + h 2 1 妒( 4 ，3 ) + h 2 0 a ( 4 ，2 ) 妒( 3 ，2 ) = h 5 3 轳( 1 ，1 ) 十h 5 2 妒( 1 ，2 ) + h 5 坤( 1 ，3 ) 十h s o f p ( 1 ，4 ) + h 4 3 _ p ( 2 ，1 ) 十h 4 2 妒( 2 ，2 ) + h 4 坤( 2 ，3 ) + h 4 0 p ( 2 ，4 ) + h 3 3 p ( 3 ，1 ) + 3 2 妒( 3 ，2 ) + h m ( p ( 3 ，3 ) + h 3 0 ( p ( 3 ，4 ) + h 2 3 妒( 4 ，1 ) + h 2 2 妒( 4 ，2 ) + 2 l 妒( 4 ，3 ) + h 2 0 妒( 4 ，4 ) 女l p ( 3 ，3 ) = 蚝5 妒( 1 ，1 ) + w l p ( i ，2 ) + 5 3 妒( 1 ，3 ) + 5 2 妒( 1 ，4 ) + h 4 5 妒( 2 ，1 ) 十h a a s ( 2 ，2 ) + h 4 3 妒( 2 ，3 ) + h 4 2 妒( 2 ，4 ) + h 3 5 妒( 3 ，1 ) + h a 4 ( p ( 3 ，2 ) + h 3 3 _ ，a ( 3 ，3 ) + h 3 2c p ( 3 ，4 ) + h 2 5 妒( 4 ，1 ) + h 2 4 妒( 4 ，2 ) + h 2 3 p ( 4 ，3 ) + h u 2 驴( 4 ，4 ) 2 。、3 ，4 ) = h 5 5 妒( 1 ，3 ) + h 5 4 妒( 1 ，4 ) + h 4 5 p ( 2 ，3 ) 十v ( 2 ，4 ) + h 3 5 _ p ( 3 ，3 ) + h 3 4 c p ( 3 ，4 ) + h 2 s t p ( 4 ，3 ) + h a ( 4 ，4 ) 妒( 4 ，1 ) = h s l1 a ( 3 ，1 ) + h s o l ，。( 3 ，2 ) + h 4 1 ( p ( 4 ，3 ) + h a o 妒( 4 ，2 ) 妒( 4 ，2 ) = h 5 3 妒( 3 ，1 ) + h s 督p ( 3 ，2 ) + h s l 妒( 3 ，3 ) + 5 0 妒( 3 ，4 ) + h 4 3 p ( 4 ，1 ) + h 4 2 s # ( 4 ，2 ) + h 4 1 v ( 4 ，3 ) + h 4 0 妒( 4 ，4 ) 妒( 4 ，3 ) = h 5 5 ( 3 ，1 ) + h 5 4 l ，a ( 3 ，2 ) + h 5 3 妒( 3 ，3 ) + h s 2c p ( 3 ，4 ) + h 4 5 o ( 4 ，1 ) + h 4 4 垆( 4 ，2 ) + h 4 3 v ( 4 ，3 ) + h 4 2 ( f l ( 4 ，4 ) 妒( 4 ，4 ) = h 5 5 妒( 3 ，3 ) + h 5 4 妒( 3 ，4 ) + h 4 5 妒( 4 ，3 ) + h 4 4 妒( 4 ，4 ) 1 二维d a u b e c h i e s j , 波 与文 2 4 】中一维情形类似，由于次多项式可表示为妒扛一i ，y j ) 的线性组合，故 1 = 妒( 茁一t ，y - j ) t = 一j 2 一o o 其中 厂+ ，+ 。 = ( ( z 一 ，y j ) ，1 ) = 妒扛一i ，一j ) d x d y = l j 一j 一。 特别地对( 0 ，0 ) 点成立，有： 妒( ，j ) = 1 m j = 一。 由于妒( 。，) 的支集为f o ，5 f 0 ，5 j ，故得到： v ( 1 ，1 ) + v ( 1 ，2 ) + 妒( 1 ，3 ) + 妒( 1 ，4 ) + 妒( 2 ，1 ) + v ( 2 ，2 ) + 妒( 2 ，3 ) + 妒( 2 ，4 ) + 妒( 3 ，1 ) + 妒( 3 ，2 ) + 妒( 3 ，3 ) + 妒( 3 ，4 ) + + 妒( 4 ，1 ) + 妒( 4 ，2 ) + 妒( 4 ，3 ) + 妒( 4 ，4 ) = l 齐次方程组( 1 3 2 4 ) 解不唯一且存在零解，联立上式便可得到唯一非零解，即妒们在 整数节点处的值 然后由两尺度关系( 1 1 6 ) 得到二分网椿点( f 2 ，j 2 ) 的值，依此类推便可以得到网 格 ( 。1 ，如) i 工1 t x 2 a ) 上的_ p ( 。，可) 值，其中 = 南2 t m m z ，k = 0 ，l ，2 村) 对于 小波函数砂0 ，f ) 利用( 1 1 1 4 ) 同样可以得到 图1 3 1 尺度函数妒( ，y ) 和小波函数砂( z ，) 1 二维d a u b e c t f i e s , 波 由于d a u b e c h i e 8 小波函数及其尺度函数是用数值表示，这给导数计算带来了很大不 利类似文 2 4 j 中一维的做法，从两尺度关系出发，对式( 1 1 6 ) 两边微分如下( a + 卢 3 ) ： 为c 知训= 骞乒，茹川，z ， m 。s ， 由于妒( 。，掣) 的支集为f 0 ，5 】f o ，5 j ，故5 ；品 ( 。，彩) 的支集也为f o ，5 】x 0 ，5 】，类 似( 1 3 2 4 ) 可以得到齐次方程组如下： ( 1 3 2 6 ) 由于不高于次的多项式可以由尺度函数表出故 + o ：+ 。 护矿= 妒扛- 2 ，v 一，j ( i3 2 7 ) 一。j = 一 = = = = ：一 ! ：= ! ： ! ：! ：! ：。：三苎些尘姜些! ! ：垡 其中g ，为： = ( 矿y 4 ，妒( 。一i ，y j ) ) 。+ 。8 厂+ 。妒( x - i , y - j ) d z d = 厂+ 。厂+ 。( z + i ) 。( g + j ) 芦妒( z ，”) d z d y 2 zz ( 时 ) a 出，y ) d z d y 2 z 上r 萎( 口) 尹”帅劫捌v 一( ：) ( g ) i “- j 舢( z “旷，妒( 砌) ) = ( ：) ( g ) r 一尹”a ， i t = 0p = 0 其中a 。为 ，= ( 口”，妒( z ，) ) 一$ “旷，h i j l ，o ( 2 z 一 ，2 y j ) ) = 壹壹 ( 咖_ 7 _ 7 x u y u p 2 x - i , 2 y - j ) d 2 骞喜e e ；c 等h 字黼m 蛐 = 妻室 ： 壹( 篇) 壹( 跏扩妒( 砌灿曲i= 1j = j 2 - u 、u - 2 h i j o 一。 + 一o o i t s - t o x i n m = o n = 0 w 一“c e 咖似训曲 + 壹z 一一厂“厂+ c o 壹( 黝咖( 训) 捌， + 妻 1 0 2 一一厂”厂旷壹( 拶飞吲砌) 捌， = 2 - , - u - 2 h u ( 篇) ( ：) i u - m 广n 4 。 ：。：一：= ：一= ：一：! ：一：墼：丝些型些 所以 ， + 2 一”2 h 巧( ：) 广“。 i = 0j = ln = o 55 p - l + 2 - t , - v - 2 h “( 篇) 扩”以。 左右两边同时对式( 1 3 2 7 ) 两边关于z 求。阶偏导关于求跚偏导有： ：= ：=俨+ 口 a = 南妒( x - i , y - j ) 不妨上式取z ：5 ，：5 便有一。 d肚妻塞茹妒(5-i,5-ji=o ) j = 0 f 与前面类似，联立齐次方程组( 1 3 2 6 ) 便计算出尺度函数整数节点处的导数值同样可以 计算出网格“嚣1 ，茹2 ) f 1 ，嚣2 4 ，上尺度函数和小波函数的导数值，其中a ：伽2 - m ，m z ，女= 0 ，1 ，2 ” 图1 3 2v ( z ，) 一阶偏导数 nk 呻 丫 扩 一r h 一 。皿 。汹 ， 、吖 k m 扩 黝一u pp r 1 i 脚。伽 。：l + n 以 广黔一盯 卜p r 脚 。触 。瑚 + l 二维d a u b e c h i e s t j 、渡 ( 8 ) 妒生( z ，y ) 图1 3 3 妒( z ，们二阶偏导数 i 8 ( b ) 讪品( z ，) 52 薄板弯曲问题的小波有限元法 小波分析在微分方程数值解方面的应用已经有很多了，如j c i n l 采用样条小波应用于 壳问题但是在二维问题，大多类似文i n 采用张量积形式，绘计算带来了诸多不便本 部分