（基础数学专业论文）一类偏积分微分方程的数值计算.pdf

高校教师在职硕士学位论文 0 1 中文摘要 在记忆材料的热传导、多孔粘弹性介质的压缩、原子反应、动 力学等问题中，常常碰到抛物型偏积分微分方程，对于该方程的数值 求解，国外的v t h o m e e ( 1 、2 、8 、1 1 、1 2 、1 4 ) ，w m c l e a n ( 2 、 8 、1 4 ) ，c h l u b i c h ( 1 5 、1 6 ) ，l w a h l b i n ( 1 ) ，s a n z - s e r n a ( 3 ) ，e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e r ( 5 ) ，国内的陈传淼( 1 ) 、 黄元清( i 0 ) 、徐大( 1 7 、1 8 ) 等做了大量的研究，他们采用了 有限元方法、谱配置方法及样条配置方法，但用六点隐格、拉普拉斯 变换数值逆、l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散却很少涉及 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程时间、空间全 离散格式，采用六点隐格式和拉普拉斯变换数值逆离散等方法进行数 值计算，主要结果如下： ( 1 ) 给出偏积分微分方程空间x 方向用六点隐格式离散，时间t 方向用拉普拉斯变换数值逆离散的全离散格式，并进行数值计算。 ( 2 ) 给出偏积分微分方程空间x 方向用六点隐格式离散，时间t 方向用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散的全离散格式，并进行数 值计算 ( 3 ) 给出常微分方程用l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆离散的全 离散格式，并进行数值计算 以上几种方法计算结果精度较高，并且计算也比较简便 式 关键词：偏积分微分方程；拉普拉斯变换；数值逆；六点隐格 兰苎墨鍪! ! 童坚篓主兰竺兰兰 0 2a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e n o c c u r si na p p l i c a t i o ns u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t h m e m o r y ，c o m r e s s i o no fp o r o v i s c o e l a s t i cm e d i a ，n u c l e a rr e a c t o r d y n a m i c s ，e c t t h e r e sa r el o t so fd o c u m e n t so fv t h o m e e ( 1 、 2 、8 、1 1 、1 2 、1 4 ) ，w m c l e a n ( 2 、8 、1 4 ) ，c h l u b i c h ( 1 5 、 1 6 ) ，l 。w a h l b i n ( 1 ) ，s a n z - s e r n a ( 3 ) ，e g y a n i k 。g ，f a i r w e a - t h e r ( 5 ) i no v e r s e a sa n dc h u a n m i a oc h e n ( 1 ) 、y u a n q i n g h u a n g ( 1 0 ) ，d a - x u ( 1 7 、1 8 ) i nh o m e al o to ft h e mu s e f e m ：s p e c t r a lc o ll o c a ti o nm e t h o d s ：s p li n ec o ll o c a ti o nm e t h o d s b u tf e wo ft h e mu s es i x - p o i n ti m p li c i ts c h e m e 、n u m e r i c a l i n v e r s i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r m 、n u m e r i c a li n v e r s i o nf o r t h el a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c h w es t u d yap a r ti a li n t e g r o d i f f e r e n ti a le q u a ti o n so fp a r a - b o l i ct y p ew i t haw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ，w h i c hu s es i x p o i n t i m p l i c i ts c h e m ea n dn u m e r i c a li n v e r s i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mf u l l yd i s c r e t ei nt i m ea n ds p a c ef o rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，m a i nr e s u l t sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v eak i n do ff u l l yd i s c r e t es c h e m eo fap a r t i a l i n t e g r o 。d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hu s es i x p o i n ti m p l i c i t s c h e m ei nt h ed i r e c t i o no fs p a c exa n dn u m e r i c a li n v e r s i o nf o r t h el a p l a c et r a n s f o r mi nt h ed i r e c t i o no ft i m etf o rn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n ( 2 ) g i v eak i n do ff u l l yd i s c r e t es c h e m eo fap a r t i a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hu s es i x p o i n ti m p l i c i t s c h e m ei nt h ed i r e c t i o no fs p a c exa n dn u m e r i c a li n v e r s i o nf o r t h el a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c hi nt h ed i r e c t i o no ft i m etf o r 耋篓鍪錾堡璺堡圭兰竺竺兰 坚 n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ( 3 ) g i v eak i n do ff u l l yd i s c r e t es c h e m ef o rc o n s t a n t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hu s en u m e r i c a li n v e r s i o nf o rt h e l a p l a c et r a n s f o r mo fl u b i c hf o rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n c a l c u l a t i n gr e s u l to fs o m em e t h o d si sa c c u r a t l yh i g h e r ， a n dc a l c u l a t ei ss i m p l e ra l s o k e yw o r d s ：p a r t i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：l a p l a c e t r a n s f o r m ；n u m e r i c a li n v e r s i o ms i x p o i n ti m p l i c i ts c h e m e 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的蔗律结暴由本人承担。 学位论文作者签名：锏l j 毒捡弘年l2 月1 ) 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完金了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 、r( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：繁葫j 询日期：p r 年( 2 月1 。日 导师签名：巧孩 蝴：护石年瑚。圳“ 一类偏积分徽分方程的数值计算 第一章序言 在工程、物理、生物、控制等许多领域的问题常常由偏微分方程 来描述但是在很多情况下，仅仅一个微分方程并不能精确的描述这 个物理系统，因为一个微分方程只能描述一个系统在某一固定时刻的 状况，它不能反应过去的效果积累；特别是在热传导、原子反应、动 力学和热电理论中，它们常常需要反映这个系统中的“记忆”功效， 这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个积分项，从而得到偏积 分微分方程 我们将研究下面这类线性偏积分微分方程 甜，( 毛f ) 一s o p ( t 一力。( z ，j ) 凼= ( 而f ) ( 1 1 ) ( 其中核钟) = ，训2 畦) ，在，= o 点是奇异的) o x a l ，o s t r 满足如下边界条件： u ( o ，f ) = ( 1 ，f ) = 0 0 s ， = 8 一矿4 ，o 口 0 及c 0 ，使得 i f ( t ) l - m e a , o c t c 上绝对收 敛而且一致收敛，并且在r e ( s ) c半平面内，( d 为解析函数 性质1 ( 线性性质) 若口，是常数， 舻m p ) 】= 访o ) ，矽瞒( f ) 】= 杰( d 则有 槲( r ) + j 既o ) 】= a 砌( t ) + f i g , i f 2 ( f ) 】 p 一【口疤( s ) + 肱( 踟= 口p 1 m ( 瑚+ 卢p - 1 【九( 期 性质2 ( 微分性质) 若 舻( r ) 】= 则有 彬( f ) 】_ s o ( s ) - 厂( o ) 推论：若 彬( r ) 】= 烈j ) 则有 i ，【，”o ) 】= s 4 妒( j ) 一s “一厂( 0 ) 一s “4 f ( 0 ) 一a - f ”( o ) ( r e ( s ) c ) 特别，当初值八o ) = 厂( o ) = a = 厂”( o ) = 0 时，有 则 科，( f ) 】= 5 ，昭) ，钭，。( f ) 】= j 2 ( j ) a ，烈”( ，) 】= j “，始) 性质3 ( 积分性质) 若 科，( ，) 】= ( j ) 科f ：，( f 弦】；三妒( 。) 州。，( f 瑚2 主 性质4 ( 位移性质) 若 d ，( f ) 】= 妒( j ) ， 则d p “f ( t ) l = o 一口) ( 颇j 一口) 力 性质5 ( 延迟性质) 若p u ( t ) l - - g ( s ) ，又， o 则 譬气加鲁p 删如 。 ( 2 2 ) 其中 ( s ) = 等 函数0 “n ! ) e - a t ”，j o , n o 在( o ) 上是概率密度函数，它的期望和 方差分别是( n + 1 ) l s ，( n + 1 ) s 2 当s = ( n + 1 ) l t ，它的期望和方差分别是 f 和t 2 协+ 1 ) 有下面定理： 定理2 l i i 】( w i d d e r ) 设函数f ( t ) 存在拉普拉斯变换( s ) ，s o ，f ( t ) 在t 点连续，在( o ，) 上有界，则 嬲半叫哗训 q 3 且当在任意的有限闭区间上f ( t ) 是连续时，一致收敛成立 证将勋，d 确疗定理应用于正函数序列上即得证 考虑变换 轳 = 学矿( 叫，导 ( 2 4 ) 则 正( f ) = f g 。( f ，) ， ) 幽 ( 2 5 ) 舭= 号筹 叼腔o ( 2 6 ) 将定理2 的条件减弱，可得 定理3 i l l l 设函数f ( t ) 存在拉普拉斯变换妒( s ) ，s c ，( f ) 在t 点 连续，g f ( t ) = o ( e “) ( t 斗m ) ：则溉厶( f ) = ，( f ) ，且当在任意的有限闭 区间上( f ) 是连续时，一致收敛成立 证明表达式( 2 6 ) 可以写为如下形式 删= 鼍笋p i ) ，v 椰f ( u ) d u ，在某些有限闭区间上取值，可适当选择m 使得 e - 扣，( 的= o o x u 专呦 于是可再利用k o r d , k i n 定理得出结论 定义( f ；力为近似误差 p ( ，；厂) = ，：( r ) 一，( ，) ：苎簦茎罂耋坚翌圭兰些竺三 文 1 1 中证明了 其中 气( ，；d * 叱矾( f ) + 华吮( ，) v 一+ 2 ( h + 1 ) 1 2 + 1 ) 2 ， 11 西2 鬲+ 2 ( n + 1 ) 2 竿22 “丽1 + 丽12 2 ( 疗+ 1 )8 m + 1 ) 2 8 = t 旦 d t 2 3l u b i c h 的拉普拉斯变换数值逆 给出网格t = o , h , 2 h ，a ，n h ，卷积 f * g = j ：o f ( s ) g ( t s ) a s ( r o ) 可以离散为 w j ( h ) g ( t - j h ) 缸一9 其中_ 被幂级数 f ( 艿g ) | i i ) = ( 游。 - o ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 给出，这里f 是，的拉普拉斯变换，万g ) = 善7 是生成线性多步 法多项式的商数根据罗朗定理有 w j ( h ) = 击f 剿纠蝣。蟛 ( 2 1 0 ) 一类偏积分微分方程的数值计算 其中r ，：蚓= d p o 的常数 设f ( 。) 在区域l a r g ( s c 7 1 - - 伊，缈 o 慨2 ， 【u ( x ，o ) 2 9 ( x ) ， x e r ( 其中a 0 ) 来进行讨论 假定偏微分方程初值问题的解u ( x ，f ) 是充分光滑的，由t a y l o r 级 数展开有 些丝业! 坠型：串x + d ( _ 1 1 ) ( 3 3 ) f o t 竖掣业= 尊m 孵) ( 3 4 ) 坐出掣：罡舅+ 0 ( a ) ( 3 5 ) 盘 坐型掣：罡】：+ d ( d ( 3 6 ) 坐业生型垫型：岸肛d ( 矛) ( 3 7 ) 2 2 。缸“ 。 亟丝等产业业= 岛i 3 x ：+ d ( 刀) ( 3 8 ) ” 其中 ：，表示括号内的函数在节点阮，1 ) 处取的值。利用表达式 ( 3 3 ) 和( 3 5 ) 有 堕掣+ 口盟掣= e + 口缸倒a + 一l讲c 鬈 如果“似f ) 是满足偏微分方程( 3 1 ) 的光滑解，则 芒+ 口罢e = o 雷+ 4 瓦】：- 0 由此可以看出，偏微分方程( 3 1 ) 在瓴，t ，) 处可以近似地用下面的方 秘桌代替 高校教师在职硕士学位论文 掣+ 口掣地n ：o ，1 越，a ，：0 , 1 , 2 ，a ( 3 9 ) 以 其中“：为u ( x 。，) 的近似值( 3 9 ) 式称作逼近微分方程( 3 i ) 的有限 差分方程可以把( 3 9 ) 式改写成便于计算的形式 = “：- - a t ( u j n + l 一材：) 其中，：皂称为网格比 差分方程( 3 9 ) 再加上初始条件的离散形式 “：= ，雄= o ，l ，2 ，人 ( 3 1 0 ) 就可以按时间逐层推进，算出各层的值差分方程( 3 9 ) 和初始条件的 离散形式( 3 1 0 ) 结合在一起构成了一个差分格式由第j 个时间层推 进到第j + 1 个时间层时，公式( 3 9 ) 提供了逐点直接计算：“的表达 式，因此称( 3 9 ) 式为显式格式，并且计算第j + l 层时只用到j 层的 数据，前后仅联系到两个时间层次，故又称( 3 9 ) 式为两层格式 用( 3 3 ) 式和( 3 7 ) ，可以得到逼近微分方程( 3 1 ) 的另一差分格 式 j + l - - 产t l j + 口鱼丝= o( 3 1 1 ) 2 1 甜一- - 。j 一譬k 。一味；) 其中r ：h ，称为网格比此格式也是两层格式，称( 3 1 1 ) 式为中心差 分格式，相应地差分方程( 3 9 ) 称为偏心差分格式 用同样的方法可以构造逼近扩散方程( 3 2 ) 的差分格式，利用( 3 3 ) 式和( 3 8 ) 式有 ! ! 墨：生! ! ! 二竺! 墨：尘! 一日竺! 墨：! ：尘! 二! 竺! 薹：生! 竺! 堡! ：尘! 一类偏积分微分方程的数值计算 = 【罢一口百0 2 u ”_ - ，o ( h + 名) 2 旨一口万1 一+ + ) 如果u 是( 3 2 ) 式的光滑解，即甜满足 加8 2 i , l 百副萨 的光滑函数，那么，扩散方程( 3 2 ) 可以用如下的差分方程来近似 型二型一口出二型亟：o h 行= 0 , - 5 ：1 , - + - 2 ，a ，_ ，= 0 , 1 ，2 ，a ( 3 1 2 ) 可以将( 3 1 2 ) 式写成便于计算的形式 “1 + 1 = 材：+ c w ( 0 l 一2 “：+ “0 i ) 其中= 告，亦称网格比( 3 1 2 ) 式也是二层显式格式，方程( 3 2 ) 的 初始条件可以离散为 “：= g 。， ，l = o ，1 ，a ( 3 1 3 ) 利用( 3 1 2 ) 式和( 3 1 3 ) 式可以依次计算出j = l ，2 ，a 各层上的值甜： 3 3 隐式差分格式 前面构造的差分格式都是显式的，即在时间层t 。上的每个可 以独立地根据在时间层f ，上的值“：得出，但并非都是如此。如果采用 堕巡h 型= 匮0 t ：删 li 和( 3 8 ) 式，则可以得到扩散方程( 3 2 ) 的另一个差分格式 生二型一4 丛二型型= ! ：0( 3 1 4 ) 高校教师在职硕士学位论文 也可以把( 3 1 4 ) 式写成下面等价形式 一q p “0 l + ( 1 + 2 a z ) u ：一q “厶；：川 其中声= 告为网格比由( 3 1 4 ) 式可以看出，在新时间层j 上f l & t3 个未知量甜，甜：，材厶，因此不能由卅。1 直接计算出甜：来。一般地，有限 差分格式在新时间层( j 或j + 1 ) 上包含有多于一个节点，这种有限 差分格式称为隐式格式有限差分格式( 3 1 4 ) 式称为隐式格式，大多 数隐式格式适合于求解微分方程的初边值问题或满足周期条件的初 值问题。 3 4 六点隐格式 东南大学孙志思教授在文l 1 3 j 研冗了一类燹系数抛物l 司题，采用 了一种六点隐格式，得出它的截断误差为o ( h 2 + 刀) ( 其中 为时间步 长，a 为空间步长) ，它明显要优于c r a n k n i c o l s o n 格式 取两个正整数l 和n ，用网格q 。q 剖分 0 ，1 0 ，t ，其中 q l = x 。i x = n 2 ，0 ，l 三，五= l l ，q = p i ，= j h ，0 s _ ，n ，h = t n 设 u = 卅i o s 一厶0 ，s ) 是q 。q 。中的一个网格函数。定义 卅州2 = 丢( 础+ 卅。) ，4 u ：。，2 = 去( w 一以4 ) ( ，= ( u ? + u l )坑m = 叫一雌x z 酬= 吉( 叱。一彬：+ ) p 刊= 一& s l - ，k i 粒u ，8 = ( 妻c 正雌1 1 2 ) 2 ) m 这种c r a n k n i c o l s o n 格式的截断误差为0 ( 2 + 2 ) 一类偏积分微分方程的数值计算 变系数抛物方程 r ( x ，t ) u r 一”。= f ( x ，f ) 0 x 1 , 0 sr t u ( x ，0 = 烈x ) ) 0 x 1 u ( o ，f ) = u o ，f ) = 00 t s t 在文 1 3 中用六点隐格式离散为 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 吉嘣”8 u j q 2 + 2 1 0 8 , u ：- + r j 2 ”b r n - ，l ，2 ) 一2 町j l ，2 2 西1 v - ，j - 。l 2 + l o - 1 1 2 + f j 写”) 1 疗s 三一l ，1 s _ ，s ( 3 1 8 ) u ：= 烈) 1 n l - 1 ( 3 1 9 ) u o = ( ，2 = 0o j n( 3 2 0 ) 其中。1 ，2 = r 也，。， - 1 1 2 = 旭，。) ，t j _ 1 1 2 = ( j 一争 下面证明它的截断误差为o ( h 2 + ) 设 1 ，= 由( 3 1 5 ) 得 定义网格函数 从泰勒公式可得 v = r ( x ，t ) u 。- f ( x ，) = 甜o ，t ，) ，= v ( ，t j ) 甜：= “矗 + 鲁一瓴，1 ) + 刍叫x n , t j ) + d ( 力) = + 静阮”+ 丢纵，t j ) + d ( ) = + 1 1 2 删- ，一鲁_ ( ) + 0 ( ) ) + 丢州矗，t i ) + ( 3 2 1 ) 兰 苎笙茎2 耋里堡圭兰竺兰兰 = 击雠l + l 州叫+ i ) 一盖“x n , t j ) + d ( ) 平均上面带有上标k 和k - 1 的等式，然后由( 3 2 1 ) 式我们可得 甜2 = 伊| - , - i ，2 + l 叫2 叫j 掌- 12 ) 一嘉吣( h , t j - l t 2 ) + o ( 确】+ d ( ) = 壶 v ( x n - i ， j - 1 1 2 ) + l o v ( x , t s - m ) + “，2 ) + 等维i ，2 + l o ( 叫2 地v l j - ! ，2 】+ o ( 一嘉陆 “，i2 + 1 0 ，2 ) 心硝心+ 删) + d ( n 卜( ) = 老 【临“2 虬 - i , t s - ，l = ) 一f a t - , 1 + l o i r ；- = u , ( x n , t s - 1 1 2 ) 一。”1 + 【，搿”“，瓴+ l t j - l ，2 ) 一篮“2 】) + 譬击【帆) 2 ”+ 1 0 ( v 圳2 + ( ) g l ”】 一丢苫击【 一) 爿n + l o ( “，) ”+ ，) 嚣n j + “| j 1 4 + | 1 1 2 + ) = 去嘣7 2 4 i - i ，2 一站”2 ) + l o ( r 州2 4 甜一2 ) + ( 删7 2 4 j - i ，2 一饼7 2 ) 】 + 2 4 h al l _ 2 _ r j - t ，2 ( m ) s - i z + 1 0 ( “苈m + 删7 2 ( 雄成：，2 】 + 虿h 2 _ 1 1 w 。sl ，2 + l o “) 7 2 + ( v 。) 曩7 2 】 函oi - 1 2 ( u ，) 2 7 2 + l o ( ”，) 7 2 + 。，) ：7 2 】+ 口( h 4 + h 2 + ) 另外 量f ) = 五丽1 再1 7 吩似f ) 一再1 1 7 2 l 瓦1m ，d 列) + 丢如，) 1 = 耋堡望坌堡2 空堡塑蝥堡生兰 旦 矿“2 = ( j i l 2 + ) 击o 。j - l 2 + 1 0 7 - t 2 + $ 。j 。- i ”) + o ( h 4 + 2 + 岔) 我们有 击( 花玩m j - i 2 + l o r - m 4 甜7 2 + 垅m 最j - i ，2 ) 一甜2 = i l z - - i 2 + l o f - 1 2 + 粥) + r 2 ，l 玎一1 1 _ ，s 显然p 2 是差分格式( 3 1 8 ) 的截断误差。如果解u ( x ，f ) 是光滑的，存 在一个常数q 使得 k j - 1 1 2 is q ( _ 1 1 2 + ) 第四章拉普拉斯变换数值逆在偏微分方程中的应用 本章给出一种求线性偏积分微分方程 “卅i 等藉筹嘶渺= 嵩( i n 瓜一如2 妒2 础2 咖2 印1 1 ) u ( o ，f ) = u ( 1 ，f ) = 0 0 f t( 4 1 2 ) u ( x ，o ) = s i n 7 0 r o s 工1 ( 4 。1 3 ) 数值解的方法，空间x 方向采用孙志忠教授在文 1 3 中的六点隐 格式离散，时间t 方向采用拉普拉斯变换数值逆，得出数值解的 精度较高，计算也比较简便 4 1x 方向用六点隐格式半离散 取工为正整数，在 o l 】上引进等距节点o = s 而s a 茎屯= l ，记步 长互= 毛一t - l o ) u ( x 。，f ) ( i l l ，2 ，a ，一1 ) 则方程( 4 1 ) 的半离散格 式为 西l 面d ) + l 啪h l ( r ) j 一赢面f ( f _ 扩【业生学塑 i + l o i l k ) 2 2 i 五面1 五【万2 s 啦一1 ) a ，+ l 昕2s i i i 现万+ 万2s 啦+ d 丑万一咖雄一1 ) 舫 一1 0 s i n 2 f 砌一s i n 2 ( i + 1 ) 砌】 t i t 24 - ( f i 1 ) 】 一西 c 2 【s m , 2 ( f 1 ) , a n + 1 0 咖2 i 2 ，r + 如2 ( f + 1 ) a 疗】i t 2 + ( f p 1 2 】 = “( r ) = 0 0 s t 1 “( 0 ) = s i n i a ，r i = 1 , 2 ，a ，工 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 4 2t 方向取拉普拉斯变换数值逆的全离散格式 记辑 f ) 的拉氏变换为谚( d ，即秭q ) = p ，弦一d t 方程( 4 2 ) 对f 取拉 氏夏抉，得。 西1 k 以一+ 1 0 s 以+ s “( 力一甜一一( o ) 一l ( o ) 一甜一( o ) 】 一三磊阪t 一磁( s ) 十扎( ，) + 8 - # i k “( s ) _ 2 e - s i k 办( s ) + e - s t k 扎( 州 = 赤( 1 + 1 8 - i l k ) 吣啦一l 坳“噼2 s 觚7 1 + 刀- 2s 硼“坳 一s i n 2 ( i - 1 ) 2 # - 1 0 s i n 2 m 1 r - s i n 2 ( i + 1 ) 2 x 】 一事( 1 【s i n 2 ( ) l , t r + l o s i n 2 现肘咖2 ( 川) 刎 ( 4 3 ) 磊( d = 九( 曲= o i = l ，2 ，a ，l - 1 ( 4 4 ) 方程( 4 3 ) 化简得 ( 1 一砉s 一砉s e ) “( s ) + ( 1 0 + 箬s + 导s e ) 办( 曲 + ( 1 一吾j 嘿一吾j 嘭口哌) 丸。( d = 昙j 嘭( 1 + p ) 防2s i n q 一班疗+ l 叻2s i n i 2 ，r + 石s i n q + 1 ) 加 一s i n 2 ( i 1 ) 幼一l o s i n 2 f a 万一s i n 2 ( j + 1 ) 五7 r 】 一等( 1 陋2 ) 2 ，r + l o 咖2 现u + s i n 2 ) 矧 三2 苎簦茎翌垒里翌圭：垒兰三 令 + ! 垫垡= 1 2 墨! ! 壁! 垫i ! ! ! 型! 1 2 墨! j ( 4 5 ) 口= l 一嘉s 嘿一万6s e d = 1 。+ 署s 嘭+ 万1 2 s e 6 = 三j 嘿o + 口) 协2 s 螂一d a 万+ 1 沏2 如现，+ 矿s i 嘶+ 1 ) a 石 一s i n 2 ( i 1 ) a 石一1 0 s i n 2 ；d r - s i n 2 ( i + 1 ) 旯石】 一兰三二( 1 + p 一，) 【s i n 2 0 1 ) 加+ 1 0 s i n 2 i 2 , 石+ s i n 2 ( i + 1 ) a 石】 j + ! 堡呸! 二! ! 墨至! q 墅璺! ! 兰! 丛! ! ! 丝 当f = 1 , 2 。a 。l - l ，则方程组 da0a00 、 口d 口a00l 0 口da00l mmmam 枷 000ad 口f 000a 口dj 成立，从而可解出氟( s ) ，办( j ) ，a ，九一。( s ) 矾( s ) 办( j ) 九( s ) m 九一2 ( s ) 丸一。o ) b l b 2 也 m b l 一2 钆一l 由定理l 得以) * ( - 1 r y 1 彩”4 蟛( f - l ，2 ，a ，工一l ，j = 1 , 2 , a , n ) 方程( 4 1 ) 的解析解是“( 彬) = s i i l 肛一筹s i n 2 肛 首先仅考虑求点“咕，1 ) 的数值解和误差：“咕，1 ) “与 1 哆( s m ，刊， 而甜专，1 ) 的精确解是o 2 1 4 6 利用m a t h e m a t i c a 软件编程，计算结果见表4 - i 一共偏积分微分方程的数值计算 表4 1 ：材专 1 ) 的数值解和误差 nl = 3 误差 l = 6 误差 l = 9 误差 l = 1 2 误差 l0 0 3 3 70 1 8 0 90 0 9 7 0o 1 1 7 60 0 9 9 90 1 1 4 70 1 0 0 40 1 1 4 2 20 0 7 3 7o 1 4 0 9o 1 3 5 50 0 7 9 1 o 1 3 6 2 0 0 8 2 0 o 1 3 6 60 0 7 8 0 30 0 9 4 4o 1 2 0 2o 1 5 2 30 0 6 2 30 1 5 5 00 0 5 9 60 1 5 5 40 0 5 9 2 40 1 0 7 0o 1 0 7 6 o 1 6 3 80 0 5 0 8o 1 6 6 40 0 4 8 20 1 6 6 90 0 4 7 7 5o 。1 1 5 5o 0 9 9 lo 。1 7 1 60 0 4 3 0o 1 7 4 20 0 4 0 4o 1 7 4 60 。0 4 0 0 60 1 2 1 60 0 9 3 0o 1 7 7 20 0 3 7 4 o 1 7 9 70 0 3 4 90 1 8 0 20 0 3 4 4 7 0 1 2 6 20 0 8 8 40 1 8 1 40 0 3 3 20 1 8 4 00 0 3 0 6 0 1 8 4 40 0 3 0 2 80 1 2 9 80 0 8 4 8 o 1 8 4 70 0 2 9 90 1 8 7 20 0 2 7 4o 1 8 7 70 0 2 6 9 90 1 3 2 70 0 8 1 90 1 8 7 40 0 2 7 2 0 1 8 9 90 0 2 4 70 1 9 0 30 0 2 4 3 1 00 1 3 5 10 0 7 9 50 1 8 9 50 0 2 5 l0 1 9 2 00 0 2 2 6 0 1 9 2 4 0 0 2 2 2 1 10 1 3 5 60 0 7 9 0 0 1 9 1 40 0 2 3 20 1 9 3 80 0 2 0 80 1 9 4 10 0 2 0 5 下面是当= l o 时，点u ( o 1 ，t ) 的精确值、数值解和误差： m 咖譬讹d i ，哗 表4 - 2 ：t l ( 0 1 ，t ) 的精确值 i t l 0 20 40 6o 81 02 o3 04 0 u ( o 1 ，t ) l0 2 6 9 5 0 1 9 7 2 0 1 0 3 50 0 0 7 4一o 1 3 3 lo 9 4 1 6- 0 1 9 8 8 53 2 2 8 3 表4 3 ：u ( o ，l ，o 的数值解 nt = o 2t = o 4t = o 6t = o 8t = 1 ot = 2 0t = 3 0t = 4 0 1 0 2 6 2 90 1 7 7 6 0 0 6 7 50 0 6 2 9- 0 2 1 0 8- i 1 6 1 42 3 9 2 3- 3 8 5 0 0 2 0 2 6 5 1 0 1 8 3 80 0 7 8 9 一o 0 4 5 3一o 1 8 6 2- i 0 9 1 72 2 6 4 2 3 6 5 2 8 3 0 2 6 6 2o 1 8 7 00 0 8 4 80 0 3 6 2一o 1 7 3 5- i 0 5 5 62 1 9 8 0- 3 5 5 0 9 40 2 6 6 90 1 8 8 90 0 8 8 4 0 0 3 0 6- 0 1 6 5 7- i 0 3 3 6一2 1 5 7 6- 3 4 8 8 6 50 。2 6 7 40 1 9 0 2 o 0 9 0 8一o o z 6 9- 0 1 6 0 4- i 0 1 8 82 。1 3 0 3- 3 4 4 6 6 60 2 6 7 70 1 9 1 20 0 9 2 6 0 0 2 4 2一o 1 5 6 6- i 0 0 8 1 2 1 1 0 7- 3 4 1 6 4 70 2 6 7 90 1 9 1 90 0 9 3 9- 0 0 2 2 1一o 1 5 3 8- i 0 0 0 0- 2 0 9 5 93 3 9 3 6 8 0 2 6 8 1o 1 9 2 4 0 0 9 4 9- 0 0 2 0 5一o 1 5 1 6- 0 9 9 3 72 0 8 4 3- 3 3 7 5 7 90 2 6 8 3 o 1 9 2 9 0 0 9 5 80 0 1 9 3- 0 1 4 9 80 9 8 8 7 2 0 7 5 0- 3 3 6 1 4 1 00 2 6 8 40 1 9 3 30 0 9 6 5 0 0 1 8 2- 0 1 4 8 3- 0 9 8 4 5- 2 0 6 7 3 - 3 3 4 9 7 1 10 2 6 8 5 0 1 9 3 60 0 9 7 0一o 0 1 7 4一o 1 4 7 10 9 8 1 7- 2 0 6 2 l- 3 3 3 9 8 表4 - 4 ：u ( o 1 ，) 的误差 nt = o 2t = o 4 t = o 6t = o 8t ：1 ot = 2 0t = 3 0t = 4 0 1o 0 0 6 6o 0 1 9 50 0 3 6 00 0 5 5 50 0 7 7 7 o 2 1 9 80 4 0 3 8o 6 2 1 7 20 0 0 4 4 0 0 1 3 30 0 2 4 60 0 3 7 90 0 5 3 lo 1 5 0 70 2 7 5 70 4 2 4 5 30 0 0 3 3o 0 1 0 20 0 1 8 70 0 2 8 80 0 4 0 30 1 1 4 00 2 0 9 50 3 2 2 6 40 0 0 2 60 0 0 8 20 0 1 5 10 0 2 3 2 0 0 3 2 60 0 9 2 00 1 6 9 10 2 6 0 3 50 0 0 2 10 0 0 6 9o 0 1 2 7o 0 1 9 50 0 2 7 30 。0 7 7 20 。1 4 1 80 2 1 8 3 60 0 0 1 8 0 0 0 6 0 0 0 1 0 90 0 1 6 80 0 2 3 50 0 6 6 5o 1 2 2 2 0 1 8 8 1 70 0 0 1 60 0 0 5 30 0 0 9 60 0 1 4 70 0 2 0 70 0 5 8 4 0 1 0 7 40 1 6 5 3 80 0 0 1 40 0 0 4 70 0 0 8 60 0 1 3 10 0 1 8 40 0 5 2 10 0 9 5 8 0 1 4 7 4 90 0 0 1 2 0 0 0 4 30 0 0 7 7o 。0 1 1 8o 0 1 6 70 0 4 7 10 0 8 7 2o 1 3 3 1 1 00 0 0 1 10 0 0 3 90 0 0 7 00 0 1 0 80 0 1 5 20 0 4 2 90 0 7 8 8 0 1 2 1 4 1 10 0 0 1 00 0 0 3 60 0 0 6 50 0 1 0 00 0 1 4 0 0 0 4 0 10 0 7 3 6o 1 1 1 5 本文用拉普拉斯变换数值逆对偏微分方程进行了数值求解，通 过与精确解进行比较，计算结果有着较高的精度，并且这种方法与 其它方法进行比较，这种方法计算过程也比较简便，还可以根据精 度的要求选取适当的n 就能算出相应的数值解。 一类偏积分微分方程的数值计