（基础数学专业论文）非线性两点边值问题解的精确个数.pdf

论文题目：非线性两点边值问题解的精确个数 学科专业：基础数学 学位申请人：赵亮 指导老师：徐本龙教授 摘要 非线性扩散方程饥= a u + a ，( u ) 在过去几十年中被人们广泛的研究，其一维稳态 形式为 让( z ) + a f ( u ) = 0 ，- 1 z 1 ， 其中入是一个正参数，该方程是微分方程领域中的重要研究对象，来源于很多物理和 化学的实际问题中，例如热燃方程就足其中比较著名的例子本文主要利用t i m e - m a p 方法和分歧分析的方法，对于不同的非线性项，( 缸) ，研究上述方程解的精确个数问题 全文共分为四章第一章绪论介绍了该领域目前研究和发展的概况，一些基本概 念以及本文作者的主要工作第二章详细介绍t i m e m a p 方法，并且为全文完整性考 虑还将简单介绍分歧理论第三章利用t i m e - m a p 方法讨论一类两点边值问题解的精 确个数第四章从一个具体的方程( 其非线性项为f ( u ) = ( u 一6 ) 2 + e ) 出发，利用 t i m e - m a p 方法，得出了该方程解的精确个数结论，在此基础上，运用分歧分析的方法， 证明了对于非常广泛的一类非线性项，该方程仍可得到类似的结论，最后，我们简单介 绍一下高维空间中该问题目前的研究现状 关键词：两点边值问题；解的精确个数；t i m e - m a p 方法；分歧；稳定性 t i t l e ：e x a c tm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：z h a ol i a n g t u t o r ：p r o f e s s o rx ub e n l o n g a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r sc o n s i d e r a b l ei n t e r e s th a sb e e nf o c u s e do nn o n l i n e a rd i f f u s i o n p r o b l e m 让= a u + a ，( u ) i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s ss t a b a lf o r mn o n l i n e a rd i f f u s i o np r o b l e mi no n ed i m e n s i o n u ( z ) + a f ( u ) = 0 ，- 1 z 1 ， w h e r eai sap o s i t i v ep a r a m e t e r ，( 乱) i sag i v e nr e a lf u n c t i o nw h o s ef o r mi sd e t e r m i n e d b yv a r i o u sp h y s i c a la n dm a t h e m a t i c a la p p l i c a t i o n s w em a i n l y u s et h et i m e - m a p m e t h o da n db i f u r c a t i o nt h e o r yt og e tt h er e s u l t so fe x a c t l ym u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n so f s e n f i l i n e a re q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n t ，( u ) t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s n o ww ew i l ld e s c r i b et h e mb r i e f l yo n eb yo n e i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eh i s t o r ya n di n t r o d u c ep r e s e n ts i t u a t i o no fr e s e a r c ho n m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s ，t h eh i s t o r yo ft h em e t h o dw em a i n l yu s ea n dg i v eas u m m a r y o f o u rw o r k i nc h a p t e r2 ，w ep a r t i c u l a r l yi n t r o d u c et h et i m e - m a pm e t h o d ，a n df o rt h es a k eo f c o m p l e t e n e s s ，w ew i l lb r i e f l yi n t r o d u c et h e b i f u r c a t i o nt h e o r y i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yc o n c e r nw i t he x a c tm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rac l a s so f t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o n v e xa n dc o n c a v en o n l i n e a r i t y i nc h a p t e r4 ，f o rac o n c r e t ee q u a t i o n ( w h o s en o n l i n e a r i t yi s ，( 让) = 抓石而， w ew i l lg e tt h er e s u l t so fe x a c tm u l t i p l i c i t yf o rt h i se q u a t i o nb yu s i n gt i m e - m a pm e t h o d ， b a s e do ni t ，b ym a k i n gu s eo fb i f u r c a t i o na n a l y s i s ，w ew i l lp r o v et h es i m i l a rr e s u l t st o t h i se q u a t i o nw i t haw i d e rc l a s so fn o n l i n e a r i t y ，f i n a l l y , w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ep r e s e n t s i t u a t i o no ft h i sp r o b l e mi nh i g hd i m e n s i o n k e yw o r d s ：t o w p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；e x a c tm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s ； t i m e - m a pm e t h o d ；b i f u r c a t i o n ；s t a b i l i t y 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发 和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：走虎 日期：) 。t 谚岁) 占 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者繇走亳新虢冰嗍如渺审 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 概述 半线性椭圆方程的研究一直是偏微分方程研究领域中的热点这类方程来源于数学 与应用数学的很多分支，这类方程的研究对于相关学科的发展起着至关重要的作用一 般来说，对于偏微分方程，解的存在与否是一个根本问题，近年来关注较多的非线性扩 散方程 饥= a u + a ，( 仳)( 1 1 1 ) 和其稳态方程 ia u + a ，( u ) = 0 在q 中， 差爱 。工2 解的存在性研究最早始于2 0 世纪7 0 ，至今已建立了一套比较完善的解存在性理论，参 考【1 】，【2 】 从2 0 世纪9 0 年代起，人们开始逐渐关注以下几个方面的问题： 1 解的唯一性或解的确切个数； 2 解的存在性( 或多解性) 和定义域的几何结构之间的关系； 3 解曲线的形态； 4 相关方程的应用 1 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 而本文主要来研究两点边值问题t l + a ，( u ) = 0 ，( - 1 z 0 ，如果( 1 1 3 ) ( 或( 1 1 2 ) ) 有确定的k 个解，则我们称对给定的入和 ，( u ) ，( 1 1 3 ) ( 或( 1 1 2 ) ) 解的确切个数为k 如果我们改变a ，那么解的确切个数也可能 发生变化，这就产生了分歧 一般而言， ( 1 1 3 ) ( 或( 1 1 2 ) ) 解的结构非常复杂，解集的结构有赖于定义域的结 构和方程中的非线性项，( u ) 本文主要关注解集 a ，u ) 和，( t ) 之间的关系，所以我们 取最简单的定义域( 一1 ，1 ) 2 为什么选取( 1 1 3 ) 作为研究对象? 方程( 1 1 3 ) 来源于许多物理、化学及生物学领域，根据不同的实际需求，( 1 1 3 ) 中 的非线性项f ( u ) 具有不同的形式，例如热燃理论中非线性项，( u ) = 再夏l + t = a u 西万，l o g i s t i c 方程( f ( u ) = u + u p ( 1 p 爱) ) 等，因而对方程( 1 1 3 ) 的研究具有很高的实际应用 价值本文的目的是对已研究过的或部分得到研究的经典方程将其中的非线性项所共有 的性质进行抽象，并尽可能削弱对f ( u ) 的限制条件，得到更一般的结论，特别是当非 线性项f ( u ) 含有小摄动时，关于方程( 1 1 3 ) 解的确切个数问题将做详细的分析 3 将选用什么方法? 本文将选用t i m e - m a p 方法和局部分歧理论，来研究解的确切个数问题t i m e - m a p 方法源于上世纪8 0 年代，在【3 】，【4 】和【5 】三篇论文中，s m o l l e r 和w a s s e r m a n 发 明并运用了这种方法可以说，t i m e - m a p 方法对于两点边值问题解确切个数的研究非 常有效，早期，这一方法只是运用在解的存在性方面，一如其他的非线性分析工具拓 扑度理论，单调方法，变分方法等但是，在解的确切个数问题的研究中，t i m e - m a p 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 方法和局部分歧理论具有明显的优势第一，对于连续情况，运用t i m e - m a p 方法和分 歧分析的方法本身并不复杂；第二，搞清退化解( 解曲线的临界点) 附近的局部结构是 问题的关键，而运用t i m e - m a p 方法和分歧分析的方法可以很容易得到临界点附近的 局部结构，而对于非临界点，我们运用连续方法可以轻松处理 1 2 历史回顾 下面详细介绍本文研究问题的历史背景和发展状况，这有助于更好地理解本文 一百多年前，p i c a r d 已经得出( u ) 为次线性时( 1 1 2 ) 解的唯一性上世纪5 0 年代，k o l o d n e r 11 1 对s t u r m l i o u v i u e 问题解的唯一性做了研究上世纪7 0 年代， c o f f m a n 1 2 】和【1 3 】证明了方程( 1 1 2 ) 当( u ) = 一钍+ 让3 ，礼= 3 时对称正解的唯一 性 1 9 7 9 年，g i d a s ，n i 和n i r e n b e r g 证明了对于q = 占 ，i ，所有正解都是径向对称 的上世纪8 0 年代，k w o n g 1 4 1 5 ，发现s t u r m 比较定理可以有效的用来研究唯性 问题在 1 4 】中，证明了当f ( u ) = 一+ 矿，1 p 2 - 矿3 2 如f p 帮扎 这几个公式在判断转向点和转向点附近解曲线的转向问题时起到关键的作用2 3 节将 简单介绍分歧方法的相关理论：隐函数定理，局部分歧理论等第三章3 1 节将具体研 究的，( u ) 满足下面三个条件，( o ) 0 。l i m 。掣= 。且，( u ) 只有个零点p 和一 个拐点时，方程解的精确个数第四章将详细介绍运用t i m e - m a p 方法和分歧方法 研究一类具体方程( 非线性项为，( 他) = 百= 可f 干三) 的解的精确个数，并简单介绍 高维推广的最新结果 4 第二章t i m e m a p 方法和分歧方法 2 1引言 前面我们知道了t i m e - m a p 方法和分歧方法的一些历史背景和发展现状任何一 种方法的建立都有一个演进的过程，都是经过多次改进优化后的结果作为预备，我们 介绍一下已经比较成熟而且广泛使用的基本概念、相关理论和一般结果 2 2t i m e - m a p 方法 二：j 竺：i 三。，( 一1 0 ，所以必有2 x o 一1 = - 1 既x 0 = 0 ，因此u ( x ) 关于原点对称因为 将方程( 1 1 3 ) 两边同乘以u 7 ( z ) ，然后在( 0 ，x ) 上积分并注意到( 2 2 1 ) ，我们得到 世工2 业+ a f ( 札) = 入f ( j d ) ， ( 2 2 2 ) 第二章t i m e - m a p 方法和分歧方法 上海师范大学硕士学位论文 其中 f ( u ) = f ( s ) d s 因为u 扛) 关于z = 0 对称，所以在( 0 ，1 ) 上u 7 ( z ) 0 ，如果存在m 和，y 0 ，使得ia l 一l ，y 和i 入2 - a oi 一y ，u = a w o + w ，v = 瞰由+ z ，其中iqi m ，0ui l ，yiq zi i 一yiqi ， 则有 日( a ，u ) 一日( 沁，缸) 1 1 5 【t 一u0 + ( i l 札0 ) + ( i i 口i i ) ) i ia l a z0 如果z 是s p a n w o 在x 中的补集，则存在n 0 ，连续映射a ：8 ： si j 7 ，) 一j f c 和妒： s ：i8i j 7 v ) _ z ，使得a ( s ) _ 入o ，当isl _ o o 时，0 妒( s ) 0 0 以及 f ( a ( s ) ，s 岫+ s 矽( s ) ) = 0 定理2 3 3 ( 转向点处的分歧) 设( a o ，t o ) r ，f ：v _ y 是一个连续可微的映 射，其中vcr x 是( 入o ，u o ) 的一个开领域假如： ( 1 ) d i m n ( r ( 入o ，u o ) ) = c o d i m r ( r ( a o ，蛳) ) = 1 ，并且( r ( 入o ，坳) ) = s p 凸几 u ) ， ( 2 ) 兄( a o ，u 0 ) 聋r ( r ( 入o ，u o ) ) 如果z 是s p a n w o 在x 中的补集，则在( a o ，u o ) 附近，满足f ( a ，让) = f ( a o ，u o ) 方 程的解曲线有如下形式( a ( s ) + 7 ( s ) ，u o + s w o + z ( s ) ) ，其中8 一( 下( s ) ，z ( s ) ) r z 在 8 = 0 附近是一个连续可微函数，且有r ( o ) = 7 j ( 0 ) = 0 ，z ( o ) = z 7 ( 0 ) = 0 隐函数定理在一般的泛函分析课本中都会介绍，定理2 3 2 可以在c r a n d a u 和r n - b i n o w i t z 1 7 】中找到，定理2 3 3 可以参考d a n c e r 1 8 】和r a b i n o w i t z 1 7 ，定理2 3 3 在 d a n c e r 和r a b i n o w i t z 的 1 7 1 中被证明 8 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数 第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数 3 1引言 二：，j 竺：i 二。( 一1 z 卢 因为( 华) = 垡嗥业，( t ，) 一，( ) ) ，= t ，( ) 又，( o ) 0 ，意味着t f ( t ) 一f ( t ) 先单调递减后单调递增，所以条件( 3 ) 可能出现如下两种情况t ( 3 ) 1 当t 0 时，( 华) 0 ( 3 ) 2 存在t l ，t 2 ，使得0 t l 0 ，当 t ( t l ，t 2 ) 时，有( 华) 0 定义 对上式两边关于t 求导得 日( z ) = f ( ) 一丢巾) ， = 一扣华) ，i ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 9 第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数上海师范大学硕士学位论文 最后，对于( 3 1 1 ) 的个正解，定义 本章的主要结论如下， ( 3 1 4 ) 定理3 1 如果f ( u ) 满足( 1 ) ( 3 ) 和( 3 ) l ，则存在0 a a 时， ( 3 1 1 ) 无正解，当0 入 a 时，( 3 1 1 ) 有唯一一个正解另外，p 三以关于a 是一 个单调递减的函数，使得p = 口，并且h l i m 。+ p a2 + o o ，其中函数p ：( o ，a + 】_ 【口，。) ( 参见图3 1 ) 定理3 2 如果f ( u ) 满足( 1 ) - ( 3 ) 和( 3 ) 2 ，且h ( t ) 0 ，则存在a 1 ，a 2 满足0 a 1 a 2 以及a 1 0 且，是先凸后凹的情况 1 0 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数 。 口 一 ” j 图3 1 3 2 准备工作 首先，方程( 3 1 1 ) 正解关于原点对称，这点本文在第二章中已经详细阐述由这 个结论，对于任意的p 0 和a 0 ，定义u ( z ，a ，p ) 为初值问题： ( 3 2 1 ) 的解注意到u ( - x ，a ，p ) 也是( 3 2 1 ) 的解，而初值问题的解是唯一的，所以很显然， 1 1 0 b 划 仉 = 吼 d 矾 邓 + u 让 ，iljll 第三章一类凹凸型非线性两点边值同题解的确切个数上海师范大学硕士学位论文 p ； o ，z ( 0 ，1 ) 且u ( 1 ，a ，p ) = 0 时，( 3 1 1 ) 的正解就是( 3 2 1 ) 解 下面证明( 3 1 1 ) 和( 3 2 1 ) 一些基本性质，将方程( 3 1 1 ) 两边同乘以缸7 0 ) ，然后 在( 0 ，z ) 上积分，我们得到 当z = 1 时， 也尘2 止+ a f ( t 上) = a f ( j 9 ) ， ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸塑非线性两点边值问题解的煎塑全墼 p 。 l i 口 a 1 入+ a 2 j 图3 3 因为p 0 ，当p 0 时，有f ( p ) 0 ，可以得到( 3 1 1 ) 的正解满足p 0 ，当 p 0 时，u 7 ( 1 ) 0 ，当p = 口时，u 7 ( 1 ) = 0 如果u ( z ) 也是( 3 2 1 ) 的正解，则 札( o ) = 一入，( j d ) 0 ，使得在( 0 ，e ) 上，札7 ( z ) 0 实际上，如 果在某些z 1 ( 0 ，1 ) ，有0 u ( x 1 ) p ，而由条件( 2 ) ，有p 口 u ( x 1 ) p 上递增因此，( 3 1 1 ) 的正解满足： ( z ) 0 ，进而t 7 ( x 2 ) 0 ，这与( 3 2 4 ) 矛盾引理得证 引理3 2 2 假定，满足( 1 ) ( 3 ) 条件令u ( z ，知，p o ) 是( 3 1 1 ) 的正解，且满足 口伽t 假设口( 1 ) = 雾( 1 ，a 。，p o ) = 0 ，则叫( 1 ) = 器( 1 ，知，伽) 0 证明： 因为u = 爱满足( 3 2 6 ) ，( 3 2 6 ) 两边同乘w ，( 3 2 7 ) 两边同乘u ，得 叫口 + a ，7 ( u ) 口加= 0 ， v w + a ，7u ) w v + a ，( u ) u 3 = 0 ， 两式做差并在( 0 ，1 ) 上积分，利用 ( 1 ) = 0 得 1 ( 伽口7 ) 7 一( 叫，口) 7 妇= 0 1 ( w u t t _ u 乱f f t t ) 如= f o ，( u ) u 3 d z = 叫( 1 ) ( 1 ) ， 即 w ( 1 ) v ，( 1 ) = a o ，( u ) 3 d x ( 3 2 1 0 ) 从引理3 2 1 ，我们有v ( x ) o ，z ( 0 ，1 】，另外v i ( 1 ) 0 当日p o t 时，乱( z ) 在 ( 0 ，1 ) 上是递减的，而u ( z ) p o t + ，根据条件( 3 ) ，得到，( u ( z ) ) 0 引理得证 引理3 2 3 如果f ( u ) 满足( 1 ) ( 3 ) 和( 3 ) 2 ，且h ( t + ) 0 ，则定义函数j ：【0 ，) _ r ，j ( t ) = ，他) f ( ) 一i 。f 2 ( t ) 有且只有个正零点t ”，且曰 t 0 ，又根据条件( 2 ) 可得t p 注意到j 他) = ，( ) f ( ) ，因此j ( ) 在( 0 ，o ) u ( t ，) 上单调增，而在( 口，t ) 上单调 减另外j ( o ) 卢，又因为日在t 2 处取到最 1 5 第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数上海师范大学硕士学位论文 大值，即h ( t 2 ) h ( t ) 0 ，从而有2 ，他2 ) = ，( 2 ) 0 ，所以j ( t 2 ) 0 因此，只 有个正零点t ”且口 t t + ，根据( 3 2 4 ) 和条件( 3 ) ，可以看出e 在( 0 ，x + ) 单调减，在( 矿，1 ) 上单调 增，其中x 满足u ( x ) = t + 因此，e 在( o ，1 ) 上有唯一一个极小值，没有极大值所以e 在z = 0 或z = 1 处取得最大值 根据引理3 2 3 ，只要p o t ”就有j ( p o ) 0 ，利用( 3 2 2 ) ，( 3 2 6 ) 的初始条件， ( 3 2 8 ) 和u ( 1 ) = 0 ，可得 即) 叫1 ) = 志) f ( p o ) 一掣1 = 志) 0 对于z 【0 ，1 】，有俨+ x o f 7 ( 缸) t ，2 = e ( z ) e ( o ) = a o ，( 肋) 根据( 3 2 9 ) u t w 7 + a o ，( t ) 叫0 ，z 【0 ，1 】， 利用( 3 2 4 ) ，可对等式( 3 2 2 ) 求札7 得 仳7 = 一钜瓦瓦再了丽， 并减去上面的不等式，得 止压揣艇 1 6 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数 两边同乘合适的积分因子并在( e ，z ) ( c ( 0 ，1 】) 上积分，可知积分项小于零因此在( ，i 】 上，u ( z ) 0 特别的，u ( 1 ) o ，z ) ， k ( x ) 在 0 ，p o ) 上单调递增，所以g ( x ) 存在反函数k - 1 ( z ) 第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个数上海师范大学硕士学位论文 因为( 3 3 1 ) 的正解满足k ( n ( z ) ) = 以( 1 一z ) ，所以定义 乱( z ) = k 一1 ( 瓠o ( 1 一z ) ) ， 即u ( z ) 满足当a = a o ，p = p o 时的初值问题( 3 2 1 ) 给定a ，方程( 3 1 1 ) 的解，完全 可以由( 3 3 2 ) 所决定 对( 3 3 2 ) 进行换元可化成下面形式 厕- g ( 萨击1 而筹丽， 厕在汐，o o ) 上连续，根据条件( 1 ) 和( 2 ) ，下式中的历是有限的值， 厕- g ( 垆万1z 1 再o d 丽v 三历， 厕同时也是在( 口，o o ) 可微的 揣卅= 击- j ( 1 高糯地 3 渤 其中h 已经由( 3 1 2 ) 式给出 定理3 1 证明： 假设札( z ，a ( p ) ，p ) 是( 3 1 1 ) 的正解，显然有 “( 1 ，a ( p ) ，p ) = 0 ， 上式关于p 求导得。 罴( 1 m 觥卅嚣( 1 m 萨。， ( 3 3 4 ) 上文中已经说明p l i m 日+ 入( p ) = a ( 目) = a 是正的常数根据( 3 2 4 ) 和( 3 2 - 5 ) ，有 p l i r a 口+ 孤o u ( 1 ，刈，p ) _ p l i r a 口+ 丽1u ，( 1 ，州，j d ) = 丽1 乱，( 1 ，碱目) ， 1 8 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸型非线性两点边值问题解的确切个致 由( 3 2 8 ) 得 川l i ma 历u ( 1 ，坳加) = 器 。， 由( 3 3 4 ) 得 p l i m 口+ m ) = 一o 。， ( 3 3 5 ) 下面证明，对于很大的p ，a 7 ( p ) 0 ，l i r aa ( p ) = 0 因为当p 很大时， h = 去( ，一t f 7 ) t 时 h “= 一丧t f f i 0 ， 那么有 l i mh ( p ) = 一o 。， p 十 当p 很大时，对于任意u ( 0 ，1 ) ，h ( p ) h ( p v ) ，根据( 3 3 3 ) 式，当p 很大时有 a 7 ( p ) 0 ，以及条件( 1 1 一l i r a 掣= o o ，可以推出对于很 大的u ，和，7 都大于零且一j i m 。f ( u ) = o o 因此，当0 t ， i 1 时， f ( p v ) f ( p ) 根据中值定理可知 f ( p ) 一f ( ) f ( p ) 一f ( 三秽) 丢p 厂( 丢p ) ， 当 口 m ，a x 、a ( p ) 时，( 3 1 1 ) 无解 当满足条件( 3 ) 1 时，由( 3 1 3 ) 中h 讹) = 一；2 ( 学) 7 以及求导后h ( ) = - t f ( ) ， 可以推出h 印) 0 ，结合( 3 3 1 ) 式很容易判断出a ( j d ) 0 ，即a ( p ) 连续单调减，因此 a ( j 口) 存在反函数以：( 0 ，入】_ 【口，o o ) 且也有以 h ( t ) 0 又因为h ( o ) = 0 ，h 在( 0 ，t 1 ) 上单调减，所以当p ( t ，) ，口( 0 ，1 ) 时， h ( p v ) 0 ，p ( t ，) ，( 3 3 8 ) 结合( 3 3 5 ) 和( 3 3 6 ) ，a ( p ) 在( 0 ，t ) 上至少有一个局部极小值点，在( t ”，o 。) 上至 少有一个局部极大值点这些都是入( p ) 的转向点下面给出详细证明t 首先，设p o ( 0 ，t ) 且入7 ( p ) = 0 由( 3 3 4 ) e e , - i j | 4 爱( 1 ，a ( 伽) ，p o ) = 0 ，由引理3 2 2 ，可以推出 貉( 1 ，a ( 肋) ，p o ) 0 对( 3 3 4 ) 再求一次导，并代入p o 得 罴( 1 槲舭) + 荔( 1 ) ，p o ) ：0 ( 3 3 9 ) 2 0 上海师范大学硕士学位论文第三章一类凹凸型非线性眄廛望值回壁竖盟堕塑全墼 前面已经说明，当p 0 时，也7 ( 1 ) 0 因此，p o 是x ( p ) 的一个局部极小值点如 果存在第二个临界点p l ( 9 ，t + ) ，重复上面的推理，p 1 一定也是一个局部极小值点， 但介于p l 和伽之间一定存在一个局部极大值点晚，满足( j d 2 ) 0 ，这与上面结论矛 盾所以，伽是x ( p ) 在( p ，t ) 上唯一一个临界点同理，假设p o ( t ”，o o ) ，a 7 ( p o ) = 0 ， 由( 3 3 4 ) 可得爱( 1 ，x ( p o ) ，p o ) 利用引理3 2 4 ，可以得到券( 1 ，a ( 肋) ，伽) 0 再利 用( 3 3 9 ) ，可以看出 ( p ) 0 所以伽一定是一个x ( p ) 的局部极大值点而且是在 ( t ”，o c ) ) 上唯一的临界点定理3 2 证明完毕 2 1 第四章一类扰动方稃解的精确个数和分歧结构研究及其推广 上海师范大学亟堂僮论文 第四章一类扰动方程解的精确个数和分歧结构研究及其推广 考虑以下一维方程的正解问题 4 1引言 u ”+ 入伽) = 0 ，( 一1 0 ，u o ； ( 2 ) l i i 厂( 乱) 让= 1 ； ( 3 ) ，( t t ) 0 显然f ( u ) = 瓦= 可f 。再满足这些条件，这样的抽象扩展了我们所要研究的函数类 而在本章第三节中还将采用并采用分歧方法来研究更广泛的一类函数 对于高维情况，在 21 】和 2 2 】中，c h h s u 和y w s h i h 采用了变分方法摄动技 巧和谱理论，讨论了( 4 1 1 ) n 维形式的多解性问题，但并未完全解决，并提出了一个 开放性问题本文作者的导师运用连续方法和分歧理论做了完整的解决( 参见【3 8 1 ) ，我们 将在第四节中做一简单介绍 2 2 上海师范大学硕士学位论文第四章一类扰动方程解的精确个数和分歧结构研究及其推广 4 2 一维情况的主要结论及证明 下面我们陈述本章一维情况的主要结论： 定理4 1 1 若f 满足条件( 1 ) 一( 3 ) ，则 l i m t ( p ) = 0 口u l i mt ( p ) = 弧= 昙 p z 其中t ( p ) = 2 y ：v u w d u i 荔，p2 ( 晋娶u ( z ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 定理4 1 2 若，c 1 1 0 ，o o 】，满足条件( 1 ) 一( 3 ) ，则对任意u 0 ，存在入o 譬，使 得方程( 4 1 1 ) 当a 儿时无解，当譬 a 0 ，因而必有 2 x o 一1 = - 1 既x 0 = 0 ，因此u ( z ) 关于原点对称因为u ( x ) 在z = 0 处取得最大值， 所以不妨设 p = s u pu ( x ) = u ( 0 ) ，( 4 2 3 ) ( 一1 ，1 ) 将方程( 4 1 1 ) 两边同乘以u 7 ( z ) ，然后在( 0 , x ) 上积分并注意到( 4 2 3 ) ，我们得到 也堑2 监+ a f ( t 正) = a f ( p ) ， ( 4 2 4 ) 其中f ( u ) = 片f ( s ) d s 因为u ( x ) 关于z = 0 对称，所以在( 0 , 1 ) 上7 ( z ) 0 ，对任意的【0 ，1 一e 】，运用罗必达法则，我们得到 甚1 7 ( 缈肌一l i m 掣辫 = o 裟0 0 岳字三爿= 璎0 0 = o p _ + +p 【上一u ) p + +上一口 由的任意性，从而当p 一十o 。时，对任意的【0 ，1 】有7 ( p ，p ) 一o 于是，我 们就得到l i m p + 弧= 吾证明完毕 定理4 1 2 的证明：在此，我们只需要证明中间部分有一个转向点和最大值 前面我们已经建立入和t ( p ) 对应的方程，现在只需要对t ( p ) 求导，参见【3 】，我们有 嘶) = 2 - 3 2 o p 篙笋了d u ( 4 2 7 ) 其中 a f = f ( p ) 一f ( 让) ，0 ( x ) = 2 f ( x ) 一x f ( x ) ( 4 2 8 ) 显然还有 ( z ) = f ( x ) 一z ，7 ( z ) ，( 4 2 9 ) ( z ) = - x f ( z ) ，( 4 2 1 0 ) 根据定理条件，o ( x ) 图像参见图2 ( 4 2 6 ) 一( 4 2 9 ) 对于我们的解曲线转向非常重要，因为，满足条件( 1 ) 一( 3 ) 易知， o ( o ) = 0 ，( 0 ) = s ( o ) 0 ，l i mo ( x ) = 一o o 由( 4 2 9 ) 一( 4 2 1 0 ) ，存在0 a b ，使得 0 b ，