（通信与信息系统专业论文）多功能微柱透镜聚焦特性的研究.pdf

中文摘要 摘要；光学自诞生以来，经历了几百年漫长而曲折的发展由于基于折反射 原理的传统光学元件，如透镜、棱镜等，它们的特征尺寸远远大于光波波长，因 此，在处理光传播的问题时，可以采用基于基尔霍夫公式的标量衍射理论进行求 解2 0 世纪6 0 年代以来，随着激光的发明和近年来光刻蚀技术的发展，光学元件 逐步向小型化、高效化、阵列化、和集成化的方向发展当微小衍射光学元件的 特征尺寸与波长可以相比拟时，光的散射效应变得非常显著，因此，必须考虑光 的矢量衍射特性在衍射光学中，原来的标量衍射理论不再适用，必须应用严格 的矢量衍射理论来进行分析、计算和设计本论文基于严格的电磁场理论，结合 电磁场的边界条件，运用边界元方法来求解麦克斯韦方程组，对多波长微小光学 透镜进行电磁场分析主要结果有： 1 ，给出了具有长焦深性能的有限厚度的透镜，在t e 偏振的情况下，利用边界 元方法分析了多波长入射下的该透镜的共同扩展焦深、光斑大小、衍射效率 等聚焦特性，然后，给出两个改进型的微柱透镜，实现了更长的共同扩展焦 深、更小的光斑尺寸、更高的衍射效率 2 ，把边界元方法推广应用到无穷周期结构，实现了利用边界元方法计算无限长 周期结构的微柱透镜阵列，并取得了一些结果 关键词。微小光学元件；边界元方法；衍射光学；长焦深 分类号；0 4 3 埘 a b s t r a c t ：o p t i c sh a sb e e ne x p e r i e n c e dl o n ga n dz i g z a gd e v e l o p m e n t si nt h el a s t s e v e r a lc e n t u d c ss i n c ei t sb i r t h t r a d i t i o n a lo p t i c a le l e m e n t ss u c ha sl e n s e sa n dp r i s m s a r eb a s e do nr e f r a c t i v ea n dr e f l e c t i v ep r i n c i p l e t h c i rf e a t u r es i s l m ja r ea l w a y sm u c h l a r g e rt h a nt h ew a v e l e n g t ho fl i g h t , s ot h a tw e 啪a p p l ys c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r yw h i c h i sb a s e do nt h ef r e s n e l - k i r c h h o f fd i f f r a c t i o nf o m m l at oa n a l y z et h ep r o p e r t i e so ft h e m a f t e r1 9 6 0 。s ，w i t ht h ei n v e n t i o no fl a s e ra n dt h ea d v a n c eo f o p t i c a lh t h o g r a p h yi nr e c e n t y e a r s ，o p t i c a le l e m e n t sg r a d u a l l yb e 咖es m a l l e ra n ds m a l l e rw i t hh i g h e re f f i c i e n c y i t a l s ot e n d st ob ei n t e g r a t e d w h e nt h ef e a t u r es i z eo fm i c r o - o p t i c a le l e m e n tb o c o m e s c o m p a r a b l ew i t ho rs m a l l e rt h a nt h el i g h tw a v e l e n g t h , t h es c a t t e r i n ge f f e c t sb o c o m e p r o m i n e n t i nt h i s 汹ct h ev e c t o rd i f f r a c t i o np r o p e r t i e si no p t i c ss h o u l db et a k e ni n t o a c c o u n t ；t h es c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r yi sn ol o n g e rv a l i dn o wa n di tr e q u i r e st h ev e c t o r d i f f r a c t i o nt h e o r yf o rd e s i g n i n g , a n a l y z i n g , a n de v a l u a t i n gt h ep e r f o r m a n c e so fm i c r o s t r u c t u r eo p t i c a le l e m e n t s i nt h i st h e s i sw ed e s i g nt h ep r o f f l eo fm i c r o - c y l i n d r i c a l a x i l e n st or e a l i z et h el o n gc o m m o nf o c a le x t e n d e dd e p t ha n ds t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c so f s e v e r a lk i n d so fm i c r o - c y l i n d r i c a la x i l e n sb a s e do nr i g o r o u se l e c t r o m a g n e t i ct h e o r ya n d b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dw i t ht h eh e l po fb o u n d a r yc o n d i t i o n so fe l e c t r o m a g n e t i c f i e l d sa n ds o m m e r f e l dr a d i a t i o nc o n d i t i o n s t h ca c h i e v e m e n t so ft h es t u d i e sa r e s u m m a r i z e db e l o w ： 1 t h ec o m m o nf o c u s i n gc h a r a c t e r i s t i c so fc y l i n d r i c a lm i c r o l e n sw i t hal o n gf o c a l d e p t hu n d e rt h eg i v e nm u l t i p l ew a v e l e n g t hi l l u m i n a t i o na 北a n a l y z e db a s e do n b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) t h es u r f a c e - r e l i e f p r o f i l e o f f i n i t e - s u b s t r a t e t h i c k n e s sm i c r o l e n sh a v i n gal o n gf o c a ld e p t hi sp r e s e n t e d i t s f o c u s i n gp e r f o r m a n c e s ，s u c h 鹳t h ec o m m o ne x t e n d e df o c a ld e p t h ( c e f d ) ，t h e s p o ts i z e 。a n dt h ed i f f r a c t i o ne f f i c i e n c ya r en u m e r i c a l l ys t u d i e di nt h ec a s co ft h e t ep o l a r i z a t i o n t w om o d i f i e dp r o f i l e so ff i n i t e - s u b s t r a t e - t h i c k n e s sc y l i n d r i c a l m i c r o l e n sa r ep r o p o s e df o re n l a r g i n gt h ec e f d n cr i g o r o u sn u m e r i c a lr e s u l t s i n d i c a t et h a tt h em o d i f i e ds u r f a c e r e l i e fs t r u c t u r e so fc y l i n d r i c a lm i c r o l e n sc a n s u c c e s s f u l l ym o d u l a t et h eo p t i c a lf i e l dd i s t r i b u t i o nt oa c h i e v el o n g e rc e f d , h i g h e rt r a n s v e r s er e s o l u t i o n , a n dh i g h e rd i f f r a c t i o ne f f i c i e n c ys i m u l t a n e o u s l y 2 b r o a d e nt h ea p p l i c a t i o no fb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) t od e a lw i t h i n f i n i t ep e r i o d i cm i c r o - c y l i n d r i c a la x i l e ma r m y k e y w o r d st m i c r o - o p t i c a lc o m p o n e n t ；b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ；d i f f r a c t i v e o p t i c s ；l o n ge x t e n d c df o c a ld e p t h c l a s s n o l0 4 3 致谢 本论文的完成首先感谢导师刘娟老师刘老师渊博的知识、严谨负责的治学 态度、务实的科研作风和求实的科研精神深深地感染和影响着我感谢刘老师对 我的谆谆教导1 感谢刘老师在平时的生活中给了我很多关心和帮助 同时我也要感谢中国科学院物理所顾本源研究员，在我攻读硕士学位期间。 顾老师给与了我精心的指导，使我能够迈入科研的大门，顾老师渊博的知识、活 跃的思想、高效快捷的科研作风和忘我的工作精神使我受益终生由衷感谢顾老 师l 感谢王义全老师和张波老师的辛勤指导 感谢孙枭东同学、胡滨同学、邸思同学、赵丽明同学、c h d s t e rr y d b e r g 在平 时的工作、学习、和生活中给我的很多关心和帮助。在与他们的交流和讨论中， 使我受益匪浅 最后要特别感谢我的家人，尤其是我的父母多年来在生活和精神上给我的巨 大动力，使我在学习和科研中不断进步 第一章绪论 i i 衍射光学的起源和发展 自伽利略发明望远镜以来，古老的光学已经走过了几百年的漫长道路。年 代激光的诞生，促进了光学技术的飞速发展，但基于折射、反射原理的传统光学 元件，如透镜、棱镜等大都是以机械的磨、抛光等来制作的。不仅制造工艺复杂， 而且元件尺寸大，重量重在当前仪器走向光、机、电集成的趋势中，它们已显 得臃肿粗大极不匹配研制小型、高效、阵列化的光学元件已是光学界刻不容缓 的任务。 8 0 年代中期，美国m i t 林肯实验室威尔得坎普( v c i d k a m p ) 领导的研究组在 设计新型传感系统中，率先提出了“二元光学”【1 】的概念，即衍射光学的概念， 他当时这样描述道：“现在光学有一个分支，它几乎完全不同于传统的制作方式， 这就是衍射光学，其光学元件的表面带有浮雕结构：由于使用了原本制作集成电 路的生产方法，所用的模版是二元的，且掩模用二元编码形式进行分层，所以引 出了一门二元光学的概念。”随后，二元光学不仅作为一门技术，而且作为一门学 科迅速地受到学术界和工业界的青睐，在国际上掀起了一股二元光学的研究热潮 二元光学( 衍射光学) 元件因其在实现光波变换上具有的很多卓越的，传统光学 器件难以具备的功能，而有利于促进光学系统实现微型化、阵列化和集成化，开 辟了光学领域的新视野 经过十多年的发展，衍射光学元件在设计理论、制作工艺和应用方面业已取 得了突破性的进展首先，在设计理论方面，我们知道光学元件的逆源设计问题 十分类似予光学变换系统中的相位恢复问题己知系统的入射场和输出平面上的 光场分布，来计算输入平面上的位相分布，使它能按预期设计调制入射光场衍 射光学理论通常分为标量衍射理论和矢量衍射理论r 2 由于传统光学元件特征 尺寸远远大于光波波长。通常使用标量衍射理论在标量衍射理论框架下，光学 元件的逆源问题设计理论方法已比较完善。主要方法有：么正变换系统中振幅一相 位的一般恢复算法即盖师贝格一撤克斯通( g e r c h b e r g s a x t o n ) 算法或误差算法 ( e r ) 及其修正算法 3 ，4 ，直接二元搜索法( d b s 也称爬山法 5 】) ，模拟退火 算法( s a ) 6 和遗传( g a ) 算法 7 等在国内，子1 9 8 0 年，中国科学院物理研 究所杨国祯和顾本源首次提出了任意线性( 非么正) 变换系统中的振幅一相位恢复 的一般理论。即杨一顾( y - g 算法 8 _ l o ，并成功地应用予解决各种实际问题， 取得了很好的成果随着光学元件的特征尺寸的不断减小，其设计理论逐渐从标 量衍射理论向矢量衍射理论发展。由于当衍射光学元件的特征尺寸与光波波长可 以相比拟时，标量衍射理论中的假设与近似便不再成立c l l ，1 2 ，此时必须应用 严格的矢量衍射理论及其设计方法严格的矢量衍射理论是基于严格的电磁场理 论，结合适当的边界条件求解麦克斯韦方程组。各国科学家在这方面进行了许多 有益的探索，已经发展了多种理论方法，其中包括计算周期光栅衍射光场分布的 耦合波方法和模态法，近年来又出现了计算非周期结构任意表面雕刻的衍射光学 元件的微分法和积分法，比如有限差分法，时域有限差分法，有限元方法，边界 元方法等。每种方法各有利弊，适合于解决不同的问题在实际进行光学元件的 分析和设计时，有时要将两种方法结合起来使用，以兼蓄并收它们各自的优点， 而摒弃它们的缺点 其次，在制作工艺方面，衍射光学元件基本制作工艺是超大规模集成电路中 的微电子加工技术近年来，由于v l s i 加工技术、电子和离子刻蚀等技术的推动， 衍射光学元件的制作工艺取得了长足的进展主要表现在从二值相位向多阶相位 元件甚至连续分布相位元件的发展，从掩模套刻技术向无掩模直写技术的发展 9 0 年代后，人们研究和发展了直写技术，直接用激光和电子束在基底材料上写入 所需的二维或二维浮雕图案此外。其它一些新工艺，例如l i g a ，溶胶一凝胶 ( s o l - g e l ) 。热溶及离子扩散等技术也被应用于加工衍射光学元件还可利用灰 度掩模及p m 帆紫外感光胶制作连续相位器件 1 2 衍射光学元件的应用及前景 衍射光学一经诞生，引起了许多经济技术发达国家的注意，被美国m i t 林肯实 验室称为振兴和发展美国光学工业的主要希望由于衍射光学元件相对于传统光 学元件的优势，使其在光通讯、光计算、大容量数据存储，激光医学、娱乐消费 等领域有着广阔的应用前景迄今为止，衍射光学元件已成为集成光学、激光技 2 术、信息处理、全息技术等领域中的常规元件 衍射光学元件最早只是用来改进传统光学元件的常规性能例如，人们用它来 校正像差及消色差。用它制作小型激光盘读写头 1 3 此外因为衍射光学元 件能产生任意波面以实现普通光学元件无法实现的特殊功能它在光束 1 4 - 1 6 ， 医疗仪器的激光聚焦校正，光学并行处理系统中的光互连以及辐射聚焦器 1 7 。1 8 等方面有广泛的应用衍射光学元件中的长焦深衍射透镜 1 9 - 2 1 在光束准直和轮 廓测量中有一定的应用另外，还可以利用衍射光学元件产生各阶贝塞尔膺无衍 射光束 2 2 - 2 4 8 0 年代末期，衍射光学元件逐渐向微型化和阵列化方向发展高密度的微透 镜阵列的衍射效率很高，可实现衍射受限成像，并且结构灵活，表面轮廓形状多 样，在光通讯、光学信息处理、光存储和激光束扫描等许多方面有重要应用。最 近。微小光学元件在新一代的光学系统中又出现许多新的应用主要表现在多层 或二维集成微光学，成像和复杂的光互连中进行光束变换与控制新一代的微光 学技术的典型应用是多层光电网络处理器 2 5 ，它根据微小光学元件能够提供灵 活反馈和非线性预处理能力，通过多层焦平面预处理器，对入射光进行处理，在 每层之间，则利用微小光学元件阵列实现光学互连及藕合。在最后的输出面上得 到预期的信号这为传感器的微型化、集成化和智能化提供了新的方法和途径。 微小衍射光学元件应用到微型光机电集成系统( m e m s ) 中是目前衍射光学应用研 究发展的新趋势，尤其是在通讯领域的应用中微电子学、微机械学和微光学是 发展新一代计算机、机器人及智能化、机械和电子工业实现集成化和微型化的核 心技术另外，动态微透镜和集成光电一机电装置也显示出诱人的前景和具有广阔 的产业市场 1 3 面临的机遇和挑战 衍射光学在近十多年中业已取得了长足的进步，其中包括在理论方面进行的 许多卓有成效的探索，还包括在技术和制作工艺方面的变革与更新。但是，还应 当清楚地看到，在理论设计和实际应用两个方面还很不完善，还存在很多困难有 待解决。 首先，在设计理论方面，当衍射光学元件的特征尺寸与光波的波长可以相比 3 拟时，光的散射效应变得十分显著，因此必须考虑光的矢量衍射特性。此时，必 须使用严格的矢量衍射理论方法来计算、分析和评估衍射光学元件的光学特性 在矢量衍射理论框架下，一般的处理方法是以电磁场理论和波动方程为基础，根 据具体边界条件，严格求解麦克斯韦方程组，从而得到空间的光场分布但是， 除了一些非常简单的表面形状，能够用解析方法求解麦克斯韦方程组，绝大多数 情况下只能通过数值计算的方法求解此时，将面l 临计算量大和收敛速度慢两大 困难而且，在矢量衍射理论中，目前的研究主要集中在根据输入面上的己知光 场分布来求解输出面上的光场分布有些科学家也尝试过借助标量方法来进行矢 量衍射理论下的逆源设计问题，但还没有形成一般的理论中国科学院物理所博 士叶佳声博士对先前的瑞利索莫非方法进行改进，提高了计算的精度，获得了很 好的结果 3 7 。3 8 】其次，在实际应用方面，掩模套刻技术中相位的离散化和掩模 的对准误差，影响着衍射光学元件的制作精度和衍射效率的提高8 0 年代后期， 随着高分辨率掩模版制作技术的发展，掩模套刻以及多次沉积薄膜的对准精度的 提高，衍射光学元件的衍射效率大大提高但存在着加工环节多、周期长、对准 精度难以控制等缺点后来，利用激光和电子束直写技术在基底材料上写入所需 的浮雕图案，虽然省去了掩模制作工序，该技术存在的最大问题是不能精确地控 制轮廓深度，除此之外，曝光剂量及曝光时间难以控制亦是电子束直写技术的技 术难题衍射光学包含着丰富的基础科学研究课题，为更好地开发和利用各种微 小衍射光学元件，必须运用严格的矢量衍射理论，发展各种理论方法来对微小光 学元件进行分析和计算，实现衍射光学元件的逆源问题的设计总之，在衍射光 学这个领域中，机遇与挑战并存 1 4 本论文的主要工作 本论文在严格的矢量衍射理论的基础上，运用边界元方法( b e m ) 对衍射光 学元件的光场分布进行计算和分析，以及根据实际需要对衍射光学元件进行逆源 优化设计。并把边界元方法推广应用到分析求解无限周期阵列微小光学器件的问 题。 第二章严格电磁场理论和边界元方法 2 1 严格电磁场理论及矢量方法 当光学元件的特征尺寸远远大于光波波长时，通常使用基于基尔霍夫公式的 标量衍射理论，对光传播问题进行分析和处理在这个过程中，将光场视作一个 标量场。即认为电矢量和磁矢量相互独立，对它们能进行独立求解然而，这是 对麦克斯韦方程组做了极大近似的在严格的麦克斯韦方程组中，电场和磁场是 不可分割的，它们耦合在一起而形成电磁波场而且，在基尔霍夫早期理论中， 假定障碍物只吸收不反射，这也同严格的电磁场理论是不相符合的为此，人们 开始寻求严格的矢量衍射理论 严格的矢量衍射理论是基于严格的电磁场理论和波动方程，将具体的边界条 件加到实际问题中，严格求解麦克斯韦方程组来计算光场分布衍射光学的第一 个严格解是s o m m e r f e l d 2 6 在1 8 9 6 年求解半无限大完全导体屏时给出的后来， 由于受到超短波射电技术发展的刺激和光栅应用的推广，衍射光学理论得到了突 飞猛进的发展人们发展了多种矢量衍射理论的计算方法 严格的矢量衍射理论的计算方法主要可分为积分法( 格林函数法、积分方程 法、边界积分法和边界元法) 、微分法( 有限差分法、有限元法和网络图论法等) 、 微分积分法的混合法和时域有限差分法( f d t d ) 1 9 6 4 年，w i u s l o w 利用向量位，采用有限差分法离散，求解了二维非线性磁 场问题。随后。c o l o n i a s 和d o r s t 用该程序设计了同步加速器磁铁，并把它发展 成为t r i m 软件包此后，采用有限差分法计算线性和非线性二维场的程序如雨后 春笋般地在美国和西欧出现有限差分法不仅能求解均匀线性媒质中的位场，还 能解决非线性媒质中的场，它不仅能求解恒定场和似稳场，还能求解时变场。在 边值问题的数位方法中，此法是相当简便的 1 9 6 6 年，k s y e e 提出时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n m e t h o d 简称f l y r dm e t h o d ) 3 9 ，f d t d 法直接将有限差分式代替麦克斯韦时域场旋 度方程中的微分式，得到关于场分量的有限差分式，用具有相同电参量的空间网 格去模拟被研究体，选取合适的场初始值和计算空间的边界条件，可以得到包括 时间变量的麦克斯韦方程的四维数值解通过傅里叶变换可得到三维空间的频域 解。 7 0 年代初期，加拿大的p s i l v e s t e r 和m v k c h a r i l 把有限元法引用 到电磁场计算中，并应用于电机工业。得出了电机内电磁场向题的第一个通用非 线性变分表述有限元法以变分原理为基础，用剖分插值的办法建立各自由度间 的相互关系，把二次泛函的极值问题转化为一组多元代数方程组来求解它能使 复杂结构和边界的边值问题得到求解目前。它能有效地计算非线性二维及轴对 称静态、瞬变及交流稳态场问题，还相继出现了用有限元法求解三维非线性静态 电磁场以及非线性三维稳态涡流场问题。有限元法在电磁场数值分析领域中得到 了越来越广泛的应用有限元法和有限差分法有一个共同的特点，即用有限个自 由度来近似描述一个连续体在开域问题中，必须把边值为零的边界取到相当远 处，致使需要计算的场区变得很大，网格的节点数亦随之增加。使所需的计算机 内存和c p u 时间均增大例如为控制带电粒子束的轨迹，场分布的连续性至关重 要，用微分法米求解时，由于计算机容量和计算时问的限制，要达到规定的要求 常常是很困难的，有时甚至是不可能的 1 9 7 2 年，c - t r o b r i d g e 等人提出用计算机求解电磁场积分方程的基木思 想。由于积分方程法的离散仅需在源区进行，所以能较好地解决开域问题以及连 续场的计算问题对于线性问题，积分方程法具有较高的精度但是，当用积分 方程法去解非线性问题时，由于确定物质磁化状态的离散方程的系数矩阵是非对 称满阵，加上每一削分单元重心上的场参数是用向量来描述的，在三维场中每一 单元重心上形成三个未知数，需要相当大的内存来存贮系数矩阵的元素。 为了改进积分方程法，j s i m k i n 等人发展了边界积分法边界积分的离散只涉 及到边界，从而使未知数大为减少，系数矩阵的形成中又吸取了有限元的插值方 法，减少了c p u 时间对于线性或近似线性的情况，达到了相当高的精度。为了 解决非线性向题，1 9 7 8 年，c w t r o w b r i d g c 和j s i m k i n 等人提出了双标量位法， 它用两种标量位来描述恒定电磁场。在电流区采用简化标量位，在无电流区采用 全标量位交界面上过多的未知数可以通过磁场的交界面条件予以消去这种方 法亦称为积分微分方程法 矗 下面我们将介绍一种积分方法一边界元方法边界元方法 2 7 2 9 通过引入 格林函数，将麦克斯韦方程组及边界条件转化成边界积分方程用有限元方法对 边界进行离散化后，通过求解边界积分方程 2 2 边界积分公式的推导 在衍射光学元件的计算和分柝中，边界元方法应用非常广泛。p r a t h e r 和 m a i t 等人对该方法做出了许多开创性的工作【3 2 ，发展了严格的电磁理论它 们将严格矢量方法一边界元方法应用到微小光学元件中。对微小光学元件的光学 特性进行了很好的分析，并与标量衍射理论情况下的解析解进行了比较，有很高 的一致性。另外，h i r a y a m a ，g 1 y t s i s 和g a y l o r d 等人将边界元方法应用到微柱 透镜中 3 0 ，3 1 ，3 3 - 3 6 ，对聚焦特性和衍射效率进行了计算和分析，并与标量 理论下的结果进行了比较。结果表明：在远场区域，标量衍射理论是矢量衍射理 论很好的近似在国内，自1 9 9 8 年以来，中科院物理所顾本源所领导的小组，用 边界元方法对微小光学元件的衍射特性、聚焦特性、干涉效应以及长焦深性能进 行了比较系统的研究下面我们分别对微柱透镜的边界积分公式和边界条件进行 推导 图2 1 单边界微柱透镜示意图 7 如图2 - 1 所示，边界r 将整个空间分成 和j 2 两个区域，区域毛中充满各向同 性电解质，区域j ：为真空入射光从区域 入射到透镜边界上在自由空间中，电 磁场的麦克斯韦方程组为： v 小詈+ 7 ， v m 詈幅 。 ( 2 1 ) v 圣- 0 v 口- 0 对于无源的情况下，7 ，- 0 , 芦t - 0 1 6 t o ；毳 其中f 和分别表示电介质的介电常数张量和真空中的介电常数，p 和p o 分别代 、v x v x 雷扩) 】- 譬f 旷) 扩) 富旷) ( 2 - 2 ) 一般情况下p ( r ) - 1 0 。在三维情况下，介电常数张量有九个元素，其中六个 亨- ( 毫昙兰 c 2 - 3 ， 特别地，对于各相同性的介质- 毛巳- ；对于单轴晶体，- 毛- ， 乞- ，其中l 和g 。分别表示寻常光和非常光的介电常数 振的入射光，电场沿z 轴方向t 云e 毛，e - e - o a 旦耙- o ，在区域是中，方 8 v 2 雷+ 七2 云0 其中“, 。o c 孕c 9 号1 八二维情况f 的梧杯幽效 g 2 ) 。击哦2 z l 尹- 它满足索末菲条件和下面的微分方程 v 气一2 ( f ，) + 七2 g j 扩，) - - 6 ( v - v h ( 2 - 5 ) 用格林函数乘方程( 2 - 4 ) 的两边，并对屯区域积分，得t 刀g 2 扩，f ) 【v 2 最鲜) + 七2 最僻) f q - 0 尹是 ( 2 - 6 ) 其中f 表示从坐标原点到区域是中的观察点的位置矢量，是从坐标原点到 是边界上的源点之间的位置矢量。运用第二格林定理将区域积分转化成边界积分 o p v b b v 2 a d q 9 重。r a 磊o b 一嗉f r 将上式中的a 和b 分别用q 扩，尹) 和丘) 代替后，得到下面的积分方程 肛，【g 2 伊，尹妒2 豆( ) 一扇) v 2 g 2 旷，尹) f q - 兜【g 2 m ) 笔擎一最g ) 鱼乎” 上式等价于； 肌，【g 2 酽，2 最q - 肌：丘g ) v 2 g z 旷，f y q + 兜嘶爿) 笔磐一最g ) 鱼磐w f e s = ( 2 7 ) 其中而是区域是边界的外法线的单位矢量以这样的方式来选定边界的方向， 即当我们沿着边界方向移动时，区域总是落在我们的左边从图7 - 1 中，有 j i - 而- 啊 将方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入到( 2 - 7 ) 中， 最) + s j , c v ；) 兰羔磐一g 2 伊彳) 旦：警m - o ，是 ( 2 - 8 ) 当，一斥时，边界将出现奇异积分【3 6 】， 姆户詈d f - 窖咿似一砟) 【一南研2 朋埔 j 等鄹p 【等一i c 一争寿拉 - e 蛳 州u m ga 丽# 们喘 p ( 妇口r ) 畴础) 等 一，塾磐 球一j 昙( 1 n 譬+ 棚 芸 ：o(2-10) 其中砟是边界的内角，是欧拉数，y - 0 5 7 7 2 1 5 考虑到边界奇异积分后，方程( 2 - 8 ) 变为： 磬g ) + 胆g ) 掣一蠊簟) 雩却。矧z 其中，为积分主值 对于区域& ，由于入射光是从区域s 中入射的，因而波动方程是非其次的 波动方程为： v 3 磊旷) + 七2 毛旷) - _ ，( i ) 其中，酽) 表示入射光源项，且妒“扩) 一j ，( 尹) g 2 假，矽为入射场根据格林 定理，肛，【g l 酽，尹) v 2 最噼矽q 。肌。丘僻f 2 g 1 酽，7 y q 饥晰艄号竽禹) 9 擎制。 ( 2 - 1 1 ) 类似于上面的推导，可得到墨的区域积分方程为： 一啪+ l m i ) 焉乎一骗鱼铲灿_ “回 其中置是区域墨的外法线的单位矢量! 因为再- 而- 厩所以 一瓣+ 正。耐) g 擎一g l 蹶) 芝乒灿矿回距s 当尹一本时，考虑到边界上的奇异积分，墨区域的边界积分方程为： e 螨阶鹏 g 字一g l 晰) 鼍笋如矿皤) 嘲 l l ( 2 - 1 2 ) 在r e 偏振情况下( 电场垂直于纸面) 下，边界积分方程： 对于t m 偏振( 磁场垂直予纸面) 的情况，宙- ( o 0 ，也) ，营- ( e ，e ，o ) 在无源 的各向异性介质中，由方程( 2 1 ) v x 两堡i 矗鼢e 童雹 挪 。 所以，v 厅) 1 - i w z 。【v ( 搪) 】 ( 2 1 4 ) 方程( 2 - 1 4 ) 的右边为： 叫面- v x 岭滞) 】- 蹰 一气言 掰 言 鲁一厶等 言一厶吉 由于磁场膏也毛，以。也一o ，昙- o 且v 詹- 0 , v x 膏) - v 2 詹，波 动方程可以简化为下面的形式： + i o e o c 勺誓一巳争- 。 c 2 彤， 对于双轴晶体巳一气- ；对单轴晶体巳- 1 # l l 对于各向同性晶体 g 。1e , b1 。1 | ，l 特别地，单轴晶体中的齐次波动方程为： v 2 詹+ k 2 f 1 0 其中f 。o ，e , ：- 孕 其边界积分方稗为1 1 2 薯竽峄| ：霉瞬 e 确跏胂g ) 警h 嘣) j p 计擘协坳 白j 于：鲜) + 工晴：( ) 要i 盟一幺g ，斥) 旦墨笔鱼埘- o 2 3 边界条件 在上一小节，我们给出了两区域情况下的边界积分方程然而，两个区域的 边界积分方程只有通过边界条件耦合起来，才能转化成实际应用计算机运算的矩 阵方程。 对两种介电介质，交界面上的电磁场满足的边界条件为t 元( j 巨一岛) i 0 i i ( d l 一冬) - o ( 2 - 1 7 ) n x ( 1 - h 2 ) - 0 面( j b l 一岛) 1 0 在上述边界方程组中只有两个方程悬独立的对第一个和第三个方程，电场 和磁场的切向分量在交界面上是连续的。首先考虑t e 偏振的情况，假定时谐电磁 场的角频率为，由麦克斯韦组， v 小等- i o j m - ia f 即 膏二( v x 营) 在t e 偏振情况下，云- e a 电矢量沿z 轴方向，而两种介质的交界面的外 法线矢量石在冽平面内，它们互相垂直因而，石x ( 蜃一丘) - o 假定 蜃- 最- 办 ( 2 1 8 ) 然而， 枷哦怯( v 讣- 一去【j i ( v x 应) 】 一去【矗垤+ v ( 面屋) 】 ( 玉1 9 ) 洲l j 因为电场e 与边界外法线元垂直，所以，j i 屋- 0 方程( 2 - 1 9 ) 可以简化为； 元膏上何v g ) 上墨 将上式代入( 2 17 ) 中 石佩坦) 1 2 c o 丽l e 。去鲁 一般地一- 如- 1 0 ，所以， 堕堡仉 丽蹰 ” 根据上面所得到的切向和法向上的边界条件，代入到边界积分方程( 2 1 3 ) 中，得到用边界的场及其法向导数表征的边界积分方程 e 一聃跏e 弩h 蹦) 警灿_ 嘲( 2 - 2 1 ) ( 参冉僻) + 工阱g ) 要蔓立一g 2 g ，乓。) 旦竽聊- o 下面考虑跏偏振的情形此时，膏一皿毛，以- 一- o , e , - 0 在各向异性 f l 质中，根据麦克斯韦方程， v x 厅- 丝8 t - 砌f 。搪 富三一孑- ( v x 詹) 。三一 珊f o9 0 三o0 巳 0 三0 气 00 1 o h , 砂 o h , 缸 o 由于，石与膏垂直，从( 2 17 ) ，有 凰i h z - 冉 然而， 1 4 l 0 3 9 0 三堡 巳砂 土堡 气缸 o ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 1 胡z 砂 抛哦壶l 吉孕g x “ih o 一去( 吃丢警+ 吉等卜一面i 吃i 言嵋i 芎尸 或者写成f 面的形式， 粤馨( 2 - 2 4 ) l i p； 一= 产 r 在单轴晶体中g 一矗气，所以，口矗- 磊- j i 将边界条件应用到积分方程 中，得到t m 偏振情况下的边界积分方程为： 降聃跏l g 擎嵋娟袖毪笋灿_ 嘲( 嬲) l 嗤阶正姒本) g 竽g 2 嘣) 塑署洫- o 总之，上面方程中的。- - 碡，是单轴晶体中寻常光的折射率 根据方程( 2 21 ) 和( 2 25 ) ，边界积分方程可以写成： e 一1 蚺) + e 阱g ) 兰嚆乎一鹏e 弓) 旦生：孚勘- 妒“g ) ( 瓢跏肛) 鱼竽嘞g 2 嘶) 型磐灿。 x c 亏：t e 偏振，a 一1 且妒e ；对删偏振，p l - 砰且伊以需要特别注意 的是，对您和t m 偏振的入射光波，单轴晶体的折射率n 分别为和 2 4 几种透镜的边界积分方程 2 4 1 单边界微柱透镜 根据2 2 小节的推导，我们可以知道单边界微柱透镜的积分方程如下。 i e 一晰) + 五【办) g 字一鹏昕。) 警埘- 矿g ) l 睦饵) + 正坼) 兰蔓詈盐一p ：呸噼爿) 旦竽w - o 对于巧偏振，p i - 1 且妒- 疋ix t y t m 偏振，a - ，矛且护皿， 2 4 2 双边界微柱透镜 图2 _ 吧闭合微柱透镜的结构示意图 如图所示。对于封闭边界微柱透镜，两区域的波动方程为， ，置 尹是 ( 2 - 2 6 ) 矿g ) 表 其中毛( f - 1 ，2 ) 是波矢，i f ) 是光源项。由格林定理和边界条件，总场方程为： 尹s ，是 ( 2 ，2 7 ) 邢卸 卜回晰妒坩鼢鬻 r 勘 塑丽器 嘞盐 b 学哟 肿 铆 叶以 妒r 因为黾区域是封闭的，当入射光的频率与区域墨的共振频率相等时，将导致数 值计算误差用散射场取代总场作为工作变量，可以消除这种数值计算误差应 用索末菲辐射条件和灭绝定理，得到散射场的边界积分方程如下， 。一群“一参+ 正【群“) 掣一g l “) 鼍勘 + 华“x 1 一寺+ 正【毕“) 旦受毪乎一g l “，) 旦量囊虫坤 尹墨( 2 2 8 ) 。- 群“) 臼+ 正【g 2 “，) 丝器赴- 最芦“) 堕学埘 f 是 2 4 3 无限周期透镜 在以往的计算中，边界元方法被广泛应用予各种形状的边界处理中，由于其 处理对象边界的有限性，使其无法处理无限结构的透镜阵列但是，我们可以从 理论上证明。在某些特殊情况下，边界元可以处理无穷边界的问题，例如：在入 射光均匀入射的，边界元方法可以处理无穷周期结构微柱透镜如图所示： jliijlllilj ：二) ：= ) ：= ： 图争_ 3 微柱透镜阵列示意图 它们的边界积分方程如下； e 一1 蚺( ) + 正盼( ) 受嚆竽一p 1 g 1 柏旦学m 。- 严6 ) 曝蚺g ) + 工阱( ) 兰蔓监p ：丧僻，i ) 旦笋w - 。 其中1 - r l + f 2 + l + ，为各个透镜的边界之和，广僻) 为入射场，所以 曝一聃g ) + e 蛳坼g ) 垒擎一p i g l 嘶) 警弦- 矿 e 蚺) + e + n + 咿阱噼) 兰蔓j 警立一p ：g 2 g 彳) 旦竽埘- 。 由于透镜的大小和形状都是一样的，另外位置和入射场也是一样的，所以对 于其中的每一个透镜的同一点，它们的场强和场强沿法向的倒数也是相等的，所 以 e 一聊 僻) + 工慨“) 薹! 量p p l 砉g l 扩，毛) 旦乎w 一一广g ) 勃跏正州凑孕他砉嘶r 袖r , 警灿。 2 5 边界元方法 边界元方法是用控制微分方程的基本解建立相应的边界积分方程，再对它结 合边界的剂分而得到离散算式由于只在边界上剖分，因此实际上是将闯题降 维处理，降维的结果必然减少代数方程组的未知数。由于积分方程用加权余量法 得到。这就避免了寻找泛函的麻烦，这也是边界元法迅速发展的原因之一 边界元方法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元方法的离散技术而 发展起来的计算方法从计算格式形成的全过程看，关键问题有两个一个是问 题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只考虑边界的问题。这一步的 关键是格林公式。这是边界元方法的基石边界化的结果使问题降维，边界元方 法的封闭方程组中只有边界结点上的未知量，减少了计算量另外，因为离散化 的误差只来源于边界，因此，边界元方法的计算精度高；而且。边界方法对有限 场域或无限域的有限边界离散求解非常方便，易于处理开域问题由于上述的种 种优点，边界元方法广泛地应用于分析和设计微小光学元件 边界离散化后，沿边界的积分转化为对单元积分之和除某些简单情况可求 得解析式外，一般都采用高斯积分求数值解基本步骤如下l ( 1 ) 对边界进行离散化，在每个单元内部。假定电场及其法向导数按节点的内 插函数变化 ( 2 ) 基于边界积分方程，应用配置方法，在每个节点上建立离散方程； ( 3 ) 采用数值积分法，计算每个单元上的相应积分项； ( 4 ) 根据给定的边界条件，列出一组线形代数方程组求解矩阵方程，解出边 界上的场及其法向导数分布； 对于单边界的微柱透镜，如图2 - 1 所示，边界积分方程( 2 - 2 6 ) 所给出，樯边 据前面的假设，在每个单元内部，边界上的电场舟“) 及其法向导数妒，“) 按节点 插一聊航孵，- 氍卜钙耐】j ， 傩，协川。螂 f l - 亭( 芋- 1 ) 2 2 - o - d o + 亭) i 3 - 亭( 1 + 亭) 2 ， 枷+ 羹舭晦刎鼢 一凳正，眦，肌，虬讲嚣； 。铲 勃嘶争黔胖| _ o ( 2 2 3 4 ) i xi n i + n 声t + n 声， l y - 执+ n 2 y , + 也) 所以 i ，1 【“+ 屯一弛) 亭+ j 1 也一毛) r + + y 2 一砒垮+ 三饥一y 1 ) 】2 # 用数值积分方法计算出矩阵的系数，求解矩阵方程得出边界离散结点上的识和 妒。，再代入到区域方程中，即可得到空间任意一点的光场分布 ： _ 蝌 3 1 引言 第三章多波长长焦深微柱透镜的聚焦特性 近几年，随着激光和电子束蚀刻技术的发展，亚波长结构的微小光学透镜的 实现成为可能多功能透镜广泛用于各种领域，比如长焦深透镜，它在入射光的 照射下可以聚焦成一条线，它可以广泛应用于高精度校正、机械工程、光盘读写、 磁光存储、光纤耦合等领域它的这些优良特性吸引了众多的科研学者最近中 科院物理所的董碧珍等人基于严格的电磁场理论利用非旁轴近似下的相位函数设 计的单边界折射型微柱透镜，能够实现长焦深和高横向分辨率的性能，而中科院 叶佳声研究了双边界的微柱透镜的聚焦性能，发现双边界长焦深微柱透镜具有比 单边界微柱透镜更好的聚焦性能，特别是在小胖下，双边界表现出更为突出