（基础数学专业论文）奇异椭圆方程不同边界条件下正解的存在性.pdf

奇异椭圆方程不同边界条件下正解的存在性 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果 在第二章我们首先考虑拟线性椭圆方程 - - a p u = l u l 7 - 2 u + 簪m ，咄黑x e i l , ， 解的存在性，对其所对应的变分泛函的( p s ) 序列进行研究，给出了一个局 部紧性结果，通过选择特殊的山路定理和能量估计，证明了如果方程所对 应的变分泛函满足局部的( p s ) 条件，那么存在一个山路型的临界点，也就 证明了方程正解的存在性 在本文第三章中我们将在0 8 q 的情况下讨论方程 嗨+ 譬州毗删， z n ，( 2 ) a ( z ) = 0 ，z o n o 的正解存在性定理，这种情况与0 n 是不同的，我们证明问题( 2 ) 所对 应的变分泛函满足局部( p s ) 条件，得到一个广义存在定理，然后利用这个 定理和能量估计来得到方程的存在性结论 关键词： 奇异，n e u m a n n 问题，局部紧性原理，h a r d y s o b o l e v 临界指 数，局部( p s ) 条件 扎 0 + 越 睁一c軎一c毫 ，fl_-lj【、_l p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a re l l i p t i c e q u a t i o n s i nd i f f e r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u r i n gt h e p e r i o dw h e nh eh a sw o r k e df o rt h em d t h ec o n t e n t sa r ea st h ef o l l o w i n g s ： f i r s t l y ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s i u l r - 2 u + 竽+ ，( 舭) ，x e f z , z n ，( 1 ) z 0 n ad e t a i l e da n a l y s i so n t h e ( p s ) s e q u e n c e o ft h ev a r i a t i o n a lf u n c t i o n a l sc o r r e s p o n d i n g t ot h ee q u a t i o n si sg i v e na n dal o c a lc o m p a c t n e s sr e s u l ti s o b t a i n e d b yc h o o s i n g s p e c i a lm o u n t a i np a s st h e o r e ma n de n e r g ye s t i m a t e ，w eo b t a i ni ft h ev a r i a t i o n a l f u n c t i o n a l sc o r r e s p o n d i n gt ot h ee q u a t i o n ss a t i s f yl o c a l ( p s ) c o n d i t i o n ，t h e r ee x s i t ac r i t i c a lp o i n t ，t h e nw ep r o v et h ee x i t e n c eo fp o s r i v es o l u t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n g e l l i p t i ce q u a t i o n si nt h ec o n d i t i o no f0 0 n ， f 也= 卢奔+ 譬州k 毗， 1 0 ，。n ，( 2 ) 【笔州。) u - o ， 。瞅 o ) ， i ti sd i f f e r e n tf r o m0 q w ep r o v et h ev a r i a t i o n a if u n c t i o n a lc o r r e s p o n d i n gt ot h e e q u a t i o n ( 2 ) s a t i s f yl o c a l ( p s ) c o n d i t i o n ，a n d o b t a i nag e n e r a le x i t e n c et h e o r e m ，t h e n a p p l y i n gt h et h e o r e ma n de n e r g ye s t i m a t e ，o b t a i nt h ee x i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ： s i n g u l a r ，n e u m a n np r o b l e m ，t h el o c a lc o m p a c t n e s s p r i n c i p l e ，h a r d y - s o b o l e vc r i t i c a le x p o n e n t ，l o c a l ( p s ) c o n d i t i o n = 一矾吼 = 一 “ u ，-i_j-lli、 一、引言 ( 一) 、研究的问题及研究背景 偏微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题，以证明 解的存在性解的个数及近似解的方法，用变分法解决偏微分方程中的问题已 越来越受到人们的关注，比如考虑如下半线性椭圆问题 l - a u = y ( x ，u ) ，o n ， l u = o , z a n ，( 1 1 1 ) 这里，( z ，) 满足某些特殊的假设条件，ncr n ( 3 ) 是有界光滑区域 长期以来，方程( 1 1 1 ) 一直受到人们的广泛关注，其原因是因为许多数 学物理方程，如源于非线性源的非线性扩散理论f l j ，热力学中的气体燃烧理 论( 2 ，3 ，量子场论和统计力学阻6 1 以及星际的重力平衡理论【2 , 7 】都与方程 ( 1 1 1 ) 有着极大的渊源而且，数学内部的许多分支，如几何中的y a m a b e 问 题【8 】和等周不等式【9 】，调和分析中的h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e v 不等式 1 0 ， y a n g - m i l s 泛函的非极小解的存在性阻及人口动力系统 1 2 等都与方程( 1 1 1 ) 有着深刻的联系 对于方程( 1 1 1 ) 的研究，重点之一是研究其在s o b o l e v 空问硪( n ) 中正 解的存在性，其研究方法主要是非线性分析中度理论1 1 和变分理论，其中变 分理论被越来越多的实例证明是种最为有力的工具之一1 2 1 ，其具体过程 为，当( x ，u ) 对满足某些增长性条件，即 当m 一+ 。时，( ，u ) = o ( p 一1 ) 对z n 一致成立( 1 1 2 ) ( 这里1 ps2 + = 箍) ，寻求方程( 1 1 1 ) 在硪) 中的非平凡解等价于寻求 下列变分泛函 j ( ) = ；v u 2 d x 一f ( 。，u ) d z ，u 硪( n ) ， ( 1 1 3 ) j oj q ，“ 的非零临界点，这里f ( z ，“) = ，( z ，s ) d s 是，( 文“) 的原函数 为了寻求( u ) 在础( n ) 中的非零临界点，一种典型的方法是按照p a l a i s 和s m a l e 的想法f 1 6 1 进行如下过程： ( 1 ) 利用x ( u ) 的几何结构导出p a l a i s s m a l e 序列( 简称( p s ) 序列) u 。) 甚。， 即：当扎_ 0 0 时，( “。) 一c ，且，( u 。) 一0 ( 2 ) 证明( p s ) 序列 u 。) 鲁1 收敛 如果每一个( p s ) 序列在某一水平c 收敛，我们称( u ) 满足p a l a i s s r a a l e 条件( 简称( p s ) 。条件) 在( 1 1 2 ) 中如果p 2 + ，我们称，( 。，) 为次i 临界增长，这时，由于嵌入 硪( n ) 一p ) 是紧的，( 1 1 3 ) 的任何( p s ) 序列都满足( p s ) 条件，因此任何 ( p s ) 序列都收敛到方程( 1 1 1 ) 的一个解，这方面著名的工作是 1 3 ，1 4 】，也可 参阅p l l i o n s 的综述文献f 1 1 在( 1 1 2 ) 中如果p 一2 + 我们称f ( x ， ) 为临界增长，这时，由于嵌入 嘲( q ) 一l 2 + ( q ) 的非紧性使得泛函( u ) 的( p s ) 。序列可以不满足( p s ) 条 件，因而问题变得复杂很多，克服这种失紧困难的经典方法源于h b r e z i s 和 l n i r e n b e r g 的著名文章 8 ，在【8 】中h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 首先证明了如果 c 专s 譬，( 这里s 是最佳s o b o l e v 常数) ，则此( p s ) 。序列满足( p s ) 条件，这时 泛函，( ) 存在非零临界点，然后通过r 。中最佳常数s 的达到函数证明了满 足条件c 0 ，n ，( 1 1 4 ) 一0 z 舰 这里n 是r 中包含原点的有界光滑区域，0 sp 0 研究问题( 1 1 4 ) 解的存在时，主要困难在于：在变换“一u ，= r n - 2 “( r ( ) ) 下，明一模，l ”一模以及带权l 2 一模( 矗品出) 具有不变性，因此嵌入 2 明( n ) 一l ”( n ) 和瑶( q ) q 三2 ( q ，l x l l ) 是非紧的 近几年来，形如( 1 1 4 ) 的方程引起了人们的广泛关注，如f 1 2 。2 0 - 2 4 1 等， 在文 2 1 j 中，e j a n n e l l i 通过变分方法，证明了如果p 万一1 ，则对任意a ( 0 ，h ( p ) ) ，在琊中方程( 1 1 4 ) 至少存在一个正解；如果万一1 i z 0 ，使得当a ( a 。m ) ， 1 ( 肛) ) 时，在嘲中方程( 1 1 4 ) 至少存在一个正解 这里凡( p ) ，a l ( 卢) 是仅依赖于p 的常数其主要方法是h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 所给出来的经典方法具体的讲，就是分析方程( 1 14 ) 所对应的变分泛函 l ，( u ) = ；上( i v 砰一舢导d x - ) ! u 2 ) 如一去上l “t ”如，v u 础( q ) ， 并证明了如果当n o o 时， u 。) c 明( n ) 满足： j ( “) c 0 ， z n ， ( 1 1 5 ) 【u = o ， z 舰， 的正解的存在性结果e k e l a n d 1 2 】和g h o u s s o u ba n dy u a n 2 2 都已考虑了问题 ( 11 5 ) ，并且证明了( 11 5 ) 在满足a ( 0 ，a 1 ) 时至少有三个解：正解，负解和变 号解，其中h 是具有0 边界条件的l a p l a c e 算子一的第一特征值f 即最小特 征值) 由此及前面的讨论可知，研究( p s ) 。序列的收敛性具有非常重要的意 义在p 一0 时，如前所述，m s t r u w e 给出了泛函，( ) 的( p s ) 。序列的深刻分 析由此结果，j m c o r o n 2 5 】和w d i n g 2 6 均给出了非星型区域上方程 i - , u = = u 2 一1 ，z n ， “= o ， z 狮， 的正解存在性结果m s t r u w e 的结果在1 9 9 4 年被严树森2 7 用p l ，l i o n s 的集 中紧性原理推广到更一般的p - l a p l a c e 方程最近，a d i m u r t h i 和m s t r u w e 2 8 1 也将此结果推广到含有非线性项的方程中去 3 本文在( 1 1 4 ) 的基础上，研究更高阶的带有h a r d y 项和临界s o b o l e v 项 的拟线性椭圆方程 f 一岛一i “ r - 2 4 t $ - - 可t u i p ( * ) - 2 u + ，( 训) ，z ：嚣。1 6 这里的区域qcr ”是包含0 的有界区域，其中n23 ，2 p n ，0 s p ，邢) = p 而( n - s ) ，p 0 ，u ： ) 为方程 一荡+ 譬札 的解且 加v 蚶刮2 一p 警= 厶峰产如= a 筘 最后，再给出一些常用概念： 泛函j c 1 ( x ，r ) ，c r 若对于满足条件 _ 。时，j ( u k ) _ c ， k o o 时，( u k ) _ 0 在x 4 中 的序列 q x 总存在它的一个子序列收敛到j 的一个j 临界点，则j 满足 ( p s ) 。条件 + = m a x u ，o ，f + ( 。，t ) = ，+ ( 。，s ) d s ， j 0 6 九州) ： 烈马站，垃o ， io ， t 0 ) 是满足c 1 边界条件的有界 的定义域，h ( o ) 0 ( 0 a n ) 记傲圆点的平均曲率 本文用到的h a r d y 不等式 芦z 砰u 2 如z i v 砰如，v u 嘲( 毗 ( z 紫) 南如g 上l v 砰峨讹锄吼 其中酉= 坐，c 为满足条件的常数 ( 三) 、结构安排 在本文，我们将内容分为三章，第二章主要讨论满足d i r i c h l e t 边界条件 的奇异椭圆方程正解的存在性第三章主要讨论满足n e u m a n n 边界条件的 一类方程正解的存在性， 7 二、奇异临界椭圆问题的正解 通过对奇异临界椭圆问题的研究，我们得到了如f 的一些成果： ( 一) 、预备知识和主要结果 本篇在以上考虑结果的前提下，进一步考虑了如下的解存在性问题， f - - m p ui “ r z “+ 上盟；：；二垫+ ，( z ，u ) ，z q ， 旧 嚣江1 1 其中3 ，2 p ，。s 鼽矿( s ) = 葛芋三，p r 矿( 。) = p 4 = 巧n p nc 丑”是包含o 的有界区域在本文我们假设 ( ) ，( 。，“) = a ( z ) t ，一1 + g ( x ，u ) ，n ( 七) l ( n ) ； ( ，2 ) 当“一0 + 时，9 ( 8 ) = 。( 矿一1 ) ； ( ，3 )当u _ + o o 时，目( z ，“) = o ( u 矿_ 1 ) ； ( ) 映射一，一o ( 。) 至少有一个正的特征值n ，对所有的西嘲9 ( n ) ，有 t w l 一。妒) d o v e t 9 d x ； ( ，5 ) 存在某一泛函，( u ) ，对u 2o 有，( z ，) 2 f ( u ) o 其中当z n ，u 0 时，( 。，u ) = o ，f ( x ，) = 譬，( z ，t ) 出，与方程( 2 1 1 ) 对应的 变分泛函是 舾，= 孔v 卵一；胪z 一丽1z 警如上脚地， 其中u 瑞8 ( n ) i v “l d x 一一础i n f 气上j 臀f 2 丽 本文主要得到如下两个定理： 定理2 1 1 若p 0 ，d 0 使得j ( ) b 日。a 0 ，这 里b ，= “日j p ( q ) | | i “i i 0 ，存在6 0 ，当0 u d 时，对几乎每一个 n ，有 g ( z ，u ) 钆1 ， 再由( ，3 ) 知对所有的u 0 ，存在常数g ，满足 g ( x ，u ) e “一1 + c u p 。1 聊，“) s ：m ) u p + ；c u r + 手c ， 则对所有的“瑞9 ( f 2 ) ，有 m ，新v 妒妒；z 一高z 譬如 一p ! - ：。( z ) ( u + ) 9 a z 一；上( u + ) a z 一；上( “+ ) a z ， 由( ，4 ) 以及h a r d y 不等式 q ( 上臀) 南- 0 引理2 2 2 对任意“硪9 ( n ) ，o ，u 不恒等于o ，存在r o 0 ，使得当 r 凰时，有j ( r u ) 0 引理2 2 3 对于方程( 2 1 1 ) 以及假设( ) 一协) 成7 t ，若存在u o 硪9 ( f 2 ) ，o o ，且u o 不恒等于0 ，满足 s 脚u pj ( t 0 ，使得e = r x u o 毛b ，j ( e ) 0 ，定义c = i n f r d m a x u 。r j ( u ) ，d 表示嗣9 ( n ) 中连接0 和e 的所有连续路 径的集合，则有o _ o j ( t “。) 0 ，存在常数c ，对“0 ，与几乎每一个z n ，有 j ，u ) js 矿一1 + g ， i f ( 酬s 尹托 由( 2 2 3 ) 一( 2 ，2 5 ) ，可得到 厶( 哼) 7 口+ i j 嘶j j 廊m c 为大于0 的常数由( 2 2 1 ) ，( 2 2 6 ) 以及h a r d y 不等式得到 怯，c ”， c ”为大于0 的常数 在序列 嘶) 中选取适当的子列，不妨仍记此子列为 嘶) ，则有 吣一u 在硪9 m ) 中； 嘶一u 在f ( q ) 中； 嘶一u 几乎处处在q 中； ( u j ) ”1 一( 矿) 1 在l 击中； 一哗在l 辩中； 83 “一” ( 224 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ，( z ，”j ) 一，( ，u + ) 在l 船中， 因此。硪1 n ) 是方程一，。：l 。i r - 2 u + 心：；垫+ ，( 。，。+ ) 的一个弱解，用 u 一乘以方程两边再积分可知u 0 由 8 1 中晶方法同样可证u 不恒为0 ，则 由强极大值原理可知在q 上“ 0 f 面验证引理3 中o 是存在的：己知函数 w d z ) - 等喾， i e 十l z l “j9 叫 _ p 。：晖， 的解，令玩( z ) 2 石五_ i 署赫，取”充分小，使得b 2 “o ) c q 设 妒( z ) c 铲( r ) 是- - 4 截断函数，o 庐( z ) 1 ，。r “；( z ) = l ，。b ( o ) ；= 0 ，z r b 2 。( o ) ；令 “。( $ ) = 咖( z ) 以( z ) ， 以垆葶 ( 2 卸 引理2 2 4 假设f ( x ，u ) 满足( ，1 ) 一) ，若有下列两式 ( 1 ) p 0 处达到，令s u p 垃o j ( t k ) = 型b 铲矿1 f ( i v 唧妒f 1 上( 盯如 ( 2 2 8 ) 一露( 8 ) 一1 一f ( x ，屯k ) k d z = 0 ， j n 妣。 ( 厶i v y d 9 寿，且由 2 2 】中引理1 1 1 知 f f v k l i 0 = a 。+ o ( e ；暑) ，( 2 29 ) 由于9 ( u = 菩上l v 计如一g 在 0 ，( 上i v ”出向上是递增的，因此 9 ( t 。) 在t o = ( ，| v k l 出) 南处取最大值，有 ，n ，( 如k ) 2 g ( k ) 一等五( k ) 7 如一上f ( 。，t k ) 如 ；1 一南) ( 上l v ”鹅一等上( 时扣上州。删嚣 s 面为( 等+ 。( e 等) - 等上协一上踟“ ，( z ，仳) l 轧p _ 1 + c u 卜1 ，“0 i z 掣如| z 型笋f 如 d 瑶。| i 睢i | 艺十c t ；一”1 吨1 7 d x ， 由于5 为任意正数，且由2 2 1 中引理1 1 1 射。 因此 上i 如_ 。扛_ 吼 。、。上学如一。忙一。， 由( 2 2 8 ) 一( 2 2 1 1 ) 可得。 。 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 。1 2 ) ( 1 ) p r 老瑞与时郦n m “ p , p * - 寺 0 足够小时，由( ，5 ) 及( 2 2 7 ) ，( 2 2 1 2 ) 和 z f ( 州。k ) 2 五l 。f 、 。a 。e + 谢嚣) 菩) 出 耥崩眯斗o c 筹器 觋爵1o c 簿器 寿o c 筹箨，如 ：最f 1 f ( 墨打 = ；掣一( p 一n ) i 一p ) s 警j 0 f ( 篙1 ) s 啡叫【l + s p l 其中w 是s ”一1 的面积，r = e 群 即证 l i 碑。气挚_ r ”掣f ( 氅d s - 慨 l i 。等挚厂”。f ( 望三孚凳) 。一d 。：+ 。， 一oj o 、f 1 十s ；= 亍1 ；j 若 1 则明显上式成立若q 。，( 3 1 4 ) 由( 31 4 ) 可知| | = f ( i w l 2 一p 荠一。( z ) u 2 ) 如+ z 。n ( z ) 钰2 d 盯一与础。( n ) 中l = ( ，l w l 2 ) 是等价的 定理3 1 1 设( a ) 及( 3 1 2 ) 一( 3 1 4 ) 成立，对0 p 巧，如果c 满足 o o = ，( 0 ) ， 任取 日1 ( n ) ，u 0 ，由( 3 1 2 ) 一( 3 1 4 ) 知t 0 0 ，j ( t u ) 一一o 。因此，存在 t o 0 使得l i t o 。0 p 且j ( t o ) 0 ，由山路引理存在 “ ) h 1 ( n ) 满足当 k 0 0 有t ，m ) 一c ，j 7 ( k ) 一0 ，下证扣k 有界：由j ( u k ) 一c 得 孔v 蚓2 一p 筹肛南上警如 一。厶矿( 州枷计i 厶吣) 啪一卧“1 ) ， 【3 - 1 6 ) zc v u 胁一p 斧一上如 一，+ ( 孔u _ ) v d x + ( z ) 女v d c = o ( 1 l v l l ) ，v v 础( n ) ( 3 1 7 ) 在f 3 1 7 1 中，令 = 得 如吲。一p 臀膨一上譬如 一，+ ( z ，“) “t 咖+ d ( z ) “2 打= o ( 陋b 协 ( 31 8 ) 由( 3 1 2 ) 。( 3 1 8 ) ，得到i i “女| | c ( c 为常数) 则 ) 存在一个子列，不妨仍 记为 u ) ，当一o o 时，满足 “一“在础( n ) 中； 尚。j 刮u , 1 9 l u ( q ) 中； 啤筹一在工辩( 哟中 85 、 “k t “在l 2 ( 0 q ) 中； 女_ 札a e 在n 中； 上f + ( z ，u t ) 如一上f + ( 。，u ) 如； lf + ( z ，u * ) u * 如一上，+ ( z ，u ) “如； 1 6 = 俪v 罴i x l 肛上咩如 一上，+ ( z ，u ) ”如+ 厶n ( z ) “w 曲= 。，怕硪( n ) 记= 饥一，则由b r e z i s l i e b 和v i t l i 7 8 定理得 上紫把上学蚺上群如俐， 上雠如= 上群蚺，丝i x l 2 如删， z i v 1 2 如2 上v 1 2 d x + l l v u l 2 d x + o ( 1 ) ， 。( z ) ”2 如一o ( 1 ) j 0 n 困此有 m ) + ；上( 1 v 叫l p 臀一赤 由于k o 。时， 一0 ，因此 加叫2 一p 箐肛上学如 我们假设 上警出o ( 1 x ( 3 瑚) 一一 = 0 ，( 3 11 0 ) b o 。时，如训t 肛等胁i 掣如州 因为 上( 酬等胁2 群昂( 上咝i x l 。办, 闹，u 删n ) 所以 加 2 - - t t ( v k ) 。2 脱2 掣品( z 喾捌南，“啪) 则一o 。，有b 兰2 警挚昂6 赤若6 ：0 ，则由( 3 1 9 ) 知u 0 若b 0 ，则 6 魁2 - 毪& ，因此6 2 ；彰等，若“j0 ，则由f 3 ，l ，9 ) 得 这与已知 嘉南萨， 因此 i t 是方程( 3 1 1 ) 的非平凡解，且由 1 7 矿扈 寄芦 翌 ，r 南吃警蚺町， 推论3 1 1 假设d ( ) l 。) ，口( z ) 0 ，口( z ) 不恒等于0 ，且0 u 0 使得 防帝譬 “- f a n ( z ) 珏，o q o q z a q o ) 在a ( 0 ，a o ) 时至少有正解 推论3 1 2 假设( z ) 工。( a n ) ，o ( 。) 0 ，a ( 。) 不恒等于0 ，且0 u 0 使得方程 在a ( 0 ，a o ) 时至少有一正解 ( 二) 、 程( 1 1 9 ) 解的存在性 现在我们来考虑方程 方程( 3 2 1 ) 的解与变分泛函 0 ) z 掰2 o ) m ，= 孙v 砰挑l p 荠胁一高z 譬如 的非零临界点是等价的， 引理3 2 1 如果o 灿 “+ ，并且c 满足 1 8 ( 3 2 1 ) 哦旺 毫 等 一 吼 十 j j 兰 咖 叫 ，地 札 o + 以 崆c 巷一抛 譬兰 | | u入+ ，o 0 | | 以崆丝鼬 ，liiill，、l_l【 一。 c 耥泸， 则j 满足( p s ) 。条件 引理3 2 2 在( a ) 的假设条件下，得到如下一些估计 正f v 1 2 d x = 上_ f 吼e f 2 如k i ( ) + 。拈f 焉篇) + o 陋等) ， z 雠出= 厶群如一鲍。) + 。陋蕊) + 。陋等) ， z 臀如= 厶臀+ 0 ( 。疏) + 。( 尚 上坩如- o ( s 燕加 0 ，有i h ( x 7 ) 一9 ( x 例sq m 2 ，7 d ( o ，d ) 因此有 h i ( e ) e n - 2 ，栅再讶 x 嚅 t 2 d x 耳 j d ( o 再 ，6 ) 忙+ l z 7 | 7 r 一) j = 产 ，z q 。耐舾， j 咒 z ( 1 + 圳鼍乒) 掣 因此 酬= l ，如7 “i v 蚓w 所以 以i 乳一2 如。厶i 乳牡瑙( 讣0 ( e 珊) + 0 ( 帮) 上钵扣正，雠扣删f d 叫d x f m 一饼 u e l 2 d x n + 0 c 固 = 上，钵扣t 副厂群螈 一d 、，f h ( x 。群蝌。( 尚 啡，= r n ，d x f o 烈一群如w ：。等，出丫扛。 j r n1j n d x t ， 蚓2 ( 西一厕+ 1 ) ( s + h 1 2 铲) ! 卿 乇州z “k 确而而意降 其中= f 蒜，因此 ! i r a 商格i 鲍( ) = k 2 。v 一 五而丽石磊百g ( v 瓦) d v 产翠 眺，= k ，列。雠咖 群k ，蹦艨丽焉瓦d x 砰n 乎芦 兰s 鬻d ( o , 6 ) 百t h ( 矛x 0 - 乒g ( x ) 黟i d x ， 由于h ( x ) = g ( z 7 ) + o ( 1 1 2 ) ，因此均 0 ，有 h ( x ) 一g ( x 引sq 。个，z 7 d ( o ，6 ) 因此有 因此 吼( 。) 班一n - 2 ， j d f 1 2 d x , 叩) ( e + 川鼍铲) 瞥 鲰彘厶一百酽d 帮y 1 - i - j j 一一r 1i 。，“t 7 旷一、气三。 2 1 凰( ) = d x ，fvu。f2dxfh(x ， ) j o ( o ，d ) j g ( x ) 上臀如= 厶雠出一( s ) + 啦珊) + 。扛等) z 紫如= 厶紫出曲j o 。紫舒， = l 潜虮l “r 警 一厶，出7 e 。紫蝌。c 固， 酢，= 厶。7 z 鲥一警 筹f r d x f g 渖。万再蔷斋 2 小7 z 咖。e 一丽瓤， l i 陇一o 疏雠) 碱2 l 而y l 再焉1 铬乒芦彬， o 月”1 p 昔孑( + 圳2 习f 。) 8 兰 麟，一k ，a z ，。喾咖 f h ( x 。万再罱n - 2 舞 。镨厂 j d ( o ，d ) w 攀一2 ( + 蚓垒2 号尹) 毪堕 由于h ( x 7 ) = 9 ( z 7 ) + o ( i x 个) ，因此均 0 ，有i h ( x ) 一9 ( 一) l q l 个，z ，1 9 ( o ，d ) 因此有 2 2 因此 l ，如z 一2 1 - “- a x n = 0 忙鼎卜 小e 等l 丽磊瓦而d x 需 ：。鼎厂彘 s 一l d s s 1 2 ( 循一网( 1 + h 堕2 铲) 骅 所以2 d x ：o ( 面；舾) ，o p 0j ( 地。) = j ( t 。u 。) 一辨v 衅批h 辞一鬈z 喾电慨。q 掣i t = t e = t e 加叫2 州一肛静卅2 旷1 上紫拈。 轳。地喾，南 岛叫萨膨 supt!。jct啦，=t，c如，=；!厶旦喾 1 l 盘v u 铲+ 趟一肛斧) 酬碧 2 吖8 ( 上紫如) 筹 2 耥c 喾声， 点( i v “印+ a k 2 一肛斧2 ) 出= 上f i v 蚓2 d x - k 1 ( s ) + 。( 疏) + 。( e 锷) 一肛上，雠蚺倒讣。t 燕) + 。陋西聚i ) + o 忙譬等) ，( 3 2 7 ) 其中 b ，= 互1 上。( i v 2 一卢雠) 如又由 ( z 紫删一n - 2 厶紫扣排扛彘) + 。( 渤 麓 = b 2 ( 1 一( 岛) 一- 硒( ) ) + 。扛诤鼎) 十d 忙酉n - 2 ) j 而n - 2 ：妒(1+一，一1k3()+。(彘)+o扛锷潲2n-2rbt 2 8 ) = b i 蕊( 1 + 。，一1 ) ) + o ( 西= 嚣孑辟) + o 扛譬等) ，( 3 8 ) 其中岛= 旎紫出由式( 3 删 ( 3 删得 丛凳芸互匿：皂”f 啡h 酢m ( 上学蚴糕 b 叫”呼一“ + 而n - 2 1 妫( e ) + 。忙商) + 丙= i 21 k 3 忙) + o ( 2 叫_ _ “j 再由加v 俐2 一肛警= 厶哗产扣泸滑 矿s l2 斋1 t z 7 咱1 ) 格品， 则只要证得 口f 1 ( k 1 ( ) 一“2 ( ) ) 丽n - = 2 。2 - i 蚝忙) + o 陋面豸5 砗) 即可，由前面所证只要 _ b i l ( k 1 一# k 2 ) n 。- 2 。b 。- 1 玛+ o ( 1 ) 成立即可，即证不等式 k l 一# k 2 n 一2 b x 。n s b 2 成立即可，将值k 1 ，k 2 ，k 3 代入式丝尝得 k x 一“配 k 3 因此 ( r ，+ r l y i 韭妒) 2 9 ( y , ) 一p 9 ( ，) ( 1 + | ，i 韭誓) 2 胛而一诉雨1 ) ( 1 + m 1 1 等乒) 攀韭 ( 厶一，而鬲百等雨 一，o 。竖地! 竺墨) z 一芦( 1 + 2 - - s 。产- - 胪2 丹 一厶瓦云鬲i 百矗每乒矿。 妇 40。tn 1 0 万磊r 孟雾彳呼。v ，) - 1 “j。盟紫墨薯斟o 。 f 1 十t 学1 掣 。2：；二二；21筹at】-(厂”iij蒜2njo - 4 - j o a ”7 ) 一1 ( 1 里弓乒1 掣“f 1 + 妲喘乒1 掣”7 下面我们将得到一个积分等式：任取2 p -一) ( 口一p ) 一(一) 2 6 而 因此 篱isl：4(万一p)，nsb 2 、” k i 一弘硒、n 一2 b i 蚝。n 一8 8 2 结论成立 定理3 2 1 假设( a ) 成立，0 o = j ( o ) ，又因为t 一十。时， 郧小孔v 钟+ ) , v 2 - 砰v 2 肛豁上学d x 一喵 所以存在t o 0 满足i i t o 训l p 且j ( t o u ) 0 ，由山路引理知存在序列 “k ) h 1 m ) ，满足k 一。时， j ( u k ) 一c ，j ( u k ) _ 0 ， 再由引理3 2 3 知。 c _ oj ( t u 。) ，且由( 3 2 2 ) 一( 3 2 4 ) 得 s u p t ) oj ( t u ) = j ( t ，u ，) 因此 = 新v 叫2 一p 辞皿一鬈z 譬如+ 。c 尚邝。s ， 1 d j ( t 广u ) b = 缸上( i v m2 剞u 2 如 t 。2 - ( s ) - ij 。l u 矿1 1 2 ( 8 ) d z = 。，( 3 34 ) 删3 删。：( 坐莩) 南m m 枷3 ) 得 螨( 3 删黼毛叫址陋耐 ) 南带如卧引3 舢) 得 n s supt!。jctue，=jcus，=；喾 一上盈二! 二! 篚翌竺 2 叮8 ( 上学筹 要证明( 3 3 2 ) 只要证明 ：罴( 驾襞崩眯智) 2 1 r ( z 紫删舞”悼一 融万稀磊 一 一扣一。 o f一山i 一型j死窿觋；，1小可觚 参考文献 【1 】p l l i o n s ，o n t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ， s i a m r e v i e w ，2 4 ( 1 9 8 2 ) ，4 4 1 4 6 7 嘲d d j o s e p ha n dt s l u n d g r e n ，q u a s i l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e md r i v e nb yp o s i t i v e s o u r c e s ，a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l t j l ，4 9 ( 1 9 7 3 ) ，2 4 1 2 6 9 【3 】i m g e l f a n d ， s o m e p r o b l e m s i nt h e t h e o r y o f q u a s i l i n e a re q u t i o n s ， a m e r ，m a t h s o c t r a n ，d i f f i n t e g r a l 功u s f j ，2 ( 1 9 9 8 ) ，3 1 1 3 2 6 1 4 】w s t r a u s s ， e x i s t e n c eo f s o l i t a r y w a v e si n h i g h e rd i m e n s i o n s ， c o m m m a t h p h y s p 1 ，5 6 ( 1 9 7 7 ) ，1 4 9 - 1 6 2 1 5 】s c o l e m a n ，v g l a z e ra n da m a r t i n ，a c t i o nm i n i m aa x n o u gs o l u t i o n s t oac l a s so f e u c l i d e a ns c a l a rf i e l de q u a t i o n s ，c o m m m a t h p h y s f j j ，5 8 ( 1 9 7 8 ) ，2 1 1 2 2 1 【6 】h b r e z i s a n de l i e b ，ar e l a t i o