（应用数学专业论文）算子权移位的扰动相似及（uk）轨道闭包.pdf

青岛科技大学研究生学位论文 算子权移位的扰动相似及 + 后) 一轨道闭包 摘要 设日是复的h i l b e r t 空间，r 是日上的有界线性算子，r 的似+ t ) 一轨道定 义为 + 女) ( r ) = r t r 一1 ：r 是可逆的，且r 可表示为酉算子加紧算子的形式 ，r 的 + 七) 一轨道范数闭包表示为 + t ) ( 丁) 。若 4 ) 。是日上一致有界的可逆算子 序列，设以= ，骨= 二。圮，骨上具有算子权序列 4 。的单侧算子权移 位s 定义为s ( x o ，五，x 2 ，) = ( o ，a o x o ，4 而，) ，( 矗) 。岳h ，记为s 4 。若c 表示复平面，风= h = c ”= o 乌c ，也称s 为螽上的珂重单侧算子权移位。 本文包含三章，第一章，介绍有关算子权移位的研究现状及预备知识；第二 章，讨论算子权移位的扰动相似；第j 章，刻画了算子权移位的 + 七) 一轨道 闭包。本文得到了下面结果： 1 设l d i m h = n 佃，s 4 。，p 关于再= 二。见具有主对角线 及次对角线元素都为0 的下三角算子矩阵表示。 s u p 朋1 4 + 。犯忙。忆 s ， l 且 l l i p s _ 。 0 ，0 l i m i n f 砖) = q l i m s u p 砖 = 届 l i m i n f 船f + l = n “ q + l ，i ：l ，2 ， 一1 。则石干巧而= r 是弃上的有界算子；r 满足( 1 ) r 是本 性正规的，( 2 ) 盯( 月) = z c ：h 成) ，( 3 ) a a r ) = u 三 z c ：或h 届 ， ( 4 ) i n d ( r - = 一玎，任意的h q ，i n d ( r 一见) = - ( n 一0 ，任意的属 h q “， i = 1 , 2 ，r 1 。 。 3 设r 。满足2 的题设条件，且当i = 1 ，2 ，h 时都有q = 届= 乃，则 石i 颐巧= r 是a 上的有界算子：r 满足( 1 ) r 是本性正规的，( 2 ) 仃( r ) ： z e c ：h 靠) ，( 3 ) 吒( 月) = u ：。 z c ：h = 一 ，( 4 ) i n d ( r - a ) = 卅对任意 的h 乃成立，i n d ( r 一五) = - ( n - 0 对任意的形 h 乃+ l 成立，i = 1 ，2 ， 一l 。 。 关键词：单侧算子权移位，紧扰动，相似，0 + 七) 一轨道闭包，本性正规算子。 簦王壑堡垡塑垫垫塑! 坚丝! ! ：盟二塾望塑里一一 s i m i l a r i t yo fp e r t u r b a t i o n s a n d t h ec l o s u r e so ft h e ( “+ 后) 一o r b i to f o p e r a t o rw e i g h t e ds h i f t s a b s t r a c t l e thb eac o m p l e xs e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e ，t b eab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ro i lh 1 1 l c + 七) 一o r b i to fti s d e f i n e da s ( “十t ) ( r ) = r - i t r ：ri n v e r t i b l eo ft h ef o r m u n i t a r yp l 璐c o m p a c t ，t h en o r mc l o s u r eo f t h e 似+ e ) 一o r b j t o fti sd e n o t e d ( u + k x t ) i f 4 i b ea u n i f o r m l yb o u n d e ds e q u e n c e 。fi n v e r t i b l e 。p e r a t 。r so n 日，以= 日， 膏= 二。珥，t h eu n i l a t e r a l o p e r a t o rw e i g h t e d s h i f ts0 1 1h ”i l i at h e ”g t n 酣 s e q u e n c e 4 i i sd e f i n e d i ss ( x o ，x l ，x 2 ，= ( o ，矗，4 玉，( 矗) 一h ，d c r i o 把4b y s 4 l e tcb e t h ec o m p l e xp l a n e ，以= h 2 c ”= o ：l c ，s i sa l s os a i d t ob ea n - m u l 邱l eu n i l a t e r a lo p e r a t o rw e i g h t e ds h i f t 1 1 1 i st l l i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s w eg i v et h ep r e l i m i n a r i e so nt h i sp a p e ri n t h ef i r s t c h a p t e r , a n dd i s c u s st h es i m i l a r i t yo fp e r t u r b a t i o no fo p e r a t o rw e i g h t e ds h i f t i nt h es e c o n dp a p e r a n dd e s c r i b et h ec l o s u r eo f t h e 似+ 女) 一o r b i to f c e r t a i ne s s e n t i a l l yn o r m a lo p e r a t o rw e i g h t e d s h i f t i nt h el a s tc h a p t c r w eg e tt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： 1 l e t1 d i m h = r 佃，s 4 ) t 2 0 ，pb co fa l o w e r t r i a n g u l a ro p e r a t o r m a t r i x r e p r c 嘶w i t hr e s p e c tt o 西，w h o s ee l e m e n t ss a t i s 每t h e m a i nd i a g o n a le l e m e n t sa n d 蚰d i a g o n a l e l 咖吣a r e 0 ，r c s p e e t i v e l y i fs u p ，卸4 + ，川4 。1 ， 0a n do l i m i n f w ： ) = q l i r as u p 坩 2 局 青岛科技大学研究生学位论文 l i r a i n f 喇h = q + if o r a l l i = l ，2 ，n - 1 t h e n + 女) ( 7 1 ) 2 ri s ab o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r0 n 青：rs a t i s f i e s ( 1 ) ri sa ne s s e n t i a l l yn o r m a lo p e r a t o r ；( 2 ) 盯( r ) = z c ：i z l 成 ；( 3 ) 吒( r ) = u ： ：c ：q - l z i 属 ；( 4 ) i n d ( r 一旯) = 一n f o r a l l i 五i q ，i n d ( r 一丑) = - ( n - o f o r a l l i 五l 侈l ，i = l ，2 ，行一1 ) 3 l e tt - 慨 t ms a t i s f yt h e $ a l n ec o n d i t i o n so f2 ，a n d 2 属2 一f o rf = 1 2 一， n - i t h e no + t ) ( 丁) ； r i sab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r0 1 1疗：rs a i l s f i ( 1 ) ri s e s s e n t i a l l y n o r m a l o p e r a t o r ；( 2 ) 盯( r ) = 扛c ：i z i s 以 ；( 3 ) 吒( 只) = u ：l ：c ：i 二i _ 一 ， ( 4 ) i n d ( r 一五) = - - i v f o r a l ll 五i ，i n d ( r - 2 ) = - ( n - 0f o r a l l 只 l 五i o ，都存在紧算子墨，使得i i k , i i s 且置+ 墨 相似于且? 给出了部分回答。 算子的小紧扰动对讨论具有某些性质算子的范数闭包有着重要的作用，例如 算子的酉轨道闭包、相似轨道闭包和+ ) 一轨道闭包等。 算子s 、t l ( h 1 称为是相似的，如果存在一个可逆算子x 使得s = x t x 。 r 的相似轨道定义为： j ( 丁) = x t x 一；j 是何上的可逆算子 青岛科技大学研究生学位论文 如果b s ( t ) ，则记为b t 。s ( t ) 表示s ( t ) 的范数闭包。算子的性质，如谱，指 标等都是相似不变的。 算子s 、t l ( h ) 称为是酉等价的，如果存在一个酉算子【，使得s = 删+ 。 算子r 的酉轨道定义为： “( r ) = 唧：u 是h 上的酉算子 如果算子a 甜( ，) ，则记为a 兰t 。“( r ) 表示z ，( r ) 的范数闭包。 h a d w i n 1 8 刻画了甜( r ) ，b r o w n ，d o u n g l a s 和f i l l m o r e 1 9 刻划了本性正规 算子本性酉等价。a p o s t o l ，f i a l l c o w ，h e r r e r o 和v o i c u l e s c u 在文献 2 0 ，t h e o r e m 9 2 具体给出了s ( r ) 。而 + 七) 一轨道介于酉轨道与相似轨道之间，h e r r e r o 在文 献 2 1 中引入了算子的0 + k ) 一等价概念，并希望刻画一般算子的 + k ) 一轨道问 题。设 + 七) ( 日) = r 工( h ) ：r 是可逆的，且r 可写成酉算子加紧算子的形 式 。如果存在r + 七) ( ) 使得s 、t l ( h ) 满足s = r t r ，则s 、r 称为 0 + t ) 一等价的，记为s 兰。t 。算子t l ( h ) 的 + 七) 轨道定义为： ( 甜+ 七) ( r ) = r t r 一1 ：r ( “+ t ) ( h ) + t ) ( 丁) 表示0 + 七) ( r ) 的范数闭包，由定义显然有u ( t ) c + 女) ( r ) 量j ( r ) 。 因为算子的似+ t ) 一轨道不一定是闭的，而刻划一般算子的( + 七) 一轨道闭包 是非常有意义的而且又是困难的，由文献 2 2 知目前仍是一个开问题。 在文献 2 3 中，g u i n a n d 和m a r c o u x 分别给出了正规算子，紧算子和单侧权移 位算子的似+ ”一轨道闭包。在文献 2 4 中，6 u i n a n d 和m a r c o u x 确定了某些加权移 位算子的 + t ) 一轨道，s h i f t - l i k e 算子的 + | i ) 一轨道闭包在文献 2 5 中被确定。 而对s h i f t l i k e 算子的一种推广则由纪友清、蒋春澜和王宗尧在文献 2 6 中确定。 d o s t a l 在文献 2 7 j 中构造了系列本性正规算子模型，并刻划了它们的似+ 女) 一 轨道闭包。关于 + 女) 一轨道知识的详细介绍，可以参考文献 2 2 。 在本文的第三章中，我们构造了一类算子权移位，其谱、指标、本性谱都不 同于已有文献中所考虑的情形，并且刻划了这类算子权移位的似+ k ) - 轨道闭包， 得到定理3 3 1 和定理3 3 2 。 算了权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 2 1引言 第二章算子权移位的扰动相似 在本章中，我们总设h 是复的h i l b e r t 空间且1 d i m h = 甩 ) ) + ； ( r ) = $ t - t s ，t 工( 日) ； 孵= p 上( 骨) ：0 o 。 。 在本章中，我们主要讨论下面的问题： 问题：设p 三( 丑) 具有严格下三角算子矩阵表示，s 4 。则当 4 。及p 满足什么条件时，算子s + p 相似于s ? 得到了下面的丰要结论： 青岛科技大学研究生学位论文 定理2 3 1 如果设l d i m h = ” 枷，s 4 ， p s _ 孵且i i l l s _ 。 1 ，则s + p 相似于s 。 s u n l a 乩， ，二+ 。_ l | 7 ：f 占。由于 扩一训膏- i i i t - l i i i = 一跏。， 因此得咿一乙阽 占，注意到占的任意性以及乙是有限秩算子可得r 是紧算子。 引理2 2 2 设r 上( 劫，如果r ( r ) 表示的级数- 三冗受按工( 齑) 中的算子 范数收敛，则f 舀( r ( r ) ) = 月。 证明：由假设知r ( r ) 是有界算子，注意到篷。s = i ，则 ( r ( r ) ) = s ( 忑二s 拶1 ) 一( - 二s 拶1 ) s = 二“置岛+ 二拶。s _ t s 引理2 2 3 如果s u p 鞠1 4 + 。叫1 4 1 l ，) ， 1 ，黔。删- i i i p s - 。0 1 ，则由z ，y 定义的级数按“疗) 中的算孑范数收敛。 青岛科技人学研究生学位论文 证明：由矩阵的运算可得j p 墨，具有算子矩阵表示 邢= o0 o0 0 民再1 0 & 筒1 0 筒1 0 0 0 b 1 4 _ 1 只1 4 - 1 ： oo o0 o0 oo 易4 1 0 ( 2 1 ) ( i ) 级数r = j + r ( p ) + r ( r ( p ) p ) + r ( r ( r ( p ) p ) p ) + 收敛性的证明： 为了证明级数x 的收敛性，我们主要是通过估算范数0 r ( p ) 峙，忙( r ( j p ) p ) b ， l i r ( r ( r ( e ) e ) e ) l l o ，然后证明下面级数和的收敛性 l + i i r ( 尸) 0 自+ l r ( r ( p ) 尸) i a + i r ( r ( r ( p ) p ) p ) l l 自+ 而由引理2 2 1 可知，只需估算范数r ( p ) ，l f ( r ，j = o ，l ，2 ，i = j + 3 ，+ 4 ， 且有 | 1 4 j i 。k - 。牝s | | 4 | f 。8 础4 一。犯k ：。忆，州 由引理2 2 1 ，i i j 对s ( f ( p ) p s _ 1 ) & 。有 忪( r ( p ) 户蔓- ) 篷- 峙0 s ( r ( p ) p 墨- ) 豇。2 二二川f | 4c i ，巧1 4 - + i 虬 二。一。阿c ，钏。 r 2 二。：一i p , ，犯 r 2i l l w ) e s - ， ( 2 9 ) 则由( 2 7 ) 式，( 2 9 ) 式及引理2 2 1 有 l j s ( r ( e ) e s _ - ) 踮粘r 2i i i r ( e ) e s _ 。4 r 2i i i r ( e ) l l ii p s _ 。 苦陋肌 类似于上面的讨论过程，对于七 l ，利用相似于证明( 2 9 ) 式的方法，可得到 k r ( d 艘。) 醴峙s 岳陋l | | 1 2 从而对r ( r ( p ) p ) 可以得到 算了权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 i v ( r ( m m l l 自i i r ( e ) p s _ 。峙+ i i s ( r ( e ) p s _ ，) 叫口+ 秽( r ( p ) 艘。) 剐自+ 击。魍l l j | 2 + 岳陋。l | 1 2 + 岳。艘。n 击古陋- 旷 相似地可得 l i t ( r ( r ( m m m l l 自爵1 再1 百1 i p s - ，盯 依次类推，对旷( r ( r ( r ( ，) ，) p ) 尸) 峙，可以同样给出估算。从而对x 有 i i x l l 。i i i i i a + i i t ( r o l l 膏+ l i r ( r ( e ) e ) l l 自+ i i r ( r ( r ( j p ) 尸) j p ) 峙+ ，+ 击陋。击专陋l l | | 2 +士匕古9魍。卜11一，一r 2l 一一o f l _ 1 l 由题设条件朋 1 及文献 1 5 ，p r o p o s i t i o nd 2 的证明中关于相关级数收敛 性的讨论可得i f x 帖 m ，从而级数收敛a ， ( i i ) 级数y = i r ( p ) + h e r ( e ) ) 一r ( p r ( p r ( p ) ) ) 十收敛性的证明： 由( i ) 中x 收敛性的证明可知，为了证明y 的收敛性，只需讨论下面级数和 的收敛性即可 1 + m r ( p ) 4 + n l r ( p r ( e ) ) l l l + 0 i r ( p r ( p r ( p ) ) ) l l l + 下面我们来分别估算0 r ( p r ( 尸) ) 埘，r ( j p r ( 尸r ( p ) ) ) 。 注意到r ( p r ( p ) ) = - p f ( p ) s _ ，+ s ( e r ( p ) s _ 。) 墨l + s 2 ( p r ( p ) 篷1 ) 罡l + 】， 由( 2 8 ) 式以及p ，篷。的矩阵表示，可知e r ( p ) s _ ，的矩阵表示是下三角矩阵，其 中非零元分别在第疗列，这里的”3 且第玎列非零元具有形式 ：一。只，毋稿， i = n + l ，n + 2 ，：拧3 则对p r ( p ) s 。的第3 列元素有 圳三c ，4 - 1 卜，。一i - 2 e ，量。4 - 考虑含氏的项，注意到s u p 门1 4 + 。叫1 4 1 虬) ， l ，则当f 4 时， i i p ：岛。彳10 。= 0 e , 2 4 - 1 4 4 - 1 l l i i p ：4 配1 1 岛o l l 。1 1 4 l l 。8 4 1 牝 r 慷刎。陬虬 肯岛科技大学研究生学位论文 由l 2 1 ) 式，、任总剑 忙：4 1 l + 忙：4 忆+ i k ：筒1 牝+ c - l t l p s 川 从而有 ：。0 ：b 2 。4 1 扎墨，k 黔i l l l 考虑含马。的项，我们有 f 峙氐4 - 1 1 1 = 0 圪笱4 巧4 氐彳1 忆 i l e ，笱18 。9 4 叫1 4 1 k 恤u 1 4 18 。0 氐忆 r 20 易笱1 氏k 依此类推，则对i 5 有 ：，怫县。彳1 忆r 2 陬忆i i i p s - l l l 相似地讨论含耳。项，当女4 有0 b 最。4 - 1 忆，“1i 陋。虬8 8 4 1 亿及 二。1 k 嘎。4 - 1k r k - i8 b k 。8 。i i ip s - 。批 注意到r l ，则 叫。卢i - 2 。，目。彳1 此r8 气i ，- i i l + r 2l i 氐1 1 i i i p s - - r0 艘i i f i ( b 卜怫肚+ ) sr4 黔。叭瑚刈。) 相似于上面的讨论过程，利用相同的方法，则对珂= k 4 有 二+ i i x , - 2 。p ，一，：犯，0 魍。i l l ( x ；。n i 。) 注意到扩( 尸) 的定义及( 2 8 ) 式中r ( p ) 矩阵表示，重复上面的估算过程可得 0 l e r ( p ) s _ ，忙，l l i p s - 川0 r ( 驯 再由( 2 7 ) 式及引理2 2 1 ，从而可得到 i l m m - 。u 西r l l i p s - 2 ( 2 z o ) 利用州p ) 篷。的矩阵表示形式，将s ( 尸r ( d 岛) 篷。表示为矩阵形式，再由引 理2 2 1 及相似于( 2 1 0 ) 式中关于p f ( p ) s _ 。的证明可得 临( p r ( p ) s - 1 ) s 一峙s 苦0 魍，i l | 2 利用相同的方法可以证得 算了权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 i s k ( p f ( p ) s _ ) 百r 2 k + li i t p s - l l | | 2 从而对于r ( e r ( p ) ) 有 f ( m e ) ) l l 自j l i n e ) s _ 粘+ 1 1 8 ( p r ( p ) & ，) 蹦自+ 0 s 2 ( p f ( p ) s _ 。) s 一2 粘+ 击。艘t | 1 1 2 + 鲁。魍l l | | 2 + 苦慨| | | 2 + 击专慨盯 ( 2 。1 1 ) 类似( 2 1 1 ) 式的讨论，对f ( p f ( p f ( p ) ) ) 可证得 i i r ( e r ( e r ( p ) ) ) l l a 百1f r 7 万2 i l l p s - t 盯 依次递推计算，则对级数l ，可以得到 4 叱sl t u 自+ l i r ( e ) u a + i i r ( e r ( e ) ) h 自+ i i r ( p r ( e r ( p ) ) ) r 自+ + 专。艘i i | l + 击专。黔- n + 士1 吉1 之m 魍。m 3 + (212)r 1 - r i l li n 一p一2 3 一l 由l l l p s - 。4 i 以及文献 1 5 ，p r o p o s i t i o nd 4 的证明中关于级数( 2 1 2 ) 的讨论可 知i i r l l 自m 。 为了方便，我们将 1 5 ，l e n ad 4 作为引理2 2 4 给出，引理2 2 5 的证 明相似于 1 5 ，l e m m aa 6 ，这里也给出其证明。 引理2 2 4 ( 1 5 ，l e m m ad 4 ) 如果r ( a ) ，r ( b ) ，r ( 爿r ( b ) ) ，r ( r ( a ) b ) 表示的 级数分别在弱算子拓扑下有界，则 r ( 爿r ( b ) ) + r ( r ( 彳) 口) ；r ( 一) r ( 曰) 引理2 2 5 如果s u p 瑚1 4 + 。峙f 1 4 - 1 如) ， 1 ，p s _ 。e 蛆l l l p s - i i l ，则有 册7 = 豚= i 证明：由引理2 2 3 知道肖，y 分别是青上的有界线性算子，设 x = ，o + 吒+ 吃+ + ， y = f 0 一+ 七一，3 + 这里 = f ，= r ( p ) ，吒= r ( r ( p ) p ) t = r ( r ( r ( p ) p ) p ) ， t o = 1 ，五= r ( p ) ，厶= r ( p r ( p ) ) ，厶= r ( 尸r ( p r ( p ) ) ) ， 青岛科技大学研究生学位论文 则计算朋7 得 工l ，= r o 毛一r o l , + 屯一，0 + ，4 一厶+ + 7，7 ， 7 f 0 一+ 乞一+ 一厶+ + f77 7 ，一吒+ 如一毛+ 吒一如厶+ + ff? 7 巴f o 一吩+ 吩乞一吩f 3 + 吩j 4 一吩+ + 按斜线整理得 x y = i + q + c 2 + q + ， 这里的 q = 毛一= 巧一， q = r d o 一+ ，2 = r 2 一+ 乞， - - 巳= 一，：，一l + ，：i _ 2 如一+ ( 一1 ) ”厶 下面证明巳= 0 ，行；1 ，2 ，3 ， 由引理2 2 5 的假设及引理2 2 3 的证明知，= 1 ，2 ，3 ，分别是上的 有界线性算子，再由引理2 2 4 可得 _ + - 。= r ( ，) r ( p l j ，) = f ( r , p i ( p i j ) ) + r ( r ( 尸) p l j ) = r ( e t , “) + r ( i + i 尸，) ( 2 1 3 ) 又由( 2 1 3 ) 式可得 = k 一_ 1 f l + o ：f 2 一+ ( - 1 ) “i n = r ( 一。j ) 一( r ( ，t ：p 1 1 ) + r ( 一。尸) ) + ( r ( - 3 p 1 2 ) + r ( 之q ) ) 一 + ( 一1 ) ”r ( r o p o ) = 0 从而得x y = j ，相似地可以证明y x = i 。 引理2 2 6 如果s u n 4 + 。圳1 4 - 1 忆 ， l ，墨锨且8 尸墨，4 1 ，则有 彳舀( x ) = x p ，彳舀( y ) = 一p y 证明：由引理2 2 3 知x ，】，表示的级数分别按上的算子范数收敛，因此满足 算子权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 引理2 2 ，2 的条件，由引理2 2 2 可得 z k ( r ) = f 蠢( ，+ r ( p ) + r ( r ( ，) p ) + r ( r ( r ( p ) 尸) j p ) + ) = t s s ( r ( d ) + f 基( r ( r ( d p ) ) + f 姆( r ( r ( r ( p ) p ) p ) + 一 = p + r ( e ) e + r ( r ( p ) p ) v + r ( r ( r ( p ) p ) p ) p + = ( + r ( p ) + r ( r ( j p ) 尸) + r ( r ( r ( p ) p ) p ) + ) p = x p 关于氏( j ，) = 一p j ，可以相似地证明，这里省略。 青岛科技大学研究生学位论文 2 3 本章结果的证明 定理2 3 1 如果设l d h n h = n 佃，s 4 ) 。，s u p ，4 + 。忆9 4 _ 1 忆 r l ， p s _ l 们且i l i p s - ，”1 ，$ i j s + p i 蝴= s 。 证明：取x ，y 为本章所设，由引理2 2 3 ，引理2 2 5 ，引理2 2 6 知x ，y 是 有界线性算子且 s x = x ( s + p ) ，( s + p ) l r = y s 从而可证得s + p 相似于s 。 推论2 3 i 如果s 一 4 l ”- - - o ，s u p ， 1 1 - 1 忆) m ，则当s u p ，卸4 + 。k 1 4 _ 1 犯) ， l 且 0 p s u p ，锄f 1 4 。 1 时有s + p 相似于s 。 证明： 为i i i p s - 。i i i - i h s u p ，卸4 1 忆 ，则当护怙u p ， 1 1 4 - 1 k l 时。i l l e s - 。 o ，都存在紧算 子置，使得i i k , i i e j 王n , + k 相似于最? 下面的命题2 3 1 对此开问题给出了部 分回答。 命题2 3 1 设马一 4 ) 二，耳e ( q ) ，s u p ，硼4 + ，u 1 4 - 1 忆) r l ，x 是主对角 线及次对角线元素都为0 的下三角算子矩阵且k 4 + m ，i f l i t s u p ， 1 1 4 - 1 虬 o ，存在紧算子墨且4 墨牡 占使得 研+ 矸相似于霹。 证明：由引理2 2 1 知足是紧算子，根据 4 2 ，t h e o r e m 3 2 知i s u p ， 0 4 - 1 峙 0 ，取k 。是主对角线及次对角线元素都为0 的下三角算子矩阵且满足 9 k 。 s ，f s u p ， 1 1 - 1 忆 1 ，则由推论2 3 1 知存在有界可逆算子r 使得 r ( 且+ 墨) = b , t 。因此 垦= r 。r ( 尽+ k ) t r 算子权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 即群+ 盯相似于厨。 在定理2 3 1 的证明中，我们假设p 是具有下三角算子矩阵表示且主对角线 及次对角线元素都为0 的情形。当j p 的主对角线元素不为0 时，注意到 4 ，l e m m a 3 1 ，我们有下面的结果： 命题2 3 2 设s 4 “f f i 0 ，t ，p 分别是日上的有界线性算子且关于日具有矩 阵表示 t = 00 t o 0 五 五。 五i ： 00 00 00 五0 ： p = 0000 oooo 0 00 k 正。0 0 若对任意珂o ，s u p 。硼以+ 五忆) o o ，o 芒盯( 4 + t d 且存在日上的酉算子u 使得 ( a n + ) ( 4 。+ 瓦一。) ( a o + t o ) u 筇1 站4 | 。是的酉算子，则当0 磷1 l ， s u p ，4 。+ o ，扎l l ( 4 + z ) - 1 忆) r c i 时，s + r 相似于s 。这里的踮是次对角线 元素为( ( 4 + 瓦) ，( 4 + 7 ：) 一，( 4 + 瓦) 一，) ，其它元素为0 的上三角算子 矩阵。 证明：当尸熨。l 0 。且 仃( 形) = a c ：h 届) ，巳( 形) = 3 , e c ：q f 五l 届) ， 盯( y ) = 五e c ：i 五i 屈) ，o - a v ) = 五c ：i a i 屈) ， 这里o 0 。我们也假设对于 f = l ，2 c - - 1 有o l i m ) n f 彬h - l i m 。s u p w ；j 7 1 呀n w 船，“ 口若令 a j = l i m i n f 坩) ， 屈= l i m s u p 坩) ， 则显然有o 喁届 啦屈 一i 成一。 成成立，若设置，是具有权序 列 甜) 二。的单侧权移位算子，则由 8 ，l e m m a2 1 知墨，是单的且有 盯( 瓯) = z e c ：l z l 届) ，吒( 瓯) = z e c ：q i z l 屈 定理3 3 1 设r ) 。是岔= 。函上的本性正规算子且满足上面的假设， 3 ；fr 上( 岔) ：r 满足： ( i 0 盯( r ) = z c ：h s 成) ： ( i i o , r a t ) = u 岛p e c ：qs 1 2 1 - - z , ) ； ( 们i n d ( r 一丑) = 疗对任意的h q 成立，且 i n d ( r 一五) = 一。一f ) 对任意的届 h q “成立，i = 1 ，2 ，开一1 则万鬲沥= 3 。 定理3 3 2 设r 形 是青= 。函c ”一卜的本性正规算子且满足上面的假设， 且对f ：1 ，2 ，都有q ：属；力，倪= r 工( 岛 ：r 满足： 1 8 青岛羊 技大学研究生学位论文 ( f ) r 是本性正规算子； ( 们口( r ) = z c ：h 以 ； ( i i i ) 以( r ) = u 三 ：e c ：i z i - 以 ； ( 如) i n d ( r a ) = - - n 对任意的h 乃成立，且 i n d ( r 一五) = - - ( n 一，) 对任意的乃 h 乃+ 。成立，i = l ，2 ，栉一1 贝u ( u + k x t ) ：孵。 算子权移位的扰动相似及( u + k ) 一轨道闭包 3 2 辅助引理 为了证明定理3 3 1 ，定理3 3 2 ，我们首先证明下面一些引理。 引理3 2 1 设r 哌 。是膏= 。蔷c 4 上的本性正规算子，则下列结论成立 ( 力a ( r ) = z c ：i z l 成) ； ( i o c r ( t ) = u ： ：c ：q - l z l - 属) ； ( i i o i n d ( r - 2 ) = 叫对任意的h 喁成立，且 i n d ( r 一丑) = - ( n - i ) 对任意的属 h q + l 成立，i = 1 ，2 ，盯一i 证明：设e = o 函c ，暖) ”= e ，贝j r h 8 ，l e m a2 1 ，存在一个酉算子 u ：日一( 芒) “使得唧具有矩阵表示 ：r l l ：叫w ( ，：f；1 【0j 注意到o 喁s 届 呸压 一l 屈一l 属，对于f ，有 吒( s ，) u 吒( s 。) = o 。又因为u 彤是本性正规算子，由 2 7 ，c o r 0 1 1 a r y5 6 ， 对于f j ，l ， 0 ，a ( h o o g ) 具 有矩阵表示 彳= 匕班 这里的d i m 风= 册 o ，存在一个算子 k ( 风o ) 满足i k l 占使得一十k 兰。r s 成立。 证明：i 天l s j d i m 风= m 佃，4 。是风上的算子，对4 i 应用s c h u r 引理，则存 在一个酉算子叫使得t y , 4 。叫+ 是上三角算子矩阵。对4 。进行扰动，则存在一个紧 算子碍满足i f 耐i i 2 使得u 以。叫主对角线元素为( ，五，厶) ， 五e i n t ( r t t ( s ) ) ，码乃，f ，= 1 ，2 ，m 。从而存在一个紧算子k 满足墨0 2 ， 且x + 坝凰。譬) 使得 删+ 1 ) x - 1 = i ：斗 这里的e = d i a g ( ，五，九) ，f = 阶，正，厶】。 因为r i m ( r s - & i ) = k e r ( r s 一五，) 1 ，从而存在& k e r ( r s - - 4 i ) 使得品的范数 满足恢i l o ，存在一个紧算子k 满 足k i i o 。丑，砭。分别是从e 到 s p a n e , , l f f * l s p 锄 刀) ：。的正交投影。她o ( o = 只) o ( o 篙辟o ) 斗( o 篙，) o ( 0 7 ；，i ) ， ( k 0 0 ) 在强算子拓扑中。设 c ( k ) = ( ( o ：。只) o ( o 名耳”) ) k ( ( o ：，最) o ( o ：罐。) ) 一k ， 因为k 是紧的，则有i 【c ( 刮【_ o ( 七一。) 。从而存在一个自然数，使得 j i c ( ) l i - - , 6 ，且盯( u 。r u ：+ c ( ，) ) c ( 旷( 月) ) 。6 ， 再设墨= c u ) ，从而 u r 听+ 五= o 盘( a s ) o ( o = ，) + ( ( o 品c ) o ( o 二日。) ) k 0 ( ( 0 暑，毋) o ( 0 ：。毋) ) 关于 ( o 。n ( s p a n e , i 。o ( eo s p 锄 q ) ：。) ) ) o ( 0 7 0 。( s p 龇 ：；。嘏。s p 锄 。 ：；) ) ) ， 考虑 。墨。( 届s ) o ( o ：。j ) o ( ( o 仁。毋) o ( o ：。弓“) ) k 0 “o ：。异) o ( o 名。碍n ) ) 的矩阵表示。又因为 ，。屏s 兰a s k k 如m 兰a s i e 。州。， 经过计算，则存在一个酉算予以使得 青岛科技夫学研究生学位论文 u ：( u l r u ；+ k ) 哦= 4 b lp 岛屈一s 晟 o ( o =