（计算数学专业论文）二维变系数椭圆型方程数值求解及参数反演计算.pdf

摘要 论文题目：二维变系数椭圆型方程数值求解及参数反演计算 学科专业：计算数学 研究生：刘相国 指导教师：闵涛教授 摘要 签名： 4 趁 在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用偏微分方程来描述，研究偏微 分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。而偏微分方程的数值解的研究已成为一 门专门的学科，国内外有很多学者在这个领域进行研究，并利用各种数值方法和最新 的研究结果来解决各种工程实际问题。本文应用差分法和有限元法求解了二维变系数椭 圆方程边值问题，得到了相应的误差分析，并进行了数值模拟。结果表明解此类问题时有 限元法具有程序简单，计算精度高的优点。 当偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未知， 而原方程的解仍然未知时，就构成了偏微分方程的反问题。由于反问题的不适定性与 非线性性，使得它的理论与求解都比正问题困难的多，而且涉及面广。所以如何解决 这些问题，成为广大数学工作者，自然科学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭 新的学科领域。 数学物理方程反问题的领域非常广阔。它来源于各种实际背景，属于多学科的应用理 论范畴，无论在理论研究和实际应用方面的意义都非常重大。较系统地研究了二维变系数 椭圆型偏微分方程反问题的理论、求解方法、分析途径及工程应用。 本文利用迭代法对二维稳态对流一扩散方程参数反演进行了研究，得出了此类反问题 的数值解法。数值模拟结果表明，此方法在求解二维稳态对流一扩散方程参数反演问题时 是可行的也是有效的。同时，利用遗传算法对二维恒定各项同性介质渗透系数反演问题 进行了研究，并进行了大量的数值模拟。数值结果表明，在解决复杂方程的反问题中， 本文的处理方法具有精度高且稳定性好等优点。 关键词：椭圆；有限元；参数；迭代法；遗传算法 本课题由国家自然科学基金( n o 5 0 5 7 9 0 6 1 ) 和教育部博士点基金( n o 2 0 0 5 0 7 0 0 0 0 3 ) 资 助。 a b s tr a c t t i t l e ：t h en u m e r l c a ls o l u t i o no ft w od l me n s i o n a lv a r l a b l ec o e f f i c i e n t se l l i p t i ce q u a t i o n sa n dc a l c u l a t i n g i n v e r s l 0 np a r a m e t e r s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e - x i a n g g u o l i u s u p e r v i s o r = p r o f t a om in s i g n a t u r e ：羔蚴丝兰坠 s i g n a t u r e ：玉也巡 a b s t r a c t m a n yp r o b l e m si nt h en a t u r es c i e n c ea n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yf i e l d sc a nb ed e s c r i b e d b yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s oi ti sap o w e r f u lt o o lf o rh a n d l i n gt h ep r o b l e m st oi n v e s t i g a t e t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s a sf o ras p e c i a la r e ao fr e s e a r c h ，i th a sb e e na t t r a c t i n g m a n yr e s e a r c h e r s c o n c e n t r a t i o n so ni t a n dm a n yl a t e s tr e s e a r c h e sh a v eb e e nt a k e ni n t o p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i nt h i sp a p e r , t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) a n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) a r ca d o p t e dt os o l v eat w o d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n te l l i p s ee q u a t i o n w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；t h ec o r r e s p o n d i n ge r r o re s t i m a t i o ni sd e r i v e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s p r e s e n t e ds h o wt h a tt h ef e m h a sa d v a n t a g e so f h i g ha c c u r a c ya n ds i m p l i c i t yi np r o g r a m m i n g i ft h eo p e r a t o r , t h er i g h tt e r m ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o no rt h ei n i t i a lc o n d i t i o n si su n k n o w n ， m e a n w h i l e ，t h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o ni su n k n o w ne i t h e r ；t h i sm a k e sa ni n v e r s ep r o b l e mo ft h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s oi tg e t sm o r ec h a l l e n g i n gc o m p a r e dw i t ht h ed i r e c to n e , w i t hi t s n o n l i n e a r i t ya n di l l - p o s ec o n s i d e r e d a n di tb e c o m e san e wr e s e a r c hf i e l da t t r a c t i n gm o r ea n d m o r er e s e a r c h e r sw o r k i n go ni t i n v e r s ep r o b l e mo fm a t h e m a t i c sp h y s i c a le q u a t i o ni sa ni n t e r d i s c i p l i n a r ya n df r o n t i e r s c i e n c e i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c en o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi np r a c t i c e i nt h i sp a p e ra s y s t e m a t i cr e s e a r c hi sm a d eo nt h et h e o r y , s o l u t i o n ，a n a l y t i c a la p p r o a c ha n de n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o no ft h ei n v e r s ep r o b l e mo fat w o d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n te l l i p s ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h i sp a p e r , t h ep a r a m e t e ri n v e r s i o no ft w o d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o ni s i n v e s t i g a t e du s i n gt h ei t e r a t i v em e t h o d ，a n di t sn u m e r i c a ls o l u t i o ni sd e r i v e d t h er e s u l t so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o wt h a tt h ei t e r a t i v em e t h o di se f f e c t i v ea n df e a s i b l e a l s o ，a d d i t i o n a l i n v e s t i g a t i o no ni n v e r s ep r o b l e mi ni d e n t i f i c a t i o no ft h es t e a d y - s t a t e p e r m e a b i l i t yf o r t w o d i m e n s i o n a li s o t r o p i cm e d i u mu s i n gg e n e t i ca l g o r i t h mi sg i v e n a tl a s t ，m a n yn u m e r i c a l 西安理工大学硕士学位论文 s i m u l a t i o n si l l u s t r a t et h a t ，t h em e t h o da d o p t e di nt h i sp a p e rh a sg o o ds t a b i l i t ya n dh i g h a c c u r a c yi ns o l v i n gt h ec o m p l e xi n v e r s ep r o b l e m s k e yw o r d s ：e l l i p s e ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；i t e r a t i v em e t h o d ；g e n e t i ca l g o r i t h m s n o t e ：t h i sr e s e a r c hi ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n t n o 5 0 5 7 9 0 61 ) a n dd o c t o rs p o to ft h em i n i s t r yo fe d u c a t i o n ，c h i n a ( g r a n tn o 2 0 0 5 0 7 0 0 0 0 3 ) 2 独。创性j 声+ ，明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：，本人所呈交的学位论文是我食 ， 一：， ， - 。 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果：尽我所知0 除特别加以标注和致谢的地 一 ，j 、 _ ：一 一 、1 方外；论文中不包含其他人的研究成果：，与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 十 。 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢o 。 j， f 本论文及其相关资料若有不实之处，+ 由本人承担一切相关责任 论文作者签名f j 封：担2 氢衙，琴尽膨舂 学位论文使用授权声明 苯犬塞卫担2 虱，在导师的指导下创作完成毕业论文：本人已通过论支岛答辩，j 舞 。色经在西安理工大学申请博士硕士学位0 本人作为学位论文著作权拥有者，向意授权 一 ，j j 一 一一j 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即；jl 卜已获学位的研究生按学校规定提交 +， ， ；。， 印刷版和电子版学位论文) 学校可以采用影印i 缩印或其他复制手段保存研究生上交的 、| ij t ，一一 一 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) ! 为教学和 -|1一， 一： 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆 ，资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、测览口。 本人学位论文全部或部分内容的公布，一( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。， 1 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 赦仟每签名撇毒师签每：目虹，冲，多9 加j ： 绪论 1 绪论 1 1 课题研究的目的及意义 在许多学科领域( 如：物理学、力学、热传导学、声学、电磁学等) 和工程技术中， 很多问题可以用微分方程描述。微分方程是描述与刻画物理过程、系统状态、社会与生物 现象的有力工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。要想“探求自然界的奥秘在于解 微分方程”( 牛顿) 。这种由“原因”推得“结果”的探索过程无疑在人类认识自然与改造自然 中起到了重要的作用。微分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。 二十世纪四十年代，s c h w a r t z ，s o b o l e v 等人大胆将函数视为分布，引进广义函数空间， 这一令人振奋的数学理论为解决此问题指明了方向，致使偏微分方程广义解的存在性，正 则性理论得到了空前的发展。然而正如s c h w a r t z 本人所指出的，广义函数之间无法相乘， 这一致命弱点很大地限制了广义函数在非线性偏微分方程中的直接应用。自s c h w a r t z i n 立 广义函数理论以来，有很多数学家试图构造能克服广义函数这一弱点的一类“新广义函 数”，并已有一些理论上的成果，这一尝试至今仍是方兴未艾。正如g r e e n 函数方法，求出 偏微分方程的通解或研究通解的性质，其基本解理论是它的重要出发点，通过f o u r i e r 分析 知悉，基本解的存在性等价于偏微分方程算子求逆的过程。 为了给予偏微分方程算子求逆，以及开拓偏微分方程在物理配1 、微分几何等领域的 应用，菲尔兹奖获得者h o 咖a n d e r 等人自二十世纪五十年代以来创立了拟微分算子理论， 法国数学家b o n y 等人于八十年代建立了仿微分算子理论，自此，在线性、非线性偏微分 方程解的存在性，正则性方面获得了极其丰硕的成果，将这些理论应用于其它数学分支的 研究正日趋热烈。自十九世纪二十年代建立n a v i e r 。s t o k e s 方程以来，研究其解的存在性， 唯一性就成为偏微分方程研究领域中十分重要的一个中心课题。 微分方程的中心任务是寻找满足定解初、边值条件的微分方程的解，这就是所谓的微 分方程的正问题，然而，实际应用中会出现与之相反的情况，即偏微分方程中的算子，边 界条件和初始条件从过去的已知变成未知，而原方程的解仍为未知时，这就构成了偏微分 方程的反问题b “一1 。微分方程反问题的领域非常广阔，它来源于各种实际背景，属于多 科学的应用理论范畴，无论在理论研究和实际应用方面意义都非常重大硒1 。 自2 0 世纪6 0 年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、模式识别、 信号( 图像) 处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，都提出了“由效果、 表现( 输出) 反求原因、原像( 输入) ”的反问题，通称“数学物理反问题”。由于此类反 问题有着广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性，因而吸引了国内 外许多学者从事该项研究。迄今，它已发展成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统 科学中的一个热门学科方向。我国著名的计算数学先驱、已故的中国科学院院士冯康教授 早在2 0 世纪8 0 年代初期就大力提倡开展反问题数值解法的研究，并指出：“计算数学四 大方向是：正问题、反问题、代数问题与逼近问题”，对我国数学物理反问题的研究和应 西安理工大学硕士学位论文 用产生了深远的影响。1 9 9 9 年3 月在北京召丌的笫1 1 3 次香山科学会议以“反问题”作为 主体进行跨学科的全国性学术探讨，在国内尚属首次，与会的科学家来自于数学、化工、 物理、材料等各个领域，并从各自的领域出发对反问题的理论与方法及其应用进行三天的 热烈研讨，并达成共识：“作为实现科学创新重要途径的反问题研究对于当今中国非常重 要”。今天，传感器和计算机的飞速发展已为发展中国家的科学家解决反问题提供了强有 力的手段，所以这个研究领域近几年来的发展尤其迅速。 特别是近些年来，在资源勘探、航天工程、大地物理、大气测量、海洋工程、生物器 官形态的分析、遗传工程、量子力学、弹性力学等各自然科学和工程技术领域7 1 都相继 提出了大量的微分方程的反问题。这些例子说明数值求解偏微分方程在各学科与工程中的 应用。解微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容。随着计算机本身的发展，数值求 解方程的计算方法也有了很大的发展，这两者对人们的计算能力的发展都是十分重要的。 从2 0 世纪5 0 年代初期到9 0 年代中期，计算机的运算速度大约提高了一亿倍，而在同一 时期，求解科学与工程中大量出现的椭圆型偏微分方程的算法速度却提高了一万亿倍啪。 所以近些年来对椭圆型反问题的研究比较活跃，在许多物理现象和物理模型中都有着广泛 的应用9 1 ，例如： 1 ) 排水问题 在水面下的土壤中用水平方向的排水管排水，在，一定的土壤渗透性及其它边界函数限 制下，要在这块土地排水能充分快，需要选用合适的排水管形状，合适的排水深度及间隔 距离等； 。 2 ) 应力问题 在航空工业中应用广泛的应力问题可用椭圆型偏微分方程来表示： la 2 u ( p ) = 厂( p ) ，p r u ( p ) = g ( p ) ，p c l ( p ) = 办( p ) ，p c 2 甜= + 2 + 称为双调和算子； 3 ) 薄膜的特征值问题 在波导理论中经常讨论的薄膜的特征值问题可用椭圆型偏微分方程来表示： f - a u ( p ) = a “( p ) ，p r i“( p ) = d ，p c 其中u ( p ) 是r 上不恒等于零的函数。 因此，椭圆型偏微分方程在许多实际问题中具有十分广泛的应用价值，如何快速、 准确、方便地求解椭圆型偏微分方程及其反问题1 0 川- 1 2 t1 3 1 成为大家研究的重要课题。 而遗传算法4 1 是模拟自然界生物演化过程，借鉴生物界的自然选择和自然遗传机制 而发展起来的一类问题求解的策略和随机计算模型。遗传算法采用随机搜索与优化的方 2 绪论 法，其突出特点就是不易收敛于后，j 部最优，而一般能够达到全局最优。因此，用遗传算法 求解反问题是一个重要的途径。 1 2 国内外研究进展 椭圆型偏微分方程在许多实际i 、u 】题中具有十分广泛的应用价值而被广泛关注，近 几年对它的研究越来越多，在1 9 8 3 年r b a r t o l o ，v b e n c i a n d d f o r t u n a t o 以( ( a b s t a c tc r i t i c a l p o i n tt h e o r e m sa n da p p l i c a t i o n st os o m en o n l i n e a rp r o b l e mw i t h ”s t r o n g ”r e s o n a n c ea t i n f i n i t y s ) ) 为题发表了一篇论文，主要用变分法及强极值定理解决的是椭圆型l a p l a c i a n 问题。1 9 9 3 年，张桂宜”讨论了无界域上临界增长的非线性椭圆型方程的非平凡解 的存在性。1 9 9 8 年，赵培浩们讨论了有界域上一类半线性椭圆型方程两个正解的存 在性。2 0 0 3 年，重庆大学的张洁的硕士论文用迦辽金边界元法研究二维l a p l a c e 方程 的问题。2 0 0 4 年黄代文主要研究的是n o nc o o p e r a t i v e 椭圆系统得问题。2 0 0 5 年，浙江 大学金邦梯在他的硕士论文中解决了椭圆型方程的一种l a p l a c e 方程问题，而重庆大学 的董海云的硕士论文也是研究二维的l a p l a c e 方程的问题，只是方法不一样。c h e n g 和 t e m a m 应用边界元方法对一维定常扩散方程进行数值模拟 。e l e o d o r 和f a r z a d 提出不 均匀有限元求解扩散方程的理论盯。t h i e r r y 和r a p h a 6 1 e 证明扩散方程线性元求解的收 敛性“ ；c a v d a r 和o z g e n e r 应用杂交有限元求解二维对流扩散方程；m e n c i k 通过有限元 对多维扩散传播模型进行求解2 ；j u n g 应用边界元方法对二维对流扩散方程进行数值模 拟2 ；s t y n e s 对定常的对流扩散问题进行阐述2 2 1 ；j u n g 应用边界元方法进行对流扩散 分方程的数值模拟眩”。同时，本课题也涉及到参数反演问题，也简单介绍一下反问题 的发展情况。 近年来，由于不同学科相互渗透，通过反问题研究的国际学术会议互相交流，使反问 题研究的理论和算法发展到新的阶段。前苏联的学者对反问题的研究作出了重要贡献。 t i k h o n o v 讲1 及其同事和学生们较系统地研究了不适定问题的求解方法，并提出了求解不 适定问题的正则化( r e g u l a r i z a t i o n ) 方法，在数据具有误差时构造带有正则参数的适定问 题族，当正则参数趋于其极限时，该适定问题的解趋于条件适定问题的解。美国学者 j r c a n n o n 和e d u c h a t e a u 对线性和非线性扩散方程的反问题作了较系统的研究，得到了 一系列有意义的结果。美籍华人学者y m c h e n ( 陈永明) 提出的脉冲谱技术( p s t - p u l s e s p e c t r u mt e c h n i q u e ) 是求解波动方程、热传导方程和椭圆型方程问题的有效的数值方法。 后来，经陈永明先生和我国学者的修改和发展，又提出了广义脉冲谱技术( g p s t ) 、改进 脉冲谱技术( m p s t ) 和脉冲谱优化( p s t - o p t i m i z a t i o n ) ，并应用这些方法解决了一 些领域提出的反问题。我国学者金忠青、周志芳的专著工程水力学反问题综述了十几 年来反问题在工程水力学方面的突出成果，系统描述了这方面的方法和理论及实际应用背 景，是一本理论和实践上都很有价值的著作。遗传算法也是解决反问题的一种方法，2 0 0 3 年，武汉理工大学的卢孝强在他的硕士论文中就使用遗传算法解决了一维的偏微分方程反 西安理工大学硕士学位论文 问题。2 0 0 5 年，李云平硕士论文研究的就是用遗传算法解决一类偏微分方程反问题。 1 3 本文的研究工作 在完成论文的过程中，查阅有关有限元及反问题的文献资料，明确了反问题常常是非 线性和不适定性问题，对于这样的不适定问题若不用特殊的方法求解，将得不到合理的答 案。椭圆型方程反问题是当前研究的一个热点，本文系统地分析了该问题求解的难点所在， 经过研读国内外诸多有关此方面论文文献后，在众多的算法中寻求到了解决此类问题的办 法，正则化的迭代方法正是解决此类问题的一种有效方法，同时，遗传算法在求解此问题， 也取得了满意的结果。 本文的安排如下：第l 章给出椭圆型方程研究的目的及意义，阐述了该问题的研究现 状和在各个方面的应用；第2 章利用有限差分法分别对二维常系数椭圆型方程和变系数椭 圆型方程的正问题进行数值求解；第3 章利用有限元方法对二维变系数椭圆型方程的正问 题进行数值求解，并建立相应的误差分析理论；第4 章在分析了二维变系数椭圆型方程反 问题，提出了适合求解二维变系数椭圆型方程进行参数反演计算的正则化的迭代法，分析 了求解步骤，给出了实验结果；第5 章利用遗传算法对二维变系数椭圆型方程反问题和二 维恒定各向同性介质渗透系数反演进行了求解，给出了实验结果；第6 章，在总结全文工 作的基础上，对下一步的研究做了展望。 文中的数值程序均是在微型机上，应用m a t l a b 数值计算软件编制而成，本文的研 究成果对处理该类问题提供了新的思路，也为自己日后进一步的研究奠定了基础。 4 二维椭圆型方程的有限差分法 2 二维椭圆型方程的有限差分法 有限差分法配5 6 1 是偏微分方程求数值解中常用的一种方法，d 于近几十年来偏微分 方程的近似解法在理论和方法上都有很大的进展，因此有限差分法在各个领域内的应用也 愈来愈广泛。 2 1 基本思想 有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去近似代替连续变 量的微分方程及边界条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程的近似解。其实质是以 有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程， 从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。因此，关于差分法 需要讨论的问题有：建立差分格式问题；用差分方程的解近似微分方程的解时，产生了误 差，需要进行误差估计及讨论差分解的收敛性问题；当初值具有误差时，需要讨论它对以 后各步解的影响的大小，即稳定性问题。 ： 2 2 差分方程的建立 首先，选择网格布局和差分形式；其次，以有限差分代替无限差分，即以x 2 一五= 缸 代替级，以差商丝二丝：竽代替微商罕，并以差分方程代替微分方程及其边界条件。 而一五 船础 ( 1 ) 合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散化单元的长度称为步长。在所选定区域 内进行网格划分是差分方程建立的第一步，其方法比较灵活，但是实际应用中往往遵守误 差最小原则。 ( 2 ) 将微分方程转化为差分方程 将微分方程转化为差分方程的过程也就是选择一种差分方程格式代替微分形式的过 程。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差 分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可 以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表 达式主要有三种形式：向前差分、向后差分、中心差分等，在此给出几个常用的差分表达 式。 向前差分： 丝i 业! ：上亟丛 出i ( i ，) x 5 西安理工大学硕士学位论文 6 丝i 生：! ! 二业：尘 砂b ) a y 乳，) 去( 掣) _ 塑监掣 旦f ，业! ! 二坐剑：坐兰! 二三亟业亟! 砂l每j知2 丝 盟：二! ! 二兰! ! ：! 砂b ) a y 乳c 9 2 u 广丢( 掣) _ 剑型掣 到0 2 y i ( ，j ) 昙( 掣) - 剑型掣 中心差分： 到尘趔二尘趔 a x l ( f ，) 血 到玉兰二进匕旦 钞b ) a y 3 2 u l 瓦i ，、 , l i ，j a 2 ”l 万l ) 爿 爿 一u ( i + l 叫j ) - u ( i 一1 ，) 2 a x u ( i ，+ 1 ) 一u ( i ，j 一1 ) 2 a y u ( i + l ，) 一2 u ( i ，j ) + u ( i - 1 ，) a x 2 u ( i ，j + 1 ) - 2 u ( i ，) + “( i ，j - 1 ) 缈2 掣 喜| 二维椭圆型方程的有限差分法 2 3 二维椭圆型方程数值求解 主要考虑以下的边值问题： 一昙 口c 工，y ) 罢 一号 口c x ，y ) 缈o u + 昙( m j ，) “) + 矿0 b ：( 训) “) + c ( w ) “= 巾，y ) 伍纠q u ( x ，y ) = o “力f 。 ( 2 1 ) 口t a u ( x , y ) + 仃“( z ，y ) = 化纠1 1 ： 其中系数在许多实际应用中有着不同的物理意义：a ( x ，y ) 表示渗透系数； ( 6 l ( x ，y ) ，如( x ，j ，) ) 表示势函数；厂( 石，y ) 表示源函数；f 。n r ：= 目，f ，u r ：施是区域q 的 边界，0 是空集。 2 3 1 离散模型 在区域q 上，取沿x 轴与y 轴方向的步长分别为盔和，j , e h = m a ) ( ( 盔，吃) ，并有 墨= 魄，乃= 儿，( f ，= 0 , 1 ，2 ) 。 设五，- ，为内网点，对充分光滑的函数u ，沿工轴方向进行 p a y l o r 展开，得 嘎竽槲d x 坩) 2 危il ： 7 这里【】“表示括号内的函数在誓处取值。类似 【口】畦，毕2 吼广针钍，+ d ( 州 封扣+ 针气坩) 亿2 ， 同样有： = 陶专，+ 斟乱蚶) 亿3 ， ( 2 3 ) 式与( 2 2 ) 式相减，并除以j l l ，则得 如哇峄+ l 扣嘎粤) 7 西安j e _ z - 大学硕士学位论文 同理 = 去 口老 “；一 以安 ，一； + 。( 曩2 ) = 爵瓤，州) 【“k ，一眦一 2 h 2= 嘲i , j 螂) 爵瓤，= 小一 堕盥二堕l 口i “，一三 【吐，一睢川 + d ( j i i ；) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中 ，= “( 而，乃) 的近似解，吩，= 口( 西，巧) 。于是略去局部截断误差。( j i z l 2 + h 2 2 ) 后，可 得方程( 2 1 ) 的五点差分格式为 乙【“l = ( 屈“m ，+ f 1 2 u ，一。+ 屈k ，+ i 8 4 u i , j _ 1 ) + 鼠，= f ， 其中 4 属= 七= l ( 2 6 ) 展层= 杠+ 等，厦= 氟a 弘i bb 2 恐 j ，屈= 机厂等 当a ( x ，y ) = 1 ，岛( x ，y ) = 0 ，6 2 ( 工，y ) = 0 ，c ( x ，y ) = 0 时， 方程( 2 1 ) 就是熟知的 p o i s s o n 方程 也兰一刳矾y ， 则求解p o i s s o n 方程的差分格式简化为 一l h u 。= 一( 专“，+ 吉二u + 。+ 盂 “，一。，+ 吉甜“一，) + ( 舌+ 寺 “u = z ， 2 3 2 误差分析 差 8 针对( 2 1 ) 式的截断误差，由于自由项c ( x ，y ) u ，源项厂( 石，y ) 在差分过程中不产生误 。所以只需研究下面方程的截断误差。 瓦 一 。一 口， 一碍 l | 二维椭圆型方程的有限差分法 一昙 a ( x 妻 一昙 ( t 少) 考 + 去( 包( z 川“) + 瓦a 、b ：( y ) “) = 。( x , y ) e a u ( x ，y ) = 0 n ( x ，y ) 皇兰 ；2 尘+ 仃“( x ，y ) ： d 对充分光滑的“( 工，y ) ，根据t a y o r 公式，在点( 蕾，乃) 展开有 阻】 ，= 厶【“】扩+ 吩( 甜) 由上面离散情况可知， 岛( “) = d ( 砰+ 五；) 由此可见，差分格式( 2 6 ) 的截断误差为d ( 砰+ 蟹) ，且是一种守恒格式。 2 4 数值算例 仁，f l 以r 2 为了检验上述方法的有效性，利用上述算法编制程序进行数值模拟，且都是在p 4 2 6 g 微机上进行。 二藩a2u+雾)=2万2 s i n ( 刀石) s i n ( 万y ) ，。 x ，y 1 表2 - 1 计算结果 t a b l e2 1c a l c u l a t i o nr e s u l t s 、 n 81 63 2 6 4 最大误差 方法 s s o r 法1 8 9 9 91 7 5 1 91 7 6 5 5 c g 法 1 8 9 9 91 7 5 1 91 7 6 5 5 1 7 5 7 9 p c g 法0 1 9 2 80 0 4 4 8o 0 l l o 9 西安理工走掣硕士r 革位论丈 2 42 数值算例二 考虑以下的边值问题 一去 “c t ，) 罢 一号 nc t ，) 考 + 去( 6 - ) “) + 未( 4 ( 一) “) + c ( 一) “= m ，) u ( x y 】= 0 型：o 仁一0 阮一e r “一r 2 其中， n = ( q 1 ) ( o ，1 ) o ( x ，y ) = 1 + j + 2 y 2 ，b l = 1 + 2 y ，也= + i ，一y 真解： u = 叫( 1 一x ) ( 1 一y ) ，f ( x ，y ) 可通过计算得出。 其真解与数值解的误芹解剖分图见图2 - i ，最大误差和运行时问见表2 - 2 。 图2 一i 误差图 f i g2 一le r c o r 表2 - 2 计算结果 t a b l e2 2c a l c u l a t i o nm s u l t s 方法最大误差 运行时间 有限差分法j 。：1 600 7 8 8 23 4 4 0 ( s ) l ( p c g 法) jn ：3 200 7 1 5 1 9 41 2 5 ( s ) 2 43 数值算例三 考虑以下的边值问题 二堆椭圆型方程的有限差分法 一未 “c 。，罢 号 。t z ，考 + 妄( ( w ) “) - 未( 也( 一) “) + c ( w ) “= m ) 删e 。 “扛，y ) 2ok 川r t 掣掣：o州吐 o n 其中n = ( o ，1 ) x ( o ，1 ) ，a ( x ，y ) = l + x 2 y ，岛= 2 + y 6 2 = j + 1 ，c = x + 2 y 真解：u = s i n ( j r x ) s i n ( z r y ) i ( x ，y 1 可通过计算得出。 兵真解与数值解的误差解剖分图见图2 - 2 ，最大误差和运行时间见表2 - 3 图2 - 2 误羞| 璺i f i g 2 - 2e o r 表2 - 3 计算结果 t a b l e2 - 3c a l c u l a t i o nr e s u l t s 方法最大误差 运行时间 有限差分法h = 1 612 4 0 5 4 1 8 7 ( s ) ( p c g 法)月= 3 2 1 1 3 5 32 2 35 ( s ) 25 小结 由数值模拟结果及运行时间可以看出，在求解二维变系数椭圆型方程时，无论系数和 真解如何选取有限差分法求得的数值解精度不高，并且运行速度不快。 攀签 西安理工大学硕士学位论文 3 二维椭圆型方程的有限元法 3 1 有限元法的发展 有限元法2 7 8 2 9 1 是求解数理方程的一种计算方法，是解决_ 程实际问题的一种有力 的数值计算工具。最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它是将弹性理论、 计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术。后来由于这一方法的灵 活、快速和有效性，使其迅速发展成为求解各种领域的数理方程的一种通用的近似计算方 法。目前，它在许多科学领域和实际工程问题中都得到广泛的应用。 在工程技术领域，对于许多物理问题，人们已经得到了它们应遵循的基本方程( 常微 分方程或偏微分方程) 和相应的定解条件，但能用解析方法求得精确解的只是少数方程性 质比较简单，且几何形状相当规则的问题。对于大多数问题，由于方程的某些特征的非线 性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，将方程和几何边界简化为能够处理盼隋况， 从而得到问题在简化状态下的解答。但这种方法只是在有限的情况下是可行的，过多的简 化可能导致误差很大甚至错误的解答。因此人们多年来寻找和发展了另一种求解途径和方 法数值法。 已经发展的数值分析方法可分为两大类。二类以有限差分为代表，其特点是直接求解 基本方程和相应定解条件的近似解，求解区域划分为网格，在网格的节点上用差分方程近 似微分方程。当采用多节点时，近似解的精度可提高。求解建立在空间坐标系的流体流动 问题有限差分法有自己的优势，因此在流体力学领域内，它至今仍占支配地位。但对于不 规则的几何形状何不规则的特殊边界条件差分法就难于应用了。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提 法，然后据之建立近似解法。例如配点法、最小二乘法、g a l e r k i n 法、力矩法等都属于这 一类数值方法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为 某个泛函的变分。上述方法在不同领域得到了成功的应用，但它们都是在整个求解区域上 假设近似函数，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数；而有限元法 的出现，较好地解决了这一数值分析方法领域的难题。 有限元法把求解区域看作由许多小的在结点处互相连接的子域( 单元) 所构成，其模 型给出基本方程的分片( 子域) 近似解。由于单元( 子域) 可以被分割成各种形状和大小 不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。 已经成为一种非常受欢迎的、数值计算方法。 “有限元法”这个名称，第一次出现在1 9 6 0 年，当时c l o u g h 在一篇平面弹性问题的论 文中应用过它。但是有限元法分析的概念却可以追溯到2 0 世纪4 0 年代，1 9 4 3 年，c o u r a n t 第一次在他的论文中，去定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了 s t v e n a n t 的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化 1 2 二维椭圆型方程的有限元法 的概念。1 9 5 6 年，t u r n e r ，c l o u g h ，m a r t i n 和t o p p 等人，在他们的经典论文中第一次给 出了三角单元的特性，并第一次介绍了人们熟知的确定单元特性的直接刚度法。他们的研 究工作随同当时出现的数字计算机一起打丌了求解复杂平面弹性问题的新局面。 在1 9 6 0 年c l o u g h 进一步处理了平面弹性问题之后，工程师们肝始认识了有限元法的 功效，此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。到2 0 世纪7 0 年代以后，随着计算机和 软件技术的发展，有限元法也随之迅速地发展起来，可以说进入了有限元法的鼎盛时期， 对有限元法进行了全面而深入的研究。涉及的内容有：有限元法在数学和力学领域所依据 的理论；单元的划分原则，形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方 法及其误差、收敛性和稳定性；计算机程序设计技术；向其他各领域的推广。 到目前为止，有限元法已被应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生 物力学等各个领域。 3 2 有限元法的内容和步骤 有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全域上待求的未知场函 数。单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函 数来表示。这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或及其导数在各个结点上的数值 就成为新的未知量( 也即自由度) ，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自 由度问题，一经求解这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值。 当单元自由度增加及插值函数精度提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛 条件的，近似解最终将收敛于精确解。 3 2 1 数学模型 一丢 口( x ，y ，罢 一号 口c x ，y ，考 + 夏0 ( 岛( w ) 甜) + 言( 包( 训) “) + c ( w ) “= 厂( w ) 伍q u ( x ，y ) = 0阮纠i ( 3 1 ) 口了o u ( x , y ) + 仃“( x ，y ) = 伍纠r ： 其中系数在许多实际应用中有着不同的物理意义：a ( x ，y ) 表示渗透系数； ( 6 l ( x ，y ) ，6 2 ( z ，y ) ) 表示势函数；( x ，y ) 表示源函数；f 。n r ：= 口，r 。u r ：= 讹是区域q 的 边界，0 是空集。 西安理工大学硕士学位论文 3 2 2 离散模型 有限元解实际上是微分方程弱形式的解在有限维空间的投影。求解过程如下： 1 导出定解问题对应的弱形式 先引入s o b o l e v 空问h ( q ) 的子空间 v = v h 。( q ) i1 ，i t , = 0 以及定义在v 上的双线性泛函 4 c “= 舡口面o u 。瓦o v 。t - 6 t 考，考 出砂+ 舡昙( 岛( 五y ) “) + 专( 包( 石“冲出方。3 2 ， + l l c u v d x d y + lc r u v d s 爿 ( 和线性泛涵 f ( v ) = i l 锄+ l f l v d s ( 3 3 ) 彭( 那么，边值问题( 3 1 ) 的g a l e r k i