（应用数学专业论文）幂线性空间.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 随着模糊数学的发展，集值映射的重要性的日益突出，各种数学结构都有由 论域向其幂集上提升的需要。自从李洪兴教授在文献【1 1 中考虑了代数结构的提升问 题，并首次提出了h x 群的概念，文献f 2 1 提出代数群的提升一幂群的概念以来，超 代数的研究引起了不少学者和爱好者的关注，文献阱吲得到了幂群的一系列很好 的结果，文献【2 4 】【3 8 】给出了环的幂集提丁i 幂环，并得到了幂环的一系列性质， 文献【3 9 】- 【4 3 】给出了格的幂集提升一幂格，并相应得到一系列有价值的成果。超代 数结构的研究通常的研究方法：( 1 ) 代数运算的提升；( 2 ) 幂代数结构概念及其 实例；( 3 ) 幂代数结构的性质。 首先线性空间上的线性运算的幂集提升 设( 矿，f ，+ ，) 是一个线性空间，在p ( 矿) 以矿) 一中中定义二元集运算( 称之为 二元幂加法) ： 4 0 b = d + 6 i 口e 4 ，6 曰 ； 二元幂数量乘积运算( 称之为二元幂数量乘积) ： 七。爿= 砌l 口4 ) ， 其中七f ，4 ，占p ( 矿) 。 定义2 0 1 设( 矿，e + ，) 是一个线性空间，在，+ ( 矿) p ( 矿) 一m 中定义二元幂 加法 4 0 b = 口+ 6 i 口e 一，6 曰 ； 二元幂数量乘积运算： 七。爿= 。 若( 上+ ；v ，八) 作成一个格，则称工+ 为上的一个幂格。 注：代数结构的提升一幂格的详细内容可查阅相关文献。 本文首次提出了幂线性空间的概念，得到了线性空间的幂集提丁i ，并讨论了 幂线性空间的系列性质和结果，给出了幂线性空间的基、维数等概念。同时给出 广义幂线性空间的概念及其性质和结果。 3 山东大学硕士学位论文 符号说明：本文中，约定利用 x 表示一个集合； 西表示空集； ，表示一个数域； ( 矿，+ ，) 表示数域f 上的一般的线性空间y ； 形司y 表示矿为线性空间y 的了空间： 矿表示线性空间y 关于了空间的一个商空间( 剩余类空间) ；尸( x ) 表 示非空集合x 的幂集； p + ( x ) 表示p ( x ) 一m 的一个子集，即：，+ ( x ) j p ( x ) 一m 。 山东大学硕士学位论文 第二章幂线性空间 2 1 线性空间与商空间 集合是数学中最摹本的概念之一，是现代数学的基础，带有代数运算的集合 一般称为代数系统，线性空间是我们学习高等数学中遇到的第一个代数系统。 映射是两个集合之间建立的一个对应关系或一个对应法则( 特别地，一个集 合到其自身的映射，一般称为变换) ，是比较集合或代数系统之间的有效工具，如 代数系统之间的同态，如果同态映射为特殊映射：满射、双射，则对应得到代数 系统的满同态和同构。 为引入幂线性空间，在此对一些摹本概念和典型例子进行简单的陈述： 定义2 1 1 【4 卅设矿是一个非空集合，f 是一个数域。在集合矿的元素之间定 义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给出了一个法则，对于y 中仟意两个 向量口与，在矿中都有唯一的一个元素，与它们对应，称为向量口与的和，记 为：，= 口+ 卢：在数域，与集合矿的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法： 这就是说，对于数域f 中仟一个数七与矿中任一个元素口，在矿中都有唯一的一 个元素万与它们对应，称为与矿中任一个元素口的数量乘积，记为：y = 缸。如果 加法与数量乘法满足下述规则： 加法满足下面四条规则： ( 1 )口+ = + 口； ( 2 )( 口+ 历+ ，= 口+ ( 卢+ ，) ； ( 3 ) 在矿中有一个元素o ，对于y 中任意的一个元素口，都有：口+ 0 2 口( 具 有这个性质的元素0 称为矿中的零元素) ； ( 4 ) 对于矿中任意一个元素口，在矿中都存在一个元素p ，使得：口+ = o ( 称 口为口的负元素) ； 山东大学硕士学位论文 数量乘法满足下面两条规则： ( 5 )卜口= 口； ( 6 )七( ，口) = ( 盯) 口 数量乘法与加法满足下面两条规则： ( 7 )( 七+ ，) 口= 后口+ ，口； ( 8 )七( 口+ 卢) = 后口+ 七 其中j i ，f ，口，房，矿。 则矿称为数域，上的一个线性空间。记为：( 矿，p ，+ ，) 或简记为y 。 例2 1 1 数域f 上一切玎z + ) 维向量所成的集合对于向量的加法和数与 向量的数量乘法满足定义2 1 1 ，做成数域f 上的一个线性空间，记为f ”。 特别地，当数域f 取为实数域r ，即= 3 时，即为解析几何中的二维空间里的 向量，具有一定的几何意义。 例2 1 2 数域f 上一切m 栉矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的 数量乘法满足定义2 1 1 ，做成数域f 上的一个线性空间，记为f 。 例2 1 3 数域，上一元多项式环f 【x 】，按通常的多项式加法和数与多项式 的数量乘法满足定义2 1 1 ，做成数域f 上的一个线性空间。特别地，由数域f 上 次数小于拧z 一) 的多项式和零多项式构成的集合构成研x 】的一个线性了空间， 记为j p 【x l 。 例2 1 4 设矿是正实数集，胄为实数域，定义矿上的加法运算、实数域r 与矿 上的数量乘积： 口。卢= 筇( 即口与的积) ； 口。口= 口4 ( 即口的d 次幂) ， 6 山东大学硕士学位论文 其中口，矿，口r 一翼奏淆囊竖咎毒錾匕彭曩彗墓旧力睇萎矍襄自。 薷誊聋蓦e j 强酣鹳硝靠酉如；誊囊酝毹鱼e 翰拍颡鞘为葫酣乔堑霎受妊雏 掣翼颡；0 驰2 “鬻；! ；鸶箨躺，西静妇。副酮懿羹醛y 彗塞重意谢攀誊；翌喜；x 孑皂缒季蠢喜琳塞窄彰；强坦1 肇哩眨荔盘舞_ ；一娃嚣薷妖耄垄蠢蒂i i 。匕彭要鸶群； # 誊黎龚鎏攀塞。 i 。垂享。? 令p + ( 矿) 3 = “口 l口矿) ， 在尸+ ( 矿) 3 上定义二元幂加法： a o 历= 口+ 所； 在，+ ( 矿) ，与f 上定义幂数量乘法： 七o 口) = 七口 ， 其中七( o ) f ， 口) ， 历p + ( 矿) 3 。 容易看出它是由( 矿，+ ，) 诱导出p ( 矿) ，上的二元幂加法运算和二元幂数量乘 法。 例2 2 2 在例2 1 5