考研数学历年真题(1987-1997)年数学二.doc

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知_.（2）设_.（3）_.（4）设_.（5）已知向量组的秩为2，则=_.二、选择题1.设是同阶无穷小，则为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4(2)设在区间上记则（ ）(A) (B) (C) (D) (3)已知函数对一切满足（ ）(A)(B)(C)(D) (4)设则（ ）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）求极限（2）设所确定，求（3）计算（4）求微分方程的通解。（5）已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。（6）已知是三阶单位矩阵，求矩阵四、（本题满分8分） 取何值时，方程组无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。五、（本题满分8分） 设曲线的极坐方程为上的任一点，上一定点，若极径所围成的曲边扇形面积值等于两点间弧长值的一半，求曲线的方程。六、（本题满分8分） 设函数在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足又曲线所围成的图形的面积值为2，求函数，并问为何值时，图形轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。七、（本题满分8分） 已知函数连续，且的连续性八、（本题满分8分） 就的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论。1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设_.（2）_.（3）微分方程的通解为_.（4）_.（5）由曲线所围图形的面积_.二、选择题1.设高阶的无穷小，则（ ）（A）（B）（C）（D）(2)设函数在区间内有定义，若当时，恒有必是的（ ）(A)间断点 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且(D)可导的点，且 (3)设处处可导，则（ ）(A)(B)(C)(D) (4)在区间（ ）(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根（5）.设所围平面图形绕直线旋转体体积为（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）计算（2）求（3）设其中具有二阶导数，且（4）求函数点处带拉格朗日型余项阶泰勒展开式。（5）求微分方程的通解。（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为，用过此柱体底面的短轴与底面成的平面截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积四、（本题满分8分） 计算不定积分五、（本题满分8分） 设函数（1）写出的反函数的表达式；（2）是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。六、（本题满分8分） 设函数由方程所确定，试求的驻点，并判别它是否为极值点。七、（本题满分8分）设在区间上具有二阶导数，且试证明：存在八、（本题满分8分） 设为连续函数，（1）求初值问题（2）若1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设_.（2）微分方程_.（3）曲线处的切线方程为_.（4）_.（5）由曲线的渐近方程为_.二、选择题1.设为连续函数，且有间断点，则（ ）（A）（B）（C）（D）(2)曲线轴所围图形的面积可表示为（ ）(A)(B)(C)(D) (3)设在内可导，且对任意（ ）(A)(B)(C)(D) (4)设函数的大小顺序是（ ）(A) (B) (C)(D)（5）.设（ ）（A）（B） （C） （D）三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）求（2）设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且（3）设（4）设试讨论在处的连续性。（5）求摆线（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程。四、（本题满分8分） 求函数的最大值和最小值。五、（本题满分8分） 设的一个解，求此微分方程满足条件的特解。六、（本题满分8分） 如图，设曲线的方程为分别为该曲线在点处的切线和法线，已知线段的长度为试推导出点的坐标表达式。七、（本题满分8分）设八、（本题满分8分） 设1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）若_.（2）设函数由参数方程_.（3）_.（4）_.（5）微分方程的通解为_.二、选择题1.设则（ ）（A）（B）（C）（D）(2)设（ ）(A)左、右导数都存在(B)左导数存在，但右导数不存在(C)左导数不存在，但右导数存在(D) )左、右导数都不存在(3)设是满足微分方程（ ）(A)(B)(C)(D) (4)曲线的渐近线有（ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条(D)4条（5）.设则有（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）（1）设（2）计算（3）计算（4）计算（5）如图，设曲线方程为，梯形的面积为，曲边梯形的面积为，为的坐标为四、（本题满分9分） 设当时，方程有且仅有一个解，求的取值范围五、（本题满分9分） 设 （1）求函数的增减区间及极值； （2）求函数图像的凹凸区间及拐点； （3）求其渐近线； （4）作出其图形。六、（本题满分9分） 求微分方程的通解，其中常数七、（本题满分9分）设八、（本题满分8分） 求曲线旋转所得的旋转体体积。1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）_.（2）函数由方程_.（3）设的单调减少区间是_.（4）_.（5）已知曲线，且其上任一点处的切线斜率为_.二、选择题1.当则（ ）（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小（D）有界的，但不是无穷大(2)设（ ）(A)不连续(B)连续，但不可导(C)可导，但导数不连续(D) )可导，且导数连续(3)已知（ ）(A)(B)(C)(D) (4)设常数内零点个数为（ ）(A)3 (B)2 (C)1(D)0（5）.设则有（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）（1）设（2）求（3）求（4）求（5）求微分方程满足初始条件求四、（本题满分9分） 设二阶常数系数线性微分方程求的一个特解为求试确定常数并求该方程的通解。五、（本题满分9分） 设平面图形由求 六、（本题满分9分） 作半径为求的球外切正圆锥，问此圆锥的高求为何值时，其体积求最小，并求出该最小值。七、（本题满分6分）设八、（本题满分8分） 设求1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设_.（2）函数上的最大值为_.（3）设_.（4）_.（5）由曲线与直线所围成的图形的面积_.二、选择题1.当则（ ）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小(2)设（ ）(A)(B)(C)(D) )(3)当（ ）(A)等于2(B)等于0(C)等(D)不存在但不为 (4)设内零点个数为（ ）(A) (B) (C)(D)（5）.若则有（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）（1）求（2）设函数（3）求（4）求（5）求微分方程四、（本题满分9分） 设五、（本题满分9分） 求微分方程 六、（本题满分9分） 计算曲线七、（本题满分6分）求曲线八、（本题满分8分） 已知1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设_.（2）曲线的上凸间是_.（3）设_.（4）质点以速度米每秒作直线运动，则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于_米.（5）_.二、选择题1.若曲线（ ）（A）（B）（C）（D）(2)设函数（ ）(A)(B)(C)(D) )(3)设函数（ ）(A)(B)(C)(D)(4)曲线（ ）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线（5）.如图，轴上有一线密度为常数，长度为的细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为，已知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）（A）（B）（C）（D）三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）（1）设（2）计算（3）求（4）求（5）求微分方程四、（本题满分9分） 利用导数证明：当x1时，有不等式五、（本题满分9分） 求微分方程 六、（本题满分9分） 曲线七、（本题满分9分）如图，分别是曲线上的点，均垂直轴，且八、（本题满分8分） 设函数1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）曲线上对应于点点处的法线方程是_.（2）设_.（3）_.（4）下列两个积分的大小关系是：_（5）设函数_.二、选择题1.已知（ ）（A）（B）（C）（D）(2)设函数（ ）(A)(B)(C)(D) )(3)已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数（ ）(A)(B)(C)(D)(4)设是连续函数，且（ ）(A) (B) (C)(D)（5）.设（ ）（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）（1）已知（2）求由方程（3）求曲线（4）计算（5）求微分方程满足条件四、（本题满分9分）在椭圆的第一象限部分上求一点，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中）.五、（本题满分9分） 证明：当 六、（本题满分9分） 设七、（本题满分9分）过点作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形，求此平面图绕轴旋转一周所围成旋转体的体积。八、（本题满分8分） 求微分方程之通解，其中为实数. 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)= _.(2)=_.(3)曲线处的切线方程是_.(4)=_.(5)=_.(6)应满足的关系是_.(7)_.二、计算题（每小题4分，满分20分.）(1)已知(2)(3)(4)(5)三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)（ ）(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)（ ）(A)无实根(B)有唯一实根 (C)有三个不同实根(D)有五个不同实根(3)曲线轴所围成的图形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ）(A)(B)(C)(D)(4)设两函数处取得极大值，则函数（ ）(A)必取极大值(B)必取极小值 (C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数）（ ）(A)(B)(C)(D)(6)设的某个领域内有定义，则处可导的一个冲分条件是（ ）(A)(B)(C)(D)四、(本题满分6分) 求微分方程五、(本题满分7分) 设，其中为连续函数，求六、(本题满分7分)证明方程内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分11分）对函数单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八、（本题满分10分）设抛物线过原点，当又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为，试确定使此图形绕选择一周而成的旋转体的体积最小.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数的收敛域.(2) 设且,求及其定义域.(3) 设为曲面的外侧,计算曲面积分二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若则= _.(2)设连续且则=_.(3)设周期为2的周期函数,它在区间上定义为 ,则的傅里叶级数在处收敛于_.(4)设4阶矩阵其中均为4维列向量,且已知行列式则行列式= _.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设可导且则时在处的微分是（ ）(A)与等价的无穷小(B)与同阶的无穷小(C)比低阶的无穷小(D)比高阶的无穷小(2)设是方程的一个解且则函数在点处（ ）(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域则:（ ）(A) (B)(C)(D) (4)设幂级数在处收敛,则此级数在处（ ）(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定 (5)维向量组线性无关的充要条件是（ ）(A)存在一组不全为零的数使(B)中任意两个向量均线性无关(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分6分)（1）设其中函数、具有二阶连续导数,求（2）计算（3）求椭球面上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线五、(本题满分8分)设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数六、（本题满分9分）设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知其中求八、（本题满分8分）已知矩阵与相似.(1)求与(2)求一个满足的可逆阵九、（本题满分9分）设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍.1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当=_时,函数取得极小值.(2)由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是_.(3)与两直