（基础数学专业论文）可积反应扩散方程协变延拓结构的研究.pdf

摘要 w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 最早利用c a f t a n 的外微分形式方法提出了非线性演化方程的 延拓结构理论，并且成功地讨论了k d v 方程的延拓结构。之后很多专家利用微分几何和 群论来研究非线性偏微分方程，也都取得了很多重要的结果。基于几何量的协变性要 求，郭汉英等人通过纤维丛上联络的理论提出了协变的延拓结构理论从而使得整个理 论成为协变的。 本文就是利用这套协变的延拓结构方法讨论了可积的非其次反应扩散型方程的延拓 结构。通过建立s l ( 2 ，r ) 主丛及其伴丛，并找到其李代数的1 维和2 维实现，我们成功得 到了其反散射方程和b a c k l u n d 变换。 关键词：延拓结构，非线性联络，反应一扩散方程，b a c k l u n d 变换 a b s t r a c t w “i q u i s ta n de s t a b r o o kp r o p o s e dat h e o r yo fp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e so ft h en o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ( n e e 8 1i nt e r m so fc a r t a n se x t e r i o rd i l i e r e n t i a lf o r mm e t h o d a n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e di tt ok d ve q u a t i o n f o l l o w i n gt h e m ，m a n yw o r k e r sh a di n v e s t i g a t e d m a n yn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ym e a l l 8o fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg r o u pt h e o r y a n do b t a i n e dal o to fi m p o r t a n tr e s u l t s b a s e du p o nt h er e q u i r e m e n to fc o v a r i a n c eo ft h e g e o m e t r i c a lq u a n t i t i e s ，g u oe ta lp r o p o s e dt h ec o v a r i a n tt h e o r yf o rt h ep r o l o n g a t i o ns t r u c - t u r eb ym e o ft h ec o n n e c t i o nt h e o r yo f f i b e rb u n d l e s ，t h u sm a k i n gt h ew h o l et h e o r y c o v a r i a n t i nt h i sp a p e rw e l lu 卵t h i sc o v a r i a n tt h e o r yt od i s c u s st h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e o ft h ei n t e g r a b l et h ei n h o m o g e n e o u se q u a t i o no ft i l er e a c t i o n d i f f u s i o nt y p e ：b ye s t a b - l i s h i n gs l ( 2 ，r ) p r i n c i p a lb u n d l ea n di t sa s s o c i a t e db u n d l ea n df i n d i n gb o t h1 - d i m e a m i o n a l r e a l i z a t i o na n d2 - d i m e n s i o n a l r e a l i z a t i o no fi t sa l g e r a w ec a n $ u c c e f u l l yg i v ei t sa k n s - e q u a t i o n sa n db a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n k e y w o r d ：p r o l o n g a t i o n s t r u c t u r e ，n o n l i n e a r c o n n e c t i o n ，e q u a t i o n o f t h er e a c t i o n d i f f u s i o n t y p e ，b a c k l u n dt r a p s f o r m a t i o n n 1 第一章引言 用微分几何方法来研究非线性偏微分方程的思想，在上个世纪七八十年代取得了非 常重要的发展。很多著名的学者和专家参与了其中并获得了许多重要的结果 1 9 7 5 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 在【l 】中首次提出了1 + 1 维的非线性偏微分方程 的延拓结构理论，并应用到了k d v 方程，显式地得到了几个赝势。并且讨论了它们和相 关的反散射方程以及b a e k l u n d 变换之间的关系这一成功激发了很多的专家用微分几何 和群论来研究非线性偏微分方程。 h e r m a n n 【2 】提出了具体的c a r t a n - e h r e s m n n 联络 u = d y 十咖+ u l ! ，+ 忱矿 来理解【1 】中给出的k d v 方程的s l ( 2 ，r ) 延拓结构c r a m p i n 等【3 】把a k n s 2 2 问题 归结为找到外形式q 1 ，n 2 ，n 3 ，满足零曲率 e 三d f l n a q = 0 其中 而原始的非线性方程则可写成 他们指出n 可解释为s l ( 2 ，r ) 主丛上的联络。因此，s o l i t o n 方程相应于零曲率方程 ( 纯规范场) 。m o r r i s 【4 】运用【1 】中延拓结构方法讨论了有引力作用的浅水波方 程，构造了它的外延拓结构，并证明这可用来确定另一类广义散射反演问题。c o r o - n 【5 】则对简单赝势的存在性做了仔细的讨论并导出了h i r o t a 方程的外延拓结构。 d o d d 和g i b b o n 【6 】又构造了一种高阶k d v 方程的l i e 代数，他们特别指出，这一方法 的主要威力在于能够由外延托结构导出未知的散射反演问题。ar o yc h o w d h u r y1 7 等则用这种方法讨论了1 维l a n g m u i r 波方程及一种特殊类型的非线性s c h r o d i n g e r 方程的 外延拓结构。而s a s a k i 【8 】指出所有的a k n s 方程描述了一个有常负高斯曲率的伪曲 面，而s l ( 2 ，r ) 结构也自然被理解成伪曲面的等距群。随后s a s a k i 在【9 】中通过对一般 的3 3 问题约化为3 个2 x 2 问题，从而清楚地写出了其延拓结构且给出了无穷多个多 项式守恒律，进而将几何方法推广到了一般的n n 问题。1 9 8 1 年，s a s a k i 和b u l l o u i g h 合 作【1 0 ，指出任意一个可由a n k n z s 方法解决的非线性演化方程的守恒密度的完备 集一定包含非局部的守恒密度。 但是所有这些结果并不是协变的，因为w 和e 的延拓理论本身就不协变。1 9 8 2 年， 郭汉英等【1 1 】提出了协变延拓结构的理论通过引入主丛，联络等概念，使得整个理 论成为协变的，从而真正利用了微分几何的强大工具。而且从纤维丛出发在给定李 代数的情况下，使得求解过程非常简便，很容易得到反散射方程，b a c k l u n d 变换等。 本文就是利用这种协变延拓结构的理论来研究在许多领域里都有着重要作用的个 非齐次反应扩散型方程 ut-+uzz一1-虢-+2ku-一(h眺u)zi；t v z z 2 k v 三。0 ： ( 1 0 2 ) 1 +一2 伊+ 一( 9 可k = ， 卜。u 。， 1 d 要 m瞪把 肚 的延拓结构。通过建奇- s l ( 2 ，r ) 主丛及其伴丛，并找到其李代数的1 维和2 维实现，我们 成功得到了其反散射方程和b a c k l u n d 变换。在上述方程中取h = 0 ，就约化为方程 f 毗一“。+ 2 u 2 u 一2 k u = 0 、仇+ 。一2 v 2 u + 2 k v = 0 ( 1 0 3 ) a m n i t o 等曾在【1 2 】中用w 和e 的延拓结构方法讨论了( 1 0 3 ) ，并给出了它的反散射方 程，和我们给出的结果是一样的。 2 第二章协变的延拓结构理论 2 1 w a h l q u i s th d 和e s t a b r o o kf b 的延拓结构 1 9 7 5 年h d w a h l q u i s t 和f b e s t a b r o o k 首先提出了用c a r t a n 夕| 微分形式的方法来 研究非线性演化方程的理论，即延拓结构理论，并将此理论应用到了k d v 方程上 设k d v 方程为 m + t b 托+ 1 2 “t = 0 ，( 2 1 1 ) 通过定义新的变量 o ：= p ，p ：= 缸= “目，( 2 1 2 ) 则原来的方程可化为一阶偏微分方程，即 饥+ 如+ 1 2 u z = 0 ， ， ( 2 1 3 ) 在由独立变t x ，t ，t ，2 ，p ) 形成的5 维空间里，取一组形式基 如，d t ，d u ，d z ，d p 定义下面 一组微分2 - 形式： 口1 = d u a d t z d z a d t 0 1 2 = d z a d t p d x a d t a 3 = 一d u a d x + d p a d t + 1 2 u z d x a d t ，( 2 1 4 ) 使得j = a 。) ，a = 1 ，2 ，3 是一个闭理想，方程( 2 1 1 ) 的解流形是m 中一个2 维子流形记 为s ，s = z ，t ，“( t ，) 则当0 4 i s = 0 ，a = 1 ，2 ，3 时，就重新得到方程( 2 1 1 ) 所谓的延拓指得是在原来的j 里加进k 个1 形式 = d y + ( z ，t ，t ，z ，p ，y ) d x + g ( z ，t ，t ，2 ，p ，v ) d t ，( 2 1 5 ) ( 其中矿称为势或赝势) 后，仍然构成一个闭理想，即 d w = 砭：l ( z a 扩+ 巧 ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 得到一组p 和的一阶偏微分方程组( 这里假定p 和g 是与z ，t 无关的) 芝= 0 ，乓= 0 ，e + g ；= 0 ， 2 g ：+ 叫z 一1 2 u z g ；+ g j 弓一f 唪= o ， ( 2 1 7 ) 进而口】以写成 一= 2 x i + 2 u 墨+ 3 u 2 驾， g = 一2 p + 6 u 2 ) 雹+ 3 ( z 2 8 u a 一2 u p ) 驾+ 8 雹+ 8 u 砖 + 4 u 2 瑶+ 4 z x ；， ( 2 1 8 ) 其中霹为仅含 矿 的函数将( 2 1 8 ) 代回到( 2 1 7 ) 得到一些关系式，由于导数算子的交 3 4 付翥舻式蔓李个阶有叫 的两一h h到义个弛础洲蝴卅 一一一一一 一舭一一一 一一一一 p赞泊卜；j阱懒黝眠 腼越州獬黼，强一世瑶 一一一一一 快璨数郇执 号加代珀蚓括附婊塑 一一一一一 需锄和过妫蠕删确聪城所卟槲堋 体的了而 恻例加强 匕萎徭，疗 可是元式一腻蜥 缗并生刚m。 唤牧扮教内奂 2 2 非线性联络 继w a h l q u i s th d 和e s t a b r o o kf b 之后，很多学者和专家也投入了用微分几何来 研究非线性演化方程的工作，也都得到了很重要的结果，1 9 8 2 年，郭汉英等提出了用纤 维丛和联络的方法来研究延拓结构的理论，此理论主要是基于陆启铿和郭汉英等提出的 纤维丛上的非线性联络理论。为此，我们这一节来介绍陆其铿的非线性联络理论 令p ( m ，g 1 为e ( m ，e g ，以。，) 的伴随主丛，r 是定义在p ( i ，g ) 上的联络，则由n o m i z u 1 3 】的命题知，对应地在e 上有联络b 用我们的记号，在尸( t g ) 上指定一个联 络r ，也就是在任意邻域u ，有一个函数r ( z ) 的集合使得如果r ：( o ) 是定义在v 上，则 在u n v 上有 券o ( 童) = ( a d 筇 ( z ) ) ；t ( z ) + 咭( 如y ( z ) ) 旦1 2 ；曼迹， ( 2 2 1 ) 这里拉丁指概b 从1 到r ( r 为李群的维数) ，希腊指标a ，“从1 到m ( m 为底流形m 的 维数) ；z 一( z 一) 和孟= ( ( z ) ”) 分别是u 和v 上的局部坐标，如y ：u n v g 是转移函 数，蜡( 口) 是李群g 的左不变微分形式俨( 口) = 嵋( 口) d 一的系数 ( 倒；：f 1 ， ( 2 2 2 ) 是映射口：r 一口r 口，v r g 的伴随映射e 是g 的单位元现在令矿是纤维f 的局部 坐标，且f 的维数为n 。由定义g 有效地作用在f 上，故任意元素r g ，诱导了f 上的 一个同胚t ：f f 用局部坐标写出来即 它满足 表示g 在f 上的无穷小变换。 命题：如果矿= ( ) ，则 矿= 矿( 口，y ) t 一( r 口，y ) = ( l 妒( 口) ) 圮( ) = ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) a ：( 痧) = ( a d r - 1 ) 。b a ：( ) ! ! ! ! f 秀笋， ( 2 2 6 ) 证明：命x = t - 1 口r 及z i = ( x ) 据李变换群的理论【1 4 】有 笔掣：砖( ：) w ( x ) ， a 妒 1 、。” 咻，= 【警l ， l u ” j 口；y 由于 ( 口，口) = ( 以妒( r ) ) = ( d r ，y ) = ( f ) ( ，y ) = ( f 妒( x ，) ) ， 有 a ( 口，口)a ( r 2 ) 即( x ，y ) o x 6 瓦_ 一百厂百夏广西 = 亟甍煳w ( x ) 筹，a z k 。、7 。、l7 a a 帕 取仃= e 时，x = e ，= ( e ，) = 矿，w ( x ) = w ( e ) = 露，及 器 ，。= ( a d v _ 1 ) ! 粕) = 警l = 蜘o y k 墩b 烈撕- 1 ) 命题得证。 现在命题中取r = 筇- ，1 ( z ) 。即 扩一( 砂孑 ( z ) ，y ) 怕h a d 咖( 蝴) 筹， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 对( 2 2 1 ) 瓦阴边郡乘以圮( ) ，丹田上虱，伺 丽0 量v - 。，a ( 咣( 口) = ( a d 痂( z ) ) 咪z ) a d g ) u v 矧，丽0 0 j 堋咖) 笔笋 a d 咖酗孙) 蒡 = 吲m 知) 筹+ 堂券掣w ( 伽( 圳咄们嚣 般。) 帮a ：x + 磐羔筹， ( 2 2 9 ) 1 v ；( 妒u v ( z ) ) = i a d 妒u v ( z ) 】：嵋( 咖u v ( z ) ) 见【1 4 】 由于矿兰( 蝣；( z ) ，妒( y ( z ) ，矿) ) ，有 帮一 a 矿 a ( 庐孑；) 8 。6 伊，劬a 曲v ，o y 西、 o x u a ( 妒孑；) 。a o y 、a v 舭a o x 7 = 蒜警+ 关o y 羔掣+ 筹，z a ( 孑 ) 。 a z p a 西u v ( z ) 。i 多z p a z p 、。7 6 从而得到等式 或者 这里 最后我们有 - 塑二亟盟+ 塑鲎业! 熊：o a ( 咖i ) 4o x o y 9 曲u y ( z ) 4 渺 。 西8 西 o c u y ( z ) 4 丽2 一万葡而瓦厂 矿= ( 孑 ，( z ) ，y ) 筹以( 锄) = 磁( 训) 筹一筹， 其中= 矿 ) ，矿= ( 毋品( z ) ，可) 且 b ( z ，y ) = r ：( z ) m ( ) ， 定理1 ：给定主丛p ( mg ) 上的联络r 二( 。) 在伴丛e ( m ，只g ，尸) 上就有一个联络磁( z ，y ) ， 使得 r ( z ，) = r ：( z ) 圮( ) ， 在坐标变换 童。= = 孟”( z ) ，矿：( 妒孑；( z ) ，) ，( 2 2 1 1 ) 下，有变换规律 篆坝嘶) = q ( 训) 筹一筹， ( 2 2 1 2 ) 容易证明，当取f 为向量空间，g 线性的作用在f 上时就退化为一般的情形，即当 时，易求得( 2 ，2 1 2 ) 变为 矿= ( a ，y ) = 4 ( ，) 筹t 计1 驰a 竹1 筹， ( 2 2 1 3 ) 其中a = ( ) ，( 2 2 1 3 ) 正是线性规范势的变换规律。我们称定义在e 上的联络是线性的 若f 是向量空间，且g 线性地作用于f 上，否则称非线性联络。 现在引进e 上的( 非线性) 联络形式 = d 矿+ 磁( 以) d 扩 7 ( 2 2 1 4 ) 作局部坐标变换( 22 1 1 ) r j ，有 = + 以( 孟，9 ) 如一 = 筹矿+ 筹如”+ 筹咏刚卜豢 d 甜雾， 切向量 称为水平的，若 此即 则( 2 2 1 4 ) 知，充要条件为 z 吖杀+ ，杀， u ( z ) - ( z ) 杀兰。， j ( z ) = 0= 1 ，2 ，一，n 。 ，= 一r ，( z ，y ) f f ， 4 = 而0 一r t ( 础) 昙p = ”一，m ( 2 2 1 5 ) 则易见z 。，是线性独立的并且 因此z h 一，磊是坼的一组基- 作局部坐标变换f 22 1 1 ) 时 ( 磊) = 0 磊：= 丽0 一髟( 珊) 易 a 矿0 。8 妒0f o x ”n 8 自鲫t o v k 0 2 面面十面雨1 面b 万一丽1 面研 = 筹 刍一以品 + 筹+ 望0 孟 鲎o # j 1 旦o v k ，”f 如r 。曲j i 撕p 由于矿；( 加v ( z ) ，妒( 佑；( z ) ，9 ) ) ，易证 若+ 薯蒡= 。 从而有变换规律 毛= 筹乃， 8 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 记 则有 定理2 ：f “。有下面的性质： ( 1 ) 在坐标卡变换( 2 2 1 1 ) 下 f = 【乙，乙1 钆= 篆筹b ，t 2 蕊i 磊：，。7 ( 2 ) f 司以写成j 02j 品毒具甲 磕k 们= f 品0 ) a ：( ) ， 4 哆( 加掣一掣+ ab ( 动吒 是通常的由联络r ( z ) 定义豹p 上的曲率张置 ( 3 ) f 满足b i a i l c i l i 恒等式： b ，耳小 k ，如】+ k ，j = 0 证明：( 1 ) 由( 2 2 1 8 ) 有 秘2 4 = 【篆乙，篆历 = 舻o x 。、一。妒9 x 7 z ，一豢p 筹) 磊+ 篆器引 = 篆杀( 篆) 磊一万o x 万oi 而o x 6 、乙+ 聊o x 拱o x 7 z 别 = 墓善磊一墓筹乙+ 撕o x 4 ，如o x 。 z ，乃1= 石至i 石歹五7 一石至：否万厶4 十a 孟一a 量v - 4 五7 j 0 譬o0 f 2 丽丽，一 ( 2 ) 阮矧= ( 杀一q 。川品) ( 刍一聪c 训，杀) 一( 嘉一嗽训，杀) ( 杀一r t ( 驯，刍) = f 掣一掣q ) 掣l 如” 如p - p 7 a 矿 雌掣】刍 = 【( 掣一掣) 怕嘶，0 蓦 罐蕞) 协 ， 9 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 我们知道 a ：豢一a ：豢= 嚷定， 其中c 矗是李群g 的结构常数因此 耻 掣掣+ 谨坼州 圮昙 ( 3 ) 最后，我们从j a c o b i 恒等式 b ，【z 。z v 】+ 【知，【z v 以l 】+ 【缸，b ，知】| = 0 ， 得至z l ( 22 2 1 、 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) 现在我们来研究局部可微截面y ：w e 的协变导数，其中是m 中的开集。 令是a 彳中一点的局部坐标，矿( z ) 是y 在z 点的像点的局部坐标。则有 定理3 ：令矿( z ) 是一个局部截面，且 吼= 筹+ r 触”) ， ( 2 2 2 5 ) 则在局部坐标变换( 2 2 1 1 ) f 有 玩，= ”知蒡篆 ( 2 。o ) 证明：由于 望：0 鱼嘘+ 型一c g y k 如一 8 ( 蛎b ) u 加” 。d 矿缸一 及 筹或( 硒) = 咏刚) 筹+ 券羔警， 将上面两个式子相加，就有 筹e 篆+ 双嘶肛c 荔埘c 删，】雾+ t 蒜舞驾茅+ 筹羔笋】 由前面的证明知，上面最后一项括号里的值为0 ，从而证明了定理。 缔。称为局部截面( z ) 关于扩的协变微分 根据定理3 ，丛e ( 吖，y , g ，p ) 的截面( z ) 的协变微分玩。是纤维丛e l ( m ，v ”o y ”，g l ( n ，兄) g l ( m ，尺) ) 的截面，其中妒是s 维向量空间结构群g l ( n ，r ) xg l ( r n ，冗) ) 线性地作用 在v “o v ”上ae ，的转移函数为 雾篆 1 0 形式的矩i 晖- 因此要找到玩。的协变微分，需要引进新的只依赖于z m 的线性联络r ：一( z ) 和依赖 于zem 和截面矿( z ) 的线性联络反。( z ，) ，且它们满足 ( 靠) ，= 等+ l i 。( z ) 眈一瞄( z ) 以， ( 2 2 2 7 ) 县协变的。 r 。) 的引进很容易。例如，假设m 有黎曼度规，则可以取0 ，( x ) ；睦c h r i s t o f f e | 记号 苄面我们假定r ：，= r l ，即1 1 ：，( z ) 是无挠的对于4 ，( z ，! ，) 的引进，我们需要对李变换 群g 和纤维f 傲进一步的假定 假定由( 2 2 5 ) 定义的无穷小变换满足下面两个条件： ( 1 ) 存在函数圮( 们的集合使得 圮艟：， ( 2 2 2 8 )m 艟= 醒，(2 8 ) ( 2 ) 在坐标变换( 2 2 3 ) 下， 狮) 邓隙v ) 筹 这两个条件是可以满足的，例如，当g 是一个半单群，且由 矿( z ) = _ l 曲( z ) 圮( ( z ) ) a ：( y ( z ) ) ， 定义的矩阵是非奇异的，其中 “是矩阵c 玉c 墨的逆矩阵则 碍( y ) = 蛳( z ) 护( z ) a ：( f ) ， ( 2 22 9 ) 满足上面的条件( 1 ) 和( 2 ) 定理4 ：假定”( ；) 适合上面定义的两个条件，则对任意截面y ：m e ，其局部坐标表 示为矿( z ) ，可定义向量丛易( m ，v ”，g l ( n ，r ) ，7 r - ，u ) 上的的线性联络 工j i 。，f ( z ) ) = 旦誉粤+ c ：k ( z ) 砖( ) l 圮( 珐 ( 2 2 3 0 ) 其中c 鑫是g 的结构常数，即对于坐标变换( 2 2 1 1 ) ，有 丽o g ：2 v - ji 习= l 缸雾髻一筹杀( 筹) ， c 。2 s ， 而且可以定义圮( ) 的协变微分为 砖，= 朵一吃醒+ c 嚣k 芍， 【2 2 3 2 ) 它满足 椎磁。= 0 ( 2 2 3 3 ) 证明：根据( 2 2 2 2 ) 龇咖) ) _ 型o y j , 叫掣 若+ 咖 = 掣叫掣蟊， a ，2 、9 p 可f 掣1 p 筹眦辩) ) _ 豢f 挈叫掣玩1 ：翌翌+ r ，! 生一坌垃j l 【o y q 妒一”o y p o ! t 1m po 【汁 ( 器) 筹一根v ，篆等 掣篆+ 啪) 争1 虬筹 = 孑一埒筹叫券雾一筹 ( 赤筹) 氅盐+ o y _ z 旦，翌、 一塑旦r 翌、 k pb po y p a 圹，j 西a z pl a ! ，叮 = ( 刚) 叼o ：o g 筹杀( 嚣) ， 由定义 a ：旷豢+ o 一匕q 雒r c = 。十雒筹一( 砖雾一砖雾) 。 = l j 。，+ 筏雾( 若+ 或) 一等 = 0 记( 玩) 。为吼，则由( 2 2 2 7 ) 和( 2 2 3 0 ) 得 ( 2 2 3 4 ) 吭，一砒= ( 雾筹) 圮+ ( a ：豢( 2 m 3 5 ， 叫豢) r ：r 出一( 遐券一w 券) 靠比 = 圮一心吮比， 1 2 其中 嵋= 雒雾一婶警， 给定截面y ：m e 总是有 = 若+ 啦。 桫= 眈彬 令 以= 玩。( ，) 桫， 则 由( 2 2 3 5 ) 得 + 砭彬= 隧越吮卜 桫 = 警+ 曩，唬一瞄叫如” 甜 = ；( 缸一如) 如” 桫， ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) d , o ：= d j + 厦a w ( 2 2 3 8 ) = 一i l n j 。删 如”+ ；峨 ， 从而我们有下面的定理。 定理5 ：对于任意截面y ：m e 都有下面的结构方程： d + = 一；圮出一 舭+ ；磁 “， 到此我们给出了非线性联络的主要定理以及部分定理的证明，为下一节介绍协变的延 拓结构理论提供了理论准备。 2 3 协变的延拓结构理论 有了第二节的非线性联络理论，我们就可以建立下面的1 + 1 维的协变延拓结构理 论。 给定一个非线性演化方程，一般可以相应地找到一个一阶偏微分方程的集合它 就等价与原始的非线性方程。假定该一阶的偏微分方程系统中不独立的变量为扩，p = 3 ，m + 2 ，考虑一个m + 2 维空间m = z ，t ，。 ，则系统的解流形是m 中一个2 维子流 行岛= z ，t ，u ( z ，t ) 卜由w 和e 的理论，定义在上的一个2 一形式n 9 形成的集合，构成 一个闭理想，即 d d 卢= 2 口1 其中e ! 为1 形式且满足 0 1 9 i u = 0 ，( 2 3 1 ) 且( 2 3 1 ) 就等价与原方程所对应的一阶微分方程系统。 现在假定以底空间为m ，结构群为g ( 其李代数即延拓代数) 的主丛p ( m ，g ) ，和 伴丛e ( m ，y ，g ，p ) 已经建立。且p 和e 上也引进了联络，见前面一节。定义一个局部截 面! ，：m e ，( 矿( z ) 是y 在z 点的像点的局部坐标) ，和它的协变导数 = d 矿4 - 咒( z ，y ) d x ” ( 2 32 ) = d 矿+ r ：( z ) 圮( f ) 如”，( 2 3 3 ) 其中z m ，= z ，t ，。现在把n 上的闭理想j 延拓为e 上的闭理想i = 0 4 ， 有d 护c i 有定理5 知，即 一j 1 。j 如一 c + ；峨扩 = 鼻a 口+ 前刖， ( 2 3 4 ) 其中，占和啊分别是o f f 弑a m l - 形式。进一步上式分解为 一：墨a ：如一 彬：髟n 日， c 女( ) “，a u = 瓒 u ( 2 3 5 ) 称f 2 3 5 ) 为基本延拓结构方程系统。 显然，m ( 2 3 5 ) 和( 2 3 1 ) 知，限定在解流形s 2 上时，曲率为0 ，从而有结论：非线性 演化方程所对应的联络总是平的。另外，通过要求f 岛= 0 我们可以得至1 r i c c a t i 方程 和反散射方程，而且注意到正是截面上的联络1 形式，从而所有的结果都是协变的。 因此只要找到方程f 23 5 ) 的一组解，包括延拓代数及其实现平联络，则相应的非 线性演化方程的延拓结构就可以确定。事实上我们得到的基本方程已经预先假设了 所给定的非线性演化方程的延拓结构的存在性。所以，协变延拓结构理论有效当且仅 当延拓结构方程( 2 3 5 ) 的解存在并且可以明确地找到。 1 4 第三章 可积的i n h o m o g e n e n o u s 反应扩散方 程 下面我们用协变延拓结构的方法来解i n h o m o g e n e n o u s 反应扩散方程。 ft l t b ，+ 2 u 2 口一2 k u 一( u k = 0 1v t + t k $ 一2 v 2 t + 2 k v 一( g k = 0 其中g ， 是z ，的函数。 令= p ，= q ，则上面的方程组就化为一阶偏微分方程组： f 啦一曩；+ 2 u 2 一2 k u 一( u k = 0 1v t + 如一2 伊h + 2 k v 一( 卵k = 0 在六维空间m = ，t ，“， ，p ，q 里，定义下面一组二阶微分形式的集合： ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) 0 1 一d u ad t p 出a d t ， 0 ；2 一d v a d t q d x a d t ， q 3 = 一勿a d t d x a d u + 2 u ( u v 一) 如a d t d ( h u ) a d t ， o ：4 = 由a d t d x a d v 一2 v ( u v k ) d x a d t d ( g v ) a d t ( 3 0 3 ) 使得i = n 4 ) ，a = 1 ，2 ，3 ，4 是一个闭理想，方程( 3 0 1 ) f f 解流形是m 中一个2 维子流形 记为s 则当a 。i s = 0 ，a = 1 ，2 ，3 ，4 时，就重新得到方程( 3 0 1 ) 扩= z ，t ，“，”，p ，q 从第二章里得到的基本方程( 2 3 5 ) 知 2 尼0 9 = 如a d t + d x a d u + 兄如a d v + d x a d p + d x a 由+ 吃( 一o t i 一州z a d t ) + 吃( 一0 2 一q d x a d t ) + ( + d x a d u 一2 u ( u v k ) d x a d t + ( h u ) 。d x a d t + ( 一0 4 一d x a d v 一2 v ( u v k ) d x a d t 一( g v ) 。d x a d t ) + 昂d u a d v + 珐d u a d p + d u a d q + d v a 却+ 昧幽 由+ d p a 由i( 3 0 4 ) 限制在解流形s 上时，得到 如一p 砭一q 吃一【2 u ( u v 一女) 一( h u ) 。】砭一 2 v ( u v k ) + ( b y ) ：j 砭一0 ( 3 0 5 ) 和 一= 0 ， 死+ 吆= 0 ， = 日6 = 坛= 聪= 珐= = = 吆= 0 ，( 3 0 6 ) 1 5 取延拓代数为s l ( 2 ，r ) ，结构常数为 可以找到一组解 及 其中 = 一2 ，= 一1 ，= 1 f ；= 一2 a ，1 1 ：= 一n ，f = 一 r 5 = 一2 【( “t ，一) 一2 a 2 + 刈 r ；= 一( u 。一2 a u + h u ) r ；= ( + 2 a 一 ) 聪= 【；= r ；= f ：= 0 ， n = 1 ，2 , 3 a t = a 。，九：= 0 ，h ( x ，t ) = 9 ( z ，t ) ：= 妒( f ) z + 妒0 ) 取s l ( 2 ，r ) 的一个一维实现，即 从( 23 2 ) ，有 x 1 磁 ( 3 0 7 ) ( 3 0 8 ) ( 3 0 9 ) 埘= d y 一【u y 24 - 2 a y v d z l p + ( h 一2 a ) - l u 2 2 【( u 一k ) 一2 a 2 + a h y 一口一( 2 a h ) v d t ( 3 0 1 0 ) 从而得到r i c c a t i 方程 玑三u扣y+2+(2ay-v,yt h z a ) - l y 2 + 2 ( u v 一七) 一2 a 2 + a 州+ q + ( 2 a 一 ) 虬( 3 o 1 1 ) 、= 扣+ ( 一 2 + 一七) 一2 + a 州+ q + ( 2 a 一 ) 矿， 、m 仉1 叫 下面我们来求其b a c k l u n d 变换 做变换 有 将上面两式相加得 啦= 一u + 2 a y + u y 2 ( y ，a ) ，( 一，一a ) 一班= 一v + 2 a y + u y 2 0 = ( 程+ ) 一4 ) t y 一( v + ) 剪2 1 6 ( 3 0 1 2 ) ( 3 0 1 3 ) ( 3 0 1 4 ) a 一劫 矿 = 磁 a镓卫曲 = = 从上式解得 t ，：= ! 苎圭【! ! 苎：! ! 兰兰! ! 生! ! 塑i 。 2 ( u + 1 = 苎坐等h - 并憋迹， ( 3 0 1 5 ) i u t rj 代回( 3 0 1 2 ) 得 骓= 堑鼍等芦业c u m 士等瑞筹等需芾， ( 3 0 1 6 ) l - 式两边同乘以2 并化简得到 。啦= 业业坦等斋篙等游蒂塑必幽( z p + t ，k l 【4 a 2 + ( u + ) 扣+ ) l ； = 千剑型訾箫筹掣卷篇塑蚴c z扣+ t ，) 2 【4 2 + 扣+ “) 扣+ ”，) 】1 7 一 。扣+ t ，仉 【4 a 2 + + u t ) 扣+ t ，) 】 = 千两者u 高u 。 而2 士阿考( 3 0 1 7 ，【4 a 2 + 扣+ “) 扣+ ) 】f 4 a 2 + ( + “，) ( + ，) 1 2 y = = ( u u ) 2 一p t ，) 上面得到的两式比较即得到了b a c k l u n d 变换在空间方向的分量： 千西i _ f 兰= ( u 一) ；土西i f f 丢三= 一扣一t ，) ，( 3 0 a 8 ) 或者写成下式 篙+ 姥三磐劣黔：譬：笳+ 蕊( 3 0 1 9 4 - 4 - ， l 扣t j ，) l 一千扣一t ，) 【4 a 2 + ( t + ) 扣口，) 】 ， 7 我们有 轨= 由+ ( h 一2 a ) u l 护+ 2 【( “口一k ) 一2 a 2 + a h y 4 - ( 2 a h ) v 4 - 玑 ( 3 0 2 0 ) 同样做变换 ( y ，a ) + ( 一”，一a ) 1 7 得 一y t = 阻：+ ( + 2 a ) “，| 2 2 u 7 一k 一2 a 2 一x h l y + ( 一2 a h ) v 7 + 吒，( 3 0 2 1 ) 上面两式相减。得 2 玑= ( t 一k y 2 2 a ( t 正+ t 正) y 2 + h ( u u t ) y 2 + 2 ( u v + 秽7 2 k ) y 一8 a 2 y + 0 一郇，) 。 + 2 a ( v + 一) 一 扣一 7 ) = ( “- - u t ) 乒：砌m 唑塑塑型峻骞掣坐型灶监 撕i t - - u t ) y 2 + 2 ( u v + u v - 2 k ) y - 8 a 2 坐坐等并憋业忡川 + 2 a ( v + 口) 一九p t ，) ：u - ) z y 2 + ( 。一。，) y 2 + 2 ( u 。+ t ，一2 k ) 口一兰查! = = = ! 垒二兰；三 ；? ! 删 t - “j + 扣一 k 4 - 2 a 扣+ ) 一 扣一 ) = ( 一让) 。矿4 - h ( t l 一) 9 2 + 2 ( u v + t ，一2 k ) y 一2 a 扣4 - 钉7 ) 4 - 扣一t ，) 2 + 2 a ( v + 7 ) 一 扣一口7 ) = ( “一k 矿+ ( u u ，) 可2 4 - 2 ( u v 4 - t ，一2 k ) y 4 - 扣一 7 k 一 p 一 ) ，( 3 0 2 2 ) 再由( 3 0 1 5 ) ，有 2 玑2 千西天f f i ( u _ + _ 孑u 灭) t y 了2 研士西天_ f i ( i v 4 - v 页t ) t 4 - t t 了；了雨， 弘 。【4 a 2 + ( “+ ，) ( + u ，) 】；一f 4 a 2 + ( 让) ( z ，+ ) 1 比较上面两个式子，得b a c k l u n d 变换在时间方向上的分量： i 千+ ) = ( u 一“k 【4 妒4 - 4 - “，) ( + u ，) 】 士( u 十“，) ( 删+ u 一2 k ) k 川h 4 - 洲h ( u - u 饼) 4 a + 2 嚣+ ，麓旆川m 删，一) ( 3 0 2 3 4 - 4 - 4 - 2 k ) i 士扣 7 ) f = 扣一t ，7 ) ，【4 a 2 + ( t 正+ 让，) ( + tr ，) j ；士( t tu ，) ( 7 ，t ，一 ) 7 【 一h 扣一 7 ) 【4 a 2 4 - ( h 4 - u ，) ( + t ，) 1 i 进一步，为消去参数k ，我们做下面变换 “_ “e 2 船，“_ 钍7 e 撕，u _ + e 一弘，一 7 e 一2 “， ( u + u ，) f 2 k ( u 4 - “) e 2 h + ( n 4 - u h e 2 埘；( u 一让k ( u t 7 ) 。e 2 衄 4 - 7 儿+ 扣4 - 7 ) e 一2 船一2 k ( v + ) e - 2 k t ，( 钉 k + 扣一t ，) 。e 一2 衄 1 8 得到万崔( 3 0 1 ) 的b a c k l u n d 变换 f 千( t l + ) t = ( t 一“b 【4 a 2 + ( 珏+ ) 扣+ ) 】 4 - ( 缸+ o ) ( 删+ t ，t ，) 士p + 以：苫! 历篡黔0 ：+ ，2 灌捧4 - 。+ 们。+ 一) c 。o 。a ， i 士p + t ，) t = ( 一k f 4 a 2 + 扣+ ) 扣+ ) 】 0 + u ) ( 口+ ，t ，) r 。u 。叫 【一h ( v 一口) f 4 卯+ ( “+ u 7 ) o + t ，) 】 ， 取h = o ，我们即得到方程( 1 0 3 ) 的b a c k l u n d 变换： 弋蒜蛾三篙二描：毪嘏i ；：j ：球圭警鞠警：蕊( 3 o 2 5 4 - ， l 士扣+ t ，) i = 扣一一k 4 a 2 + ( t i + ) ( + ，) 】 扣+ t i ，) ( “钉+ 影) ， 7 取s l ( 2 ，r ) i 扮j - - 个二维实现，即 蜀= j 1 ( 扩酽0 一i ，1 丽0 ) 恐一护杀 墨= 一f 1 砑0 ， ( 3 o 2 6 ) m ( 2 3 2 ) 得 “，1 = 匆1 + ( a y l + u y 2 ) d z + f ( t i 一七一2 a 2 + m h l + c p 一2 a u + h u y l d r ( 3 0 2 7 ) “，2 = d y 2 一( a 2 一v y l ) d z f ( u v k 一2 a 2 + a ) ! 2 一( q + 2 a v h v v l d t ( 3 0 2 s ) 记 y = ( i ，1 ，2 ) 7 通过要轧q s = 0 ，得l i l j a k n s - 型方程 k = 一f y , k = 一g y , ( 3 0 2 9 ) 其中 一f = 【：三 ( 3 0 3