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各向异性打懒算法的研究与改进 摘要 图像增强是图像处理的一个重要组成部分。本文研究并讨论了一类图像增强 算法，各向异性扩散算法。 首先，文章介绍了基本的各向异性扩散算法和有偏的各项异性扩散算法。对 于算法的物理模型，边缘停止函数以及两者各自的算法实现做了详细的描述。并 通过一系列试验、实验结果说明了算法的基本性质和特点。 在详细讨论了这两种既有算法的基础上，针对它们的缺陷，本文提出了两个 改进算法，并同时证明了它们的收敛性质。 第一个改进算法基于有偏各向异性扩散算法的物理模型，改进了边缘停止函 数，使算法的平滑性能得到了进一步的改进，大幅度提高了算法的抗干扰能力。 同时，较好的保留住了图像的区域信息。 随后提出的双元素扩散算法则改进了原有的算法模型。通过两个扩散网络的 竞争来获得体系的动态平衡。从而同时实现边缘增强和平滑的双重效果。 并且，通过针对这两个新算法的性能实验和算法效果比较实验，证明这两个 算法都是有效的。 关键字：图像处理，图像增强，各向异性扩散，边缘停l k 函l 数，双元素扩散 各向异性扩散算法的研究与改进 a b s t r a c t i m a g ee n h a n c e m e n tw a s a v e r yi m p o r t a n tp a r to fi m a g ep r o c e s s i n g i nt h i sp a p e r w ed i s c u s s e do n ek i n do ft h ei m a g ee n h a n c e m e n t a l g o r i t h m ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n i n i t i a l l y ，t h eb a s i ca n i s o t r o p i cd i f f u s i o na l g o r i t h ma n db i a s e da n i s o t r o p i c d i f f u s i o n a l g o r i t h m w e r ed i s c u s s e d t h i s p a p e r i n t r o d u c e dt h e i r p h y s i c a lm o d e l s ， e d g e s t o p p i n gf u n c t i o n sa n d t h ei m p l e m e n t a lm e t h o d s m o r e o v e r , w eu s e ds o m e e x p e r i m e n t s t op r o v et h e p r o p e r t i e s a n df e a t u r e so f t h e s et w o a l g o d t h r n s 。 a f t e r d i s c u s s i o n ，b e c a u s eo f t h e i rs h o r t c o m i n g s ，w ep r e s e n t e da n o t h e rt w on e w a l g o r i t h m s t h e yp r o v e dt ob ec o n v e r g e n t t h ef i r s to n eb a s e do nb i a s e d a n i s o t r o p i cd i f f u s i o na l g o r i t h m i nt h i sm e t h o d ， w er e v i s e dt h ee d g e - s t o p p i n gf u n c t i o nt oi m p r o v et h ea b i l i t yo f s m o o t h n e s sa n d 、 a n t i - n o i s ea n d k e e pt h ed i f f e r e n tr e g i o na p a r t t h es e c o n d o n e ，d o u b l ed i f f u s i o na l g o r i t h m ，d e v e l o p e dt h eb a s i c p h y s i c a l m o d e l i nt h i s a l g o r i t h m ，t w od i f f u s i o nn e t w o r k sw e r ec r e a t e d w h e nt h e s et w o n e t w o r k ss t r u k et h eb a l a n t e ，t h es y s t e mc o n v e r g e da n da c h i e v e dt h ee f f e c to fb o t h s m o o t h n e s sa n d e d g e e n h a n c e m e n t al o to fe x p e r i m e n t sw e r es h o w ni nt h i s p a p e r t h e ya l lp r o v et h e s et w on e w a l g o r i t h m se f f e c t i v e k e y w o r d s ：i m a g e p r o c e s s i n g ，i m a g ee n h a n c e m e n t ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ， e d g e - s t o p p i n gf u n c t i o n ，d o u b l ed i f f u s i o na l g o r i t h m 各向异性扩散算法的研究与改进 第一章概述 1 1 图像处理 1 】 图像处理就是对图像信息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的 需求。人们可以通过各种观测系统从被观测的目标获取图像信息。观测可以是静 止的( 如照片，图片) ，也可以是动态的( 如电视，电影) 。同时，观测系统也不 仅仅局限于光学系统( 可见光) ，还可以包括红外，微波，超声，x 射线，y 射 线等等，以适应不同物理介质和不同得技术需求。 1 2 数字图像处理 早期图像处理主要应用光学的方法( 如光学滤波器) 。其处理速度快，经济， 分辨率高，却缺乏灵活性，设备笨重，稳定性差。 6 0 年代以来，随着计算机技术的发展，数字图像处理逐渐的发展起来。所谓 数字图像处理，就是一个从数字化图像中获取有效信息的过程。对从图像信息转 换而来的数字信号进行各种适当的数字运算，从而使结果符合人们的预期效果。 比如：去除图像噪声，对弱信号进行增强处理，对失真信号进行还原处理等等。 它根据不同的应用和要求，综合各学科较先进的成果( 如数学，物理学，心理学， 生理学，医学，计算机科学，通信理论，信号分析等等) ，采用不同的处理方法， 是针对性很强的技术。 典型的数字图像处理系统如图1 1 所示： ；，通信程序 一 圈一囹一圈 圈 图1 1 典型的图像( 分析和处理) 系统示意图 2 各向异性扩散算法的研究与改进 图像采集主要包括以下两个装置：传感器和数字化器件。传感器将传统的光 学( 或微波，红外等) 信息转换为连续模拟的电信号，由数字化器件将电信号转 化为离散的数字信号。常见的光学传感器包括c c d 和c m o s 器件，而常见的数 字化器件主要为a d 转换器件( 如m a x l l 9 6 ) 。 图像输出依靠将图像通过硬拷贝输出到幻灯片，照片以及透明胶片上或者输 出到阴极射线管( c r t ) 或者液晶( l c d ) 显示器上。 而图像的处理与分析大致可以以下几类： 3 1 ) 图像变换 由于图像阵列很大，直接在空间域中处理涉及计算量往往很大，因 此常采用各种图像变换方法，如傅立叶变换，沃尔什变换，离散余弦变 换等间接处理技术将空间域的处理转换为变换域处理。 2 ) 图像压缩编码 图像编码压缩技术可以减少图像的数据量，以便节省减少图像传输 时间和降低存储器空间的消耗。压缩主要分为两种情况：有损压缩和无 损压缩。无损压缩是指压缩在不失真的前提下进行。有损压缩则意味着 允许在压缩过程中存在失真的情况。而编码技术则是压缩技术中最重要 的方法，发展得最早而且最为成熟。 3 ) 图像增强与复原 图像增强与复原的目的是为了提高图像的质量，突出图像中令人感 兴趣的部分。如：突出图像中物体边缘采用强化图像中高频分量；对降 质图像建立“降质模型”，建立相应算法恢复或者重建原始图像。从而， 提高图像可理解程度( 对人或者对计算机) 。 4 ) 图像分割 图像分割是数字图像处理最为关键的技术之一。图像分割就是将图 像中人们认为有意义的部分从图像中获取出来( 如图像中的边缘，特征 区域等) ，作为进行进一步分析和处理( 例如：边缘提取，特征提取，区 域分割，图像识别等) 的基础。 5 ) 图像识别 图像分类与识别主要在图像经过预处理之后，通过图像分割和特征 提取然后进行判决和分类。常见得图像分类方法常采用经典的模式识别 算法：主要包括统计理论，句法分析，模糊数学以及人工神经元网络等 理论与算法。 各向异性扩教葬法的研究与改进 1 3 图像增强 图像增强是图像处理的一个重要分支，其主要目的是改善图像的视觉效果， 并且将原图像转换成计算机容易处理和理解的方式。图像增强技术不考虑图像是 否降质以及其降质原因，只将对图像中感兴趣的目标特征加以有选择的突出，同 时衰减不需要的次要特征。 对于不同的用途，图像增强技术使用的手段也各不相同。例如，有一类应用 是在大量正常细胞中寻找出个别变异细胞，其要求图像清晰无干扰，便于辨识， 因此就需要采用平滑等抗干扰算法：而在另一类应用中，需要监视跟踪航天器的 飞行轨迹，其只需要图像中些特别的代便轨迹的线条加以分析，因此对这类图 片则常采用二值化算法以提高系统速度。 总体来说，图像增强技术要求既能够提高或保持图像的目标特征，又能最大 限度的降低干扰和次要特征，从而提高后继处理( 如图像分割，边缘检测等) 的 效率和可靠度。简单的说，图像增强技术主要是用来提高图像的可懂程度。 图像增强技术基本分为两类方法：空域法和频域法。 顾名思义，空域中的方法主要是在空间域中对像素灰度进行直接的运算处 理，如直方图变换，直方图均衡化以及空域平滑等等。 频域算法主要是先将图像通过傅立叶变换到频域，在频域中对其进行滤波处 理，最后再将图像通过反变换回到空域中。 1 4 各向异性扩散算法 各向异性扩散算法是基于物理学中热传导方式而提出的种空间域中的图 像增强算法。它是一个有选择性的平滑过程：这种平滑在均匀区域不受限制，只 在跨越边缘时受到抑制，从而有选择性的降低了噪声和一些次要的细节的干扰。 1 9 8 8 年，p e r o n a 和m a l i k 提出了各向异性扩散算法( a n i s o t r o p i c d i f f u s i o n ) 用于多尺度分析和边缘检测【4 】。 此后，又出现了大量论文研究和发展了各向异性扩散算法。到1 9 9 0 年，k n i k l a s n o r d s t o r m 提出了有偏的各向异性扩散模型( b i a s e d a n i s o t r o p i c d i f f u s i o n ) 5 】，从而进一步发展了该算法。 随后的几年，陆续有研究者提出各种研究文章对算法作了详尽的分析，改进 并且应用并解决了很多实际问题，例如：m i c h a e lj b l a c k ，g u i l l e r m os a p i r o ，d a v i d h m a r i m o n t 和d a v i d h e e g e r 的鲁棒各向异性扩散算法 6 】，s c o t t t a c t o n 的多尺 度各向异性扩散算法 7 ，g e r a r d oi s a n c h e z o r t i z ，d a n i e lr u e c k e r t 和p e t e r b u r g e r 改进后在医学图像处理上的应用 8 1 ，y o n g i i a ny u 和s c o t tt a c t o n 的s p e c k l e 各向异性扩散算法的研究与改进 r e d u c i n g a n i s o t r o p i c d i f f u s i o n 9 1 ，以及其他的一些应用，如参考文献【1 0 b 4 。 1 5 本文框架 本文主要介绍了基本的两种各向异性扩散算法以及在它们基础上提出的一 系列改进算法。本文的基本框架如下： 首先，在第一章的简单介绍之后，第二章第三章将介绍基本的各向异性扩散 算法( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 和有偏的各向异性扩散算法( b i a s e da n i s o t r o p i c d i f f u s i o n ) ；对于基本的各向异性扩散算法( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) ，主要针对算 法原理边缘停止函数以及实验结果进行介绍与讨论；而在有偏的各向异性扩散算 法( b i a s e d a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 的介绍中，则主要侧重于算法的基本模型，实 际效果以及算法的优缺点进行了讨论。 随后在第四章和第五章，针对以上两种算法各自的优缺点，提出了两个新的 改进算法：分别在速度，效果和理论上相对于原先的算法有了提高。 第四章主要描述了个改进的各向异性扩散算法，针对边缘停止函数做了讨 论，同时通过实验比较了新算法和常规算法间的差异。 第五章在综合前几个算法的基础上，提出了一个新的算法模型，针对算法的 性能和表现，通过四组实验测试了新算法。 最后是本文的结论，总结并对全文的要点做了简要的涵盖。 各向异性扩散算法的研究与改进 第二章各向异性扩散算法 2 1 各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 算法 各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 是基于物理学中热传导方式而提出的 一种空间域中的算法。考虑物理学上的基本热传导方程： q = k a a t ( 2 1 ) 其中q 为传热速率，k 为传热系数，a 为传热面积，t 为温度差； 对于各向异性的物质，如果仅考虑二维平面，则热传导方程变为： q = k ( x y ) a a t ( 2 2 ) a t ( x ，y ) = q ( 2 3 )( t 为单位时间点( x ，y ) 处的温度变化) 令a = 1 ，就得到单位面积上的热力学传导方程； q = k ( x y ) a t ( 2 4 ) 假定存在函数e ( x ，y ) 使满足世( x ，y ) = g ( e ( x ，y ) ) ，于是得到方程： a t ( x ，y ) = g ( e ( x ，y ) ) a t ( 2 5 ) 对于图像，用图像点上的灰度值来代替公式( 2 5 ) 中的温度t 和t 。假定图 像是由若干个区域构成的，定义函数e ，使之满足如下条件： 1 ) e ( 石，y ) = 0 当( x ，y ) 在区域内部； 2 ) e ( x ，y ) 一吲当( z ，y ) - - 图象边缘；( l 为区域的边界差异) 参考早先的研究成果，可以得出，常规情况下，人们一般认为图像的同一区 域内灰度变化是比较小的。所以用图像点位置上的梯度绝对值来表示函数e ，即 e ( x ，y ) = l i v 刈。 于是得到如下针对图像的偏微分方程( p d e ) ： 掣= d i v ( g ( 1 1 w i i w ) ( 2 6 ) 其中用j ( z ，y ，f ) 表示一个图象随时间t 的连续变化，( z ，) ，) 代表在图像空 间中的位置，l l w 0 为某时刻l ( x ，y ，f ) 梯度的模，而g ( _ ) 为”边缘停止” ( e d g e s t o p p i n g ) 方程。 根据方程( 2 6 ) ，能够得到： 各向异性扩散算法的研究与改进 里掣：g ( 里掣) 望掣+ g ( 旦掣) 曼掣( 2 7 ) d td x6 慵d yd v 离散化后，得到叠代方程： ，( x ，y ) = 3 - c v i + c s v s i + c e v e i + c 0 v 矿i 】 ( 2 8 ) v 。i = i ( x ，y + 1 ) 一i ( x ，y ) ( 2 9 ) v s ，= i ( x ，y 一1 ) 一l ( x ，y ) ( 2 1 0 ) v e i = i ( x 一1 ，y ) 一i ( x ，y ) ( 2 1 1 ) v i = l ( x + l ，y ) 一l ( x ，y ) ( 2 1 2 ) c ，= g l l v 。1 1 1 ) ( 2 1 3 ) c s = g ( 1 l v 。i 1 1 ) c e = g l l v 。川) c w = g ( i i v ，圳) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 其中系数兄应满足0 丑 m l 时， i 掣陪 函数值开始迅速下降，算法的平滑效 果开始降低。 3 ) 当x m 2 时，l 掣阿。但此时函数值已经非常低，因此，算法处 理后得到的图像平滑程度较低。 总结以上三点，不难可以发现，选择如图2 2 的边缘停止函数，随着原始图 像梯度的增加，各向异性扩散算法处理后的图像的平滑程度单调下降。 只要采用适当的数学函数，很容易就能得到形如图2 2 的函数，在很多文献 中都有提及，常见的有； 在参考文献【1 】中p e r o n a 和m a l i k 提出的两个边缘停止函数( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ( 如图2 3 所示) ： ( 2 1 7 ) ( 1 8 ) 各向异性扩散算法的研究与改进 圈2 3 常用边缘停止函数 ( a ) 公式( 2 1 7 ) ，c o ) 公式( 2 1 8 ) 在文献【3 中，作者提出并讨论了其他的两个边缘停止函数( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) ( 如图2 4 所示) ： g ( x ) 9 _ ( z ) h 盯 旧 盯 ( 2 2 0 ) g ( x ) 图2 4 常用边缘停止函数 ( a ) 公式( 2 1 9 ) ，( b ) 公式( 2 2 0 ) 8 上咕 = 、j x ，lg ，一一 一 p = 、， x ，lg k 92 盯 p 茎 坫 h m1 | x 一盯 ，l l = 毡o ，；0l 对一 吉警 l | 功烈 i “” ? j 各向异性扩散算法的研究与改进 2 3 实验结果与分析 采用边缘停止函数公式( 2 1 7 ) 和公式( 2 1 8 ) ，以及离散化方程，在参考文 献 1 】中比较常规的平滑算法得到如图2 5 结果。其中图2 5 采用的是公式( 2 1 7 ) ， 而图2 6 2 7 采用的是公式( 2 1 8 ) 。 观察图2 5 ，其中图2 5 中( 2 ) ( 3 ) 分别是原始图片( 1 ) 通过各向异性扩散 和高斯平滑的结果，而( a ) 和( b ) 则分别是两个算法处理后应用c a n n y 算子进 行边缘提取的结果。明显的，采用各向异性扩散算法要比采用传统高斯平滑算法 更能够较好的保持住了图像的基本细节。 图2 6 和图2 7 对各向异性扩散算法运算叠代次数进行了实验。 在图2 6 中，( a ) 是原始图像，( b ) 列自上而下分别是经过1 0 ，2 0 ，8 0 次叠 代各向异性运算的结果，( c ) 是它们分别采用c a n n y 算子边缘提取的结果。 可以看到随着叠代次数的增加，平滑的效果逐渐加剧，图像的细节逐步失去。 从图2 7 中则明显的显示出了这样一个逐步失去图像细节的过程。 图2 5 平滑效果和边缘提取结果( c a n n y 算子) ； ( 1 ) 原始图像，( 2 ) 各向异性扩散，( 3 ) 高斯平滑， ( a ) 各向异性扩散，( b ) 高斯平滑 各向异性扩散算法的研究与改进 图2 6 各向异性扩散算法叠代次数影响 ( a ) 原始图像( b ) 自上而下分别是1 0 ，2 0 ，8 0 次叠代结果( c ) 边缘提取结果 图2 7 不同迭代次数的各向异性扩散算法 从上到下，从左到右依次是：原始图像，2 0 次，6 0 次 1 2 0 次，1 6 0 次，2 2 0 次，2 8 0 ，3 2 0 ，4 0 0 次叠代结果 各向异性扩散算法的研究与改进 2 4 小结 从以上得分析实验中，很容易就能发现基本的各向异性扩散算法有如下显著 特点： 1 ) 平滑效果要优于传统的平滑算法 2 ) 算法需要人为的干预( 例如：设定k 和。的值) 3 ) 是一非收敛的算法，平滑的效果随着叠代次数的增加而增加。即需要人 为的去决定叠代的次数。 鉴于特点2 和3 ，可以确定，基本的各向异性扩散算法不是一个非收敛需要 人为干预的算法。这在很大程度上约束了算法的应用范围。 、 各向异性扩散算法的研究与改进 第三章有偏的各向异性扩散模型 ( b i a s e d a n i s o t r o p i c d i f l u s i o n ) 3 1 有偏的各向异性扩散模型( b i a s e d a n i s o t r o p i c d i f f u s i o n ) 在基本的各向异性扩散算法的基础上，1 9 9 0 年k n i k l a s n o r d s t o r m 提出了有 偏的各向异性算法，该算法在一定程度上发展了p e r o n a 和m a l i k 所提出的各向 异性扩散算法。 将图像视为一个非均匀的传导层，可以简单以图3 1 中所示模型表示基本的 各向异性扩散算法。( 每点( x ，y ) 的初始值，( x ，y ，0 ) 设定为原始图像的灰度f ( x ，y ) ， 且i ( x ，y ，n 满足方程( 2 6 ) 。) 图3 1 常规各向异性扩散算法物理模型 有偏的各向异性扩散模型则是在原先的传导层下增加了一个源层，如图3 2 所示。 图3 2 有偏各向异性扩散算法物理模型 令源层各点的值v ( x ，y ) 恒等于原始图像的灰度值f ( x ，y ) ；传导层内部扩散满 足扩散方程( 2 6 ) ；且传导层与源层之间传导满足 a i o u t s j d e ( x ，y ，) = m 。卜( 石，j ，) 一，( x ，y ，叫；( 其中，m 。为源层和传导层间的传导系数) 各向异性扩散算法的研究与改进 3 2 有偏各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 算法 在前文所述的物理模型基础上，推演出描述该模型的偏微分方程： i 丛：i 坠尘= m 。 v ( y ) 一，( 置y ，f ) 】+ g ( ! i ! ! ! ；三盟) j i 坚! ! ；己匕堕+ g ( ：i ! ! ：；i 业) j i ! ! ! ：； 丝堕( 3 1 ) 钟oxck口p却 对其离散化后，可以得到叠代方程： 觚置y ) = 越幔【v ( z ，力一i ( x ，州+ c v 。，+ g v s + q - v 。，+ - v ，删( 3 2 ) v ，= l ( x ，y + 1 ) 一l ( x ，y ) ( 3 3 ) v s j = i ( x ，y 1 ) 一l ( x ，y ) ( 3 4 ) v f = i ( x l ，y ) 一i ( x ，_ y ) ( 3 5 ) v ，= l ( x + l ，y ) 一i ( x ，y ) ( 3 6 ) c 。= g ( 1 l v 。1 1 1 ) ( 3 ，7 ) g = g ( l v 。1 1 1 ) ( 3 8 ) q = g ( 1 l v 。1 1 1 ) ( 3 9 ) c w = 酬v ，1 1 1 ) ( 3 1 0 ) 其中系数五应满足o 五 0 2 5 ，m 。应满足o m c 1 ，以保证叠代体系的稳 定性： 3 3 实验结果 针对有偏各向异性扩散( a n i s o l r o p i cd i f f u s i o n ) 算法，参考文献 2 】中对其做 了详细的研究。在此，引用了几个和本文相关的实验结果。 在图3 3 的实验中，令i 初始值为图像的原始灰度值，即i ( x ，y ，0 ) = f ( x ，y ) 。 然后测试了5 0 ，1 0 0 ，8 0 0 次叠代的结果。可以看到，基本上以上这三个经过不 同次数叠代还是比较接近的。 在图3 4 的实验中，测试了和图3 - 3 类似的实验，不同的是，将i ( x ，y ，0 ) 设定 为0 。而同样的，依然可以看到在做了5 0 次以上叠代的结果之间，差异是非常 小的。 各向异性扩散算法的研究与改进 图3 3 i 次叠代结果( 初始值为图像的原始灰度值) ( a ) i = o ，( b ) i = 5 0 ，( c ) i _ 1 0 0 ，( d ) i = 8 0 0 图3 4 i 次叠代结果( 初始值为零) ( a ) i = 5 0 ，( b ) i = 1 0 0 ，( c ) i = 2 0 0 ，( d ) i = 8 0 0 各向异性扩散算法的研究与改进 3 4 小结 从以上两个实验中可以得出有偏各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 算法 的几个特点： 1 )当叠代次数足够大，叠代次数对的结果影响不大。 2 ) 初始设定值对运算结果影响不大。 3 ) 仍然需要人为的，针对需要，选择适当的边缘停止函数以及控制参数。 综上所述，可以认为，有偏各向异性扩散( a n i s o t r o p i c d i f f u s i o n ) 算法在一定程 度上克服了常规各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 算法的部分缺点。 、 各向异性扩散算法的研究与改进 第四章边缘停止函数的改进 4 1 常用边缘停止函数的缺陷 常用的边缘停止函数如图2 2 所所示，这样的函数对于高对比的部分只产生 很小的平滑效果。其目的是为了能够较好的保留住区域间的边缘，但是却同时造 成了算法抗干扰能力差的缺陷。很明显的，采用这样的边缘停止函数的算法不能 平滑掉如图4 1 那样的尖峰脉冲干扰。 图4 1 干扰信号举例 4 2 边缘停止函数的改进 鉴于上述缺点，提出了一个新的边缘停止函数( 参见图4 2 ) ： 盛 图4 2 新边缘停止函数 各向异性扩散算法的研究与改进 这个边缘停止函数非常简单，为一个常数。 g ( j ) = c( 4 1 ) 设计目的是为了，随着相邻像素点间对比度的增加，平滑的效果将逐步增加， 从而保证了算法对于噪声的抑制。 值得关注的是，该函数在增强平滑效果的同时，基本上丧失了边缘保持作用。 因此，需要通过其他手段来增强对边缘的保持作用。 参考有偏各向异性扩散( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 算法，发现其源层传导层的 概念可以用来弥补新算法在边缘保持中的不足。 考虑单一的尖峰脉冲干扰，由于源层的供给很少，平滑将起主导作用。而当 有小块区域存在时，当源层的输入达到一定的强度，则平滑的作用将被抵消。 采用源层传导层的概念，并令g ( x ) = 1 ，就得到了如下的偏微分方程： 堂掣：姒似，y ) 叫w ，f ) ) + l ( 堂掣) + ( 堂型) l ( 4 2 ) 优o x 卯 4 3 算法实现与分析 对方程( 4 2 ) 做离散化处理，可以得到： 世也弘力= 允f 4 k 毽弘0 一l ( x , y , t ) + ( v f l + v s l + v + d ) ( 4 3 ) v _ v i = i ( x ，y + 1 ，f ) 一i ( x ，y ，f ) ( 4 4 ) v s l = i ( x ，y 一1 ，t ) 一l ( x ，y ，f ) ( 4 5 ) v e i = i ( x 一1 ，y ，t ) 一i ( x ，y ，f ) ( 4 6 ) v i = l ( x + 1 ，y ，f ) 一i ( x ，y ，f ) ( 4 7 ) 其中系数五应满足0 五 0 2 ，m 。应满足0 m ， 1 ，以保证叠代体系的稳 定性： 为了简化计算，提高运算速度，修正方程( 4 2 ) 得到： 掣啦歌训，+ c 掣h 掣， ( 4 相应的，修正方程( 4 3 ) 得到： 世( 训国。舌阻。根) + ( v n i + v s i + v e i + v w i ) ( 4 9 ) 备向异性扩散算法的研究与改进 根据方程( 4 9 ) ，得到算法实现流程：( 参见图4 3 ) 图4 3 算法流程 其中收敛条件为： ，”一lh 一1 似薯y ，t ) - i ( x , y - 1 , t ) ) - ( i ( x ，y ，t - 1 ) - i ( x ，y 一1 ，卜1 ) 】 。：0 ，1 ( 4 1 0 ) m - i n - + l ( “z ，弘f ) 一i ( x - 1 , y ，o ) 一( ， ，y , t - 1 ) - i ( x - l y ，t - 1 ) 1 占 x m ! v - 0 其中，占为预先设定的较小值；而预设的极限叠代次数为一个相当大的值。 根据如上所示的算法流程，考察如图4 1 的尖峰脉冲干扰。应用新算法对其 进行处理后，可以得到如下结果。( 参见图4 4 ) 3 誓l l 图4 4 干扰及处理结果 ( a ) 干扰，( b ) 算法处理结果 图中的黑色实线是输入脉冲信号，虚线为处理后结果。可以明显看到，输入 信号被充分平滑，显示算法对于此类干扰的极好的抑制效果。 同时，算法也能保持住图像原有的阶跃信息，考虑如图4 5 的情况： 各向异性扩散算法的研究与改进 1 _ 刨 图4 5 阶跃边缘的处理 ( a ) 原始维信号，( b ) 处理后信号 在图4 5 的维测试中，图像原有的阶跃信息被保持住了。这就意味着，算 法可以保留图像原有的区域信息。但是同时也要注意到，在算法处理后，原有的 边缘被很大程度上的平滑了。 4 4 改进算法实验 4 4 1 实验一：改进算法v s g a u s s i a n 和w i e n e r 平滑 在二维的自然图像处理实验中，先采用常用的g a u s s i a n 和w i e n e r 平滑算法 作为比较。先对原始图像图4 6 分别用三个进行处理，处理结果随后用c a n n y 算 子提取边缘，得到如图4 7 所示结果： 图4 6 原始图 各向异性扩散算法的研究与改进 图4 7 实验结果 可以看到，经过算法处理，边缘算予清楚的检测出狐狸的边缘，而相反在采 用其他方法处理的结果中，狐狸边缘被淹没在无意义信息里面了。其他的实验结 果参见图4 ，8 。 4 4 1 2 实验二：改进算法v s 叠代平滑算子 同时，也因该指出，本新算法是一个叠代的算法，而其他两个算法不是。因 - 1 1 门 此，在后续的研究中，使用了一个非常简单常用的平滑算子一l1 1il 的叠代 111 处理结果来做比较。 对于原始图像，分别做0 次，l o 次，1 0 0 次平均平滑算法( 如前所示) 叠代 处理，并将结果同改进算法的处理结果相比较，得到图2 3 。 从该实验结果来看，可分析得到如下信息： 1 1 1 1 ) 如果叠代次数选择适当，通过运用普通的l11ll 算子叠代处理， 1 1 1 1 j 也能达到新的改进算法的效果。例如，在处理图片b 和c 时，一百 各向异性扩散算法的研究与改进 2 ) 3 ) 次叠代结果就比较接近这个适当值 这个叠代次数的适当值不是恒定不变的。不同的图像有不同的适当 值。例如，图2 3 中可以看出图片a ，f 的值在1 0 和1 0 0 之间，而图 片b 和c 的适当值则大于1 0 0 根据1 ) 和2 ) 得到结论：改进算法的优势在于能够于适当时候达到 收敛，而不需要人为的干预。 备向异性扩散算法的研究与改进 4 5 算法的收敛性 4 5 1 收敛状态 收敛性是改进算法的重要性质之一。从叠代公式( 4 9 ) 可以推出，每经过一 次叠代， i ( x ，y ) 将增加五f ( x ，y ) 。据此，明显的，可以断定本算法处 ( x ，y ) e t m o g e“，y ) 咖a g e 理结果不可能得到恒定不变这样的结果，而在系统稳定后，将得到如图4 1 0 的结果。 各向异性扩散算法的研究与改进 x 图4 1 0 系统稳定后图像某一水平向上输出变化情况 如图所示，假设系统在t 次叠代后达到稳定状态，从t + 1 次叠代开始，输出 结果的各像素点间的差异将保持不变。定义该状态为算法收敛状态。 当体系进入收敛状态后，后续的计算对图像将起不到任何平滑或者边缘增强 的效果。因此，在该收敛状态停止叠代计算。 4 5 2 算法的收敛性证明 由公式( 4 4 ) ，( 4 5 ) ，( 4 6 ) ，( 4 7 ) ，以及( 4 9 ) ，可以看出，算法体系是一 个线性系统。 假定处理图像分辨率为m ，2 ，因此算法处理矩阵i 亦为m n 维。 4 5 2 1 辅助矩阵s 和丁的构造 构造mx 胛维矩阵s ，使s 满足 出( w ，f ) - 毒瞰。负w ) + ( v u s + v s s + y e s + v w s ) ( 4 v s = s ( x , y + l ，t ) 一双墨弘d ( 4 1 2 ) v s s = s ( x ，y 一1 ，r ) 一s ( x ，y ，t ) ( 4 1 3 ) v e s = s ( x l ，y ，f ) 一s ( x , y ，f ) ( 4 1 4 ) v s = s ( x + 1 ，y ，) 一s ( x ，y ，f ) ( 4 1 5 ) 各向异性扩散算法的研究与改进 同时，设定s 初始值为品，氐满足 7 7 = 老阮讹卅( ( v ”品+ v s 品+ v e 盯v ) v s o = s o ( x ，y + 1 ) 一s o ( x ，y ) v s s o = s o ( z ，y 一1 ) 一s o ( x ，y ) v e s o = s o 一1 ，力一s o ( x ，) 。 v 旷品= s o ( x + 1 ，) ，) 一s o ( x ，y ) r l = f ( x ，y ) ( m 行) ( 工，y ) i m a g e ( 4 1 6 ) 对于每一个像素点作方程组( 4 1 6 ) ，以r 中每一点的值为未知数，即可得 到一包含m ，2 个未知数和m , 个方程的方程组。易知，该方程组必定有解， 即必定存在这样一个瓯，使之使之能满足方程组( 4 1 6 ) ；也因此，必定能找到 这样一个适当的s ，使之能满足方程组及方程( 4 1 1 ) ( 4 1 6 ) 。 接下来构造矩阵丁，令r 满足： 盯( ，r ) = 砉( v n t + v s t + v e t + v w t ) “”) 甲t = r ( x ，y + 1 ，r ) 一t ( x ，y ，r ) ( 4 1 8 ) v s t = t ( x ，y 一1 ，f ) 一t ( x ，y ，r ) ( 4 1 9 ) v e t = t ( x 一1 ，_ y ，t ) 一t ( x ，y ，t ) ( 4 2 0 ) v t = r ( x + 1 ，y ，f ) 一t ( x ，y ，f ) ( 4 2 1 ) 同时设定r 初始值为瓦，瓦为，初始值和s 初始值之差， 即t o = h 0 ) 一墨( 4 2 2 ) 。 明显可以得到：i ( o ) = s o + t o ( 4 2 3 ) 。 同时，由公式( 4 1 1 ) ( 4 1 5 ) 和( 4 1 7 ) ( 4 2 1 ) 得到：5 , = a s + a t ( 4 2 4 ) 据以上两公式( 5 3 ) ，( 5 4 ) ，可得出结论，= s + 丁( 4 2 5 ) + 4 5 2 2 矩阵s 状态分析 由于嘶川= 老阻。低卅( v u s + v s s + v 。s + v w s ) 州o ) _ 且 蜀满足方程组( 4 1 6 ) ，因此，s ( x ，y ，1 ) = s ( x ，y ，o ) + 玎。 将矩阵s ( 1 ) 代入方程组( 4 1 6 ) 4 - 埔t s o ，可以发现s ( 1 ) 同样满足方程组： 刁2 老跳饰棚+ ( ( v u s ( 1 ) + v s 十v 烈1 ) + - v w s ( 1 ) ) ) 】 v s ( 1 ) = s ( x ，y + 1 ，1 ) - s ( x ，y ，1 ) v s s ( 1 ) = s ( x ，j ，一l ，1 ) 一s ( x ，y ，1 ) 审e s ( 1 ) = s ( x i ，y ，1 ) - s ( x ，y ，i ) v 咿s ( 1 ) = s ( z + l ，儿1 ) 一s ( x , y ，1 ) ，7 = f ( 五y ) 协栉) ( z ，y ) e i m a g e ( x ，y ) i m a g e 并且可以发现s ( x ，y ，1 ) 一s ( x ，y ，0 ) ；刁( x ，y ) i m a g e 同理，经过推演可以得到，对于任意t ，将矩阵s ( ，) 代入方程组f 4 1 6 ) 4 2 ：替s o 可以发现s ( f ) 同样满足方程组；并且，s ( x ，y ，f ) 一s ( x ，y ，卜1 ) ：玎，即： s ( 工，y ，f ) = 刁t 0 ，( z ，y ) i m a g e ( 4 2 6 ) 4 5 ，2 3 矩阵7 状态分析 观察方程( 4 1 7 ) ( 4 2 1 ) ，将方程( 4 1 7 ) ( 4 2 1 ) 合并变化为： 坝墨弘f ) = 云( m + l 兄f ) + m 一1 ，弘f ) + 地y l f ) + 舷y + 1 , 0 一q 墨m o ) ( 4 2 7 ) 当t 次叠代时，矩阵r 中最大的元素r 0 一，y 一，力和最小元素7 1 ( x 。，y 。，f ) 。 根据方程( 5 7 ) ，可以得到： 盯 一j 卜老仃( x m x + 1 , y m * , , t ) + 州x 一_ 1 ( 4 2 8 ) + t ( x m a x ，y m 缸一1 ，f ) + r ( x m 戕，y m 黼+ l ，f ) 一4 t ( x 。“，y m a x ，f ) ) 各向异性扩散算法的研究与改进 竹 。”y 一) _ 参叮( x m i n + 1 , y m i n , t ) + 丁x m i n - - 1 , y r n i n , t ) ( 4 2 9 ) + t ( x 。，y 。一1 ，t ) + t ( x ，y 。+ l ，t ) 一4 t ( x 。，y ，f ) ) 由于t ( x 。，y 。，r ) 和t ( x 。y m i nr ) 分别是矩阵中的最大元素和最小元素，因 此，可以确定：a t ( x 。，_ y 一，r ) 0 ，即，个，t ( x 。，y 。，f ) 山 和t 个t ( x 。y m i nf ) 个。 因此，当f ，l t ( x 。，y 一，0 一t ( x 。，y 。，f ) l 一0 ，即： 1 ) 当t o 。，对于任意的( x ，y ) i m a g e ，都有t ( x ，y ，r ) 斗c ； 2 ) 同时可得，当r 斗，对于任意的( x ，y ) i m a g e ，a t ( x ，y ，f ) 寸0 。 4 5 2 4 收敛性的证明 由于矩阵丁和矩阵s 相互独立并且j 是线性系统，所以可以得到： ，( x ，_ y ，f ) = a ( s + 丁) ( x ，y ，) = s ( x ，y ，f ) + a t ( x ，y ，) ( 4 3 0 ) 因此，当f 专，对于任意的( x ，y ) i m a g e