（机械电子工程专业论文）高品质全四边形有限元单元自动生成技术研究.pdf

浙江工业大学硕士学位论文 驴3 6 0 1 摘要 有限元网格自动生成是有限元法中的重要组成部分，它对提高有限元求 解精度和求解效率都有着决定性的影响，是有限元法在工程应用中的重要因 、 素。) 本文对有限元网格自动生成技术进行了研究，工作主要包括以下几个方 面的内容： 首先，介绍了有限元分析法的基本概念及有限元分析程序的发展状况及 趋势，论述了有限元前处理技术在有限元法应用中的重要意义和地位，综述 了有限元网格自动生成技术，分析、比较现有的常用算法的优缺点，给出了 论文研究内容和研究目标。 其次，选择合适的开发软件集成平台，设计了全四边形网格单元自动生 成算法一铺砌法的总体框架、构成的功能模块和数据结构，并具体实现。( 由 、 该软件生成的全四边形单元网格具有较好的品质，达到了预定的研究目标， 即：( 1 ) 能对二维多连域进行全四边形单元的全自动剖分；( 2 ) 单元形状接近矩 形；( 3 ) 边界上单元的方向沿边界的切向；( 4 ) 区域内不规则节点较少。 、 最后，对论文进行了总结，并对未来的工作作了展望。7 关键词：有限元网格、四边形单元、全自动生成、铺砌法 塑婆三些三! 三堂堡主堂堡丝苎 a b s t r a c t a u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o ni s am a i np a r to ft h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) ，i tp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei ni m p r o v i n gt h ea c c u r a c ya n dt h e e f f i c i e n c yo ft h es o l u t i o n t h em e s hg e n e r a t i o nt e c h n i q u ei s ak e y s t o n ei nt h e a p p l i c a t i o no ff e m t h ed i s s e r t a t i o n m a k e sd e t a i la n dd e e pr e s e a r c ho nt h e t e c h n i q u e o fa u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o no ff e m t h ew o r kf o c u s e so nt h e f o l l o w i n ga s p e c t s ： f i r s t ，t h ep a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r i e so ft h ef e ma n dt h es t a t u so f t h ed e v e l o p m e n to ff e ma tp r e s e n t t h e ni td e s c r i b e st h ei m p o r t a n c eo ft h ep r e p r o c e s so ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h ea p p l i c a t i o n t h e nt h ep a p e rs u m m a r i e s t h et e c h n i q u e so ft h ea u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o no ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h e p a p e ra l s oa n a l y s e st h ev a r i o u ss t r a t e g i e so ft h em e s hg e n e r a t i o n ，c o m p a r e st h e a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h es t r a t e g i e s ，a n dt h e nt h er e s e a r c hc o n t e n t sa n d r e s e a r c hg o a l so f t h ep a p e ra r ei n t r o d u c e d s e c o n d ，t h es u i t a b l es o f t w a r ed e v e l o p m e n ts t u d i ow a ss e l e c t e dt od e v e l o p t h ep a v i n gm e t h o df o rg e n e r a t i n ga l l q u a d r i l a t e r a lm e s h t h es t r u c t u r eo ft h em e s h g e n e r a t i o ns t r a t e g ya n dt h ed a t as t r u c t u r ew e r ed e s i g n e d b yu s i n go ft h ep a v i n g m e t h o d ，a 1 1 q u a d r i l a t e r a lm e s hc a nb eg e n e r a t e di na r b i t r a r y2 - dg e o m e t r y , a n dt h e m e s hc o n t o u r sc a nc l o s e l yf o l l o wt h ec o n t o u r so ft h eb o u n d a r y , a n dt h e r ea r ef e w i r r e g u l a rn o d e si nt h em e s h t h em e s h i so f h i g hq u a l i t 3 i nt h ee n d t h ep a p e rm a k e sp r o s p e c t so f t h ef u t u r ew o r k k e y w o r d s ： f i n i t ed e m e n tm e s h o u a o r i i a e r a ie i e m e m ， r k u t o m a t i cm ：强g e l l e r a i l o l 。i n ；m e t i l o c ： 塑垩三些盔堂堡主堂堡笙苎 一 1 1 关于有限元分析法 第一章绪论 一、有限元法是解决复杂工程问题的个主要方法 6 0 年代初期，有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 随着计算 机技术的快速发展而诞生。它是求解微分方程边值和初值问题，建立在待定 场函数离散化基础上的一种数值方法，它的基本思想是将连续的求解区域离 散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由于单元 能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以 模拟几何形状复杂的求解域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要的 特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的 未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节 点的数值和其插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知 场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的 无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可 以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上 的近似解。随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着自由度的增 加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛 要求的，近似解最后将收敛于精确解。 有限元法广泛应用于航空、水利、土木建筑、机械等工程领域里的结构 分析、电磁学分析、热力学分析等工程分析问题。尽管用有限元法解决的问 题不尽相同，但是它们的基本出发点是相同的，就是要将结构离散化，用大 量几何形状简单的单元的集合来近似描述整体结构，然后利用这些单元来实 现力学分析。长期以来，f e m 被认为是设计和理解复杂的结构和过程的关键。 而对于比较复杂的结构，为了要用有限元法进行力学分析，就要对结构离散 浙江工业大学硕士学位论文 化，即把一般的求解域划分为有效的有限单元网格。这个离散过程往往导致 大量节点和单元信息的产生。如果用手工操作来对结构进行离散化，不但过 程繁琐，而且不易保证准备数据的正确性。据估计，在计算机分析的总耗费 中，5 0 可能用于准备和检查输入数据，3 5 4 0 用于解释计算结果，而 1 0 一1 5 用于计算机对结构进行分析运算。当然这些百分比随具体问题和计 算机程序的不同而变化，但从这些数据可以看出人们在有限元前处理上所花 费的代价。而另一方面，因为有限元网格划分的质量的优劣对有限元解的分 析结果的精度有着决定性的影响。因此人们利用计算机辅助研究全自动或半 自动的网格划分方法，合理有效的有限元网格生成方法不仅能大大缩短冗长 的网格生成过程，减少出错的可能，而且能提高网格质量和解的精度。因此， 在工程应用中，有限元单元生成技术的研究是有其巨大的现实意义的。 二、有限元分析法程序的结构 有限单元法程序可以分为三个组成部分：有限元前处理部分；有限元分 析本体程序：有限元后处理部分。 有限元分析本体程序是有限元分析程序的核心，它根据离散模型的数据 进行有限元分析。有限元分析的原理和采用的数值方法集中于此，因此它是 有限元分析准确可靠的关键，选用计算方法的合理与否决定了有限元分析程 序的计算结果的精度及可靠性。 离散模型的数据文件主要包括：离散模型的节点数及节点坐标；单元数 及单元节点编码；载荷信息和约束信息等。对于一个实际的工程问题，离散 模型的数据文件十分庞大，靠手工处理和生成极其困难。用手工来处理，除 工作量大外，还难以避免出现数据错误，包括数据精度的不足。因此必须有 前处理程序来解决这一问题。有限元前处理程序是根据使用者提供的对计算 模型外形及网格要求的简单数据描述，自动或半自动地生成离散模型的数据 文件，并且生成网格图供使用者检查和修改。有限元前处理程序的功能的强 大与否在很大程度上决定了有限元分析程序使用的方便性。 浙江工业大学硕士学位论文 同样，有限元分析程序的计算结果也是针对离散模型得到的。输出计算 结果的文本文件数据量很大，但却不易得到所分析对象的全貌，例如何处位 移最大，应力集中发生在何处等等。因此一个使用方便的有限元分析程序不 仅要有可供选择输出内容的文本文件，还需要有结果的图形显示，如位移图、 等应力线图等。这部分功能就由有限元后处理程序来完成。类似地，有限元 后处理程序对整个程序使用的方便性也相当重要。 1 以广义坐标，为待定参数，给出单元内位移“ = 中， 对于二维问题，有： “= ：) 2 用单元节点位移：，表示广义坐标鼻。 单元节点位移排列表示为 ；。= 【u 。u ：v 。v ：】r 将上式代入( 1 ) 式中，得到： 口f = a ， r p叫划眈p 卜 肚 塑婆王些查堂堡主堂焦堕苎一一 由( 2 1 式解出芦： 8 ：a ae 州 3 以单元节点位移n 。表示单元位移函数”，得到单元插值函数矩阵n 将( 3 ) 式代入( 1 ) 式，有： 。：4 ，a - 1 ；。：知：， ( 4 ) 其中：膏= 乞? + = 毋一= 【n ln 2 】 如果将节点位移；。改为一般排列顺序= 【u 。v 。u ：v 2】r ， 则有： ，= 【n ，n ：j 4 以单元节点位移。表示单元应变和应力。 应变：“= n ( x , y ) a 。 b = l n 应力：由弹性变形产生的应力为： 一d 0 l 1 l ， 扩 中其 浙江工业大学硕士学位论文 口= df = d b a c 当有初应力o o 和初应变南时，应力的一般形式为 口= d ( p 一毛) + o o = d b a c de o + 吒 5 用最小位能原理建立离散体系的节点平衡方程。 系统总位能的离散形式为： h p = 莩f p + 乖y + 莩l 摹岱 ( 8 ) 将( 5 卜_ ( 7 ) 式代入( 8 ) 式，并将单元节点位移钆用结构节点位移口表示 即a 。= g a ，则( 8 ) 式为： 兀，= 三a t k a _ a t p 总位能的变分6 丌。= o ，得到有限元求解方程为 k a = p 其中：k = g 7 k 。g t = p 7 d b d v 载荷阵列p 可以写为： p = p f 七p s + p q 、七p t 、+ p f = g f p c ，+ p es + p c 啦p t 、+ p f r 其中：p 。，。n 7 f a x , 聪= 胁7 t d s ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ) ： 塑坚三些奎堂婴主兰鱼笙茎一 p eo = b t 0 0 儿。= 一l b 。州 ( 1 4 ) p ，为节点集中力列阵。 6 引入强制边界条件。 7 解方程得到节点位移。 也可以利用自然坐标直接构造单元的插值函数，避免求解广义坐标，从 第4 步开始建立有限元方程和求解。 用有限元方法分析科学和工程中的实际问题，需要经历如下步骤 1 简化科学或工程问题，确定待分析问题的几何拓扑结构、物理模型 和定解数据。 2 根据待分析问题的拓扑结构、物理模型，确定其数学和力学模型， 并选择有限元软件。 3 根据待分析问题的数学力学模型和有限元软件的功能，输入待分析 问题的定解数据，并进行有限元网格剖分，形成待分析问题的有限 元模型。 4 使用选定的有限元软件进行有限元分析，包括： ( 1 ) 单元分析。根据分析要求计算并存储单元刚度矩阵和等效载荷 列阵。 ( 2 ) 组装并存贮有限元方程。根据分析要求组装并存储总体刚度矩 阵、质量矩阵、几何矩阵和等效载荷列阵。 j ，约束处蝗。根据待分机川越h 0 儿何约束条件，对有限元方程实 6 浙江工业大学硕士学位论文 施约束处理。 ( 4 ) 求解有限元方程。根据分析要求和有限元方程的特征，选择求 解有限元方程的具体算法，并求解有限元方程。 ( 5 ) 使用有限元方程得到的结果，逐个单元计算用户要求的物理 量。 5 分析判断有限元分析结果的正确性和实用性，根据用户要求，对有 限元分析结果进行加工处理，形成适合科学研究和工程设计要求的 结果，进行图形或表格格式输出。如果计算结果不满足用户的要求， 则需修改模型进行再分析。 按照有限元分析步骤的划分，有限元软件的算法结构如下图所示： 有限元模型前处理算法 有 单元分析 限 ( 单元库) 用户接口算法r _ 一 f 数据管理算法 兀 约束处理 分 析 算 静力和动力 有限元方程 - i 图形处理算法1 人工智能算法r 法 求解算法 ( 求解器) 有限元模型后处理算法 五、有限元分析法程序的发展历史、现状及趋势 4 0 年来，有限元软件经历了有限元分析计算软件、有限元分析计算与结 “ol 、盯秋仟、有限元分析计算+ c a d 软件、有限元分析计算+ c a d 软件+ 专家 浙江i ：业人学硕十学位论义 系统、智能性结构分析系统和集成化有限元软件环境等发展阶段。到i l 前为 上i ，有限元软件的分析计算功能已经相当完备，但是如果一个大型有限元分 析计算程序缺乏完善的前后处理功能，那它必将失去竞争能力。因而配备完 善的、全自动化的前后处理功能，并进一步与专业范围内c a d c a m 系统融 合、集成在一起向更高层次迈进，已经成为现代有限元软件发展的必然趋 势。因此，开发功能齐全而又实用方便的有限元软件，为我国的科研工作及 产品和工程设计服务，是十分必要的。 1 2 有限元前处理技术 一、有限元前处理技术的研究内容 有限元模型生成的前处理算法包括单元自动剖分与单元信息生成算法、 节点编号的最优化算法、节点自由度自动标定算法等，综合起来前处理算法 是自动生成有限元模型，减少用户手工生成有限元分析模型的工作量和错误， 并提高有限元分析效率和效果。 一般而言，完善的前处理系统的核心是用户接口解释子系统，它包括用 户命令语言、面向问题语言、带标识符的数据表、菜单及对话框解释程序： 数据和命令诊断子系统，即诊断用户数据和命令正确性以及运行状态的程序： 计算模型生成与模型的局部处理；图形输入与显示等。 有限元前置处理技术是c a d c a e c a m 集成系统中的重要组成部分 它必须能够实现以下功能： ( 1 ) 几何模型的建立 ( 2 ) 网格自动生成。只要用户给定求解域的边界和单元划分的密度要求， 系统就可以按照用户的需求对求解域进行自动网格划分； 3 ) 输入f j 建约束、载荷、材料等行利j 束进行有限元分析汁翦们信息 小成f 州 元汁钟模， 1 4 ) 数据的奄锚与管理能力 ( 5 ) 图形的i f 示与模型的输出等功能 ( 6 ) 符；i , l , - i l i 助功能，如多种检索下段等。 1 、充褴的有l l i j i 建模过程，通常是始1 二儿i 模型的建立，# 次是网格 7 l - 盹，这j l l 窿个i i 女! i i i , 1 核，i l , ，然后是剥并种属性处理，最终生成朽限冗模 型j i ：以数据丈件或数据库格式输u j 有限元分析模块所必需的各类信息，圮1 0 是1 7 点和译元信息。 为了叙述方便和避免产生歧义，f 面就有限元前处理所涉及的些艇小 概念和术语作简要的描述。 ( 1 ) 儿何模型：是指某个儿何形体( 如曲面、三维实体等) 在计辨机内信扈 完备的、无二义性的表示。 ( 2 ) j l l + l i 胡i ! ：是指几何模型的建立过程。根据对几何模型的描述方式， 造型系统可以分为线框造型、i i i i l i i l 型、体素造型等几种常见形式。 根据几何模型所描述的对象，有曲面造型、实体造型等。 ( 3 ) 体素、实体及其运算。系统或用户定义的一些易于直接以参数方式捕 述的基本几何形体，如立方体、球、柱、锥等，称为体素。而实体则 通常是指现实三维形体( 如l l i l i 、三维实体) 在计算机内的替代物。体 素和实体的运算，是指一些i - n ( j e 的集合运算，如并、交、差等。 ( 4 ) 边界表示法( b r e p ) 和翼边数据结构。所溜边界表示法，是指通过描述 物体的边界来表示一个物体。例如， 个一i 维实体，首先我们i u 以找 i i 1 j l 。i l i l i ( 平面或非j f i f i j ) ，每个向的边界又是由一系列的环f 外 环和内环) 组成，而每个环则是 | 系列的边( 直边或l l | 边) 构成，每条 百 浙江i ：业大学硕十学何论文 边又含有两个端点等等。在上述各种儿何拓扑元素中，如果以边为核 心来组织数据结构，这就是边界表示法中一种典型的数据结构一翼 边数据结构。利用这种结构可以较方便地实现三维实体的造型功能。 5 ) 有限元模型。将几何形体进行离散，产生节点和单元，并适当地添胃 全部约束条件、载荷工况、材料特性参数等各种信息，使之满足有限 元法计算的条件，这种模型就是有限元模型。 ( 6 ) 有限元网格。是指将几何模型离散化了的表示方式，最重要的特征是 含有一系列的节点和由节点连接而成的单元。 交互式程序设计和事件驱动。交互式一般是指采用窗口菜单形式的 用户界面，它具有快速响应和直观方便两大特色。而所谓的事件驱动与 交f 式密切相关，它表现为用户可以利用键盘、鼠标等手段直接控制并追踪 程序的运行状态，而程序运行则呈现出等待输入一执行相应的操作一等 待的无限循环状态，直至执行退出操作时停止。 二、有限元前处理技术的意义和地位 有限元法在工程应用中的瓶颈问题之一就是有限元建模问题，即对所分 析i i 锋的目标区域进行单元划分，形成有限元网格，并输入有关数据。在早 期n 1 仃限元程序中，需一行行一列列地填写数据，十分麻烦，不仅i - _ i f l 人， 而| 1 容易池错。因此，对于各种有限元分析程序，都迫切需要有配套的有限 元i j 处理程序来实现单元的自动生成和有限元自动建模。 三、有限元前处理技术的开发现状 早期开发的有限元软件，大多数都缺乏完善的前后处理系统，往往要求 用户具有较丰富的工程实践经验和较高的数学和力学水平，这使得用户难以 掌握，使用非常不方便，在很大程度上限制了有限元软件的广泛应用。 为了提高有限元软件的前后处理能力，八十年代以来，研究丌发了一批 浙江l ：业人学坝卜学似论文 专川的有限元前后处理软件，这是一类在理论和实际应用上都十分有意义的 有限元技术。这些有限元的前后处理系统，在系统功能、操作方式、设计力 法和则计算机的硬件要求等各方面都是千差万另0 的：但是，它们的目的都是 为j 方便用户学习和掌握现有的有限元软件，为了减少输入模型的准备工作 量利计算工作量，为了提高分析、整理结果的速度，为了减少使用出错的机 会，从而最终提高有限元分析计算的精度。其中比较知名的有： a p p l i c a t i o nf em o d e l e r ：交互式有限元模型生成系统 f e m g e n ：交互式网格生成与直接命令语言 f e m p p ：交互式有限元前后处理系统 f e m v i e w ：有限元软件后处理的交互式图形程序 p r e m a s ：有限元模型生成系统。 从有限元软件的应用对前后处理的要求看，有限元软件的前处理般应 包 1 以f 功能： ( 1 ) ) ljj 1 。接口子系统：用户命令语言+ u c l ( u s e r c o m m a n d l a n g u a g e ) ，i 百向 问题语言p o l ( p r o b l e mo r i e n t e dl a n g u a g e ) ，菜单表格处理程_ = i 。- ( m e n u i h b l ep r o c e s s ) ( 2 ) 诊断显示：用户数据诊断、错误定位和定性 ( 3 ) 模型生成：各种方位下的网格自动生成与拼装、节点编号优化 ( 4 ) 模型局部处理：确定各种非标准连接及接触边界，= 宵点参数自动标定 以适应复杂的组合结构及各种非标准连接； ( 5 ) 绘图与显示等等。 目前，国际上流行的有限元分析软件，一般都带有专用的前置和后置处 一 型：唑! 二型坠：丝堡墨 理幞块，蛐1 a d i n a 、a s k a 、s a p 、1 - d e a s 、a n s y s 、m s c n a s r l r a n 、 p i ) a p k f r a n g 等。国内的一些高层次单位较多地应用国外研究 1 ：发的【j - 述 火】叭通用i i 3 - f i i l l y 淄构分析软件。但是，x l 一般用户而言，进i ；i l ：萼这样 的软f l 化往不是他们的经济能力所能承受的：mf 1 ，山于受版权的限制，j l j 户般也无法在已有的软件基础上结合自身的实际情况进行z t 次7 1 发或修 改ij 4 j i l j ，丌发具有自主版权的有限冗i j ( 后) 处理系统，无论从学术- l 还是 从i 程应用l ：都有其实际意义的。 1 3 本文研究的主要i 内l l ：t t l 目标 有限元前处理系统的核心是网格自动生成，因此本文的研究内容是： ( 1 ) 分析现有的网格自动生成算法的优劣，硎：究更有效的= ：维多连域n q 心 边形单元网格自动生成方法，提出改进的铺砌法。 ( 2 ) 改进铺砌法的程序实现，研究数据结构、总体框架及用户界面。 在进行有限元网格生成器设计的时候，通常根据下面的一些原则来考虑 选择自动生成算法： ( 1 ) 能够很好地逼近求解区域的边界线。为了使有限元网格生成算法具有 广泛的应用性，对求解区域的边界形状不应有特殊的限制。而且用来 逼近边界线的算法，能够以尽量小的误差给出边界上的节点坐标，使 给定的特征点能够落在拟合边界上。 ( 2 ) 少量的数据输入。算法应该尽量减少输入的数据量，以便减轻准备输 入数据的负担，减少由于手工历造成的误差。但有时为了减少一些数 据的输入，往往造成所需计算机时问的增加，运行效率的降低。因此 要在运行时问与最少量的数据输入之间进行折衷，以求比较好的结 果。 = ；f | i 上i3 1 k 人。i 喷i ：0 f 市沦史 ( 3 ) 网格的规则性。产生的有限元网格形状要规则，避免畸形，以便捉r ? 有限元分析的精度。 ( 4 ) 运行效率。由于此算法是作为交互有限元网格的生成，因此要求算法 具有很高的运行效率，使系统具有很好的实时性，便于人机会话。 ( 5 ) 广泛的应用性。 当我f f i j n 选择、设计的网格生成算法满足上面的这些规则时，才能比较 有效地确保所生成的有限元网格生成器具有较强的通用性。 本文希望通过对有限元网格生成技术的研究，实现下面的研究目标 ( 1 ) 能对二维多连域进行全四边形单元的全自动剖分( 非结构化生成) ( 2 ) 单元形状接近于矩形： ( ： ) 边界上单元的方向沿边界的切向 ( 4 ) 区域内不规则点只有很少几个。 小曳= 的研究目的是：实现高品质单元的全自动生成，以提高有限元分析 的精度和效率。 第= 章有限元网格自动生成技术综述 2 i 有限元网格自动生成算法分类 有限元6 口处理系统的核心部分是有限元网格的自动生成。随着现代计算 机软硬件技术的发展，早期在有限元计算过程中遇到的运算速度和存储容量 等方面的问题都得到了较好地解决。而如何准备原始数据，尤其是如何快速 地，卜成有限元网格信息，已经f l 益成为有限元法全面走向实用的一个瓶颈。 刁i 论是国外还是国内，有限元网格自动生成技术，都已成为一个普遍关注的 热点。一大批关于有限元网格自动生成的算法的文章相继发表，文献 1 3 , 1 6 , 3 6 】 剥这一领域的有关研究成果进行了较为全面的总结，并对一些典型的算法和 常川的技术作了一些研究、分类和比较。 实际上，由于有限元网格生成算法各异，种类繁多，要想以某一种统一 的标准将所有的算法进行归类是相当困难的。我们可以从几个不同的侧面选 取儿个不同的标准来分析各个具体的算法。如：如果就节点和单元生成的先 后次序而言，算法可以分为先尘成节点后生成单元、先生成单元后生成节点f 实 际i 二网格光顺) 、节点和单元同时生成三类；如果就最终生成的单元类型而言， 可以分为三角形单元网格、四边形单元网格、混合单元网格( 在三维中则表现 为四面体、六面体等等) ：如果就网格划分的自动化程度而言，可以分为手工 网格划分、半自动网格划分、全自动网格划分等不同层次；如果就网格生成 过程及其特征而言，可以分为映射网格、自由网格、自适应网格等；如果再 考虑到多种材料和组合结构问题，i i i i 格可分为单材料和多材料、单结构和 组介结构等类型。 f i i i ，我们将以网格生成过程和特征以及在计算机上实现的时间顺序为 主线，列一些最典型和常用的有限元网格生成算法作一较为全面的回顾与分 析( h1 ) ： 一_ w 一 i1 4 ； 塑些羔些叁堂堡堂堡堡塞 图i有限元网格自动生成算法分类 一、生成结构化( c o n s t r u e t i o n ) 网格的方法映射法( m a p p i n g e l e m e n t m e t h o d s ) 映射法是根据形体边界参数，利用映射甬数，把参数空间内单位矿方形 ( m 维是啦位j = ! 方体) 的网格映射到欧氏空n u 。它要求问题求解域爿 先被 人i 地划分为若干个具有简单形状的予区域，例如在二维平面域巾的i _ i j 形 域或四边形域等，然后在各个子区域内以某种映射法则生成单元网格。如图 2 所示。 p ( o ，0 g l p ( o ， ( a ) 四边形子域 ( u ，v ，w ) = 图2映射网格生成示意 ( b ) 三角形子域 ( 1 ，0 ，0 )忿 门一 浙 i ：i 、i p 人学硕t 学位沦文 一 通过如f 式的插值函数建立起局部( 自然) 6 琏标系和总体( 笛i j 儿) 坐标系之n ，j 的变换，从而将自然坐标系内的形状规则的单元( 母单元) 变换为笛卡儿坐标 系t q 的形状抓曲的单元( 予单元) 。如图2 ( a ) 中，f l ，f 2 ，g l ，9 2 为四边形子 域的边， p ( “，v ) = ( 1 一v ) 忻( “) + 呒( ) + ( 1 一“) g l ( ”) + u g h ( ”) ( 1 ) 一( i _ i “) ( 1 一v ) v ( o ，o ) 一( i u ) v p ( o ，i ) 一u v p ( i ，1 ) 一u ( i v ) p ( 1 ，0 ) m ，咖封等+ 掣+ 等+ 型掣 + 等+ 掣一w ，( 0 一f g ( 0 ) 圳。) l 一“l 一“ 。 f j ! i i u + v + w = l 0 兰1 1 茎i , o v 1 , 0 ws 1 映射法又可分为映射单元法( m a p p e de 1 e l l l e n ta p p r o a c h ) 及保角映射 法( c o n i o r m a ll a p p e da p p r o a c h ) 。映射法是目前绝大部分商品化的网格生 成器都具有的网格生成算法。映射法的优点表现在以下几点：( 1 ) 边界敏感性， 网格的轮廓与边界的轮廓十分相似，这个特点十分重要，因为在靠近边界处 通常希望有形状较好的单元；( 2 ) 方向不敏感性，旋转或移动给定的儿何形体 不会改变生成网格的拓扑结构：( 3 ) 几乎没有不规则节点。如果网格内部的 个节点所连接的单元数目大于或小于4 ，则此节点被认为是不规则节点。这 是网格拓扑结构的一个关键特性，因为一个节点所连接的单元数目控制着单 元的最终形状，即使是光滑处理过后。因此，希望网格内部的不规则节点越 少越好，特别是在边界附近。用此方法使得在每一子域内网格生成可以得到 相! 好的控制。但映射法的虽大的弊端在于要求事先根据所要生成的网格类 型将目标求解区域分割成一系列可映射的子区域。而这一过程通常需要人工 来完成，不仅耗时而且要求分析者具有足够的经验，种种局限说明这种方法 1 6 浙江l j 业大学硕十学位论文 不适合于全自动网格的生成。 二、生成非结构化( n o n - c o n s t r u c t i o n ) 网格的方法一自由网格生成方法 自动是指算法程序在接受区域的儿何描述后，不再需要任何用户干涉就 可往任意复杂的区域内生成有效的有限元网格。而所谓的自由是指列于 任意不规则( 含规则) 几何边界的一种良好的拟合性能。由于工程实践中要处 理的对象绝大部分都具有不规则边界，因而自由网格生成算法是有限元网格 生成系统中的一个极其重要的方法。按各种方法的操作特点可将这类方法进 一步细分为下列四类基本方法： ( 1 ) 布点及三角化方法( p o i n td i s t r i b u t i o na n dt r i a n g u l a t i o na p p r o a c h ) 先在区域内布点，然后再将它们连成三角形单元。起先，这一方法是建 立n ：随机分布的内格点基础上的，后来的工作主要是通过改进内点的分 布使得算法得以完善。这种方法生成的单元是接近于正三角形的三角形单元。 ( 。i 维空间为四面体单元) 。在三角化的过程中，随着d e l a u n a y 三角化( 简称 为d r ) 方法的出现，使得原来生成单元形状难以控制的问题得到改善，因为 d r r 法的最主要的优点就是它自动避免了生成小内角的长薄单元：d t 是局部等 角的，这意味着d t 中，当每两个相邻三角形形成一个凸四边形时，这两个三 角形中的最小内角一定大于交换凸四边形对角线后，所形成的另两个三角形 q - 的最小内角。 这一算法有完备的数学理论背景以及三角形四面体单元对于任意边界 的良好的适应性，而且，以此为基础的网格生成系统可以方便地从二维域推 ，“到三维域，上面这些是此算法的突出特点。 布点及三角化方法的不足之处在于它只能直接生成三角形单元，而无法 直接得到诸如四边形单元、六面体单元这样具有更为优良计算性能的单元。 有些研究尽管可以通过单元合并或单元分解等强制性单元转化，生成四边形 单7 j 网格，但是获得的结果往往不能令人满意。 浙江i ：业人学坝i ：学f 、7 _ 沦义 假设最后网格项点全部i t f 目标边界顶点组成，j i l l z z , 可以用一种- - - - a n 化算 法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑 结构决定。这样，目标的复杂结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法 生成的网格一般相当粗糙，必须与其它方法相结合，通过网格加密等过程， 才能生成合适的网格。 ( 3 ) 几何分解法( g e o m e t r yd e c o m p o s i t i o na p p r o a c h ) 在这种方法中节点与单元同步生成，在实体分解过程中考虑了所生成的 单儿形状及大小，确保生成的单元质量尽量地好。丽在拓扑分解法中，并不 考虑生成的单元形状，而且除边界顶点外，一般不增加新的顶点。几何分解 法t i j 以进一步分成以下三种方法： a 区域递归细分法( r e c u r s i v es u b d i v i s i o nm e t h o d ) ：原始实体首先 被自动分成许多凸区域，然后对每一个凸区域在边界上布点以适应网 饼密度分布的要求，最后在区域最长边的中点将区域一分为二，并根 据网格密度要求在分割线上布点，所生成的两子区域被递归分解下 去，直到它们变成三角形为止。 】i 丫1 冗迭代移去法( e l e m e n tr e m o v i n gm e t h o d ) ：从待剖分的曰h i l x 2 域 的边界，r 始，一次生成一个单元，并从曰b j i l x _ - 域中移去这个单冗区域， 得到新的待剖分目标区域及其边界，迭代执行上述过程直到最后剩下 一个三角形单元为止。推进波前法( a d v a n c i n gf r o n tm e t h o d ) 是这 一类方法中较为成功的一种，它的基本思想是将边界曲线看成是当前 工作波前，在剖分过程中，每生成一个单元，边界曲线所围成的区域 面积就减少一次，同时当前工作波前向内推进一步。推进波前法列复 杂几何形状与边界的二维域中的三角形网格生成具有更大的灵活性和 可靠性。但由于推进波前法的大量搜索查询操作使得该方法的时问效 率相对较低。 浙江工业人学硕士学能论文 c 子区域移去及其网格化法( s u b d o m a i nr e m o v i n gm e t h o d ) ：将目标区 域一次移去一块，直到剩下最后一块，然后使用不同的方法将这些块 子区域三角化。这种方法利用了实体的边界表述，描述几何特性的顶 点表、边表及面表等必须时刻得到维护。该方法一般以层次的形式利 用大量的移去操作，并试图考虑当前的选择对于以后的移去操作选择 的影响。因为每一步移去操作所需的计算量很大，所以该方法在生成 细化网格方面计算效率并不高，但是可以利用该算法，将整个区域分 解为。个个易于网格化的子区域，它的总的效率将会大大提商。这种 方法还可能与映射法相结合。 ( 1 ) 罐于栅格法( g r i d - b a s e da p p r o a c h ) 此类方法可分为以下两类 a f 则栅格法( r e g u l a rg r i dm e t h o d ) 将一完全包含目标区域的正则栅格放霞在月标区域上面，除去落在目标 区域外的栅格单元，并对与物体边界相交的栅格单元进行调整或剪裁以便更 准确地逼近目标区域。在将这些栅格单元按一定的样式分成一定数量的网格 单元后，通过光滑技术处理即得到最后的网格。栅格越密，网格质量越好。 这种方法的缺点是所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格边 界雎元质量差。对于形状比较规整的区域不失为一种简单有效的方法。 b 有限四( 八) 叉树法( f i n i t eq u a d 一( o c 一) t r e em e t h o d ) 以平面二维域为例，其原理如图3 所示： 折i ：) l k 人牛硕 学l 讧论史 i 霭t l ：甲1 i 7 耳l 兀外! l | l j l 宁i ：!”竹 娑 卜 杉刍 拊 产 一 l 一i 一 哥 z 。 j ， 厂= ， _ e 一 i 图3四叉树区域划分示意 口空单元 狂 鳆 对于一个任意给定的区域，先将目标区域用一尽可能小的方盒( j f 方形 或秆：疗体) 圈定，然后将这个方盒分鳃成四( 八) 个子区域，对每一个子区 域测试其是否完全在目标区域外面或是否满足密度控制的要求。若满足所给 定的条件则停止对此区域的细分，否则将之细分。该过程迭代执行下去直到 达到预定的离散要求。在细分的过程中，相邻的子区域最多只能相差一级的 分划水平。这样目标区域被一些互不重叠的各种大小的方形予区域拼成的图 形所逼近。此方法的优点是：它适用于任何复杂的二维区域问题，而且算法 效率儿乎与单元节点数里线性增长，其网格生成易于实现密度控制，易于进 行r i 适应分析。此方法的缺点是所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向 有哭，网格边界单元质量差，程序实现相当复杂，所需内存较大，不利于实 现；f = i 处理等。 三、现有喇格自动生成算法中存在的不足 网格自动生成的效率和灵活性很大程度上取决于网格生成算法的选取。 i t l i 圻述，网格自动生成算法可概括为两大类型，即结构化网格生成方法 和雌i i 构化网格生成方法。 结构化网格生成方法一般采用区域映射法来生成比较规则的网格，因此 一一而 浙江1 业人学硕1 ：学他论文 也称为映射函数法。映射函数法能够很好地模拟比较规则的目标求解区域。 映剥法的优点是所生成的单元网格的品质比较高，生成的单元网格能够比较 好地模拟目标求解域的边界轮廓，所生成的网格的拓扑结构不会随着目标儿 何形体的旋转或移动等变化而改变，并且在牛成的网格内部的不规则 7 点比 较少。用此方法使得在每一予域内网格生成可以得到相当好的控制。但映射 法们屉大的弊端在于要求事先根据所要生成的网格类型将目标求解区域分割 成系列可映射的予区域。而这一过程通常需要人工来完成，不仅耗时而且 要；托分析者具有足够的经验，种种局限说明这种方法不适合于全自动网格的 ，im 恺古构化网格生成方法一般不用映射法，而是直接根据所要求解的目标 区7 n 边界及单元剖分密度的要求，自动地对目标求解域进行单元剖分。：肛 映释数法巾如：( 1 ) 布点及三角化法能直接生成i 角形单元或通过对j 角形 i 、r 1 ，g 的禽并或分解来生成四面体单元，但却不能直接生成诸如四边形卟i 、 六i 本译元这样的具有更为优良计算性能的单元。而通过合弗或分解二i 角形 单元等方法虽然可以间接生成四边形啦元，但是所得到的网格的i 讯质比映射 法所i i 成的网格的品质要差得多，其效果往往不能令人满意；( 2 ) 基1 ：栅格法 u j 以列形状比较复杂的目标区域进行划分，但此方法在实现过程l i 编程比较 复杂，并且生成的网格的质量也不够理想。 由于四边形单元具有良好的计算性能，比较直观，同时，三维区域中六 面体单7 i 网格生成技术的研究又是当f ； 有限元前处理的一个前沿，而二维区 域n 0 四边形单元网格生成技术是向三维区域发展的基础，因此，希望能在二 维区域生成高品质的全四边形单元网格。这就要求有一种算法既具有映射法 的优点，又能全自动生成四边形单元网格。本文所采用的铺砌算法能够满足 上述要求，将在后继章节中作具体的介绍。 2 铷i 1 ：1 业人一* ml 奇论史 2 2 自适应网格 所谓自适应，是指所生成的网格能自动适应所计算问题对网格质疑的要 求。比如说，可以根据所需要的计算精度，自动凋整单元的尺寸大小并自动 生成复杂的边界附近或应力集中区域的单元。如果需要，可以根据计算结果， 选择适当的误差估算标准，在计算过程中自动对初始网格实施修j f ( 包括全部 重新划分和局部细化或羊且化) ，以提高计算精度，并尽可能地节省时问，降低 人1 f 二预的程度。 f 1 ) 儿何边界、约束条件、载荷工况自适应 根据经验，一般地在区域边界的凹角点、约束点、集中载荷作用点等处 往纯存在应力集中现象。一个好的网格自动生成系统应当能对此有所考虑。 通常可以用节点间距函数( n o d a ls p a c i n gf u n c t i o n ) 和节点分布密度( n o d e d i s t r i b u t e dd e n s i t y ) 来控制网格密度。节点的产生与分布将受到网格密度函数 的蘸接控制，网格对边界的自适应功能也因此而得到体现。 ( 2 ) 汁算结果自适应 除了边界条件自适应情形，更一般地，自适应的概念往往是指对计 算结果的自适应。一个自适应有限元计算过程如图4 所示： 图4自适应网格生成过程示意图 浙江1 ：业大学硕十学化论文 通常，我们可以选取计算结果中的某个关键值( 如应力、应变) 测试具误 差( e r r o r