铜鼓中学16数列通项公式几种的求法.ppt

数列通项公式的求法,复习回顾,例题讲解,巩固练习,课后总结,北师大版高中数学必修（五）,铜鼓中学数学组,数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系,数列的通项公式是研究数列性质最基本、最重要的一种表达形式,注：有的数列没有通项公式，如：3，e，6；有的数列有多个通项公式,下面我们就谈一谈数列通项公式的几种常用求法：,复习回顾,一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式,例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式：,（1）-1，2，-3，4，,（2）2，5，10，17，,（2）变形为12+1，22+1，32+1，42+1，,例题讲解,注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的.,例题讲解,二、定义法：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目,例2：,三、公式法：已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：,例3已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）,注意：要先分n=1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。,例题讲解,（2）由公式可得：,(1)当n=1,a1=s1=-1,n2,an=sn-sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,a1=1也适合此等式，nN*,例题讲解,即,例4、已知数列an中,求数列an的通项公式。,解：an+1-an=n当n2,nN*an-an-1=n-1an-1-an-2=n-2a3-a2=2a2-a1=1各式相加得，an=a1+(n-1)+2+1=1+(n-1)+2+1=1+(n-1)n/2当n=1时，a1=1,故，an=n(n-1)/2+1,已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。,总结：,例题讲解,练习：已知数列an中，a1=1，且an+1=an+2n,nN*求数列an的通项公式an,解：,例题讲解,五、叠乘法：对于型如：an+1=f(n)an类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。,即：,解：因为,所以,把1，2，n分别代入上式得：,，,，,把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：,所以通项公式为,例5、已知数列中，求通项公式。,例题讲解,练习：,解：,总结：,（2）当f(n)为n的函数时，用叠乘法此时：,（1）若c=1时，数列an为等差数列;（2）若d=0时，数列an为等比数列;（3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，,六、辅助数列法：这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。,例题讲解,例6：已知数列an中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式,巩固练习,解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以an+3是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）2n-1故an=62n-1-3,解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时，an=2an-1+3，两式相减，得：an+1-an=2(an-an-1).故an-an-1是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列.an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)