（概率论与数理统计专业论文）非参数bayes模型下的u型和析因设计.pdf

中 文 摘 要 中 文 摘 要 本文主要研究非参数b a y e s 模型下的u - 型和析因设计的性质和构造方法。 关于 u - 型设计，m a e t a 1 .( 2 0 0 3 ) 得到了设计区域上试验点的均匀性和设计正交性的等 价条件。 f a n g e t a 1 . ( 2 0 0 3 ) 基于中心化和可卷积的 l 2 偏差研究了2 一 水平和3 一 水平u - 型设计的 均匀性。他们基于列平衡和行距离，得到了准则的新的表达形式和下界。 本文基于 b a y e s 回归模型建立了 准则函数， 求出了 在格子点设计和u - 型设计的条件下 使得这些准则函数达到最小的最优设计的解析表达式。 对于 2 一 水平的问 题， 准则函数可以 被简化，类似f a n g e t a l. ( 2 0 0 3 ) 中的方法，我们分别 得到准则的两种形式的下界，用以衡量设计的优良程度。根据准则和设计的特点我们构 造了 ， 些算法去求具体的设计点，给出了算法间的一些比较和说明，并将得到的设计与 f 界进行比较，说明了设计及算法的优越性。 本文从准则函数的性质和设计的构造方法两方面进行展开。全文共分为七章，除第 一章介绍和第七 章总结外，分别就b a y e s 准则的提出、 最优设计的构造、 2 一 水平u - 型设计 下准则函数的性质、 搜索2 一 水平最优设计的 算法、 多水平设计的数值例子五个方面 进行讨 论。 第二章中我们假设先验函数来自下面的形式: f ( x ) = q十z ( x ) o其中 f3 是一 个均值加，方差为 咭的正态随机变量; z 是一个独立于 13 且均值为 o ,协方差函数 为 c o v z ( 二 ) ， 2 阁 =77 k ( 二 ， 约 的高斯过程， 77 e ( 0 , 0 0 ) 为参数。假设 j : 二f ( x ; ) + e : 为 实 验点 x i e x 处的 观测值。 其中， e k ( 8 = 1 , ， 二 ， n ) 是均值为 0 ,方差为定值 时的 独立随 机变 量。 我 们用 后验期望 e f ( 二 ) ly ) 来 估计 f ( x ) ， 用后验方差 v a r f ( 二 ) ly 来衡量估计 的 优 劣，并称之为估计方差。山于设计点的不同，估计方差的值也不同，通常的做法是用加 权 平 均 进 行 统 一由 此 定 义 了 加 “ 估 计 误 ” ti avg = q e 2 天 varf (x ) i y p (d x )。 我 们 ” 这 个 加权估计误差进行化简和计算，去掉与设计点无关的项，并且忽略高阶部分，就得到了 渐进b a y e s 准则 f六f_ 土 (f -, k ， 一 尸(x , x ),o (d x ， 一 2 y 昏 大 k (x , :咖 十 7 甩k (x i, x i ) 为了 使问 题得 到简化， 本文中 我们 假设 设 计区 域为 s 维的 方体(0 , 1 )s ， ft 具有均 匀测 度 减 d 司=d x e 根据理论 和实际背景， 本文 研究了 三个具 体的函数作为协方差核函 数的 中文摘 要 it 况，它们是: k, ( 二 ， 幻= k 2 ( 二 ， t ) = m ln 2 r r 。 : ) 一 :c r t r i , n( ， 一 ; : 一 r l) ， 、 ( ，。 一 51 1 1r_i 一 (;+ x 景 +t ; 一 m a“ 一 ) ， 在第三章中，我们考虑了由上面的三个具体函数得到的准则函数的情况。通过解 析的方法，分别计算了格子点设计和u 一 型设计下使准则函数达到最小的设计的解析表 达式。之所以可以这样做，是因为我们可以将设计看作一个连续的概率测度。一般而 言，u - 型设计下的最优设计比格子点设计的更为复杂。但值得高兴的是，对于2 水平的情 况， 完全设计n f =( 叼2 ) 1 2 既是格子点设计下使准则函数达到最小的设计，也是u 一 型 设计下使准则函数达到最小的设计。并且，对于第三个准则函数，任何水平的完全设 计 。 ; 二( n / g s ) 1 g s 是 u 一 型 设计 下 使 准则函 数 达到 最 小 的 设 计。 第四章的工作是研究2 一 水平u - 型设计下准则函数的一些性质。我们运用两种不同的 方法分别得到了三个准则函数新的表达形式，并基于这些新的形式得到确定的下界。这 两种方法分别是基于f a n g e t a 1 . ( 2 0 0 3 ) 文中 提出的列平衡和行距离的概念。 在得到下界的过 程中， 本文利用了列平衡的下界和 j e n s s e n 不等式。我们知道，一个好的设计要使得设计 所对应的准则函数的值达到最小。下界正是这样一种度量。准则函数的值越接近下界， 设计就越好。如果准则函数的值达到了下界，那么该设计一定是最优的。下界为我们寻 找最优设计提供了很好的参照。 第五章中，我们试图构造一些 2 水平设计，并用前面求得的下界去衡量它们的优劣。 在因子个数和试验次数都给定的条件下，我们就可以用一些算法来构造设计。本文中， 我们介绍了四种算法:前进法、局部搜索法、模拟退火法和平衡搜索法。这些算法各有 特点， 有的程序简单、直接、速度快， 有的则具有更高的准确性，但需要花费时间作为 代价。 我们比 较了 一些情况下四 种算法的 效率， 发 现局部搜索法在大部分情况下是一 个 简单、快速、高效的算法。并且当因子个数增加，试验次数增加时，这种优势的体现越 来越明显。在大样本的情况下，局部搜索法和平衡搜索法都是较为有效的方法。在与随 机生成设计进行比较时我们发现，用局部搜索法得到的设计在平均意义上要优于随机生 成设计。这也又一次证明了 算法的有效性。 对于多水平的设计问题，第六章中只是对于几个特殊情况，用第三章的解析表达式 求得了 具体的设计点。对于的更一般情况，研究工作可以进一步的进行下去。 关键词: r a y e s 模型， u 一 型设计， 析因设计， 准则函数，算法 英 又摘 要 ab s t r a c t t h i s p a p e r d e a l s w i t h t h e d e s ig n p r o b le m f o r r e c o v e r i n g a r e s p o n s e s u r f a c e b y u s i n g a n o n - p a r a m e t r i c b a y e s i a n a p p r o a c h . t h e c r i t e r i o n f o r s e l e c t i n g t h e d e s i g n s i s b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c a v e r a g e e s t i m a t i o n v a r i a n c e , a n d t h r e e p r i o r s f o r t h e r e s p o n s e a r e s p e c i fi e d . w e f o u n d t h e o p - t i m a l d e s i g n t h a t m i n i m i z e s t h e c r i t e r i o n o v e r t h e l a t t ic e d e s i g n s a n d t h e u - ty p e d e s i g n s w i t h s q - l e v e l f a c t o r s a n d n r u n s . t h e a p p r o a c h w e u s e d i s s i m i l a r t o t h a t i n ma e t a 1 .( 2 0 0 3 ) . w e a l s o o b t a in e d a l t e r n a t i v e e x p r e s s i o n s a n d l o w e r b o u n d s f o r t h e c r i t e r i o n c o r r e s p o n d i n g t o e a c h o f t h e t h r e e b a y e s m o d e l s f o r t h e t w o - l e v e l u - t y p e d e s i g n b y u s i n g t h e c o l u m n b a l a n c e a n d r o w d is - t a n c e p r o p o s e d i n f a n g e t a l. ( 2 0 0 3 ) . i n o r d e r t o s e a r c h o p t i m a l d e s i g n s e f fi c i e n t l y , w e p r o p o s e f o u r a l g o r i t h m s : f o r w a r d a l g o r i t h m , l o c a l s e a r c h a l g o r i t h m , s i m u l a t e d a n n e a l i n g a l g o r i t h m a n d b a l a n c e - p u r s u i t h e u r i s t i c a l g o r i t h m . t h e n w e m a k e a c o mp a r i s o n o f t h e s e f o u r a l g o r i t h m s . f o t t h e d e s i g n s w i t h m o r e t h a n 2 le v e l s , s o m e e x a m p le s a r e g i v e n f r o m t h e e q u a t i o n i n c h a p t e r 3 . k e y wo r d s : b a y e s i a n m o d e l , u - t y p e e x p e r i m e n t , f a c t o r i a l e x p e r i m e n t , c r i t e r i o n , a l g o r i t h m s 丫7 0 8 1 8 5 关于学位论文使用授权的说明 本 人 完全了 解上 海师范 大学 有关 保留、 使 用 学 位论文的 规定， 即: 学 校有权 保留 送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:_ 口期:_ 导师签名 日期 :.二金 叠 生 兰 : 止 巫 些 二二 三够 i n t r o d u c t i o n i n t r o d u c t i o n 门.1 t h i s p a p e r d e a l s w i t h t h e d e s i g n p r o b l e m o f r e c o v e r i n g a r e s p o n s e s u r f a c e f ( 二 ) ， 二xc rs , f r o m o b s e r v a t i o n s o f f t h e t r e a t m e n t i s b a y e s i a n o n a d i s c r e t e s e t , = 二 : ， 二， 二 ， ， o f p o i n t s i n x ( c a l l e d t h e d e s i g n ) i n t h a t k n o w le d g e o f t h e r e s p o n s e i s r e p r e s e n t e d b y a r a n d o m f u n c t io n t r a d i t io n a l b a y e s i a n d e s i g n t h e o r y d e a ls w i t h t h e d e s i g n p r o b le m f o r fi t t i n g a l i n e a r r e g r e s - s i o n m o d e l , w h e r e t h e p r i o r o f t h e r e s p o n s e i s a fi n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f k n o w n f u n c t io n s . d e a l i n g w i t h t h e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s , s t e i n b e r g ( 9 8 5 ) i n v e s t ig a t e d t h e p r o b l e m o f a m o d e l - r o b u s t d e s i g n f o r r e s p o n s e s u r f a c e s t u d y . i n t h a t p a p e r , a b a y e s i a n m o d e l i s p r o p o s e d t h a t m a k e s e x p l ic i t a s s u m p t i o n s a b o u t t h e i n a d e q u a c y o f a n a s s u m e d m o d e l . t h e s p e c ifi c a t i o n o n t h e p r i o r d i s t r i b u t i o n i s b a s e d o n t h e t e n s o r p r o d u c t s o f h e r m i t e p o l y n o m i a l s . t h e d e s i g n c r i t e r i o n b a s e d o n t h e m o d e l le a d s t o r e a s o n a b l e c h o i c e s o f s c a l e f o r t w o - le v e l f a c t o r i a l d e s i g n s . mi tc h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) s t u d i e d t h e b a y e s i a n m o d e l i n w h i c h t h e p r io r m a y b e i n fi n i t e d i m e n s i o n a l . s p e c i f - i c a l l y , t h e y a s s u m e t h a t t h e p r i o r i s t h e o n e w h i c h d e r i v e s f r o m t a k i n g t h e r e s p o n s e t o h a v e t h e f o r m y ( 二 ) =f a +z ( 二 ) +: ， w h e r e i i s a n o r m a l r a n d o m v a r i a b l e , z i s a g a u s s i a n p r o c e s s i n d e - p e n d e n t o f ( , a n d e i s a r a n d o m e r r o r . t h e y g i v e t h r e e c r i t e r i a , w h i c h a r e c a l l e d t h e d , g a n d a c r i t e r i a , b y u s i n g t h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s f r o m a l l o w i n g t h e e r r o r v a r i a n c e t o b e la r g e . y u e ( 2 0 0 1 ) d e s c r i b e d a b a y e s i a n m o d e l i n w h ic h t h e p r io r f o r t h e r e s p o n s e i s s p e c i fi e d b a s e d o n a f u n c t i o n a l a n o v a d e c o m p o s i t i o n . a c r i t e r i o n i s d e v e l o p e d t h e r e b y u s i n g t h e m e c h a n i c s f o r a s y m p t o t ic u s e d i n mi t c h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) , a n d a c o m p a r i s o n o f s o m e r a n d o m a n d q u a s i - r a n d o m p o i n t s e t s i s g i v e n f o r t h e b a y e s i a n d e s i g n . i n t h i s p a p e r , w e s t i l l u s e t h e m e c h a n i c s f o r a s y m p t o t i c i n mi t c h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) , a n d c o n s i d e r u - t y p e d e s ig n s f o r t h e n o n p a r a m e t r ic b a y e s i a n m o d e l . a q - l e v e l u - t y p e d e s i g n u ( n ; q s ) i s a n n m a tr ix , w ith e a c h c o lu m n h a v in g e q u a l n u m b e r o f 赘 ， e 一， 一， 。 b y a lin e a r tr a n s fo rm a tio n a 资 - 2 , a u ( n ; 、 ) c a n a ls o b e p r e s e n te d a s a m a tr ix o f s iz e n x s , w ith e a c h c o l u m n h a v i n g e q u a l n u m b e r o f 2 =1 , ， q . l e t u ( n ; q ) b e t h e s e t o f u ( n; q s ) s . m o s t o f t h e u n i f o r m d e s i g n s a r e c o n s t r u c t e d b a s e d o n u - t y p e d e s i g n s . ma e t a l . ( 2 0 0 3 ) o b t a i n e d e x a c t c o n d i t i o n s i n w h i c h t h e u n i f o r m u - t y p e d e s i g n c a n i m p l y d e s i g n o r t h o g o n a l i t y . f a n g e t a l . ( 2 0 0 3 ) s t u d i e d t h e u n if o r m i t y o f t w o - a n d t h r e e - l e v e l u - t y p e d e s i g n s b a s e d o n t h e c e n t e r e d a n d w r a p - a r o u n d l 2 - d i s c r e p a n c ie s . t h e y d e v e lo p e d s o m e n e w r e p r e s e n t a t i o n s a n d l o w e r b o u n d s o f t h e l 2 - d i s c r e p a n c i e s i n t e r m s o f c o l u m n b a l a n c e a n d h a m m i n g d i s t a n c e s o f t h e r o w s , r e s p e c t i v e l y . i n t h e s p i r i t o f f o r m u l a t i o n p r e s e n t e d b y mi t c h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) , w e t a k e t h r e e c o v a r i a n c e k e r - n e ls i n t o a c c o u n t f o r t h e r e s p o n s e . f o r e a c h k e r n e l , t h e a s y m p t o t i c e x p e c t e d e s t i m a t i o n v a r i a n c e is r e e x p r e s s e d a s f u n c t i o n s o f c o l u m n b a l a n c e , a n d a l s o a s f u n c t i o n s o f h a m m i n g d i s t a n c e s o f t h e r o w s b y u s i n g t h e a p p r o a c h o f f a n g e t a l . ( 2 0 0 3 ) . a n d t h e l o w e r b o u n d s o n t h e a s y m p t o t i c e x p e c t e d e s t i m a t i o n v a r i a n c e a r e g i v e n , w h i c h c a n b e u s e d a s b e n c h m a r k s i n s e a r c h i n g u - t y p e d e s i g n f o r t h e b a y e s i a n m o d e l . i n c h a p t e r 2 , w e d e s c r i b e t h e b a y e s i a n m o d e l s a n d t h e c r i t e r i o n f o r c h o o s i n g d e s i g n s b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c e x p e c t e d e s t i m a t io n v a r i a n c e . i n c h a p t e r 3 , w e f o u n d t h e o p t i m a l d e s i g n t h a t m i n i m i z e s t h e c r i t e r i o n o v e r t h e l a t t i c e d e s i g n s a n d t h e u - t y p e d e s i g n s r e s p e c t i v e l y w i t h s q - l e v e l f a c t o r s a n d n r u n s . i n c h a p t e r 4 , w e d e r i v e a l t e r n a t i v e e x p r e s s i o n s a n d l o w e r b o u n d s f o r t h e c r i t e r i o n c o r r e s p o n d i n g t o e a c h o f t h e t h r e e b a y e s m o d e l s f o r t h e t w o - le v e l u - t y p e d e s i g n b y u s i n g t h e c o l u m n b a l a n c e a n d r o w d is t a n c e . w e p r o p o s e s o m e a l g o r i t h m s f o r s e a r c h i n g o p t i m a l d e s i g n s i n c h a p t e r 5 a n d c o m p a r e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s e a l g o r i t h m s . i n c h a p t e r 6 , w e g i v e s o m e o p t i m a l d e s i g n s f r o m t h e f o r m u l a t i o n i n c h a p t e 门d i r e c t l y . a s u m m a r y i s g i v e n i n c h a p t e r 7 _ 2 2 . a s y m p to t i c b a y e s c r i t e r i o n 2 . a s y m p t o t i c b a y e s c r i t e r i o n a c c o r d i n g t o mi tc h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) , w e t a k i n g t h e r e s p o n s e h a v e t h e f o r m f ( 二 ) a s s u m e t h a t t h e p r i o r i s t h e o n e w h i c h d e r i v e s f r o m 二n +z ( x ) w h e r e q is a n o r m a l r a n d o m v a r ia b le w i th m e a n 0 a n d v a r ia n c e a ; i n d e p e n d e n t o f ( 3 , w i t h m e a n 0 a n d c o v a r i a n c e f u n c t i o n ( 2 - 1 ) a n d z i s a g a u s s i a n p r o c e s s c o v f z ( 二 ) ， z ( t ) f =7 7 k( 二 ， t ) , w h e r e 7 / e( ) ， o o ) i s a p a r a m e t e r l e t y , r e p r e s e n t a n o b s e r v a t i o n t a k e n a t t h e e x p e r i m e n t a l s e t t i n g x ; e x , y i =f ( x i ) + # i , i 二1 , . 二， n , wh e r e t h e t e r ms f , v a r i a n c e c ,2 . l e t ， =1， ， ， ， n ) a r e u n c o r r e l a t e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h m e a n 0 a n d c o n s t a n t ( y i , ， y n ) . t h e n t h e p r i o r s p e c i fi c a t i o n a b o v e i m p l i e s t h a t f ( 二 ) w i l l h a v e a n o r m a l p o s te r io r d is tr ib u t io n . t h u s w e e s t i m a t e f b y it s p o s te r io r e x p e c ta t i o n , e f f ( 二 ) jy f , a n d a s s e s s t h e e s t i m a t i o n a c c u r a c y b y it s p o s t e r i o r v a r i a n c e , v a r f f ( 二 ) ， ， w h ic h w e c a l l e s t i m a t i o n var i ance l e t k ( 二 ) b e t h e n - v e c t o r w h o s e i - t h c o m p o n e n t i s k ( 二 ， x i ) , i .e . , k ( 刘 二( k( 二 ， 二 ， ) ，k( 二 ， x n ) ) a n d l e t k b e t h e ( n x n ) - m a t r i x w h o s e ( i , j ) - t h e l e m e n t i s k ( 二 ， 二 ， ) ， t h e n t h e e s t i m a t i o n v a r i a n c e f o r e a c h x e x i s v a r f f ( 二 ) y f = : 。 + k ( 二 ， 二 ) 一 ( y i n + k ( 二 ) ) ( v 1 n 1 n + k+ w i n ) 一 ( 1 1 n + k ( 二 ) ) ， w h e r e 。 = o p 1 r1 、 二 o f / r 7 , a n d 1 ,v is t h e n - v e c to r o f 1 s . n o te t h a t “ a n d w c a n b e c o n s i d e r e d a s th e v a r i a n c e o f 口a n d r e l a t i v e t o t h e v a r i a n c e o f t h e r a n d o m p r o c e s s z , r e s p e c t i v e l y . a n a t u r a l c r it e r i o n b y w h i c h s i g n s i s a w e i g h t e d a v e r a g e u s i n g t o c o m p a r e t h e e s t i m a t i o n v a r i a n c e f u n c t i o n s f o r d i f f e r e n t d e - s o m e w e i g h t e d f u n c t i o n , p ( x ) . w e d e fi n e t h e a v e r a g e w e i g h t e d e s t i m a t i o n v a r i a n c e , v a v g , f o r a n e x p e r i m e n t a l d e s ig n b y l1avg 一 : 2 关 一 。f (x ) ly )p (d x ). u s i n g t h e a s y m p t o t i c s i n mit c h e l l e t a l . ( 1 9 9 4 ) , w e a l l o w b o t h v a n d w t o b e l a r g e w h i l e t =。 / 、i s h e l d fi x e d . d e fi n i n g a=i / w ,令 二洲( i +n 的， 3 t h e a v e r a g e e s t i m a t i o n v a r i a n c e c a n t h e n b e e x p r e s s e d b y 2 a o 十 飞.1.j.j tia g 一 、 二 f k (x , x)p(dx ) -y 州二 ， x ,) p ( d x ) 十 ;1 ,2 州二 * ， 二 ， ) 之 = .l w -1 i g n o r i n g te r m s o f o r d e r o ( a 2 ) , a g o o d d e s i g n = 二 、 f o l l o w i n g q u a n t i t y , p ( t ; k) , i s a s s m a l l a s p o s s i b l e : 二 、 s h o u l d b e s e l e c t e d s o t h a t t h e 尹 v，n 1(5 ,- k ， 一 j a- k (x , x )p (d x ， 一 2y l j k (x ,t- 1 x :” “ + ,y2 石 k (x j, x 9) (2-2 ) n o te t h a t i f 亏=1 / n t h e n ql ( i; ; k) b e c o m e s a d i s c r e p a n c y o f t h e p o i n t s e t ( b a s e d o n t h e r e p r o - d u c i n g k e r n e l k e x c e p t a c o n s t a n t t e r m ( h i c k e r n e l l , 1 9 9 8 ) i n w h a t f o l l o w s , w e w i l l a s s u m e t h a t t h e e x p e r i m e n t a l d o m a i n i s t h e s - d i m e n s i o n a l u n i t c u b e 0 , 1 w it h u n if o r m m e a s u r e p ( d x ) 一 d x , a n d c o n s id e r t h e f o l lo w in g t h r e e c o v a r ia n c e k e r n e ls : k , ( 二t ) =n m in (x , , ) 一 x , r , k 2 ( x , ) 一 n( 卜二 : 一 ， : )( 2 - =1 ) k s一 “ 一 s1 1 1r- 一 ( i3 + x 了 + t 了 2 一 n ax (一 ) ， w h e r e 0 e ( 0 , 1 ) i s a p a r a m e t e r t h a t s p e c i fi e s t h e r a t e a t w h i c h h i g h e r - o r d e r i n t e r a c t io n s a r e d i s c o u n t e d . t o u n d e r s t a n d k , a n d k 2 , w e c o n s i d e r th e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . f o r s =1 , k , ( x , t ) 二 m i n ( 二 ， t ) 一二 t i s t h e c o v a r i a n c e k e r n e l o f t h e b r o w n i a n b r i d g e o n t h e f u n c t i o n c l a s s h e c ( 0 , 1 ) : h ( 0 ) =h ( 1 ) =0 . t h e c o v a r ia n c e k e r n e l k 2 is th e c o v a r ia n c e k e r n e l o f t h e s u m 1 a , ( x ) +h 2 ( i 一x ) w h e r e h , a n d 1 1 2 a r e i n d e p e n d e n t a n d d i s t r i b u t e d a c c o r d i n g t o t h e w i e n e r m e a s u r e o n t h e c l a s s h e c ( 0 , 1 ) : h ( 0 ) = 0 ) . a s t o th e k e r n e l k 3 , w e c o n s i d e r a r a n d o m f u n c t i o n , f ( x ) , s a y . w e e x p r e s s f ( x ) i n t e r m s o f i t s a n o v a d e c o m p o s i t i o n ( o w e n , 1 9 9 ? ) a s f o l l o w s : f ( x ) 一 艺 f ( x u ) , u c l , . . . ,s l w h e r e e a c h 凡( x ) i s d e fi n e d r e c u r r e n t l y b y “ 一 j o ;!， f (x )d x , f( 二 二 ) 城 ，:1。 if (x) - y : f (x 如 4 2 . a s y m p t o t i c b a y e s c r i t e r i o n h e r e , 0 , 1 u d e n o t e s t h e s p a c e o f v a l u e s f o r c o m p o n e n t s o f x , w i t h r e u , x . d e n o t e s t h e c o o r d i - n a te p r o j e c t i o n o f x o n t o 0 , 1 . p u t t i n g i n d e p e n d e n t p r i o r s o n 凡， 。 i , . 二 ， s a s f o l l o w s : f b n ( o , f( 二 。 ) i ) , b (x ) 一 又 v厂u ，1。 b ,j (a,i)u “ 二 ，d x , w h e r e b( 二 。 ) i s a b r o w n i a n s h e e t w it h v a r ia n c e 0 11 1 w h e r e 。 is t h e c a r d i n a l it y o f u . i t f o ll o w s t h a t t h e c o v a r i a n c e k e r n e l o f f i s 凡 二 。 t ) ( b a r ry , 1 9 8 6 ) . 5 3 .o p t i m a l d e s i g n s i n t h i s c h a p t e r w e fi n d t h e d e s i g n t h a t m i n i m i z e s t ( ; 凡) f o r j =1 , 2 , 3 r e s p e c t i v e l y , w h i c h h a v e n r u n s a n d s q - l e v e l f a c t o r s . f i r s t w e i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n s . a c c o r d i n g t o ma e t a l ( 2 0 0 3 ) , w e d e fi n e g= ( h , . . , l 5 ) l , e l , ， 二 ， q , r = 1 , . 二 ， s . w e c o n s i d e r t h e d e s i g n = 二 i , ， ， 、 ， w h e r e e a c h r u n 二 : i s o f t h e l a t t ic e f o r m / 2 1 , 一1 2 1 。 一1 x , 一 又2 q， . 2 q少 l w h e re (h , i ) 任乙( 3