（微电子学与固体电子学专业论文）基于ic产品最优分档的效益协调优化模型及求解研究.pdf

摘要 摘要 本论文主要研究了集成电路参数成品率的效益协调优化模型，在中心值设 计、效益极大化模型的基础上提出了一种基于产品最优分档的整体效益协调优 化模型。j ：要研究结果如下： 首先，构造了一个电路综合性能指标函数据此函数合理地构造了连续u r 导的价格系数函数，并在此基础上，结合市场的供求和其它实际情况对连续价 格函数进行离散化及对电路产品进行分档。 接着，提出了一种新型的分档效益协调优化模型，并估计了模型的误差。 与现有模型相比，该模型综合考虑了以下因素：分档数( 分几档) 、分档参数 ( 怎样分档) 、中心设计值，因而更具有普遍性和优越性。其次，针对此模型 设计了一利l 新的求解方法，此方法具有收敛快，精度高的特点。 最后，用二输入m o s f e t 电路和多个测试函数方程组对模型进行了实例化 模拟，结粜表明此模型非常令人满意。 钵文最重要的是完成了一种基于集成电路产品最优分档的效益协调优化 模型。文 关键训： 参数成品率：价格系数函数：产品分档j 效益协调 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o na i m sa td i s c u s s i n gi n c o m eo p t i m a lm o d e lo f p a r a m e t e ry i e l d b a s e do n d e s i g nc e n t e r i n ga n dm a x i m u m i n c o m e a p p r o a c h ，t h ea u t h o rp u tf o r w a r d an e w g l o b a lp r o f i to p t i m a l m o d e lt l m tg r o u n d so n1 cp r o d u c t s o p t i m a l d a s s i l y i n g t h ea u t h o r sm a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w i n g ： f i r s t ，a n i n t e g r a t e dp e r f o r m a n c e i n d e xf u n c t i o no fc i r c u i t p r o d u c t s i s c o n s t r u c t e d ，a n d ac o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l e p r i c e f u n c t i o ni s p r o p o s e d a c c o r d i n g l yb a s e do nt h em e n t i o n e da n dp r a c t i c a lf a c t o r s ，s u c ha sm a r k e ts u p p l y a n dd e m a n d ，t h ec o n t i n u o u sp r i c ef u n c t i o ni s d i s p e r s e da n dc i r c u i tp r o d u c t sa l e c l a s s i f i e di n t os e v e r a lc l a s s e s f o l l o w i n gt h e s e ，an e wg l o b a lp r o f i t t r a d e o f fo p t i m i z a t i o nm o d e lb a s e do n o p t i m a lc l a s s i f i c a t i o no f l cp r o d u c t si sb r o u g h tf o r w a r da n di t se r r o ri se s t i m a t e di n t h i s m o d e l ，b o t hc l a s s i f y i n gp a r a m e t e r s ( t h en u m b e ro fc l a s s i f i c a t i o n ，h o wt o c l a s s i f y ) a n dc e n t r a ld e s i g nv a l u ea r et a k e ni n t oa c c o u n t t h e r e f o r e ，t h i sm o d e li sa m o r eg e n e r a lt h a na n ds u p e r i o rt om o d e la v a i l a b l e f u r t h e r m o r e ，an e w a l g o r i l h n l w i t hg o o dc o n v e r g e n c ea n d h i g hp r e c i s i o ni sp r o p o s e df o rt h i sm o d e l t h es i m u l a t i o nr e s u l t so fam o s f e tc i r c u i ta n dt e s te q u a t i o ng r o u pp r o v et h e a d v a n t a g e so f t h e m o d e l o f g r e a ti m p o r t a n c e ，t h i sd i s s e r t a t i o np u tf o r w a r dan e wg l o b a lp r o f i tt r a d e o f f o p t i m a lm o d e l b a s e do ni cp r o d u c t s o p t i m a lc l a s s i f y i n g k e yw o ! d s ：p a r a m e t e ry i e l d ；p r i c ei n d e xf u n c t i o n ；p r o d u c t sc l a s s i f y ；p r o f i t t r a d e o f f 第一章绪论 第一章绪论 在计算机、通信和家庭电子消费( 3 c ) 融合的信息革命时代，集成电蹄产业 作为战略j r 业成为信息社会的技术驱动力。它的发展剥工业、科技、军事甚至综 合国力都产生了深远影响。 随着集成电路( i c ) 规模的不断扩大和器件尺寸的进一步缩小，保持或提高 集成电路的效益和成品率已成为集成电路制造和发展的瓶颈。ic 降价规律( n 规律曲线) 决定了l c 产业的竞争非常激烈甚至存在从竞争到垄断的发展；同 时投资强度又不断的增加，周期不断缩小。因此，在批量芯片制造之前。如果能 够将产品合理的分档以适用不同的用户，并综合考虑设计中心、分几档及怎样分 档等因素，将对集成电路的制造起着非常重要的作用，也是使得一个企业能够在 竞争激烈的信息时代立于不败之地的关键，这就是集成电路可制造性设计( d e s i g n f o rm a n u f a c t u r a b i l i tv d f m ) 研究的重要分支一集成电路参数成品率优化设计的新 概念。 1 1 集成电路参数成品率优化设计的意义和现状 所谓参数成品率是指i c 在设计和制造以后，其特性完全满足要求的芯片数 与总芯片数的比率。它反映出在电路功能正确的情况下，电路特性( 电参数) 的 变化情况。这种变化是由i c 制造过程中各种固有随机扰动引起的。参数成品率 的产生和形成机理与功能成品率有本质上的区别。但参数成品率无论是从模型、 方法还足从应刚方面均比功能成品率成功和广泛。在对分立或微波电路进行设计 时，参数成品率设汁和应用都是十分广泛的。 集成il l 路的高集成度和高可靠性是实现f 乜子装备，尤其是军用电予装备现代 化的核心坪关键。电路的高成品率是电路高i ，靠睦的基础和保证。 集成f u 路制造过程中出现的各类畸变是引起i c 成品率下降的主要原因。这 些畸受包 日各类一| 岂缺陷、工艺设备和环境的波动引起的参数起伏，以及与光刻 相关的各种缺陷和误差及人为因素等。它们通过对集成电路结构和参数的影响， 引起集成r l l 路成品率的下降。 i c 参数成 率设计正是在l c 没计阶段就考虑各种随机因素剥l c 制造成品率 的影u 眦n 啸4 造成品率驱动下对l c ： 艺条件、工艺方式、电路尺寸以及版图布 基于i ( 1 产品最优分档的效益协调优化模型及求解研究 结构进行规划和设汁( 这与目前单纯以电路性能驱动的设计方法有很大区别) ，他 电路制造成品率达到极大。 参数成品率优化设计所i ：f 【i 临的主要困难和需要解决的问题是： l 、多目标性：集成电路优化设计往往需要同时对多个目标进行设计，而且 在一般情况下这些目标具有一定的互抗性( 如电路速度与功耗，增益与带宽等等) 。 因此，所得到的最优解通常是协调解( 又称非劣解或p a r e t o 点) 。由于这些调 解有无力多个，艘砹汁者从众多的解中选择自己所需要的结果，即设计者必须根 据自己的需要折衷，这一问题必须在统计最优化的框架下加以解决； 2 、参数的统计性和相关性：由于集成电路在工艺生产q ，受环境的影响，使 设计参数与实际生产之间存在着一定的容差。因此，集成电路最优化设计必须考 虑这种工艺起伏对电路特性的影响；否则，最优化设计结果会因在工艺生产中不 能实现而失去意义；另外，集成电路的工艺参数、器件参数之间具有很强的相关 性，在参数优化时必须考虑这种相关性： 3 、日标函数的非凸性：一般情况下，集成电路的目标是非凸的。所带来的 问题是；一方面，最优解依赖于所选择的初始点：另一方面，用确定性方法求解 成品率最优问题时很难刘电路特性的叮接受域进行合理的表征： 4 、域优化参数的维数0 哎汁花赞h jn j j 的矛盾，为解决这一问题，需要把确 定性方法和统汁性方法结合起来综合考虑。 由于以l 二诸问题及l c 固有的统计特点，使集成电路参数成品率优化设计的发 展受到了一定的限制。这主要是数学基础研究领域的理论和方法不够完善，可用 的数学工具极为有限。因此，虽然参数成品率的模型比较成熟，但目前一个适埘 化的决策系统仍然没有建立，随着集成电路工业的发展，最优化设计的必然性和 紧迫性越来越明显，这方面的研究必然会成为未来基础研究和应用研究极其广泛 的领域。 i j 前囤际一 ：许多研究机构对集成电路可制造性设计已经十分重视，尤其在参数 成品率设训方面己获得较好的成果，就国内而言，此领域的研究才刚刚起步不久。 有理由相信本沦文提出的新模型、新思路将对国内集成电路可制造性设计有重要 的参考意义。 中一0 值没计( d e s i g nc e n t e r i n g ) 的成品率优化模型具有定的局限性，主要 体现在它娃对固定可接受域下的成品率进行最优化设计没有考虑到一个电路产 品具有不同性能档次或降低档次使刚的问题，因此很难反映整个产品的设计曲貌。 例如，一些电路可根据其性能档次分为a 、1 3 、c 三类或多类产品，每档产品的价 格也是不同的。当产品性能要求严格时，电路成品率较低，当性能要求较低时， i c 的制造成品率很高，但价格又很低。或者，当某种电路性能不合格时，可认为 该电路不合格，但当降低该性能指标时它又可以作为低一档次的合格产品。因此， 第一章绪论 必须寻求以l c 制造的效益极大为目标的成品率( 以下提到的成品率均指参数成品 率) 折衷山案，协调不同档次i c 性能与成品率间的关系。因此，必须用综合考虑 不同档次f 的成品率的效益指标才能衡量设计的优劣性。一般情况下，电路各档 次成品率( 分层成品率) 之间也是一个多目标折衷问题。基于以上原因，术文提 出了朋效益极大化代替分层成品率极大化的多目标优化设计方法，为电踏在设计 阶段的优化提供- ，一条新的途径。 1 2 本论文的主要工作 小义结合国防科技预研基金课题“深亚微米器件的缺陷分析新方法及其应用 研究”( 编号为9 9 j 8 1 3 d z 0 0 1 3 3 ) ，围绕集成电路可制造性设计的基本思想，主 要对集成电路参数成品率的优化设计模型进行了一些有意义的探索，提出了一种 新的模型。具体内容如下： 给出了有关集成电路参数成品率优化设计过程中所需用到的数学基础 知b ，具体内容见第二章。 总结了以往参数成品率的模型和方法，并指出它们各自的不足之处与 局限性，具体内容见第三章。 本章为本论文的主要理论研究内容。首先构造了一个电路综合性能指 标函数，据此函数合理地构造了连续可导的价格系数函数，并在此基础七，结 合市场的供求和其它实际情况对连续价格函数进行离散化及对电路产品进行 分档。接着，提出了一种新型的分档效益协调优化模型，并估计了模型的误差。 与现有模型相比，该模型综合考虑了以下因素：中心设计值、分档数( 分几档) 及分梢参数( 怎样分档) ，因而更具有普遍性和优越性。其次，针对此模型设 计丫一种新的求解方法，此方法具有收敛快，精度高的特点。具体内容见第四 章。 采用二输入m o s f e t 与非门电路和多个测试函数，对本文提出的集成 电路的分档成品率优化模型进行r 实例化验证，结果表明此模型非怅令人满 意。具体内容见第五章。 本文最重要的是提出了一种基于集成电路产品最优分档的效益协调优化模型 并对其进行了实例验证。 4 基于i c 产品最优分档的效益协调优化模型及求解研究 第二章集成电路成品率优化设计的数学基础 本章主要论述了参数成品率中的数学和最优化方法基础，重点给出了p o w e l l 直接搜索算法和均匀设计方法，为以后各章节的探讨打下了基础。 2 1c 参数成品率中的最优化方法 最优化方法“o 本身是指在一定的约束条件下，对设计变量进行选择，或选取 某种方案，使各类目标函数达到极大或极小。i c 设计中的优化是指为获得性能和 效益最佳的设计方法学。i c 最优( 最佳) 化是指设计和制造最佳策略和方案的方 法。 2 1 il 确定性和统计性最优化方法”3 l c ：| j i j 造动力学 i j f 究。i i ，将最优化力法分为两火类u u 确定性和统计性最优化 方法。确定肚方法是指设计变量在优化过程中不存在随机起伏，这类方法又称为 零容差最优化方法。统计最优化方法是指设计变量是随机变量，这类方法实质是 确定随机变量在最优条件时的平均值和偏差值。虽然确定性最优化方法对i c 设计 不太适合但它是所有优化方法的基础。统计最优化问题晟终也需要化为确定性 最优化问题，才能进行求解。统计最优化方法是考虑设计变量存在随机扰动的情 况下，使i c 的成品率和效益最佳化。 2 1 2 影响参数成品率的因素及成品率表示 实现制造成品率和效益最佳化可以通过几利，方式，如可以分别通过对设计变 垂 ( 如工艺和器件尺寸等参数) 的标称值变量的容差值以及加工后的调控量的变 化，达到提高成品率的目的。所谓加工后的调整量是指i c 中的某些参数( 如电阻) ， 在加工后可以采用激光或电调的方法改变其大小。这在a d 、d a 等电路制造中常 采j 习的方法。屁然，加：l ：允许容差越大则加工越容易，l c 的成本就越低；同样， 调整量越大，加工成本就越高。由此可见，成品率和制造成本与参数标称值、容 差和调整量密切相关。设i c 设计变量的标称值为，容差为t ，调整量为q ，片 令f ( p ：，咖l ，则成品率y ( j ) 和成本c ( 石) 的统计展优化问题可表示为 第二章集成电路参数成品率优化设计的数学基础 或 m a x y ( x ) r a i nc x ) 2 1 3 参数成品率中的统计最优化 【2 1 ) 若设优化的目标函数为f = “， ，j ) 7 ，设计变量( 如工艺和器件儿何参 数) 为p = 0 ，p2 i 一，n ) 7 ，即f ：r “呻月优化设计中的各类约束条件为 g = ( g l ，g ：，g ，g ：r ”斗月。，则广义的最优化模型为 l r ，i n f ( p ) ( 2 2 ) p f ，) s f ：g ( p ) s0 ，i = 1 , 2 ， 式中r a i n 表示求函数的最小值，s t 表示约束条件( s u b j e c tt o ) ；r 。称设计 参数的可行域；符号矗“呻r ”表示从7 维欧几里德输入空间到册维欧几里德输出 空f j 的映射。若f ( p ) 仅有一个函数，则称式( 2 2 ) 为单目标最优化设计问题；若 f ( p ) 含有多个函数则称式( 2 2 ) 为多目标最优化设计问题。式中f ) ，g b ) 需 要通过一系列汁算机辅助分析和模拟工具，并结合一定的实验得到。因此【c 最 优化设计足建立在计算机辅助设计基础上利用数学规划理论和i c 模拟工( 如 电路模拟、器件模拟、工艺模拟、统计和成品率模拟等) 相结合的过程。根据i c 最优化的特点，其设计变量p 和目标函数，( p ) 可按下面原则选取。广义地讲，i c 设计变量和目标函数都包括确定性和随机性两种情况。其中设计变量可以选择 对电路特性最敏感的工艺参数、器4 - i ：j l 何参数或工艺过程中引入的各利- 偏箍量 并且这些变量是相互独立的；确定性目标函数可以是数字电路中的延迟时n 、功 耗、芯片何积、最短路径等等，模拟电路中的增益、通频带宽度、温度漂移量、 失调参数等等：随机性目标函数包括功能成品率、参数成品率以及i c 产品的效益 等等。一般情况下，i c 优化设计是多变量、多目标的设计过程，且这些目标函数 都是非线性和二i l 凸的。因此，对l c 优化几乎包括了目f i 最优化设计和方法研究中 的晰刚题，足个复杂的系统工程。 2 1 4 集成i 乜路中的参数统计性他。 参数f j j 统计性主要是山制造过程中的随机干扰和缺陷引起的。随机干扰足指生 产过程t i | n q 各种随机扰动，这些扰动来自制造过程中工艺设备控制、版图掩膜光 刻尺寸的控制和：1 二艺。ir 的其它随i j l i k l 索。1 t i 于随机扰动使i c 设计值与实际值之m 出现差异，同时工艺随机误差导致i c 制造成品率下降，若设e 表示工艺控制变量、 5基1 j1 c 产晶晟优分档的效茄协调优化模蝌及求解研究 l 表示版图掩膜尺寸、t 表示测试向量、d 表示制造过程【+ i 的各种随机扰动，则典 型i c 制造过程引起的不稳定性如倒2 【所示。图中的。和n ，分别表示合格和不 合格的i c 芯片数。 应该指出，正是山于c 生产过程q 一参数有相关性，因此需要优化的独立变量 相对较少，这就使v l s i 的参数成品率优化设计成为可能，并且有实用价值和意义 eld t 剀2 1i c 统计世计过程 2 2p o w e l l 方向加速法” 在优化问题中若用到函数的一阶或二阶导数，称为解析法，但在实际的电路 设计中，常遇到函数的解析表达式比较复杂，有的甚至写不出明显的表达式。因 而导数很难求出或无法求出，这时解析法就不能用我们必须采用另一利t 方法一 直接法。直接法是仅仅利用函数值的信息，去寻找最优的一类方法。 p o w e l l 方向加速法是p o w e l l 在1 9 6 4 年提出的一种直接法，又称方向加述法。 其基本思想是在迭代中逐次产生窜共轭方向组，对于二次凸函数可以在有限步 内找到极小点，具有二次收敛性。列于非= 次函数，收敛速度也是较快的。f j 前 它是直接法中公认最有效的算法。 下面介绍p o w e l l 方法所涉及的重要概念共轭方向。 首先，因为共轭方向极为抽象，可以先直观地从几何图形上了解，然后再给出 严格的定义。 如图2 2 所示，i 夙过椭圆的中一1 5 ，曲平行椭圆在点一，口的切线，存 第一章集成电路参数成乩率优化设计的数学基础 几何上称a z i ll j 鲫为共轭直径。庙与面的方向成为共轭方向。 c 剀2 2 ：共轭方向图2 3 ：平行切线法 | a r t in 和t e e c o m p u t e rj 4 ( 1 9 6 1 一1 9 6 2 ) 提出可以利用上述椭圆( 或n 维椭 球) 的这种共轭性质来获得较快的收敛速度。n = 2 时，若在椭球上两点爿，口的切 线平行，( j ! f 直线a 8 必经过椭圆的中心( 见图2 3 ) 。在点爿、b 的切线方向与爿口的 方向称为共轭方向。这种“共轭”关系如何表示呢? 我们有 引理2 1 设厂b ) = 去x 7 a x + b r x + c ，a 7 = 0 ，给定方向n ，在与n 平行 的两条直线上( 见图2 3 ) f ( x 1 的最小点为。，则 p 1 t 爿p2 = 02 = x 2 一x 1j ( 2 3 ) 定义2 1 设a 为门阶刑称矩阵， ( 1 ) 若p ? 却：= 0 ，则称向量p - 与且为一共轭的或爿正交的。 ( 2 ) 若有一组向量p 1 ，p 2 ，p 。r ”满足 p j 4 j l ，= 0( ，i ，j = 1 m ) ( 2 4 ) 则称p 。，：，p 。为a 共轭( 或an i 交) 的向量组。通常a 为j 下定矩阵a 、j = f ( 单位阵) 时，共轭性化为通常的i f 交性。所以共轭方向是正交方向的推广。 定理2 1 设驴为刀阶对称正定矩肺，扛) = 妄工一x + 6 x + c ，若p 。，儿，。为 二 任一组口一共轭的非零向量，贝怕j 任意韧始点x i 出发，按下列迭代格式，至多跌代 力次必达到最优点( 称为二次收敛) ： m 定州2 i 可以看找一f ie 口共轭的m 量足p o w e ll 搜索法的芙谜。f 就足得到i 轭1 m 量的具体步骤： 5 心 p l 兄 ， + 一 2 x k “ i i = 饥 + + 扛 上 厂 = 嘶 8基rl c 产品晟优分档的效益协调优化模删及求解研究 设厂( x ) = j i x f + 6 7 x + c ，9 7 = 口 o ，取z 为初始点，令：l = 一v g ) o ， 我们逐步来构造z 2 z3 ，= ”，使z ，z2 ，z ”为q 共轭的。山于 m 。i n f ( x 1 + 2 z 。) = f ( x 啊z 1 ) ， ( 2 ( j ) 令工2 = 工。+ = ，( 2 7 ) 则有 v r ( x 2 y w e l ) = 一可g2 ) 7 z i = 0 ( 2 8 ) 假设v f ( x2 ) 0 ，从一v r ( x2 ) 与z i 所张的f 交锥中，选一个方向z j 使一与z i 为q 共轭。一般地，若一v f ( x 1 0 ，为己知，令 ：“= 一v f ( x 。+ 。) + d 。= ，k = l ，2 ，一， 一1 ( 2 9 ) 确定吼使z “。与矿为印共轭 z “q 2 = 一v f ( x + + 。趋恒+ 口。( z ) 7 o z + = 0 ， ( 2 1 0 ) 所以旷嗡謦扣，扩， 对于这样的吼有( ：“i ) 7 啦= u ， = 1 , 2 ，n 。 定理2 2由上面方法所构造的z l ，z 2 ，z 是一组0 共轭向量，自，g ：，是 一组正交向量。 因此，产生共轭方向的算法如下： 1 ) 取初始点x 。r ”，令k ：= l 2 ) 计算z ：一耵) | ) 线性搜索：m z i n ( z + 止) = 八x + z ) ： a，令口。=噼，t=，：，一，h一，z+l=一v，o+。)+口z 5 ) 若斤= ， 一l ，则停：否则令：= 厅+ 1 转3 ) 。 定理2 3 假设 ( 1 ) 巾) = 圭x i ，+ c 其中= q 。： 第一章集成电路参数成品率“化没计的数学基础 t 2 ) ：z 3 ，z “是口共轭向量组，其中棚sh ( 3 ) 分别从点蕾和m 出发( m 地) ，依次沿z 1 ，z 2 ，z 作直线搜索， 发最后达到的极小点分别为x h u ，：，墩尸= x ? 一，：，则尸与z 1 ，z2 ，z “ 为a 共轭组。 定删2 4 任取两点蜀和丑，设山一垃不平行于方向，分别从丑和托d 发， 沿方向肌刑凸二：次函数进行线性搜索，设所得极小点分别为z ? 和戈：，则石i 和x ：与 岛为口共轭的，即定理2 3 中肝= l 的特殊情形。 定理2 4 说明，由不同起点丑，噩出发，沿同一方向姗进行一维搜索，得极小 点x i ，x ：，由此产生与肌为臼共轭的方向p = x ? 一x ：，p o w e l l 法正是根据这一思 想提出的。 因此，我们第一轮从。出发依次沿n 个坐标轴方向进行线性搜索，即 第一轮：x 1 3 x ：三。，三一- i ，n 3 。“三工，其中：一x r + l _ x i 。 第二轮： 从j ”出发，依次沿p ：，屯，p 。= 。进行线性搜索 即。一- - - 。 ，z - “- ，3 3 ，一三。川三。一其中：，：，c “r 一工r ， l u 于x ”，c “”是从不同的点x ”“，x ”，沿同一方向一进行线性搜索所得， 由定理2 4 知z 。与，为口共轭。 笫互轮：。一3 x 一3 ，”3 3 x o i - i * * 二x 一三x c “，三x - t 当i i i ：= 工”+ r 一一 i lj 于x ”是从1 ；同的点x ”，一”。r ，沿同一方向组z z 2 进行线性搜 索所得，定圳2 3 知z = z ”一x 与z 。，为【) 共轭，i 盈j l k ，一，z 为 q 共轭组。 重复以上过程，逐次去掉原来的一个方l f i j ，井依次在后面增加一个新的方向， 0基下i c 产品虽优分档的效益协调优化模，娌及求解研究 经过，7 轮后，即可得到7 个新的方向：1 ，：2 ，= ”，它们是口共轭向量组。 在上述的迭代过程中，只是逐次将每一轮由起点到终点的方向不加判别地加进 去，则有可能使某个z ：0 ，从而可能使向量组拓1 ，z z ，z ，j 变成线性相关，而刁： 能成为一组基底。 为了克服线性相关性，p o w e l l 在这种方法的基础上，引进一个判别条件。束 判别是否要调换一个搜索方向和调换哪一个方向。 定理2 5 若a = - 。j 为月门阶正定对称矩阵，则d e t a c f 口：2 口。e j l i ： 等号成立的充要条件为a 是对角阵。 定理2 6 假设 ( 1 ) p 是1 7 x l j 阶对称i f 定矩阵； ( 2 ) 向量组z l ，z2 ，z ”线性无关且满足： ( z 1 ) 7 9 z 。= 1 i = 1 , 2 ，n ( 3 ) 矩阵b 由列向量z ，z 2 ，= 7 组成，即b = z i , = 2 ，= ”j ，则当且仅当 扛l ，：2 ，z ” 是q 共轭向量纽州，l d e t b 取得最大值。 替换方向的准则： p o w e l1 法的判别条件就是按照逐步使方程组z ，z 2 ，z ”所构成的行列式的绝 对值j d e t b l ，尽可能变大至达到最大值的想法来建立的。i d e t a l 达到最大时。山 定理2 6 知z 1 ，z2 ，z ”即为窜共轭向量组。 图2 4 给出了l o w e 】1 搜索算法的流程图( 见本章最后页) 。 2 3 均匀设计与均匀设计表纠 所仃的实验 殳汁_ ，j 法水质j ：就是住实验的范删内给出挑选代表点的力+ 法。 “优选法”是单变量的最优洲试法所以使用起来很受限制；“正交实验”的基础 是拉j 力栏沦和群沦，根据1 1 变性准则术挑选代表点使得这些点能昭反映试验 范围内各因素硐i 实验指标问的关系。使用这种方法挑选的代表点有阴个特点：均 匀分敞，整齐可比。“均匀分散”使实验点有代表陛；“整齐可比”便于实验数扣 的分析。为了保证“整齐可比”的特点， 对于某些昂贵的科学试验或繁琐的实验， 正交设i - p 业, 须至少要求做矿次实验。但 实验次数仍嫌太多而无法安排。若要减 第二章集成电路参数成品率优化设计的数学基础 小实验的数目，只有去掉整齐可比的要求。1 9 7 8 年，方开泰和王元教授共旧提出 了均匀设计法。这利，方法就是只考虑实验点在实验范围内均匀散布的一种! 哄验设 计方法。与正交设计相比，均匀设汁表在选用时有较多的灵活性，它适合j 二多因 素多水平实验，实验次数随水平数的增加而增加很小，因而具有“实验次数随水 平增加有连续性”的陛质。下面首先介绍均匀设计表的构造问题 定义2 2 每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有疗行脚列，每。行是 l ，2 ，n ) 的一个置换( 即1 , 2 ，? 的重新排列) ，表的第一行是 l ，2 ，i ) 的一个子 集，但不一定是真子集。 由于符合定义2 2 的均匀设计表数量很多，这里只采用好格子点法( g o o d l a t t i c ep o i n t ) 构造的均匀设计表。其方法如下： a ) 给定实验数力，寻找比门小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为l 。符合 这些条件的正整数组成一个向量h = 伪，h 2 ，h 。) 。 b ) 均匀设计表的第列由式( 2 1 1 ) 生成 ”g = ，+ h j m o d n 】 ( 2 1 1 ) 这目! n 、o dn 表示同余运算。用上述步骤生成的均匀设计表记作u 。，向量h 称为 该表的生成向量有时为强调h 的作用，可将u 。记为u 。给定n ，相应的h 可 以方便的求出，从而t l t 也就确定。所以历是r l 的一个函数，这个函数由大数学家 欧拉研究过，称为欧拉函数，记为e ( 月) 。这个函数告诉我们均匀设计表最多可能 有多少列。 设我们要从均匀设计表中选出s 列，使其相应的均匀设计有最小的偏差。当1 1 1 和s 较大时，由册列中取出s 列的数目可能很大。于是需要有简化计算和近似求 解的方法。这里介绍一种利用整数的同余幂来产生囊。， ：，h i 的办法。 定义2 3 ：若a 为小于门的整数，且满足 q a 2 ( m o d 订) ，口( m o d n ) ( 2 t 2 ) a “( m o d n ) = 1 ，( 2 1 3 ) 则称“对月的次数为t 。一般若a 列n 的次数大于或等于r l ，且，) = i ，则可 用 b o ，“1 ，“1x m o d ，) 作为生成向量，称a 为均匀设计的生成元。 理沦利实践证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性。当 然，给定n 和s ，也可以求出最优的a ，以此a 获得的生成向量，从而获得_ 目应的 均匀设计表也晟优。并且理论证明，将表u 。的最后一行去掉构造的u 。填有更 好的均匀性( 木文就是采取这种方法进行构造的均匀设汁表的) 。文献2 2 给出了 u ( 3 2 的均匀设计表及各个s 值对应最优列。 ! ! 堡! ! 曼兰i i 堡些坌拦堕箜塑塑塑些些堡型墨查竖婴墨一 2 4 本章小结 本章主要从三个方面( 参数成品率中的优化、p o w e l 算法、均匀设计方法) 给出了参数成品率优化设计中的数学基础，为以后章节打下了基础。 笙三童塞堕皇堕叁墼盛曼兰垡些堡生塑塑堂茎壁旦 图2 4p o w e l l 方法流程示意图 4基于i c 产品最优分档的效益协调优化模型及求解研究 第三章集成电路参数成品率的基本模型 集成电路的成品率可分为参数成品率和功能成品率。参数成品率优化方法无论 从理论的成熟性、方法的实用性和研究的深度等方面均领先于功能成品率最优化 方法。自集成电路参数成品率的基本模型建立以来，人们对其各个方面1 3 2 】”i ”i ( 抽 样策略、参数优化提取、参数游动类方法、忍几何逼近类方法、极大极小统计类 最优化方法等) 进行了深入的研究，并取得了显著的成果。尤其是s wd i r e c t o r 和jwb a n d l e 在参数成品率的研究方面取得的成就一直是这些年来研究的基础。 但由于i c 固有的统计特点，加之其特性的非线性、非凸性，多目标和统计相关性 总是使问题变得很复杂。目前一个适j 耳| | 化的决策系统仍然没有建立，总的来说， 近年来参数成品率的研究井无突破性进展，而仅是对八十年代中期出现的算法的 补充和修改。 3 1 参数成品率的中心值设计模型 3 1 1 参数成品率的定义 前面已经指出，参数成品率是指i c 在设计和制造以后，其特性完全满足要求 的芯片数与总芯片数的比率。它反映出在电路功能正确的情况下，电路特性( 电 参数) 的变化情况。以上变化是由i c 制造过程中各种固有随机扰动引起的。 假设i c 制造过程中共有n 个步骤，设c = 妒，c ：，c 。) 7 表示所有控制参数向 量，其c f lc ；表示第步工艺的控制参数，j l ，2 ，j j ；向量l = 也，l ：，l 。) 7 表示 所有版图参数。变量b o ，p ：o ，p lo y 表示每步工艺中的参数f 和 即 p ，o = 0 7 ，l ，) 。i ( 1 ，2 ，” 。由于，代表的是设计标称值，故称f 为中心设计值 ( d e s i g nc e n t e r i n g ) 。由于向量口表示随机扰动变量，这样在实际制造工艺中的 参数p = 0 ，p ：，p 。) 7 也是随机变量。若扰动变量口的最大值为， t = o ，：，。) 7 ，则定义随机变量p 的容差域吩为 第三章集成电路参数成品率的以往模型 吩= 拓f f p ，一p ? f t ，= 1 ，2 ，一，”，j ( ： i ) 若没i u 路性能函数为= i f , ，；，) 7 ，且：r ”一尺。涮于合格的电路， 要求每个电路特性满足的范围为，4 蔓zc f ) ，”，j - 1 , 2 ，式中：。，和，”分 别为第f 个性能指标的上限和下限，则电路性能满足要求的可接受域r 。可定义为 r 。= 妇i ，s ，( p ) ，。，i = 1 , 2 ，, i l l ( 3 2 ) 即当p 圮时，该产品是合格的；否则电路是不合格的。i c 的参数成品率k 为 y a p 。) = 掣x 1 0 0 = 万n 1 0 。 ( 3 i3 ) 式r l ? ，为u 工帆总芯片数，为合格芯片数( 即满足p 咒) ，矿( ) 为区域的体积 n 表示两集合的交集。 容差域b 通常可用p 的联合概率密度0 一p 。) 来表征，庐0 一p 。) 表示随机变 量p 以，为平均值的联合概率密度函数。一股情况下，妒- 一p oj 是很复杂的。为 了分析方f 更，常常把b p oj 近似为一些特殊的概率分布函数如正态分布函数 和对数正态分布函数等。这样由参数成品率的定义可得 y ，( p 。) = 只扫r 。) j - + l ( p p 。) 和咖：咖。 ( 3 4 ) 3 1 2 参数成品率的求解 式( ： 4 ) 为多元函数积分，用解析方法直接得到其解几乎是不可能的，必须 采用数值二r 解的方法。对式( 3 4 ) 的求解可以采用m o n t e - c a r l o 统计性求解方法 ( m e 方法) ，电w 采用对圯进行j b , f i r 逼近的确定性方法。在这两种求解方法t 1 1 ，m c 方法不管届的形状如何，甚至对非连通区域也能求e ( 矿) ，而且该方法不受矿向 量维数的艇制。但这种方法明显的缺点是计算量太大。确定性的几何逼近疗法利 川函数逍近区域圮纳思想，具有一定的几十f 特征它以数学最优化方法为堪础， 理论严谨，汁掉量明显小于m c 方法。但是，其汁算精度受尼形态的影响，时计 算景与，的维数紧密十关( 所谓维数灾难) 。确定性方法目前的研究主要足通过采 用有效地近近策略克服上述缺点，或采用统计和确定性相结合的混合力法拒计算 时间、计算维数和设计精度之间的折衷。 3 1 3参数成品率估计中的策略和技巧 4基于i c 产品最优分档的效益协调优化模型及求解研究 第三章集成电路参数成品率的基本模型 集成电路的成品率可分为参数成品率和功能成品率。参数成品率优化方法无论 从理论的成熟性、方法的实用性和研究的深度等方面均领先于功能成品率最优化 方法。自集成电路参数成品率的基本模型建立以来，人们对其各个方面1 3 2 】”i ”i ( 抽 样策略、参数优化提取、参数游动类方法、忍几何逼近类方法、极大极小统计类 最优化方法等) 进行了深入的研究，并取得了显著的成果。尤其是s wd i r e c t o r 和jwb a n d l e 在参数成品率的研究方面取得的成就一直是这些年来研究的基础。 但由于i c 固有的统计特点，加之其特性的非线性、非凸性，多目标和统计相关性 总是使问题变得很复杂。目前一个适j 耳| | 化的决策系统仍然没有建立，总的来说， 近年来参数成品率的研究井无突破性进展，而仅是对八十年代中期出现的算法的 补充和修改。 3 1 参数成品率的中心值设计模型 3 1 1 参数成品率的定义 前面已经指出，参数成品率是指i c 在设计和制造以后，其特性完全满足要求 的芯片数与总芯片数的比率。它反映出在电路功能正确的情况下，电路特性( 电 参数) 的变化情况。以上变化是由i c 制造过程中各种固有随机扰动引起的。 假设i c 制造过程中共有n 个步骤，设c = 妒，c ：，c 。) 7 表示所有控制参数向 量，其c f lc ；表示第步工艺的控制参数，j l ，2 ，j j ；向量l = 也，l ：，l 。) 7 表示 所有版图参数。变量b o ，p ：o ，p lo y 表示每步工艺中的参数f 和 即 p ，o = 0 7 ，l ，) 。i ( 1 ，2 ，” 。由于，代表的是设计标称值，故称f 为中心设计值 ( d e s i g nc e n t e r i n g ) 。由于向量口表示随机扰动变量，这样在实际制造工艺中的 参数p = 0 ，p ：，p 。) 7 也是随机变量。若扰动变量口的最大值为， t = o ，：，。) 7 ，则定义随机变量p 的容差域吩为 第三章集成电路参数成品率的以往模型 吩= 拓f f p ，一p ? f t ，= 1 ，2 ，一，”，j ( ： i ) 若没i u 路性能函数为= i f , ，；，) 7 ，且：r ”一尺。涮于合格的电路， 要求每个电路特性满足的范围为，4 蔓zc f ) ，”，j - 1 , 2 ，式中：。，和，”分 别为第f 个性能指标的上限和下限，则电路性能满足要求的可接受域r 。可定义为 r 。= 妇i ，s ，( p ) ，。，i = 1 , 2 ，, i l l ( 3 2 ) 即当p 圮时，该产品是合格的；否则电路是不合格的。i c 的参数成品率k 为 y a p 。) = 掣x 1 0 0 = 万n 1 0 。 ( 3 i3 ) 式r l ? ，为u 工帆总芯片数，为合格芯片数( 即满足p 咒) ，矿( ) 为区域的体积 n 表示两集合的交集。 容差域b 通常可用p 的联合概率密度0 一p 。) 来表征，庐0 一p 。) 表示随机变 量p 以，为平均值的联合概率密度函数。一股情况下，妒- 一p oj 是很复杂的。为 了分析方f 更，常常把b p oj 近似为一些特殊的概率分布函数如正态分布函数 和对数正态分布函数等。这样由参数成品率的定义可得 y ，( p 。) = 只扫r 。) j - + l ( p p 。) 和咖：咖。 ( 3 4 ) 3 1 2 参数成品率的求解 式( ： 4 ) 为多元函数积分，用解析方法直接得到其解几乎是不可能的，必须 采用数值二r 解的方法。对式( 3 4 ) 的求解可以采用m o n t e - c a r l o 统计性求解方法 ( m e 方法) ，电w 采用对圯进行j b , f i r 逼近的确定性方法。在这两种求解方法t 1 1 ，m c 方法不管届的形状如何，甚至对非连通区域也能求e ( 矿) ，而且该方法不受矿向 量维数的艇制。但这种方法明显的缺点是计算量太大。确定性的几何逼近疗法利 川函数逍近区域圮纳思想，具有一定的几十f 特征它以数学最优化方法为堪础， 理论严谨，汁掉量明显小于m c 方法。但是，其汁算精度受尼形态的影响，时计 算景与，的维数紧密十关( 所谓维数灾难) 。确定性方法目前的研究主要足通过采 用有效地近近策略克服上述缺点，或采用统计和确定性相结合的混合力法拒计算 时间、计算维数和设计精度之间的折衷。 3 1 3参数成品率估计中的策略和技巧 基rl c 产镐展优分档的议笳协调优化模刑及求解研究 为了克服m c 方法计算量大的缺点，在对参数成品率进行估计时，必须采用一 些策略和技巧。例如，在m c 方法的统计分析中，采用了重要性抽样( i m p o r t a i - t s a m p i i n g ) 方法、重心游动方法和随机游动方法等。这些方法不仅提高了成品率估 计的精度，i 司时也在成品率优化过程中大大减少了成品率统计次数。参数成品率 模拟精度除了与参数成品率的计算方法有关外，很大程度上取决于参数统计分市 规律的捕述以及统计规律中备种特征参数的精度。尤其在集成电路中多数元；菩 件是在n 日一工艺环境和条