（光学专业论文）强激光的调制不稳定性理论研究.pdf

摘要 自聚焦是非线性光学中的一个基本物理闯题，自非线性光学诞生以来它一直是一个 热门课题。在用于惯性约束核聚变( i c f ) 的高功率固体激光驱动器中，自聚焦是使光束 质量变坏和限制输出功率的主要因素，正如美国劳仑斯利弗莫尔国家实验室( l l n l ) 的报告所述，自聚焦，特别是小尺度自聚焦，是聚变激光器总体设计、工程研制和安全 运行的重要问题。所以，研究自聚焦无论在理论上还是实际应用上都具有十分重要的意 义。现在本文全文分三部分，第一章为概述，第二、三章介绍我硕士期间所作的工作，第 四章是总结 第一章：前言，介绍了调制不稳定性研究的意义和进展。 第二章：讨论光束传输的自聚焦。早期的自聚焦研究是在考虑了傍轴近似和标量场 近似的前提下得到的在该理论应用于空间二维的自聚焦时，出现了光束将无限聚焦的 结果，这在物理上是不可想像的，原因是在自聚焦点附近傍轴方程已经失效了。因此， 当光束十分细小时( 如等于或小于波长时) ，需要使用修正的公式。由m a x w e l l 出发，通 过量级分析的方法得到非傍轴和矢量的修正的传输方程。结果表明非傍轴和矢量效应都 改变了自聚焦的强度和模式，而矢量效应的影响更强。同时与极化方向平行的新的增益 模式有可能出现并可以在波长的尺度上产生自聚焦，文章讨论了这种可能性。 第三章：超短脉冲的时空不稳定性是衍射、群速度色散和自相位调制三者之间的相 互作用导致的本文采用了b r a b e c 提出的超短脉冲传输模型，脉冲光束的时空的自聚焦 行为变得十分复杂，不但原来的增益区间缩小了，而且在反常色散介质中会出现一个新 的增益区间。对于超短脉冲而言，介质的响应也不能看做瞬时的，如果考虑拉曼效应产 生的响应的延迟，会产生一对增益边带，其位置和大小由响应时间决定。自陡蛸效应使 斯托克斯和反斯托克斯光的增益大小不一样。 第四章：结束语，总结全文的工作。 关键词：调制不稳定行，时空不稳定性，自聚焦，小尺度自聚焦，超短脉冲 i v a b s t r a c t s e l f - f o c u s i n gi so n e o ft h ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si nn o n h n e a r0 p t i c s i th a sa l w a y s b e e nah o tt o p i cs i n c et h en a i s s a n c eo fn o n l i n e a ro p t i c s i nh i g h - p o w e rs o l i d - s t a t el a s e r s ， s e l f - f o c u s i n gi s t h em a j o rf a c t o rf o rd e g r a d a t i o no fl a s e rb e a ma n dl i m i t st h em a x i m u m i n s e rd o w e ra v a i l a b l e a ss t a t e di nl o w r e n c el i v e r m o r en a t i o n a ll a b o r a t o r y ( l l n l ) r e p o r t s ，s e l f - f o c u s i n g ，e s p e c i a l ys m a l l - s c a l es e i f - f o c u s i n g ，h a sa l w a y sb e e nas i g n i f i c a n t p r o b l e m i nt h et o t a ld e s i g n ，e n g i n e e r i n gd e v e l o p m e n t ，a n ds a f eo p e r a t i o no ff u s i o nl a s e r s t h e r e f o r e ，s e l f - f o c u s i n gi s o fv e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e ，b o t ht h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l y t h ep a p e ri sc o m p o s e d o f4c h a p t e r s ：c h a p t e r1i sas u r v e y ，c h a p t e r2 , 3i n t r o d u c e d m yp a r t i n gw o r ki nt h eg r a d u a t ec a r e e r i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h em e a n i n ga n dt h eh i s t o r yo ft h es t u d ya b o u tm o d u l a - t i o ni n s t a b i l i t y i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h eo p t i c ss e l f - f o c u s i n gi nb e a mp r o p a g a t i o n t h ee a r l y r e s e a r c hw a sb a s e do nt h es c a l a ra p p r o x i m a t i o na n dp a r a x i a la p p r o x i m a t i o n t od e a l w i t ht h ec a s eo f2d i m e n s i o ns p a t i a ls e l f - f o c u s i n g ：i tp r e d i c t st h ec a t a s t r o p h i cc o l l a p s eo f as e l f - f o c u s i n gb e a mi nak e r rm e d i u m t h i sn i l p h y s i c a lc o l l a p s ei sd u et ot h ei n v a l i d i t y o ft h ep a r a x i a lw a v ee q u a t i o ni nt h en e i g h b o r h o o do fas e l f - f o c u sw h e nt h eb e a mi s t h i ne n o u g ht h a tt h ew i d t hc a nb ec o m p a r e dw i t ht h ew a v e l e n g t h ，w em u s tc o n s i d e rt h e v e c t o r i a la n dn o n p a r a x i a le f f e c t s t h ec o n c l u s i o ni st h a tt h ev e c t o r i a le f f e c ti n f l u e n c e s m o r eo nt h es m a l l - s c a l es e l f - f o c u s i n gt h a nt h en o n p a r a x i a ie f f e c t an e wg r o w i n gm o d e e x i s t i n gw h e n t h em o d u l a t i o no nt h ed i r e c t i o no fp o l a r i z a t i o ni sd i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r3 ，s p a t i o t e m p o r a li n s t a b i h t yo fu l t r a s h o r tp u l s e sr e s u l t sf r o mt h ei n t e r p l a y a m o n gd i f f r a c t i o n ，g r o u p v e l o c i t yd i s p e r s i n sa n dn o n l i n e a r i t y w e u s et h em o d e l p r o p o s e d b yb r e b e ce ta 1 ，f o ru l t r a s h o r tp u l s e db e a mp r o p a g a t i o n ，t os t u d yt h es p a t i o t e m p o r a l i n s t a b i h t y c o n s i d e rt h et i m ed e l a y e dr e s p o n s e ，an e wi n s t a b i l i t yr e g i o na p p e a r e s t h e p o s i t i o no ft h i sr e g i o na n d t h em a g n i t u d eo ft h eg a i nd e p e n do nt h ec h a r a c t e r i s t i cr a m a n r e s p o n s et i m e s e l f - s t e e p e ni n f l u e n c et h eg a i no fs t o c k sa n da n t i - s t o k e sl i g h tt od i f f e r e n t e x t e n t v i nc h a p t e r4 ，w es u m m e r i n gt h ec o n t e n t so ft h ep a p e r k e y w o r d s ：m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y , s p a t i o t e m p o r 蛆i n s t a b i l i t y , s e l f - f o c u s i n g ，s m a l l s c a l e s e l f - f o c u s i n g ，u l t r a s h o r tp u l s e v i 致谢 在即将完成我的硕士学业之际，搭 露衷心感谢每一位关心和帮助过我的师长、朋发、 同学，没有他们的帮助，我是不可能如此顺利地完成学业的。 衷心感谢我的导师胡巍教授，我的繇一点进步都凝结着他的汗水和心血。感谢他三 年来在学习和工作悉一5 - 的教导，感谢他谯嫩活中所给予的关怀和勉励。更感谢他对我的 搬译和指正。胡老师严谨的治学态度，率鬻的理论基础帮识，废寝忘食的工傺糟章审，是 我永远的学习磅襻。 衷心感落黉渡薄老嚣秘马楚肇爱凝农垒涎纛工侉孛夔关，玉霸支持，夔襄j 夔我麓安。 麴接好学习稻工侮，可疆说，我麓够敬褥今天静或绫，毒馥翻戆一份功劳+ 感滋我的亲密合箨伏伴扬振军鞠辩大垒，感谢他们真诚的合作和友谊，遗一切使我 常常在最困难的时候得到最大的安憋和鼓励 感谢实验室的所有老师和同学一趣创造了这样融洽的气氛，使我能够自由她、心无 努鹜地工作和学习。 本文受到国家自然科学基金项目( n o 6 0 2 7 8 0 1 3 ) 、教育部霍英东教育基众会( n o 8 1 0 5 8 ) ，广东省自然科学基金团队璜目( n o 2 0 0 0 3 0 6 1 ) 、国家高技术研究发展计划专项 缀费的资助。 第一章绪论 自聚焦是非线性光学中的一个基本物理问题k 2 ，它是与光束横向分布紧密相关的波 的非线性传播的典型代表。尽管它只是非线性传播问题之一，但许多意想不到而又非常 有趣的现象都与它有关或由它引起。产生自聚焦问题看似简单，但要用解析方法严格求 解它非常困难，至今没有得到满意的结果，所以在解析处理时必须使用合适的近似方法 数值方法也许是严格求解自聚焦问题的重要途径自聚焦问题在求解时需将由理论和实 验相结合所取得的进展拼起来。自聚焦又是许多实际工作中的重大问题之一。它常常是 固体材料光学破坏的重要因索之一。在用于惯性约束核聚变( c f ) 的高功率固体激光驱 动器中它是使光束质量变坏和限制输出功率的主要匿素。自聚焦理论研究的主要应用之 一就是如何在实际工作中抑制或补偿自聚焦。 在高功率的激光器运行中，激光的功率远远超过自聚焦的临界功率，光强的微小的 起伏都会带来使光束的质量变坏，同时可能对介质造成破坏。早期的理论由于考虑了过 多的近似，在实际的应用中显得有些粗糙。我们需要更精确的模型以指导对自聚焦的控 制。本文的目的就是讨论在这种功率超强，脉冲极短的情况下的自聚焦现象。 本章简要地阐述自聚焦的基本概念的发展，并介绍几种常用的理论模型和基本理论。 1 1自聚焦研究的历史 自从1 9 6 0 年激光器的发明后，由于其一系列与普通光源不同的特性，产生了许多新 兴的学科，其中最引人注目且影响深远的是非线性光学。1 9 6 1 年二次谐波的发现标志着 非线性光学的诞生3 ，自聚焦作为一种基本的非线性过程被研究，其历史几乎和非线性光 学的历史一样长5 一。在许多的物理系统中都存在自聚焦现象，如光在等离子体中的自聚 焦7 、物质波成丝8 、b e c 中的自聚焦9 等。这里我们主要讨论k e r r 型非线性介质中的 自聚焦。 强激光在介质中传输时，光场导致介质的折射率发生变化，这种变化反过来又影响 激光的空间分布、脉冲形状、频谱以至偏振状态。对于光束来说，自聚焦是指光束的空 间分布的变化。非线性的聚焦效应与光束的衍射效应相互作用，当光束的功率超过临界 功率时，光束会聚焦，在聚焦过程中聚焦效应始终超过衍射效应，光束一直聚焦到产生 其它的非线性效应抵消聚焦的作用，这时聚焦停止它可以分为整体自聚焦和小尺度自 第1 章绪论 焦。整体自聚焦是指光束整体的光强分布诱导的聚焦行为。其结果是光束的宽度被压 蕾直到形成一根细丝。小尺度自聚焦是光束局部的强度起伏或相位的调制导致光束局部 能量被聚焦形成许多的细丝。对脉冲来说，在时间上的聚焦导致脉冲的压缩、分裂以 t 形成孤子 历史上曾先后提出三个自聚焦模型：自陷模型”、运动焦点模型1 1 和动态陷落模 酚6 b a s p a l o v 和t a l a n o v 建立了小尺度自聚焦理论“，解释了光束多路成丝问题。 1 2 非线性传输的基本理论 三攀0 b ，+ 警， ， iv b = o ) e 中d 2 e o n 0 2 e + p n l 包括了线性和非线性的极化强度。由此可以得到广义的非线性波 v 2 e 一壶豢+ 去vc v 峨小p 。壶警：。 ( 1 z ) ( m 塑4 嘉端啪e ； ( 1 3 ) 冲x 3 是三阶非线性极化率光在非线性介质中的传输可以用方程( 12 ) 严格描述。 提由于直接解方程( 1 - 2 ) 是十分困难的，我们常常作一些符合实际的假设，使方程得以 i 化： ( 1 ) 假设入射光束是在。方向极化的线偏振光，并沿：轴正方向传输，且在2 ：0 时 ；偏振态保持不变。则e = e 毛，p n l = 2 e 。竹。n 2 i e l 2 e ，其中伽是介质的线性极化 ：，n 2 = 3 x 鐾。( 8 e o ) 。 ( 2 ) 作标量近似，略去方程中( 1 2 ) 的v ( v p n l ) 一项，这时波动方程可以分成三 9 箜! 里鱼堡 一 个独立的标量方程。 f 3 ) 准单色近似：将光场分解成快变部分( 载波振荡) 和慢变部分( 脉冲包络) ，即 e ( r ，z ，t ) ：a ( r ，z ，t ) e x p ( i 3 0 。一i w o t ) + c c z f 1 4 ) 式中r = z 缸+ g 毛，u o 是脉冲的中心频率，肺= n o ( u o ) 岫c 是在介质中的传播常数。 ( 4 ) 傍轴近似：一般情况下，光场的包络是z 的慢变函数，满足条件1 0 2 a o z 2 i 1 0 a o zj ，从而可以忽略关于z 的二阶导。 在上述近似下，同时引进运动坐标z 7 = 2 ，t 7 ：t z v 。，其中v 9 = d w d k 是群 速度。在不会引起误会的情况下，我们可以去掉变量中的一撇。波动方程于是变为 瓦o a 一去v i a + i 譬繁一溉靴2 4 扎 ( 1 s ) 其中审王= 0 2 0 2 2 + a 2 o y 2 是横向l a p l a c e 算符。岛= ( d 2 z d u 2 ) 。是介质的群速度色 散( 正的表示正常色散，负的表示反常色散) ，其中卢= n o ) u c 。方程( 1 5 ) 的第二、 三、四项分别表示衍射、色散和非线性效应。如果讨论的是光束的自聚焦问题，可以忽略 群速度色散项，方程( 1 5 ) 继续简化为标准的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程( n l s e ) 瓦o a j ! ；。v l a - i 岛薏川2 a _ o ( 1 6 ) 如果研究光纤中的脉冲的传输，将横向的空间部分和纵向的时间部分分离变量，我们可 以甩下式来研究脉冲的变化 瓦o a + i 鱼2 塑0 t 2 一酶靴址。 ( 1 7 ) 跳一“n 一 一”。7 1 2 2 自相位调制 光束自聚焦的原因在于非线性导致介质折射率的变化，使光束产生附加相移。首先 我们来考虑非线性效应对光波传输的影响。忽略衍射和色散效应，由方程( 1 5 ) 得到一个 平面波解 a ( r ，t ，z ) ；a ( r ，t ，0 ) e x p i c n l ( r ，z ，t ) l ， ( 1 8 ) 其中 。，t ) = 岛亲，o ) 1 2 z ( 1 9 ) 3 第1 章绪论 是非线性导致的相移这种相移与光强成正比，与时间有关。所以脉冲中心的频率和脉 冲边缘的频率是不同的，其相对u 2 0 的频率移动为 叫t ) = 一警= 珈罴掣 ( 1 1 0 ) 式中的负号源于在( 1 4 ) 中取e - i w ”。频移对时间的依赖关系被称为频率啁嗽，并且随传 输距离z 的增加而增加。对于高斯脉冲来说，其前沿频率红移，后沿频率蓝移。啁啾的 大小和脉冲的陡峭程度有关。在脉冲传播的过程中，新的频率不断产生，使脉冲的频谱 不断展宽。对于较强的超短脉冲，可能会引起其它的非线性过程，如受激拉曼效应和四 波混频，脉冲的频谱将会极大地展宽，形成超连续谱。 在光束的横向点r 处波矢的横向分量为 k 1 ( r ，。) = v l 毋n l ( r ，。) = z o 扎n 。2 v 1 i a ( r ，o ) 1 2 z ， 这种变化可以看作空间啁啾。对于圜对称光束，波矢与z 轴的夹角为 盼，护删n ( 筹笔掣。) f l1 2 1 如果n 。 o ，且光强是沿光束中心向边缘衰减的，则0 2 1 r 时，光束将会产生自聚焦。由z = l 出，垂j v l = 2 ，可以定义临 界功率f 0 = c 6 0 ) 、2 ( 4 n 2 ) ，当光束的输入功率大于临界功率乓时，光束产生自聚焦。 1 2 3 小尺度自聚焦理论 在高功率固体激光器中，光束的功率远远高于自聚焦临界功率，通常是自聚焦临界 功率的1 0 5 倍以上。在这种情形下，更容易发生的是小尺度自聚焦。一个实际光束的光强 分布不可能是完全均匀和光滑的，总是或多或少地带有无规则调制或起伏，这些调制或 起伏往往在光束总体发生自聚焦之前早就使光束发生局部的自聚焦，并造成光束分裂、 传输介质的丝状破坏、光谱超加宽等。b e s p a b o v 和t a n a v o v “最早从理论上解析了小尺 度自聚焦现象 对于方程( 1 6 ) ，我们能得到一个平面波解 a ( x ，y ，z ) = a o e x p ( i b )( 11 3 ) 其中b = j o n 。2i a o l 2 。= b z ，称为b 积分，是非线性折射率部分在传输中引起的相位延 oo u 迟。 4 第1 章绪论 由于光学材料的不均匀行、元件加工精度以及实验室环境等，即使光束最初是均匀 的，在传输过程中也会产生空间的噪声。光束传输过程中的噪声可以分为两大类，即强 度噪声和相位噪声。强度噪声主要来源于光学表明的污迹、损伤的元件、衍射条纹和空 气的中的灰尘等强度噪声是可见的，对非线性折射率有直接的贡献，是小尺度自聚焦 的直接诱因。相位噪声的来源更广泛，如光学表面的起伏、材料的密度起伏和空气的扰 动等。相位噪声是不可见的，对非线性折射率没有有直接的贡献，但相位噪声可以通过 传输过程转换为强度噪声，同样是必须重视的。 根据标准的线性化的方法“，假设在平面波本底上叠加上一个很小的空间噪声，如 a ( x ，y ，。) = a o 1 + a ( z ：y ，z ) e x p ( i b ) ，l a l 1( 1 1 4 ) 由于本底光场十分强，尽管局部光场的起伏十分小，但是仍然远远超过自聚焦的临界功 率，所以会在局部产生自聚焦。将( 1 1 4 ) 代入( 1 6 ) ，并忽略a 的2 阶以上的高阶小量， 可以得到一个线性的方程 塞= 去v n 呱n “) ( 1 1 5 ) 此方程可以用f o u r i e r 变换求解。设n 具有特定的空间频率q ，空间噪声可以分解为实 部和虚部：a = u c o s ( q r ) + i vs i n ( q r ) 。将其代入( 1 1 5 ) 式中可以证明“和u 都满足 同样的方程 是= o ( 2 b 一口) ( 1 1 6 ) 。2 其中p = 去。该方程在2 b 一日 0 时，和。的解在传输中都会出现指数增长，使光束出现不稳定。这 种不稳定性是由n l s 方程的内在属性决定的，是产生小尺度自聚焦的根源。满足口 2 b 的条件时，小尺度自聚焦会产生。能量增益系数为 g = 2 v ；- ( 2 b - o ) f 11 7 ) 由0 = 2 b 可以确定截止频率为程= 4 b f l o 。在此频率之上的空间噪声只是随着传输距离 的增加而振荡，而低频区的增益趋近于0 。在口= 6 时，有最大的增益系数9 = 2 b 。对 应的空间频率口。= 2 b f l o 。造成成丝的主要是。附近频率的空间噪声调制。 调制的空间噪声的非线性增长取决于功率增益系数g ，最大增益系数为g = 2 b ，其 对应一个最快的增长频率q m ，一般的调制场在介质中传输距离l 后最大的增长的幅度 5 第1 章绪论 为 f 产 口( l ) = n ( o ) e x pl ( z ) d zi = a ( 0 ) e x p ( b ) ( 1 ，1 8 ) l j ej 式中的积分反映了产生自聚焦的危险性的大小，被称为破坏积分( b r e a k u p - i n t e g r a l ) ，简 称b 积分。实际上由于传输过程中本底功率的减小和其它模式的竞争，达不到这么大的 增长。但为了保险，在选则激光器的设计参数时，应该留有余地。 b 积分具有双重意义，首先它是本底光场传输过程中的非线性相移，其决定了光束 波前的畸变的程度；其次它是最快增长的调制频率的增益，反映了小尺度自聚焦的程度。 因此，b 积分的值可以衡量系统非线性效应的严重程度。 1 2 4 抑制小尺度自聚焦的有关方法 根据前面的讨论，小尺度自聚焦的根源是背景光的起伏，所以提高光束质量是抑制 小尺度自聚焦的主要手段。 采用空间滤波器是高功率激光系统中抑制小尺度自聚焦最有力的主动性措施之一w ， 通过在f o u r i e r 面上用针孔滤除光束中的高频分量，降低光束的不均匀性，通过调整滤波 小孔的大小来控制通过的频率成份。在总体设计时只要控制好相邻两个滤波器之间的b 积分值，就可以有效地抑制小尺度自聚焦的增长。一般我们取b 2 。 其次是提高光学材料的均匀性和降低非线性折射率。目前折射率的不均匀性已经降 低到1 0 “量级；磷酸盐钕玻璃的非线性折射率已降到1 0 “3 量级。 再次要提高光学加工的精度。所有光学平面谔加工精度都要达到十分之一波长的平 度， 减小光学元件边缘的衍射效应也是抑制小尺度自聚焦的主要手段。 小尺度自聚焦通常被认为是因为本底光场不干净而导致。因此，一个实际系统能够 获得的最大输出光强取决于能将光束波前起伏降低到何种程度。对于极端干净的光束是 否就不会出现小尺度成丝呢? 1 9 9 7 年和1 9 9 9 年，b o y d 2 7 ，2 8 等人证明光场的量子力学 起伏也能导致光束成丝，因此成丝是非线性介质中传输光束的一个基本过程。不管光束 波前用经典眼光看是多么规则，成丝过程总能出现。从这个意义上说，量子力学起伏导 致的光束成丝决定了系统能够达到的输出光强的上限。 6 第二章非傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 关于自聚焦的研究从非线性光学诞生的时期就开始了，早期的自聚焦理论基于标量 近似和傍轴近似下的n l s 方程。k e l l e y 4 基于该方程的数值模拟预测了光束的自聚焦使 光能量在有限的距离内将会聚焦到一个点内，这个点是如此之小，以至点内的能量密度几 乎是无穷大的。这种奇点在物理上是不可想像的。因此，该方程在描述一般光束的自聚 焦只是部分成功的，但是该自聚焦过程在光束被聚焦到自聚焦点附近时，由于光束极其 细小，非线性s c h r s d i n g e r 将不再适用”。f e i t 等人在1 9 8 8 年通过数值计算证明了采用 非傍轴的传输方程可以消除这种光束的崩溃，抑制自聚焦”。之后许多人研究了非傍轴 光束的自聚焦”，”，”。当光束极其细小到和波长一个数量级时，非傍轴效应固然不能忽 略，电场的标量近似也不能很好地满足。在郭旗1 9 9 5 年的工作2 0 中指出非傍轴效应和矢 量效应具有相同的数量级。c r o s i g n a n i 用耦合模理论得到了一个描述矢量和非傍轴光束 传输的方程”。后来f i b i c h 指出矢量效应本身的空间不对称性可以使光滑的光束分裂成 丝，提出了b t 理论之外的可能产生小尺度自聚焦的机理篮。本章首先从m a x w e l l 方程 出发，导出含非傍轴和矢量修正的传输方程，然后用线性化的方法分析非傍轴和矢量效 应对小尺度自聚焦的影响。 2 1 非傍轴矢量的传输方程 2 1 1 标量近似下的量级分析 首先我们来分析在标量和傍轴近似下各物理效应之间的量级关系。 时，我们用标准的n l s 方程( 1 6 ) i 瓦o a + 磊1 v j _ a + ，y l a i l 2 a = 。， 1 否j + 乏磊v i 十，y l a a 。u ， 其中口o = n o 。o c ，7 = 肺n 2 n o 。 在描述光束传输 ( 2 1 ) v t a 一况a a w ，v a a w 2 ， ( 2 2 a ) 上式中各量的数量级近似为，其中w 是光束的束宽。由于傍轴光束的自聚焦过程是光束 的衍射效应和非线性的自相位调制相互作用的结果，因此在方程( 2 1 ) 中等号左边的三项 7 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 作用是相等的，它们在数量上有相同的量级。因此应该有 见a a l ( k o 2 ) = , z a w 黜2 一耵1 ， ( 22 b ) 其中口= i ( k o w ) = a ( 2 m u ) 1 。甚至当光束宽度聚焦到u z a ，o 的大小也只有大 约o 1 6 左右。口的大小反映了非傍轴的大小。 2 1 2 矢量和非傍轴修正 从方程( 1 2 ) 出发，对于纯光束，可以假设光场的包络和时间无关，只和空间的坐标 有关。采用单色波近似 e ( r ，z ，t ) = ；a ( r ：2 ) e x p ( i f l o z i u o t ) + c c ，( 2 3 ) 将其代入( 1 2 ) 可以得到 v 主a + 面0 2a + 2 i 阮瓦0a + 去v ( v - p n l ) + 蕞 e x p ( 邓- o ( 2 a ) a 关于。的二阶导和v p n l 项分别表示方程的非傍轴修正和矢量修正。将式( 2 3 ) 代 入m a x w e l l 方程( 1 1 ) 中关于电位移矢量d 散度的方程变为 ( v - a ，+ i 口0 也+ 叠唧( i m + 去v p c _ 0 1 ( 25 ) 其中a t 表示a 的横向分量因为考虑到非傍轴和矢量的作用十分小，我们可以假定在方 程( 2 , 5 ) 中a 的各个分量在数量级上都仍然满足( 2 2 ) 式。假设a 在入射时是。方向的 偏振波，我们可以证明( v p n l n 8 c o ) ( , 8 0 a 。) v 口2 ，而v i a r ( f l o a ：) 一1 。由方程 ( 2 5 ) 可以得到 屯。京v 上a t 1 + o ( 口2 ) 】， ( 2 6 ) o ( 0 2 ) 表示上式中忽略的两项是a 的二阶的小量。因此a ：a t 一仃，同时a 。a t 0 2 。 这表明a 的偏振方向主要是沿z 方向，由于非线性的耦和作用，会产生y ，z 方向的 分量，其中2 方向的分量是一阶小量，而y 方向的分量是二阶小量可以得到非线性极 化p l 的z 分量为 ( ) 。= 2 c o h o r t 2 戗p ( i 刚( 阳。+ 孔 2 a x + j 1 他1 2 群) 1 + d ( 盯4 ” ( 2 7 ) 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度白聚焦 应用a ；= ( i 岛) o a 。o x ，并将非线性极化( 2 ，7 ) 代入( 2 4 ) 式中，保留到口2 量级的项， 得到修正的n l s 方程 i 警+ 去v 主也刊a x l 2 a x = 一去警一磊l 嘉( 阳。) + 。21 0 阮a a ：1 2 也一；( 娑舟纠 ( 2 8 ) 与标准的n l s 方程比较，我们可以确定在方程( 2 8 ) 中等号的左边全部是相同的量级。 等号右边的项都是左边的o - 2 的量级，其第一项为非傍轴项，第二项来源于v p l 的 贡献。为了方便讨论，我们采用光束宽度w 和衍射特征长度z = 岛”2 来归一化横向坐 标( z ，y ) 和纵向坐标2 ，并定义归一化的振幅“满足 盯n = n 2 n o a 。( 2 9 ) 则司以得到归一化的描述矢量和非傍轴的光束传输的方程 i 笔审1 2 一扩1 丽0 2 u 陋砰卅3 2 0 u2 一p l a 吣x ) 2 “- 卜1 0 ) 从上式中可以更清楚地看出等号右边的修正的量级是矿的量级。当光束比较宽时，o 1 ，这时非傍轴和矢量效应对光束传输的影响十分小，可以忽略不计，于是上式可以写为 i 笔+ ；v i u 仆同= o ( 2 1 1 ) 这就是标准n l s 方程( 1 6 ) 的归一化。 2 。2 小尺度自聚焦分析 已经有的建立于矢量模型上的聚焦分析主要是关于整体自聚焦，很明显方程( 2 1 0 ) 有 一个稳定的平面波解“= u o e x p ( i p z ) ，其中t o 是平面波解的振幅，p = 2 u ；( 、压五石i i 葺1 1 ) 。假设入射光是一个包含了空间噪声微小扰动的平面波， “= 【1 + a ( x ，y ，。) “oe x p ( i p z ) ( 2 1 2 ) 其中这个噪声的幅度远远小于背景光n 1 将方程( 2 。1 2 ) 代入到( 2 1 0 ) 并对其进行线 性化处理，可以得到噪声的演化方程 1 、百j 面。+ 互1l v 2n + a 2 箧n ) + ( a - i - a * ) “：= 一。( 罐n + + 2 磋n ) 。3 ( 2 1 3 ) 9 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 假设噪声具有空间频谱k ，其形式一般可以表示为口= a l e 业+ 口；e 。k ，这是一对沿z 方向传输的空间角谱分量，a - 和a 2 是这两个角谱的大小。将n 的表示代入( 21 3 ) 式中 并分离开两个不同方向的角谱分量，我们得到了一对包含。l 和n 2 的类似的方程。我们 可以解这个方程组，而这个方程组有非零解的条件是必须满足以下的色散关系： o a k ：+ ( 2 a 2 i + 8 a 2 ：女：一1 2 a 2 u j 一4 ) ：+ i 一4 u 5 王+ 8 a 2 u ：k ：( i 一“j ) ：0 ( 21 4 ) 其中女i = k ：+ k ；是角谱的横向分量。由波面的横向起伏k 。、k ，可以解出其纵向的起 伏k ：。假设k ：是复数，若其虚部不为零，那么稳定的平面波解会变得不稳定。噪声的 幅度将成指数增长，其能量的增益系数为g = 2 i m ( k ：) 。通过如下代换 霹= ：4 t t 乐磁= 磅4 u 系g = 9 2 u j ，d = 一2 n 乐 ( 2 1 5 ) 可以得到归一化的增益系数 g 幽 雩( 懈埘2 磋一伛) 坍一 其中 = ( 1 + 3 6 ) 2 4 5 ( 1 + 2 6 ) k 王一8 6 ( 2 6 + 5 5 2 ) 琏+ 1 6 5 4 j e 4 在这里参数6 = n 2 l n o 是非线性折射率和线性折射率的比。如果矢量效应不予考虑，那 么方程( 2 1 0 ) 中等号右边的第二项可以忽略掉，于是得到标量非傍轴时的增益为 g 地 v 侄( 1 + 3 5 - 2 6 砰一目m 卜 协 其中 = ( 1 + 3 6 ) 2 4 5 ( i + 2 6 ) k i 当光束很宽时，口一0 ，即6 0 ，得到标量傍轴近似时的增益系数为 g = 2 研( 1 一礁) ，( 2 1 8 ) 如果假设比= 0 ，即初始的噪声扰动只沿y 方向，这时式( 2 1 6 ) 的增益谱和式( 2 1 7 ) 的 一样在式( 2 1 7 ) 中，增益的形成没有矢量效应的影响。很明显矢量效应对增益谱的影 响是有方向选则性的，只有噪声的角谱和光场最初的偏振方向垂直时，矢量效应对小尺 度自聚焦基本没有影响，或者说其影响远远不如当角谱和光场最初的偏振方向平行时。 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 2 3 数值分析 式( 2 1 6 ) 所示的增益谱在对于不同方向的噪声谱分布j 和j 0 是n n ；不- - 样的。 首先，产生小尺度自聚焦的空间频谱范围依赖于6 的值。通过令g = 0 ，可以得到 ( 1 + 6 d ) 礁。，。+ j 曝= 1 ( 2 1 9 ) 上式是一个椭圆的方程，长轴为1 ，短轴为 可耳干西巧。同时我们需要找出增长最快 的调制频率，因为在实际的系统中最后成丝的模式就是在最快增长频率附近的频率。通 过令o c o k = 0 ，可以从式( 2 1 6 ) 得到最快增长频率 ( 1 枷) 礁划3 礁_ ( 1 + 1 0 6 2 ) 珐+ 掣 ( 2 _ 2 0 ) 相应的最大增益系数为g m = g ( m ，k 一，6 ) 。当6 0 ，可以推出n 。= 霹蠹干砾一 、，压2 ，并且g 。一1 ，这是和傍轴条件下的结果一致的。 如图21 中显示，标量傍轴的零增益瞳线是一个圆( 实线1 ) ，而考虑了修正后的零 图2 1 ：产生小尺度自聚焦的空间频谱的范围包围着增益区间的实线1 和2 是零增 益曲线，点线1 和2 是最大增益的曲线1 和2 分别代表标量傍轴情形和5 = 0 0 7 5 的矢量非傍轴的情形 增益曲线( 实线2 ) 是一个椭圆，二者在轴方向上有两个切点，在耳。轴方向上含修正 的零增益频率比标量傍轴的零增益频率小。最快增益曲线( 点线1 和2 ) 和上面类似，含 修正的曲线2 在不含修正的曲线1 中，在k ，轴方向上近似相切( 由于非傍轴的影响，二 in芎lc 第2 章菲傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 n o r m a l i z e d 气，k 图2 2 ：图a 和b 分别是在不同的6 参数下归一化的增益随归一化的噪声的空间频 率的变化实线是傍轴的增益谱虚线和点线分别是公式非傍轴和矢量非傍轴的增益 谱 一一j l0 t h ep a r a m e l r ；c5 一 图2 3 ：分g 表示截止额率k 。、最快增长颏率尬。和最大增益系数g 。随参数6 而变化的趋势实线表示傍轴的情形虚线和点线分别是式( 2 1 7 ) 所示的非傍轴和 式( 2 1 6 ) 所示的矢量非傍轴情形 1 2 ”于铲，如 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度目聚焦 者不是完全相切) ，但是在虬轴方向上，矢量的作用使最快增长频率明显减小了。 这些影响是和6 的大小相关的，当6 越大，也就是光束宽度越小，修正的影响就越 明显。在图2 2 中，比较了标量傍轴模型下和矢量非傍轴模型下截止频率、最快增长频 率和最大增益系数随参数d 增长而变化的情况。我们可以看出，当光束宽度减小时，矢 量效应x t j , 尺度自聚焦的影响急剧增大。而非傍轴的影响相对来说就小得多了。 图2 3 中，在不同的参数6 下，将标准n l s 方程的结果和修正了的n l s 方程的结 果相比较。实线是纯标量的傍轴的增益谱，根据( 21 8 ) 式，参数6 对这条曲线没有任何 影响。虚线是非傍轴光束的增益谱，截止频率并没有变化，最快增长频率增大，最大增 益系数减小，且变化不是十分明显。点线是矢量非傍轴的增益谱，截止频率和最快增长 频率减小，最大增益系数降低。当d 增大时，变化十分明显。 其次，由于非傍轴和矢量效应的同时的作用，在高频端出现了一个新的增益区间， 如下式所示 k2：46ak2-(1+36)2(45k$-i)f 。9 1 1 9 4 ( i ( 1 + 2 5 ) 。 、 图2 4 所示的是这个新区间的范围，在封闭的曲线之外的区域就是新的增益区间，曲线 图2 4 ：实线上是当6 = o 1 时新的增益区间开始的频率，点线上是当6 = 0 2 时新 的增益区问开始的频率 所在处是新增益区间的开始。实线和虚线分别是不同的6 值时的增益区间，当6 增大时， 新区域向低频区移动。 图2 5 是在新区间的增益谱，同样，通过比较式( 2 1 6 ) 的增益( 虚线) 和式( 2 1 r ) 的 增益( 点线) ，可以更清楚非傍轴效应和矢量效应的区别。而且从图中还可以看到新区间 的增益和原来的增益区间的增益相比大很多。 1 3 第2 章非傍轴及矢量光束的小尺度自聚焦 图2 5 ：在不同的参数6 下，新的增益区间是不同的。虚线和点线分别描述非傍轴或 矢量非茵轴在新区问内产生的增益曲线随空间频率的变化。 2 4 小结 当光束不是太窄的时候，傍轴近似和标量近似下的标准n l s 方程还是可以很好地描 述光束传输的非线性过程，当光束十分窄的时候傍轴效应就失效了，同时由于非线性产 生了纵向的极化，矢量效应变得突出起来。在小尺度自聚焦的形成过程中，非傍轴效应和 矢量效应都有影响，但是矢量效应的影响是主要的。表现在两个方面：第一是横向的轴 对称性被破坏，不同角谱方向的噪声的增益模式不一样，和极化方向相同的角谱分量的 调制的增益谱有较大的变化，其截止频率、最快增长频率和最大增益系数都显著减小。 第二是引起了一个新的增益区间在高频端出现，其范围和6 的值有关。这个新的区域在 以前的工作中没有讨论过，由于其增益系数很大，应当得到重视。 1 4 ooin；lc 第三章超短脉冲光束的时空不稳定性 近年来，人们对超短脉冲及其自聚焦表现出极大的兴趣2 ”。正如连续光束的自聚 焦可分为全光束自聚焦和小尺度自聚焦一样，对超短脉冲自聚焦的研究也主要在两个方 面进行，即脉冲整体的传输行为和脉冲的调制不稳定性。这两个方面的特性都随着脉冲 宽度的变窄而有较大的改变，因为一些高阶效应随着脉冲宽度的变窄而变得很重要。典 型的高阶效应如高阶色散、自陡峭、r a m a a 自频移、时空聚焦、非傍轴以及矢量效应等 等。很多作者分别基于( 1 + 1 ) 、( 2 + 1 ) 和( 3 + 1 ) 维( 前一数字表示时间或横向空间维数， 后一数字表示纵向传输距离) 修正的非线性s c h r s d i n g e r 方程，用解析和数值方法研究了 这些高阶效应对脉冲传输的影响，解释了实验上观察到的如脉冲的自分裂、自压缩和连 续谱产生等现象。本章主要研究超短脉冲的时空不稳定性现象。 调制不稳定性是最先发现的不稳定性现象之一，也是与波的非线性传输相关的最重 要的问题之一。调制不稳定性的最重要的特征是它使迭加在均匀波前上的弱调制在传输 过程中指数增长，这种增长使边带放大从而使本来均匀的波分裂。在非线性光学和流体 中，这种不稳定性从某种程度上可看作是产生孤子的预兆：如果在非线性介质中存在调 制不稳定性，则表明在这种介质中有可能形成亮孤子；反之，若要产生暗孤子，则要求 介质不支持平面波的调制不稳定性。在非线性光学中，已经发现三种调制不稳定性即时 间不稳定性( 通常所说的调制不稳定性大多指这种不稳定性) 、空间不稳定性和时空不稳 定性。时间不稳定性的产生是由于群速度色散和自相位调制之间的相互作用，这种通常 在光纤中出现的不稳定性可将一个脉冲分裂成一串脉宽很短的子脉冲”。如果用空间衍 射效应取代时间不稳定性中的群速度色散效应参与与自相位调制之间的竞争，那么这种 不稳定性叫做空问不稳定性，通常也称作小尺度自聚焦“。正如前几章所论述的，在高 功率固体激光器中，小尺度自聚焦效应能将一束均匀激光束分裂成一根根强度非常高的 细丝，从而不仅破坏激光柬的均匀性，更造成激光介质的损坏，是限制激光器最大输出 功率的主要因素。时空不稳定性则是衍射、群速度色散和自相位调制三者之间的相互作 用导致的2 3 _ 2 6 ，”，这种不稳定性的重要性在于它不仅显示了衍射和群速度