（应用数学专业论文）非线性问题：良定性、通有稳定性及本质连通区.pdf

内容提要 在本文中我们致力于研究某些非线性问题特别是向量非线性问题的稳定 性问题，并应用所得到的稳定性结果研究一般非合作对策、多目标对策、动态 经济的平衡点集、最优控制问题解集的稳定性等全文共分五章 第一章简介在本文中将要用到的非线性分析的一些基础知识及有关结 果，主要有子集空间上的拓扑、向量值函数的连续性与凸性、集值映射的连续 性及锥连续性等有关概念和结果 第二章研究向量平衡问题、向量拟平衡问题解的存在性；集值映射的 k yf a n 点的存在性；作为应用，我们导出了多目标对策及多目标广义对策弱 p a r e t o n a s h 平衡点的存在性 第三章研究非线性问题解的良定性首先，给出了非线性问题的h a d a m a r d 良定性及广义h a d a m a r d 良定性的充分条件，并导出了k yf a n 点及拟变分不 等式问题的h a d a m a r d 良定性；特别，我们深入研究了n a s h 平衡点的良定性， 得到了几种非合作对策模型的n a s h 平衡点的h a d a m a r d 良定性；提出了一些 新的n a s h 平衡点的良定性概念( 主要是t y k h o n o v 类型的良定性) ，研究了n a s h 平衡点的h a d a m a r d 类型的良定性与t y k h o n o v 类型的良定性之间的关系，并 导出n a s h 平衡点的t y k h o n o v 良定性结果，其次，给出了非线性问题t y k h o n o v 良定性的一般性定义，得到了一个统一结果，具体讨论了最优化问题、叠合点 问题、不动点问题及n a s h 平衡点的t y k h o n o v 良定性最后，研究了具有变分 不等式约束的最优化问题的良定性 第四章应用集值分析方法研究了广义向量似变分不等式解、向量k yf a n 点、向量拟平衡问题解、多目标( 广义) 对策的弱p a r e t o n a s h 平衡点、集值映 射平衡点的通有稳定性，并在图象拓扑意义下讨论了集值映射不动点的通有 稳定性 第五章从本质集特别是本质连通区的角度研究非线性问题解的选取问 题，主要目的是研究多目标对策平衡点及动态经济平衡点的选取具体研究了 广义向量似变分不等式解集、向量k yf a n 点集、向量拟平衡问题解集的本质 连通区的存在性；作为应用，导出了多目标( 广义) 对策弱p a r e t o n a s h 平衡点 集的本质连通区的存在性最后，讨论了集值映射平衡点集和动态经济平衡点 集的本质连通区问题 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so ns t a b i l i t yo fs o l u t i o ns e t so fn o n l i n e a rp r o b l e m s ， e s p e c i a l l yo fv e c t o rt y p e w e a p p l y s u c hr e s u l t st oi n v e s t i g a t es t a b i l i t ya n ds e l e c t i o n o fe q u i l i b r i u mp o i n t si ng a m et h e o r ya n dm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s t h i st h e s i si s o r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1 w er e c a l ls o m en o t i o n sa n dr e s u l t su s e di no u ra n a l y s i si nt h i s t h e s i s ，i n c l u d i n gt o p o l o g y o nc l o s e ds u b s e ts p a c e s ，c o n t i n u i t ya n d c o n v e x i t yo fv e c t o r f u n c t i o n sa n dc o n t i n u i t ya n dc o n e c o n t i n u i t yo fs e t - v a l u e dn l a p s c h a p t e r2 w e g i v es o m ee x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rv e c t o rn o n l i n c a r p r o b l e m s ，i n c l u d i n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e l n s ， k yf a np o i n t so fs e t - v a l u e dm a p s a sa p p l i c a t i o n s ，w ed e r i v ee x i s t e n c et h e o r e m s o fw e a k l yp a r e t o n a s he q u i l i b r i u mp o i n t so fm u l t i o b j e c t i v en o n c o o p e r a t i v eg a m e s a n dm u l t i o b j e c t i v eg e n e r a l i z e dn o n c o o p e r a t i v eg a m e s c h a p t e r3 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ow e l l p o s e d n e s so fn o n l i n e a rp r o b l e m s ， i nw h i c hw ed i s c u s sb o t hh a d a m a r da n dt y k h o n o vw e l l p o s e d n e s s f i r s t 、w eo b t a i nau n i f i e da p p r o a c hf o rh a d a m a r dw e l l - p o s e d n e s s ，f r o mw h i c hw ed e r i v es o m e h a d a m a r dw e l l p o s e dt h e o r e m sf o rk yf a n sp o i n t s ，q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n ds oo n p a r t i c u l a r l y w es t u d ye x t e n s i v e l yw e l l p o s e d n e so fn a s he q u i l i b r i u m p o i n t sb yi n v e s t i g a t i n gr e l a t i o n so fh a d a m a r dw e u - p o s e d n e s sa n dt y k h o n o vw e l l - p o s e d n e s s ，p r o p o s i n gs o m en e w n o t i o n so fw e l l - p o s e d n e s s s e c o n d l y , w eg i v eag e n - e r a ld e f i n i t i o nf o rt y k h o n o vw e l l - p o s e d n e s so fs o m en o n l i n e a rp r o b l e m sa n do b t a i n au n i f i e dt h e o r e mf o rt y k h o n o vw e l l p o s e d n e s so fn o n l i n e a rp r o b l e m ss u c ha so p - t i n l i z a t i o np lo b l e m s ，c o i n c i d e n c ep o i n t s ，f i x e dp o i n t sa n dn a s he q u i l i b r i u mp o i n t s f i n a l l y ，w ei n v e s t i g a t ew e l l p o s e d n e s so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hc o n s t r a i n t sd e f i n e db yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s c h a p t e r4 w ea p p l ys e t v a l u e da n a l y s i st os t u d yg e n e r i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o n s e t so fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e s ，v e c t o rk yf a np o i n t s ，v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m a sw e l l w e a k l yp a r e t o - n a s he q u i l i b r i u mp o i n t so f n u l l t i o b j e c t i v eg a m e sa n de q u i l i b r i u mp o i n t so fs e t v a l u e dm a p s ， c h a p t e r5 t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt os e l e c t i o no fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rp r o b l e m s b yc o n s i d e r i n ge s s e n t i a lc o m p o n e n t s w ei n t r e d u c en o t i o n sa n dp r o v e e x i s t e n c e o fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so fs o l u t i o ns e t so fn o n l i n e a rp r o b l e m ss u c ha sg e n e r a l i z e d v e c t o rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s ，v e c t o rk yf a np o i n t sa n dv e c t o r ( q u a s i 一) e q u i i i b r i u mp r o b l e m s a sa p p l i c a t i o n s ，w ed e d u c ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so f t h es e to fw e a k l yp a r e t o n a s he q u i l i b r i u mp o i n t so fm u l t i o b j e c t i v eg a m e sa n dt h e s e to fe q u i l i b r i u mp o i n t so fd y n a m i c a le c o n o m i c s 前言 近年来，非线性数学问题的研究已成为数学界的研究热点非线性分析包 罗万象，要给非线性问题下一个准确的定义是不可能的泛函分析中的非线性 算子、拓扑学中的集值映射、微分方程理论中的非线性方程、混沌、分形、都 是非线性分析的研究对象在非线性分析领域中，变分不等式问题是一个具 有广泛的背景并已得到广泛应用的分支，它的背景有力学、数理经济学、对策 论、控制论、偏微分方程等，与变分不等式问题等价的有相补问题、平衡问题 等也得到极为成功的应用 非线性问题的研究的两个重要方面是解的存在性与稳定性我们的数学 模型是对实际问题的抽象描述，因此我们的模型首先应保证是有解的，这就是 解的存在性问题针对非线性问题解的存在性，数学家们已作了大量的研究， 得到了很多非线性问题在各种各样的条件下的解的存在性非线性分析的另 一个重要方面是解的稳定性通常非线性问题的解是不唯一的，即解构成一个 集合这时我们面临的问题是：哪些解是我们需要的从实际应用考虑，我们 所需要的解应该具有稳定性，即解对问题参数的连续依赖性 非合作对策理论的著名结果及应用可以说是稳定性理论在解的选取问题 上的一个成功应用1 9 4 4 年j v o nn e u m a n n 和0m o r g e n s t e r n 的名著t h e t h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i c s 的出版标志着对策论的诞生而j n a s h 在 二十世纪5 ( ) 年代初期的两篇论文则奠定了现代非合作对策论的基础 早期的经济学家们曾乐观地认为n a s h 的非合作对策理论已经足以解释大 多数经济现象但实际上并非如此，首先，v o nn e u m a n n 和n a s h 的模型有 如下的两个假定：( 1 ) 对每个局中人来说，所有信息都是公共的、完全的，对 称的；( 2 ) 每个局中人都是完全理性的，都能够在各自策略集中选择对自己最 为有利的策略以上两个假定限制了对策论的应用其次，大多数对策模型的 n a s h 平衡点通常是不唯一的有的n a s h 平衡点不满足自约束性，即局中人有 偏离该平衡点的动机；而不同的平衡点的对策结果是不同的，在众多的n a s h 平衡点中，应该选取哪一个? h a r s a n y i 和s e l t e n 分别在这两个方面提出了新 的思想，扩展了对策论的应用，由此他们与n a s h 一起，共同获得了1 9 9 4 年 的诺贝尔经济奖s e l t e n 的主要工作是处理完全理性假设的，实质上就是关 于n a s h 平衡的稳定性，他提出了子对策完美n a s h 平衡( s u b g a m cp e r f e c tn a s h e q u i l i b r i u m ) 的概念关于n a s h 乎衡点的稳定性，我国学者在1 9 6 2 年就已得到 了深刻的结果，吴文俊和江嘉禾( 1 9 6 2 ) 提出了著名的本质n a s h 平衡( e s s e n t i a l e q u i l i b r i u m ) 和本质对策的概念，并证明了任一有限非合作对策都可以被本质 对策任意逼近二十世纪6 0 年代以来，对策论专家们对于n a s h 平衡点的稳定 性进行了大量的、深入的研究，提出了各种概念其中著名的概念有：k r e p s 和w i l s o n ( 1 9 8 2 ) 提出的序贯平衡( s e q u e n t i me q u i l i b r i u m ) ，m y e r s o n ( 1 9 7 8 ) 提出的 恰当平衡等 另一方面，数学家们对非线性问题也进行了同样的研究1 9 5 0 年，f o r t 为 研究连续映射不动点的稳定性，引入了本质不动点的概念因为不是所有连 续映射都至少存在一个本质不动点，1 9 5 2 年，k i n o s h i t a 弓i 入了不动点集本质 连通区的概念，并证明了对于任一将h i l b e r t 方体映入自身的连续映射，其不 动点集至少存在一个本质连通区1 9 6 3 午，江嘉禾更对有限n 人非合作对策 苗先引入了n a s h 平衡点集本质连通区的概念，并证明了对任何有限n 人非合 作对策，其n a s h 平衡点集至少存在一个本质连通区 1 9 8 6 年，k o h l b e r g 和m e r t e n s 对n a s h 平衡的稳定性进行了全面而深入的 分析，提出了这样的问题：一个稳定的n a s h 平衡应当满足哪些公认的条件? 这是公理化的研究他们得出了结论：它是集值的，恰是以上提及的n a s h 平 衡点集的本质连通区更难能可贵的是，他们应用代数几何的方法证明了，任 何有限n 人非合作对策，其n a s h 平衡点集的连通区必为有限个，而至少有一 个是本质的1 9 9 0 、1 9 9 7 年，h i l l a s 改进了k o h l b e r g 和m e r t e n s 的工作，并 给出了一个n a s h 平衡点集的极小本质集的稳定性定理 由此我们可以看到，非线性分析中的稳定性研究不仅具有理论意义，而且 已经得到成功的应用本文中，我们将应用集值分析方法进一步研究非线性问 题的稳定性问题我们将着重研究向量型非线性问题解的稳定性，包括良定 性、通有稳定性和本质连通区问题作为应用，我们将研究非合作对策理论平 衡点、动态经济学平衡点的稳定性，包括一般非合作对策、多目标对策等；我 们还研究了一类最优控制问题解的稳定性 第一章预备知识 本章我们简介本文中将要用到的非线性分析中的一些基本概念、性质和重 要结果主要包括拓扑空间的子集集合上的拓扑，拓扑空间之间的集值映射，拓 扑向量空间上的锥理论、集值映射的连续性概念、向量值函数的凸性概念等， 1 - 1集合空间上的拓扑 设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，记 c l ( x ) 为x 的所有非空闭子集全体； k ( x ) 为x 的所有非空紧子集全体 g + = a c l ( x ) | a cg ) ， g = a c l ( x ) ja n g 0 ) 定义1 1 1设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，由所有的g + 和g 一( g 为x 中 任意开集) 为基生成的拓扑称为c l ( x ) 上的v i e t o r i s 拓扑，记为兀 若x 是度量空间，在c l ( x ) 上可以定义熟知的h a u s d o r f f 度量拓扑，记此 空间为( c l ( x ) ， ) v i e t o r i s 拓扑与h a u s d o r f f 度量拓扑有如下关系： 引理1 1 1 ( 34 ，推论4 23 ) 设x 是度量空间，则在k ( x ) 上h a u s d o r f f 度 量拓扑与v i e t o r i s 拓扑一致 引理1 1 2 ( 3 4 定理4 38 ，定理4 39 ) 设( x ，d ) 为度量空间，则 ( 1 ) 若( x ，d ) 完备，则( c l ( x ) ，h ) 完备； ( 2 ) 若( x ，d ) 完备，则( k ( x ) ，h ) 是( c l ( x ) ，h ) 中的闭集，从而完备 引理1 1 3 ( 1 0 3 ，引理2 51 7 ) 设 a 。) 。a 是k ( x ) 中的一个网，a ( x ) ， 4 。_ 4 ( 按v i e t o r i s 拓扑) 则每个满足。a 。( o a ) 的网 。) 。 有聚点 x a 引理1 1 4 ( 9 0 ，引理2 3 ) 设 a 。玩) 为k ( x ) k ( x ) 中一个网且 4 。鸟a k ( x ) ，玩鸟b i t ( x ) ，则对( z 。，y 。) a 。b 。，网 ( z 。，) ) 有聚点 属于a b 1 2向量值函数的连续性与凸性 向量值函数指象空间是向量空间的映射，定义在拓扑空间上的实泛函是向 量值函数的特例；对于实泛函，除了拓扑意义下的连续性概念外，根据实数的 序关系( 全序) ，我们还可以定义实泛函的半连续性对于定义在拓扑向量空间 上的实泛函，还有凸性的概念由于向量空间中的元素之间也可以定义一个序 关系( 通常是一个偏序) ，于是我们可以将实泛函的半连续性及凸性推广到向量 值函数我们首先回顾实泛函的连续性及凸性的有关概念 定义1 2 1 设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，r 表示实数集，：x _ r ，z x 如果对任意e 0 ，存在z 的邻域u ( x ) 使对任意z u ( z ) 有，( z7 ) ，( 。) 一e ， 称，在z 是下半连续的；如果，在每点z x 处是下半连续的，则称，在x 上是f 半连续的 若一，在z 是下半连续的，则称，在z 是上半连续的 命题1 2 1 下面三个条件等价： ( 1 ) ，在。x 处下半连续； ( 2 ) l i m i n f x , - + 。，( 一) ，( o ) ； ( 3 ) 对任意a r ，的水平集 z xl ，( 。) 是闭集； ( 4 ) ，的上方图形e p i ( ，) = ( z ，r ) xxri ，( z ) 茎r ) 是闭集 定义1 2 2设e 是向量空间，x 是e 的凸子集，r 表示实数集，： x _ r ，如果对任意t 0 ，1 1 ，任意z ye x ，有 则称，是x 上的凸泛函如果一，是凸泛函，则称，是凹泛函既凸又凹的泛 函称为仿射泛函 称，是拟凸的，如果 称，是拟凹的，如果 设日是h a u d o r f f 拓扑向量空间，若4 ，b 是日的两个子集，a r ，则记 a + 3 二 o + b | a a ，b b ) ，, k a = a nl r ，a ) 定义1 2 3 如果cch 满足：对任意c c ，任意t r ，t 0 都有t c c ， 则称g 为日的一个锥；如果锥g 还足一个凸集，则称g 是h 中的凸锥；如 果锥c 满足：一c f 7 c = f o ，则称g 是尖的 注1 2 1 设g 是锥，则a 是凸的当且仅当g + c = c 2 定义1 2 。4 给定空阉h 孛黪一令链c ，bch ，妇果c = t b i 叠，t g + 则称b 生成c ，记为c = c o n e ( b ) 进而，如果0gb 且对任意c ec 0 ，存 在唯一的n b 和唯一的 0 使c = t b ，则称b 是c 的一个基。 设h 雉一个向量空间，h h 中的一个子集b 称为h 上的一个二元关 系+ 定义1 2 5 设b 是上的二元关系， ( 1 ) 1 如果对任意。h ，有( z ，w ) b ，则称日是自反的； ( 2 ) 翔果对 壬意：y h ，扛，) b = 争( # ，。) e b ，裂嚣b 是对穆豹；魏暴露 任意z y h ，( z ，y ) b = 争( y ，z ) 掣b ，则称b 是反对称的； ( 3 ) 如果对任懑z ，y 。e ，( z ，) b ，。) b 号( z ，= ) b ，则称b 怒传 递豹； 定义1 2 6 如果日上的一个：元关系b 是囟反的和传递的，则称b 是 一令穰序 注1 2 2 如果b 是向量空间h 上的一个偏序，则c 一 z ej ( z ，o ) g ) 是h 中懿令凸镶。热暴b 还是夏黠称的，刭c 楚尖兹反之，h 中戆每个 凸锥c 给出h 中的一个自反、传递的二元关系 b c 一 ( ，y ) h h x 一# 0 如果c 还是尖的，则b a 是反对称的 设e 怒h a u s d o r f f 拓扑空间，xce ：，：x 斗科，下面给出一赡记号： e 礤( ，) = ( g ，y ) e h lye ，( g ) + c ，ze x 称为，的上方图形。 f e v ( y ) = ( 。x ，( 。) y 一0 称为，在y h 的水乎集 以下设g 是中的非空闭凸尖锥 定义1 2 。7 设盖是e 中教嚣空子集，f ：x 峙h 怒一令您慧擅函数 ：c 0ex 如果对h 中零点0 的任意汗邻域v ，存在z o 在e 中的开邻域u 使对 任意的。u n x ，有 ，( z ) ，( 。o ) + v + e 则称，在x o 是c 一连续的；如果，在x 中的每一点都是c ，连续的，则称f 在 x 上是0 - 连续懿， 3 注1 2 3 ( 1 ) 若h = = r ：c = f 0 ，+ ) ，则c - 连续性即为实泛函的下半连续 性 ( 2 卜一个实泛函如果既是上半连续又是下半连续的，则它是涟续的，但向量 瞧丞数数连续健没有这条性凄，建1 4 0 l 中懿定理5 3 ，魏聚e 有鸯雾翅凸蒺，受l ，是连续的当h 仅当，阊时是c 连续和( 一e ) 一连续的 设x 是h a u s d o r f f 撼扑空闼露中的嚣空闭予集，函数，= ( f l ，岛) ：x _ r m ，兄譬= ( r h ，7 - m ) 薯r mh 0 ，i = 1 ，m ) 则易证下面的命题： 命题1 2 。2f = ( f l ，矗，南) ：x _ r ”是r 牢一连续的当且仅当对任意 i 1 i m ，五怒下半逐续的。 定义1 2 8 设x 是向量空问e 中的一个非空闭凸子集，f ：x 一 是 一个离潼僵函数。 ( 1 ) 如果对任意。1 ，t 2 x ，任意 0 ，1 1 ，有 f ( a z l + ( 1 一 ) # 2 ) 一( ，( 。1 ) + ( 1 一a ) ，( 9 2 ) ) c 则称，是d 盟的；如果一，是d 凹的，则称，是g 一凸的； 固) 如暴对任意。h 2 x ，任意 0 ，l 】，裔 f ( i z j + 1 一柚9 2 ) = a f ( z 1 ) + ( 1 一 ) ，( $ 2 ) ， 则称，在x 上是仿射的； 3 ) 如果对任意y h ，z i ，x 2 x ，羚，1 j 肖 ，( 乳) ，( # 2 ) y c = f ( t z l 十( 1 t ) x , 2 ) y c ， 赋称，在x 上楚c 一籀凸的；翔祭一，楚d 撵凸静，凳称，燕g 叛圈懿， 显然，若，是c 凸的，则，是c 。拟凸的 滤1 2 4 如果h r ，c f 0 ，+ 。) ，弼c 凸性和c 拟凸豫郎为安泛函的 凸性和拟凸性 下断的命麓1 2 3 耩1 2 4 觅【4 0 】第一章命髓6 , 2 帮命题6 3 命题1 2 3 ，是d 凸的幽且仅当e p i ( f ) 是凸的 命题1 2 4f 是d 拟凸的当且仪当对任意y h ，l e v ( y ) 怒凸的 易涯下面约会题成立： 命题1 2 5 设是赋范线性空间e 中的非空闭凸子集，则函数f = ( ， f 2 一，厶) ：x 。f p 是赶? 一凹的当且仅当每个 是凹的+ 1 3 集值映射的连续性 集值映射是单值映射的推广，如果我们是在拓扑空间的框架下讨论单值映 射，则有通常的连续性概念，如果是在拓扑向量空间的框架下讨论单值映射， 则还有1 2 节的连续性概念这两种连续性在集值映射情形可以分别推广 1 3 1 拓扑空间之间集值映射的连续性 设x 和y 是两个h a u s d o r f f 拓扑空间，记2 。为y 中非空子集的全体， k ( y ) 是y 中非空紧集的全体， 定义1 3 1f ：x - 2 0 是一个集值映射，x x 则 ( 1 ) 如果对y 中任意开集o 且o f ( z ) ，存在z 的开邻域c 厂( 。) ，使对任意 2 5 e u ( z ) ，有0 f ( x ，) 称f 在z 是上半连续的； ( 2 ) 如果对y 中任意开集0 且0 n f ( z ) 0 ，存在z 的开邻域u ( z ) ，使对任 意x u ( x ) 、有0 nf ( z ) 0 ，称f 在x 是下半连续的； ( 3 ) 如果f 在3 2 既是上半连续又是下半连续的，称f 在。是连续的； ( 4 ) 如果f 在x 的每一点处都是上半连续( 或下半连续或连续) 的，称f 在x 上是上半连续( 或下半连续或连续) 的； ( 5 ) 如果f 在x 上是上半连续的，且对任意的z x ，f ( ) k ( y ) ，称f 是x 上的一个l l s c o 映射 注1 3 1在度量空间情形，有如下的结果： 设( x ，d ) 和( y ，p ) 是两个度量空间，2 0 表示y 中所有非空子集的集合 对任意 0 及任意a 2 7 ，记u ( e ，a ) = y yl 存在a 使p ( “，y ) 0 ，存在6 0 ，使当d ( x x ) 0 ，存在d 0 ，使当d ( z ，z ) 0 ，存在d 0 使当d ( x ，z 7 ) s u p v c a ( 。) ( p ，可) ) ， 则有 x = a o u u p e e a p 1 1 由f 3 1 中第三章命题2 3 ( p1 2 0 ) 知，函数z 一s u p 9 g ( 。) ( p ，) 是连续的，从而 。_ p ，x )s “如g ( 。) 扫，) 是连续的，故是开集由引理2 31 ，o 也是开 集因x 是紧集，存在p i , p 2 、，p 。e ，使得 x = a o u u 坠l 。1 ，其中记。= ” 今 a 4 x 、) = 耥，“，忙。，一“5 曩i 瓦硇”“b 一叱b 。1 “ 其中，d 是由e 中的范数导出的度量a o ，a l ，0 n 显然满足：y i ，0 i n ， n ：x - f 0 ，1 连续，当z 氆时， 吼( z ) 0 ，当。隹。时， 啦( z ) 20 ，且 。no a i ( x ) = 1 定义妒：x x _ 日如下：v ( z ，g ) x x ， 砂( z ，) = n o ( z ) 妒( z ，) + 啦( t ) 如z ，$ g ) z ， ( 21 ) 其中。i n t c 是日中的一固定点 容易验证： ( i ) 妒( ，) 在x x 上是c - 连续的； ( i i l v x y 妒( z ， ) 是d 凹的； ( i i i ) v x x ，妒( z ，z ) = o o ( 。) 妒( z ，z ) i n t c 因而由推论2 2 1 ，存在面x 使得y y x ，妒( i y ) g i n t c 下面我们导出矛盾的结论记i = i ：i 0 ，i 厶) ，则 妒( 牙，g ) = a o ( 2 ) 妒( j ，) + 匹a i ( 2 ) ( p i ，i g ) k ( 22 ) 若i o ，则o ( i ) 0 ，且存在i g ( j ) 使得妒( i ，口) i n t c ，于是。o ( i ) 妒( 2 ，口) i n t c 由于( p 。ii ) 0 ，故( 22 ) 式中的第二项，当j = 0 时为0 当，0 时， 是i n t a 中的一个点因此由引理2 2 1 ，妒( i ，口) i n t c 若i 0 ，则“o ( i ) = 0 且必有j 0 ，故对任意g ( i ) ，有 妒( i ，g ) = 匹啦( i ) 慨，i 一) z i n t c 由此我们得到了矛盾的结论，从而本定理的结论成立 2 4 集值映射的k yf a n 不等式 本节我们得到一个集值映射的k yf a n 不等式，它以向量平衡问题及实泛 函形式的k yf a n 不等式及似变分不等式为特例 1 2 定理2 4 1 设x 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间e 中的非空紧凸子集，日是 h a u s d o r f f 拓扑向量空间，c 是h 中闭凸尖锥且i n t c o f x x _ 2 “满 足如下条件： 1 对任意z x ，( ，z ) 是下半c 一连续的； ( 2 ) 对任意y x ， 。x ：f ( y ，叫n i n t c 0 ) 是凸集； ( 3 1 对任意z x ，( z z ) n i n t c ( 1 ) = 口 则存在z + x ，使对任意y ，有 证明记 a = ( z ，y ) x xif ( y ，。) n i n t c = o ) 由( 3 ) ，对任意z x ，x ，。) a t i i e x 十 壬nz x ，集合 a ，= y xi ( ，g ) a ) = xl f ( y ，z ) n i n t c = 0 ) 是闭集任取网 驰) 。aca x , y 。y o 若y 0g4 。，则f ( y o ，。) ni n t c o 因 。t c 是开集，且，( z ) 是下半c 连续的，所以存在o o 使当o o o 时，有 ，( 弘，z ) n ( i n t c + c ) 0 再由i n t c + cci n t c 即得f ( v 。，z ) n i n t c 0 ，矛盾所以y o a 。故a z 是闭 集，又因为对任意y xa _ ：= 。x 【( z ，y ) ga ) = x if ( y ，t ) n i n t c 0 ) 是凸集所以由引理1 4 7 ( k yf a n 截口定理) ，存在矿x 使x ? + a ，即 对任意z x ，( z ，x + ) a ，从而对任意。x ，有f ( x + ，z ) n i n t c = 0 由定理2 4 1 我们也可以得到向量平衡问题的存在性定理： 推论2 4 1 设x 是e 的非空凸紧集，妒：x x _ h 满足如下条件： i 对每一x ，z 。妒( z ，g ) 是c 一连续的； ( i i ) 对每一z x ，f _ 妒( z ，y ) 是c 凹的； c i i i ) 对每一z x ，妒( z z ) i n t c 则存在z + x 使得对所有x ，妒( 矿，y ) i n t c 2 5多目标对策弱p a r e t o n a s h 平衡点的存在性 具有多个不可公度的衡量标准的对策称为多准则对策或具有向量支付函数 的对策1 9 5 6 年，b l a c k w e l l 8 首先研究了具有向量支付函数的零和对策，1 9 5 9 年，s h a p l e y 引入了多目标对策的平衡点的概念由于多准则模型能更好地解 释实际问题，因而多目标对策模型受到越来越多的研究者的注意正如s h a p l e y 1 3 在 5 8 】中所指出的：“一个对策的支付函数取为具有数值分量的向量的形式有 时是更为自然的，这些分量代表不同的商品，如人力、车船、资金等”除了 s h a p l e y 提出的甲衡点的概念外，多目标对策还有多种其它形式的平衡点的概 念，同时也得到了相应的存在性结果( 参见 1 4 ，7 1 ，1 0 2 ) 本节我们应用向量平 衡问题研究多目标对策弱p a r e t o n a s h 平衡点的存在性本节内容来自f 8 1 _ 设n = l ，2 ，n ) 是局中人集合，对每一i n ，五是第i 个局中人的策略 集，记x = 1 1 , 置，鼍：= n ，。玛，z = ( x l ，z 。) = ( 她，峨) x 。鼍= x ， r 罕= ( r 1 ，7 2 ，r 。) r “jt i 0 ，i = 1 ，2 ，n ) ， i n t r 罕= “7 、l ，7 。2 ，r t n ) er “ln 0 ，i = 1 ，2 ，m f 。：x _ r 3 是第i 个局中人的向量支付函数称多元组1 1 = ( 置，f z ) ，。 ， 为n 人多目标对策 定义2 5 1 设z + = ( 。；，。；) x 如果对任意i n ， p ( 玑，z ；) 一f 。( 。；，z ；) i n t r ! ：，v 叭x 。， 则称x + 是1 1 的弱p a t r e t o n a s h 平衡点 注2 5 1 如果对每一i n 有= 1 则上述多目标对策即为通常意义下 的非合作对策，弱p a r e t o n a s h 平衡点即为n a s h 平衡点 记f 2 = ( ，i ，尼，咒，) 不失一般性，设k 1 茎k 2 s 定理2 5 1 设r ：= ( x 。，f 2 ) ：_ v 是一个多目标对策且满足如下条件： ( i ) 对任意ien 置是赋范空间易中的非空凸紧集； ( i i ) 对任意i n ，任意j ( 1 j k i ) ，片在x 上是上半连续的； ( i i i ) 对任意i n ，任意j ( 1s j 也) ，任意鼢托，_ 州戤，1 蟾) 在置上 是下半连续的； ( i v ) 对任意i n ，任意j ( 1s j 。) 及任意。i x i ，“。- 州，。i ) 是凹的 则存在1 1 的弱p a r e t o n a s h 平衡点 证明 考虑如下的向量平衡问题妒：x x _ r n ：v ：c = ( $ 。，戤) ，： ( 聃阢) x ， 其中 妒( 。，) = 恍( z ，”) ，( 2 3 ) 妒。( 。，) = ( f 2 ( 。i ) 一f 2 ( z 。，。i ) ：。( 。，) ) r n ，( 2 4 ) 、- - - - - - - - - - - - 、，- - - - - - - - - - _ 一 个分量 。( 。，9 ) ：= ( ，i ( 1 。，z ；) 一，i ( z ；，z i ) ，f i ( y i ，z i ) f i ( x i ，z i ) ) k 。一k ；个分量 容易验证，妒：x x _ r k n 满足： ( i ) 对任意y x ，z _ 妒( 。，y ) 在x 上是r j “连续的； ( i i ) 对任意z x ，y _ 妒( z ，y ) 是r 9 一凹的； ( i i i ) 对任意z x ，妒( z z ) = 0 i n t 兄9 于是由推论2 21 ，存在z + x 、使对任意的y x ，妒( z + ，y ) 芒i n t r 晕z 下证z + 是 工1 的弱p a r e t o n a s h 平衡点 事实上，对任意i n 和任意y 。x 。，令y = ( y 。，z ；) x ，则忱( z + ，y ) = 妒( z + y ) i n t r 如果p ( 。；) 一f 2 ( z ；，z ；) i n t r ：! ，则对每一j = 1 ，k 。， f j ( y j ，z ；) 一州z ：，z ；) i n t r + ，从而忱( 。+ ，y ) ei n t r 这与妒：( z + y ) i n t 月争矛 盾因此对任意i n 和任意y i x i ，f 。( 9 。，z ；) f 。( z ；，z ；) i n t r 挈，即z + 是r 的一个弱p a r e t o n a s h 平衡 2 6多目标广义对策弱p a r e t o n a s h 平衡的存在性 在上一节的多目标对策模型中，不论其它局中人取什么策略，每一个局中 人都可以在自己的策略集中任意选取策略但在某些情形下，一个局中人在选 择策略时不是随意的，而是受到其它局中人所选策略的制约，这时我们得到广义 对策模型( 也称为抽象经济) 关于广义对策平衡点的存在性已有很多结果，这 里我们将应用向量拟平衡问题解的存在性导出多目标广义对策弱p a r e t o - n a s h 平衡点的存在性本节内容来自8 5 _ 设n = ( 1 ，2 ，n ) 是局中人集合，记号x 。，x i ，r ? ，i n t 磁! 同前一节对每 一i n ，集值映射g i ：x ；_ 2 x t 是第i 个局中人的可行策略对应，f 2 ：x 寸咒t 是第i 个局中人的向量支付函数称多元组r = ( x i ，g 。，f 。) 。j 、r 为n 人多目标 广义对策 定义2 6 1 设矿= ( z ；，z ；) x ，如果对任意i n ，有z ；g 。( 。；) ，且 f 1 ( 玑，。；) 一f 2 ( 。；，z ；) i n t r 竿v y i g ( z ；) ， 则称( 。；，z ；)