（外国哲学专业论文）悖论探索.pdf

悖论探究 【摘要】悖论是人类智慧的结晶，也是人类智慧的黑洞，从古至今，有许 多不同类型的悖论，主要有涉及无限的悖论、由于个体与整体矛盾的悖论以及具 有双重值的悖论，悖论引发了许多危机，也促成了数学和哲学的发展。对于悖论 也有各种不同的解决方法。悖论促成了微积分的发展，也导致第三次数学危机。 集合论曾经被作为构建数学和逻辑学大厦的基石。但是罗素悖论残酷地摧残了这 座基石。罗素通过划分集合的层次建立了类型论，此后有很多哲学家也建立了各 种方案解决罗素悖论，比较典型的有策梅尔德的公理化集合论以及塔斯基和克里 普克的学说。 罗素的类型论具有奠基性作用，他很好的解决了大部分集合论悖论，其中， 基本类型论解决了集合论悖论，而分支类型论解决了语义悖论。但他对集合的层 次的划分始终带有构造的色彩。一方面是大部分集合在现实生活里确实以多层次 的形式存在，另一方面仍有部分无法悖论直接关联自我而无法分层。 无限和自指是悖论的主要特征。通过比较微积分中的“无穷小”的含义厘清 “无限”概念，可以帮助我们解决一些因为混淆而产生的悖论，比如“全能者的 存在”，“全能者 的问题实质上就是“康托尔悖论 。而在另一方面，“无限 又 潜入大部分的悖论之中，它使得论断的真值在不断的循环和否定中无法停歇，无 法获得最终得确定性形成了永久的悖论。“自指”是悖论的起因，它也可以使 得语言变成自我反复而不形成悖论，但他们都是无意义的。自指使得语言脱离了 “语言对象 的基本结构而陷入语言自身的同义反复或者自我否定，却丢失了 语言的真实的内容。语言天生的具有“语言对象”的构造，对这种构造的破坏 是造成悖论的根源。 【关键词 悖论类型论无限 自指 【中图分类号 b 1 7 a b s t r a c t ：t h e r ea r em a n yd if f e r e n tt y p e so fp a r a d o xs i n c ea n c i e n tti m e s ， s u c ha si n f i n i t ep a r a d o x ，p a r a d o xc a u s eb yt h ec o n t r a d i c t i o n s b e t w e e n i n d i v i d u a la n dt h ew h o l ea n dd u a lv a l u ep a r a d o x e s p a r a d o xc a u s e dal o t o fc r i s i s ，a l s oc o n t r i b u t e dt ot h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c sa n d p h il o s o p h y t h ep a r a d o xisa ls oav a r i e t yo fs o l u ti o n s p a r a d o xh a sl e d t ot h ed e v e l o p m e n to fc a l c u l u s ，b u ta l s ol e a dt ot h et h i r dm a t h e m a t i c s c r i s i s s e tt h e o r yh a sb e e na sf o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c sa n dl o g i cb u t t h er u s s e l lp a r a d o xd e s t r u c tit r u s s e ll st h e o r yo ft y p ec a ns o l v es o m e v e r yg o o db u to t h e r sf l a w e d s i n c et h e r ea r em a n yp h il o s o p h e r sh a v ea l s o e s t a b l i s h e dp r o g r a m s t or e s o l v et h er u s s e l l p a r a d o x ， s u c ha s z e r m e l o f r a e n k e ls e tt h e o r y ，t h e o r yo ft a r s k i a n dk r i p k r u s s e l lh a sl a i dt h ef o u n d a t i o ns t o n eo ft h et y p eo fr o l e ，h es o l v e d t h em a j o r i t yp a r a d o xo fs e tt h e o r y ，i n c l u d i n gs i m p l et y p e so fs e tt h e o r y t os o l v et h ep a r a d o x ，a n dt h er a m i f i e dt h e o r yo ft y p e so fs o l u t i o nt ot h e s e m a n ticp a r a d o x e s t h ei n f i n it ea n ds e l f r e f e r e n c ea r et h em a i nf e a t u r e so ft h ep a r a d o x c o m p a r i n gt h e “i n f i n i t e s i m a l o fc a l c u l u ss h o u l dc l a r i f yt h em e a n i n go f “i n f i n i t e “t h a tm e a n sw ec a nr e s o l v es o m eo fp a r a d o x s e l f - r e f e r e n c e “。 i st h ec a u s eo ft h ep a r a d o x ，i ta l s oc a r lm a k el a n g u a g ei n t oaf o r mo f s e l f r e p e a t e dw i t h o u tp a r a d o x ，b u tt h e ya r em e a n i n g l e s s w i t hn a t u r a l l a n g u a g es t r u c t u r eo ft h e ”l a n g u a g e t h et a r g e t ”，t h ed e s t r u c t i o no f t h iss t r u c t u r ec a u s ep a r a d o x k e yw o r d s ：p a r a d o xt h e o r yo ft y p e s e l f r e f e r e n c et h ei n f i n i t e 引言 悖论( p a r a d o x ) 来自希腊语“p a r a + d o k d n ”，意思是“多想一想”。这个词的意 义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会 使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推 出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个 命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如 果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少 著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸 引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考， 悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 悖论最早要追溯到古希腊的麦加拉学派。这一悖论被称为：“说谎者悖论”。 最早的版本是：一个克里特人爱庇门德说：“克里特人都说假话。”这样如果我们 认为此话内容为真，那么由于爱庇门德是克里特人，这句话就变成假的。如果我 们认为这句话内容为假，那么克里特人说真话，又准出这句话为真，由此陷入矛 盾。 悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为b ，进行 正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非b ；反之，以非b 为前提，亦可推得b 。那么命题b 就是一个悖论。当然非b 也是一个悖论。我 们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们 2 按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了 无法解决的悖论问题。 悖论在历史上并不是- f - j 专门的学问，所以对“悖论”也就没有专门和严格 的定义，大体上，悖论有三种主要形式。 1 一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的。 2 一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了。 3 一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 这其中的前两种虽然也有人称之为“悖论”，其实称为“佯谬 更准确，因 为它只是一种迷雾弹，在认真辨别以后，并不会对我们的思维和逻辑造成冲击， 而第三种定义上的悖论，却给整个数学、逻辑学、哲学造成了极大冲击，本文将 分析此种类型的悖论。 一、历史上的悖论 在整个人类历史，不论东西，不论古今，都出现了许多的悖论，悖论的类型 也有许多。 ( 一) 基于无限而引发的悖论 1 1 墨子经说下中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。 如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。 1 2 阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺( z e n oo f e l e a ) ，曾经提出过一些著 名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。 阿基里斯( achi lles ) 是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里 斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那 一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不 上乌龟。 阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为t 。对于任何t7 ， 可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个t7 无法度量t = s ( v1 一v2 ) 以后的时间。 1 3 二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达d ，它必须首先 到达距离d 的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无 穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了d 。 这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动， 就会有完善的无限，而这是不可能的。 如果阿基里斯事实上在t 时追上了乌 龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。 这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一 个类似的运动悖论： 1 4 “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个 位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗? 或 者无限重复的静止就是运动? 1 5 “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 这是庄子天下中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无 限的概念。 战园名家宋国人惠施( 约公元前370 一前310 ) 曾任梁国的宰相，论辩 奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只 能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。 1 - 6 “l 厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多 康托尔成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也 能和空间中的点一一对应。由于无限，l 厘米长的线段内的点，与太平洋面上的 点，以及整个地球内部的点都“一样多 。 ( - - ) 基于个体与整体矛盾引发的集合论悖论 2 1 理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的 人理发。”有人问他：“你给不给自己理发? 理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。 有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招 牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素 在一九。二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有 故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指 问题。 2 2 书目悖论 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名 的书。那么它列不列出自己的书名? 这个悖论与理发师悖论基本一致。 4 2 3 万能溶液悖论 有一个类似的变形，称为万能溶液悖论：f 是否存在一种万能溶液，它可以 溶解一切物品? j 依此推论，如果真的存在这种溶液的话，那么，该用什么容器装? 反之，如 果有容器可以装它，那它就不是万能溶液。当然，从容器角度讨论万能溶液悖论 有一定严密性问题，因为存在该种溶液j 与存在相应的容器来盛装j 没有必 然联系。 2 4 罗素悖论的抽象形式 把所有集合分为2 类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不 以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为p ，第二类所组成的集合为q ， 于是有： p = ala ea ) q = ala 口a ) ( 谚：不属于的符号，因为实在找不到) 问，q p 还是q q ? 这就是著名的“罗素悖论”。 ( 三) 由于存在两个值而引发的悖论 以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就 会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。 3 1 说谎者悖论 实际上就是我们前面所述：一个克里特人爱庇门德说：“克里特人都说假话。 这样如果我们认为此话内容为真，那么由于爱庇门德是克里特人，这句话就变成 假的。如果我们认为这句话内容为假，那么克里特人说真话，又推出这句话为真， 由此陷入矛盾。 这个悖论最简单的形式是： 3 2 “我在说谎 如果他在说谎，那么“我在说谎 就是一个谎，因此他说的是实话；但是如 果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版： 3 3“这句话是错的 这类悖论的一个标准形式是：如果事件a 发生，则推导出非a ，非a 发生则 推导出a ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的 表达。 3 4 苏格拉底悖论 苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 5 这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不 知道。古代中国也有一个类似的例子： 3 5“言尽悖 这是庄子齐物论里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄 子的这个言难道就不悖吗? 我们常说： 3 - 6 “世界上没有绝对的真理” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 3 7“荒谬的真实 二、历史上各种解决悖论的方案 悖论在推动科学和思想方面起了巨大的作用。有人说：“提出问题就是解决 问题的一半 ，悖论提出的正是让思想界无法回避的问题。它对思想家说：“解决 我，不然我将吞掉你的体系! 正如希尔伯特在论无限一文中所指出的那样： “必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。如 果连这些最简单的常识都不能确证，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性 呢? ”悖论的出现逼迫思想家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程 中，各种理论应运而生了。 ( 一) 无限引发的悖论与微积分 “无限 引发的悖论促成了这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时， 初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，十九世纪初，法国科学家以柯西为首 建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限 理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动 悖论。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发 生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗 。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、 象征或比喻都无济于事。 在上面从1 1 到1 5 的悖论中，核心的问题在于对于无穷小量的理解，这与 历史上的第二次数学危机相契合。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识 的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱 布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难 问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微 积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基 本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一 6 些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 贝克莱主教 1 7 3 4 年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分析 学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原 则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。 在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x 2 的导数，先将x 取一个不为0 的增量ax ，由( x + x ) 2 x 2 ，得到2 x ax + ( 】【2 ) ，后再被ax 除，得到2 x + ax ，最后突然令ax = 0 ，求得导 数为2 x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果 。因为无穷小量在 牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是 “已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛 顿理论中的缺陷，是切中要害的。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论 。笼统地说，贝克莱悖论可 以表述为“无穷小量究竟是否为0 的问题：就无穷小量在当时实际应用而言， 它必须既是0 ，又不是0 。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的 提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 牛顿与莱布尼兹 针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决， 但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中 大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微 积分的取舍上到底何去何从呢? 十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖 于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出 来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努 力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处 女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。 柯西于1 8 2 1 年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分 析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算 化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学 家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“( 伊普西龙) 6 ( 德 尔塔) ( del ta ) 方法。另外，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等 概念也建立在了较坚实的基础上。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各 自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自 建立了自己完整的实数体系。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾 7 性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之 上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力 而胜利完成了。 对于无穷小数的解读，更多的涉及到微积分这- f - j 专业学科，这里不作进一 步的深入。下面着重讲另外两个形式的悖论。 ( 二) 、罗素悖论引发的第三次数学危机以及解决 而由罗素悖论引发第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学 的产生。 罗素悖论又称集合论悖论。集合论是1 9 世纪7 0 8 0 年代由德国数学家康托 尔创立，他是如此定义集合的：任何性质都对应一个具有这种性质的集合。 1 9 0 0 年左右，数学已经发展成为一个庞大的领域了。当时纯数学大致分为 算术代数、几何和数学分析。随着第二次数学危机的解决，数学分析建立在极 限理论基础上。而极限理论中，有些基本性质要由“单调有界的数列必有极限 这个定理来证明。这个定理从直观上看尽管很明显，但是追求严密性的数学家很 早就要求不靠直观而靠逻辑来证明，要求一切定理都从比较简单的公理推导出 来。 要推导极限的性质，必须对数列有明确的概念。这里的数不只是有理数，还 包括无理数，这两种数构成实数的集合。数学家戴德金则利用有理数集合的分割 来定义实数。实数理论的无矛盾性就归结为有理数论，进而归结成自然数论的无 矛盾性了。弗雷格和戴德金又进一步把自然数归结为逻辑与集合论。这样一来， 集合论与逻辑成为整个数学的基础。 1 9 0 3 年，罗素发现了这样的集合悖论： 把所有集合分为2 类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不 以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为p ，第二类所组成的集合为q ， 于是有： p = aia ea ) q = aa e a ) ( c ：不属于的符号，因为实在找不到) 问，q p 还是q eq ? 这就是著名的“罗素悖论”。 认真分析罗素悖论，我们会发现，罗素悖论和( 2 1 ) 理发师悖论以及( 2 3 ) 书目悖论等是同质的。 罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的，如果把数学 建立在集合论的基础之上，将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕，这种裂痕 甚至有可能使整座大厦倾覆。一石激起千层浪，一场关于数学基础问题的论战爆 发了。 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1 8 9 7 年，布拉里福蒂 提出了最大序数悖论。1 8 9 9 年，康托尔自己发现了最大基数悖论。从集合论的 定义可知，有1 个元素的集合其子集有2 个，有2 个元素的集合其子集共有4 个，一般地，有n 个元素的集合其子集有2 n 个，n 个元素的集合其基数为n ，而 其所有子集组成的集合的基数为2 n ，显然2 n n 。因此有“康托尔定理”：任意 集合( 包括无穷集) 的幂集的基数大于该任意集合的基数。 据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以 组成一个集合，即“所有集合的集合 ( 大全集) 。显然，此集合应该是最大的集 合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又 必然是更大的，那么，“所有集合的集合 就不成其为“所有集合的集合 ，这就 是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰 证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合 ，当然也没有“最大的基数 。 但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭 起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且 所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界 与逻辑学晃内引起了极大震动。如g 弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心 地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时， 其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。戴德金也因此推迟 了他的什么是数的本质和作用一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的 数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。康托尔最大基数悖论和布拉 里福蒂悖论到罗素悖论都是集合论悖论，它们直接同康托尔朴素集合论的不严 格性有关。毛病出在集合的定义上，也就是任何性质就对应一个具有这种性质的 集合，这就是所谓内函公理组。集合论的这种矛盾必须通过削弱这个错误的公理 组才能解决。 人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来 排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切 矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存 下来。” 罗素把悖论加以分析之后认为：一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指 示、自反性，它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法 的集体( 或总体或全体) 。这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉 9 及到这个集体的整体。罗素悖论是最明显的例子。定义不属于自身的集合时，涉 及到“自身”这个整体，这是不合法的，这种涉及自身的定义称为非直谓定义。 所以要避免悖论，只需遵循“( 消除) 恶性循环原理”，“凡是涉及一个集体的整 体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则，罗素提出他的分支类 型论。 罗素把论域分成为等级或者类型，只有当满足某一给定条件的所有对象都属 于同一类型时，我们才能谈到他们的全体，于是一个类的所有成员必定全都具有 同一类型。同样，任何一个量词化的变元也必定有同一类型。这样罗素就引导谈 论“所有”和“任何 的区别。“所有”由普遍量词的束缚变元来表示，它们跑 遍一个类型；而“任何”则由自由变元来表示，它们可以指任何不确定的事物， 而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍的。 但是，分支类型论禁例太严，以致无法推出全部数学。为此罗素引进可化归 公理：“任何公式都可以和一个直谓公式等价。也就是都可以化为含1 1 级变元的 n + l 级公式。这样一来可以不必考虑约束变元的级了。这种类型论称为简单类 型论。 由于集合( 类) 和谓词( 命题函数) 是平行的，因此我们可以用集合更简单 地解释一下：简单类型论是由一系列层构成的系统，最底一层是第0 级，上面各 一层、各级都是同一类的型构成，最低一层的元素称为个体，由这些个体所成的类 就构成第一级的类，由一级的类为元素所成的类就构成第二级的类，依此类推。 1 9 2 6 年，英国数学家拉姆塞把悖论区别为逻辑悖论( 或谓词悖论、集合论 悖论) 及语义悖论( 或认识论悖论) 。他证明对于集合论悖论，简单类型论就足 以消除。因为这种悖论只牵涉到谓词和变元的关系，它们不同级便可以消除悖论 了。但是语义悖论要涉及到谓词本身，非得分支类型论不可。这些将在后面的阐 述中进行分析。 1 9 0 8 年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后 来经其他数学家改进，称为z f 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康 托尔朴素集合论的缺陷。除z f 系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯诺伊 曼等人提出的n b g 系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现 的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。他在关于集合论基础的研究 写到：“康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做 为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样 简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而 只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理， 而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使 l o 得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够 保留这个理论所有有价值的东西。 在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化 理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由 公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七 条公理：决定性公理( 外延公理) 、初等集合公理( 空集公理、单元素公理、对 集公理) 、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理( 稍稍改变一 下原来形式) 。 1 9 3 1 年，塔斯基在形式化语言中的真概念一文中，提出了“语言层次 的理论。虽然这一理论主要是针对形式语言的，但对于日常语言中的语义悖论研 究也有重要意义。塔斯基认为，日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达 式，又包含了陈述这些语言表达式语义性质( 例如“真、“假”) 的语句。这是 语义悖论产生的根源。要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义， 就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言( 称为“对象语 言”) ，而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言( 称为“元语言 ) 。 “说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假，混淆了语言的层次而造成的。 1 9 7 5 年，逻辑学家克里普克在真理论纲要一文中提出了解决悖论的新 方案。其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词( “真”或“假”) 的语句，必须寻找这个语句的“根”相应的不含真值谓词的语句。例如，要 判断净水是无色透明的是真的 这句话的真假，就要看“净水是无色透明 的这句话对不对，后一句话不包含真值谓词，并且它的对错是可以判断的，因 此，前一句话是有根的。只有有根的语句才可以判断其真假，无根的语句则不行。 “说谎者悖论 和“说谎者循环 都是无根的，这是悖论的基本特征。 新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响，语言逻辑学家注意到：许多 语义悖论实际上不仅仅涉及语义，也与说话时的语境( 包括语言使用者) 等语用 因素密切相关。以“说谎者悖论”为例，当某人说“我正在说谎 时，这意味着 他在某种语境中表达这句话为真的断言。但是，引我正在说谎是假的”这一语 句，却不能在同样的语境中陈述，陈述它的是另一种语境。因此，悖论的根源不 在于“自我涉及”，而是因为不同的语境。只要分清每一句话的语境，许多所谓 的“悖论”就不再是真正的悖论了。 罗素悖论对数学、逻辑学有着更为深刻的影响。它使得数学和逻辑学基础问 题第一次以最迫切需要的姿态摆到世人面前，导致了思想家对数学和逻辑基础的 研究。 三、罗素对悖论的解决及分析 ( 一) 基本类型论分析集合轮悖论的缺陷 上面我们曾说过，罗素的基本类型论可以用来解决“集合论悖论”，现在我 们来详细分析。 1 、罗素的基本类型论理论 集合论悖论的根源在于：以自身作为子集的集合，这是一个内在循环。罗素 的解决方法是提出要反对“恶性循环原则”。罗素发观，一切悖论都来源于自我 指代的恶性循环，即：用己经蕴含着整体规定性的个体定义反过来规定整体。这 就免不了产生循环。为了避免牵涉“不合法的全体 ，罗素提出“恶性循环原则”， 即要排除这一恶性循环：凡牵涉到一个汇集的总体的东西，它本身不能使该汇集 的一个分子。反过来说，如果假定某一汇集有一个总体，如果他将含有一些只能 总体的分子，那么这个汇集就没有总体。罗素假定集合可用逻辑函项表示，并且 设定，一切逻辑函项都可还原为直谓式，即由一个谓词和较低级的变元所组成的 函项式。于是我们就得到了这样的函项序列： 0 级类型：个体a 、b 、c 1 级类型：1 级谓词f 和0 级变元构成& 。 2 级类型：2 级谓词f 和较低级变元构成f x 和f ( f j 【) 。 3 级类型：3 级谓词d 和较低级变元构成d x ，d ( f x ) 和d ( f ( 仅) ) 。 罗素并作了如此规定：n + l 类型是由n + 1 级类型和n 级以及n 级以下变元构成。 根据这一理论，一个谓词只有用来表述较低级对象才是有效的。如果他用来表示 自身或者高于自身的对象就是无意义的。便会产生悖论和无意义的表述。比如： f 可以表述a 、b 、c 、x 等，但是不能表述自身( 不论是肯定还是否定) 即f ，这 样是没有意义的。也就是，集合不能成为自身的子集，集合如果要成为子集，他 必须是另外一个层次或者说更高层次的子集。这样，用类型论的分析就可以排除 “所有集合 ，“所有类”这样的集所产生的悖论。这些观点都归结于一个前提： 一个类、集合乃是一个可划归为一个只为该类或集合的分子所满足的函项。 罗素的类型论解决了自然数订立所遇到的集合论悖论，在罗素的这种体系 内部，似乎确实解决了悖论问题但是有逻辑学家提出，这么做并没有解决问题， 因为“集合的集合”具备“集合”的所有特征，他们是同一的，不能从外部硬 生生地把它们分开。这种分层实际上是人为地在假设上多加了一条规则，因此带 有相当程度上的构造色彩。 关键的一点就在于：“集合的集合”具备“集合”的所有特征，因此仅从语 言角度而言，“集合”是可以等同于“集合的集合”。那么，是否存在这种“集合” 是可以等同于“集合的集合”情况呢? 还是真如罗素所说，这两者是不相容的， 1 2 而如果存在这样的情况，罗素的分层论就存在着人为构造的嫌疑。 那么，问题就在于，对集合论悖论的分析必须从问题本身开始最核心的问 题是：“集合的集合”是否作为一种独立的形式而存在着。对于“集合的集合 ， 我们的第一印象就是“类”，“集合的集合”不就是作为许多“个体”的整体么? 就是我们所说的“类 ( 这里的存在者的含义不是指“人”，不妨把它看作“物”) 。 于是问题就变成：“类 是否是一种抽象的完全统一的类，还是一个具体的有差 别的类。 2 、作为与个体存在差异的“类” 首先，我们来考虑一下“类”作为一个具体存在者的情况。类，或者说集合， 在相当多的时候是作为一种新的形势的存在者出现的，虽然“类 本身是种抽 象，但是在现实生活中，它往往对应着一种高于它的内容的新的层次的事物。比 如我们说：“班级的集合是系( 中文系、哲学系) ”、“系的集合是学院”、“学 院的集合是大学”，在这里，“类”、集合不再是一个纯粹的抽象和超越，而是作 为一个新的集中的，具体的事物而存在。在这样的意义上，这个“类的类对应 着一种新的更高一级的存在者( 因为这个类实际上不是作为抽象的类本身，乃是 指代一种具体的实在) 。这里，“班级的类”( 系) 诚然不属于“系 ，但是他却属 于新的类，属于“学院”，同样的，“学院 的集合( 类) 也是有具体的意义的， 即“学校”。我们发现这里的每一个“类 都是由特定的语境的，都要求在一种 具体的情境中考察，每个“类 是有不同的含义的。作为“系别”的类和作为“学 院 的类是不同的。在这种情况下，“类是作为一个具体的集合，他是和组成 这个集合的个体紧密相关的。对于不同的意义的个体而言，这个“类 的具体指 称是不一样的。在形式语言上就是f x 和d x 的区别。 即这个关系在事实上( f 和d ) 是不一样的。 现在我们来考虑悖论在这个具体事例中的运用：“不属于自身的类的类 在 此例子中可以转化为：“不是由系别组成的学院的集合 亦即“不是由系别组 成的学校，这里，我们得到了一个空集，但是并没有自相矛盾，悖论被化解了。 而原来悖论之所以发生的原因在于，我们把那个“类”、那个“集合”看成是完 全一致的，因此被表述为“不是系别组成的学院的学院 ，从而陷入矛盾。 用形式化的语言表示，个体的类是：f x ，类的类是d x ，( 因为这里的类如 上所说乃是表示不同的集合关系) 。因此“不是自身的类的类”乃是：d ( _ 1 f x ) 功。这里，悖论就消失了，而原来我们的表示乃是：f ( 一f x ) 。从而陷入悖论。 以下图示： “类”的意义形式表示具体事例悖论与否 差别 悖论意义的抽象的、完全 f ( 一f x )不是由系别组悖论 “类一致无差别成的学院的学 院 现实世界的具体、差异化d ( 一f x )不是由系别组 不再是悖论， “类的成的学校只不过是空集 下面，来看一下比较抽象的情况。在下面的例子中，“类 不再对应于具体 的存在物。 红色：暗红、深红、鲜红、粉红 颜色：红、蓝、绿、蓝 属性：颜色、重量、大小、形状 各种红色都属于红色，同时红色属于颜色，颜色属于属性。红属于“颜色” 这个类，但是“颜色 不属于“颜色 ，然而颜色属于“属性”，属性便是那个“不 属于类的类”，同样的，悖论在这里消除了，“属性”的确是一个类，他只不过是 “不属于颜色这个类的类 ，但他依然存在，并没有自相矛盾。这个例子比上面 的一个抽象，但是我们还是发现，在这里，“类 作为抽象，却依然是不同的， 或者说，每一种抽象都是在具体的背景中的，都是有自身特定的含义的，都是和 别的“类”不同的，只是这种不同我们的确无法用语言表述。上面的这些，我们 都无法在现实世界中找到一个对应的存在物，也许对于“红 ，我们还可以指谓 一下，但是对于“颜色”、“属性 我们就说不出他们是什么了( 我们只能通过他 们的内涵来解释) 。我们实在不能用语言描述红色到底抽象了“暗红、深红、鲜 红、粉红”的哪一部分特征，而颜色又在何种意义上统一了“红、蓝、绿、蓝 ， 还有：“属性之于“颜色”是如何不同于“颜色之于“红色”，但是我们能够 肯定的是，他们是不同的。仅此而已。 “不属于类的类”，不论是前一个“类”还是后一个“类 ，都是特定的指称， 都必须在环境中考察，他们是没有全集意义的( 这个全集是指涵盖一切事物) ， 它的涵盖领域是有限的( 即在这个类内部的) 。而“不属于这个类的类”则本身 是这个类的概括。在它的上一层次的概括，是一个更高的类。他当然可以是类， 但是却不是第一个类，而是另一种类。如果把“类”的这种抽象称作超越，我们 就可以看到：超越是有特殊场境的，而不是无止境的。每个“类”，每个“超越” 总是意味着一种特定形式的超越，而不是终极的，无限的超越。这个类作为抽象， 也是一种具体的抽象( 即使我们不能对这种抽象再行言语) ，而不是绝对的抽象， 绝对的抽象由于失去了背景同时陷入无限的空洞中便不在这个世界之中。 在这里面，问题所在乃是“语言 ，是错误的使用和理解了语言而造成了悖 1 4 论，在此意义上可以说悖论并不存在。我们把“类”这种抽象词彻底的抽象了一 一而实际上，任何一个类都是有自身特定的意义的。而不能与其他的“类”等同。 我们说“不属于类的类”的时候，是在一个最抽象的空间中来意谓的，因此“类” 作为抽象本身似乎是没有任何特征的，他只是抽象，反对罗素的逻辑学家们就是 在这种意义上面说：集合的集合具备集合的所有特征，他们是同一的 。 我们指看两个绿色的苹果对教育一个幼儿说“这是二”，而当我们问他们什么二 的时候，他们往往会拿出苹果，或者指着绿色的东西来当作答案。这里正是对 “具体抽象”的错误把握。“类 并不是绝对的抽象，每个类都是不同的，“类” 除了抽象，还有确指和自身的区域，“颜色”这个类和“硬度”根本是不一样的 一一诚然他们都被叫做“类”。集合论悖论的问题就在于把这种“类”中所包 含的具体的差异忽略了，只认同了“类”作为抽象的一面，因此类就是类。于是： 一个事物属于类，那么他就属于类，一个事物不属于类，那么他就不属于类。完 全忽略了特定的语言背景和含义。 因此，我们发现，罗素的类型划分在事实上是存在的，而并不需要对他另行 界定，界定的困难在于本身的真实性无法证明，另外我们也发现了悖论之所以存 在乃是因为我们错误的理解了语言，把本身依存于事实空间中的“抽象”绝对的 抽象了。我们把每个具体的超越理解为“无限超越 ，因此所有的超越都是相同 的，“类”因此也是等同的。在这里，“类 作为一种功能，只是超越本身而 他的空间和领域，不再是特定的，而是无限。因此，在重新理解和使用“类”的 时候，集合论悖论得到消解。 造成集合论悖论的，除了我们错误的使用语言之外，还有语言自身的界限使 然。如上面所说，我们可以指称学院、大学，但是我们不能指称颜色、属性， 某一种“类 在语言里面可能是对应词语的，但是对他的描述却显得万分贫乏， 或者，到最后，我们一点描述也做不出来，我们可以理解可以感知，但是我们无 法言语。述说颜色在何种意谓上超越了“红”、属性何种意谓上统筹着“颜色、 重量”，这些细腻而微的关系是语言所不能达到的。我们最后全部用“抽象 一 个词来指代，从而使得原本具有的多层次被错认为单一层次，进而才使悖论发生。 3 、可能作为个体的类以及类型论的缺陷 当“集合”作为“类”时，他以一种新的形式或者载体出现，因而也就使得 集合的层次在分析之后渐渐明晰。但是，是否存在着其他形式的“集合”，在这 种形式中，“集合并不以新的超越的层次而存在。 实际上，“集合 这个纯粹逻辑和数学的词语，存在着太过抽象的理解，对 于“集合的定义，数学家和哲学家们也存在着很大的分歧。我们来看悖论( 2 1 ) 理发师悖论和( 2 - 2 ) 书目悖论。首先，理发师其实是作为“所有被理发的人” 的集合而存在，而书名词典也是作为“所有要被编入名册的书本”的集合而存在。 但是，这个“集合 面临着同样的问题：在( 2 1 ) 中，理发师这个个体是否该 为自己理发。确实地，在这里，理发师自身是和他的全体对象( 其他的理发者) 站在同一层次的。也就是说，现实地存在着这个问题：“集合的集合”与“集合 居于同一层次，或者说，集合与子集处于同一层次。另一个例子，书名词典这本 书本身也是书，它的书名可以被写入书的内部也可以不，在现实里，虽然它可以 被看作其他书的“集合”，但是这个“集合”同时也是一个元素。因此，确实存 在着“集合的集合”与“集合”同处同一分层的状况。要么，是罗素的基本类型 论存在构造的嫌疑，要么就是基本类型论自身还存在缺陷，它只解决了部分问题。 我们将会在后面的论述中看到，对此问题的解决无法通过构造分层来解决，而只 能是通过脱离“自我循环 消解。 ( - - ) 用分支类型论解读语义悖论 我们分析了悖论的两种类型，还有一种“说谎者悖论也叫语义悖论，是与 自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面 的概念，。传统哲学对语义悖论的定义是关于真实性的悖论。 ( 3 1 ) ( 3 7 ) 都是语义悖论。 3 2 “我在说谎” 本语句是真的，还是假的? 如果是句真话，由本语句的内容可知：说话者 正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果本语句是假的，说假话就 是说谎，本语句的内容正是“我正在说谎”，因此本语句又是真的。 对于语义学悖论，波兰数学家阿尔弗雷德塔斯基提出要靠引进抽象语言来 解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的 等，都是用实 际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。我们怎样才能 谈论一种抽象语言的真实性呢? 我们必须达到更高级的抽象语言