（基础数学专业论文）关于变换半群的若干结果.pdf

山东师范大学硕士学位论文 关于变换半群的若干结果 刘玉春 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究保序变换半群上的自然偏序，保等价的夹心变换半群上的自然偏 序和保等价部分变换半群上的自然偏序以及保序部分变换半群上幂等元的性质 第一章主要刻划了保序变换半群o n 上的自然偏序“5 ”讨论了保序变换半 群上的关于自然偏序的极大元、极小元和覆盖元主要结论如下： 定理1 2 3 在( o n ，! ) 中下列条件相互等价： ( 1 ) 厂19 ； ( 2 ) 存在理e ( o n ) 使，= a g 且7 r ( 夕) 加细丌( ，) ( 3 ) 存在p e ( o n ) 使，= 卵且i m y i m g ； ( 4 ) i m y i m g ，7 r ( 9 ) 加细- ( s ) 且对任意z x 竹，若x g i r e s ，则x g = z ， 定理1 3 2 设，瓯，是仉的极大元当且仅当以下两条件之一成立： ( 1 ) ，是恒等映射； ( 2 ) 存在z x n i m f 且对每个名x n i m f 都有iz - 1 ) y _ 1 i 1 ，l ( 名+ 1 ) 厂_ 1 i 1 第二章主要刻划了保等价的夹心变换半群t e ( x ；口) 上的自然偏序“5 ”讨 论了保等价的夹心变换半群上的关于自然偏序的相容性、极大元和极小元主要 结论如下： 定理2 2 1 设，g 珏( x ；口) ，则，5g 当且仅当以下条件成立： ( 1 ) e ( o g ) 力细e ( 厂) ，r ( o g ) 力日细丌( ，) ； ( 2 ) 对任意z x ，若o g ( x ) o f ( x ) ，则o f ( x ) = 的( z ) ； ( 3 ) 对任意a 驯e ，都存在b x e ，使f ( a ) g o ( b ) 定理2 3 2 设 g t s ( x ；口) 且厂! g 若h t e ( x ；口) ，h 是正则的且满的， 则厂oh 墨g oh 定理2 3 5 设，g t e ( x ；口) 且，5g 若h t e ( x ；曰) ，h 是正则的且是单的， 则ho 厂hog 第三章主要刻划了保等价部分变换半群p e ( x ) 上的自然偏序“兰”讨论了 保等价部分变换半群上的关于自然偏序的相容性、极大元、极小元和覆盖元主要 结论如下： 2 山东师范大学硕士学位论文 定理3 2 1 设厂，g p e ( x ) ，则厂5g 当且仅当以下三条成立： ( 1 ) z ( g ) nd o m f 加细e ( 厂) ，丌( 夕) nd o m f 力日细7 r ( ，) ； ( 2 ) 叉寸x d o m f ，若g ( x ) ei m f ，贝0s ( x ) = 夕( z ) ； ( 3 ) 对任意e 一类a ，存在e 一类b ，使，( a nd o m f ) 夕( bn d o i n g ) 引理3 3 2 设，g p z ( x ) ，且厂墨g 若h p e ( x ) ，h 正则且i m h = d o m g ，则 f h5g h 引理3 3 3设，g p e ( x ) 且，5g 若h p e ( x ) ，h 是正则的单映射且 d o m h7 1i m f 咖，贝0h f5 h g 定理3 4 1 1 设，屁( x ) 若，不是极大元，则，有上覆盖 定理3 4 1 2 设厂p e ( x ) 若厂不是极小元，则厂有下覆盖 第四章主要刻划了保序部分变换半群尸瓯上幂等元的性质主要结论如下： 定理4 2 7e ( p o n ) 作成左零半群当且仅当对任意o l ，p e ( p o n ) 都有仅c p 定理4 2 9e ( p o n ) 作成右零半群当且仅当对任意o l ，p e ( p 瓯) 都有a 冗p 关键词：自然偏序，极大( 小) 元，覆盖元，相容性，幂等元 分类号： 0 1 5 2 7 山东师范大学硕士学位论文 s o m er e s u l t so nt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p s l i uy u c h u n t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y 。 j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r e do i lo r d e r - p r e s e r v i n gt r a n s - f o r m a t i o ns e m i g r o u p s ，n a t u r a l l yp a r t i a lo r d e r e do nt h es a n d w i c hr a n s f o r m a t i o ns e m i - g r o u p sp r s e r v i n ga ne q u i v a l e n c e ，n a t u r a l l yp a r t i a lo r d e r e do no r d e r p r e s e r v i n gp a r t i a l t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sa n dt h ep r o p e r t i e so fi d e m p o t e n t so fo r d e r - p r e s e r v i n gp a r t i a l t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d i e st h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r e d “5 ”o nt h e o r d e r - p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p w et a l ka b o u tt h em a x i m a le l e m e n t s ，t h e m i n i m a le l e m e n t sa n dt h ec o v e r i n ge l e m e n t s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w s ： t h e o r e m1 2 3t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n tf o r ( o n ，5 ) ： ( 1 ) ，5 夕； ( 2 ) ，= a 夕a n d7 r ( 9 ) r e f i n e7 r ( ，) f o rs o m eq e ( o n ) ； ( 3 ) ，= 夕a n di m f i m gf o rs o m ep e ( 瓯) ； ( 4 ) i m f i m g ，丌( 9 ) r e f i n e7 r ( ，) a n di fz 9 i m ff o re a c hz ) ，t h e nx 9 = z ， t h e o r e m1 3 2 l e t ，d t i ，t h e n ，i sm a x i m a lw i t hr e s p e c tt o “5 ” i fa n d o n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) ，i sc o n s t a n t ； ( 2 ) i ( z 一1 ) ，一1 l 1 ，l ( z + i ) 一1 ls1f o rs o m ez i m l i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d i e st h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r e do nt h es a n d w i c h r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p sp r s e r v i n ga ne q u i v a l e n c e w et a l ka b o u tt h ec o m p a t i b i l i t y , t h e m a x i m a le l e m e n t sa n dt h em i n i m a le l e m e n t s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w s ： t h e o r e m2 2 1 i f ，9 t e ( x ；p ) ，t h e n ，5gi fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gs t a t e - m e n t sh o l d ： ( 1 ) e ( o g ) r e f i n ee ( ，) ，7 r ( 的) r e f i n e7 r ( 趴 ( 2 ) f o re a c hz x ，i fo g ( x ) o f ( x ) ，t h e no f ( x ) = p 夕( z ) ； ( 3 ) f o re a c ha x e ，t h e r ee x i s t sb x es u c ht h a tf ( a ) f i e ( b ) t h e o r e m2 3 2l e t ，g t e ( x ；口) a n d ，墨g i fh 而僻；p ) ，hi sb o t hr e g u l a r a n ds u r j e c t i v e ，也e n ，oh 冬夕oh t h e o r e m2 3 5 l e t ，g t e ( x ；8 ) a n d ，冬g i fh t e ( x ；口) ，hi sb o t hr e g u l a r 3 山东师范大学硕士学位论文 a n di n j e e t i v e ，t h e nho ，5h 0 9 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d i e st h en a t u r a lp a r t i a lo r d e r e do nt h eo r d e r - p r e s e r v i n gp a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p p e ( x ) w et a l ka b o u tt h ec o m p a t i b i l i t y , t h e m a x i m a le l e m e n t s ，t h em i n i m a le l e m e n t sa n dt h ec o v e r i n ge l e m e n t s t h em a i nr e s u l t s a r eg i v e na sf o l l o w s ： t h e o r e m3 2 1l e tf ，g 您( x ) ，t h e nf5 gi fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gs t a t e - m e n t sh o l d ： ( 1 ) e ( g ) nd o m fr e f i n ee ( ，) ，7 r ( 夕) nd o m fr e f i n e7 r ( ，) ； ( 2 ) f o re a c hz d o m f ，f fg ( x ) i m f ，t h e n ( x ) = 夕( z ) ； ( 3 ) f o re a c ha x e ，t h e r ee x i s t sb x es u c ht h a tf ( a n d o m f ) g ( b n d o m g ) l e m m a3 3 2 l e t ，g 如( x ) ，a n df5g i fh 危( x ) ，hi sr e g u l a ra n d i m h = d o i n g ，t h e nf h ! g h l e m m a3 3 3l e t ，g 而( x ) ，a n d ，g i fh 忍) ，hi sb o t hr e g u l a ra n d i n j e c t i v e ，a n dd o m h ni m f 咖，t h e n 九，5 幻 t h e o r e m3 4 1 1l e t ，忍( x ) i ffi sn o tm a x i m a l ，t h e nfh a sa 1 1u p p e rc o v e r t h e o r e m3 4 1 2l e t ，( x ) i f ，i sn o tm i n i m a l ，t h e n ，h a sa 1 0 w e rc o v e r i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d i e st h ei d e m p o t e n t so fo r d e r - p r e s e r v i n gp a r t i a l t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p p o n t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf o l l o w s ： t h e o r e m4 2 7 e ( p d n ) i sl e f tz e r 0s e m i g r o u pi fa n do n l yi f 口c p ，f o ra n y a ，p e ( e o n ) t h e o r e m4 2 9 e ( p o 靠) i sr i g h tz e r os e m i g r o u pi fa n do n l yi fa n t i ，f o ra n y 口，e ( p o n ) k e y w o r d s ：n a t u r a l l yp a r t i a lo r d e r e d ，m a x i m a l ( m i n i m a l ) e l e m e n t s ，c o v e r i n ge l - e m e n t s ，c o m p a t i b i l i t y , i d e m p o t e n t s c l a s s i f i c a t i o n ：0 15 2 7 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得一( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：支b 荐 导师签字： 馅织 i户 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适 用本授权书) 学位论文作者貅岁i 幡导师签字= 萌磁 签字日期：，呷年月2 日 签字日期卅年叩月y 日 山东师范大学硕士学位论文 前言 由于变换半群在理论计算机科学和半群的代数理论研究中的极重要作用，多 年来变换半群一直是研究热点之一以h o w i e ，h i g g i n g s ，l e v i 等人为代表，对很多 变换半群类进行了大量研究近几年，国内的学者裴惠生，孙磊，杨浩波，杨秀良 等人也对一些变换半群类做了大量的研究，并取得了丰富的研究成果 设s 是半群，记e ( s ) 为s 的所有幂等元组成的集合如果s 是正则的，在s 上定义关系“5 ”如下： a5b 营存在e ，e ( s ) 使a = e b = b y 则( s5 ) 是偏序集后来m i t s c h 在一般半群s 上定义了关系“5 ”如下： a5 b 存在x ，y s 1 使a = x b = b y ，a = a y 称“! ”为半群s 上的自然偏序设a s ，对任意b s ，若b 至a ( b5 。口) ，恒有 b = a ，则称a 是s 中的极大( 小) 元设a ，b s 若a _ 6 ) ，但不存在c s 使a - b ) ，则称b 是a 的上( 节覆盖 1 9 8 6 年，k o w o l 和m i t s c h 研究了t ( x ) 上的自然偏序的性质i4 | ，其中t ( x ) 是定 义在集合x 上的全变换作成的半群尤其研究了在何种情形下两变换具有这种偏 序关系，并且刻划了( t ( x ) ，5 ) 上的极大元和极小元2 0 0 3 年，m p a u l ao m u r q u e s s m i t h 和r p s u l l i v a n 将上述研究工作推广到了半群p ( x ) 上【1 l j ，其中尸( x ) 是x 上的所有部分变换作成的半群他们给出了半群p ( x ) 上的自然偏序的刻划，并研 究了半群p ( x ) 上关于自然偏序的极大元和极小元裴惠生老师研究了保等价全 变换半群上关于自然偏序的相砻l 生、极大元、极小元和覆盖元，同时也对保等价变 换半群上的自然偏序进行了刻划1 1 | 本文在他们研究的基础上进一步对保序变换半群上的自然偏序，保等价的夹 心变换半群上的自然偏序，保等价部分变换半群上的自然偏序进行了刻划，并研 究了这些半群上关于自然偏序的极大元、极小元、覆盖元及相容性并研究了保序 部分变换半群上的幂等元 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献f 8 1 8 1 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章保序变换半群上的自然偏序 1 1有关概念 设= 1 ，2 ，佗) ，并赋有通常序1 2 3 1 7 1 , 映射，：叶称为 保序全变换，若对任意z ，y ，x y 都有x f y f 上的所有保序全变换在 复合运算下作成的半群称为蜀上的保序变换半群并记为仉显然瓯是正则半 群对于任意f o n ，都有形式 ，= ( ：x m ， 其中既厂1 = a ，= u , 5 1a i ，m a x a i m i n a i + 1 ，x i x i 十1 记 7 r ( ，) = x f 1 jz i i i 玎) ， 则a i 7 r ( ，) ，i = 1 ，2 ，m 瓯上所有幂等元集合记为e ( 魄) 由一般正则半群上自然偏序的定义，正则半群d n 上的自然偏序“5 ”如下： f ! g 兮存在q ，e ( o n ) 使，= a g = g z 定义1 1 1a ，b 是的子集的并，若对每个a a ，都存在b b 使a b ， 贝0 称4 加细日 本章讨论正则半群瓯上关于上述自然偏序的极大元和极小元以及上覆盖和 下覆盖 6 山东师范大学硕士学位论文 1 2保序变换半群上自然偏序的刻划 引理1 2 1 1 2 】设，0 n ，则，e ( 瓯) 当且仅当对任意3 7 i m y 都有z ，= z 引理1 2 2 设厂o n ， ，f a 1a 24 m1 j 5 lz 。z ：z m 则，e ( o n ) 当且仅当对任意x i i m y 都有x i a i 证明“必要性”设，e ( o n ) ，则对任意兢i m y 都有砚，= x i 又因为 z t ，一1 = a i ，所以z t z d l = a “充分性”对任意铂i r n y ，因为以a 且a = z i j ，所以婉= y ( a i ) = ，( z ) ， = 1 ，2 ，m 由弓i 理1 2 1 知厂e ( o n ) 定理1 2 3 在( o n ，) 中下列条件等价： ( 1 ) ，5 夕； ( 2 ) 存在理e ( o n ) 使，= a 夕且丌( 夕) 加细丌( n ( 3 ) 存在p e ( o n ) 使，= 卵且i m y i m g ； ( 4 ) i m y i m g ，7 r ( 夕) 加细7 r ( ，) 且对任意z ，若x g i m y 则x g = z f 证明( 1 ) 兮( 3 ) 由定义知存在o z ，p e ( 瓯) 使，= q 夕= 夕p 对任意z i r n y 都存在口x n 使a y = z 又因为，= n 夕，所以( a a ) g = 口，= x 因此z i m g 故 i m y i m g ( 3 ) 令( 4 ) 设a 丌( 夕) ，则对任意z ，秒a 都有x g = ! g 因为，= 夕p ，所以 z ，= z 卵= 鲫p = y y = t 。，其中t o 记b = t o y ，则b 7 r ( f ) 对任意口a ， o ，= z ，= t o ，因此口t o y 一1 = b 即a b 由加细定义知1 r ( 9 ) 加细丌( ，) 设 z x n 且x 9 i m y ，则存在秽x n 使x 9 = 可，因此x y = z 卵= 可，p = y ( y i ? ) = y ( 9 p 2 ) = 可( 9 仞= y y = x g ( 4 ) 号( 1 ) 因为，g 0 n ，所以，g 分别有如下形式： ，= ( ：a t ) ， 其中m a x a m i n a i + 1 ，x i r ，m a x 岛 m i n b j + 1 ，玢 协+ 1 ：j = 1 ，2 ，t 一1 由7 r ( 夕) 加细丌( ，) 知对任 意b i 7 r ( 9 ) ，( i = 1 ，2 ，t ) 都存在a j ( j = 1 ：2 ，7 ) 使b i 山又因为，9 是保序 7 8 全变换，所以存在整数l m , 2 矗，( r 一1 ) m 使1 m 2 m ( r 一1 ) m z 且 1 “ a i = u 鼠， 2 “ a 2 =u i = 1 t = l m + l t = ( r 一1 ) m 由i m f i m 9 知对任意耽i m f 都存在b j 使b j g ：兢：协由对任意z ，若 z 9 i m 则z 夕= z f 及设马9 = 瓤i m 知岛，= 岛g = 翰= a ，故岛a 这 里，( i 一1 ) m j i r a 定义乜如下； 厂4 l4 2 q 。l f b lb 2 a ， “ 其中玩a i n 岛，b i g = z f 显然q o n 由引理1 2 ，2 知a e ( o 扎) 又由的定义 得，= a g 定义p 如下： 8 = 推论1 2 4 设，o n ，g 若i m f = i m g 则，= g 证明对任意z ，x g i m 9 = i m f 因为，s 夕， 故，= g 所以由定理1 2 3 知x 9 = z ， o u | l r a 玩 、lii， g 铷 q 现 研 研 一 ，lt 跏岫= 0舻 秒了加硇 纨 吼 凡 铷如蛆箫虮篇舭 咄识 1 = 鬟向 毽z ，l争 = 。曙篡l | i 山东师范大学硕士学位论文 1 3 极大元、极小元和覆盖元 引理1 3 1 设厂o n ，是恒等映射当且仅当，是满射 定理1 3 2 设，o n ，是仉的极大元当且仅当以下两条件之一成立： ( 1 ) ，是恒等映射； ( 2 ) 存在名i m s 且对每个名i r e s 都有i ( z - 1 ) 广r i 1 ，i ( z + 1 ) 厂1 l 1 证明“必要性”设，是极大元若，不是恒等映射，则由引理1 3 1 知，不 是满射即i m l 咖设名i m f 不妨设( 名一a ) f _ 1 = a z 一1 假设l a ：一1i 2 ， 取a l ，a 2 a z 一1 使口1 口2 且a 2 = m a x a 。一1 这样，a i y = a 2 y = 彳一1 定义上 的全变换9 如下： z 0 , 2 z = 0 2 若z ，可a 2 ，贝0 x 9 = z 厂可，= y 9 若o 口2 ，y = 口2 ，贝0z 夕= z ，秒厂= 0 2 ，= 名一t 口2 又 因为0 2 = m a x a ：一l ，所以1 1 9 z = z 9 故9 o n 由9 的定义及定理1 2 3 中条件( 1 ) 与( 4 ) 的等价性知， 9 ，此结论与，是仉 的极大元矛盾因此f ( 石一) 厂1 i 1 类似可证l ( z + 1 ) y - 1 l 1 成立 “充分性”设9 o n 且，59 下证，= 9 若条件( 1 ) 成立由引理1 3 1 知，是满射因此i m y = x n 因为，19 ，由定 理1 2 3 知i r e s i r a 9 那么 i m 9 = i r e s 由推论1 2 4 知，= 9 故，是极大元 若条件( 2 ) 成立因为，19 ，由定理1 2 3 知i m f i m g 下用反证法证明 i m y = i r a 9 假设i m l i m g ，则存在名x n i m f ，但z i r a 9 设z 9 0 = b i ，则 鼠下分三种情形讨论 情形1 若对任意的正整数p 石一1 都有l ( z p ) y _ 1 i = 0 ，那么存在正整数 q 7 m z 使i ( z + g ) ，_ 1 i = 1 且对任意z m z + q 都有i m 厂1 i = 0 记可= ( z + q ) s ， 因为，是保序全变换且对任意疗 z + g 都有佗，- 1 = 0 ，所以秒= 1 因为7 r ( 夕) 加 细7 r ( y ) ，所以 可) l r ( g ) 因为i m f i m g ，所以z + 口i m g ，因此存在cc 而使 c 9 = z + q i m s 由定理1 2 3 知c 9 = c y = z + q 因此c = 可) 故1 1 9 = z + q 对 9 ， ， z z ，li，、【 兰 夕 z 妙 一 z 邑 耖 z 没 山东师范大学硕士学位论文 任意t 疡都有t 9 = 石 z + q = 1 1 9 因此t 可= 1 这不可能，故i r n y = i r a 9 情形2 若对任意的正整数q r z 都有 ( z + q ) f _ 1 i = 0 ，那么存在正整数 p z 一1 使j ( z p ) 厂1 l = 1 且对任意0 z p = z 9 因此t z = 佗这不可能，故i r n y = i m g 情形3 设存在正整数p z 一1 和正整数g 7 一名满足i ( 名一p ) f _ 1 l = 1 ， l ( 名+ q ) f 。l = 1 ，且对任意z p m 名+ q 都有i m 厂1 i = 0 因为厂是保序全 变换，所以记z = ( z p ) y ，可= ( z + q ) y ，则z + 1 = 可因为7 r ( 9 ) 加细7 r ( s ) ， 所以 z ) ， y 7 r ( 9 ) 因为i m y i m g ，所以z p i r a 9 故存在b 使 b 9 = 名一p i m f 由定理1 2 3 条件( 4 ) 知b 9 = b ，= 名一p ，因此b z ) 即 b 7 = z ) 故：r 9 = z p 同理可得1 1 9 = z + q 对任意t 鼠咖都有 x 9 = z p z = t g 名+ g = 1 1 9 因为9 是保序变换，所以z t 雪此结论与z + 1 = 秒矛盾故i m y = i m g 由推论1 2 4 知，= 9 即，是极大元 定理1 3 3 设厂瓯，则厂是极小元当且仅当，是常值映射 证明“必要性”设，是极小元假设，不是常值映射，则存在的子集 a l ，如，其中a 1na 2 = 少且m a x a l m i n a 2 使a 1 ，= z 1 娩= a 2 y 对任意 z 定义9 若下： x 9 = z l ， z j 厶 显然有9 o n ，i m g i m y ，丌( ，) 加细7 r ( 夕) 对任意z ，设z ，i r a 9 由9 的定 义知 l = x l ：x 9 由定理1 2 4 知95 ，又因为x 2 i r e s ，但x 2 i r a 9 ，所以g ，此结论与，是 极小元矛盾故，是常值映射 “充分性”设，是常值映射假设存在g 0 n 使95 厂下证g = ， 由定理1 2 3 知i r a 9 i r n y 因为，是常值映射，所以l i r e s l = 1 因此 i r a 9 l i i m y i = 1 ， 即i i m g l = 1 故i m 9 = i mf 由推论1 2 4 知，= 9 定理1 3 4 设，瓯若，不是极大元，则厂有上覆盖 1 0 山东师范大学硕士学位论文 证明设，不是极大元由定理1 3 2 知，不是恒等变换又由引理1 3 1 知，不 是满射故由定理1 3 2 知存在z 7 i m f 使iz 7 1 ) s 一1 i 2 或i ( 名7 + 1 ) f 一1 i 2 不妨设一1 ) y _ 1 i 2 如定理1 3 2 必要性证明中那样定义g ，则厂 g 由 i m g = i m ft o z 7 ) 知不存在h o n 使，- 1h 9 事实上，若存在h o n 使 ， h 9 则i m f i r n hgi m g 此结论与i m g = i m fu ( 名) 矛盾故g 是，的上覆 盖 定理1 3 5 设厂仉若厂不是极小元，则，有下覆盖 证明设，不是极小元，则由定理1 3 3 知，不是常值映射不妨设，有如下 形式： ，：f a ta 2a r 1 ， x lx 2锄 其中戤厂1 = a i ，= u i r - _ _ 1a i ，m a x a t m i n a i + l 黝 x i + 1 ，i = 1 ，2 ，r 一1 定义 g 如下： fb la 3a r1 g2 lz 。z 3 研 其中b 1 = a 1 t oa 2 ，显然有g 瓯，i m 9 i m f ，7 r ( ，) 加细丌( 夕) 对任意x ， 若z ，i m g ，贝0z ，= x l 或z ，= x j ，歹= 3 ，4 ，r ； 若x y = x l ，则。a 1 由夕的定义知x g = z 1 = z y ； 若z ，= x j ，则。a j 由9 的定义知x g = x j = z ，因此对任意z ，若 z ，i m g ，则x g = z 厂由定理1 2 3 知g5 ，又因为i m f = i m gt o z 2 ) ，所以g ， 且不存在h o n 使g h _ ，故g 是，的下覆盖 山东师范大学硕士学位论文 第二章保等价的夹心变换半群上的自然偏序 2 1预备知识 在本章中，映射符号写在左边t x 表示集合x 上的全变换作成的半群，e 是x 上的非平凡关系设 t z ( x ) = ，t x l ( a ，b ) e ，( ，( n ) ，( 6 ) ) e ) ， 则珏( x ) 是7 k 的子半群固定t e ( x ) 中元素0 ，并在t e ( x ) 上定义一个新的运 “o ”如下： og = f o g 其中y 0 9 为g ，0 和，的复合在新的运算“o ”下，7 k ( x ) 作成的半群称为具有 夹心变换0 的殛) 的变种( 夹心) 半群，并记为t e ( x ；口) 若e 是x 上的等价 关系，则商集记为x z 记 7 r ( ，) = f - 1 ( x ) l x 厂( x ) ) ， 则丌( ，) 是x 的一个划分定义 如下： ：7 r ( ，) 一，( x ) 显然对任意p 丌( ，) 都有 ( 尸) = ，( 尸) 对子集a x ，记 7 r a ( ，) = m 7 r ( f ) l mna 咖) 设，t x ，则易得厂码( x ) 当且仅当对任意b x e ，存在b x e 使 ，( b ) b 7 因此，若，码( x ) ，则对每个a x e ，y - 1 ( a ) 是某些e 一类的并或 厂1 ( a ) = 砂，对每个，t z ( x ) ，记 e ( f ) = ，一1 ( a ) i a 别e ，f - 1 ( a ) 痧) ， 则e ( y ) 也是x 的一个划分显然对每个m 丌( ，) 都存在u e ( s ) 使msu 由 一般半群上自然偏序的定义知，t e ( x ；0 ) 上的自然偏序“5 ”如下： f 墨g 备存在k ，h t e ( x ；口) 使，= k og = goh ，= 忌o ， 1 2 引理2 1 1 设s ：9 t e ( x ；0 ) 且s59 ：则在殆( x ) 中，! g 证明结论显然 山东师范大学硕士学位论文 2 2 刻划与性质 定理2 2 1 设厂，9 殆( x ；口) ，则厂59 当且仅当以下条件成立： ( 1 ) e ( o g ) 力细e ( 厂) ，7 r ( o g ) 力口细7 r ( ，) ； ( 2 ) 对任意z x ，若o g ( ：r ) o f ( x ) ，则o y ( z ) = 口g ( z ) ； ( 3 ) 对任意a x f , ，都存在b x e ，使s ( a ) 9 0 ( b ) 证明“必要性”因为，59 ，所以存在南，h t s ( x ；0 ) 使，= o9 = k 0 9 = 9oh = 9 0 h ，= 后o 厂= k o ：f 对任意u e ( 的) ，存在c ，d x f , ，使 o g ( u ) gk ( c ) d ， 所以，( u ) = k o g ( u ) k ( c ) d 因此 u y - 1 ( d ) e ( 厂) 故f , ( o g ) 加细e ( ，) 设y 是7 r ( o g ) 中任意元素对任意z ，1 1 v 有o g ( z ) = o g ( y ) 因此 y ( z ) = k o g ( z ) = k o g ( y ) = y ( u ) = t o ， 其中t 。x 这样z ，可y - 1 ( t 。) = p ，p x 对任意名v 有y ( z ) = k o g ( z ) = k o g ( z ) = t 。因此z p = y - 1 ( 芘) 即y p 故7 r ( o g ) 加细丌( ，) 对任意z x ，设o g ( z ) o y ( x ) ，则存在秒x 使o g ( z ) = o y ( u ) 因此 o y ( z ) = o ( ko 夕) ( z ) = o k o g ( z ) = o k o g ( z ) = o k o y ( y ) = o ( ko ，) ( 耖) = o y ( y ) = o g ( z ) 对任意a x e ，设z a ，则s ( x ) y ( a ) = g o b ( a ) 因为h t e ( x ；口) ，所以存 在b x e 使h ( a ) b 因此y ( a ) g o ( b ) “充分| 生”构造名，h t e ( x ；0 ) 使，= k 0 9 = g o b ，= k o y 由条件( 2 ) 知对任意 a x e 都存在b x z 使s ( a ) g o ( b ) ，因此s ( x ) g o ( x ) 故o y ( x ) o g ( x ) 在每个e 一类a 上定义尼如下： 情形1 ano g ( x ) = 妒对任意z a ，定义k ( z ) = z ； 情形2 ano g ( x ) 以ano y ( x ) = 对任意z ano g ( x ) ，取z x 使 z = o g ( x ) ，定义k ( z ) = ，( z ) 取定2 ；o ano g ( x ) 对任意z a o g ( x ) ，定义 k ( z ) = k ( z 。) ； 情形3 an0 5 t ( x ) ，ano ：f ( x ) 妒若石an ( 0 5 j ( x ) 一p ，( x ) ) ，取z x 使 1 3 山东师范大学硕士学位论文 z ：幻( 。) 若名ano f ( x ) ano g ( x ) ，取z x 使的( z ) = z i m ( o y ) 利用条件 ( 2 ) 知o y ( z ) = 0 9 ( z ) = 名取定o ano y ( x ) 定义 后( 名) ：f 厂( z ) ， 【七( n ) ， z ano g ( z ) z a 一0 9 ( x ) 显然，在每一个e 一类上定义了七因为r r ( o g ) 加细7 r ( ，) ，所以对任意。，可x ，若 o g ( x ) = o g ( y ) ，则，( z ) = ，( 秒) 因此七是良定义的下证丘而) 按以上三种情 形讨论设z ，可a x e 若情形1 发生，即a no g ( x ) = 则有( 忌( z ) ，七( ) ) = ( z ，可) e 若情形2 发生，即ano g ( x ) ，ano y ( x ) = 则有 ( 1 ) 若z ，可ano g ( x ) ，设则存在z 7 ，可7 x 使z = 0 9 ( z 7 ) ，妙= o g ( y 7 ) 并且存在 u e ( o g ) 使z ，秒7 u 由条件( 1 ) 知e , ( 0 9 ) 加细e ( ，) 因此( y ( z ，) ，y ( y ，) ) e ，故 ( 七( z ) ，七( ) ) = ( y ( z ) ，y ( y 。) ) e ； ( 2 ) 若z ，可a o g ( x ) ，贝0 ( ( z ) ，后( 可) ) = ( 忌( z 。) ，七( z 。) ) e ； ( 3 ) 若z a no g ( x ) ，a o g ( x ) ，贝4 ( 七( z ) ，七( 秒) ) = ( 七( z ) ，尼( 乏，o ) ) 因多9 2 ；o ano g ( x ) ，所以由( 1 ) 得( 忌( z ) ，k ( z o ) ) e 若情形3 发生，即a n o g ( x ) 咖，a n o y ( x ) 类似情形2 可证得庇殆( x ；口) 由惫的定义显然有，= k 0 9 ，= k o j 对每个a x e 都存在b 驯e 使y ( a ) g o ( b ) 对任意z a 都存在名b 使y ( z ) = 9 0 ( z ) 在x 上定义h 如下： 危