（基础数学专业论文）平面上非局部曲线收缩流.pdf

o nan o ，是在华东师范大学攻读硕 的研究成果除文中已经注明 对本文的研究做出重要贡献 名：料嘶叫 学位论文授权使用声明 平面上一种保长度曲线流系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕 、即博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据 相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交 学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；l 司意 学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要 汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范犬学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，予年月 日解密，解毒后适用上述授权 ( 72 不保密，适用上述授权 学位做储躲枷习 导师躲 日期： 宰“涉密”学位论文应是已经华东师 万批 日期：训厂17 委员会办公室或保密委员会审定过f i 饽位 。7 论文( 需附获批的 。， 即，- - l 0 = f 焉 。， 其中x o ( o ) = ( 譬嚣潘彬，片等播却) ，= ( 一s i n o ，c o s o ) 利用最大值原理和l e r a y - s c h a u d e r 动点定理，我们可以证明初值问题是局部可解的( 定理3 7 ) 再次，我们将在第四章中将按照曲线流研究的经典方法，得到曲线的几何估计，积分估计和点点 估计，可以证明，c 关于。的各阶导数一致有界，从而证明尤关于时间t 的各阶导数也是有界的从而 我们可以得到初值问题也是全局可解的( 定理4 i i ) 最后，利用，c 一刍( t o c ) ，我们可以证明当t 0 0 时，i i | | 一0 在一系列计算之后， 我们可以得到对任意n ( o 0 ，使得0 a ( t ) = a 1 a 取 t o = i n f t ：a ( t ) = a l ，) g z , 在【0 ，t o ，令 w 矗( t ) = i n f w ( o ，t ) ：0 0s2 , 0 ， 假定存在t 【o ，t o ，使得0 0 ，并且在这一点处有 w t 0 ，w o o 0 ，w o = 0 并且w = r l 0 ， 与( 2 1 5 ) 式矛盾，因为对任意t 【o ，t o ，有w m i n ( ) w m i n ( o ) ，也就是说， ，c ( 口，t ) k m i n ( t ) = w m i n ( t ) e p t c , m i n ( o ) e 一，n 0 ， 即曲线在【0 ，t 0 1 时刻保持严格凸性那么再由引理2 4 后的注解可知，对任意的t 【0 ，t o ，有 a ( t ) a ，这与假定a ( t ) 0 ，我们有a ( t ) a 现在，我们假定存在某一时刻t 0 处，存在一个f 满足0 0 ，( 一暑) 尤( p 一紊) k ，取p = ( 景) 差，那么在( 6 1 2 ，t 2 ) 处有 p k 孟+ i i l 0 并且 w ts0 ， w o o 0 ，w o = 0并且w = f 0 ， 这也和w 满足( 2 1 5 ) 矛盾从而我们有对任意的t 0 ，w m i n ( t ) w m i n ( 0 ) 有 一( 口，t ) 芹m j n ( t ) = v 矿；n i n ( t ) e p ，c m i n ( o ) e p 0 ， 即曲线在整个发展过程中保持严格凸性 6 华东师范大学硕士论文平面上非局部曲线收缩流 由( 2 7 ) 式以及( 1 8 ) 式可知，l t 茎0 ，也就是说，在发展过程中，曲线的周长l 是单调递减的同 样的，对于曲线所围的面积a ，由( 2 8 ) 式以及g a g e 不等式( 1 7 ) 式也, - p a 得到其在发展过程中也是 单调递减的 口 于i e 记z 6 卿朱一杀凸凹或孜熙【2 1 l j 。【z i s ) 及艘，那么仕反展也程【p ，当t 趋亍尢刃灭叮，岢周 差l 2 4 r a 逐渐减小并收敛到0 i i e 碜 由( 2 7 ) 式，( 2 8 ) 式，l s0 ，等周不等式，g a g e 不等式( 1 7 ) ，c a u c h y - s c h w a r t z 不等式得到： 扣础舻4 丌f 丌蒯地2 t k 2 枷 = 警筹办棚地f 0 2 r i c 2 枷 = 一一j k 仃一zj f i 仃 la n 一 s 警( z 2 丌捌p ) 2 一等( z 2 丌蒯p ) 2 ：蛭竽( 4 r a - 2 ) 丌上， 一无l r 2 l 雨2 ( l 2 - 4 ，r a )一元不( ) = 一箬( l 2 4 删 由豢棼21 1 6 r t r a 等，我们得到： d ( l 2 - 4 们 a ) o ) ，则有，( z ) = 3 x 2 一署，从而我们有，( z ) 在z = 吾处达到最小i i i 一扣一不1 1 k ( 赤卢朵( 赤焙丽- 2 砰r ， 其中a a 0 在定理2 5 中已经证明 令g ( k ，t ，上) = p 一署咒+ p ，取p = ( 紊) ；，那么，g ( k ，t ，1 ) 0 现在，我们令 w ，m i n ( t ) = i n f w 7 p ，t ) ：0 0 2 7 r ) ( a ) 类似于定理2 5 ，我们可以得到：对任意t 0 ，有w 赢( t ) w 矗( o ) ( b ) 证明对任意t 0 ，有w 矗( t ) w 矗( o ) 8 华东师范大学硕上论文 平面上非局部曲线收缩流 同样也用反证法证明若结论不成立，则存在一点t + 0 使得w m i n ( 矿) = w m i n ( 0 ) 0 ，由w 的连续性可以假设w m i n ( 矿) 在( 口，t + ) 处达到，那么 w ( o ，t ) w m i n ( t ) w m i n ( o ) = w m i n ( t + ) = ( 口+ ，t + ) ， 而且在( 矿，t ) 处有吼0 ，口0 ，= 0 ，w 0 ，这与w 满足( 3 1 ) 式矛盾，因此w m i n ( ) i n ( 0 ) ( c ) 证明w m i n ( t ) 是严格单调递增的 设0 t l 0 从( a ) 以及( b ) 可知，砜i n ( _ ) 砜i n = o ) ，故有 ，c n l i n ( t 2 ) e p ( 。2 一。1 ) k m i n ( t 1 ) ， 因此，w m i n ( t 2 ) i n ( t 1 ) ( d ) 我们征明，c m i n ( t ) e ( 三) 是关于t 的增函数 将区间【0 ，t 】等分成个部分，t = n a t ： ：0 = t o t l2a t t 2 0 对于t l 暑由( a ) ，( b ) 以及( c ) 知 ( m ) m i n ) = i i l f ( 口，t ) ：0 p 2 7 r ) 在区间慨，t t + 1 】上单调递增 9 华东师范大学硕士论文平面上非局部曲线收缩流 定义既( t ) ： w a ( t ) = ( m ) m i n ( t ) = e m i n ( t ) e 雌( i ) + 阳加， 其中t lstst l + 1 ，0szsn 一1 ，则w a ( t ) 是单调递增的因此 t i mw a ( t ) t m i n ( 南澎 是单调递增的 下面的闭条件是很容易验证的 口 引理3 2 如果伽( 秽) = 一( 口，o ) 0 满足詹霄茄甜= 0 ，那么，对每一个时刻亡 0 ，( 2 1 0 ) 式 的解咒( 口，t ) 满足詹丌蒜裔瑚= o 口 因此，我们可以等价地将曲线的发展问题转化为下面定理中的非线性微积分方程的初值问题来 处理 定理3 3 闭凸曲线的几何发展方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 等价于如下的初值问题： 寻找，c = ，c ( 以t ) ：s 1 f o ，) - - - - 4r + ，a = a ( t ) ：【0 ，0 0 ) 一r + ，l = l ( t ) ：【0 ，o o ) 一r 十使得 ( i ) 对所有的t 0 ，有蓐c 2 + 以1 + 詈( s 1 【0 ，t ) ) ，a c 1 ( 【o ，t ) ) ，l c 1 ( 【o ，t + ) ) ( i i ) 2 一五, f f ) 卯+ ( ，c 2 一万 r ) ， 舭+ 筹， 砌s + 荨 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( i i i ) ( a ) k ( 以o ) = ( 秒) c 1 扣( s 1 ) ，c 0 ( 口) 0 并且詹7 r 盎础= o ； ( b ) a ( 0 ) = a o 0 ( a o 由( 3 6 ) 式定义) ； ( c ) l ( 0 ) = l o 0 ( l o 由( 3 7 ) 式定义) 证明( 2 7 ) ，( 2 8 ) 以及( 2 1 0 ) 式告诉我们给定方程( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 的一个解，发展曲线的用p 和t 坐 标表示的周长，面积以及曲率函数，满足( i i ) 和( i i i ) 相反地，给定该微分积分系统的初值问题的一个解k ( 口，t ) 和a ( t ) ，t ( o ，对每一个时刻t 0 ，都 存在对应的曲线贾( p ，t ) ；扛( p ，) ，y ( o ，) ) 可以被定义为( 最多相差一个平移) 坤加f 器她卵= z 一蒜她 ( 3 5 ) “r夕歹 矿 一 一 = l i = c；一况姒一出越一出 满足 譬= 一品( 以三) 于+ ( t 0 2 一渺 直接计算可得，对应曲线2 ( o ，t ) 的曲率恰好是k ( 口，t ) 现在验证曲线所围面积五( t ) = a ( t ) 事实上，由定义可得 因此，我们只需要证明a = 五利用觑= o 以及 = o 有 1 1 ( 3 6 ) 一t 硼一 _ x 丌 a 二 ： 产厶|l 12，一 12础一柙 l l 瓦 d 口 刈 肌 _ x 豺 歹z i i = _ a _ a 赢妒 叫 州 渺 铆 峨一 书 椰 一 乙 坩 辊 小 打 私 叫皆厂 如氪 如 枷扣 扣 抒“扩巾把 制一 p 一一 水一砖拇小峥 堡奎塑蔓奎堂堡主堡壅 一 平面上非局部曲线收缩流 。一一- ：= ： 从而得证 最后，验证曲线的周长l ( t ) = l ( t ) 事实上，由定义可得， l ( t ) = 0 2 霄丽= 0 2 霄v c 鬻o s 0 s i n 2 0 d 0 ：z 2 霄三d 口， 三( 。) = 0 2 霄l d o = 三( 。) ( 3 7 ) 再由曲率的发展方程( 3 2 ) 式得到： 丢= 石1 一o 2 k ；+ 2 k 尤鲫+ 一三】班， 一= 一一1 7 k ：- y r r r _ 一一l t k，c n 。 一 肖。 将( 3 8 ) 式代入( 3 7 ) 式，分部积分再利用( 3 4 ) 式可以证明三( t ) ；l ( o 引理3 45 1 寸t 0 使得3 一；e 4 7 0 ，并且令 加= 6 - l , 瓦2 7 1 + 7 2 ) 2 ， ( 3 1 1 ) 我们- t 以得到： z 斯删加f o ( o 霄删) 2 如+ z 打删 似 设f ( t ) = 后( 后丌栅) 2 疵，c = 詹丌如彬：詹耳代3 ( o ) d o ，那么警：( 詹丌删) 2r f ( o ) ：o ，从而 ( 等) 5 y o f ( 卅c ， f ( o ) = 0 解这个微分方程得到： f ( t ) 南 现在令 幻= 一1 c 7 0 = 三7 0 ( j 厂。孙k 刎 。 则对t t o ，我们得到：。 z 。( z h 删) 2 班叫雌硼班 硼啪。， 其中当0 t 0 ，并且当t _ t o 时，m ( t ) _ o 。代入( 3 1 1 ) 式可以得到当 0st t o 时， ，2 霄 州p r o f ( t ) + c c 2 7 0 m ( t ) t + c j o ( c o t o m ( t ) + 1 ) c = ( m ( t ) + 1 ) c 因为当0st t o 时，m ( t ) = f 单调递增，所以对任意t 孥，有m ( t ) m ( 等) = 2 ，从而对 0st 乎有 z 2 耳，c 3 ( p ，t ) d 口= 0 2 霄( p ，t ) s 3 z 2 霄西。( p ) d p = 3z 2 霄，c 3 ( p ，t ) d p 引理3 5 对于t 【0 ，每】，我们有 z 打硼尬， 2 t ( c 2 ) 2 d 0 ， 1 4 华东师范大学硕上论文 平面上非局部曲线收缩流 其中m i ，m 2 都是只依赖于初始值的常数 证明我们可以计算得到： 爰 z 2 霄( k 2 ) 2 d 口一0 2 霄( k 2 ) ；d p 再由曲率发展方程可知： 从而有 = 2 k 2 ( ，c 2 ) 一( k 2 ) 口( k 2 ) o r d o j 0 r 2 7 r = 2 ( k 2 ) t k 2 + ( k 2 ) o o d o 鲁菇一三+ ( 舻) 眠k 2 + ( 托2 ) 卯= 善+ 三 d - c 0 2 丌( k 2 ) 2 d p 一0 2 霄( k 2 ) ；( f 明 由引理3 4 知，当t 【o ，每】时， 同样的可得 因此 现在，我们计算 = 2 f 0 2 ( k 2 ) t 咚+ 三冲 2z 2 霄扣。抛 一厅扣+ 嘲厅扣+ 独o 打c 务枷一 2 丌序2 龛棚 甭2 丌【百7 r l 一小序2 瑚 南j 产。霄棚小2 媳研删五旷删 z 2 霄艽抛= z 2 霄( k 3 ) ( 1 ；) ；硼 ( l 2 = 2 r 1 ) ( 2 丌) ；( 3 r 斯郴3 口j 3 1 j o 托2瑚(2丌)(3拓ko物o)i ， o 舻瑚 0 ，引理得证 口 口 定理3 7 设尤( p ，0 ) = 蜘( 口) 俨+ 口( s 1 ) ，假设存在正常数a ，p 使得o 伽( 9 ) p 则存在 乃 0 使得下列方程存在唯一的解尤c 2 + 仉1 + i ( q o ) ，a c 1 ( 【o ，】) 且l c 1 ( 【o ，乃】) ： 晚= 2 锄+ 2 舻k ；十( 舻一三) ， 舾筹一o 孙蒯， 厶= 百2 7 r 2 一o 打k 2 媳 即) 幽= 一三z 孙 高 。， 州- - - - l o = o 孙丽1 瑚 。 其中，凰= ( 譬黹如，贸耥d 妒) ，= ( - - s i n p ，c o s o ) 且铂= s 1 p ，引 证明本定理将采用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理来证明解的存在性，再由标准的抛物方程理论得到 惟一性f 参见1 8 3 1 11 1 7 华东师范大学硕士论文 平面上非局部曲线收缩流 设t o = r a i n t 1 ，t 2 ，死) ，其中丑，t 2 以及t 3 待定令q o = s 1 【0 ，蜀】，伊( q o ) 为q o 上的连 续函数空间，其范数定义如下： i i v l l o = 。搿i 钉( p ，t ) 1 取闭凸集bc 伊( q o ) ： b = t ，c o ( q o ) i a v ( o ，t ) a ) ， 这里的入a 将分别由下面的( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 式给出 假设存在t a 0 ，使得对任意时间t ，0 t t 1 ，有 三山sa 2 a 。，三二。 0 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 因为”b ，再由( 3 1 2 ) 式，利用p i c a x d 存在惟性定理，可得初值问题( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 1 7 ) 式 存在惟一解a c 1 ，l 讲，并f i - i p a 表示为： a ( t ) = 山+ 丌o 页l 出一z z 豺t ，d 9 砒，五( t ) = + 2 丌2 o 去疵一o 。o 知口2 d p 出，( 3 1 9 ) 其中t 【0 ，列，f = i n | 哗一詹霄 枷l ，i 孕一詹霄钉2 枷i ) 2 r a + 4 n a 纽o + 箬+ 2 7 r a 2 ， 乃：m i n 孔，2 ( 4 0 i + 一l o ) ) ( 3 2 0 ) 将a ( t ) 代入( 3 1 3 ) 式，考虑由( 3 1 3 ) ，( 3 1 6 ) 式组成的初值问题由( 3 1 2 ) 式可知0 t t o ， 赤暑驽，而且署c 1 因此对任意的7 【o ，l 】，初值问题( 3 1 3 ) ，( 3 1 6 ) 式存在惟一 解尤c 2 + a , l + i ( q o ) 如果我们可以证明k b ，那么可以定义一个非线性的关于7 的映射 t ( t ，r ) = ，c ：b o ，1 】一b ，如果t ( v ，1 ) 有一个不动点k ，那么这个，c 以及与之对应的a ，就是 原初值问题的解 现在，我们将按以下几步给出证明 第一步先证明存在乃 0 使得对任意的t ，b ，当t 【o ，噩】时，( 3 1 4 ) 式成立 1 8 华东师范大学硕士论文 平面上非局部曲线收缩流 舾筹一小抛m 两边对积分，则有a a o 一2 7 r a t ，取t l = 畚，在 o ，t l 】上有 a 山一2 7 r a 丽a o = 虿a o 而由( 3 1 5 ) 式得： 址等一f 0 2 霄v 2 d o 等嘞一 两边对t 积分，则 圳+ ( 壁- 4 0 一2 丌冲， 取t 2 = m i n t l ，、( 4 a o r 2 2 丌入2 ) 一1 l o 得： l ( t ) 2 玩肿) 鲁t o , t 2 1 现在我们重新分别考虑( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 式， 如百l r l 一序枷筹等， 两沩对t 赖分右 取 利 两 取 其 其中 对任意7 0 ，1 】，由定理3 1 知， 由引理3 6 知 k ( p ，t ) i n ( t ) i n ( o ) e 一彬e m l n ( o ) e p 而a ， 壮m i n t c m i n ( 0 ) e 叫，序 肤m a x m , 丙 令码= 警，那么在【0 ，乃】上，k ( 口，t ) t o m a x m = a n j l t ：，k b 第三步证明存在与t ，和7 - 无关的正常数m ，使得 i i ，c1 6 m ，( o 仃 p 在长度为7 r 的区间上 ( 4 1 ) 2 1 望奎墅蔓盔堂堡主堡塞 平面上非局部曲线收缩流 一 ： ：= ： 从参考文献【2 4 】( p r o p 4 3 2 ) 知，几何估计：设闭凸曲线所围面积为a ，周长为厶则( t ) 2 rm i n ( o ) e - ( 署tk ( p ，。) 2 7 r i n ( ) 2 7 r k m i n ( o ) e 一置量 ，c 墨t ， 另一方面，在区间【o ，t ) 上，因为 平面上非局部曲线收缩流 砌髻小2 掘 训s 硒4 7 r 2 l 3 一簪 絮t 一面2 z , 2 0 ( 邵) 山) a 3 小。钨_ p 7 圳p 口 引理4 3 若君丌k ( 口，t ) d o 在【0 ，t ) 上有界，则对任意的6 0 ，都存在常数m ，使得在除玄关 于p 的长度6 的区间外，c ( p ，t ) m 证明我们将用反证法证明假定对任意的m 0 ，存在一个区间【口，b l ，b n 6 使得k m ，那么 z 细k ( p 硼= z a bt c ( 口瑚+ 0 , 2 霄l l - , b la ( p t ) 甜 ( b a ) m + ( 2 7 r 一( b n ) ) k m j n ( t ) = 2 丌，。m i n 0 ) + ( b g ) ( 朋一，c m i n ( t ) ) t 2 7 r ，r , m i n ( t ) + 6 ( m 一i n 0 ) ) = 6 m + ( 2 ，r 一6 ) k m i n ) 之6 m + ( 2 丌一占) 尤m i n ( o ) e 一( 紊) l r 当m 非常大时矛盾，故引理得证 口 引理4 4 ( 逐点估计) 若譬丌芄( 口，t ) d o 在【o ，p ) 上有界，则k ( p ，t ) 在s 1 【0 ，t ) 上一致有界 证明若詹丌k ( p ，t ) d o 在【o ，p ) 上有界，由引理4 3 知除去一个长度为6 的区间，k m 在这个长 度为6 的区间上有 k 2 ( 咖) = k 2 ( o ) + ( k 2 ( p ) ) 口d o k 2 ( 口) + l ( t c 2 ( 8 ) ) o l d o 肌怕( 厅) 咖) 5 在引理3 5 的证明中，我们有 丢【z 孙( k 2 ) 2 抛一z 甜( ，c 2 培硼】2 丌o 打( 百t c 2 ) t 枷一( a ) 9 卢霄a d o ：打k 2 硼 堡奎墅蔓盔堂堡望壅 平面上非局部曲线收缩流 一一一- ： ：= ： 对此式两边关于t 积分，可得： 移项后得： z 2 丌( k 2 ) 2 d 口一0 2 丌( ，c 2 ) ；枷 一 上2 霄( 福) 2 d 9 一z 2 霄( ) ；d 口 上( k 2 ) 2 枷一 ( ，c 2 ) ；枷 一 上( 福) 2 硼一z “( ) ；d 口1 独z 2 丌筹丌z 孙d o 一南z t c2 7 r 2 r 砌咖 小2 粕办2 一口+ 斋凡斯枷卜2 出+ a 其中g = 一 詹霄( 碚) 2 a o - f 孑丌( 碚) ；瑚】+ 2 丌詹亓- 篡o d o 因此 以班m 2 + 西( 厅) 口) 2 d o ) 5 州+ 西( 2 归+ 南z t c z 孙棚小2 d r + c ) 5 若，c 瞰是，c 的最大值，则 移项平方可以得到： 缸肌而( 2 丌尤+ 筹+ c ) 5 时，不等式 口 。 估计，从而 部曲线收缩流 ( 4 4 ) ( o ) 0 取矿= i n f t