（通信与信息系统专业论文）基于小波的水下图像去噪研究.pdf

基于小波的水下图像去噪研究摘要众所周之，二十一世纪是海洋开发时代，对于人口众多、陆地资源有限、环境日趋恶化的中国来说，丰富的海洋资源可以在一定程度上缓解中国目前所面临的诸多困境，所以开发海洋是一项意义重大、影响深远的工程。但现在人们对海洋的了解还是很少的，因此如何合理有效地利用这个潜能无限的宝藏是摆在科学工作者面前的一个难题。由于水下环境复杂，成像条件恶劣，从水下拍摄到的图像往往淹没在各种噪声中。本文的目的是尝试对真实水下图像中提取出来的噪声，利用小波这个新兴工具进行去噪，力求提高图像的对比度，改善图像质量。首先，本文研究了小波变换的基本理论，分析了小波变换的特点，随之对小波域滤波去噪的三种主要方法进行了阐述比较分析，重点介绍了小波域阈值去噪方法，对其中的几种经典阈值估计方法给出了详细说明；其次对水下图像背景噪声的性质做了简要分析，在此基础上，根据“层层独立阈值”思想，结合各种准则下的经典阈值估计方法，对含水下噪声的图像进行去噪，并提出一种新噪声方差估计方法用于确定阈值，实验对比了两种方法的去噪效果，分析讨论了原因；最后对基于广义交叉确认( g c v ) 准则的阈值确定方法进行了研究，同样是建立在“层层独立阈值 思想之上，将该方法用于含水下噪声图像的去噪，并针对正交小波变换不具备线性相位、不具有平移不变性的缺陷，将广义交叉确认( g c v ) 准则和冗余小波变换与双正交冗余小波变换分别结合用于去噪。实验表明后两种方法在去噪效果上要优于原方法，但需要更多的计算时间和更高的内存要求。关键词：水下图像；小波变换；层层独立阈值；广义交叉确认t h er e s e a r c ho fu n d e r w a t e rim a g ed e n oisin gb a s e do nw a v eie t sa b s t r a c ti ti sw e uk n o w nt h a tt h e2 1 nc e n u l r yi st h ea g ef o ro c e a n s d e v e l o p m e n t f o rc h i n aw i t hl a r g ep o p u l a t i o n ，l i m i t e dl a n ds o u r c e sa n dw o r s ea n dw o r s ee n v i r o n m e n t , t oae x t e n t , a b u n d a n to c e a n $s o u r c e sc a nl a r g e l ya l l e v i a t ev a r i o u sp r e d i c a m e n t sc o n f r o n t e db yc h i n aa tp r e s e n t , s oi ti sap r o j e c tw i t hi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ea n dp r o f o u n di m p a c tt od e v e l o ps e a s h o w e v e r , n o w a d a y sp e o p l eu n d e r s t a n do c e a n sv e r yl i t t l e t h e r e f o r e ，h o wt oe x p l o i tt h et r e a s u r eo fu n l i m i t e dp o t e n t i a l i t yr e a s o n a b l ya n de f f e c t i v e l yi sad i f f i c u l t yp r o b l e mp l a c e di nf r o n to fs c i e n t i s t s b e c a u s eo fc o m p l i c a t e du n d e r w a t e re n v i r o n m e n ta n db a di m a g i n gc o n t i t i o n s ，i m a g e sf r o mu n d e r w a t e rt e n dt ob ef l o o d e di na l lk i n d so fn o i s e t h ep a p e r sg o a li st ot r yt ou s ew a v e l e t , t h er i s i n gt o o l ，t od e n o i s ef o rn o i s ep i c k e du pf r o mt r u eu n d e r w a t e ri m a g e s ，i no r d e rt o 妇i m a g e s c o n t r a s tr a t i oa n di m p r o v ei m a g e s q u a l i t y f i r s t l y , t h ep a p e rs t u d i e st h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r m ，a n a l y s e sw a v e l e tt r a n s f o r m sc h a r a c t e r i s t i c sa n dl a t e re x p o u n d sa n dc o m p a r e st h r e em a i nm e t h o d sf o rd e n o i s i n gi nw a v e l e td o m a i n t h ep a p e re m p h a s i s e st h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d si nw a v e l e td o m a i n ，a m o n gw h i c hs e v e r a lc l a s s i c a lo n e , st h a te s t i m a t et h r e s h o l d sa r ei n d i c a t e di nd e t a i l s e c o n d l y , t h ep a p e ra n a l y s e sb r i e f l yt h ep r o p e r t yo fu n d e r w a t e ri m a g e s b a c k g r o u n dn o i s e o nt h eb a s i so ft h i s ，a c c o r d i n gt ot h ei d e ao f “l e v e l - i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g , c l a s s i c a lm e t h o d sf o re s t i m a t i n gt h r e s h o l d su n d e ra l lk i n d so fs t a n d a r d sa r ec o m b i n e da n di m a g e sw i t hu n d e r 、) l r a t c rn o i s ea r ed e n o i s e d t h ep a p e rp r o p o s e san e wm e t h o df o re s t i m a t i n gn o i s ev a r i a n c et od e t e r m i n et h r e s h o l d s d e n o i s i n ge f f e c t so ft w om e t h o d sa r cc o m p a r e da n dt h er e a s o ni sd i s c u s s e d f i n a l l y , t h em e t h o do ff i x i n gt h r e s h o l d sb a s e do ng e n e r a l i z e dc i o s sv a l i d a t i o ns t a n d a r di ss t u d i e d a sw e l la sb u i l to nt h eb a s i so ft h ei d e ao f “l e v e l i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g , t h em e t h o di su s e dt od e n o i s ei m a g e sw i t hu n d e 刑a t e rn o i s e b e c a u s eo r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mh a st h es h o r t c o m i n go fl a c ko fl i n e a rp h a s ea n dt r a n s l a t i o ni n v a r i a n t , g e n e r a l i z e dc r o 鹳v a l i d a t i o nw i t hr e d u n d a n tw a v e l e tt 工a n s f o r ma n db i o r t h o g o n a lr e d u n d a n tw a v e l e tt r a n s f o r ma r er e s p e c t i v e l yc o m b i n e dt od e n o i s e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ed e n o i s i n ge f f e c t so ft h et w ol a t t e rm e t h o d sa r eb e t t e rt h a nt h eo n eo ft h ef o r m e rm e t h o d k e y w o r d s ：u n d e r w a t e ri m a g e s ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；l e v e l - i n d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n g ；g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o ni i独创声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得( 洼! 垫遗查墓丝置墨搜别直鳗鲍：奎拦互窒或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：劐象签字日期：瑚年1 5 r 月厶日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：莉蒙导师签字：训掰签字日期：加孑年参月易日签字日期：冶谚年占月占日基于小波的水下图像去噪研究海洋覆盖了地球表面面积的7 1 ，蕴藏着巨量的资源和能源。随着地球上人口的激增，陆上资源的不断消耗，海洋逐渐成为人类赖以生存的发展新空间。人类在对海洋进行探索发现时，往往采取水下摄像的方式获取有价值的信息。但由于水下环境复杂，水中生物、悬浮物等的存在，使拍摄到的水下图像受到太多干扰而叠加了严重的噪声，水下成像的困难和水下图像的污染严重影响了人们对海洋的研究。因此对水下图像进行有效地去噪处理，反映出较清晰真实的水下信息是深海研究中关键性的课题之一。1 2 课题背景i 2 1 水的光学特性及其对水下成像的影响水对光有强烈的衰减作用，衰减方式主要有水对光的选择吸收和对光的散射两种。水对光的选择吸收可以造成相当一部分光能量的损失，这使得水下彩色摄影、摄像变得困难，通常只能在距离目标很近的地方( 1 2 m ) 进行拍摄，才能避免色彩的丢失，所以如果对水下中远距离目标摄像，成像系统多采用黑白图像的方式。水对光的散射是指光在水中传播时，受到介质微粒的作用，偏离原来直线传播的方向。光的水中散射有两种，即纯水本身产生的散射和由悬浮粒子所引起的散射。散射方式主要有前向散射和后向散射。水对光的这些散射，对水下成像影响极大。通常表现为使整个影像呈现雾化效果，且散射光影响影像衬度，使图像对比度大幅度降低。此外，水体的流动，水中存在的微粒、浮游生物等，都使水下图像的噪声增强，引起图像质量恶化，这为图像处理工作带来更多困难。1 2 2 水下图像特点典型的水下图像( 非水槽内图像) 有以下主要特点嘲：( 1 ) 照明光由探照灯发出，为会聚光照明。成像光线的强弱分布呈现较大差异，以照明光最强点为中心，径向逐渐减弱，反映到图像上就是背景灰度不均；( 2 ) 由于水体对光的吸收效应、散射效应和卷积效应使得水下图像产生较严重的基于小波的水下图像去噪研究非均匀亮度和细节模糊，而且图像信噪比很低，图像对比度显著变差；( 3 ) 不良的照明条件使水下图像出现假细节，如自阴影，假轮廓等。1 3 小波去噪的研究概况及发展现状1 3 1 研究概况由于人类生活环境和自然环境的复杂性，通常采集到的图像都是含有一定噪声的，需要对这些图像进行后续处理，才能应用到各个领域。在小波分析方法应用到图像去噪领域之前，传统意义上的去除噪声，简单地说，就是将噪声视为高频分量，通过一个低通滤波器将其滤去。但图像中目标的边缘也属于高频分量，滤除噪声的同时也会使整幅图像的细节部分变得模糊。2 0 世纪9 0 年代以来，小波理论迅速发展，小波分析方法以其时频局部化特性、多分辨率特性、解相关特性和选基灵活性等特点，被广泛应用于信号去噪领域。在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展开的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分跚。这一问题用数学表达式可以表述为：夕一a r 笆吵胪( ，) 一圳昼日”f 嘤| p 哪( f 、)，0 ) = 九( f ) + 厶( f ) ，、( 1 1 )，一 厂i 辟实际信号 形一印册协：，比，伊矿，z 一协l 卢是歹_ 矽的函数空间映射其中，o p t 代表最优解，氕( f ) 是原信号，厶o ) 是噪声信号。由此可见，小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号学的角度看，可以说，小波去噪是一个信号滤波问题。然而，尽管在很大程度上小波去噪可看成是低通滤波，但由于小波变换的多分辨率性，在去噪后能成功地保留信号的细节特征，因此在这一点上又优于传统的低通滤波器旧。由此可见，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其流程框图如图1 - 1 所示：2基于小波的水下图像去噪研究1 3 2 发展现状图1 - 1 小波去噪流程小波分析是研究非线形科学的主要工具之一。世界从本质上来说是非线性的，线性是非线性的特殊情况。以非线性为特征的非线性科学是一门跨学科的综合性基础科学，旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律。当前研究非线性科学的主要工具除小波分析外，还有分形理论、人工神经网络、f o u r i e r 分析等。其中f o u r i e r 分析发展早而得到广泛应用。法国著名数学家f o u r i e r 于1 8 2 2 年提出f o u r i e r 分析理论，其后，1 9 6 5 年美国b e l l 实验室的c o o l y e和t u k e y 提出快速f o u r i e r 变换即f f t ，两者相结合使得一个时期内f o u r i e r 分析成为理论分析和数值计算最完美的工具。但f o u r i e r 分析的致命缺点是不能作局部分析，为克服f o u r i e r 分析的不足，由科学家、工程师和数学家们共同提出了小波分析。小波分析有两个最大特点：一是“自适应性 ，它能根据被分析的对象自动调整有关参数；二是具有“数学显微镜性质啪1 ，小波变换在高频处窗口高而窄，可以精确地确定突变信号的位置；在低频处窗口矮而宽，适应分析缓变信号，这种特性被称为“变焦”。小波分析最早应用于地震数据压缩，以后在图像处理、故障诊断等方面取得了其他传统方法无法达到的效果。现在小波分析已渗透到自然科学、应用科学、社会科学等许多领域。近年来，小波去噪这一概念不断出现在有关信号与图像处理的文献之中，这标志着一种新的图像去噪思想已经形成。在早期的多尺度信号处理工作中，人们已经注意到信号与噪声在不同尺度有着不同的表现，并试图有效地利用这些特征。小波变换的出现为这一思想提供了较为理想的工具，使信号与图像的多尺度处理技术得到了迅速发展馏1 。基于小波分析和子带分解的边缘检测与滤除噪声的方法最早是由l uj i a n 和s m a l l a t 提出的口1 。w i t k i n 首先引入了利用尺度空间相关性对信号滤波的思想。s m a u a t 把数学上的l i p s c h i t z 系数与小波变换的模极大值联系起来n 们。随后，在1 9 9 4 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波域阈值萎缩方法( v i s u s h r i n k ) n ，3基于小波的水下图像去噪研究给出了t 。a q 2 i n n 的阈值估计，并从渐进意义上证明了v i s u s h r i n k 的最优性。接着d o n o h o 等又在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t i o n ) 准则下提出了另一种小波域阈值萎缩方法( s u r e s h r i n 蛐n 铂。几乎在同时，k r i m 等人运用r i s s a n e n的m d l ( m i n i m u md e s c r i p t i o nk n 昏h ) 准则也得到了相同的阈值公式。此后小波域阈值萎缩方法被应用于各种去噪过程中，取得了很大成功，对高斯白噪声的处理效果尤为明显。但是d o n o h o 等给出的阈值估计公式有严重的“过扼杀 小波系数倾向，因此其它学者对阈值的选择作了进一步的研究，提出了多个不同的阈值确定方法n 铂n 鄹，对于阈值函数的选择也形成了几种不同的方式n 6 儿玎1 ，比如有软阈值函数、硬阈值函数、半软阈值函数等。但所提出的阈值确定方法应用于非高斯、有色噪声场合时，去噪效果却不够理想，其最主要原因是由于这些方法是从d o n o h o 等给出的理论发展而来，因而它们最后的去噪效果也只能依赖于噪声服从独立同正态分布的假设。所以，j o h n s t o n e 等于1 9 9 7 年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器n 引。随后m a a r t e nj a n s e n 等又提出了基于广义交叉确认( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ，g c v ) 准则的具有尺度适应性的阈值选取方法n 引，该方法无需知道噪声方差的大小( 仃) 的先验信息，甩以解决有色噪声( 相关噪声) 的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更重要的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式。n o w a k 等人1 9 9 9 年提出了针对光子图像系统的小波域滤波算法 5 l 】，用于去除图像的p o i s s o n 噪声。h s u n g 等人于1 9 9 9 年提出一种基于奇异性检测的去噪方法哑1 ，这种方法与m a l l a t 的模极大值原理去噪方法类似，但它是通过计算一个影响锥内小波系数模的和来估计信号的局部正则性，从而对小波系数进行滤波，该方法几乎不需要噪声的先验信息，并易于推广到二维图像的去噪。c h a n g 等在2 0 0 0 年提出b a y e s s h r i n k 阈值公式啪1 ，所选阈值可随图像本身的统计特性而作自适应地改变，取得了较好的去噪效果；他们还提出了一种针对图像的空域自适应小波阈值去噪与压缩相结合的量化方法，把去噪和压缩较好地结合起来。小波去噪方法的发展大致可以分成以下三个阶段乜妇幽1 ：第一阶段，最初的去噪方法主要是利用小波变换去相关性的特点，在小波分解后的不同层采用不同的阈值，代表方法有v i s u s h r i n k 方法叭1 和s u r e s h r i n k方法1 2 1 等；第二阶段，根据小波系数的统计性质建立各种先验模型，对小波系数的萎缩自适应进行变化，即每个小波系数所采用的阈值都各不相同。采用局部领域估计方法对原图像小波系数作出方差估计，代表方法有a d a p t b a y e s s h r i n k 方法嘲、l a w m l s h r i n k 方法等；第三阶段，主要关注如何利用层间和层内小波系数的相关性。提出了二元或多元小波阈值函数。思考在去噪的同时如何尽可能地保留边缘、纹理等细节，并4基于小波的水下图像去噪研究对小波变换和其他方法结合去噪等课题开展深入研究。代表方法有b i v a s h r i n k方法强钔、小波的马尔可夫方法汹1 和复数小波去噪方法嘶3 等。近年来，对小波域阈值去噪方法的研究仍然非常活跃，新方法不断出现，而且，主要的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息田1 嘲，并利用这些信息来确定更合适的阈值，以达到更好地去噪。另外，除了阈值萎缩方法外，j o h n 和x u 等人还提出了不同的去噪方法1 ，如利用i , i p s c h i t z 指数方法和基于最大后验概率( m a x i m u m a p o s t e f i o f i ，m a p ) 的比例萎缩法等，这些方法的出现都极大丰富了小波去噪的内容。小波去噪方法已成为目前图像去噪方法的重大分支和主要研究方向之一。1 4 应用前景小波理论的应用领域十分广泛，已经拓展到：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断：地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如：在数学领域，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析领域，用以滤波、去噪声、传递等；在图像处理领域，用于图像压缩、分类、识别与诊断、去污等；在医学成像领域，已用来减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率。“具体来说，小波理论的应用在以下几个方面有广阔前景：( 1 ) 由于小波变换可以将信号或图像分层次按小波基展开，所以可以根据图像信号的性质以及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪一级为止，从而不仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以方便地实现通常由子频带、层次编码技术实现的累进传输编码；( 2 ) 利用小波变换的放大、缩小和平移的“数学显微镜 功能，可以方便地产生各种分辨率的图像，从而适应不同分辨率的图像i 0 设备和不同传输速率的通讯系统；( 3 ) 利用小波变换能够比较精确地进行图像拼接，因此对较大的图像可以进行分块处理后，再进行拼接，从而使图像的并行处理取得突破性进展；，( 4 ) 基于零树小波的图像压缩算法，在非常宽的比特率范围内具有很高的编码效率，可以实现对任意形状目标的编码，并且空间和质量都具有可缩放性。1 5 本论文主要工作及章节安排本文在分析了水下图像特点的基础上，应用小波理论对水下图像去除后向散射噪声进行了初步的研究，各章内容如下：5基于小波的水下图像去噪研究第一章绪论主要介绍了本文的研究背景，水下成像的特点，小波去噪的研究概况、发展现状和应用前景；第二章小波变换的基本理论介绍连续小波变换、离散小波变换、小波框架、正交小波、多分辨率分析和经典m a u a t 算法的内容；第三章经典小波域图像去噪方法介绍了模极大值重构滤波、空域相关滤波和小波域阈值滤波等三种方法，对小波域阈值滤波方法作了重点说明，描述了几种经典小波域阈值估计的方法，对不同方法的特征进行了比较；第四章基于噪声方差估计的小波域阈值方法去除水下图像噪声研究根据水下图像中噪声的特点，将经典小波域阈值估计方法扩展应用于有色噪声，对小波分解后的每一层每一方向进行阈值估计进行去噪，并提出一种新的去噪方法，用两种方法处理同一水下图像，比较了实验结果，并进行了讨论分析；第五章基于广义交叉确认( g c v ) 准则的小波域阈值方法去除水下图像噪声研究简要介绍了冗余小波变换和双正交冗余小波变换的基本原理，然后将这两种变换和广义交叉确认( g c v ) 准则相结合，用于水下图像中噪声的去除，比较了实验结果，并进行了讨论分析；第六章总结和展望对本文的主要研究工作进行了总结，分析了存在的不足，明确了进一步工作的努力方向。6基于小波的水下图像去噪研究第2 章小波变换基本理论2 1 小波变换2 1 1 连续小波变换如果函数矽( f ) 满足容许性条件：c 矿。挚p 1 ，则妒o ) 被称为基本小波( b a s i cw a v e l e t ) 或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，它一般是时域上以t 一0 为中心的带通函数，在时域和频域都具有局部化( 紧支撑) ，且均值为零，即：j = = 妒( o a t10( 2 。2 )事实上，任何均值为零( 即f o ) 班一o ) 且在频率增加时以足够快的速度减少到零( 空间局域化特征) 的带通滤波器的冲激响应( 传递函数) ，都可以作为一个基本小波。设厂p ) 是平方可积函数，记作厂( f ) 三2 僻) ，该函数的连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，c w t ) 定义为：町) | ( 伽。一仁删扣。 出( 2 - 3 )其中，上标拳表示共轭，变量t ，a ，b 均为连续变量。妒。占) 是母小波妒o ) 经伸缩和平移得到的，a 为尺度因子，6 为位移因子，即：妒。 ( f ) 下1 妒0 二鱼) ，口 0 , b e r ( 2 4 )aa只要小波妒( f ) 满足容许性条件( 2 1 ) ，则连续小波变换的逆变换存在，形式如下：川一扣。仁w f ( a 晰神) 警( 2 5 )也就是说，这时可根据信号的小波系数精确地恢复原信号。7基于小波的水下图像去噪研究连续小波变换具有以下重要性质。1 ：( 1 ) 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和：( 2 ) 平移不变性：若f ( t ) 的小波变换为町( 口，b ) ，则f ( t f ) 的小波变换为阿( a ，b f ) ；( 3 ) 伸缩共变性：若f ( t ) 的小波变换为町( 口，b ) ，则f ( c t ) 的小波变换为1 1 ：f ( c a ，c b ) ，c 0 ；( 4 ) 自相似性：对应于不同尺度参数a 和不同位移参数b 的连续小波变换之间是自相似的；( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。2 1 2 离散小波变换在实际应用中，计算小波变换要进行数值积分，往往需要把连续小波及其变换离散化，减少小波变化的冗余度。要强调指出的是，离散化的不是时间t ，而是连续的尺度因子a 和连续的位移因子b 眦1 。一般情况下，在离散化中，总限制a 只取正值。在连续小波变换公式中，固定伸缩步长a o 1 ，位移步长b o 叠0 ，将尺度因子口和位移因子6 分别取离散值a - 口彳，b n b 。a o “，则连续小波变换成为离散小波变换，此时小波的核函数为：“( t ) - a o m 7 知鳄净一a o m 7 劫c a o b o ) m , n z ( 2 - 6 )则函数f ( t ) 的离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 定义为：w f ( m , n ) = ( ，妒肼一) = 仁厂o ，7 锄。( a f f m t 一万b o ) a t ( 2 - 7 )对连续小波变换离散化，势必存在这样的问题：町沏，尼) 能否完全表征原信号，( f ) 的全部信息? 或者说离散小波变换系数砑伽，月) 是否可以完全重构原函数厂( f ) ? 通过研究数学上的“框架理论可以找到这些问题的答案。8基于小波的水下图像去嗓研究2 1 3 小波框架首先给出框架的一般定义吲：设日是一个h i l b c r t 空间，切，k 是h 中的一个函数序列，如果对于任意函数，日，存在0 彳 b o o ，使得下述不等式成立：a l i s l l 2s 孙伽刊1 2sbiiili2(2-8)则称切， 魁为一个框架，其中彳，日分别为框架的上界和下界。如果式( 2 8 ) 中的等号成立，即4 一b ，于是有如下等式成立：善| i ( ，训2 一a i i r l 2 ( 2 - 9 )则称该框架为一个紧框架( t i g h tf r an c ) 。如果施以更强的约束条件a b 一1 ，则切，k z 就构成了一组正交基。如果对所有的缈，还有怕川= 1 ，那么切，t 就是一组标准正交基。在紧框架的情形下，可由下式完全重构原函数：厂一彳一x s ，妒j ) 缈，( 2 1 0 )在非紧框架的情形下，可由下式完全重构原函数：，一( ，9 ，) 秀( 2 - 1 1 )其中协jk 是切，k 的对偶框架。对偶框架的严谨数学推导是相当复杂的，一般在4 与b 比较接近时，取协k 的一阶近似形式：羁一鬲2 驴，从而重构公式变为：，。南；( ，妒加，( 2 - 1 2 )由于是一阶近似，这样的重构显然存在误差。因此实际应用中希望4 与口非常接近。只要将框架定义中的函数序列切j l 日替换为小波基函数移。一 ，就得到小波框架的定义，类似的还可以得出小波紧框架、正交小波基、标准正交小波基和对偶小波框架：同样，在小波紧框架的情形下，可由类似式( 2 1 0 ) 的形式完全重构原函数；在小波非紧框架的情形下，可由类似式( 2 1 1 ) 的形式完全重构原函数，或者类似式f 2 1 2 ) 的形式得到原函数的逼近。9基于小波的水下图像去噪研究2 1 4 正交小波2 1 3 节中提到当4 一b 一1 时，移。一 就构成了一组正交小波基，所以说正交离散小波是小波框架的一个特例。一般只有在a 。一2 ，b o - 1 的情形下考虑正交小波基的构造及应用。此时，a 一2 ”，b 一万2 ”；，l ，n z ，则离散小波基表示式为：一专妒气与= 2 - m 2 t p ( 2 - t - n )在正交小波中，尺度函数和小波函数满足如下条件：( l j f - k ) ，o z ) ) 一6 n , k ，ze z( 2 1 4 )似0 - k ) ，妒o z ) ) 一6 u , k ，ze z( 2 1 5 )( ( f - k ) ，妒o - 1 ) ) 一6 n , k ，z ( 2 - 1 6 )则任一函数厂o ) 就可以描述为：厂g ) - ( ，妒肼一o ) 冲棚一p )( 2 - 1 7 )著名的离散正交小波基h a a r 基可表示如下：r 1osf o 5妒 ) 一 一1o 5st 0 ，使得魄r ，有：i ，( z ) 一厂( z 。) lsk x - - x 。l a( 3 7 )函数厂0 ) 在x 。点处的局部i j p s c h 沱指数口刻画了该点处的奇异性( s i n g u l a r i t y )类型，就是：1 ) 口 1 ，表示厂在点处可微；2 ) 0 口s1 ，表示，x o 点处连续但不可微；3 ) 口一0 ，表示，o ) 在x 。点处不连续，但有界；4 ) 口 0 ，表示厂o ) 在点奇异，实际上是噪声的特性。另外，如果对所有的石。，6 】都成立，则称口为，在【口，6 】上的一致“p s c h i t z指数。( 3 ) 消失矩( v a n i s h i n gm o m e n t )对于小波函数妒( 功三2 俾) ，如果满足基于小波的水下图像去噪研究f x 7 妒o ) 出l i r a0 ，( 厂一。工r )( 3 - 8 )品则称妒0 ) 具有尺阶消失矩。一般来讲，如果一个小波的消失矩为r ，则它对应的滤波器长度不能小于2 尺。从数值计算的角度看，消失矩的作用体现在压缩矩阵上，高的消失矩可使矩阵变的更加稀疏。( 4 ) 紧支性( c o m p a c ts u p p o r t )若函数1 , 0 ) 在区间陋，6 】外恒为零，则称函数在这个区间上紧支，称【口，b 】为妒的支集， 口，6 】越小，支集越小，具有该性质的小波称为紧支小波。支集越小的小波，局部化能力越强，紧支小波不需作人为截断，应用精度较高。在信号的突变检测中，紧支小波基是首要选择。就紧支性来讲，紧支撑区间越小，越有利于确定信号的突变点，不过又同时失去了好的正则性。( 5 ) 对称性( s y m m e t r y )设妒( x ) e z 2 职) ，若妒( 口+ x ) 妒0 - x ) ，称妒 ) 具有对称性；若妒0 + z ) 一呻0 一x ) ，称妒 ) 具有反对称性。对称和反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，可以构造紧支的小波基，使其具有线性相位，可以避免在信号的分解与重构中失真。在对信号进行小波变换时，人们总希望所选小波基能同时具有下列性质：( 1 ) 对称性或反对称性：( 2 ) 正交性；( 3 ) 较短的支撑；( 4 ) 较高的消失矩。，然而要想使一个小波基同时具有以上特性往往是不可能的。d a u b e c h i e si 。已证明，除h a a r 小波基外，不存在对称的紧支正交小波基。小波基的应用主要是挖掘其以很少的非零系数有效逼近特殊函数类的能力，选择最优小波基以产生最多的接近零的小波系数。如果信号，是i e n 的且小波函数妒o ) 有足够的消失矩，那么小尺度上的大部分小波系数就很小。实际的信号不可能是完全正则的，通常存在少数奇异点，为了使高幅值的小波系数的数目最少，必须减小妒o ) 的支集长度。因此在选择具体的小波时，面临着消失矩阶数和支集长度之间的权衡问题。基于小波的水下图像去噪研究如果厂的孤立奇异点极少且厂在奇异点之间非常光滑，那么必须选择有高阶消失矩的小波以产生最多的接近零的小波系数。如果奇异点的密度较大，则应该以降低消失矩阶数为代价来减少支集长度嘲。为了得到小波基的对称性，就要放弃小波基的一些其它特性，如果保持小波基的紧支性，正交性就只能得到近似的对称性。所以在使用中应该根据具体的要求选择合适的小波基。至于分解层数的选择问题，从理论上分析，可选取的最大分解尺度为厂一i l o g ，nl ，符号l i 代表向下取整运算。但在实际中，一般取，为3 - 5 。事lj一实上，j 越大，在小波分解时，噪声和信号不同特性表现得越明显，越有利于信噪分离；但对小波重构来讲，分解层数越多，则失真越大，即重构误差越大。这也是一个矛盾，必须选择适当的j ，兼顾二者。从这个角度来看，最大分解尺度j 应该与信号噪声能量之比s n r 有关。若s n r 较大，表明信号被噪声污染的程度较小，此时j 取较小值即可把噪声分离出去；若s n r 较小，表明信号被噪声污染的程度比较大，那么这时j 只有取的大些才能抑制噪声。实验表明，对一般信号而言，若s n r 苫2 0 扭，则取j 一3 ；在其它情况下，取，一4 可以得到良好效果湖。3 2 2 阈值函数在阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数的不l 司处理策略以及不同估计方法。阈值函数主要分为三种：( 1 ) 硬阈值函数；( 2 ) 软阈值函数；( 3 ) 半软阈值函数。设w 鼬为原始小波系数，以上为阈值化后的小波系数，t 是阈值，则：( 1 ) 硬阈值函数( 如图3 - 2 ( a ) )咄- 弦矧h i j , k l 0za0( 3 1 1 )x 0基于小波的水下图像去噪研究a g b r u c e 和g a o 在高斯噪声条件下，分析了硬、软阈值函数方法的偏差、方差及，风险公式，得出以下结论耵瑚瑚1 ：1 ) 给定阈值r 了，软阈值函数方法总比硬阈值函数方法造成的方差小；2 ) 当系数充分大时，软阈值函数总比硬阈值函数方法造成的偏差大：3 ) 当系数真值在z 附近时，硬阈值函数方法的方差、三，风险及偏差都比较大，而软阈值函数方法则在系数真值较大时才出现这种情况；两种方法在系数真值较小时，厶风险都很小。虽然硬、软阈值在实际中被广泛应用，但其本身也存在一些缺点。比如：在硬阈值函数方法中，阈值化后的小波系数影，。在r 处和一z 处不连续，但重构后的图像可能会出现振铃，伪吉布斯( p s u c d o g i b b s ) 效应等视觉失真；而在软阈值函数方法中，当i 力j l f 时，痧j 二与原始小波系数w j j 总存在恒定的偏差，直接影响重构信号与真实信号的逼近程度，势必会给重构信号带来不可避免的误差；此外，软阈值函数的导数不连续，而在实际应用中经常要对一阶导数甚至是高阶导数进行处理，所以具有一定的局限性。为了克服软硬阂值的不足并保留它们的优点，g a o c 如1 提出了半软阈值函数( 如图3 2 ( c ) ) ，其表达式如下：以，s 弘 批) 訾，瓴 f l 互) ( 3 - 1 2 )其中0 五 r可以看出它在噪声( 小波系数) 与有用信号( 小波系数) 之间存在一个平滑过渡区，更符合自然图像的连续特性。基于小波的水下图像去噪研究njw厂岁1图3 - 2 0 ) 硬阈值函数j力。一疋一互互疋7夕jw。- rrzw图3 - 2 ( b ) 软阈值函数jw一t ，zw图3 - 2 ( c ) 半软阈值函数图3 - 2 ( d ) 改进的软阈值函数图3 - 2 阙值函数目前，关于阈值函数的研究不多，在小波图像阈值去噪方法中最常用的是软阈值函数。3 2 3 各种小波域阈值估计算法简要描述小波阈值去噪方法除了阈值函数的选取，另一个关键因素是对阈值的具体估计。如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在；相反，阈值太大，重要图像特征又将被滤掉，引起偏差。从直观上讲，对于给定的小波系数，噪声越大，闽值就应该选取得越大。当前应用较多的有v i s u s h r i n k 等5 种阈值估计方法：( 1 ) v i s u s h r i n k 阈值( 统一阈值或u n i v e r s a lt h r e s h o l d i n g ) n 1 】最早的小波阈值去噪方法是d o n o h o 在1 9 9 4 年提出的v i s u s h r i n k 方法。它是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时得出的结论，是基于最小最大估计得出的最优阂值。阈值z 的选择是：基于小波的水下图像去噪研究t a 4 2 1 n ( n )( 3 - 1 4 )其中盯是噪声标准方差，是信号的长度。而且d o n o h o 和j o h n s t o n e 在参考文献 1 1 】中指出噪声标准差o r 可以由下式估计得到，即：仃。m e d i a n ( d e t )( 3 1 5 )c r 一一i j 一上) ，0 6 7 4 5其中d e t 代表最精细层的小波系数，m e d i a n 代表中值。d o n o h o 证明了这种估计在信号属于b e s o v 集时，在大量风险函数下获得了近似理想的去噪风险。而现实生活中的大部分信号、图像都近似可由b e s o v 集建模。然而由于这种阈值与信号的长度相关，当较大时，阈值趋向于将所有的小波系数置零，这就往往产生“过扼杀 小波系数的现象。虽然这个方法有较好的理论支撑，但实际应用效果并不理想。( 2 ) s u r e s h r i n k 阈值n 幻s u r e s h r i n k 阈值估计方法是在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t i o n ) 准则池1 下得到的阈值，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且s u r e 阈值趋近于理想阈值。设原始信号( 或图像) 的小波系数估计通过软阈值函数萎缩得到，即：z f 一刀，0 i , ) 一( k s g n ) t ) i ( 1 v , l 苫f ) 0 1 6 )阈值的选择可以通过风险函数来定义：r o ，一专0 夕一厂0 2( 3 1 7 )由- t 小彼燹抉的正父性，风险函数日j 以i 司样征小汲域甲写厩郊卜彤瓦：尺o ) 。专慨一x i l 2o - t 8 )首先，设z o ) 。万1 慨( 功一硎2则：e r ( t ) 。言e 慨) 一卅1 2- 专e k ) 一x 0 2 + 怯一硎2 + 2 ( ，7 。0 0 一z ，伍一功) 】_ e r ( t ) + 仃2 一n e ( v ，7 r ( y ) )( 3 - 1 9 )而当v 服从高斯分布时，则有式( 3 2 0 ) 成立：e ( k ，r b 化) ) ；d r 2 c o y , i f )( 3 2 0 )其中p l f ) 服从二项分布，其概率可以用m f 出现的频率近似。于是上式中的最后一项可以表示成：吾e 缈办0 3 ) 一号羹e 似以) )。等羔啪臼。等薹翠一等薹， f 卅( 3 2 1 )由此可得到风险函数的表达式如下：e r ( t ) 羽( f ) - - 0 2 + 等薹，啦l 卸一百1 骅n 2 _ 0 2 + 等( 一冀， i 叫)- 专却2 + 0 , 2 - - 等薹，( 1 誓l 叫( 3 2 2 )其中，是示性函数， 为两数取小。于是，最佳的阈值选择可以通过最小化风险函数得到，即：t a r gr a i ne r ( t )( 3 - 2 3 )由于信号长度( 或图像尺寸) 是己知的，所以上式可以表示成：t - 缸鼍 薹( mt ) 2 + 肘砌2 荟，( 陬l 引汁( 3 - 2 4 )i o 彳爿7 = i为了减少计算搜索的范围，在上式中最佳阈值的选择可以缩小到一个有限范围，即f 。，砭，k 】，得到s u r e 准则下的次优解。在实际应用中，由于s u r e s h 矗n k 阈值去噪方法产生较低误差，从而能获得较为满意的去噪效