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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 弱条件下解非线性方程算法的收敛性 摘要 迭代法是求解非线性方程数值解的重要算法，迭代法优劣的选择直接影 响到非线性方程结果的好坏，研究解非线性方程好的迭代法是十分重要和必 要的。寻求计算量较少、效率较高的迭代法和构造迭代格式收敛性的新判据 一直是数值分析者关心研究的热门课题。 本文围绕解非线性方程所要研究的问题，在弱条件下对几种迭代法的收 敛性进行了理论分析。主要内容如下； 在绪论部分对国内外有关非线性方程数值解的研究成果进行分析和小 结，阐述在弱条件下求解非线性方程的意义和实际应用背景，并介绍本文将 要研究的主要内容。 在s m a l e 点估计理论的引导下，利用优序列方法，在弱条件下，研究两 点弦截法求解非线性方程的收敛性问题，并给出了存在收敛性定理。 在弱条件下，研究列修正b r o y d e n 法求解非线性方程组的存在收敛性， 并且在方程组为稀疏情形时，列修正b r o y d e l l 法能还自然的保持稀疏性，而 且计算上更为简单。 提出簇具有三阶收敛的迭代法，这簇迭代法避免求，( 曲的二阶导 数，在弱条件下，我们用优序列的技巧给出这簇迭代法的收敛理论。 关键词弱条件；优序列方法；收敛性；非线性方程 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 t h ec o n v e r g e n c eo fa l g o r i t h mf o rs o l v i n g n o n l i n e a re q u a t i o n su n d e rw e a kco n d i t i o n a b s t r a c t i t e r a t i v em e t h o d sa rev e r yi m p o r t a n ta l g o r i t h mt ot h en u m e r i c a ls o l u t i o nf o r s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s ，t h ec h o s e no fa d v a n t a g eo rd i s a d v a n t a g ei t e r a t i v e m e t h o d se f f e c t sd e r e c t l yt h eg o o do rb a dr e s u l to fn o n l i n e a re q u t i o n s ，t h e r e s e a r c ho fg o o di t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ev e r y i m p o r t a n ta n dn e c e s s a r y s e e k i n gl e s sc o m p u t a t i o n a l ，h i g h e rm o r ee f f i c i e n t i t e r a t i v em e t h o d sa n dc o n s t r u c t i n gn e wc r i t e r i o n so fc o n v e r g e n c ef o ri t e r a t v e m e t h o d sa r ea l w a y sf o c u s e db ym a n yn u m e r i c a la n a l y s i sr e s e a r c h e r s ，t h e p r o b l e m sh a v eb e c a m et o p i c a li s s u e s i nt h i sa r t i c l e , t h er e s e a r c hq u e s t i o n sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sa r e f o c u s e d s o m ei t e r a t i v em e t h o d sa tes t u d i e du n d e rw e a kc o n d i t i o n ，t h e c o n v e r g e n c eo ft h e s ei t e r a t i v em e t h o d sa r ea n a l y s e dt h e o r e t i c a l l y 砀pc o n t e n to f t h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： t h ea c h i e v e m e n t so fn u m e r i c a ls o l u t i o no fn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ea n a l y s e d a n ds u m m a r i z e da th o m ea n da b r o a d ，t h es i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lb a c k g r o u n d o fs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ee x p o u n d e du n d e rw e a kc o n d i t i o n , a n dt h e m a i nc o n t e n to ft h ea r t i c l ea r ei n t r o d u c e di nt h ep r e f a c e b ym e a n so fs m a l e sp o i n t e s t i m a t e sa n dt h em a j o r a n tm e t h o d ，t h e c o n v e r g e n c eo fs e c a n tm e t h o df o rs o l v i n gt h en o n l i n e a re q u t i o n si ss t u d i e da n d p r o v e du n d e rw e a kc o n d i t i o n c o l u m nu p d a t eb r o y d e nm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n si ss t u d i e d u n d e rw e a kc o n d i t i o na n dt h ee x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c et h e o r e mi 8a l s og i v e n ； c o l u m nu p d a t eb r o y d e nm e t h o dc a nk e e pt h es p a r s i t yw h e nt h ee q u a t i o n sa r e s p a r s e ，a n dt h ec o m p u t a t i o no ft h i sm e t h o di sm o r ee a s y w e p r e s e n taf a m i l yo fi t e r a t i v em e t h o dw i t ht h ec o n v e r g e n c eo f o r d e rt h r e e t h ef a m i l yo fi t e r a t i v em e t h o d sa v o i de v a l u a t i n gt h es e c o n df r e e h e td e r i v a t i v e ， w ee s t a b l i s hc o n v e r g e n c et h e o r e mb yu s i n gt h em a j o r i z i n gm e t h o du n d e rw e a k i i 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 c o n d i t i o n k e y w o r d $ w e a kc o n d i t i o n ，m a j o r a n tm e t h o d , c o n v e r g e n c e ，n o n l i n e a re q u a t i o n s i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文弱条件下解非线性方程算法的收 敛性，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究 工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写 过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名夏d 坤船日物午9 月留日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 弱条件下解非线性方程算法的收敛性系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版 本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，啦年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 互乃堙缸 醐叼年伊咿 醐呷嘶朋日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的背景及意义 近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善，求解 非线性方程的问题越来越多地被提了出来，例如非线性有限元问题，非线性力 学阀题，电路问题，电力系统闯题，经济与非线性规划问题等。而且其中相当 多是由拟线性或非线性偏微分方程或常微分方程离散化后得到的，最简单的例 子如两点边值问题【l 】；对包含有未知函数及其导数的非线性项的微分方程，无 论是用差分法还是有限元方法，离散化后得到的方程都是非线性方程。 非线性方程的数值解法是计算数学的一个重要课题，在实际中具有广泛的 应用，特别在各种非线性问题的科学计算中更显出它的重要性，因此一直是数 值分析学者所感兴趣并参与研究的热门课题之一。 对非线性方程f ( 曲= 0 的数值解，以o s t r o w s k i ，k a n t o r o v i c h ，s m a l e ，王 兴华等为代表的学者分别从解的存在性、收敛性、收敛速度及误差估计等方面 进行了深刻的研究，形成了较为完整的理论体系。 在假设解存在的条件下，以o s t r o w s k i t 2 j 为代表的学者给出了n e w t o n 法、 简化n t 朗t , r t o n 法及其变形迭代的收敛性定理和相应的误差估计。在不知解是否存 在的情况下，k a n t o r o v i c h t 3 , 4 给出了n e w t o n 法的存在性收敛性定理，并提出了 优算子的思想，该思想的核心就是构造一个一维的迭代方法来控制一个高维迭 代方法，从而通过分析一维迭代方法的收敛性来推出高维迭代方法的收敛性， 并进行误差估计。该思想后经o r t e g a 【锕明确定义，提出了优序列及优函数的概 念。其后t y a m a m o t 0 1 7 ，i o a n n i sk a r g y r o s f s , 9 ) ，王兴华【i o 1 n 、黄正达f 1 2 j 等人相 继给出了其它迭代格式的k a n t o r o v i c h 型收敛性定理，并对许多迭代方法给出了 最优先天误差估计和后天误差估计。 k a n t o r o v i c h 关于n e w t o n 法的收敛性定理一直被视为收敛性分析思想的典 范，它的特点是对f 可微性要求较弱，但需要f 的某阶导数的整体性态。为 此，s m a l e 认为有必要用f 的解析性条件取代了k a n t o r o v i c h 的整体性假设( 即f 的某阶导数在某个足够大的区域具有l i p s e h i t s 连续的假定) ，完全只用f 在初始 点信息来刻画n e w t o n 迭代法的收敛性 1 3 , 1 4 ，于是他提出了点估计判据： 设f 是实的或复的b a n a c h 空间层的某个区域到同型空间的解析映照，点估 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 计判据为 口= a ( z o ，) = 7 ，岛e = p ( z o ，f ) = 0 d f ( z o ) 。1 f ( z o ) 0 。上 h ( 孙f ) - s 删u p d f ( z o ) - i 型n t iri 并证明了存在绝对常数，当口 时，从z = z o 出发的n e w t o n 法 磊+ 。= 乙- d f ( z 。) _ 1 ，( 乙) ，刀= o ，l 有意义且收敛。从而开创了点估计条件下 n e w t o n 型方法研究的一个新领域，并取得的了许多优秀成果。这对连续复杂性 的研究极为重要。而后王兴华【剐6 1 、韩丹夫【1 7 1 ，郑仕明【l s l 、郭学萍【1 9 1 等人将优 序列技术引入点估计，并最先建立起了n e w t o n 型方法的最优点估计理论，对 s m a l e 定理做出了彻底改进。这项工作的另一个重要意义在于，能在同等条件 下比较不同算法的效率【媳2 n 。 但由于点估计判据是强条件假设，要求被求零点的映照，在初始近似值 的某个适当大的邻域内解析。因此，1 9 9 7 年王兴华导出了口判据的弱条件阎。 弱条件的定义如下： 设e 和f 是b a n a c h 空间，对于z o e 和正数p ，以b ( z o ，力表示气的p 邻 域，即满足l l z z 0 8 p 的z e e 的全体，b ( z o ，力表示其闭包。设f 是从某个包 含b ( z o ，力的区域到，的映照。 所谓，在z o 满足关于b ( z o ，力的k 阶厂一条件，是指f 在b ( z o ，力具有连续 的k + l 阶导数，d f ( z o ) 川存在( 即d f ( z o ) 以是连续线性算子) ，并且 i d f ( z o ) _ d 。，( 气) l i o ，u ( x o ，) = x x ： x - x o u 0 ，我们称，在而d 处满足厂一条件，如果，在x = 处 是二次f r e c h e t 可微的，f ( 而) l ( y ，朋，并且对坛_ | ，) ，有 帜而) - 1 f 一( 小丽f 2 7 万 q 呦 令口0 ，a 0 ，b 0 ，定义实函数如下： m 讲禹歹1 7i 一7 ty ( 2 - 5 ) 将迭代f f 式( 2 2 ) 作用在厂o ) 上得到 。- = 乞一了揣厂( ) ( 2 - 6 ) 其中，t l = 吲，t o = 0 。 引理2 1 假设 口：砂攀笙3 一一2 一q f 2口2 缈l s 一 1 + 口厂 ( 2 7 ) 由式( 2 6 ) 所产生的序列瓴) 是单调递增的，且收敛于方程他) = o 的较小正根 其较大的正根为： 卜! 竺二亟夏至 4 7 厂：! 竺垣翌至 4 7 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 那么，对于 g = 丽1 - y t ，= 厂；，q l = g 舄 ( 2 1 。)g 2 f 万2 厂芦 2 g 芦写 w 和a 为f i b o n a c c i 序列，则有下列估计式 o 门篇 其中 = 蔫肇 吒= 等+ 悬+ 等 证明我们将首先证明对所有的七0 ，有 气+ l 气 f ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 成立。 当k = 0 时，由初始条件易知式( 2 - 1 4 ) 和式( 2 - 1 5 ) 成立。 假设k = 0 l ，n l ( n l 为一固定的自然数) ，有式( 2 1 4 ) 和式( 2 - 1 5 ) 成立。 当k = n 时，由归纳假设和式( 2 6 ) 以及【s ，t 】= i s ，f ；门，有 t 一乞= f 一o + 【0 2 ，- l ；厂】。1 u ( 气一1 ) - f ( t ) ) = 【乞- 2 ，o 。r 1 ( 【，2 ，一卜【一i ，t 】) ( f - t 一i ) = - i t - 2 ，厶一l 】。1 0 一乞一i ) ( 广一乙一2 ) 【o ，乙一2 ，t 】 其中，【s ，t ，“】表示函数厂在点s ，f 和u 处的二阶差商【s ，t ，u ；f 】。 由差商的性质可知，j 厩( 乞吨，乞一) 和夕( o ：，t ) 使得 【厶巾乞一i 】= 厂( 风) o - 1 0 ( 2 - 2 1 ) 从而当n ：k 时，式( 2 1 4 ) 成立。这样我们完成了归纳法的证明，而且序列娥 收敛于t 。 由式( 2 8 ) 、i i 戈( 2 9 ) 和式( 2 - 1 6 ) ，我们易得 g 总= g 总g 2 扩矿( 脸o ) 陋2 2 ) 显然，如果口 3 2 , 5 ，则f f ，由式( 2 2 2 ) 可知式( 2 一1 1 ) 的第一部分成立。 另一方面，令五= 厂( f 一) 和咋= 2 五，由式( 2 1 6 ) 可得 卜”币篙嚣o 岱2 3 ) 由f i b o 纰c c i 序列的定义( p - 2 = 1 ，卫l = 0 ，以+ l = + n l 伽一1 ) ) 和式( 2 - 2 3 ) 可得 丸+ - 2 瓦：i 加o ) 伫。2 和 材柑2 石而l l n u n - ! o o ) ( 2 - 2 5 或 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 土= 纽+ 纽+ 磊一1 ( n z o )( 2 2 6 ) 由丸的定义可证得式( 2 - 1 1 ) 的第二部分也成立。 引理2 2 对引理2 1 中的序列娥) ，有如下的误差估计 ( 1 ) 当口 - 0 ，有 晒。邴羔m w 篇c 毒，净 ( 2 ) 当口- 3 2 乏时，对所有的刀l ，有 小譬姻广一6 白14 5 只i l + 证明由式( 2 一1 1 ) 和下面的事实 7 以孚c 毕 易得引理的结论成立。 2 3 主要结论 定理2 1 设算子，在而d 处满足7 一条件，孑( 而，( 1 一习4 2 与d ，令 = zy t ，x o d 且8 而一t 8 口，肛_ ，x o - 1 f ( 而) 0 6 并假设条件式( 2 - 7 ) 成立，则由 两点弦截法( 2 2 ) 式所产生的序列k ) ( n o ) 在u ( x o ，t ) 是有定义的，并且它收 敛于方程f ( x ) = o 翟e u ( x o ，t ) u u ( x o ，t ) 中的唯一解工。而且对所有的咒一1 ， 有下面的估计式： 。一毛忙- t ，9 x - x + 0 一广 证明我们将首先证明序列k ) 是有定义的，和 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 l l 毛+ l 一毛0 厶+ l 一乙刀= o ，i ，( 2 2 7 ) 成立。显然，当n - - - 0 时，式( 2 2 7 ) 成立。 假设五，恐，是有定义的，并且对于刀= 0 ，1 ，k ( k 1 为一固定的正整 数) 。 下面我们证明【小五r 1 的存在性，那么耳+ 。是有定义的。事实上，由注 记2 4 、7 一条件式( 2 啕和归纳假设，我们得到 4 j f 7 ( 而) 叫【吒一。，】8 = f ( ) 一f ( ，( 而) 一f 7 ( 。+ ( 1 一力五”旃8 = 0 j cf f ( 而) 1 “( 1 一j ) 而+ 5 ( 一+ ( 1 一f ) x i ) x x o 一瓴一一( 1 一f ) x 。) d s d t i ff 高s y 紫搴器扣拈 五与( 1 一恢一一t 一( 1 - f ) 黾1 0 1 3 一 f 万i l r b o - = , 耐小 与( 1 一 一( 1 一f ) 移2 ”一 ， f e 瓦击两矿一t = ! 一1 t ，我们假设方程( 2 1 ) 式有另一个解y u ( x o ，t ”) ，考虑算子 ，y 。】。如果我们证明算子三是n - i 逆_ 的，那么r = ，。为此，我们估计 8 i - f ( 而) q 三6 。由式( 2 2 8 ) ，我们得到 0 i - f ) _ i x ，y 】l l ： 8 ，( 而) qf ( f ( 而) 一p ( 红+ ( 1 一f ) j ，) ) 出8 = p ( x o ) - 1 耿“l 叫而叫f ，+ ( 1 一砂) ) ( x o - t x - ( 1 - t ) y ) d s d t l l f f 而f 谛小 ( 1 - y t * 上) ( 1 - y t 一 ) 一1 = l ( 2 - 3 乃 。， 由式( 2 3 7 ) 乘ib a n a c h 引理可得算子三是可逆的。定理证毕。 2 4 本章小结 我们引入广义差商算子并对广义差商算子进行了必要的介绍，在f 7 0 ) 不 存在或( 功q 很难计算，给出了牛顿迭代法的离散形式一两点弦截法，它是一 种为了避免求导而采取的近似，适当条件下可以达到1 6 1 8 阶的超线性收敛速 度。在弱条件下，给出了两点弦截法的充分性收敛条件，并证明了两点弦截法 的半局部收敛性。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章列修正b r o y d e n 迭代法的收敛性 3 1 预备知识 考虑非线性方程组 ，( 砖= 0( 3 1 ) 的数值解。其中，f ( 功= ( 石，五( 工) ) r ，x r ”。 由于拟n e w t o n 具有超线性收敛性，而其每步计算量仅为n e w t o n 法的 1 d ( 勺，因此，被认为是解多变量非线性方程组的有效方法，但它不能保持稀疏 忍 性，由于大量的常见的非线性方程组的稀疏性特征，因此研究保持稀疏性拟 n e w t o n 法具有重要意义。冯果忱，李光烨曾给出了k a n t o r o v i c h 型条件下拟 n e w t o n 法的收敛性定理，但k a n t o r o v i c h 型条件是区域型假设条件，它需要对 函数在一个区域上的值做估计，这往往给应用带来不便，需要对k a n t o r o v i c h 型条件进行弱化。本文利用优函数序列，给出了弱条件下列修正b r o y d 法的 存在收敛性，并且在方程组为稀疏情形时，它能自然保持稀疏性，而且计算上 较通常n e w t o n 法更为简单。 列修正b r o y d 吼迭代格式为： 黾+ l = x k 一巧1 f ( x j ) 盈二= 蹦一气妒警驴七删刀) ( 3 - 2 ) q k = f ( 以+ a ) 一，( 咯) 其中，p k = 仉气，o 坑8 五一毛一。8 。 用式( 3 2 ) 计算时，每步比b r o y d 饥方法多计算一个向量值函数 ，瓴+ 仇气) ，然而免去了计算尾时所需要的刀2 + 刀个乘法运算，因为利用式 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 3 2 ) 实际上只需将嘎一。的第列换成垒即可。在稀疏情况下，并不要计算整个 l | k ，k + 仇气) 的值，而只要算它的很少的几个分量。 引进记号 五= f ，瓴+ t p d d t 则有中值公式有 q k = f ( + n ) 一f ( j c i ) = 以见2 仇以气 由此推出，若以的第列某些元素为零，则吼的相应元素也为零。因此，若初 始矩阵与f 7 ( 力有相同的稀疏性，则绞将永远保持这种稀疏性，这是列修正 b r o y d e n 法的重要优点之一。 列修正b r o y d 迭代格式具有下列重要特性，它们可以由式( 3 2 ) 直接导 出： 性质3 1 当七刀时，式( 3 - 2 ) 定义的嘎满足下列关系： b k p j = q j ，j = k n + l ，k n + 2 ，k 从上式可以看出，列修正b r o y d e n 法中的鼠在前以步分别沿着刀个坐标方向满 足拟n e w t o n 方程，而b r o y d 法只在第k 步上满足该方程，这是二者的重要 区别。 性质3 2 当七h 时晟由考( ，以叫+ l 卜斛2 ，朋唯一确定，而与 局o 七一刀) 无关。 盟乃 。一 = ， & 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 为了在弱条件便于证明列修正b r o y d e n 迭代格式的收敛性，利用记号以， 给出式( 3 - 2 ) 的等价形式： 毛+ l = x k 一巧1 f ( x i ) b q = b + ( 以一反) 气，= k ( m o d n ) ( 3 3 ) 以= p ( x k + r l k e j ) d t 其中，p k = 仇气，0 r k - l l x 量- x k 1 0 。 3 2 主要结论 定理3 1 设f ：d c _ f - - 9 在凸区域d 上二次可微，且f ( x o y l 存在， 五，厂为给定的正数，满足： ( 3 - 4 ) 如果口= 7 。v 州吖， 故( 力在 0 , t 】上单调递增。若0 乙 t ，则 气 ( & ) = 气+ 1 9 。) = 广 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 用归纳法可以证明由式( 3 6 ) 产生的迭代序列 t k 是一个单调递增有界序列。令 憋气= 广，在式( 3 6 ) 中令k _ ，得( f ) = 0 ，即t - t 。 强3 斗一拜1 坛矾 引入记号 e 1 以( “，d2 上f 似+ 秒( ，一u ) ) d o t g , ，d a o ( p ，g ) = f ( p + o ( q p ) ) d o p ，g r 这里f 和分别由式( 3 一1 ) 和引理3 1 所定义。我们有 弓l 理3 3 设0 r s t t “，“ ，w d 满足 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 0 u - x o l l 一e ，8 v 一而l | s ，8 w - x o l i - r l u - , l l _ s - r ，8 w - q 1 5 r - s 如果f 满足式( 3 - 4 ) ，则 l p 瓴) 。【五“忉一以( “，力】l | 假d 一厶化$ 证明因 a ( u ，1 ，w ) ：a f 7 ( 而) - 1 【，( ，+ 耿w v ”一，( “+ 口( 1 ，一“) ) 】= f ，瓴) 一1 ，一 + p 一徊+ 硕v 一留) + 硪w 一蝴d f 【( 1 一锹y 一材) + 耿w 一吩】 依d 的凸性及引理条件，有 ( 7 一礤+ 乡) ( y 一掰) + 卵( w 一力d 且 8 砧+ ( f 一徊+ d ( y 一材) + 幻钗w v ) 一而i s 足+ ( f 一刀+ 口) ( s 一尺) + t o ( t s ) t t ” 故 l a ( u ，k 叻8s j c1fjiji夏：i；二：ro+jo墨)兰(s兰二ir)+耐ro(r f 【( 1 一护) ( s 一犬) + 秒( r s ) 】 南【l _ 7 僻+ ( r 一 一 一劝】3 卜 “7 、 q h o ( s + o ( t s ) ) 一h o ( r + o ( s - r ) ) 从而 咿7 ( 而) 卅【厶( v ，们一以( u , , ) l l - - iifa ( u ，州乡忙 f 【( s + o ( t s ) ) 一( 尺+ o ( s - r ) ) d o = 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 气( s ，d 一九( 尺，回 定理的证明我们首先证明，对所有k ，有 l l 耳+ 。一气+ 。- t k ( 3 8 ) 恒成立。这里 以 ， t k ) 分别由式( 3 - 3 ) 和式( 3 - 6 ) 所定义。 依定理假设，当k = 0 时，式( 3 - 8 ) 很显然成立。现假设对于1 - k n 时，式 ( 3 8 ) 成立，易得 恢- x o l ls , - t o = 广 由 巨 的定义，易知 以一垦= ( 以一以一。) + ( 以一。一反一。x i 一气) 利用引理3 2 、引理3 3 及归纳法可证 0 ，7 ( ) 一1 ( 以一色) 0 也，o 。) ( 3 - 9 ) 又由式( 3 - 3 ) 的关系，有 f ( x n + i ) = f ( k 1 ) 一，( ) 一或( k 。一毛) = ( 以一只) ( “一毛) 由g ( t ) 的单调递增性，有 8 f ( 而) - 1 ，( 毛+ 。) 0 8 j y ( ) - 1 ( 一或) 0 8 毛一毛8 厶( 乙，o 。) ( 乙+ 一厶) = h o ( t + 1 ) 一以) = ( h o c t + i ) 一乙+ i ) 一( ( 乙) 一气) + ( 厶+ l 一乙) = j j i ( 乙+ 1 ) 一2 h o 纯+ 1 ) + 2 h o ( t ) 一i l ( 乙) + o i 一厶= j i l ( 乙+ 。) 一2 r 【也+ 秒( + 一乙) ) 一( 厶) p 口( o 。一) j j l ( 乙+ i ) ( 3 1 0 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 另一方面 统+ t 一以= 一( 以一e ) u 一气) 由式( 3 9 ) 及引理3 3 ，有 i l f ( ) 。1 占o 。一, 1 1 - 1 1 ，( ) 一1 ( 色+ 。一以) l l + 8 ，( 而) 一1 ( 以一f ( ) ) 4 由b a n a c h 定理得 从而 s 2 厶( 乞，乙+ 1 ) 2 ( 乙+ 1 ) 1 盼f ，( 而) i i 而1 ( 3 - 1 1 ) k + 2 一+ n - h 碟。，( 而) 8 f ( 而) q ，( 工。) 1 1 - 0 ，则函数丸 = 哦( f ) 一f + 的较小零点w 的增加而增加，w 最多增加到w ，使得屯( f ) 恰有唯一零点，此时屯( f ) 的驻点毛亦是屯( f ) 的零 点。即满足尢( 毛) = o 及 若取 砖( 乇) = w h o c t - ；) 一1 = o l 一2 ( 喀) = i 1 ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 由式( 3 1 6 ) 和式( 3 1 7 ) 可推得w = 3 。易知屯( f ) = j i l ( f ) = 妒( f ) 一f ，从而当 a 6 2 + i 一2 0 历丽时，广吒。于是 l 一2 ( 霹) l 一2 h 5 ( t 论1 2 聪( 弓) = ；，七= o ，1 ” 由式( 3 1 4 ) ，再用数学归纳法可得式( 3 1 5 ) 对- - t ；7 jk o 恒成立。改写式( 3 1 5 ) 为 如下形式 霹+ + i y ( $ + 乞) ，k = o ，1 ( 3 一l s ) 若令嘞= 霹+ 广，+ 。= y ( 心) ，由式( 3 1 8 ) 蝴b 由式( 3 - 1 3 ) o 霹+ 巳+ i 。，办：【。，( 1 一拶1 二】1 _ 尺是实函数，定义如下 椰m 叫+ 啬 记口= 7 ，当口s 3 2 芝时，五有两个实正根 ，；：生竺匝业， = 生型避二堕 47。47 它们满足 脚( t + 击) 脚一匆知万1 x c x o d ，假设f ( 厂1 存在，我们有 定义4 1j j i ( f ) 由上面定义，我们说j i l 关于，在而满足厂一条件，如果 4 f ( 而) _ ，) 8 肛瓴) 一f 。( 而) 2 y 护) 。1 f 一( 工) 0 6 广 f 不可慨。，卜而l i ( 1 一拶1 歹1 引理4 1 假设办关于，在而满足厂一条件，如果肛一而i i ( 1 一万1 歹1 ，则有 ( 1 ) 0 f ( b ) 。f ( 工) l j l ( 1 j x 一而渺 ( 2 ) f ( x ) 。1 存在且 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 8 ，尸瓴) 卜而与 证明由定义4 1 我们可以得到 妒c x o ) q ，( 删 l f ( 毛) f ( 而) 8 + f 胪( 而) q 尸弋而+ f ( x 一而”8 肛一戈o u a , 矗一( o ) + f 矿( e l l 工- 工1 1 ) l l x 一而0 班= h ( 1 l x 一而1 0 l 引理( 1 ) 式成立。 由泰勒公式知： f ( x o ) - f ，( 工) = j + ，( x o ) - f ( x o x x - x o ) + ，) 一，舯( x o + t ( x - x o ) ) ( 1 一t ) ( x - x o ) 2 d t 由上面的假设，我们可得当肛一而4 ( 1 一忑1 歹1 时， ( 1 l x - 工0 1 1 ) 。，因此 l ，( ) 1 ，( 力一叫8 ，( x o ) - 1 ，( j r o ) | l l l x 一而4 + f l l f ) 1 f _ ( + f o 一毛) ) ( 1 一f ) 疵忙一而1 1 2s f 矿( t l x - x o d x - 工o l i 2 ( 1 一t ) d t + h 。( 0 ) | | 工一而悴 j i l 1 4 i x 一工0 1 1 ) 一h ( o ) = h ( 1 1 x x o l l ) + l l 由b a n a c h 引理，我们可得引理( 2 ) 式。 引理4 2 把迭代公式件2 ) 作用在 ( f ) 上得到 瓦= 乙一 7 ( f 。) 一i i l ( f 。) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 。，= 乞一【去耿乞+ 量瓴一乙；) + ( 1 一i j l 纯) 】_ l j i l ( 厶) ，名( o ，l 】 则当口3 2 至时，由t o = o 出发的迭代序列玩) 单调上升并收敛于j l ( f ) = o 的 较小的正根，i ，且有下面的估计式 n ，寿 其中 - 1 6 + ( 3 + 7 a + 3 d l 一6 口+ 口2 ) j r - a ( 1 + 口+ 4 1 - 6 0 ：+ 口2 ) 五21 一隅 1 = _ _ _ - = _ _ _ ；= = = = = = = = = = = = _ _ = = = = = = = = = = = = = = = 二_ 一l 三 - 1 6 + ( 3 + 7 a - 3 4 1 6 口+ 口2 ) 名一a ( 1 + 口一l 一6 口+ 口2 ) 名21 一m f = 历至。 恐 证明序列瓴) 的单调性和收敛性由下列事实 么# 一纵乞) _ j i l ( 。) s 。幺。譬乙一( 乞) + 三 以) 瓴一乙) 】- i 办以) 及文献 5 6 、【5 7 相应结果可得。下面给出以) 的误差估计。 令f = ，g ( f ) = 加( 三) = 口- - z + 二，则g ( f ) 的两个根为： ， 1 一f 1 + r - a 2 - 6 a + l f = 一 4 把迭代公式( 4 - 2 ) 作用到g ( f ) 上得到 其中，r o = o 。 。l + f + 4 o f 2 - 6 a + l ，f = 一 4 = 毛- g ( 乙) - 1 9 ( 0 ) 气+ 。= 乙一【三( + 害( 蚝一毛) ) + ( 1 _ 争g ( 毛) r g ( l ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 从而易得到乙= 以，心= 隅，且，i - t = 三( f 一) 。 1 7 记a = f 一f ，b = f ”- - g ，c = l f ， l = a 2 ( 6 _ c ) 一以唧一害) ， 则 g ( f ) = 2a b c 肘- 6 2 ( 口一c ) 一口b c ( 1 一窆) ， g ( f ) =( f - o ( r “- r ) a b 一= 一 l fc n = a 6 c ( 1 + 量) 一c 2 ( 口+ 6 ) ( 1 - 0 2 a b 一口c 一施 ：广一 衍吾黔= 虹墼丝翟字挫逊型 如f 。扫f 一吾器h l 一扣瑚- t g = 口+ 曲f 一詈器h - 一扣硼- i g 由计算可得 = ! ：竺二竺坚兰二兰兰竺：二竺三：二竺：二兰兰竺：竺：二主兰：! 竺 删一m a r 一肼+ ( 名+ 1 ) ( 幻- a c - b a ) 口b ( 1 + i j t ) 一c ( 口+ b ) y 腿设6 ，矿【扣f 专黯+ ( 1 一争荆】- z g ，则有 6 ，：b 3 ( a - c ) ( 3 垒) + 3 堡x 2 ) b a 2 + a b c 2 - ( 3 2 + a ) a b c + a a c 2 _ 3 垒2 2 a 2 c 1 肼一m n 一肼+ ( 肌1 ) ( 如- - a c 施) 口6 ( 1 + 兰) - c ( 口+ 刎2 阴肚 当，y 气一，厉时右 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 三筋：c 4 3 。2 一九口c 4 。，= 蠹3 , 2 3 2 等- 2 一一心f j p ，( 加琴鹫等一 p 3 ( r ) = 4 c 2 ( 一3 + 2 d 一2 6 c ( 一1 2 + 5 2 + 3 力2 ) + 6 2 ( - 1 2 + 2 2 + 5 3 , 2 + 名3 ) = c 2 4 ( - 3 + 2 a ) 一2 b ( 一1 2 + 5 3 , + 3 3 2 ) + ( 垒) 2 ( 一1 2 + 2 3 , + 5 2 2 + 2 3 ) 】墨c 2 q ( b ) 当o 2 1 ，由于多项式g ( f ) 的判别式 a = 4 ( 一1 2 + 5 3 , + 3 3 , 2 ) 2 1 6 ( - 3 + 2 3 , ) ( 一1 2 + 2 3 , + 5 2 2 + 2 3 ) 小于等于零，因此见( f ) o 。又因为口6 ，名( o ，1 1 ，f 吾。于是得到 a ( 力0 ，仍( f ) o 。从j 而p ( r ) s0 得证。因此 p ( 郴p ) 坐塑丝生磐丝娶壁业丝攀丝竺篓 - 1 6 + ( 3 + 7 a 一3 4 1 6 a + 口2 ) a 一口( 1 + 口一、，1 6 a + 6 2 ) 兄2 则 尘(刍3生；-16+(3+7a+3xl-6a+a2)3,-a(1+a+xl-6a+a2)3,5：，7(旦)3 b 。、6 7 l f - 1 6 + ( 3 + 7 a - 3 1 - 6 0 r + a 2 ) 2 - t r ( 1 + a - x l - 6 t r + a 2 ) a 2 一7 、6 2 8 砰一矿施一抛塞i 胁 d d似一似 矿一砰 + 一 +铲一矿 渺一 鲺一、寸i觋一4 舻一4一舻一4 ，l一，i堕一 p 口一6 ，l = 一矿 哈尔滨理工大学理学