（基础数学专业论文）球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形.pdf

摘要 关于球面中紧致极小子流形某些曲率的p i n c h i n g 问题，即通常所谓的内蕴刚 性，文 1 ， 2 】， 3 ，【4 已经有了许多好的结果，这些结果大部分是用第二基本形式模 长的平方，截面曲率，r i c c i 曲率柬刻画的，本文首先讨论了球面中具有平行中曲率 向量的紧致正截面曲率子流形，通过对子流形的黎曼曲率张量长度平方的限制，得 到了球面中该类子流形的一些性质另外，该文还讨论了球面中具有平行中曲率向 量的紧致伪脐子流形，通过对一个算子的最小特征值的限制，对该类子流形的第二 基本形式模长的平方进行了估计最后，作者将外围空间进行扩大，讨论了局部对 称共形平坦黎曼流形中具有平行中曲率向量的紧致伪脐子流形，推广了徐兆棣文 【8 】中的结果 关键词：球面：平行中曲率向量；局部对称空间；共形平坦；伪脐子流形 c o n t e n t ：s o m ec u r v a t u r ep r o b l e m sa b o u tt h ec o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l di n s p h e r e ，i ti su s u a l l yc a n e dm t r i n s t i cr i g i d i t y ，p a p e r s i ，【2 】，【3 】，【4 】h a v eo b t a i n e dm a n y g o o dr e s u l t s t h o s er e s u l t sa r eu s u a l l yd e s c r i b e dw i t ht h es q u a r eo ft h el e n g t ho ft h e s e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ，s c a l a rc u r v a t u r e ，r i c c ic u r v a t u r e a tf i r s t ，t h i sp a p e r c o n s i d e r ss u b m a n i f o l dw i t hp a r a r r e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o ra n dp o s i t i v es c a l a r c u r v a t u r ei na s p h e r e m a k eu s eo ft h es p h e r eo ft h el e n g t ho ft h er i e m a n i a n c u r v a t u r et e n s o r ，s o m ei n t r i u s t i er i g i d i t yr e s u l t sa r eo b t a i n e d s e c o n d ，t h ea u t h o r c o n s i d e r st h ec o m p a c tp s c u d o u m b i l i c a ls u b m a n f o l dw i t hp a r a r r e lm e a nc u r v a t u x e v e c t o ri ns p h e r e w cu s et h em i n i m a le i g e n v a l u eo fao p e r a t o r ，w ee s t i m a t e st h e s p h e r eo fl e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m a tl a s t , t h ea u t h o re x p l o d e st h e a m b i e n ts p a c e ，c o n s i d e r st h ep s e u d o u m b i l i c a ls u b m a n i f o l dw i t hp a r a r r e lm e a n c u r v a t u r ev e c t o ri nl o c a l l ys y m m e t r i ca n dc o m f o r m a l l y f l a tm a n i f o l d ，s ot h e c o r r e s p o n dr e s u l t sd u e t ox u z h a o d i 8 】a r eg e n e r a l i z e d k e yw o r d s ：s p h e r e ：p a r a r r e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o r ：i o c a n ys y m m e t r i cs p a c e ： c o r n f o r m a l l yf l a t ；p s e u d o u m b i l i c a ls u b m a n i f o l d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：锄娃政签字白期：加7 年6 月占日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阋。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彰临畎 签字日期：弘叮年f 月日 鬻鬻日 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 1准备工作 我们用+ 9 表示( n + p ) 维球面，用n ”表示( n + p ) 维局部对称共形平坦黎曼流 形，m 4 表示它们的n 维子流形，- s 表示m 的第二基本形式模长的平方h 为m 的中曲率，本文中约定h - 0 ，和q 分别称为r i e m a n n 联络的联络形式和曲率 形式，是一次微分形式，q 口是二次微分形式，s 叫为r i e m a n n 联络的曲率张 量场，j ( 。为黎曼流形”的曲率张量场，k , w 为n ”的r i c c i 曲率，为m 4 的截面曲率，r 肌为m “的法曲率张量k 为数量曲率，筒为第二基本形式在标 准基下的分量，檀。表示矩阵玩一( w ) 的迹选取外围空间的幺正局部标架场 e 。，卫，使限制于吖“时，巳，p 。是m “的切向量，约定指标范围是 1 s a , b c 。s n + p , 1 墨i ；j 卅k 。1 1 ) 1 1 + 1 量a ，r ，n + p 令，埘。为e l ，七。，的对偶拯架场 外围空间有如下结辆方程 。 。 d 一；a ，+ “ ( 1 1 ) d 善哟；a + 圭荔k , 。c o w c a ( l 2 ) 当外围空间是s ”，时，有 k 。= ( 一) 。( 1 3 ) 当外围空间是局部对称共形平坦黎曼流形时，有 k 鼢i 志p c k 曲一6 d k 虻+ k c 6 一k d 6 b c 一坚_ ( 6 c 6 二6 d 6 舵)( 1 4 ) 儿i ，一1 k ”。k a 伽, k - ；k “ ( 1 5 ) 因为n 是局部对称的，即j c d 的协变导数为0 ，故k 为常数 当限制在m 上时，有 = o ) o ) a i ； ，w = ； ( 1 6 ) 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 d 嘞。一；a + 专善r 脚q a q ( 1 7 ) 其中 。 r 叫- + ( h ：h ；_ h 口h 五) ( 1 8 ) 6 一莩胁伊+ 圭；r 加t ( 1 9 ) 其中 r 啡，k 哪+ ( h 扣：- h q - ! a m ) ( 1 1 0 ) 当外围空间是s ”，时，有 = l ( 鳐嘭一鳐醒) ( 1 1 1 ) 现在用椎和表示碍在切丛联络与法丛联络直和下的协变导数，则 协一螨导一 ( 1 1 2 ) 一椎2 ；鳐+ 莓坛一事硝 ：1 1 3 ) 引理1 吲 设m “是n ”9 的n 维黎曼流形，f 一川，则 。 ( 1 ) f 2 苫p ( 碰) 】2 釜与f 2 a j 矗lp 一1 ( 2 ) 。：磊+ 。p l n a 2 n ，2 ) 一拉( 以以) 2 】s 暑矿 ( 3 ) 三眇2 n ，2 ) 一f r 饵。h ，) 2 】s 号芝 t r ( h o h ，) 】2 口，- + l oa 口l 引理2 吲设m 。是n ”的n 维黎曼流形，则 ( n 铲2 翠护暇) n 吉 ( 2 ) 荔眇彤) 计) 2 】了p - 1 s 2 ( 3 ) 驴( 刚2 护2 印饵 ) 2 】s 量争护饵 ) 】2 引理3 吲( h o p f 引理) ：设( 肘“，g ) 是n 维紧致连通的黎曼流形，c 。( m ；r ) ， 若a f 苫o ( 或so ) ，则f - - c o n s t 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 2 主要结果 本论文研究了两类空间中的子流形：球面中的子流形和局部对称共形平坦黎 曼流形中的子流形，做了三个方面的工作，列举如下： 文【1 】，【2 】，【3 】，【4 】关于球面中的紧致极小子流形或者是具有平行中曲率向量子 流形的某些曲率的p i n c h i n g 问题，已经有了许多好的结果这些结果大部分是用第 二基本形式模长的平方，截面曲率，r i c c i 曲率来刻画的，比如说： 定理 设m 是n 维紧致r i e m a n n 流形，浸入在( n + p ) 维单位球面中，具有 平行中曲率向量，p i ，若( 石+ 3 一匕沁玎，则m 为s 。+ ，中的一个( n + 1 ) 维全 ，一1 测地子流形的超曲面 定理2 l 设朋“是s ”，中的紧致极小子流形，若 舄 i j m 一是全测地的，或m 4 是s 4 + ，中的c l i f f o r d 曲面，或肼4 s 2 ( 巧) 是s ! ( 1 ) 中的 v e r o n e s s 曲面 这篇论文第一个工作是研究了球面中具有平行中曲率向量的紧致正截面曲 率子流形，通过对孑流形的黎曼曲率张量长度平方q 的限制，得到了定理1 定理1 设m 是( n + p ) 维球面s “中的具有平行中曲率向量的n 维紧致正截面 曲率子流形：如果( 二1 + d q _ _ s 厅。一1 ) - n ( p 一1 ) ( 1 + 日2 ) 2 ，则m 是全脐子流形 吴传喜在文【6 】中利用算子as 的最小特征值的估计，其中为m 上作 用在函数上的l a p l a c i a n ，给出了c l i f f o r d 极小超曲面的一个特征，得到 定理设m 是s ”1 的紧致极小超曲面，如果算子l = 一一s 的最小特征值入 不小于n 。则m 或者是全测地的，或者是一c l i f f o r d 极小超曲面 ( j ：) s ”( j 兰) ，k 为小于n 的正整数 若对于实数a ，方程巧= a 厂有非平凡解，则称a 是l 的一个特征值 这篇论文第二个工作是利用了吴传喜文【6 】中的思想，考虑算子l = 一一妄s 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 通过对算子l = 一一昙s 的最小特征值的估计，给出了( n + p ) 维球面s 仰中紧致的 具有平行中曲率向量的伪脐子流形的一个特征，得到了定理2 定理2 设m 是( n + p ) 维球面s ”，中紧致的具有平行中曲率向量的n 维伪脐 子流形，如果算子l a 昙s 的最小特征值 不小于一柑2 ，则 ( 1 ) m 。具有平行的第二基本形式 ( 2 ) s s p n ( 1 + h 2 ) 徐兆棣在文【8 】中证明了 定理设m o 是局部对称共形平坦黎曼流形n ”p 中的紧致极小子流形且 mo 的法丛是平坦的，若 芦t 南( 3 t 。一南) 。 则，m 。是全测地子流形 这篇论文第三个工作是将徐兆棣在文【8 】中结果中的子流形扩大到具有平 行中曲率向量的伪脐子流形，并且删除了m ”是法丛平坦这一条件，得到了定理3 和定理4 定理3 设m 。是局部对称共形平坦黎曼流形n “p 中具有平行中曲率向量 的n 维紧致伪脐子流形，若 s s 嚣+ 击( 3 t 。- nt c 一南n 】 j d 一3+ d z+ d l 则，m “是全脐子流形 定理4 设m4 是局部对称共形平坦黎曼流形n ”p 中具有平行中曲率向量 的n 维紧致伪脐子流形，若 s a 士岬：+ ( 3 t 。一t c 一_ 刍) 】 n + 1 n + p 一2 n + p 一1 7 4 则。m “是全脐子流形 4 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 3 定理的证明 3 1 定理1 的证明 设吖4 是球面s 一+ ，中的具有平行中曲率向量的紧致正截面曲率子流形，百为 m 的中曲率向量，m 的r i c c i 曲率张量定义为岛q u ，其中，岛= ，其长 t 度的平方为，= 碍，m 的数量曲率为r = ，m 的黎曼曲率张量长度的平 m 方为鼋= 确 掣 在证明定理1 之前，首先给出两个命题 命题1 吲设( f 4 ，g ) 是( w ，i ) 的子流形，如果m 是具有平行中曲率向量 的子流形，则 ；乞l0 ，且摹7 岛o ) a - n + 1 ，万+ p - 命题2 卸设m 4 是球面s “9 中白q 具有平行中曲率向量的紧致正截面曲率子 流形，则m “是伪脐子流形，即 ： 瞄“- h 6 f j 证明因为m 是球面s 一+ ，中的具有平行中曲率向量的子流形，故h 为常数， 选取巳+ 。为单位平均曲率向量，+ 。在法丛中平行，故有。 q + 抽一o ， 蔷 ( 3 1 ) a i 尼+ 1 ；坛i n h ，口- 厅+ 1 萃虼- 0 3 2 对q 。- o 外微分，得 o - d q m 2 ；q + u a + ；+ l , # a 6 0 t a 。军q + u a 比k 。一善w “鳐，a q 一一( 弼+ 堞一磁+ 1 a ) q a q 一一r m 肛m i a m t ( 3 3 所以，有 一一苎耍塑量塑整苎堑兰望茎墨亟墅主鲤i 堕兰 兄+ n 芦- 0 ，( 月：+ 。日。- 虬月j + )( 3 4 ) 另外，由文献【5 】，有 善事鳄瞄。善善蟛+ 荔荔霄磁肛 + 鳄( + 坛) ( 3 5 ) 由( 3 1 ) ，( 3 4 ) 可知( 3 5 ) 式为 芝鲜“叫“- w “雌1 + 蟒1 ) 因为以+ 。一( w “) 是n 阶对称方阵，所以可设蝣+ 1 二 岛，由上式得， 三【莩( 鲜“) 2 】。三1 ；t 季。n + 1 ) 2 k 莩 摹+ 1 n _ 1 l 。；( 彬) 2 + ；嵋“喇” 。墨瞬) 2 。荔螂+ 簖卜 。荔( 1 ) 2 + 善 ( 丸+ ) 。荔雌1 ) 2 七吉；( 一冬) 2 尺m z o 由h o p f 引理得 j。 乏( 2 c o n s t ， ， ( 瞄“) 2 ) 一。 由以上各式可得 瞄1 一o ，w “i c o 脚t ( 一九) 2 r 。- 0 因为m 4 是正截面曲率子流形，即尺。 0 ，所以由上式可得 1 t 一。一九一日 即鲜“= h 6 ，所以m 4 是r + ，的伪脐子流形证毕 定理1 的证明 首先证明以下等式 6 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 圭。小。篆。【荔鲜+ 蟛) 】+ 棚2 r 3 射 利用g a l l s s 方程( 1 8 ) 和( 1 3 ) ，直接计算可得 圭口+ r 。圭荔陆+ ；( ；x ；) 。专荔+ 荔+ ；【吉荟( 蛭蠓一坛 磊+ 荔( 笛虼一h “a 蛞) 】 专荔+ 荔 。专荔( 屯一屯6 肚誓+ 荔( 丸一屯) 。，。互1 扁6 。一互1 织6 “6 业 + 荔岛屿一荔屯6 * 。 。，三；一丢；+ n 善瞌一善曩一= n r 所以 q + r = n , r + ；畦荔雠螺一坛垛) + 荔咐坛一雏 互地矗】 3 m 对于固定的口，选取适当的局部正交标架场镌 ，使瞄) 科角化，即鲜。彳岛， 现假定口。厅+ 1 ，有： 丢荟( 醒椎一坛坛+ 荔瞄屹一磁 磊峙 二三荔坛螺一圭荔“二i l 盖+ 荔鲜坛一荔瑶根 。圭；带_ 一言；带+ o 一善带茚咒一 4 ；矸一；( 彳) 2 一专；( 茚一a ? ) 2 3 剐 荟鳄+ 惦) 7 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 。荟w 磕+ 薹鳟 一彳硝+ 彳彳札 - 一笮a 7 + ( 笮) k 一了1 a 一吖) 2 ( 3 9 ) 当a = n + 1 时，由命题2 得 三荔( 磁：1 一蟒1 ；1 ) + 荔啷+ 1 n + 1 一坛+ ) 。 。丢荔磁+ 协：1 一三荔6 珈z 1 + 荟蟛+ 1 一荔蟠1 z 一三；? 2 五1 季n2 + 柑2 善一善日2 - n h 2 r 、 。 故，把( 3 8 ) ( 3 1 0 ) 式代入( 3 7 ) 式n - j 得( 3 6 ) 式 利用g a u s s 方程( 1 8 ) 和( 1 3 ) 式得 碍( + 虼) 。 - 舸+ 2 j ! 。善。；p 慨以) 2 一护( 娥2 n 纠2 一互寡眇帆) 】2 其中，f - 瞄) 2 u _ 一1 又因为 h i 月4 - h 。h 。n t r ( u 。以+ 1 ) 】2 0 所以 ( 3 i 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 了1 日+ r - n r 一舸一n h 2 z + n h 2 r + 芝眇( h 。2 n ，2 ) 一护饵。坼) 2 1 + 芝 t r ( 1 lh ，) 】2 a 口id ，l 又因为 印( n j h j ) - t r ( h 乩) 2 8 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 。荔瞄 删a h p 旷h p a 帅p a 伽p ) 一( 茚彳磁鳝一 a p l a ，怕p ) 。；【( 带) 2 一( 彳) ( 硝) 】( 磁) 2 - 三善( 带一笮) 2 ( 磁) 2 2 。 因而有 p 似2 n ，2 ) 一t r ( h 。h ，) 2 1 苫0 ( 3 1 4 ) d ，l 对于口，一万+ 1 ，因为日叩一p ( 玩日，) ) 是缸1 ) 阶对称矩阵，所以可取法标架场， 使得打( 日。h ，) 一槲：，故 。磊+ 。妙( 也易) 】2 i x 。 t r h 2z 击r ( 3 1 5 ) 因为m 4 是常曲率空间s 叶中的子流形，由g a u s s 方掣1 8 ) 得，m 4 的r i c c i 曲率 张量的分量为 & - - ( 尼一1 ) 屯+ 暇嵋一h , ；h d 所以m 4 的数量曲率为 置。毪。厅。一1 ) + ) 2 一艺簖) 2 - 厅( 忍一1 ) + n j h 2 一s 因为 曰。 ( 万一1 ) + 厅j h 20 + ，订丁2 ) n m - 1 ) 一f 。 所以 丢 苫脯一曲一橱+ n h 2 月+ 击f 2 2 玎2 0 1 ) 一撕一删弓+ n h 2 r + _ r 2 口一l 又因为 n 日2 r 之一n 日弓 所以有 球面和局部对称共形平垣黎曼流形中的子流形 丢q + r 耐 一1 ) 一2 ，l f 一蝴+ 击r 2 ( 3 1 6 ) = 三= p n ( p 一1 x 1 + 日2 ) 】2 + 厅2 ( 斗一1 ) - n 2 ( p 一1 x 1 + f 2 ) 2 p l 2 1 2 ( 甩一1 ) 一n 2 0 1 ) ( 1 + h 2 ) 2 ( 3 1 7 ) 注意到 r ；( ；) 2 s 季”；砾”荔焉l 。叼 ( s s ) 所以有 。 ( l - + 1 ) 窖z n ( n 一1 ) 一 ( p i x i + h 2 ) 2 ( 3 1 9 ) z n 所以当定理的条件成立时，即+ 1 ) 窖s 以o 1 ) 一珏一1 ) 0 + h 2 2 ，由( 3 1 9 ) 知 -dl 必有( 二+ 1 蛔一厅o 一1 ) 二玎。一1 ) ( 1 + - 2 ) 2 故( 3 j 1 4 ) ( 3 1 9 ) 均取等号，所以( 3 1 4 ) 二n 式变成时( h 。2 n ，2 ) 一打胃。h p ) 2 - o ，再利用 l 时，有 一2 【f r ( j 蠢2 n p 2 ) 一t r ( h h a ) 2 卜【f ，( 片：绋) 】2 一3 s 2 ( 3 2 9 ) d d4 口 。 由于m 是伪脐子流形。有 s _ n i l 2 ( 3 3 0 ) 故，由( 3 2 7 卜书3 0 ) 式，( 3 2 6 ) 式为 。 w 2 ( 柑2 ；s 垆 ( 3 3 1 ) d 。 令f 为任意的光滑函数，；o ，因为为l 的最小特征值，则由方程v = a f ， ，2 + l _ o ，令： l ，l = + 口) 2 ( 3 3 3 ) 经过直接计算可得 蜕一【岱4 - a ) j k 一【( s + n ) i 鲜愫l r 岱+ 4 ) i ；( 荔鳕) 2 + 爷+ 4 ) _ 荔( 榷) 2 + 岱+ 口) - 荔埒喵 馘= ( s + n ) 1 峪+ n ) 雌) 2 - e ( 雠) 2 】+ 岱+ n ) 1 啦w to扯tt t qt _ i 2 ( s + 。) 1 s e ( 伥) 2 一( w ) 2 】+ p + o ) 1 蟛 ( 3 3 4 ) 其中等号成立当且仅当( ) 2 = o ，船 由命题和( 3 3 4 ) 式，有 1 2 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 馘2 ( s + 4 ) 一j 舒埘 把( 3 3 1 ) 式代入( 3 3 5 ) 式，有 a c2 ( s + n ) ：一；s ) s 正无o 日2 一- ；s ) s 从而有 。 正( 无) = 一无一吾趼一。2 一；5 ) s s ( s + a ) = _ ( 柑2 + ；n 梦 由( 3 3 2 ) 式 、 一f l l ( l ) * i 0 p s p n o + h 2 ) 1 5 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 3 3 定理3 和定理4 的证明 我继而将外围空间推广到局部对称共形平坦黎曼流形，讨论了局部对称共形 平坦黎曼流形中具有平行中曲率向量的n 维紧致伪脐子流形，得到了这类子流形 的两个内蕴刚性定理 。 v 2 m “是等距浸入在白+ p ) 维局部对称共形平坦黎曼流形“，中具有平行 中曲率向量的n 维紧致伪脐子流形t 和f 。分别表示“9 的r i c c i 曲率的上确界 和下确界，h 为平均曲率，k 表示”，的数量曲率，r 表示肘4 的截面曲率的下确 界 定理3 的证明 由假设条件，e 。在法丛中平行，故同样有( 3 2 5 ) 式成立，并且有 。+ - 0( 3 4 3 ) 外微分( 3 4 3 ) 式，按照( 3 3 ) 的做法，同样可得 r 。“k 一0( 3 4 4 ) 利用( 1 1 0 ) 式 民m 皿一k m 肚+ 嘲+ 1 a 一鳐磁“) 。 因为外围空间是局部对称共形平坦黎曼流形，利用( 1 4 ) 式 e m 肛。南屯州兄t 一屯+ u k ，+ k 刖屯一k m 冬， j 一毒三( 屯卸。忍) 因为k m 辟。o 且毫m 批一o ，故有( 嵋“蛭一霄磁“) - 0 ，即 h h 。一h 。h 。+ l( 3 4 5 ) 另外，由文【8 】中的( 3 4 ) 式，有 艺h ；h ；。2 娶! r ( h 。h ，) 2 - l r ( h 珥) 卜蒌蝉h 。h ，) 】2 口小iq d t p 啪l口，啪l 圳。善 r h a 2 一曩t r ( h a 】2 一南三。；咐a a - - t ：币2 n 。茗善巾a 阮 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 因为m 是伪脐的即 故有 + 击( 萃午币n k ) 。蚤哗) ) h = + l - h 岛 ( 3 4 7 ) ( 3 4 s ) 因矩阵 _ 3 5 1 ) 并由引理1 得 ，善牟h ；丛；z 一詈署r 2 + 枷2 r + i 詈忑( s t 。一l 一再鲁才 z f 【一3 p - 等- 5 s n h ：+ 土( 3 1 。一t c 一土) 】( 3 5 2 ) p 一11 1 + p 一2n + p 一1 。景季“a 叫圳船r ( h 削2 + n 胁+ 书3 t c - t c 一击弦 一【_(n+啪圳2+击(3tc-tc一去)】(353)n n + d z+ d l 故当定理3 的条件成立时，0 4 ( 3 5 2 ) 式得 1 7 弓纾 p o 一 凇 胛 扩 h 嘿p 彪 一 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的子流形 艺蜉瞄苫0 故 扣l 。荟善( “盏) 2 + a j n + 。；“；曲；之。 由h o p f 引理得f 一0 ，故 。 。善。善( 啄) 2 - o ，。薹。；筒瞄。o 故根据定理3 的条件和( 3 5 2 ) 式可得 十等1 “彬+ 击( 3 t c 南) 】l o 口一厅+ 口一zn + 口一l 根据定理3 的条件可知，f - o 又由于m 4 是伪脐子流形，故m “是全脐子流形 定理3 证毕 定理4 的证明。 当定理4 韵条件成立时，由( 3 _ 5 3 ) 式可得 言a f - 。薹善) 2 。善。；鳄蛞2 0 由h o p f 弓i 理得f - o 故互善( 峰) 2 _ 旷。篆。墨孵吲4 0 、 故根据定理4 的条件和( 3 5 3 ) 式可得 十o + 啪+ 删2 + 韦( 札一正一去) 】1 0 甩+ 口一上 + 口一l 故由定理4 的条件得f = 0 ，又由于m 9 是伪脐子流形，故m 。是全脐子流形 定理4 证毕 球面和局部对称共形平坦黎曼流形中的于流形 参考文献 【1 】s s c h e r n , d oc a r m o 卸ds k o b a y a s h i m i n i m a ls u b m a n i f o l d o fas p h e r ew i t h s e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h ，s h i i n g s h e nc h e ms e l e c t e dp a p e r s m s p r i n g e r o v e r l e g , 1 9 8 【2 】y a us h i n g - t u n g s u b r n a n i f o l dw i t hc o n s l a n tm e a nc u r v a t u r e j a m e r j m a t h 1 9 7 6 p 1n e j i r i c o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l do fas p e r ew i t hp o s i t i v er i c c ic a t v a m r e j m a t h s o t j a p a n , 1 9 7 9 【4 】莫小欢常曲率空间中具有平行中曲率向量的子流形【j 】数学年刊，1 9 8 8 【5 1 纪永强子流形几何【m 】北京：科学出版杜，2 0 0 4 【6 】吴传喜, c l i f f o r d 极小超曲面的一个特征 j 】数学进展，1 9 8 9 ： 闭i aa n - m i n ，l ij i n - m i n a ni n t r i s t i c 姆d i l y t h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n f f o l di na s p h e r e j a r c hm a 伯, ( b a s e l ) ，1 9 9 2 【8 】徐兆棣局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形【j 】数学研究与评论，1 9 9 6 【9 】c h e nb a n g - y a h s o m er e s