（基础数学专业论文）模糊逻辑算子及其应用.pdf

摘要 摘要 本文研究模糊逻辑算子及它的一些应用具体内容如下： 在第2 章中，我们首先列出本文需要的t 模、t 余模、模糊蕴涵算子和剩 余格等概念及与这些概念相关的基本性质随后，给出剩余格的正规滤子的两 个等价形式最后，在h f i j e k ，r a c h f i n e k 和s a l o u n o v i 及v y c h o d i l 等人的工作基 础上，讨论带有一元联结词的剩余格的t ，滤子与正规秽滤子，给出生成正规 口滤子的计算公式，并且证明一个带有一元联结词的完备剩余格的所有口滤 子组成的集合和所有正规u 滤子组成的集合都构成完备b r o u w e r 格 在第3 章中，我们引入完备格上左、右统一模概念，讨论左、右统一模的 剩余蕴涵和剩余余蕴涵的基本性质，说明具有一定分配性的左( 右) 统一模和 相应的剩余蕴涵或剩余余蕴涵是相伴的，并证明它们满足模糊逻辑中的一些 推理规则我们也研究具有一定分配性的左( 右) 统一模的剩余蕴涵和剩余余 蕴涵之间的关系 在第4 章中，为了建立一般完备上模糊逻辑算子的一个统一的代数理论， 借助于f o d o r 和吴望名教授等人的工作，我们引入伪t 一模概念，并说明三类基 本模糊蕴涵算子和y a g e r 蕴涵算子都可以由伪t 模诱导生成，在完备格l 上 所有无穷v 分配伪t 模组成的集合与所有无穷a 分配蕴涵算子组成的集合 之间建立一座桥梁，揭示两者之间的本质联系在d eb a e t s ，m e s i a r , k a r a c a l 和 k h a d 缸e v 等人工作基础上，我们讨论伪t 模和模糊蕴涵算子的直积和直积分 解问题，给出它们可分解的条件，研究常见的模糊蕴涵算子的可分解性，考虑 如何用伪t 模或模糊蕴涵算子去逼近实际问题中出现的算子问题，找出由完 备格l 上一个二元算子a 生成的伪t 模、模糊蕴涵算子、无穷v 分配伪t 模和无穷a 分配蕴涵算子的计算公式 在第5 章中，我们将模糊逻辑算子与p a w l a k 的粗糙集理论结合在一起，考 虑完备剩余格上左( 右) l 模糊粗糙集和l 模糊近似空间中左( 右) 上己模糊 粗糙近似算子和左( 右) 下l 模糊粗糙近似算子的性质，讨论一些特殊的l 模糊近似空间的特性，研究l 模糊近似空间的运算性质，指出在合成l 模糊 i v 南京师范大学博士学位论文 近似空间中，l 模糊粗糙近似算子刚好就是两个厶模糊近似空间中相应的l 模糊粗糙近似算子的合成我们也探讨由l 模糊近似空间中左( 右) 上l 模 糊粗糙近似算子和左( 右) 下l 模糊粗糙近似算子诱导的l 拓扑空间的一些 性质 关键词：模糊逻辑算子；剩余格；滤子；左( 右) 统一模；剩余蕴涵( 余蕴涵) ；伪t 模；l 模糊近似空间 a b s t r a c t v a bs t r a c t t h i sp a p e rm a k e ss o m er e s e a r c h e so nf u z z yl o g i co p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s t h e d e t a i l so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w ef i r s t l yl i s ts o m ed e f i n i t i o n sa n dr e s u l t sr e q u i r e di n t h i sp a p e r a b o u tt - n o r m s ，t - c o n o r m s ，f u z z yi m p l i c a t i o no p e r a t o r sa n dr e s i d u a t e dl a t t i c e s ；w e t h e np r o p o s es o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fn o r m a lf i l t e r so fr e s i d u a t e dl a t t i c e s ；f i n a l l y , b a s e do nh i j e k , r a c h f m e k , s a l o u n o v f ia n dv y c h o d i l sw o r k s ，w e i n t r o d u c ea n d i n v e s t i g a t et h en o t i o n so f v - f i l t e ra n dn o r m a lu f i l t e ro far e s i d u a t e dl a t t i c ew i t haw e a k v t o p e r a t o r ，l a yb a r et h ef o r m u l a sf o rc a l c u l a t i n gt h e 郇一f i l t e r sa n dt h en o r m a l 可- f i l t e r s g e n e r a t e db ys u b s e t s ，a n ds h o w t h a tt h el a t t i c e so fv - f i l t e r sa n dn o r m a lv - f i l t e r so fa r e s i d u a t e dl a t t i c ew i t hav t - o p e r a t o ra r et w oc o m p l e t eb r o u w e r i a nl a t t i c e s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fl e f ta n dr i g h tu n i n o r m so nac o m - p l e t el a t t i c e ，d i s c u s st h er e s i d u a li m p l i c a t o r sa n d r e s i d u a lc o i m p l i c a t o r so fl e f t ( r i g h o u n i n o r m s ，s t i l d ys o m eb a s i cp r o p e r t i e so f t h er e s i d u a li m p l i c a t o r s ( o rr e s i d u a le o i m p l i c a t o r s ) o fi n f i n i t e l yv d i s t r i b u t i v e ( o ra - d i s t r i b u t i v e ) l e f t ( r i g h t ) u n i n o r m sa n dp s e u d o - t m i n o r m s ，a n di n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nr e s i d u a li m p l i c a t o r sa n dr e s i d u a l c o i m p l i c a t o r so fl e f t ( r i g h t ) u n i n o r m s i nc h a p t e r4 ，b a s e do nf o d o ra n dw u sw o r k s ，w ea t t e m p tt oe s t a b l i s hau n i t i v e a l g e b r a i ct h e o r yo fl o g i c a lo p e r a t o r sb a s e d o n ac o m p l e t el a t t i c e ，i n t r o d u c ea n dd i s c u s s t h ec o n c e p to fp s e u d o - f ；- n o r m s ，p o i n to u tt h a tt h r e ec l a s s e sf u n d a m e n t a lf u z z yi m p l i - c a t i o n sa n dy a g e r si m p l i c a t i o na r ea l li m p l i c a t i o n st h a tc a nb ei n d u c e db yp s e u d o t - n o r m s ，a n ds t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es e to fa l li n f i n i t e l yv - d i s t r i b u t i v ep s e u d o t - n o r m sa n dt h es e to fa l li n f i n i t e l ya d i s t r i b u t i v ei m p l i c a t i o n s b a s e do nd eb a e t s ， m e s i a r , k a r a c a la n dk h a d j i e v sw o r k s ，w es t u d yt h ed i r e c tp r o d u c t sa n d d i r e c tp r o d - u c td e c o m p o s i t i o n so fp s e u d o t - n o r m so ri m p l i c a t i o no p e r a t o r s ，g i v eo u tt h ec o n d i t i o n so fd e c o m p o s a b i l i t y , d i s c u s sd e c o m p o s a b i l i t yo fs i m p l i c a t i o n s ，r - i m p l i c a t i o n s ， n - r e c i p r o c a lr i m p l i c a t i o n sa n dn - r e c i p r o c a lq z , 一i m p l i c a t i o n s ，a n dl a yb a r et h ef o r - v l 南京师范大学博士学位论文 m u l a sf o rc a l c u l a t i n gs m a l l e s tp s e u d o - t - n o r ma n dt h es m a l l e s ti n f i n i t e l yv - d i s t r i b u t i v e p s e u d o t - n o r mt h a ti ss v o n g e r t h a nab i n a r yo p e r a t i o n ，a n dt h el a r g e s ti m p l i c a t i o na n d t h el a r g e s ti n f i n i t e l ya d i s t r i b u t i v ei m p l i c a t i o nt h a ti sw e a k e rt h a nab i n a r yo p e r a t i o n i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h en o t i o n so fl e f t ( r i g h ol f u z z yr o u g hs e t sa n dl f u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e so nc o m p l e t er e s i d u a t e dl a t t i c e s ，s t u d yu n i o n ，i n t e r s e c t i o n ， a n dc o m p o s i t i o no p e r a t i o n so fl f u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e s ，i n v e s t i g a t ec h a r a c t e r i - z a t i o n so fr e f l e x i v e ，s y m m e t r i ca n dt r a n s i t i v el r e l a t i o n s ，i l l u s t r a t e st h a tt h el f u z z y a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r si nt h ec o m p o s i t es p a c ea r ej u s tt h ec o m p o s i t i o no ft h el f u z z ya p p r o x i m a t i o no p e r a t o r si nt h et w ol - f u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e s ，a n dc o n s i d e r s o m ep r o p e r t i e so fl t o p o l o g ys p a c e si n d u c e db yl e f t ( r i g h t ) l o w e ra n dl e f t ( r i g h t ) u p p e rl f u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s k e y w o r d s ：f u z z yl o g i co p e r a t o r ；r e s i d u a t e dl a t t i c e ；f i l t e r ；l e f t ( r i g h t ) u n i n o r m ；r e s i d - u a li m p l i c a t o r ( c o i m p l i c a t o r ) ；p s e u d o t n o r m s ；l f u z z ya p p r o x i m a t i o ns p a c e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 研究生签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 研究生签名： 日期： 灶他 一 l箍 第1 章引言 第1 章引言 1 1 课题背景及意义 z a d e h 1 3 5 】于1 9 6 5 年创立了模糊集合论，并在1 9 7 3 年提出了模糊推理的 合成推理规则( c o m p o s i t i o n a lr u l eo f i n f e r e n c e ，简称为c p a ) ，为描述和处理事物 的模糊性和系统的不确定性以及模拟人的智能和决策推理能力提供了十分有 效的工具随后，模糊集理论被广泛应用于工业控制与家电产品的制造中，并 取得了极大成功然而，相比之下，模糊集的理论基础并非无懈可击，还不够完 善，很多问题有待解决例如，在模糊集理论中，至今还没有一套完整的方法来 解决如何确定隶属函数并用恰当的模糊算子来聚合隶属函数信息这两个基本 问题 模糊集理论的核心内容是模糊逻辑理论，模糊控制技术的理论基础是 模糊推理理论在模糊逻辑理论中，长期占主导地位的是基于t - 模( t r i a n g u l a r n o r m ，也称为t 范数或三角模) 的模糊逻辑系统在这类逻辑系统中，使用亡模 作为合取联结词的解释，并由此解释其它命题联结词【1 2 4 这样的模糊逻辑 理论可以通过一个t 模给出唯一确定的解释，具有许多好的逻辑性质，反映了 人类日常思维与推理中的许多逻辑特性，这类模糊逻辑理论在模糊推理和人 工智能研究中已经获得了广泛的应用 自1 9 9 6 年以来，捷克逻辑学专家h f i j e k 发表了一系列有意义的研究成果， 借助于单位区间【0 ，1 】上连续t 一模，h ；i j e k 引入基本逻辑系统b l ( b a s i cl o g i c ) ， 并说明l u k a s i e w i c z 连续值系统、g 6 d e l 系统、积逻辑系统等几个重要的模糊 逻辑系统都是基本逻辑系统的语义扩张 为了寻找模糊推理的可靠逻辑基础以及基于对模糊逻辑与模糊推理方面 存在问题的分析，王国俊教授于1 9 9 6 年提出了一个新的形式演绎系统c + ，这 个系统是基于凰t - 模及其剩余蕴涵( 凰蕴涵，也称为修正的k l e e n e 蕴涵) 算 子的，具有许多优良的逻辑性质同时，王国俊教授倡导模糊逻辑与模糊推理 的结合研究，并于1 9 9 9 年提出了模糊推理的全蕴涵三i 方法 1 1 5 ，有效地改 进了z a d e h 在1 9 7 3 年提出的合成推理规则 2 南京师范大学博士学位论文 2 0 0 1 年，西班牙学者e s t e v a 和g o d o 2 5 建立了基于左连续z 模的模糊逻 辑系统m t l ( m o n o i d a lt - n o r m b a s e dl o g i c ) ，并得到几个语义扩张系统，如：弱幂 零极小逻辑系统w n m ( w e a kn i l p o t e n tm i n i m u m ) 、对合m o n o i c l a lt 模基逻辑 系统i m t l 及幂零极小逻辑系统n m ( n i l p o t e n tm i n i m u m ) 同时，研究了与这些 逻辑系统相对应的代数：m t l 代数，m 代数，i m t l 代数和m 代数 在模糊逻辑中，选择怎样的模糊蕴涵算子对模糊推理的效果有直接影响 从上面提及的工作来看，在很多模糊逻辑系统中，所选择的模糊蕴涵算子都与 某种t 模相伴，也就是选择的模糊蕴涵算子为剩余蕴涵算子注意到在许多实 际问题中，常常出现某些结果是不可比较的情形这样，我们就不可能用线性 序集【0 ，1 】中的数来表示隶属程度，而是用更一般的完备格取代单位区间【0 ，1 1 因此，有必要考虑一般完备格上的t 模、t 余模以及与之相伴随的各种模糊 蕴涵算子的构造、性质分析和特征研究另外，很多基于t 模的模糊逻辑系统 均建立在剩余格的基础上( 见 4 l ，4 7 】) ，这说明模糊逻辑理论与剩余格是密切 相关的这样，搞清楚剩余格及其滤子的代数性质，有助于模糊逻辑系统的理 论研究 根据实际问题的需要，很多专家削弱t 模的条件并推广这一概念例如， m i z u m o t o 8 5 】去掉结合律，引入了准t 模概念；y a g e r 【1 2 7 ，1 2 8 】讨论了袋映 射及m a m 、m o m 和m i c a 算子在这些推广工作中，值得注意的是1 9 9 6 年 y a g e r 提出的统一模( u n i n o r m ) 概念统一模是t 模和t 余模的一种特别的组 合，它将t 模和余模统一起来，是一种在模糊逻辑、专家系统、神经网络、 聚合分析和模糊系统建模等领域被广泛使用的一类聚合算子，吸引了很多学 者的关注例如，m e s i a r 【8 2 】讨论了它作为交换半群的代数性质，f o d o r 等人 【3 4 】证明了在基于t 一模的积分中，统一模起着一个“乘积”运算作用，d eb a e t s ， m o n s e r r a t ，c a l v o 和m a s 等人研究了满足某种特殊条件的统一模的性质与结 构( 见【1 0 ，1 1 ，7 7 ，8 0 ，8 6 ，1 1 0 1 ) ，y a g e r 等人【1 2 ，1 2 9 - 1 3 1 】讨论了统一模在模糊 系统建模和多因素决策以及处理不确定或不完整信息推理的医疗专家系统 m y c i n 中的一些应用，胡世凯和李中夫教授 5 0 给出了( 0 ，1 ) 2 上的连续的统 一模的特征性质，李永明教授等人 7 l ，7 2 】引入了弱统一模概念 在模糊控制过程中，并不要求模糊聚合算子满足交换律，m a s 等人在【7 8 】 中引入了【0 ，1 】上左、右统一模概念，随后在【7 9 】中引入有限链上左、右统一 第1 章引言3 模概念注意到，在模糊逻辑理论中，更多的模糊逻辑系统是建立在剩余格的 基础上，考虑完备剩余格上左、右统一模及其由它们诱导的模糊蕴涵算子的 性质是一项有意义的工作 非可换逻辑由a b r u s c i 和r u e t 【l ，2 提出，它统一了可换线性逻辑和c y c l i c 线性逻辑，在不确定推理与决策、逻辑程序设计、模糊专家系统、模糊数据 库及计算语言学等领域都有重要的应用在考虑非可换模糊逻辑系统时( 见 【3 9 ，4 3 ，4 4 ，5 9 ，6 8 】) ，并不要求相应的模糊逻辑算子满足交换律；在模糊控制过 程中，只有考虑多维模糊聚合算子时才要求模糊聚合算子满足结合律，这说明 在考虑实际问题时并不要求解释合取联结词的t 模满足交换律以及结合律 f o d o r 【2 7 ，2 8 】在1 9 9 1 年引入了【0 ，l 】上弱t 一模概念，并研究了【o ，1 】上弱t 一模 和模糊蕴涵算子之间的联系与此同时，吴望名教授【7 5 引入完备格上扣模概 念，并讨论了完备格上左连续模和模糊蕴涵算子之间的关系 我们知道，基于t 模的模糊逻辑系统有许多好的逻辑性质这样的模糊逻 辑系统中，模糊蕴涵算子都是r 蕴涵算子冗蕴涵算子都可以由t 模诱导生 成，它与t 一模构成一个伴随对，而q l 一蕴涵算子等模糊蕴涵算子一般不能由t 模诱导生成，也不能由弱t 模诱导生成因此，有必要将 0 ，1 】上弱t 模概念和 完备格上t 模概念进行推广，引入一个新的概念：伪t 模，研究模糊逻辑系统 中三类基本模糊蕴涵算子( s 一蕴涵算子，b 蕴涵算子，q l 蕴涵算子) 和y a g e r 蕴涵算子能否由伪t 模诱导生成问题，探讨伪t 模与模糊逻辑中常见的模糊 蕴涵算子之间的关系；分析伪t 模和模糊蕴涵算子的分解问题；并考虑怎样用 伪t 模以及相应的模糊蕴涵算子去逼近实际问题中出现的一般算子 卜 粗糙集( r o u g hs e t ) 是波兰数学家p a w l a k 【9 0 】于1 9 8 2 年提出的，它是一种 刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析不精确、不一致、不完 整等各种不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识， 揭示潜在的规律目前，粗糙集理论己成功应用于知识发现、机器学习、决策 支持、模式识别、专家系统、归纳推理等领域模糊集和粗糙集理论在处理 不确定性和不精确性问题时各有所长，两个理论的比较和融合一直是人们感 兴趣的问题1 9 9 0 年，法国数学家d u b o i s 和p r a d e 建立了模糊粗糙集理论模型 【2 2 ，提供了统一处理具有模糊性和不完备性信息的一种方法这种方法有待 于同行专家进一步研究和完善考虑到模糊逻辑和模糊推理理论在解决实际 4 南京师范大学博士学位论文 问题中发挥的重要作用，将模糊逻辑算子与粗糙集结合在一起，建立完备剩余 格上的模糊粗糙集理论，探讨模糊近似空间的运算性质，并讨论上、下模糊粗 糙近似算子与模糊逻辑算子以及模糊拓扑空间之间的联系也是一项非常有意 义的工作 1 2 本文的主要内容及创新 模糊逻辑和模糊推理理论的一个重要方向就是研究模糊逻辑算子，包括 模糊逻辑算子的构造、性质分析以及特征研究本文主要研究与模糊逻辑系 统密切相关的完备剩余格及其滤子的代数结构，讨论完备格上左、右统一模 和由它们诱导的剩余蕴涵与剩余余蕴涵的性质，探讨不具有交换律和结合律 的一类伪t 模和由它们诱导的模糊蕴涵算子的逻辑特性，并将一般完备剩余 格上模糊逻辑算子与粗糙集相结合，考虑相应的模糊粗糙集和模糊近似空间 的运算性质以及由模糊近似空间中上、下模糊粗糙近似算子诱导的模糊拓扑 空间的性质 在第2 章中，我们首先列出本文需要的t 模、t 余模、模糊蕴涵算子和剩 余格等概念及与这些概念相关的基本性质随后，从纯代数角度出发，给出剩 余格的正规滤子的两个等价形式( 定理2 3 1 1 和定理2 3 1 2 ) ：滤子f 是完备剩 余格l 的正规滤子的充分必要条件是： ( f 9 ) 对于任意的a l 和z f ，x a _ a x ，a x z q f ； 充分必要条件是： ( f 1 0 ) 对于任意的a l 和z f ，a _ a x ，n x a f 最后，在h 矗j e k 【4 2 ，4 5 】，r a c h f i n e k 和誊a l o u n o v 矗【9 5 】及v y c h o d i l 【1 1 3 】等人的工 作基础上，讨论带有一元联结词的剩余格的钉滤子与正规可滤子，给出生成 正规u 滤子的计算公式( 定理2 4 9 ) ： ( a ) n 。= ( a n ) f , = ( ( a ) ) f = z llx ( 7 a ( 0 1 ) ) ( m ，) ( ( 口8 ) ) ( m “， a l ，a 矗a ，7 1 ，f ，m l ，m 。是非负整数) ， 并且证明一个带有一元联结词的完备剩余格的所有u 滤子组成的集合和所有 正规v 滤子组成的集合都构成完备b r o u w e r 格( 定理2 4 1 1 ) 为了推广t - 模和t 一余模，y a g e r 和r y b a l o v 1 3 2 】引入了统一模概念，m a s 等 第l 章引言 5 人 7 8 引入了【o ，1 】上左、右统一模概念，随后 7 9 又讨论了有限链上左、右 统一模概念f o d o r 等人【3 4 详细研究了统一模概念，d e s c h r i j v e r 和k e r r e 1 8 】 讨论了直觉模糊集格上由统一模诱导的模糊蕴涵算子的性质借助于这一系 列工作，在第3 章中，我们引入完备格上左、右统一模概念，讨论左、右统一模 的剩余蕴涵和剩余余蕴涵的基本性质，说明具有一定分配性的左( 右) 统一模 和相应的剩余蕴涵或剩余余蕴涵是相伴的( 定理3 3 5 3 3 6 和定理3 4 6 3 4 7 ) ， 并证明它们满足模糊逻辑中的一些推理规则例如， 模糊三段论推理规则( 定理3 3 9 ) ：u ( 谚( n ，6 ) ，谚( 6 ，c ) ) 冶( 口，c ) ； 对偶模糊三段论推理规则( 定理3 4 9 ) ：u ( 谚( 口，6 ) ，嘴( 6 ，c ) ) 四( o ，c ) ； 剩余蕴涵的交换原理( 定理3 - 3 1 1 ) ：谚( n ，砖( 6 ，c ) ) = 曙( 6 ，培( o ，c ) ) ； 剩余余蕴涵的交换原理( 定理3 4 1 1 ) ：嘴( o ，诺( 6 ，c ) ) = 喏( 6 ，嘴( 口，c ) ) 我们也讨论具有一定分配性的左( 右) 统一模的剩余蕴涵和剩余余蕴涵之间的 关系( 定理3 5 1 3 5 3 ) 在模糊逻辑和模糊推理中，由于所考虑的实际问题不同，需要研究不同的 模糊蕴涵算子常见的模糊蕴涵算子有s ，蕴涵算子、皿蕴涵算予、q l 蕴涵 算子和y a g e r 蕴涵算子，由这些模糊蕴涵算子可以得到不同的模糊逻辑系统 从r 蕴涵算子出发得到的模糊逻辑理论有许多好的性质皿蕴涵算子可以 由t 模诱导生成，而q l 蕴涵算子等一般不能由t 模诱导生成为了建立一 般完备上模糊逻辑算子的一个统一的代数理论，在第4 章中，借助于f o d o r 和 吴望名教授等专家的工作，我们引入伪t 模概念，并说明三类基本模糊蕴涵算 子和y a g e r 蕴涵算子都可以由伪t 模诱导生成( 例4 1 3 4 1 4 ) ，在完备格l 上 所有右无穷v 分配伪t 模组成的集合t r ( l ) 与所有右无穷a 分配蕴涵算子 组成的集合产( l ) 之间建立一座桥梁，揭示两者之间的本质联系( 定理4 1 8 ) ： ( 1 ) 如果t t 冗( 三) ，那么垮i r ( l ) 并且c 磊= t ； ( 2 ) 如果i ，r ( l ) ，那么呼t s ( l ) 并且瑞= ，； ( 3 ) ( t r ( l ) ，) 反序同构于( ，r ( l ) ，) 在d eb a e t s ，m e s i a r , k a r a c a l 和k h a d j i e v 等人工作基础上，我们讨论右伪t 模和模糊蕴涵算子的直积和直积分解问题，给出它们可分解的条件( 定理 4 2 3 4 2 4 ) ，在此基础上，我们进一步研究常见的模糊蕴涵算子的可分解性( 例 6南京师范大学博士学位论文 4 2 1 3 4 2 1 6 ) 在实际问题中，考虑的算子未必就是一个伪t ，模或模糊蕴涵算 子，在第4 章最后一节中，我们考虑如何用伪t 模或模糊蕴涵算子去逼近实 际问题中出现的算子问题，找出由完备格l 上一个二元算子a 生成的右伪t 模、模糊蕴涵算子、右无穷v 分配右伪t 模和右无穷a 分配蕴涵算子的计 算公式( 定理4 3 3 4 3 4 ) ： ( 1 ) t = ( t w va t ) at m = ( t maa t ) v 斯 ( 2 ) 严( 嘞aa z ) vx w = ( 如va i ) a 嘞 ( 3 ) = ( 研v a t ) 八砀= ( 殇八a t ) v t w ( 4 ) i - - ( i m 八a j ) v = ( 吼va i ) 八i m 在最后一章中，我们将模糊逻辑算子与p a w l a k 的粗糙集理论结合在一起， 考虑完备剩余格上左( 右) l 一模糊粗糙集和l 模糊近似空间中左( 右) 上l 一模 糊粗糙近似算子和左( 右) 下l 一模糊粗糙近似算子的性质( 定理5 。l 。5 ) ，讨论几 种特殊的l 模糊近似空间的特征性质( 推论5 1 6 ，推论5 2 3 和推论5 2 9 ) ，研 究l ，模糊近似空间的运算性质，指出在合成l 模糊近似空间中，l 模糊粗糙 近似算子刚好就是两个l 模糊近似空间中相应的三模糊粗糙近似算子的合 成( 定理5 2 7 ) ，也就是，对于r = r 1o 奶， 冗【l ( p ) = ( r ii no r 2i n ) ( u ) = r ai l ( r 2 上l ( p ) ) ， 冗丁l ( p ) = ( r 2t lo r lt l ) ( p ) = r 2t l ( r it l ( p ) ) ， 冗j ，r ( p ) = ( r 2i no r li r ) ( u ) = r 2 上r ( r a 上冗( p ) ) ， 冗t r ( p ) = ( r it 兄o r 2t r ) ( u ) = r it r ( r 2t a ( p ) ) 我们也探讨由己一模糊近似空间中左( 右) 上己模糊粗糙近似算子和左( 右) 下 三模糊粗糙近似算子诱导的l 拓扑空间的一些性质 第2 章t 模、蕴涵算子和剩余格 7 第2 章亡模、蕴涵算子和剩余格 t 一模( 又称三角模或亡一范数) 和t 一余模首先出现在m e n g e r 于1 9 4 2 年发表 的论文【8 l 】中，是经典度量空间中三角不等式的自然推广2 0 世纪6 0 年代， s c h w e i z e r 和s k l a r 对亡一模和t - 余模作了进一步研究【1 0 3 1 0 5 由于t 模较好 地反映逻辑“与”的性质，因此，t 模作为一般的模糊“与”算子受到模糊逻辑 学界的青睐同样，t 余模也被公认作为一般的模糊“或”算子k l e m e n t 等人在 专著 6 5 】及一系列论文 2 3 ，3 l ，5 6 ，5 8 ，6 4 ，6 6 ，7 6 】中对亡一模和t 一余模在模 糊逻辑中的应用进行了全面的总结 本章中，我们考虑完备格上t 模、t 余模和有关蕴涵算子，并讨论与这些 概念相关的剩余格及其滤子的代数性质 2 1t 模和亡余模 【0 ，1 】上t - 模和t 一余模的公理化定义源于s c h w e i z e r 和s k l a r 等人的文献 由于模糊逻辑的赋值域常常是更一般的完备格，人们自然想到要将t 一模和t 余模等概念推广到一般的完备格己上幸，并讨论相应的l 模糊集及其代数结 构这方面的工作主要出现在文献【4 0 ，7 5 ，8 9 ，11 8 ，11 9 ，1 3 4 】中 定义2 11 一个二元算子t ：l 2 _ l 称为l 上的三角模( 简称t 模) ，如果对 一切z ，y ，z l ，下面4 个条件成立： ( t 1 ) t ( z ，y ) = t ( y ，x ) ( 交换律) ； ( t 2 ) t ( t ( x ，可) ，z ) = t ( x ，t ( y ，z ) ) ( 结合律) ； ( t 3 ) y z 辛t ( x ，y ) t ( x ，z ) ( 单调性) ； ( t 4 ) t ( x ，1 ) = z ( 边界条件) 由于t 模实际上就是l 上的二元运算，因此有些学者更喜欢用z y 来表 示t ( z ，y ) 注意到t 模满足交换性，我们容易看出：t 模关于两个变元都是不减的，并 且对于任意的z l ，有0o z = x0 0 = 0 ，1o z = z + 关于格的有关术语和记号参见文献 3 】 8 南京师范大学博士学位论文 定义2 1 2 如果l 上两个t 模n ，为满足：乃( z ，y ) 乃( z ，y ) 比，y l ，则称 乃弱于正或乃强于乃，记为乃t 2 【o ，1 】上最典型的4 个t 一模分别是珊、耳、死和殇，其顺序关系为 t m t p t z t o 这4 个t 一模的定义如下： 最小值t 模砌：t m ( z ，y ) = m i n ( x ，可) ，此t - 模也称为g s d e l 亡模 乘积t 模t p ：t e ( z ，y ) = z y l u k a s i e w i c zt 一模t l ：t l ( z ，y ) = m a x ( 0 ，x + y 一1 ) 突变积( d r a s t i cp r o d u c 0t 一模t d ： 丁b c z ，可，= ：；n 。z ，秒，薯盖m a x z ，可 0 l，箩j ，笛则 定义2 1 5 设n ：l _ 己满足： ( n 1 ) x y 令n ( x ) ( 耖) ； ( n 2 ) n ( 0 ) = l ，n ( 1 ) = 0 ； 则称为l 上的否定 如果【0 ，1 】上的否定n 是一个连续并且严格递减函数，则称是【o ，1 】上 的一个严格否定如果严格否定又是对合的，即( ) ) = z 比【0 ，1 1 ，这样 的否定又称为强否定 【o ，1 】上重要而广泛使用的强否定就是标准否定虬：xh1 一z 比【0 ，1 1 可以证明：函数n ： 0 ，1 】一 o ，1 】是一个强否定当且仅当存在单调双射 夕：【o ，1 】一【o ，1 】使得( z ) = g - 1 ( ( 夕( z ) ) ) v z 【0 ，1 1 当然，并非所有的否定都是严格的例如，g s d e l 否定 眦，= r 蔷n 定义2 16 设t ，s ，分别是l 上的t 一模、t 一余模和否定，如果 t ( x ，y ) = n 1 ( r ( ( z ) ，( y ) ) ) ，s ( z ，y ) = ( 丁( ( z ) ，( 秒) ) ) v z ，y l ， 则称三元组( t ，s ，n ) 为d em o r g a n 三元组 l0 南京师范大学博士学位论文 即使( r ，s ，) 是 0 ，1 】上d em o r g a n 三元组，也未必有t ( z ，( z ) ) = o ，s ( x ，i v ( x ) ) = 1 0 ，1 】，即通常的排中律未必成立 【o ，1 】上的t 一模、t 余模作为二元函数，自然有连续性问题显然，基本t 模砌，昂，死及其对偶t 余模都是连续的，而基本t 模码及其对偶t 余模 不是连续的 一般地，定义域为【0 ，1 】2 的二元函数，即使它对每一个变量分别都是连续 的，它在 0 ，1 】2 上也未必是连续的但对于t 一模来说，根据它的单调性，可以证 明：一个t 一模是连续的当且仅当它对于每个变量是连续的( 见【1 3 8 ) ，即对任意 a ，b 【0 ，1 】，垂直截线t ( a ，y ) 和水平截线t ( z ，b ) 都是单变量连续函数 对于t 模和t 余模，我们更多地考虑它们的单侧连续性 定义2 1 7 设固是【0 ，1 】上的一个t - 模，如果对每一个y o ，1 】和所有非减的 ( 非增的) 序列 z 礼) 有 ( 1 i r az n ) oy = l i mz noy ， 扎+ n - - - o o 则称圆为左连续( 右连续) 的 显然， o ，1 】上t - 模是连续的充分必要条件是它既是左连续的又是右连续 的 突变积殇是【0 ，l 】上右连续但非左连续的t 一模 王国俊教授在研究模糊推理的逻辑基础时由凰蕴涵诱导的t 模： ，b ( z ，可) = ：n z ，y ) ，z x + + 秒y 1 l 是左连续而非右连续的( 见【11 6 】) 考虑完备格上t 模时，我们自然要将左( 右) 连续性概念进行推广 定义2 1 8 设。是厶上的一个二元运算，如果对每一个可l 和所有的 巧l ( j 了) 都有 ( v 祝) 。y = v 2 ：i 秒， i e ji e j ( ( 婉) q 可= ax i 。秒) ， i e ji e j 本文中，如没有特别说明，j 总表示一个任意指标集 第2 章t 模、蕴涵算子和剩余格 11 则称0 为左无穷v 分配( 左无穷a 分配) 的 类似地，可以给出右无穷v 一分配和右无穷 一分配概念 如果l 上一个二元运算。既是左无穷v 分配的，又是右无穷v 分配的， 我们就说0 是无穷v 分配的同样，可以给出无穷a 分配概念 从代数角度来看，己上二元运算0 是一个t - 模当且仅当( l ； ，) 是具有 单位元1 和零元0 的可换序半群因此，很自然地要考虑t 模的代数性质 对于两个t 模。与丰，如果作为序半群，( l ； ，) 与( l ；宰，) 是同构的，即 存在双射妒：l l ，对任意x ，y l 都有 妒 oy ) = 妒( z ) 妒( 可) ，z y 令妒 ) 妒( 可) ， 则称t 模0 与木是同构的 若t 一模。与木同构，则同构映射妒满足：妒( o ) = 0 ，妒( 1 ) = 1 定理2 1 9 【l1 8 】设妒是l 的一个自同构，o 是l 上一个t - 模，定义 z 固妒y = 妒一1 ( 妒( z ) 妒( 掣) ) 比，y l ， 则 也是l 上一个t - 模，称为由。通过妒生成的t 一模 根据定理2 1 9 和 0 ，1 】基本t - 模，通过【0 ，1 】上自同构，我们可以构造很多 有用的t - 模( 见【11 8 1 ) 下面我们考虑一些特殊的t 模以及它们结构 设0 是l 上一个t 模，如果a 圆a = a ，a l ，则称a 为。的幂等元显然， 0 ，1 是任何t 模的幂等元，我们称之为平凡幂等元，其它的幂等元称为非平凡 幂等元 如果存在正整数扎使得a n = 0 ，这里0 a 1 ， 则称a 为 的幂零元 a 忱= a0a a ， 、- _ _ _ 、，_ _ - ， ，i 1 2 南京师范大学博士学位论文 对于一个元素n ( o a 1 ) ，如果存在b ( 0 b 1 ) 使得oob = 0 ，则称n 为。的零因子 【o ，1 】上最小值t 一模嘞的幂等元素集是 0 ，1 】，而且是唯一满足此性 质的t 一模；l u k a s i e w i c zt 模死及突变积t 模乃