（基础数学专业论文）带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性.pdf

摘要 线性模型是数理统计学中发展较早、理论丰富且应用性很强的 一个重要分支近三十年来，线性模型的最优预测问题已引起了 h b o l f a r i n e 等统计学家的重视，已先后得到了总体总量和有限总体 回归系数的最优线性无偏预测、极大极小预测、贝叶斯预测、简单投 影预测等有意义的结果，尤其是随着高速电子计算机的日益普及，在 该领域的研究更是获得了长足发展我国学者有关线性模型的研究多 集中在参数估计方面，而对预测的研究相对较少喻胜华等推广了 h b o l f a r i n e 等人的部分结果，且把参数估计中的可容许性概念和相 关理论平移到了线性模型的预测理论中文献中研究的线性模型通常 对未知参数没有任何约束条件，但是，在一些实际问题中我们需要处 理的模型有时是带有约束条件的例如，在方差分析模型和协方差分 析模型中，固定效应和交互效应都满足一定的约束条件为此，本文 讨论了如下带线性等式约束的任意秩多元线性模型： y = 船+ 占， e ( v e c ( e ) ) = 0 ， c o v ( v e c ( 8 ) ) = 仃2 aoz ， u b = 0 ， 这里l ，是力q 的观察值矩阵，仃2 o 是未知参数，b 是p q 的未知回归系 数矩阵，s 是n q 的随机误差矩阵，x 为n p 的已知设计阵，o 和 z o 分别为已知的口阶和r l 阶矩阵，u 为s x p 的已知常数矩阵，且 b 吵会( b ：u b = o ) ，不妨设o s n 0 第二章和第三章分别在二次损失和矩阵损失下研究了上述模型 中线性预测的可容许性问题，给出了条件线性可预测变量和可容许 线性预测的定义，并分别在齐次线性预测函数类和非齐次线性预测 函数类中得到了条件线性可预测变量的一个线性预测是可容许线性 预测的充要条件；第四章把第三章的有关结果推广到了带线性等式 约束的一般生长曲线模型 关键词：线性模型，线性等式约束，预测，可预测变量，可容许 a b s t r a c t l i n e a rm o d e li sa ni m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s ，w h i c hb eo fd i s t a n th i s t o r y ，ag r e a td e a lo ft h e o r y a n ds o m ea p p l i e dv a l u e o fl a t et h i r t yy e a r s ，h b o l f a r i n ee t c h a v ea t t a c h e di m p o r t a n c et oo p t i m a lp r e d i c t i o np r o b l e mi n l i n e a rm o d e l ，a n do b t a i n e db e s tl i n e a ru n b i a s e dp r e d i c t o r s ， m i n i m a x p r e d i c t o r s ，b a y e sp r e d i c t o r s a n ds i m p l ep r o j e c t p r e d i c t o r s o fp o p u l a t i o nt o t a la n df i n i t ep o p u l a t i o n r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s s p e c i f i c a l l y ，w i t ht h ei n c r e a s i n g p o p u l a r i t yo fg i a n tc o m p u t e r ，t h er e s e a r c hi nt h i sd o m a i ni s f o r g i n gr a p i d l ya h e a d c h i n a ss c h o l a rs t u d ym a i n l yp a r a m e t e r e s t i m a t i o ni nl i n e a rm o d e li n s t e a do fp r e d i c t i o n 。y us h e n g h u a e t ce x t e n dap a r to fn b o l f a r i n e sr e s e a r c h ，a n dt r a n s l a t et h e c o n c e p ta n dt h e o r yo fa d m i s s i b i li t yo np a r a m e t e re s t i m a t i o n i n t op r e d i c t i o ni nl i n e a rm o d e l i np a p e r s ，t h eu n k n o w n p a r a m e t e r i nl i n e a rm o d e li su s u a l l yu n r e s t r a i n e d ， b u t s o m e t i m e sw en e e ds t u d yt h e1 i n e a rm o d e lw i t h ：r e s t r a i n e d c o n d i t i o n f o re x a m p l e ，f i x e de f f e c ta n dc r o s se f f e c ti n v a r i a n c ea n a l y s i sm o d e la n dc o v a r i a n c ea n a l y s i sm o d e la l w a y s s a t i s f ys p e c i f i e dr e s t r a i n e dc o n d i t i o n f o rt h i s ，w ec o n s i d e r t h ef o l l o w i n gm u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e lw i t hl i n e a re q u a l i t y c o n s t r a i n ta n da r b i t r a r yr a n k ： p = 船+ 嚣， l 蠢( 融) ) 嚣0 ， ic o v ( z e c ( 8 ) ) = 仃2 z ， 【u s ：o , w h e r eri s 栉口r a n d o mm a t r i xo fo b s e r v a t i o n s ，仃2 0i sa n u n k n o w np a r a m e t e r ，bi sap xgu n k n o w np a r a m e t e rm a t r i x ， si s a l l xqr a n d o me r r o rm a t r i x ixi sa nn x pk n o w nd e s i g nm a t r i x ， 0a n d 0a r ek n o w nq x qa n d ? x 力m a t r i c e sr e s p e c t i v e l y ， ui sa s xpk n o w nc o n s t a n tm a t r i x ，a n db 罗= b ：l i b 鬻o 。翼e m i g h ta sw e l la s s u m e 厶0a n d 雾0 i nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w e i n v e s t i g a t et h ea b o v em o d e lu n d e rq u a d r a t i cl o s sf u n c t i o na n d m a t r i xl o s sf u n c t i o nr e s p e c t i v e l y d e f i n i t i o n so fc o n d i t i o n a l l i n e a rp r e d i c t a b l ev a r i a b l ea n da d m i s s i b l e1i n e a rp r e d i c t o r a r eg i v e n | a n ds e v e r a ln e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r a1 i n e a rp r e d i c t o ro ft h ec o n d i t i o n a l1 i n e a rp r e d i c t a b l e v a r i a b l et ob ea d m i s s i b l ei nt h ec l a s so fh o m o g e n e o u sl i n e a r p r e d i c t o r sa n dt h ec l a s so fn o n h o 疆o g e n e o 毪s1 i n e a rp r e d i c t o r s a r ee s t a b l i s h e dr e s p e c t i r e l y i nt h ef o u r t hc h a p t e rw ee x t e n d r e s u lt si nt h et h i r dc h a p t e rt og e n e r a lg r o w t hc u r v em o d el w i t h1i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t k e yw o r d s ：li n e a rm o d e l ，i i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t ，p r e d i c t o r ， p r e d i c t a b l ev a r i a b l e ，a d m i s s i b l e 1 v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 卵纠矽日 髟剜 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密曰。 作者签名：膨殇布日期：硼年2 月乡日 导师签名：差即琢日期：聋声缈日 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 第一章绪论 1 1 引言 线性模型是一类统计模型的总称，它包括线性回归模型、方差分 析模型、协方差分析模型和线性混合效应模型等许多生物、医学、 经济、管理、地质、气象、农业、工业和工程技术等领域的现象都可 以用线性模型来近似描述因此线性模型已成为现代统计学中发展 较早、理论丰富且应用性很强的一个重要分支我国学者有关线性模 型的研究多集中在参数估计方面，而对预测的研究相对较少所谓 预测，乃是对给定的回归自变量的值，预测对应的回归因变量所可 能取的值，这是回归分析的重要应用之在线性模型中，自变量 往往代表一组实验条件或生产条件或社会经济条件，由于实验或生 产等方面的费用或实验周期等方面的原因，在我们根据以往积累的 数据获得经验模型后，希望能对一些感兴趣的实验、生产条件不真正 去傲实验，而是利用经验模型就对应的因变量的取值做出合理的估 计和分析，可见预测是普遍存在着的一个很有意义的实际问题近 三十年来，线性模型中的最优预测问题已引起了h 。b o l f a r i n e 等统 计学家的重视，尤其是随着高速电子计算机的日益普及，在该领域 的研究更是获得了长足发展 1 2 有限总体中的最优预测 h b o l f a r i n e 等人研究了如下预测问题： 设瓣= l ，2 ，；表示容量为n 的有限总体，鼹的第嘉个元对应着 p + 1 个量：y k ，：，这里除儿外都是已知的，七= l 2 ，记 y = 如，咒，胤) 乞x = ( 五，置，k ) 0其中五= o 是未知参数，b 是p x q 的未知回 归系数矩阵，是n x q 的随机误差矩阵，x 为n x p 的已知设计阵，o 和o 分别为已知的q 阶和n 阶矩阵，不妨设a o 和0 胁( ) 表示 把矩阵按列拉直所得到的向量，a z 表示矩阵与嚣的k r o n e c k e r 乘 积，e ( ) 和c o y ( ) 分别表示随机向量的期望和方差( 下同) 顺便指出： 本文第四章研究的生长曲线模型也属于多元线性模型 国内外学者有关预测问题的研究多集中在有限总体，即一元线性 高校教师在职硕士学位论文 模型，而对多元线性模型的研究相对较少当设计矩阵和协方差矩阵 的秩满足一定条件时，文献e 6 1 3 对线性模型( 王2 ) 中的最优预测闻题 作了较系统的研究，先后得到了待预测变量的最优线性预测、经验最 优线性预测、最优线性无偏预测以及最优齐线性预测等，文献e 6 8 3 在对设计矩阵和协方差矩阵的秩不加任何限制时研究了模型( 1 2 ) 中 的最优预测问题，得到了线性可预测变量的最优线性无偏预测，并 考虑了一类特殊的预测函数：西一线性预测函数，给出了一线性可 预测变量和最优垂一线性无偏预测的定义，得到了辔一线性可预测变 量的最优一线性无偏预测文献 4 6 在二次损失函数下给出了可容 许线性预测的定义，并分别在齐次线性预测函数类和非齐次线性预 测函数类中得到了线性可预测变量的一个线性预测是可容许线性预 测的若干充要条件文献 4 8 进一步把文献e 4 6 3 中的有关结果推广 到了生长益线模型。 1 4 本文的主要结果 文献中研究的线性模型通常对未知参数没有任何约束条件，它 是自由参数但是，在一些实际问题中我们需要处理的模型有时是 带有约束条件的。例如，在方差分析模型或协方差分析模型中，固定 效应喁、，或者交互效应靠都满足约束条件 强= o 岛= 。，或黑o ，巧= o 又如在配方问题中，要寻 求几种成分的最佳配比屏属，以，此时诸属应满足屏= t ，屏0 一般地，当我们对具体闻题有了一定的附加信息之蜃，这些信息往往 可以用约束条件的形式来描述另外，在一些理论研究中，也会产生 带约束的模型如，回归系数的有偏估计就可以看作带线性或二次约 束的回归估计为此，我们有必要考虑带约束条件的线性模型，众所 都知，对于带非线性约束或线性不等式约束的线性模型，在理论上处 理起来难度很大由于作者水平有限，本文只考虑带线性等式约束的 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 多元线性模型 第二章研究了二次损失下带线性等式约束条件的任意秩多元线 性模型，给出了条件线性可预测变量和可容许线性预测的定义，分别 在齐次线性预测函数类和非齐次线性预测函数类中得到了条件线性 可预测变量的一个线性预测是可容许线性预测的充要条件：第三章 研究了矩阵损失下带线性等式约束条件的任意秩多元线性模型，分 别在齐次线性预测函数类和非齐次线性预测函数类中得到了条件线 性可预测变量的一个线性预测是可容许线性预测的充要条件：第四 章将第三章的有关结果推广到了生长曲线模型 高校教师在职硕士学位论文 第二章二次损失下带线性等式约束的多元线性模型中 线性预测的可容许性 2 1引言 可容许性是一个估计或预测的最起码的要求，因而一个估计或预 测是否可容许是一个很重要的问题有关线性模型中参数估计的可 容许性的研究起步较早( 见文献 3 7 ，3 8 1 等) ，我国学者吴启光等率先研 究了参数估计的可容许性，且一发不可收，有关这方面的文献非常多 ( 如文献 3 9 ，4 2 ，4 5 ，5 2 ，5 3 ，5 4 等) 喻胜华等人成功地把参数估计中的可 容许性概念和某些相关理论平移到了线性模型的预测领域中( 详见文 献 4 6 ，4 8 ，6 9 ，7 1 ，7 2 等) ，同时，他们在研究中也遇到了一些挑战，主要 有二次型预测的可容许性理论，在这方面尚未得到任何结果本文考 虑带有线性等式约束的多元线性模型： y = x b + 占， e p ) ) = 0 ：。 ( 2 1 ) c o y ( v e t ( e ) ) = 仃2 a z ， 、 7 u b = 0 ， 这里u 为s x p 的已知常数矩阵，且曰少= ( b ：u b = o ) ，其它符号的 含义同模型( 1 2 ) 对于模型( 2 1 ) ，我们考虑用己知观察值矩阵】，去预测未知观 察值矩阵 r o = x o b + 8 0 ， 这里e ( v e c ( 8 0 ) ) = 0 ，c o v ( v e c ( 占o ) ) = 口2 a y - o ，e ( v e c ( e ) v e c ( ) ) = 仃2 ao v ，x o ， 矿和。o 分别是朋p n x m 和册聊的已知矩阵，岛是朋x q 的随机误 差矩阵 一般地，我们要预澳j j r o 的线性函数g r o ，这里k 是已知的r m 矩 阵 一 定义2 1对于模型( 2 1 ) ，若存在y 的线性函数d y ，使得 e ( d f x r o ) = 0 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 对一切b 沙成立，则称k v o 为条件线性可预测变量 引理2 。1 在模型( 2 。王) 下，k y o 为条件线性可预测变量，当且仅 当 烈) c o k ) ca ( x ：u ) 。 其中( ) 表示由矩阵的列向量所生成的线性子空间 证 k r o 为条件线性可预测变量，当且仅当存在d y ，使得 e ( d y - k y o ) = ox 寸一切b y 成立，即( d x k x o ) b = 0 对一切b 少成 立这等价于 ( x d 一“k ) ca ( u ) 上式成立当且仅当存在矩阵w ，使得) c o k = x d + u w ，即 ( ) c o x ，ca ( x ：移) 记 = d 妖d 是r x n 的常数矩阵 m 。= d h f ：d 和f 分别是r x n 和r x q 的常数矩阵) 设烈砷是k v o 的一个预测，取二次损失函数 厶( d ) ，仃2 ，曰) = q ( 】，) 一k y o ) ( d ( y ) - k y o ) , ( 2 2 ) 它的风险函数为 最搿y ) ，拶2 ，鳓= e ( d ( y ) - k y o ) ( d ( r ) - k y o ) 。 定义2 。2 在模型( 2 。1 ) t ，设d t ( y ) 和d a y ) 是条件线性可预测变量 k y o 的两个预测，若 墨( y ) ，a 2 , 器) 一墨( 盔( y ) ，a 2 , 召) 0 对一切拶2 o 和艿i 妒成立，且至少存在某个菇 o 和最舔y 使得上式左 边不是零矩阵，则称在损失函数( 2 2 ) 下4 ) 优于d a y ) 若d y 零，且在垂中不存在优于d y 的预测，则称在损失函数( 2 2 ) 下d y 是弛在中的可容许线性预测，并记为d y 三娥眇】 高校教师在职硕士学位论文 类似地，我们可定义d l ，+ f 未- k y o 纠 2 2二次损失下齐次线性预测的可容许性 本节在模型( 2 1 ) 下讨论条件线性可预测变量k y o 的线性预测在 齐次线性预测函数类中可容许的充要条件，为此先给出几个引理 引理2 2 在模型( 2 1 ) 下，设砜是条件线性可预测变量，若 d y 三戤眇】，则c d y 三c x 纠，这里c 是任意的常数矩阵 证若存在a y ，使得 e ( c d y c k y o ) ( c d y c k y o ) 一e ( a y - c k y o ) ( a y c k y o ) 0 对一切盯2 o 和b 沙成立，且至少存在某个“2 o 和b o 使得上式左 边不为零矩阵，则有 e ( d y k y o ) 7 c c ( d y k y o ) e ( p , a y - c g r o ) ( g a y - c k y o ) + e ( j ，么( ，- p 。) a y ) ( 2 3 ) e ( ( c ) 一c a y k r o ) c ( ( c ) 一c a y - x r o ) 对一切仃2 o 和b 缈成立，且至少存在某个吒2 o 和鼠少使得上式中 的严格不等号成立，( 此处严格不等号的意义并非通常矩阵意义下的 严格不等号，通常矩阵意义下的a b 的意义是彳b 为正定矩阵) 这里e = c ( c ，c ) 一c ( c ，c ) 一表示矩阵c c 的减号广义逆 设五是矩阵c c 韵最大特征根，f = 2 1 c ，c ， = ( c ，c ) 一c a ，且 d o = d + f ( a o - d ) 由式( 2 3 ) 不难得到 r , ( d o y ，仃2 ，艿) = r _ i ( d y ，仃2 ，b ) + e ( a o y - d y ) f 2 ( 4 y - d r ) + e ( a o y d r ) f ( d y j 溉) + e ( d y k y o ) f ( a o y - d y ) r 1 ( d y ，c y 2 , 曰) + 以4 y k y o ) f ( 4 】，一k y o ) - e ( d y - k y o ) f ( d y - k y o ) 尺( d y ，仃2 ，b ) 对一切拶2 o 和四少成立，且至少存在某个“2 o 和或使得上式中 的严格不等式成立，这与d y 三弛【纠矛盾，因此引理2 2 的结论成立 易知，对任何j 6 f 杪，存在矩阵o 尺朋，使得艿訾u 一昂，) o 其中 为向线性空间a ( u ) 的正交投影矩阵，即昂麟u ( 叫，) 一u 弓 理2 3 在模型( 2 1 ) 下，轰弛是条件线性可预测变 量，d y 辔，则有 rr 1 ( d y ，a 2 , 曰) = ( d x k f f v o ) ( d f f ( 一r d c , ) o + 口2 a t r ( d z d + k z o k 一2 d v k ) 2 。r 1 ( d y ，0 - 2 b ) r - i ( 3 y ，0 - 2 曰) 对一切 o 和艿y 成立，且等号成立当且仪当d z = 西艺 3 。墨( 西y ，拶2 ，固= 9 ( d x k x o ) ( d x 一矗叠己) 1 8 i + 仃2 5 i r ( d 赢4 x d ， + k e 。k - 2 d x ( x t + x 。) + 霄于v k 一忉， 这墅 6 = 蜮媾重殳￥囊童+ k v q q 一殳 堂爻丫又它+ 、。 又= ( i - i v 、x 。 又，= 心一p u 、x ，。堂然叉又t m = o 和艿g 沙成立， 且等号成立当且仅当e y 一3 r ) ( d r 一西y ) = o 即秽2 a t r ( d - ) ) z ( d 一西) 】= 0 ，注意到o ，上式等价于d = 西 3 。通过直接运算可得 9 高校教师在职硕士学位论文 p 、( b r ，a 2 , b ) = 0 ( b 2 一 0 已) ( 3 2 一k 2 0 ) o + a 2 a t r ( b z b + k x 。k 一2 f ) v k ) = 0 ( b 2 一瓯) ( b 2 - i 暖o ) o + 仃2 a t r ( d 蚴z ) + k z 。k 一2 d x ( x t + j ) + j 尹豚一忉 定理2 1在模型( 2 1 ) 下，设d y 西， k r o 是条件线性可预测 变量，则d j ，三砜 】的充要条件是 ( ，) d z = 西， ( 玎) o 向d c z ) ( d 2 一k 崴) ( j f + j ) + 启亍+ v k + 彪咖d ， ( i i i ) j u ( d 2 2 2 0 ) = ( 何) ， 这早 h = ( d x - k x o ) m ( d x 一叫口) + ( d x 一尼k ) 【( x 7 + ) + x r + v k 一泓d 】 = ( d 口一k 2 。) 【m ( d 膏一k 2 0 ) + ( 膏于+ j ) + j 于+ v k 一m 2 z ) 】 = ( d x k 2 0 ) 1 ( 2 于+ x ) + x t + v k - m ( k x o ) 】 证先证必要性由引理2 3 ，条件( f ) 显然成立为证( f f ) 和 ( i i i ) ，我们分两种情况加以讨论 ( i ) k 是一个m 维行向量 令 q = b d x ( x t + j ) + j 于+ ( 1 一b ) r 暖o ( j 亍+ j ) + 宕于+ + k v t + ( ，一x ( x t + x ) + x r ) ， 这里0 6 1 d l 满足条件( f ) ，且q y 的风险函数为 墨旧】，仃2 ，占) = 0 x - k x o ) ( d , x k x o ) o 竹2 a ( d i z d , + k z o k - 2 日v k ) = b 2 0 ( d l 霄一k _ x o ) ( d t x 一线) o 竹2 a ( b d x + ( 1 - b ) k x o ) m ( b d x + ( 卜6 ) 矾) + k z 。k - 2 ( b d x + 0 一b ) r o ) ( 2 r x ) + x t + 豚一】 为此，我们有 1 0 - 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 r l ( d y ，仃2 ，b ) 一墨( 口y ，仃2 ，b ) = ( 1 - 6 ) 2 0 ( 腑一k 2 0 ) 7 ( d x r d o ) o + 仃2 a o 一6 ) 2 僦d 一2 ( 1 一b ) d x ( x t + j ) + j p v k7 2 b ( 1 一b ) r d o m 贾z ) - ( 1 6 ) 2g & m 2 0 k + 2 ( 1 6 ) 斛。( x 7 + x ) + x 7 + 7 】 则由d 】，三k 虼【纠可得 ( 1 + b ) d x m x 。d 一2 d x ( x t + j ) + 贾于 一2 b 暖o m ；h ) 一( 1 一b ) k 2 0 m 厦o k 7 + 2 k x o ( x t + x ) + x 7 + s 0 对一切0 t r ( - - ( d x k x o ) m x o k + ( d x r o c o ) ( x t x ) 爻7 ”v k ) 令 g = 娥。心重啼爻y 又它+ k v t 专心一天( 爻雪更y 爻窖、 - q t k x o ( x t + 贾) + 碧于+ 一d + k v t + ( ，一x ( x t + 碧) + j 垆+ ) 】。 e hd z = z s z 可知g z = 浇，且耐= r d ；o + q 雠一瓯) ，再由式( 2 8 ) ， 有 置( g j ，仃2 ，曰) = 0 ( d 露一叠叠乙) ( 奶膏一k o ) 0 + 盯2 磊研孟= j 吒 磊裁7 k + k z 。k 7 + ( 彩泞一k - x o ) m ( d x 一蠢泛) - 2 k 2 0 ( 2 于+ 碧) + 宕于+ 腿一n + 2 q ( ( d x r 2 0 ) m 重o k 一( 腑一碱) 僻尹2 ) + 2 p v k ) 】 1 2 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 0 ( 肼一线) ( d 贾 - r d o ) o 竹2 a t r d 而d f ( d + k z 。k 一2 d x ( x t + j ) + 碧亍+ v k 一】 = r - l ( d y ，0 2 曰) 且r ，( o r ，秽2 ，b ) 置( d y ，a 2 , 艿) 对一切口2 0 和be 缈成立，这与 d y 三k 端【沙】矛盾，所以条件( f f ) 成立 由条件( 西) 易知h o ，所爹ap n p = o 等价于p h 嚣0 再由前面的 讨论可知：若p i - i = 0 ，则p ( 厨一瓯) = 0 ，对一切p r 7 成立，所以 ( 砑一盛o ) c ( 嚣) ，另一方面，显然有t u ( h ) c 1 2 ( d x r d c o ) ，因而条 件( f 打) 成立 注意到以上两种情况，必要性得证 现证充分性假设条件) 晒) 成立 由引理2 3 ，要证d y 三k k 【】，只需证明对任意的】，中其中五 满足条件= z ，y 不能优于d y ，+ 为此，我们分两种情况加以讨 论 ( 1 ) d y e = r d c o 若廖璃，燹, ul r 显然不能优于d y ； 若以= r d c o ，则有r , ( l r ，a 2 , b ) mr t ( d y ，仃2 ，b ) 。 ( i i ) d y e 喾矾又分两种情况讨论 r 盥= 域。取= 毽爨| j 召= 0 。由条件( 摇) 可立即得到 r ( j ，口2 ，o ) - r ，( d y ，仃2 ，o ) = d r 2 研线m 藏k 一拶撇移一2 x 羲( 需尹贾) + 碧掌+ v k + 2 d x ( x t + 霄) + 贾于+ 豚】 - - 0 2 a t r h + ( d x 一碱x ( 雪掌+ 碧) + 雪亍+ v k 一磁殄) 】 d r 2 m r ( h ) 。再由条件眙) 和条件( i i i ) 可知露o ，且r ( 胃) = r ( d x 一碱) 1 ， 所以护( ) o ，因此y 不能优于d y 这里尺( ) 表示矩阵的秩，扩( ) 表示 方阵的迹 2 。i _ 2 i c 2 0 。若厨= 西，贝f j & ( l r ，0 - 2 r ) - - t ( d y ，拶2 ，b ) 。 1 3 高校教师在职硕士学位论文 现设d 2 雾膳，由引理2 3 ，我们只需考虑如下情形： 凹一碱) 厦一赋) ( 甜一k _ x o ) ( d x r d o ) ( 2 9 ) 上式表明： 肼( 厦一蛾) ，】c 肼( 撕一蛾) ，】， 因此 瞄一线) = 腑一r d o ) z ， 这里z = 【( d 童一x 氟) ( d 膏一r d c o ) 】+ ( d 贾一皇宠) ( l 童一尺兄) 再由式( 2 9 ) 可立即得到 z z 袋蜀厦一k 2 0 ) f d 2 一r d o ) 】+ ( d 童一蓑叠乙四膏一磊0 歹 由此及条件( i ) 和( i i ) ，有 羁犯j ，盯。，o ) 一r i ( d y ，仃20 ) 燃疗2 a t r ( i - z - z ) k 2 0 m 2 0 k + 2 z ( i - z ) k 2 0 m 2 d 一u z z ) d 黝d + 2 ( i z x d x 一彪k x r x ) + x 7 + 豚1 拶2 a t r ( 1 一z x t z ) o l a 棚l c + 2 z q z ) y 3 c o m x z ) - ( i z z f x d 2 - k x o ) ( 2 7 啼x 丫x 个诹f - ( i - z z ) k x o m x d 铊“一z x d x k x o ) ( x t + x ) + x 7 + v k = 盯2 a t r ( i z ) ( j r z ) r d o a d o k 一2 ( i z ) ( ，一z ) 囊0 吒 z 孽d l 一2 z + z z 撕一矾j 雪碧) + j 于隧+ r d c 脚】 = d r 2 a t r ( 1 一z x i z ) r 西o u & k 一2 ( i z ) ( ，一z ) 蔗墨 掳乃 l z z + z z x ( d 2 一线碧亍+ 需) + 碧掌+ 蹯+ 碱磁勿? = 盯2 以( ，- z ) 日( ，一z ) 】 ( d x k x o ) ( i z ) = ( 谢一z 2 ) o 和条件( i i i ) 易知h ( i z ) o ， 因而有 ( l y ，仃2 ，0 ) 一i 墨( d y ，0 - 2 0 ) d r 2 a t , - ( - z ) h ( i - z ) 】， 且n , ( l r ，拶2 ，0 ) 一r y ，万2 ，o ) o 对切拶2 o 成立，这说明y 不能 优于d y 1 4 带线性等式约束的多元线性模型中线性预测的可容许性 综合以上几个方面可知定理的结论成立 2 3 二次损失下非齐次线性预测的可容许性 定理2 2 对于模型( 2 1 ) ，设d y + f m 。，k r o 是条件线性可 预测变量，员j j d r + v 未- k r o 纠的充要条件是 d y w - k y o 矽 ， ( 西) ( f ) c u ( d x 一必k ) 。 证先证必要性 现设( f ) 莲( 撕一碱) ，p 是到线性子空间1 2 ( d r ( 一x 2 0 ) 上的正交 投影矩阵 上述假设表明u p ) f 0 ，通过直接运算不难得到 足( d r + f ，a 2 曰) = e ( d y + f - k y o ) ( d y + f - k y o ) = 玎2 a t r ( o x o + k z 8 k 一2 d v k ) + 0 ( d x k x o ) ( d x - k x o ) o 十f f + o ( d x - k x o ) f + f ( d x - k , y o ) o 拶2 a t r ( d x d + k z o k - 2 d v k ) + f t f 0 ( d r r d c o ) ( d f c k 2 0 ) o 姻叉一i c 2 0 ) 、p f + f tp 文一k 露o ) o = t 毫( d y + p f ，o 2 , b ) 注意到( ，一p ) f 0 ，我们有f p f f f ，因此 r t ( d y + f ，a 2 , 艿) 毋r , ( d y + p f ，口2 ，露) 对一切疗2 os n b 毫缈成立，这与移y + 声暑弛【纠矛盾，故条件( 鲐) 成 立 下面假设条件( f f ) 成立，但条件( f ) 不成立，因而存在a y o - 1 5 - 高校教师在职硕士学位论文 使得 r , ( d y , t r 2 , b ) - 冀( a y ，拶2 ，君) 0 对一切仃： 0 和b 缈成立，且至少存在某个2 0 和鼠缈使得上式 左边不为零矩阵，再由条件( 孬) 可知一定存在p xq 的矩阵使得 f = ( d x k x 。o ) o ”，记西= ( ，一尼，) 西，因而我们有 e ( a y + ( a y k x 。o ) b “一k y o ) ( a y + ( a y k x 。o ) b 一- k y o ) = r , ( a y ，( y 2 艿+ 雪) r t ( d y , 0 2 , 磐+ 雪) = 觑d y + f - k y o ) ( d y + f 一必k ) 对一切： o 和艿矿成立，且对o 0 2 o 和岛一秀猡，上式中的严 格不等号成立 上式与d y + ，兰弛【纠矛盾，所以条件( 1 ) 成立 现证充分性 设a y + we 巾。，露和分别是到线性子空间( 从一线) 和 i a ( d x 一戤o ) 上的正交投影矩阵，若 e ( a y + 矽一k k ) ( a t + - k y o ) 层( d y + f k 圪) ，( d 】，+ f k r o ) 对一切0 - 2 o 和艿矿成立，则由条件似) 及必要性的证明过程可知 e ( a r + 露缈一k r o ) ( a r + 置形一k r o ) 墨e ( a y + 矽一k y o ) ( a y + 矽一k y o ) e ( d y 十f k 虼) ( d y + f k r o ) = e ( d y + p 2 f - k y o ) ( d y + p 2 f k r o ) 对一切z 卜雾和嚣矿成立，从焉 ( 詹一碱) ( 甜一瓯) ( 肼一线) ( 腑一线) ( 2 1 0 ) 由条件( 脬) 及矩阵置的定义可知：存在p xq 的矩阵o l 和0 ：，使 得只矽= 砸一碱) 9 ；，且f = ( d k - k x o ) 0 ：， 记最= q - p 莎，) o ；， 垦= ( ，一昂) o ：，因此式( 2 1 0 ) 可变为 1 6 - 带线性等式约束的多元线性模型巾线性预测的可容许性 r _ i ( a y ，盯2 ，b + 属) r i ( d y ，仃2 ，艿+ 岛) ( 2 1 2 ) 对一切2 o 和be 矿成立。在式( 2 。1 2 ) 中取君= 一盈可得 r l (