（基础数学专业论文）关于亚纯函数的正规性.pdf

摘要 本文主要分两部分进行，分别对正规族理论和分担值方面的一些问题 进行了讨论研究 其中第一部分从方明亮提出的一个关于正规族与例外函数的问题进行 了研究，拓展了z a l c m a n 等人在这方面的成果，获得的一个主要定理是：令 k 2 是一个整数，厂是区域d 上的一族亚纯函数，所有的零点至少k + 1 级，极点均为重级h 是一个d 上不恒为0 、o 。的亚纯函数若对任意的 ，厂，( 知) ( z ) ( z ) 则芦在区域d 上正规 在本文的第二部分提出了关于分担值与周期函数的一个猜测：若，是 一个超越亚纯函数，满足( z ) ee 净( z + 1 ) e ，其中e 是由三个互异 的有穷复数构成的集合是否一定有，为周期函数? 在这方面上进行了一 系列的讨论工作，并在附加条件的情况下得到了定理：如果，是一个有限 级的超越整函数，( 石) 与，( 名+ 1 ) c m 分担两个有穷复数，则( z ) 一定以1 为周期在这一部分还对j l a n g l e y 的一个结果进行了一些简单的讨论 关键词：正规族，例外函数，分担值，周期函数 a b s tr a c t t h i sp a p e rc o n s i s t e do ft w op a r t sw h i c hd i s c u s s e dt w ot o p i c sr e s p e c - t i v e l y o n et o p i ci sa b o u tt h e o r yo fn o r m a lf a m i l y , a n dt h eo t h e ri sa b o u t s h a r e dv a l u ea n dp e r i o d i cf u n c t i o n t h ef i r s tp a r to fp a p e rs t a r tf r o map r o b l e ma b o u tn o r m a lf a m i l ya n d o m i t t e df u n c t i o nr a i s e db yf a n gm i n g l i a n g ，a n di te x t e n d e dt h ew o r kb y z a l c m a ni nt h i sd i r e c t i o n am a i n l yt h e o r e mw eg o ti nt h i sp a r ti s ：l e t k 2b ea ni n t e g e ra n d 厂af a m i l yo ff u n c t i o n sm e r o m o r p h i co nad o m a i n di nc a l lo fw h o s ep o l e sa x em u l t i p l ea n dw h o s ez e r o sa l lh a v em u l t i p l i c i t y a tl e a s tk + 1 l e thb eaf u n c t i o nm e r o m o r p h i co nd o m a i nd ，h 0 ，。o s u p p o s et h a tf o re a c hf 厂，f ( k ) ( z ) h ( z ) f o rz d t h e n 芦i san o r m a l f a m i l yo nd w er a i s e dap r o b l e ma b o u ts h a r e dv a l u ea n dp e r i o d i cf u n c t i o ni nt h e s e c o n dp a r t ：s u p p o s ejb eat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o ns a t i s f i e d ( z ) e 专f ( z + 1 ) e ，w h e r eei s as e tc o n s i s t e do ft h r e ed i s t i n c t f i n i t ec o m p l e xn u m b e r s t h e nw h e t h e ri tb er i g h to rn o tt h a tfm u s tb e ap e r i o d i cf u n c t i o n ? i nt h i sd i r e c t i o nw ed i s c u s s e ds o m ec a s e s ，a n dg o tt h e f o l l o w i n gt h e o r e mw i t ha d d i t i o n a lc o n d i t i o n s ：l e tfb eat r a n s c e n d e n t a l e n t i r ef u n c t i o nw i t hf i n i t eo r d e r ，( z ) a n d ，( z + 1 ) s h a r e dt w of i n i t ec o m p l e x n u m b e r sc o u n t i n gm u l t i p l i c i t y t h e nf ( z ) m u s tb ep e r i o d i cf u n c t i o nw i t h p e r i o d1 i nt h i sp a r tw ea l s od os o m es i m p l ed i s c u s s i n gw i t har e s u l to f j l a n g l e y k e y w o r d s ：n o r m a lf a m i l y , o m i t t e df u n c t i o n ，s h a r e dv a l u e ，p e r i o d i cf u n c t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已 经发表或撰写的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在本文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名：。毯厘盟日期：堑：! z 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的 标题和摘要出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：2 幽 日期： 导师签名： e l期：塑墅：! ：! ! 第一章绪论 1 1引言 正规族理论是单复变函数研究中的一项重要课题，它主要研究的是一 列满足一些共同条件的函数的列紧性具有这种紧性的函数列或函数族就 被称为正规族而正规族中的函数或者某个通过一些变量的替换能够转化 成一个正规族的函数，它们往往具有相对较好的性质因此正规族理论经常 被应用到复变函数的其它领域，例如值分布论的研究中去 正规族理论研究的一个重要的方向是找到什么样的条件，使得满足这 些条件的函数列或函数族构成一个正规族b l o c h 定则，一个尽管并不总是 正确但确实非常重要的定则，将区域内的正规函数族与复平面上单个函数 的性质联系了起来，它不仅仅使得正规族理论能够更好地应用到值分布理 论的研究中去，同时也为寻找正规族这项任务提供了一种非常重要的指导 而随后z a l c m a n 的一个非常重要的引理使得b l o c h 定则的部分情况得到了 理论的支持，成为正规族研究的支柱之一在这个方面国内学者也做了很多 细致的工作，找到了很多正规函数族，并用它们解决了很多复变函数的问题， 例如解决了很多相关的p i c a r d 型问题 分担值理论是值分布研究中的一个重要分支，经常被用来解决唯一性 问题，在这方面近年来国内学者做了很多漂亮的成果分担值理论与正规族 理论的关系十分密切，它的研究过程中经常应用正规族的理论，而它的结果 也常常被应用到正规族的研究中去 1 2 本文的主要研究内容 2 1 2 本文的主要研究内容 本文主要对正规族理论和分担值理论的一些闯题进行了讨论在正规 族方面最终得到了一个关于例外函数的正规性判断条件，而在分担值方面 提出了一个问题，并对其进行了部分解决 本文的第二章主要采用z a l c m a n 引理涉及导数的推广形式及方明亮等 人一个关于有理函数的结论，先证明了一个关于有理函数的引理，并用它得 到了定理2 2 3 这个定理回答了方明亮提出的一个关于正规族与例外函数 的问题，拓展了z a l c m a n 等人在这方面的成果 第三章先提出了一个关于分担值与周期函数的猜测，然后朝着这个方 向做了一些工作考虑到在正规族研究中常用到的z a l c m a n 引理中的极限 函数总是正规函数，其级至多为2 ，因此我们特别对前面猜测在有限级的情 况加以了考虑，并证明了定理3 2 5 在本文中并没有完全解决这个猜测，而 只能将其留待以后的工作来完成这一章还讨论了j l a n g l e y 的一个重要结 果，试图将其与之前提到的极限函数联系起来，得到了一个简单的结果 第四章对全文的工作进行了总结，进一步指明了工作的实际意义，确定 了未来的可能研究方向。 第二章正规族与例外函数 2 1 背景介绍 正规族的概念最早是由m o n t e l 提出的，一个函数族歹构成区域d 上的 正规族是指如果厂中任一函数序列 a ) 均可选出一个子序列 。( 名) ) 在 区域d 上按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或者一致收敛到无穷 而函数族厂称为在点徇正规如果它在z o 的一个邻域内正规关于正规族， 下面的m a r t y 正规定则是一个有用的判断工具： m a r t y 定则：设，是区域d 内的一族亚纯函数，则厂在d 内正规的 充分必要条件是对任一有界区域召cd ，存在一个正数m = m ( 召) ，使得对 每个广，及z 召，恒有 尚1 糯m+ i ，( z ) 1 2 _ = 其中上述定则中的甚鬻晒被称为函数厂在z 点处的球面导数，记 为，社( z ) 函数族在一点正规的另一个充分必要条件是函数族在这一点的某 邻域内等度连续了解更多有关正规族的基本概念请参阅【18 】 正规族的一个漂亮的结果是属于顾永兴 1 7 1 对h a y m a n 一个猜测的证 明，他证明了对区域d 上的亚纯函数族，如果存在正整数k 使得在区域d 上上该族中的任意函数都恒不为0 ，且任意函数的k 阶导数均不取1 则该 族函数在区域d 上正规 杨乐 5 0 】的一个结果较旱地将正规族与例外函数联系起来，他证明了 在上述结论在如果将k 阶导数不取1 值改为不取一个全纯函数l l ( z ) ，即 厂( 詹) ( 名) ( z ) 那么正规的结论依然成立 l a w r e n c ez a l c m a n 等人4 4 1 在这方面做了一些研究，他们将函数不取0 2 2 主要结果介绍 4 值的条件加以弱化，证明了下面的结果： 定理2 1 1 假设，是区域d 上一族亚纯函数，零点至少3 级，极点 均为重级h 是d 上的全纯函数，h 0 若对任意的，厂，( z ) 危( z ) 则尸在d 上正规 在 4 1 1 有下面的高阶结果： 定理2 1 - 2 假设芦是区域d 上一族亚纯函数，零点至少k + 2 级，极点 均为重级h 是d 上的全纯函数，h 0 若对任意的，芦，( 名) ( z ) 则尸在d 上正规 在这方面还有徐焱 4 9 1 的下述定理： 定理2 1 3 假设，是区域d 上一族亚纯函数，零点至少k + 1 级， 极点均为重级 是d 上不恒为无穷的亚纯函数，且h 0 若对任意的 ，芦，( 知) ( z ) ( z ) 则歹在d 上正规 在 4 4 】中，有一个例子说明定理2 1 2 中在k = 1 的情况下关于厂中零 点重级的条件不能被减弱 例1 令d = z ：h ，其中 胁) ：坠学型材一万2 + 丽1 显然厂在0 的邻域内不等度连续从而不正规，然而厶的所有零点和极点均 重级且1 - ( 名) 2 z 然而，方明亮在 1 8 】中提出当k 2 时，上述关于零点重级的条件可能 可以被减弱至k + 1 而本章的主要结论正是在这个方面的讨论 2 2 主要结果介绍 这一部分中主要讲述我的研究成果，首先作为对之前问题的一个肯定 回答，我们有下述结论： 2 3 一些引理 5 定理2 2 1 令k 2 是一个整数，厂是区域d 上的一族亚纯函数，所 有的零点至少k + 1 级，极点均为重级h 是一个d 上不恒为0 的全纯函数 若对任意的，厂，f c 七( z ) ( z ) 更i j 厂是区域d 上的正规族 事实上在证明的过程中我们是先得到下面的结论，而定理2 2 1 正是下 面这个定理的一个特殊形式 定理2 2 2 令七2 是一个整数， ) 是一列区域d 上的亚纯函数， 所有的零点重级至少为k + 1 ，极点重级令 k ) 是一列区域d 上的全纯 函数且在d 上有h _ 九一致成立，其中h 不恒为0 若对任意的n ，h 和 k 零点均相同，且有相同的重级，另对任意的z d 有拶( z ) k ( z ) 则 厶) 在d 上正规 结合定理2 1 3 ，考虑到正规的局部性，显然有： 定理2 2 3 令k 2 是一个整数，是区域d 上的一族亚纯函数，所 有的零点至少k + 1 级，极点均为重级h 是一个d 上不恒为0 、o o 的亚纯 函数若对任意的，厂，f c 七( 名) a ( z ) 。则厂在区域d 上正规 最后我们有下面的结果，它的条件比定理2 2 2 稍弱，而证明过程有很 多相似的地方，因此没有在本文中给出严格的证明，但是在本章的第四节将 给出证明的大略思路 定理2 2 4 对任给h 是一个d 上不恒为0 的全纯函数及k 2 是一 个整数一定存在整数n ( k ，h ) 使得对区域d 上的亚纯函数族厂，如果对任 给的f 厂，f 的所有的零点至少k + 1 级，极点均为重级，且，( 七) ( z ) 一九( z ) 的零点重级至少为n ( k ，危) ，剜厂在区域d 上正规 2 。3一些引理 本节主要介绍在定理证明中需要用到的一些引理，其中除引理2 3 5 外 都是之前已有的一些非常优秀且常用的结果。而引理2 3 。5 的证明将在本节 中给出 2 3 一些引理 6 引理2 3 1 令芦为区域d 上的一族亚纯函数，所有零点重级至少 为七，若存在a 1 使得当，( z ) = 0 时i j f ( 七) ( z ) i a 若尸在z o d 不正 规，则对- 1 口k ，存在 a 点列d ，_ 徇， b 一列函数厶， c p n _ 0 + 使得肌( e ) = 厢a 厶( 气+ 陬e ) 关于球面导数一致收敛到夕( ( ) ，其中g 为非常 数的亚纯函数，且满足夕社( 名) 扩( o ) = k a + 1 上述最早口= 0 的形式是在 5 3 】中出现的，- 1 a 1 是在【3 6 】中提出 的，【1 0 】证明了一1 0 f k 的形式还有很多相关的文献如【3 3 】都可以找到 它 引理2 3 2 4 8 】令厂是一个超越亚纯函数，r 是一个不恒为0 的有理 函数若除了有限个例外以外，所有零点重级至少k + 1 级，极点均为重 级。则，( 七) 一r 有无限多个零点 上述引理是对 8 】中k = 1 时结果的一个推广，对于k = 1 的情形没有关 于，极点的假设结论依然成立 4 0 】 引理2 3 3 【4 0 若a 是区域d 上的一列亚纯函数，所有零点七十1 级， 极点均为重级h n 是一列全纯函数，在d 上一致收敛到h ，其中a ( z ) 0 若对任意的他，( z ) 九n ( 名) 则_ 【 ) 在d 上正规 引理2 3 4 4 6 】令，为一个非多项式的有理函数若对某整数南1 ， 使得对所有的名都有，( 七) ( 名) 1 则 ，( z ) = 两1 矿 a k - 1 以+ + 咖+ 西 丽 其中a o ，口l ，口七一1 ，b ，口( 0 ) 为常数，n 1 为整数特别地，若，的所有 零点重级至少k + 1 ，则n = 1 且 m ) = 击学 其中b c 为常数 2 3 一些引理 7 ； 引理2 3 5 令，为一个有理函数，所有零点重级至少七+ 1 ，极点重级 若对某个整数m 1 使得，( 七) ( z ) z m ，z c ，则以下至少一种情况成立： 2 m = 1 且化，= 筝 其中c 为非零常数且当，为多项式时只能为第二种情况 证明先考虑，为多项式的情况则 ，( 知) ( 名) = 扩+ c l 严1 ( z ) = 磊+ c 1 孑+ c 2 其中c 1 0 及c 2 为常数现在假设z o 为，的零点，由厂零点重级的性质有 ，( 奄( 询) = ，( 鸯一1 ) ( 幻) = o ，将徇代入上述两式有 = 竺 c 1 2 j d + c 2 ：0 磊j 了c 1 2 j d + c 2 2 所以，仅有一个零点，重级为k + m 因此若m 2 ，我们有，( 奄+ 1 ( 徇) = m z y = 0 ，因此z o = 0 ，但是这与厂( 七) ( 匈) 搿矛盾所以当，为多项式 时，必有m = 1 且北) = 搿 现在考虑，为非多项式的有理函数的情况取 夕( 名) = 他) + 备一m 名m 其中 1 a k + m2 万石顽丽丽= 巧_ 厕 则由引理条件有g ( 七) ( z ) 1 ，根据引理2 2 4 有 ，、z 七k1a 9 ( z ) = 丽+ 毗一1 矿一l + + 口。+ 丽 其中口0 因此 m ) = a k + m z k + m4 a k - 1 z k - i 1 - ba o4 - 南= 器( 2 1 ) 2 3 一些引理 8 其中p ( z ) 为次数k + m + n 的多项式 现在设，( 翔) = 0 ，则z o - b 且z o 0 显然z o 是p ( z ) = ( z + 6 ) n ，( z ) 的至少k + 1 级零点，因此是p ，( z ) 的至少k 级零点记 p ，( 石) = ( z + 6 ) n 一1 n f ( z ) + ( z + b ) f 7 ( z ) 】= ( z + 6 ) n 一1 0 ( z ) 则q ( z ) 是k + m 次多项式z o 是q 的至少k 级零点设 q ( 孑) = b k + m + m + b k + m l 枷一1 + b k l 一1 + + 6 0 其中b k + m = ( k + m + n ) o 七+ m 0 现在假设k 2 ，我们将推出矛盾这时 q 一2 ) ( z ) = c l z m + 2 + c 2 少冲1 + c 3 9 + c 4( 2 2 ) q 一1 ( z ) = ( m + 2 ) c 1 扩+ 1 + ( m + 1 ) c 2 z m + c 3( 2 3 ) 其中c l 0 ，c ( i = 1 ，4 ) 为常数，与前文中出现的常数c 1 ，c 2 并不相同 令 f ( z ) = 【( m + 2 ) c l z + ( m + 1 ) c 2 1 0 眦一 c l z 2 + 酬q = ( m + 1 ) c 1 c 3 2 2 + 【( m + 2 ) c l c 4 + m c z c a z + ( m + 1 ) c 2 c 4 、7 因为q ( k - 1 ) ( 徇) = q ( k - 2 ) ( z o ) = 0 ，所以f ( z o ) = 0 显然f ( z ) 不恒为0 ， 否则观察上式系数有c 3 = c 4 = 0 ，将z o 分别代入( 2 2 ) ，( 2 3 ) 两式，由z o 0 分别有绚= _ 。c 2 ，z o = 一书箍静，矛盾因此f 至多有两个相异零点，即， 至多有两个相异零点 现在设厂只有一个零点，则p 仅有一个零点z o ，重级为k + m + 乃然 而由( 2 1 ) 知，( 知+ m + 1 ) ( z ) 0 ，因此有n = 1 ，与，极点均为重级矛盾因此 ，正好有两个零点，我们断言这两个零点重级正好为k + 1 若不然，设，在 细处重级超过k + 1 则 q ( 詹) ( 动) = ( m + 2 ) ( 仇+ 1 ) c 1 毋+ ( m + 1 ) m c 2 z y 一1 = 0 因此z o = ( m - + r n 2 c ) 2 。将z o 代入( 2 4 ) 中有 f ( z o ) = ( m + 1 ) c l c a z 2 + 【( m + 2 ) c l c 4 + m c 2 c 3 z o + ( m + 1 ) c 2 c 4 = 0 2 3 一些引理 9 解之得( m + 2 ) 2 c l c 4 = m 2 c 2 c 3 因此从f 的系数可知f 只有一个零点，而 这与，有两个相异零点矛盾 令旎，施为 f ( z - 6 ) _ m ) + 云= 等竽 ( 2 5 ) 的两个相异零点则 z n t ( z ) + n = 戤+ m 一z 1 ) 知+ 1 ( z 一勿) k + 1 = 鲰+ 仍( 户一z l + z c ) z + 施勿) 知+ 1 根据a 0 ，而扩t ( 名) + 口中z 的系数为0 ，因此魂+ z 2 = 0 z t ( z ) + g = 口k 十m ( z 2 + z l z a ) 南+ 1 ( 2 6 ) 设b 0 记 t ( z ) = a k + m z 七十m + 畋+ m 一1 z 七+ m 一1 + + a ： 从( 2 6 ) 知a z + m 一1 = 0 因此 t ( z + b ) 一口+ m 十m + ( k + m ) 6 n 知+ m 名七+ 仇一1 + + a o 而另一方面，根据( 2 1 ) 和( 2 5 ) ， t ( z + b ) = 妣+ m z 知+ m + a k l z 七一1 + + a o 比较矿+ m 一1 的系数可推出矛盾 因此b = 0 ，由( 1 1 ) 和( 1 5 ) 扩t ( z ) + a = 口知+ m z 七+ m + n + o 七一l z 七+ 作一1 + + a o z n + a ( 2 7 ) 因为( z 2 + z l z 2 ) 南+ 1 展开式中z 蕊= z 知+ m 相一2 和z 2 的系数不为0 由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 知七+ m + n 一2s 七+ 礼一1 ，即m = 1 ，n = 2 另一方面，比较( 2 6 ) 式两端次数有n + 七+ m = 2 七+ 2 ，即七= l ，而这与假设七1 矛盾 口 2 4 定理的证明 1 0 2 4 定理的证明 现在我们来证明定理2 2 2 在证明定理之前首先引入几个记号：令 a p = 名：h 力表示0 的邻域，而：= 【z ：0 i z i 以表示0 的空心 邻域 定理2 2 2 的证明根据引理2 3 3 ，歹= ) 在h ( z ) 0 处正规因 此只需证明芦在h 的零点z o 处正规既可不妨设z o = 0 ，k ( z ) = 名m k ( z ) ， 其中6 n ( o ) 一1 且在0 的空心邻域：= t 名：0 h r ) 内 n ( z ) 0 选取 厶) 的子列使得它任意的子列在0 都不正规，仍记该子列为 ) 令 = r i r = 惫) 因为带( o ) k ( o ) = 0 及a 的所有零点重级均至少 为七- i - 1 ，所以 ( o ) 0 因此，r ( o ) = 踹= o o 我们断言五在0 正 规 否则根据引理2 3 1 ，存在函数列仍记为r 兀，点列磊一0 ，以及 陬_ 0 + 使得 半= 揣叫沪贰) 一= = = 一：= ，一l f l 一，l f 砖熊危n ( 磊+ p n e ) w h w趴w 其中g 是非常数亚纯函数，所有零点至少七十1 级以下分两种情况讨论： ( a ) 舞_ 0 0 则g 的极点均为重级我们断言 丽f ( k ) ( z n + p n c ) = 两等焉筹丽刊钒e ) ( 2 8 ) k ( 锄+ 风 )( 磊+ 加e ) m 6 n ( + 风 ) 了n7r 7 事实上 必( e ) 丘( 磊+ 风e )厶( 磊+ 舰( )m 风 p ：。( 锹臻晒协a 耽磁慨西哪n ( 磊协e 协e ：裳一器凳z n 删紫措 p ：一1 ( + 加( ) 叫k ( + 加e ) 扪u v + j 口n ( w 叭w k ( + p n e ) 上式右边的后两项显然趋于0 ，因此 砑矗磐p n c ) 篇b 叫 砘_ 1 ( + mn ( + 肌e ) jn7 2 4 定理的证明 1 1 对上式求导并继续上述步骤- 5 以得到 丽篇装等丽_ g u ) p 嚣了( + p n e ) m 6 n ( + p n ( ) 、37 对j = 1 ，2 ，k 成立特别地( 2 8 ) 成立 由条件，对彳。有觜1 ，因此根据( 2 8 ) 有对所有的e 玉 有9 ( 七) ( e ) 1 或者g ( 七) ( e ) 三1 首先假设9 ( 七) ( e ) 三1 ，则g 是一个k 次多项 式，而这与条件g 的零点重级均至少为k + 1 矛盾因此对所有的e c 有夕( 七) ( e ) 1 ，由引理2 3 2 知g 为有理函数，而根据z j l 理_ 2 3 4 ，g 只能为多 项式，这样又得到g 是一个七次多项式，矛盾 ( b ) 盔p n _ o l 则 掣= 坐掣吲e 一觚刊 ( 2 9 ) 砖成 “ 风7 ”。、7 这时g 除一0 f 外的所有极点均为重级，而在一a 处重级至少为m 现有 n l - i m * o 掣：p(210)0 砰 7、 因此若令 一第= 警揣= 警掣 则根据( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 有 g 竹( e ) 啼e m 夕( e 一0 f ) = c ( c )( 2 1 2 ) 在复平面的任意紧子集上按照球面导数一致成立因为g ( e ) 在一口上有至 少m 级极点，因此c ( o ) 0 我们断言对e c 恒有g ( 七) ( e ) p 事实上根据( 2 1 0 ) 和( 2 1 2 ) 。盟学趔k ) _ 警卅沪， 因此若断言不成立，根据h u r w i t z 定理有g ( 詹) ( ( ) 兰e m 因为g 的零点均为 七+ 1 级，所以g 除0 之外不能有零点，又c ( o ) 0 ，因此g 没有零点，矛 盾 2 4 定理的证明 1 2 因此有断言g ( k ) ( e ) e m 恒成立根据引理2 3 2 有g 是一个有理函 数而根据引理2 3 5 及条件k 2 有m = 1 及 ，广上，、七+ 1 g ( e ) = 嚎酱，c 0 ( 2 1 3 ) 巾l ， 这样根据( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 知道存在点列岛_ 一c 使得厶( 风厶) = 0 。 现在先假设存在某个0 的邻域口使得在其中厶都是全纯的，我们来 完成定理的证明由于厶在0 不正规，而根据引理2 3 3 ，它在：内正规 根据我们的假设厶在p 全纯，那么它只能在：一致收敛到。o 首先我们再假设存在0 艿 0 ，存在一个子列仍记为厶在6 中至少有两个零 点选取使得厶( 铂) = 0 且a 在 z ：0 i z 一靠i 0 使得在6 ，内i r ( 名) l 1 因此a 6 ，内 ( 名) 0 ，于是1 厶在a 6 , 内全纯选取足够小使得在当n 足够大时6 7 内i k ( z ) i 1 4 2 我们有 l 高l = i 志南陆i z l = 善 根据最大模原理，上式在a , i , 2 成立那么 厶) 在0 的邻域内一致有界，因 此正规 现在只需证明在没有全纯的假设下定理依然成立那么存在子列厶 在0 的任意小邻域内都有极点回到之前假设的地方，现在选取使得 厶( ) = 0 0 且a 在( 名：1 名一靠i i 一矗i 没有极点根据( 2 1 2 ) 和 ( 2 1 3 ) ，p n o o ，因此靠= p n 矗u n _ 0 令 l n ( 名) = 2 专搿，元n ( z ) = 垒竺掣 则 己n 是一列亚纯函数，所有的零点至少k + 1 级，极点均为重级，对任意 名c 当佗足够大时有定义类似地，序列 n ) 全纯，对任意名c 当竹足 够大时有定义，且h n ( z ) 一z 显然l 警( z ) 九n ( z ) ，根据引理2 3 3 ，【l n ) 在 c o ) 上正规因为函数l n 在a z 2 上全纯，根据前面附加全纯假设的讨 论， l n ) 在1 2 上正规，因此在整个复平面上正规设l n _ 厶则厶所有 零点至少忌+ 1 级，极点均为重级。由于醋( 名) h 行( 名) 且h n ( 名) _ 名，所以 l 桀( 名) z 或者l z ) 兰z 但是l n ( 矗( u n 一厶) ) = 0 且厶( u n 一矗) _ 0 ， 因此l ( o ) = 0 即l ( 血) ( o ) = 0 因此l ( 知) ( z ) 三名，从而l ( z ) = z k + l i ( k + 1 ) ! ， 但是k ( ( 一靠) ) = o o 且( u n 一矗) 一1 ，矛盾所以有五在0 正 规重复之前的讨论即有，在0 正规 口 接下来提供定理2 2 4 的大略证明思路： 定t i 2 2 4 的证明我们采用反证法，假设定理结论不成立，即存在不 恒为0 的全纯函数h 使得对任意的，存在一列不正规的函数 灰， ) ) 满 2 4 定理的证明 1 4 足零点均至少为k + 1 级，极点均为重级，且满足一磐m ( z ) 一九( z ) 的零点均 至少为级，令取遍自然数集，则根据以上假设及m a r r y 定则有对每个 存在a 满足上述条件且s u p 臂( 名) n 对z d ，这样 知) 就构成了 一个不正规函数列 根据类似定理2 2 2 的证明过程我们知道仅有在h 的零点处可能出现 以上状况，以下假设h ( o ) = 0 且在2 = 0 处函数列不正规我们将函数列按 照，( 七) ( o ) = h ( 0 ) 或，( 七) ( o ) h ( 0 ) 进行分类 首先考虑所有满足，( 七) ( o ) = h ( 0 ) 的子列这时当足够大时根据 臂( z ) 一 ( 2 ) 零点至少级有a 在0 处零点重级高于 ( z ) ，因此考虑函 数族五= 厢：f ( z ) = a ( z ) ( z ) ) ，那么该族中所有的函数均在0 处为 零点若五在0 处正规，则r 在0 处收敛到0 ，即在0 的一个邻域内 收敛到一个全纯函数，因此f 在0 的一个邻域内全纯，因为h ( z ) 为全纯， 因此瓜在。的一个邻域内全纯，又 加) 在0 的某空心邻域内正规，根据 最大模原理【厂) 在0 也正规而五的正规性可以通过重复定理2 2 2 的 讨论得出 而对厂( 七) ( o ) h ( 0 ) 的子列而言，其证明和定理2 2 。2 的证明几乎完全 一致，这里就不再加以重复了 口 第三章分担值与周期函数 3 1背景介绍 对于一个亚纯函数，和一个复数a ，记a 在函数，下的原象为e ，( 口) = 名：f ( z ) = 口) 设，和g 是两个亚纯函数，如果毋a ) = 局( 口) 则称，与9 分担a ，或称，与夕以a 为分担值特别的如果f ( z ) 一口与g ( z ) 一口的零点 均有相同的重数，则称厂与9c m 分担口，或称，与g 以a 为c m 分担值 而分担函数则是指将值a 换为一个亚纯函数 分担值的研究是正规族和唯一性研究方面的一个重要课题，最早将分 担值与正规族联系起来的工作是s c h w i c k 【4 5 】证明的一个有关分担值与正规 族的结果他在1 9 9 4 年证明了一族亚纯函数，如果其中的任意函数与其导 函数分担三个互异的有穷复数，则这个函数族正规 之后国内外许多学者在这方面也有很多深入的研究可以参看【1 3 】， 1 4 】等， 其中刘晓俊和庞学诚在【2 7 1 中考虑了一个有关于分担集合的问题 两个亚纯函数，和g 称为分担一个集合s ，如果s 在，和夕之下的原 象相同【2 7 】中证明了如果s 是三个互异有穷复数构成的集合，函数族厂满 足其中任意函数与其导函数分担集合s 则该函数族正规 本章主要研究函数，和fog 分担值的情形，特别地当夕( z ) = z + 1 时 的函数，的性质。本章给出了一些结果，还有一些问题留待解决 为了叙述需要，这里先对亚纯函数的特征函数及相关的概念做一些介 绍 定义亚纯函数，的特征函数t ( r ，f ) 被定义为： t ( r ，f ) = m ( r ，f ) + g ( r ，f ) 3 1 背景介绍 1 6 其中 1，2 霄 r e ( r , ，) 2 去上1 0 9 + i f ( 护) l d 妒 ( 删：f r 煎掣出+ 礼( o ，) 1 0 9 7 ，0 o n ( ，) 表示f ( z ) 在圆h t 内的极点个数，一个k 级极点按k 个计算 n ( r ，) 称为，的极点的密指量 亚纯函数的特征函数是关于l o g r 的凸函数，特别地如果，是超越亚纯 函数则有 l i m 掣：。 r - - - 0 0 l o gr 亚纯函数的特征函数满足下面这些运算： t ( r ，) = t ( ，) + o ( 1 ) t ( r ，f g ) t ( nf ) + t ( r ，g ) + 0 ( 1 ) 对于一个亚纯函数，可以通过特征函数来定义它的级p k ( f ) ，它是这样定义 的： 入( ，) = l i m r s u p l o g + 面t ( _ r , f )r + 0 6 特征函数是值分布论的一个重要概念，关于特征函数，一个最重要的结果 是n e v a n l i n n a 第二基本定理： 定理3 1 1 设f ( z ) 是非常数的亚纯函数a i ( j = 1 ，2 ，g ) 为g ( 3 )