（基础数学专业论文）态射的加权moorepenrose逆.pdf

摘要 t 本文研究一种新的广义逆态射a 关于对称态射p 和丫的加权 m o o 。e p e n 。o 。e 逆a 擘，分别给出t - - 般态8 ，有满单分解态射与有核( 上 ，核) 态射的a r 存在的充要条件及其相应的表达式，并且应用于a b e l 范畴， 证明了态射存在唯一的一种加权柱心幂零分解 关键词范畴；态射；加权m o o r e p e n r o s e 逆；满单分解；核；柱心幂 零分解；加权柱心幂零分解 a b s t r a c t t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h em o o r e p e n r o s ei n v e r s ea 坠7o ft h em o r p h i s m 口w e i g h t e dw i t hr e s p e c tt os y m m e t r i cm o r p h i s m s8a n d7i n c a t e g o r i e s ，a n dg i v e sr e s p e c t i v e l yt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so f t h ee x i s t e n c eo fd fa n de x p r e s s i o n sf o r g e n e r a lm o r p h i s m s ，m o r p h i s m s w i t he p i c m o n i cf a c t o r i z a t i o n sa n d m o r p h i s m s w i t hk e r n e l s ( c o k e r n e l s ) i n a d d i t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h ew e i g h t e d c o r e n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o no fam o r p h i s mi na na b e lc a t e g o r ya r ep r o v e d k e y w o r d sc a t e g o r y ；m o r p h i s m ；w e i g h t e dm o o r e p e n r o s ei n v e r s e ；e p i c m o n i cf a c t o r i z a t i o n ；k e r n e l ；c o r e n i l p o t e n t d e c o m p o s i t i o n ； w e i g h t e d c o r e - n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o n jiiiiiiijijii；iiiijiiiiiiiiiiii i i i - - - 逆 1 1引言 知识 矩阵的广义逆的存在性首先被e h m 0 0 7 一e 所注意，对于每个有限矩 阵( 方阵或者长方阵) ，他定义一个唯一的逆，并且称为一般倒式( g e n e t a l ，一e c i p ，- o c a l ) 尽管这一课题是他首次发表，但是l a n c z o s 发现这方面最早的 资料是m o o r e 在1 9 0 6 年写的，详细内容在19 3 5 年m o r n 。e 去世以后才公开 发表在m o o r e 公开发表的第一篇文章以后的三十年中间没有引起足够的 重视，19 3 7 年s i e g e l 提出了矩阵的广义逆，直到5 0 年代中期围绕着某些广 义逆的最小二乘方的性质才开始恢复对这一问题的兴趣这些性质由r e , 一 h a t ，z m a 7 。于1 9 5 1 年所考虑到，他重新发现m o r n e 逆，同时也注意到广义逆 与线性方程组解的关系1 9 5 5 年，p e r u o s e 改进并推广了r e , h a m m a r 关于 线性方程组的结果，并证明了给定矩阵的m o r n e 逆是满足下列四个方程 a x a = a( 】) x a x x( 2 ) ( a x ) + = a x( 3 ) ( x a ) 。一x a( 4 ) ( 其中a 。表示a 的共轭转置) 的唯一矩阵x 这是广义逆研究中的一个重 要里程碑，以致这个唯一的广义逆被通称为m o o ，一。一尸e 玎o s e 逆 1 9 7 2 年d a v i sd l 和r o b i n s o nd w 在范畴中引进了态射的广义逆 e l i ，引起了国内、外众多学者的兴趣，经过二十多年的研究，已经取得了一 些比较好的结果，特别是对范畴中态射的m o o r e - - p e n r o s e 逆的存在性及其 表达式的研究 2 ，3 考察了具有满单分解态射的m 0 0 7 e p 鲫，- o s e 逆， 4 ， 5 分别讨论了加法范畴和a b e l 范畴中态射的m 0 0 1 一e - - p e r u o s e 逆， 6 8 进而研究了加法范畴中具有核、上核态射的m 0 0 7 。e p e n r o s e 逆及其核定理 的一般化问题， 9 ，1 0 给出了态射的m o d ，e - - p e r u o s e 逆存在的充要条件及 1 一 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 其九个表达式 广义逆的许多理论是建立在对合* 和柱心幂零分解这两个代数概念基 础上的 1 1 1 2 将矩阵的柱心幂零分解推广到了a b e l 范畴中， 1 3 进一 步证明了在正合加法范畴中态射的柱心幂零分解的存在性和唯一性 1 4 结合这两个概念导出一种新的加权柱心幂零分解，从而构造出一种新的广 义逆并应用于密码术中文中定义了方阵以关于“h e 7 m i t i a n 矩阵b 的 两类加权m o e p e r u o s e 逆( 其中u 与月，b ，以+ 可换) ，并提出了公开问 题：能否将这两类加权m 0 0 7 ，e - - p e n r o s e 逆统一起来? 本文拟研究一种新的 广义逆态射a 关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 一e p e r u o s e 逆口宰7 ，分 别给出了一般态射，有满单分解的态射与有核( 上核) 态射的口晕7 存在的充 要条件及其相应的表达式，并且证明了a b e l 范畴中态射存在唯一的加权柱 心幂零分解，概括并推广了文 2 1 0 中关于态射的m 0 0 1 一e p e n r o s e 逆的 一些重要结果，应用于矩阵范畴中，在“为单位矩阵的情况下解决了这一公 开问题，并推广到更一般的情况长方矩阵，同时也概括并推广了 2 5 中 关于方阵分解的结果 我们约定：对象a 到对象b 的态射集记作m ( a ，b ) ，态射合成顺序从 左到右，i 为恒等态射 定义1 2 1 ( 2 ) 设留是一个范畴，对于够中的任意一个态射f e m ( a ，b ) ，如果存在态射厂+ m ( b ，a ) ，满足( 厂。) + 一厂，并且当g m ( b ， c ) 时有( f g ) 一g + 厂。，则称* 是范畴够的个对合 定义1 2 2 ( 6 ，1 0 - b 设够是具有对合* 的范畴，口m ( a ，b ) 如果 存在一个态射z m ( b ，a ) ，满足 d z 口= = a( 5 ) t 口z 一7 2 ( 6 ) ( 口z ) 一口z( 7 ) ( r 口) 。一r d ( 8 ) 那么z 叫做口的一个m 0 0 7 p 一尸鲫r o s e 逆，记作。+ 满足方程( 5 ) 的z 叫做a 的一个( 1 ) 逆，记作口一，此时称a 是( v o n n “7 札鲫7 7 ) 正则的 注1 2 3 容易证明，态射口的m o r n e - - p e n r o s e 逆若存在，则必定唯 定义1 2 4 ( 2 ，1 0 ) 设够是具有对合* 的范畴，a m ( a ，b ) 如果 对于够中的任意态射口和r ，使得当口口盯= 口c l t ( a 口o t 一r 口口+ ) 时有口盯一c t l ( o a r a ) ，那么称口是* 一左( 右) 可消去的当两者都满足时，则称之为 * 一可消去的 定义1 2 5 ( 1 5 ) 设够是具有对合* 的范畴，口m ( a ，a ) 如果a 一a ，则称口关于对合* 是对称的，简称a 是对称态射 定义1 2 6 ( 6 ，7 ) 设口m ( a ，a ) 为范畴够中态射，如果存在一个 态射2 7 m ( a ，a ) 和非负整数七，满足定义1 2 2 中的方程( 6 ) 及 z a 一矿( 9 ) a z z 口( 1 0 ) 那么称z 为o t 的一个d 1 a z i n 逆，记作矿，其中最小整数志叫做口的d 1 a z i n 指数，记作i n d ( 口) 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 当a 的d r a z i n 指数为1 时，矿叫做a 的群逆，记作口4 注1 2 7 容易证明，态射的d r a z i n 逆或群逆若存在，则必定唯一 定义1 2 8 ( 2 3 ) 设a m ( a ，b ) 为范畴够中态射，( 丌，c ，r ) 和( 玎， c ，2 - i ) 分别是a 通过对象c 和c 的满单分解，如果存在一个可逆态射u ：c c ，使得7 1 7 2 一丌7 且口r7 = r ，则称口的通过对象c 的满单分解o r ，c ，r ) 是 本质唯一的 定义1 2 9 ( n ，1 2 ) 设口m ( a ，a ) 为加法范畴够中态射，如果存 在态射妒、5 f ，m ( a ，a ) ，使得口一升妒，且满足 ( i ) i n d ( 妒) 一1 ； ( i i ) 曲是幂零的； ( i i i ) 印= 驴一o 则称a = 舛妒叫做a 的柱心幂零分解( c 0 7 e n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o n ) 引理1 2 1 0 ( e 1 2 ，定理2 1 2 )设a 是a b e l 范畴移中的有限对象，a m ( a ，a ) ，矿存在，i n d ( 口) 1 ，则态射a 有以下分解口一+ 妒，p 、妒m ( a ，a ) ，其中= ( 铲) 。，而且i n d ( p ) 一o 或1 ，妒是幂零指数为i n d ( 口) 的幂零 态射，缈= 妒妒= 0 引理1 2 1 1 ( 1 3 ，定理2 4 ) 设口m ( a ，a ) 是正合加法范畴够中 的态射，i n d ( 口) = 女，则存在唯一的分解d = 垆+ 5 f ，其中弘5 f | m ( a ，a ) ，使得 i n d ( 9 ) 1 ，鲫= 妒妒= 0 ，妒是幂零态射并且当k o 时，5 f 的幂零指数也是 k 进一步，分解式中的9 一( 矿) 。 朱萍：态射的加权m o o r e p e n r o s e 逆 第二部分主要结论 2 1 一般态射的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆 定义2 1 1 设够是有对合* 的范畴，a m ( a ，b ) 为够中态射，卢 m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为影中对称态射如果存在态射z m ( b ，a ) ， 满足 a f l x ) a = 1 2( 1 1 ) x t a t 3 x = x( 1 2 ) ( a f l x ) = 1 2 p x ( 13 ) ( x y a ) + 一z y 口( 1 4 ) 则称态射z 为态射a 关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 e 一尸e 7 z r o s e 逆，记作 口生7 注2 1 2( i ) 文 1 4 3 中讨论了方阵以关于一日盯m i t i a ，2 矩阵b 的 两类加权m 0 0 7 p p 铆，o s e 逆( 其中卢与4 ，b ，a 可交换) ，并提出了公开问 题：能否将这两类加权m 0 0 7 一r p 鲫，o s e 逆统一起来? 定义2 1 1 应用于矩 阵范畴中，在p 为单位矩阵的情况下解决了这一公开问题，并推广到更一 般的情况长方矩阵 ( i i ) 由对称性可知，若态射3 2 是态射1 2 关于对称态射卢和y 的加权 m o o r e - - p e r u o s e 逆，则口是, 7 - 关于对称态射y 和p 的加权m o o r e p e r u o s e 逆 ( i i i ) 当卢和y 均为恒等态射时，此定义与态射的m o o r e - - p e r u o s e 逆 的定义一致 ( i v ) 当口、卢和y 均可逆时，则口晕7 一卢_ 1 a - 1 y 一1 ( v ) 若口牟7 存在，则由定义1 2 1 和2 1 1 易知( 1 2 ) 车9 存在且( a 。) ；4 一( 口璺7 ) 。 ( v i ) 以下所涉及的范畴( 除特别说明外) 都是指有对合* 的范畴为 方便起见，在不引起混淆的情况下，我们也将a 7 简记为口+ 命题2 1 3 态射d 关于对称态射p 和y 的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆若 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 1 。1 。1 。_ - _ l 1 1 存在，则必定唯一 证明设z ，y 均为口关于对称态射卢和y 的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆， 由定义2 1 1 ，我们有 z = x r a b x = x y ( d p z ) + 一z y z 。p d 一z ) ，z + f l ( a f l y r a ) + 一z y z 。卢口+ y ( 口卢y ) 。 一z 7 ( a z x ) 。) a f l y = x t a f l x ) a f l y = x ) a f l y = ( z y 口) 。卢y 一口y z 。p y = ( a f l y ) a ) 。y x 。卢y 一( y y 口) 。p 口y x 。卢y = y y a f l ( x t a ) t g y = y t a t 3 x y a f l y - 一y y a f l y = y 命题2 1 4设a m ( a ，b ) 为范畴够中态射，p m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为够中对称态射，若口晕7 存在，则口为单( 满) 态射当且仅当口晕7 为 满( 单) 态射 证明若口为单态射，由d 触+ 一a 右消去口得 口卢口+ y i ， 则 i = i 一( a r i a + ) ，) 。一) a r i a + ， 故口+ 为满态射 反之，若口+ 为满态射，由口+ 7 a f l a + = 口+ 得 ) a r i a + 一i ， 则 i i 一( y a 卢a + ) 一d p d 十7 ， 从而口为单态射 类似可证口为满态射的情况 定理2 1 5设d m ( a ，b ) 为范畴够中态射，卢m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为够中对称态射，那么下列陈述彼此等价： ( i ) 口关于对称态射p 和y 的加权m 0 0 7 一p p e n r o s e 逆存在； ( i i )存在态射“、u m ( a ，b ) ，使得“口) a = a - - - - - a f l a 。u ； ( i i i ) ( a 触+ y ) 。存在且有态射妒m ( a ，b ) ，使得a a 卢口r e ； ( i v ) ( 触+ r a ) 。存在且有态射妒m ( a ，b ) ，使得口= 卵a 。y 口 在此情形， 一r 一 朱萍：态射的加权m o o r e p e n r o s e 逆 口晕7 = u 口“一口。 ( 口p a + ) ，) 。 一 ( p 口+ y 口) 。 。a 。 = d ( t a b a 。) 3 一( 口。y 口口) 。口 证明( i ) 净( i i )令z d 晕7 ，“一z 口，口一y z ， 我们有 b l o t y 口一z 口口。y 口一( a b x ) 。7 a = a f l x y a = 口 口p 口u d 卢口+ y z 一d 口( z y 口) + = a 卢x t a = a ( i i ) ( i )由( i i ) 知 口蹦一“a 7 a u + 一“( m 口。7 a ) + 一“口+ 一( a u + ) + u 。d u 口p 口+ u 一( 口卢口+ u ) + u 一口+ u 一( u 口) 。 令z u + 口“。，则有 d p r ) ，口一口卢u 。口“+ y a = a 口口+ u “y d 一口“y 口一“口y 口一口 x t a # x u + 口“y “卢u 。口“+ 一u ( u a + y 口) 卢口u u + 一0 + 口口口+ u “+ = u + 口“一z ( a r x ) + 一( 口卢u 口“+ ) + = ( a 卢口+ u “+ ) + 一( a u 。) = a “= 口后z ( x t a ) + 一( u + 口“。7 a ) + = ( u 。“a 。7 a ) 。 一( u 。a ) 一u + a x y a 从而 z 一口生7 ( i ) 净( i i i ) 令z 一口拿7 ， g = x 。p z y ，我们有 ( a f l a 。7 ) g ( 口f i a + y ) = a r i a + 7 x + | 8 2 7 口p 口。y a # ( x t a ) 卢z ) ，口卢口+ y d p z 7 口卢z y 口p 口+ 7 = a f l a y g ( 口b a 。y ) g = = z 。卢z y a 卢口y z + p z y = z 。f l x t a f l ( x t a ) 。口z y = z 。卢z y 妒z 7 d 触y = z 卢z ) ，一g g ( 口卢口+ y ) 一z 。卢z y 口卢口y z f l ( x t a ) p 口+ y 一( z y 口卢z ) p 口y = z 卢口。y = ( 口口z ) y = a f l x 7 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 ( a r i a + 7 ) g = a r i a y z 。r i x 7 = a r i ( x t a ) 口z y a r i x ) a r i x 7 = d 口z y 即 g ( a r i a + y ) 一( a r i a 。7 ) g 从而有 g 一( a r i a y ) 。 又 口一a r i x t a = a r i ( x t a ) 。一a r i a + y z 令妒一z ，贝0 有 口一a 口a r e ( i i i ) ( i ) 由a r i a + ) ( a r i a y ) 。a r i a + ) = a r i a 。y 知 d 3 硅7 ( , z r i a 。7 ) 。8 8 & 7 中= a 8 理7 啦 而d a r i a 。y 驴，则 , y r i a + 7 ( a r i a y ) 。a 一口 且 ( a r i a + ) ，) 。a r i a 。7 a = d 令“一( a r i a + y ) 。口卢，v = r ( a r i a + ) ，) 。口，有 “d + y 口一口， a r i a + u 一口 由( i i ) 净( i ) 知口晕7 存在且 d 晕7 一u 口“一口e ( a r i a y ) 。 一a + ( t a r i a ) 。 与( i ) ( i i i ) 类似可证( i ) 圆( i v ) 此时， ( 卢口。7 a ) 4 = 卢口+ ) ，口罩， a 牟ke ( r i a 7 a ) 4 。口。一( 口。r a r i ) 。d + 推论2 1 6 设口m ( a ，b ) 为范畴够中态射，卢m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为够中对称态射若口关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 p p e n 一 7 o s e 逆存在，则口+ 7 a 与口触。均正则 证明若口肇7 存在，由定理2 1 5 知存在态射1 g 、u m ( a ，b ) ，使得 “口y 口= 口一a 卢口u ，贝0 有 口。7 口( “7 u ) 口+ y 口一( “口+ y 口) 7 ( “d + 7 a ) 一口+ 7 a a r i a + ( v r i o + ) a r i a 。= ( a r i a 。v ) r i ( a r i a u ) 一a r i a + 故口与a r i a 均正则 一r 一 朱萍：态射的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆 当t i , y 中有一个为恒等态射时，我们可以得到更多的结果： 命题2 1 7 设口m ( a ，b ) 为范畴够中态射，卢m ( b ，b ) 为够中对 称态射若口宰存在，则a 是* 一左可消去的且口口与d 触+ 正则 i 正_ o b 若口晕存在，则由定理2 1 5 知存在态射“、u m ( a ，b ) ，使得 z f d 口= 口一口口口+ u 假设口( t r = a + 口盯，等式左乘以“得“口+ o ：r 一乱a d 盯，最口a r a 叮，所以a 是* 一左可消去的又由推论2 1 6 知a 。a 与口胁。均正则 命题2 1 8 设d m ( a ，b ) 为范畴够中态射，卢m ( b ，b ) 为够中对 称态射若a 是* 一左可消去的，触+ 右可逆且a + a 与口胁+ 正则，则a 辛。存 在 证明设a + a + a a 。a ，a 触。r a f l a 。一a 触+ ，由于a 是* 一左可消去 的，则有a 口a a a 令“一口口，从而有“a + 。一口因为触+ 右可逆，即存在态 射，m ( a ，b ) ，使得触+ z i ，则有 a 8 d r d 8 a 。 一a 8 d z 从而得到 口口口r a 一口 令u r ( 7 ，即口触l j - - - - - ( 7 ，由定理2 1 5 知a 晕7 存在 类似可证下面的结论： 命题2 1 9 设a m ( a ，b ) 为范畴够中态射，y m ( a ，a ) 为够中对 称态射若口4 7 存在，则口是* 一右可消去的且a 7 ( 7 与口a + 正则 命题2 1 1 0 设口m ( a ，b ) 为范畴够中态射，7 m ( a ，a ) 为够中 对称态射若口是* 一右可消去的，口7 ，左可逆且口y 口与a a + 正则，则a ；7 存 在 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 2 2 有满单分解态射的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆 定理2 2 1设a m ( a ，b ) 为范畴留中态射，卢m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为够中对称态射，口一丌r 为口通过对象c 的满单分解，则口7 存在 当且仅当存在对称态射卢，、7 ，m ( c ，c ) ，使得7 晕7 与r 7 ，均存在 证明( e )由丌卢1 7 + 7 z r = 丌，r 触+ 7 1 r r 及玎为满态射，r 为单态射 知 卢】丌+ y z r = i ，r 卢r + y l i 令z r + 7 1 p l 玎+ ，我们有 a f l x t a = ，r ( r f l r + y 】) ( 卢1 丌+ y 丌) r 一玎r d z y 口卢z r + y 1 ( 卢1 丌+ y 丌) ( r g r + 7 】) 卢1 丌+ 。r + y l 卢1 丌+ = 3 2 ( a f l x ) + 一( 丌r p r + y l 卢1 7 r + ) 。一( 丌卢1 丌+ ) 一丌卢1 丌+ = a f l x ( x y a ) 一( r + y l 卢1 7 r + 7 z r v ) 。一( r + y l r ) + 2 7 + 7 1 r x y a 故z 一口晕7 ( 净) 取p ，一i ，y 。= i ，由口牟7 的定义，我们有 a 8 a 。7 a 一口 l r r f l a 一? g r r 一丌7 左消去丌，右消去r 得 r 口口。7 ，r = i 令z = r 触+ ，y = 口+ 7 7 r ，直接验证知z 一群，y = r 晕7 定理2 2 2设口m ( a ，b ) 为范畴够中态射，卢m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为够中对称态射，d 一7 r r 为口通过对象c 的满单分解，则下列陈 述彼此等价： ( i )口关于对称态射卢和y 的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆存在； ( i i ) 口7 ：r 左可逆，r 触。右可逆； 7 r ( r f l x y x 。口) ( 口y 玎) r a f l x t ( a f l x ) 。y d a f l x y a f l x y a = 口一丌r 左消去丌，右消去r 得 ( r ? x y x + 口) ( 口。y 丌) 一i 从而a 。y t r 左可逆 同理由 玎( r 口口。) ( y x f l x y 丌) r = a f l ( x y a ) + p x ) a a f l x y a f l x t a = 口= 丌r 得 ( r f l a + ) ( y z f l x y = ) 一i ， 从而r 触右可逆 ( i i ) j ( i i i ) 设p a + y 丌一i c ， r 卢口盯一i c ，b p 胛。o r + y t r ) = i ，( r ? r 。) 丌+ 盯一i 以上两式分别取* 一对合有 ( 丌。y t r ) r p 一i ，盯u ( r b r + ) = i 由于 p r + 一( r p 。) 一( i c r p + ) + 一( p a 。7 n r p ) + 一( p a y a p 、+ = p a 。y a p + 一r p 丌+ 盯= ( d 。丌) 一( 盯。丌r f l a 。仃) + = d 。口p a 盯一盯丌 故玎。y 丌与r 触+ 均可逆 ( i i i ) ( i ) 设5 7 r y t r = i = 丌。y 丌5 f ，弘卢r 一i = r f l r 。p ，贝0 c f r z 口。y 丌一5 f i 咿卢r 7 r y t r = 妒( f r ? r ) 丌。y 丌 = ( f 1 7 r g r r = i r 卢口。y t r 乒p = r f l r 玎y 丌妒妒一r 卢r 。( 7 r y 丌) 一r 卢r 。一i 这两个等式左乘以7 r ，右乘以r 得 一1 1 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 一 覆t ；) 口c 8 旺7 a - - a - - a 、n 巾t 露 令“一丌妒咿卢，u y 玎妒弘，有 m d 。，a = a 一口口a 。u 由定理2 1 5 知口晕7 存在且 口皇7 = u 。口“。一r 。( r f l c 。) 一1 ( 丌+ ) ，丌) 一1 丌+ 若p a 7 7 r = i ，r 卢口。盯一i ，有 氕p a 7 d a a $ a + o t 由定理2 1 5 知 口晕7 = ( 盯r ) 。a ( 7 r 。) 。 顺便指出，由定理2 2 2 我们很容易得到“晕7 存在的另外几个充要条 件： 推论2 2 3 条件同定理2 2 2 ，则下列陈述彼此等价： ( i ) 口关于对称态射p 和7 的加权m 0 0 7 。e p e r u 铘p 逆存在； ( i i ) a 厨+ 左可逆，丌右可逆； ( i i i ) 口+ y 丌，口卢r 。左可逆； ( i v ) 丌+ 7 a ，r 触。右可逆； ( 。)d - 7 a 一( d + 7 ，_ r ) r ，口触一丌( r 触。) 分别为口+ 7 a 和a 触的本质唯 一的满单分解 推论2 2 4设口m ( a ，b ) 为范畴够中满态射，卢m ( b ，b ) 和) ， m ( a ，a ) 均为够中对称态射，则下列陈述彼此等价： ( i ) a 关于对称态射p 和7 的加权讹d 7 e - - p e r u 铘e 逆存在； ( i i ) 口y 口与卢可逆； ( i i i ) 口口。7 a 可逆； ( i v ) d y a 口可逆 在此情形， 口晕7 = 卢一1 ( a 。y 口) 一1 d 一 ( p a 7 a ) 一1 + 口+ 一( 口。7 a ? ) 一1 口+ 证明( i ) 净( i i )由口为满态射知a = a i 为满单分解，若口晕7 存在，则由 定理2 2 2 得口。7 a 与卢可逆 ( i i ) 净( i i i ) 显然，且( 触。沌) 1 = ( 口。) 。卢 ( i i i ) 辛( i v )由口y 口卢= ( 触7 a ) 。及触可逆有口y 口卢可 逆 12 朱萍：态射的加权m o o r e - - p e n r o s e 逆 一一一 ( i v ) ( i ) 若口+ ) ，a 卢可逆，则触+ 7 a 可逆，且口= 口( 触。7 a ) 。1 ( 触。7 a ) 由定理2 1 5 知 口晕7 一( a 。y 口卢) 。口。一( 口+ y d 卢) 一1 口。 对于单态射有下面类似的结论： 推论2 2 5 设a m ( a ，b ) 为范畴够中单态射，p m ( b ，b ) 和y m ( a ，a ) 均为移中对称态射，则下列陈述彼此等价： ( i )a 关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 p p 鲫，o s e 逆存在； ( i i ) 口触+ 与7 可逆； ( i i i ) 口卢口7 可逆； ( i v ) y 口触+ 可逆 在此情形， 口晕7 一a 。( a p 口+ ) 一1 y1 = 口+ ( a 卢口y ) 一1 。一口+ ( 7 口卢d ) 一1 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 一 2 3 有核( 上核) 态射的加权m o o r e - - p e r t r o s e 逆 定理2 3 1 设够是有对合* 的加法范畴，a m ( a ，b ) 为够中态射， 口m ( b ，b ) 和7 e m ( a ，a ) 均为够中对称态射。态射五m ( k ，a ) 为7 a 的 核，若a r i a + 7 + k y 可逆，则口关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 。r p e n 一 ，一o s e 逆存在在此情形， a 晕7 = a e ( a r i a y + 志+ k t ) 一1 + 证明由k k e r ( y 口) 得自) ，口= 0 ，a + y k + 一0 ，从而 ( 口r i a + 7 + 女k t ) a r i a + 7 = a p a + ? a r i a 。y a r i a + y ( a r i a 。) ，+ 志忌y ) 即 口臼口。) ( a r i a y + 五+ 七y ) 一1 = ( a r i a y + k 。五y ) 一1 a r i a + y 又 ( a r i a y + 正+ k ? ) a = a r i a + y a 有 a 一( a r i a 7 + + 七y ) 一1 a r i a 。y 口 = a r i a y ( a 口口y + + k t ) 一1 口 令“一( a r i a 。y + 忌。尼y ) - 1 口卢，v = ? ( a r i a 。y + 七志y ) 。口 即 u a 。y 口一a 5 a r i a 。u 由定理2 1 5 知口晕7 存在且 口生7 一u 。d “。一d e l ( a r i a + y + 五。五y ) 一1 。 注2 3 2 下面举出反例说明定理2 3 1 的逆命题不成立 例在以非负整数为对象( 整数0 规定为零对象) ，实数域上矩阵为态 射构成的矩阵范畴m 一中，其对合* 取为矩阵的转置令口= m ( 2 ，1 ) 为m 。中态射，r i = ( 1 ) e m ( 1 ，1 ) 和7 = l ：1 m ( 2 ，2 ) 为螈中对称态 射，直接验证知z 一( 1 ，o ) m ( 1 ，2 ) 为a 关于对称态射卢和y 的加权m 0 0 7 e p 鲫，训e 逆， = ( 。，1 ) 为7 口一l ：1 的核，但口8 a + y + 矗。五y = i ：) 不可逆 ( k k + ) ( k + k + ) 一k ( 志k + ) 走+ 一k ( k ) + k 一 一k ( k + k ) 是+ 一k k + 一i 由于女a 是对称的，故女 可逆且其逆为k k 又 k + 一k + k k + 一( + k ) + k + 一( 女k + ) k + 一是+ ( + k + ) = k + ( k k + ) 一1 则 征$ 娃a ；8 。【 一& 晷to c + 仪 8 a + = a o d + a 8 d + 一d 8 娃+ k k a ；b d + 一是。志 a + ( 口卢d + ) + p a + = 志。k a v a + d ；卢d 十一o ， d p a + k + k + + 一a 卢口+ e k 。( k k + ) 一1 3 k + = a b ( k a ) + ( k k 。) 1 k + + 一0 ， k + k k + k + + = k + ( k k + ) 。k 。+ 一( k k + k ) k一( k + k ) 一k + k 即 ( a 卢口。+ k k ) ( 吐；卢a + + k + k 。+ ) 一口卢口+ + k + k i 由口触。+ 女。k 是对称的知口触+ 五k 可逆，且其逆为口革触+ + 是+ k 一 类似可证下面的定理： 定理2 3 4 设够是有对合* 的加法范畴，a m ( a ，b ) 为够中态射， 卢m ( b ，b ) 和) ，m ( a ，a ) 均为够中对称态射，态射 m ( b ，c ) 为a p 的 上核，若触+ 肼 可逆，则口关于对称态射p 和7 的加权m 0 0 7 e p 鲫一 ，o s e 逆存在在此情形， 口晕7 = ( 卢口+ y 口+ p a a 。) 一1 + 口。 注2 3 5 定理2 3 4 的逆命题也不成立，但当卢一i 时，定理2 3 4 的 逆命题成立且 一】5 一 1 。1 1 _ i l i 2 0 0 0 届理学硕士学位论文 c 最后我们指出，由注2 1 2 ( i i i ) 知，在以上结论中令卢和y 均为恒等态 射时，即得到 2 1 0 中关于态射的m 0 0 7 e p e n r o s e 逆的一些相应结果 朱萍：态射的加权m o o r e p e n r o s e 逆 2 4a b e l 范畴中态射的加权柱心幂零分解 作为态射a 关于对称态射卢和7 的加权m 0 0 7 一e p 州，一o s e 逆的一个应 用，我们结合对合* 和柱心幂零分解，考察一种新的态射分解加权柱心 幂零分解( w e i g h t e d c o r e n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o n ) 定理2 4 1 设留是有对合* 的a b e l 范畴，p m ( a ，a ) 为够中对称 态射，对任意态射a m ( a ，a ) ，如果( d 触。) 。存在，则存在唯一的分解口一够 + 5 f i ，其中妒、妒m ( a ，a ) ，满足 ( i ) 妒妒一o ； ( i i ) 妒卢伊。一0 ； ( i i i ) 妒膨是幂零的； ( i v ) p 关于对称态射卢和i 的加权3 4 0 0 7 p 一尸鲫，一o s e 逆存在 证明( g - 在性) 令，z a 风。，则 7 7 2 一口口口+ 一7 行， 从而有 ( m m o ) 一m d ? n 27 7 2 1 n d 令妒= m 7 卵d 口， 妒= ( i 一，聊2 。) 口，则妒+ 驴一口，且 妒+ 一口7 m 7 2 d ( i 一7 7 2 7 7 2 d ) 口一0 ； 5 f i 卢p 。= = ( i 7 7 2 ，砣。) a f t ( r a m 。口) 。 一( i - - m ? n d ) a s i a 。m 2 d 一( i - - ? n ? n d ) 7 7 2 7 7 2 埘d 一0 ； 5 f l 卢一( i m m d ) a s a + ( i m m 。) = ( i m 优。) 优( i m m d ) = 优( i m m d ) 可以归纳证明( 5 f i 卢妒。) ”= 7 ，z ”( i m m d ) ，设i n d ( m ) = 是，则 ( 卢) 一m ( i 一，7 2 7 ，z d ) = ，砣- - ? n ，竹7 ，2 d = o 由定义1 2 6 知( 妒卢妒。) “1 o ，所以妒膨+ 是幂零指数为 的幂零态射 卿8 p + = 7 咒7 7 2 d 口8 ( m m d a ) 。一7 7 2 ，7 z d 口p 口。7 7 z 7 卯d m 研d m t t l m d = m 2 m d 一( m 口) 。 所以( 卵妒+ ) 。存在且为，翘。又 卿( 7 ”d 口) = m 2 7 卵d 7 咒d c t = m t n 扫口一p 由定理2 1 5 知舛。存在 一】7 一 r?， 2 0 0 0 届理学坝士学位论又 一一 ( 唯一性) 设口一仇+ 妒，其中仍、驴，m ( a ，a ) ，满足( i ) 一( i v ) ，则 优= a p d 。一( 吼+ 妒，) 卢( 张+ 妒，) 。= 饥卢盯+ 5 i ，p c ； ( * * ) 由( i v ) 和定理2 1 5 知( 仇卢仃) 。存在因为 吼啦扒0 中i o ， 驴，卢妒? 仇卢孵一5 f ，卢( 订妒) 。卢孵一。 则( * * ) 式为优的柱心幂零分解由文 1 3 知 讫卢订一m 2 7 咒。， 5 f 1 1 卢妒i = 7 ”( i m 7 7 z 。) 且 ( 仇p 孵) 。一7 7 2 。 由( i v ) 和定理2 1 5 知存在态射u m ( a ，a ) ，使得 仇一钍卢订u ， 则 讫卢订( 吼卢眄) = 仰一仇， 由( i ) 有 衍乒】= o ， 于是 仇卢两( 仇p 时) 。( 讫+ 妒，) 一讫 从而得 翰一，7 2 2 m d m d 口一m m d d p 所以驴，= 妒，故分解唯一 应用于矩阵范畴m 。中，则我们给出了方阵a 。，一种新的分解a = r + s ，其中r + s 一0 ，s b r 一0 ，r 旱7 存在，s b s 。是幂零的特别地，当b 一， 时， r = a a ( a a 。) 。a ： s r j r a a 。( a a ) d 3 a ； r 尘7 = a 。( a a ) o r + ； s + 一a + ，一( a a ) ( a a ) 。 且r 。s o ，s r 。一0 ，r + 存在，s s 是幂零的，这就是 2 5 中的分解 1 8 朱萍：态射的加权m o o r e p e n r o s e 逆 展望 广义逆矩阵是本世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发展，特别自5 0 年代以来，广义逆矩阵