（基础数学专业论文）量子环面上skew导子李代数的中心扩张.pdf

量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 i i i 记r = z 2 o ) ，r l = p f ，r 2 = r r 。我们定义李代数c = s p a n c d ( m ) l m r t 设q 是p 次本原单位根，p 为大于1 的正整数规定c 上的反 交换关系如下：对任意的y e t = ( m 。，m 。) ，n = ( n 。) r ， p ( m ) ，d ( n ) 】c = g ( m ，n ) d ( m + n ) 其中 舢，= = 二竺i m , n e 。f 或2 ；。 若令厄= s p a n c 甄，飓) ，= c o 尼，并且规定反交换关系如下 d ( m ) ，d ( n ) = d ( m ) ，d ( n ) 】c + k ，一。 ( m ) ，【c c 】= 0 其中，对任意的m = ( m - ，m z ) r i ，、fm l k l + m 2 尬 凡卜1 o 容易验证也是一个p e r f e c t 李代数，并且( 互p ) 是c 的个覆盖中一5 - 扩张，其中p ：一c 是自然投影 文献 2 0 】是通过求李代数的二上同调群来推出该李代数的泛中心扩 张，本文是先给出李代数c 一个中心扩张( p ) ，然后证明所给出的中心 扩张同构于c 的泛中心扩张 关键词：p e r f e c t 李代数，泛中心扩张，s k e w 导子 量主堑鱼圭塑! 曼主圭垡塾塑主：兰芏堡 a b s t r a c t l v l e tr = z 2 o ，f 1 = p f ，f 2 = r f 1 ，= s p a n c d ( m ) im r ) l e t p ) 0b eap o s i t i v ei n t e g e r a n dqap t hp r i m i t i v er o o to fu n i t y p 嬉d e f i n ea l i ea l g e b r acw i t hl i eb r a c k e tg i v e nb y ： d ( m ) ，d ( n ) l c = g ( m ，n ) d ( m + n ) f o ra l lm = ( m 1 m s ) ，n = ( 7 1 ，7 t 2 ) f ，w h e r e ，(111,n)=9”2”1二qmln*，,mnrf2；rft2n1m l n 2 m 1o rn r 1 i 一 ， ii lt1 l e t 咒：s p a n c ( 硒，飓 ，= c o 瓦，a n dw e d e f i n eal i ea l g e b r acw i t h l i eb r a c k e tg i v e nb y ： d ( m ) ，d ( n ) 】三= p ( m ) ，d ( n ) 】c + d m , - n ，t ( m ) k - c 】= 0 - w h e r e ，f o ra n ym = ( m 1 ，m 2 ) f c m ，= ”l k l 吾2 k 7 m m f r 。1 ； i ti se a s yt os e et h a t i sa l s oa p e r f e c tl i ea l g e b r a ，a n d ( 互p ) i sac o v e r i n g c e n t r a le 赋e n s i o no fcw i t hp ：一ct h ec a n o n i c a lm o r p h i s m i n 2 0 ，t h eu n i v e r s a le x t e n s i o no fc w a so b t a i n e db yt h es e c o n dc o h o m o l o g y g r o u po f i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tg i v ea c e n t r a le x t e n s i o no fc ，a n dp r o v et h a t i ti si s o m o r p h i ct ot h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no f k e y w o r d s ：p e r f e c tl i ea l g e b r a ，u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，s k e wd e r i v a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论 文而产生的责任 声明人( 签名) ：唐甥 , , 2 0 0 b 年厂月夕i 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：声蟒 导师签名： 日期；0 。口舌年岁月夕文日 日期：年月 日 第一章引言 第一章引言 十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函 数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善， 群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的 新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。代数思想的革命发生在十九世 纪3 0 4 0 年代。1 8 3 0 年，皮科克的( ( 代数学问世，书中对代数运 算的基本法则进行了探索性研究。 数学是来源于生活，经过提炼，加以适度的抽象化，又返回生活去验 证所得数理模型的正确性的一门学科李群和李代数的发展也不例外。自 从1 8 7 4 年挪威数学家l i e 在研究常微分方程与保持这些方程的解不变 的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论以及相应的代数；也就 是在研究微分方程的积分曲线族在什么变换下不变时发现并且建立起李 群及李群理论以来，至今已有1 0 0 多年的历史了，在这期间李群理论不 断地自我完善。李群的发现对整个代数的发展起了巨大的推动作用。因 为有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1 8 8 2 年，德国 数学家迪克受凯莱工作的鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义 群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代 数方法对群论的运用，即群的表示理论应运而生。大约在1 9 3 4 年w e y l 把在无穷小的层面上进行线性化这种数理模型正式叫做李代数，而李群 理论第一个近代化的叙述则是由邦德列雅金于1 9 3 8 年给出的。从2 0 世 纪4 0 年代起，流形概念已经很明确地形成后，在c a f t a n 和w e y ! 等 人的倡导下李群才逐渐从局部性质的研究转向整体性质的研究。经过长 期发展后，现在已形成所谓李理论这个独立的学科，同时由于它在各方 面的广泛应用，如今李群及李代数已经成为基础数学研究生的主要课程 之一 下面我们对与本课题有关的研究方向的发展动态做简要回顾和叙述。 第一章引言 2 在研究有限维复半单李代数的结构和表示的过程中，k i l l i n g 第一 个给出有限维复单李代数的分类( c q l l ) ；c a r t a n 进一步研究了复半 单李代数的结构( c f 5 1 ) ，而且他还对它们的有限维不可约表示进行了 分类，并且证明了相关理论。1 9 4 8 年c h e v a l l e y 在一篇论文中给出了 c a r t a n 相关定理的统一的代数证明，而且还提出了许多重要的概念， 这些概念成为2 0 年后出现的k a c m o o d y 代数的基本概念； 1 9 6 6 年 s e r r e 进步明确并给出了有限维复半单李代数的统一实现。在1 9 6 8 年 前后，k a c ( c f 1 0 】) 和m o o d y ( c f 【1 4 】) 等人在前人工作的基础上，各 自独立地引进并开始对有限维单李代数的无穷维推广( 无穷维李代数) 进行研究。若干年后，m a c d o n a l d 发现了与”仿射根系”的w e y l 等式相类似的一些等式( c f 【1 3 】) ；这些等式体现了单李代数的结构和模 形式理论之间的显著关系m a c d o n a l d 给出的等式中最简单的个就 是j a c o b i 等式，它早就出现在j a c o b i 编写的关于模形式理论的经典 论著( c f f 9 1 ) 中。1 9 7 4 年，k a c 把有限维表示理论推广到新的一类李 代数( k a c m o o d y 代数) 。众所周知，仿射k a c m o o d y 代数( 仿射 k a c m o o d y 代数可看成从一维环面到复数域上有限维单李代数的多项 式映射的泛中心扩张，也就是说，它们以一元罗朗多项式环为其坐标代 数) 及其表示在数学和物理的许多分支中都有重要应用。稍后，人们发现 在一些特殊情形下这些公式的形式变得非常简单，同时还有非常深刻的 内涵。 本篇文章主要研究的是无限维李代数，而无限维李代数是由有限维 李代数发展而来的，无限维李代数的研究成果反过来又为有限维李代数 的研究提供了工具和动机，许多原来被认为无法解决的问题也逐渐得到 解决。无穷维李代数除了在k d v 方程中有许多应用之外，它们在可积 系统的构造等方面也有许多的应用，通过对它们的研究，理论物理以及 数学的许多分支都紧密地联系在一起。1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究了 第一章引言 3 2 秩量子环面的结构，还进一步引进了2 秩环面的导子李代数的一个子 代数，并称之为v i r a s o r o 1 i k e 代数，( 一元罗朗多项式环的全体导子构 成的李代数称为渐扰代数，而w i t t 代数的一元泛中心扩张后形成的 新的李代数称为v i r a s o r o 代数) 。同时还指出该代数与量子环面上内导 子李代数( 即q 类似v i r a s o r o l i k e 代数) 之间的关系。 在量子群研究工作的推动下，人们也对量子环面c 。及其导子李代 数d e r ( c 。) 和泛中心扩张进行了研究1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究 了2 秩量子环面在q 为g e n e r i c 的情形下内导子李代数的结构，并发 现了它与d e r a 的一类李子代数( v i r a s o r o l i k e 代数) 之间的关系， 并把他所研究的代数称为q 类似v i r a s o w l i k e 代数证明了这两种 李代数都存在非平凡的中心扩张。由此可见，量子环面的导子李代数与 v i r a s o r o 代数的推广存在着密切的联系。同时，在李群理论中还对量子 环面c 。的泛中心扩张进行了研究。在对无穷维李代数的结构和表示的 研究过程中人们也发现泛中心扩张的确定常常扮演着非常重要的角色 比如，对由从一个复代数变量x 到一个复的单代数群g 的映射所构成 的多项式群m a p ( x ，g ) 的结构和表示的研究。在x 是一个复的环面 时， m a p ( x ，g ) 是一个l o o p 群而相应的李代数m a p ( x 9 ) 是l o o p 代数；这时，只有当人们把m a p ( x ，g ) 换成它的泛中心扩张( 它对应着 仿射李代数) ，表示理论才产生了巨大的生命力由此，人们得到了众所 周知的仿射最高权表示理论，顶点表示理论和特征标理论，等等。再如 在e a l a s 的表示理论中泛中心扩张的确定也起着关键的作用( c f 1 5 和【1 6 】) 。 由于导子和中心扩张的研究工作在李理论中的重要意义，许多学者 都对这一课题进行过研究。d o k o v i c 、赵开明和徐晓平等人推广了经典 的c a r t a n 型李代数的构造方法，从而构造出了许多广义c a f t a n 型李 代数并研究了它们的结构( c f 6 】和 1 9 】) 。我们把扭 h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数( 比如，一元罗朗多项式环的全形的泛中心扩 第一章引言 4 张称为扭h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数) 的构造方法推广到2 秩的情形， 并研究了它的泛中心扩张、导子、自同构群的结构( c f - | 1 2 ) 。d z h u - m a d i l d a e v 受到量子群的相关研究工作启发构造出所谓形变( d e f o r m a t i o n ) v i r a s o r o 型李代数( c f 7 1 ) 。b l o c k 创立了一种建立在与c a r t a n 子代数对应的分次基础上的技巧，并充分利用了这种技巧去确定许多经 典的和非经典的李代数的中心扩张。b e r m a n 在( c f 3 】) 中则把b l o c k 所创立的方法应用到对无穷维李代数的导子和泛中心扩张的研究中去； w i n t e r 则把上述方法应用到经典的a l b e r t z a s s e n h a u s 代数的导子的 研究中去( c f 8 】) ；上述方法还得到进一步推广并产生了许多有趣的结 果。此外，还有许多文章研究了各种不同代数的泛中心扩张和导子李代数 ( c f f 1 】， 2 ， 17 】) 。在上个世纪四十年代人们推广了完备群概念并引进了 完备李代数，这种代数与李代数的导子和泛中心扩张的关系更加紧密。 对它们的结构和表示的研究也进一步推进了对李代数的导子和泛中心扩 张的研究。在这一方面，孟道骥、姜翠波、朱林生等人做了大量的工作 ( c f 21 和其中参考文献) 。 本篇文章主要研究量子环面c 。时1 ，珐1 】上的s k e w 导子李代数的 泛中心扩张，我们研究并确定了c 的泛中心扩张，给出了与文1 2 不 同的另一种证明方法。在 1 2 】的文章中，作者研究了量子环面上的导子 李代数的表示、结构和泛中心扩张，并构造出量子环面c 。弘 1 ，t 砉1 上 的导子李代数的一个子代数，称之为量子环面上的s k e w 导子李代数。 而我们考虑了在q 是p 次本原单位根的情形下，量子环面上的s k e w 导 子李代数的导出子代数的泛中心扩张c ，并给出了相应的证明。 g ：- 章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 5 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 1 准备知识 定义2 1 取定一个正整数d 2 ，并取定复数域c 上一个以e 1 ，e 2 ， e d 为基底的向量空间纠，令( ，) 为“上双线性型使得( e i ，e j ) = 6 巧 令r z e l0 - 0z e a l 任意给定由非零复数所构成的d d 矩阵 q = ( q i j ) d 。d ，并要求矩阵的元素满足下列条件： q i i = 1 ，g 再1 = 劬i ，v 1si ，js d 记为非交换罗朗多项式环s 4 = c 陆1 ，z j l 。上的由下列元 素： z i z j q i j x j x i ，x i x 1 1 ：z f l x i 一1i1 i j d ) 所生成的理想并记商环5 嘲矗为c q 按惯例，我们把x i 5 【d 】在 自然同态下的像仍记为x i c q ，于是有 x i x j = q i j x j x i z f l x i = x i x 1 = 1 1 i ，j d 称c 。为对应于矩阵q 的量子环面，称q 为量子环面矩阵 定义2 2 设9 是一个李代数，如果bg 】= 9 ，则称g 是一个p e 啦c t 李代数 定义2 3 李代数9 的一个中心扩张是指一个李代数雪和一个满同态 丌：互一夕，满足k e w r z ( 雪) ，这里z ( o ) 表示李代数互的中心； 如果雪还是一个p e r f e c t 李代数，则称( 互，丌) 是9 的一个覆盖中心扩 张设( 雪，7 r ) 是9 的一个覆盖中心扩张如果对g 的每一个中心扩张 ( 9 ，a ) ，都存在唯一的李同态砂：雪一统使得a 矽= 7 r ，那么就称圆，7 r ) 是李代数9 的一个泛中心扩张 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 6 引理2 4 ( c f 【8 】) 如果李代数g 是p e r ，e c 的，那么g 存在一个泛中心 扩张，而且g 的泛中心扩张在同构意义下唯一 口 引理2 5 ( c f _ 1 5 】) 设( 鸯，7 r ) 是一个p e r f e c t 李代数g 的一个中心扩张覆 盖，叩：雪一鸯是雪到自身的李同态如果7 r 叩= 丌，则叩= i 嘞 口 2 量子环面上的s k e w 导子李代数及其导出子代数 考虑两个变量的量子环面设q 是p 次本原单位根，p 为大予1 的 正整数令a = c q 砖1 ，砉1 】为非交换的l a u r e n t 多项式环，其中 t 2 t l = q t l t 2 定义 f ，g 】= f g g f ，则a 是称为个李代数 对任意的n = ( n l ，n 2 ) z 2 ，我们记t “= t ? 1 t 字a q 定义a 上的度导子也( i = 1 ，2 ) 使得对任给的n = ( n l jn 2 ) z 2 有画t “= 哪t “对任意的i n = ( m l ，m 2 ) p z 2 ，定义现( m ) = t m d i ( i = 1 2 ) 使得对任给的n = ( n 1 ，n 2 ) z 2 有d i ( m ) t “= n i t ”+ n 设d e r a q 为a 的导子李代数，则有d e r a q = 臼。z td e r ( a 日) 。( c f 4 1 ) ，其 中 砌( = c a d ( t m ) , 触耋m m p z 垂p z 2 。, 记三。为由d 1 ，d 2 ，m 2 d l ( m ) 一m 1 d 2 ( m ) ( m p z 2 ) 和a d ( t ”) ( m 隹 p z 2 ) 线性张成的d e r a 口的子空间容易证明l 口是d e r a 口的一个子 代数，称它为量子环面4 。的s k e w 导子李代数( c f 【1 2 ) 注意到l 9 不 是p e r f e c t 李代数设c = l q ，l 口 为l 口的导出子代数记 。m ，一 箍0 唰m ，耋m i tp - 2 ，z 2 忡， 则有c = s p a n c d ( m ) li n r ) 若设f = z 2 o ) ，f 1 = p f ， f 2 = f r 】那么c 李关系可以描述如下： d ( m ) ，d ( n ) 】c = g ( m ，n ) d ( m + n ) ( 1 ) 苎三主量堑亟圭! ! 型墨至垡墼塑：兰芏堡 7 其中，对任意的m = ( m l ，m 2 ) ，n = ( n l ，n 2 ) f ， 夕( m ，n ) = m q m 。2 n n l 。_ _ 一q m l n 2 ：m m , n 。f 或2 , r a i n 2 11 n r 1 ( 2 ) lm 2 n 1 一，m 戥 l 容易验证是p e r f e c t 李代数 3 泛中心扩张 令疋= s p a n c k 1 ，确 ，= c o 庀定义上的反交换关系如下： d ( m ) ，d ( 喇2 d ( m ) ，d ( n ) c + k ，一n h ( m ) ：( 3 ) k = 0 ， 其中，对任意的m = ( ? t t l ，m 2 ) f 危( m ) = m l k l 言，m 2 尬- m me f r 。1 , 容易验证互也是一个p e r f e c t 李代数，并且( p ) 是c 的一个覆盖中 心扩张，其中p ：一c 是自然投影 记e 1 ：( 1 ，o ) ，e 2 = ( o ，1 ) 由互的李关系，我们有 弘( p ，o ) ，d ( _ p ，0 ) = k l 扣( o p ) d ( q 呻) 护如 ( 4 ) 定理2 6 ( 互p ) 同构于c 的泛中心扩张 证明：假设( ，_ 7 r ) 是c 的泛中心扩张，由于( 互p ) 是c 的一个覆盖 中心扩张，故存在唯一的同态砂：一互使得p 砂= 7 r ，即有交换图： 三c 妒l| 1 苞与c 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 8 下面，我们将定义一个李同态：c 一，满足p 咖= p 和7 r 砂= 丌进而，由引理2 5 知，矽7 砂和砂砂7 都是恒等同态，从而砂7 是李同 构 显然，k e r 砂z ( c ) ，而且妒是满的对任意的m f ，设 e ( m ) 是m ( m ) 的个原象因为对任意的m ，n f 且m + n 0 ， 妒( e ( m ) ，e ( n ) 】) = 【d ( m ) ，d ( n ) l z = g ( m ，n ) d ( m + n ) ， 所以我们有 e ( m ) ：e ( n ) 】= g ( m ，n ) e ( m + n ) + a ( m + n ，n ) ， 其中i l l ，n f ，m + n 0 ，n k e r 妒z ( c ) 对任意的i n = ( m l ，m 2 ) f ，当m l = 0 时，我们用e ( m ) 一 去q ( m ，p e l ) 替换e ( m ) ；当m 2 = 0 时，我们用e ( m ) 一赤a ( m ，一p c 2 ) 替换e ( m ) ；当m l m 2 0 时，若pfm l ，p fw t 2 ，但pim l m 2 ，我们 用e ( m ) 一f q ( m ，- e i + t r t 2 e 2 ) 替换e ( m ) ，否则，用e ( m ) 一 而砾i 了i 两q ( m - m 2 e 2 ) 替换e ( m ) 于是，我们有 o ) ， p ) j ， e ( 一1 ，m 2 ) e ( o ，m 2 ) 】， 令 皿= 弘( p 0 ) 矧一p ，o ) ，凰= ；1 吼帅) 矧0 ) _ p ) 】 ( 6 ) 由于7 r ( 珏) = p o ( h i ) = p ( k ) = 0 ，所以凰k e r t r z ( ) ，即有 【凰， = 0 ，i = 1 ，2 我们定义线| 生映射妒7 ：一如下： 矽7 ( d ( m ) ) = e ( m ) ，砂( k i ) = ，vi = 1 ，2 ，1 2 1 r 2 n，n ) r 5 i，l p 2 ，7 ， ， p 0 0 r = i | = m u b 何l 三 p 他当当当其 叩m 吼雨以以可上嚣黧 苎三主量量竖重圭! 鱼婴曼圭堡塾塑! 竺芏堡 9 下面，我们将用1 1 个断言来证明妒，是到的李同构，从而定理得 证成立 断言1 对任意的m l ，r n 2e p z ，我们有 e ( m l ，p ) ，e ( 一r r t l ，一p ) 】= t 1 1 甄+ p 凰，( 7 ) e ( p ，仇2 ) ，e ( 一p ，- m 2 ) = p 皿+ m 2 凰( 8 ) 先证r 砂式成立：对m l 进行归纳当m 1 = 0 时，( 7 ) 式显然成立 注意到 e ( m i4 - p ，p ) ，e ( 一t 1 1 千p ，一p ) j = 面1 e ( m l ，p ) ，e ( j ：p ，o ) 1 ，e ( 一m l 千p ，一p ) 】 = 哥1 ( l ( r r t l ，p ) ，【e ( d ：p ，o ) ，e ( 一m 1 干p ，p ) 】 + 【e ( m 1 p ) ，e ( 一m l 千p ，一p ) ，e ( 士p ，o ) 】) = e ( m i p ) e ( 一m l ，一p ) 】+ 【e ( 士p ，o ) ，e ( t p ，o ) 】 = e ( m i p ) e ( - m l ，- p ) 】士p i l l 由数学归纳法知，( 7 ) 式对所有的m l p z 都成立 再证r 矽式成立：对m 2 进行归纳当1 1 2 = 0 时，( 8 ) 式显然成立 注意到 e ( p ，7 t t , 2 士p ) ，e ( - p ，一m 2 干p ) 】 = 再1 陋( p ，m 2 ) ，e ( o ，土p ) 】，e ( - p ，- - m 2tp ) = 刍( e p ，m 2 ) ， i s ( 0 ，却) ，e ( 一p 一7 7 2 干p ) j + e ( p ，m 2 ) ，e ( 一p 一7 1 2 千p ) ，e ( o ，土p ) ) = 【e ( p ，m 2 ) ，e ( 一p ，一m 2 ) j + e ( 0 ，士p ) ，e ( o ，r a p ) 】 = 【e ( p ，m 2 ) ，e ( 一p ，一m 2 ) 】士p h 2 由数学归纳法知，( 8 ) 式对所有的l r t 2 p z 都成立 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 1 0 断言2 对任意的m l ，m 2 z ，我们有 ：生。1【),e舭(-ml,(-刊1)mlqe f t】+ q 一阶l 忡，毗( 9 ) = ”1 【，o ) ，e ( 一1 ，o ) 】+ 1 e ( o ，1 ) ，e ( o ，一1 ) 】， 陋( 1 ，m 2 ) ，e ( 一1 ，一m 2 ) f 1 0 1 = m 2 q - - r ( 。2 e ( o ，1 ) ，e ( o ，一1 ) 】+ q - m 2 e ( 1 ，o ) ，e ( 一l ，o ) 】 、 先证p j 式成立：对r r l i 进行归纳当m 1 = 0 时，( 9 ) 式显然成立 假设( 9 ) 式对于整数m 1 成立注意到 e ( m x4 - 1 ，1 ) ，e ( 一m l 干1 ，一1 ) 1 = 再b 【e ( m 1 ，1 ) ，e ( 士1 ，o ) 】，e ( 一7 2 1 干l ，一1 ) 】 = b ( e ( m l ，1 ) ， e ( 1 ，o ) ，e ( 一m 1 千1 ，一1 ) 】 + 【e ( m l ，1 ) ，e ( 一m l 千1 ，一1 ) 】，e ( l ，o ) ，】) = q m l 【e ( m l ，1 ) ，e ( 一m l ，一1 ) 】士q - ( m l 士1 ) e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 1 = ( m l 士1 ) q 一( m l ：k 1 ) e ( 1 ，o ) ，e ( 一l ，o ) 】+ q - ( m t - t - 1 ) e ( o ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】 由归纳法知，( 9 ) 式对所有的m l z 都成立 再证以叫式成立：对m 2 进行归纳当t 2 2 = 0 时，( 1 0 ) 式显然成 立假设( 1 0 ) 式对于整数m 2 成立注意到 e ( 1 ，r 1 2 士1 ) ，e ( 一1 ，一7 7 2 千1 ) = f b 陋( 1 ，m 2 ) ，e ( 0 ，土1 ) 】，e ( 一1 ，一 r 1 2 千1 ) 】 = f 杀陋( 1 ，m 2 ) ， e ( 0 ，4 - 1 ) ，e ( 一1 ，一m 2 千1 ) 】 + e ( 1 ，m 2 ) ，e ( - i ，一m 2 千1 ) ，e ( o ，士1 ) = q m l e ( 1 ，m 2 ) ，e ( 一1 ，一m 2 ) 土q - ( m 2 i 1 ) e ( o ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】 = ( m 2 士1 ) q 一( m 2 土1 ) 【e ( o ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】+ q - ( ”。土1 ) e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 由归纳法知，( 1 0 ) 式对所有的m 2 z 都成立 断言3 【e ( i ，o ) ，e ( - 1 ，o ) 】_ 0 ， e ( 0 ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】_ 0 ( 1 1 ) 墨三主量堑鱼圭也里兰至堡塾堕! ：兰芏堡 先证第一个式子成立：由断言2 我们有： e ( v ，1 ) ，e ( 一p ，一1 ) 】 = p e ( i ，o ) ，e ( 一1 ，o ) + e ( 0 ，1 ) ，e ( o ，一1 ) 另外，我们还有 e ( p ，1 ) ，e ( 一p ，一1 ) = j 【 e ( o ，1 ) ，e ( p ，o ) ，e ( 一p ，一1 ) = ：( 【e ( o ，1 ) ， e ( p ，o ) ，e ( 一p ，一1 ) 】 + e ( o ，1 ) ，e ( - p ，一1 ) 】，e ( p ，o ) ) = e ( 0 ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】+ 0 = e ( 0 ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】 所以【e ( 1 ，o ) ，e ( 一l ，o ) 】= 0 再证第二个式子成立：由断言2 我们有： e ( 1 ，p ) ，e ( 一1 ，一p ) 】 = p e ( o ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) 】+ e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 】 另外，我们还有 【e ( 1 ，p ) ，e ( - 1 ，一p ) = 亏- ! l i e ( 1 ，o ) ，e ( 0 ，p ) 】，e ( 一l ，一p ) 】 = 二孑( 【e ( 1 ，o ) ， e ( 0 ，p ) ，e ( 一1 ，一p ) 】 + e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，一p ) ，e ( 0 ，p ) ) = 【e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) + 0 = e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 】 所以 e ( 0 ，1 ) ，e ( 0 ，一1 ) = 0 断言4 对任意的m l e l ，7 n 2 e 2 f ，我们有 【e ( m - ，。) ，e ( 一m ，。) 】= m 1 h 。1 m m 。l e e l 。6r f 。1 , ； ( 1 2 ) 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 1 2 c e c 。，m z ，, e ( o , - m 2 ) 】= m 2 予m m 。2 e e 。2 er p 。1 , c 3 ， 先证第一个式子成立：对任意的m l e l r ，如果m l e l f 1 ，那么，由 断言1 ，我们有 e ( t n l ，o ) ，e ( 一m l ，o ) 】 一面1 陋( m 1 ，p ) ，e ( 0 ，一p ) 】，e ( 一m i ，o ) 】 = 击( e ( m ，p ) ， e ( 0 ，一p ) ，e ( 一m l ，o ) 】 - - e ( m l ，p ) ，e ( 一m l ，o ) 】，e ( 0 ，一p ) 】) = 【e ( m l ，p ) ，e ( 一m 1 ，- p ) 一【e ( 0 ，p ) ，e ( 0 ，一p ) 】 = m 1 h 1 + p h 2 一p 凰= m 】h 1 如果m l e l f 2 ，那么由断言2 和断言3 ，我们有 e ( m l ，o ) ，e ( 一m l ，o ) 】 = 击 陋( m 1 ，1 ) ，e ( o ，一1 ) 】，e ( 一m l ，o ) = i ( e ( m 1 ，1 ) ， e ( o ，一1 ) ，e ( 一m l ，o ) 】 + 【 e ( m l ，1 ) ，e ( 一m 1 ，o ) ，e ( 0 ，一1 ) 】) = 一 e ( o ，1 ) ，e ( o ，一1 ) 】+ q m l e ( m l ，1 ) ，e ( 一m 1 一1 ) = 0 所以( 1 2 ) 式成立 再证第二个式子成立：对任意的m 2 e 2 r ，如果m 2 e 2 f 2 ，那么，由 断言1 ，我们有 【e ( o ，m 2 ) ，e ( 0 ，一m 2 ) 】 = 赢- i 【陋( p ，m 2 ) ，e ( 一p ，o ) 】，e ( 0 ，一m 2 ) 】 = 而- 1 ( e ( p ，m 2 ) ，陋( 一p ，o ) ，e ( 0 ，一m 2 ) 】 + 【e p ，m 2 ) ，e ( o ，一m 2 ) ，e ( 一p ，o ) 】) = 【e ( p ，m 2 ) ，e ( 一p ，一m 2 ) 一【e ( p ，o ) ，e ( 一p ，o ) = m 2 h 2 + p i l l p i l l = m 2 h 2 茎三主 兰堑重兰! 鱼婴兰至主! 堕塑主：兰芏堡 如果r n 1 e 1 r 2 ，那么由断言2 和断言3 ，我i f 6 - e ( 0 ，t t 2 ) ，e ( o ，一m 2 ) 1 = 南 旧( 1 ，m 2 ) ，e ( 一1 ，o ) 】，e ( 0 ，一m 2 ) = f 击j ( e ( 1 ，m 2 ) ，旧( 1 ，o ) ，e ( o ，一m 2 ) 】 + e ( 1 ，m 2 ) ，e ( o ，一m 2 ) 】，e ( 一1 ，o ) 】) = 一 e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) + q 2 e ( 1 ，m 2 ) ，f ( 一1 ，一m 2 ) = 0 1 3 所以( 1 3 ) 式成立 断言5 对任意的m = ( m l ，m 2 ) f ，我们有 酬，即m 肛 帆皿? 2 玛：茎2 ， 事实上：对任意的i l l f ，1 ) 当m l m 2 = 0 时，由断言4 知( 1 4 ) 式 成立 2 ) 当m l m 2 0 且i n f 1 时，我们有 陋( m ) ，e ( - m ) = 丙 陋( o ，m 2 ) ，e ( m l ，o ) ，e ( - m 1 一m 2 ) 】 = 丙l _ ( 陋( o ，m 2 ) ， e ( m l ，o ) ，e ( - m i ，一m 2 ) 】 + e ( o ， z 2 ) ，e ( 一m l ，一m 2 ) 】，e ( m l ：o ) 】) = e ( m l jo ) ，e ( 一m l ，o ) j + e ( 0 ，m 2 ) ，e ( o ，一r n 2 ) 】 = m 】岛+ m 2 日；， 即( 1 4 ) 式成立3 ) 当m l m 2 0 且m f 2 ，我们分三种情况证 明( 1 4 ) 式成立，即证明陋( m ) ，e ( 一m ) j = 0 情况i ：m l e l f 1 或 星三主兰堑鱼圭塑! 兰圭堡塾竺：竺芏堡 1 4 m 2 e 2 f 1 不妨设m l e l f 1 ，此时必m 2 e 2 f 2 于是我们有 陋( m ) ，e ( 一m ) 】 = 而【 e ( o ，m 2 ) ，e ( m t ，o ) 】，e ( 一m l ，一m 2 ) 】 = 捌【_ ( 陋( o ，m 。) ，陋( m ，o ) ，e ( 一m l ，一m z ) + 【 e ( o ，m 2 ) ，e ( 一m l ，一m 2 ) 】，e ( m l ，o ) 1 1 ) = 【e ( 0 ，m 2 ) ，e ( 0 ，一m 2 ) l + o = 0 情况i i ：m l e l ，m 2 e 2 f 2 ，且q 1 ”2 1 这时，我们有 陋( m ) ，e ( 一m ) 】 = 南 陋( o ，m 2 ) ，e ( m t ，o ) 】，e ( 一m l ，一m 2 ) 】 = 南( 陋( o ，m 2 ) ， e ( m l ，o ) ，e ( 一m l ，一m 2 ) 】 + e ( o ，m 2 ) ，e ( - m l ，一m 2 ) ，e ( m l ，o ) 】) = q - m l m 2 【e ( o ，m 2 ) ，e ( 0 ，一m 2 ) 一q - m l r n 2 【e ( m 1 ：o ) e ( 一m 1 o ) 】= 0 情况i i i ：m l e l ，m 2 e 2 r 2 ，且q l “2 = 1 此时必q 【m 1 1 ) 2 1 ， ( m 1 1 ) e l f 2 于是，我们有 陋( m ) ，e ( 一m ) 】 = f 知( e ( 1 ，o ) ，e ( m l 一1 ，m 2 ) ，e ( 一7 7 1 1 ，一m 2 ) 】 = f 杀( 陋( 1 ，o ) ，【e ( m l 一1 ，m 2 ) ，e ( 一m 1 一m z ) 】 + 陋( 1 ，o ) ，e ( 一m 1 ，一m 2 ) 】，e ( m l 一1 ，m 2 ) ) = e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 一q 一“： e ( 一m l + 1 一m 2 ) ，e ( m t 一1 ，m 2 ) = 0 其中，最后一个等式由情况i i 得到因此，断言5 得证 断言6 对任意的m l e l ，t 。l e l ，m 2 e 2 ，t 。2 e 2 f ，当? 一r 1 1 + n 1 0 ，m 2 + n 2 0 时，我们有 陋( m 1 ，o ) ，e l ，o ) = 0 ， e ( 0 ，m 2 ) ，e ( 0 ，n 2 ) = 0 ( 1 5 ) 先证第一个式子成立：不妨假设m l n 1 第二章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 1 5 1 ) 当p f m l ，p n l 时，我们有 e ( m l ，o ) ，e ( n l ，o ) = 赤 陋( o ，p ) ，e ( m l ，一p ) 】，e ( n l ，o ) l = 而1 ( 陋( o ，p ) ， e ( m 1 ，一p ) i ，e ( n l ，o ) 】 + e ( o ，p ) ，e ( n l ，o ) 1 ，e ( m l ，一p ) 】) = 嚣 e ( 几，p ) ，e ( m l ，一p ) ， e ( m l ，o ) ，e ( n l ，o ) 】 = 而1 ( e 沏l ，o ) ，【e ( n l ，p ) ，e ( o ，一p ) 】 = 肿1 2 _ ，( 1 i e ( m , ，o ) ，e ( n l ，p ) 】，e ( 0 ：一p ) 】 一( e ( m 1 ，o ) ，e ( 0 ，一p ) i ，e ( n 1 p ) 】) = m 。，t e ( n l ，p ) ，e ( m l ，一p ) 】_ 从而有 e ( m l ，o ) ，e ( n l ，o ) 】= 0 2 ) 当pim 1 或pin l 时，不失一般性，假设plm 1 ，我们有 e ( m l ，o ) ，e ( n l ，o ) 】 = 丽1 i 陋( m l ，o ) ， e ( n l ，p ) ，e ( o ，一p ) 】 = 而1 ( 陋( m 1 ，o ) ，e ( n l ，p ) le ( 0 一p ) 一【 e ( m l ，o ) ，e ( 0 ，一p ) ，e ( n l j p ) ) = 署 e ( n l ，p ) ，e ( m l ，一p ) 一盟。r e ( m l + 咒1 ，p ) ，e ( o ：一p ) e ( m l ，0 ) ，e ( n l ，o ) 】 = 而1l i e ( 0 ，p ) ，e ( m l ，一p ) 】，e ( n l ，o ) 】 = 击( 陋( o ，p ) ，【e ( m l ，一p ) ，e ( n l ，o ) 】 + e ( o ，p ) ，e ( n l ，o ) 1 ，e ( m l ，一p ) 1 ) = 暑【e ( 佗1 ，p ) ，e ( m l ，一p ) 】一鲁 e ( o ，p ) ，e ( m t + n l ，一p ) g ：- 章量子环面上s k e w 导子李代数的中心扩张 1 6 e ( m l + 9 2 1 jp ) ，e ( o ，一p ) 】 一赢 陋( o ，p ) ，e ( m i + n l ，o ) 】，e ( 0 ，一p ) 】 = 赤