（基础数学专业论文）局部凸hausdorff空间中有效点的存在性定理.pdf

内蒙古大学硕士学位论文 局部凸h a u s d o r f f 空间中有效点的存在性定理 摘要 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，c 是e 中的凸锥。c 是由凸锥c 在 e 中定义的一个偏序。本文首先利用c 给出了“c 一局部完备”的定义，并 讨论了“c 一局部完备”与“局部完备”、“c 一序列完备”间的关系在特殊的 情形下，本文还比较了条件“集合a 是c 一局部完备”与条件“a 关于b 是 局部d r o p 完备的”之间的强弱关系。 另外，本文利用“c 一局部完备”的性质建立了局部凸h a u s d o r f f 空间中 的有效点的存在性定理。并在这一定理的基础上，借助“c 一局部完备”严格 地弱于“局部完备”这一性质推广了局部凸h a u s d o r f f 空间中的p h e l p s 引理 和e k e l a n d 变分原理。最后本文给出了局部凸h a u s d o r f f 空间中的p a r e t o 有 效性定理。 关键词：局部凸h a u s d o r f f 空间，有效点的存在性定理，p h e l p s 引理 e x i s t e n c et h e o r e mo fe m c i e n tp o i n t s i nl o c a l l yc o n v e xh a u s d o r f fs p a c e s a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，l e teb eal o c a l l yc o n v e xh a u s d o r f fs p a c e ，a n dca c o n v e xc o n ei ne ，a n d ct h ep a r t i a lo r d e r i n gd e f i n e d e db yc f i r s t ，t h e c o n c e p to ft h ec l o c a l l yc o m p l e t ei sd e f i n e db y ca n dt h er e l a t i o n s h i p o fc o n c e p t so ft h el o c a l l yc o m p l e t e ，t h ec s e q u e n t i a lc o m p l e t ea n dt h e c l o c a l l yc o m p l e t ea r ed i s c u s s e d n e x t ，ae x i s t e n c et h e o r e mf o rt h ee f f i c i e n tp o i n t si nl o c a l l yc o n v e x h a u s d o r f fs p a c e si so b t a i n e db yu s i n go ft h ep r o p e r t i e so ft h ec - l o c a l l y c o m p l e t e o nt h eb a s i so ft h i st h e o r e m ，w eg e n e r a l i z et h ep h e l p sl a m m a a n dt h ee k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei nl o c a l l yc o n v e xh a u s d o r f fs p a c e s b e c a u s et h ec o n c e p to ft h ec - l o c a l l yc o m p l e t es t r i c t l yw e a k e rt h a nt h e c o n c e p to ft h el o c a l l yc o m p l e t e f i n a l l y ，w ee s t a b l i s ht h ep a r e t oe f f i c i e n c y t h e o r e m1 l 】1 d e rt h ea n o t h e rc o n d i t i o n k e y w o r d s ：l o c a l l y c o n v e xh a n s d o r f fs p a c e ，e x i s t e n c et h e o r e mo fe f f i - c i e n tp o i n t s ，p h e l p sl a m m a i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得由苤直盔堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签 日 指导教师签名毖 期：多鸣掣日期：兰翠鱼生 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 ， 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名 日 巧州 ， 指导教师签名 日期 毒，7 岔 御7 占i 牛 内蒙古大学硕士学位论文 序言 有效点的存在性定理是优化领域中一个重要的定理，在运筹学和最优化的研究方向 上有着广泛的应用2 0 0 2 年郑喜印教授把该定理推广到一般的拓扑线性空间( 定理2 2 9 ) ， 郑教授利用一个含有有界基的闭凸锥定义的偏序得到了一般的拓扑线性空间中的不依赖 于z o r n 引理的有效点的存在性定理本文引入。e 一局部完备”的概念，建立了局部凸 h a a s d o r f f 空间中的一个有效点的存在性定理该定理同定理2 29 相比较。我们对空间 加强了条件，要求e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，但同时对凸锥、基和j 4 n ( z 一口) 均放 宽了要求，定理2 29 中条件要求锥是闭凸锥和基是有界基，定理2 2 1 0 仅要求g 一局部 闭凸锥和有界类基。同时，把e 一序列完备弱为e 一局部完备( 命题2 2 5 ) ，所以就局部 凸h a u s d o r f f 空间来讲我们得到的定理2 2 1 0 与定理2 2 9 相比解决了更为广泛的问题， 也就拓宽了优化理论在局部凸空间的应用范围另一方面，有效点的存在性定理在几何 意义上与p h e l p s 引理、e k e l a n d 变分原理、d r o p 定理以及p a r e t o 有效性定理有许多相 似之处，许多人对它们进行了推广或比较了相互间的关系本文也在这个研究方向做了 一些工作 1 9 7 4 年r r p h e l p s 首次提出了b a n a c h 空问中的p h e l p s 引理，同年e k e l a n d 提 出b a n a c h 空间中的一个变分原理，后人称之为e k e l a n d 变分原理，它是非线性泛函分析 中的一个重要定理2 0 0 3 年ahh a m e l 推广得到序列完备的局部凸h a u s d o r f f 空间中的 p h e l p s 引理和e k e l a n d 变分原理2 0 0 5 年丘京辉教授又把p h e l p s 引理和e k e l a n d 变分 原理推广到了一般的局部凸h a u s d o d t 空间本文在建立局部凸h a u s d o r f f 空间中有效点 的存在性定理时，发现利用。e 一局部完备”可以在局部凸h a u s d o r f f 空间得到一个条件 更弱的p h e l p s 引理，并且举出一个例子来说明该引理是丘京辉教授所得p h e l p s 引理的 严格推广同时在比较它与丘京辉教授所建立的e k e l a n d 变分原理时，得到了一个比其 更强的局部凸h a u s d o r f f 空间中的e k e l a n d 变分原理同样的方法，本文还得到了一种新 的形式下的局部凸h a u s d o r f f 空间中的p a r e t o 有效性定理 本文主要完成了以下几点工作； l ，类似于郑喜印教授定义的“g 一序列完备。，本文提出了。e 一局部完备。的概念， 并比较了“局部完备”、“g 一局部完备”和4 e 一序列完备”之间的关系发现。c 一局部完 备”严格地弱于。局部完备。和。c 一序列完备。； 2 、详细讨论了“e 一局部完备”集合的性质在证明的过程中还发现了局部凸h a u s - d o r f f 空间中局部闭集和“e 一局部完备”集间的关系，并讨论了乘积空间中的。c 一局部 1 内蒙古大学硕士学位论文 完备”集与子空间中的。g 一局部完备”集间的联系； 3 、本文利用“e 一局部完备”建立了局部凸h a u s d o r f f 空间中的一个有效点的存在性 定理与郑喜印教授建立的有效点的存在性定理相比，本文加强了对空间的要求，但由 于。e 一局部完备”严格弱于“c 一序列完备”，所以本文的有效点的存在性定理从解决问 题的范围和适用的方法上具有一定的特色同时，本文还利用局部理论的一般证明思路。 通过建构圆盘的方法重新证明了该定理的正确性； 4 ，本文利用“e 一局部完备”建立了局部凸h a u s d o r f f 空间中的p h e l p s 引理，并证明 了该引理是丘京辉教授在局部凸h a u s d o r f f 空间中建立的的p h e l p s 引理的严格推广； 5 ，本文把“c 一局部完备”与贺飞在2 0 0 5 年提出的“a 关于b 是局部d r o p 完备的一 这两个概念概念作了比较，发现当a 是局部闭凸集且目誊c l ( a b ) 时“a 关于b 是局 部d r o p 完备的”可以推出a 是。c 一局部完备”的； 6 、本文给出了局部凸h a u s d o r f f 空间中的e k e l a n d 变分原理和p a r e t o 有效性定理， 并证明了该e k e l a n d 变分原理是丘京辉教授在局部凸h a u s d o r f f 空间中所建立的e k e l a n d 变分原理的严格推广 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章基础知识 51 1圆盘与局部完备的介绍 定义1 1 1 ( i t l 定义3 2 1 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 的子集，称b 是 e 的圆盘，如果b 是绝对凸的有界集 命题1 1 2 ( 【1 】命题3 2 2 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 的圆盘，则 e s = ( s p a n b ，p b ) 是一个赋范线性空间，其中s p a n b 是日张成的线性子空间，p 日是由 b 生成的m i n k o w s k i 泛函，而且范数p 且所诱导的e 售上的范数拓扑总是强于e 上的 原拓扑在e b 上的限制 定义1 1 3 ( 【1 】定义3 , 2 4 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 的圆盘，称b 是 e 的b a n a c h 圆盘，如果e b 是一个b a n a c h 空间 命题1 1 4 ( 2 0 命题1 4 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 的圆盘，如果对 于口中的每一个序列( z 。】，均有墨。2 - n x 。按e 上拓扑收敛于b 中的元素，则口是 e 的一个b a n a c h 圆盘反之也成立， 定义1 1 5 ( 1 1 定义5 1 1 ，定义5 1 1 4 ，定义5 1 1 8 ，定义：5 1 1 9 ) 设e 是局部凸 h a u s d o r f f 空间， 称序列( ) ce 局邦收敛于。e ，如果存在e 的圆盘b ，使得 。) 在e 吾中收 敛于z ； 称序列( z 。) ce 是局部c a u c h y 列，如果存在e 的圆盘b ，使得 z 。 是e s 中的 c a u c h y 列； 称z e 是ace 的局部极限点，如果存在序列 。) ca ，使得 z 。) 局部收敛于 z 一 称集合a c e 是局部闭的，如果a 的局部极限点都在a 中 称空间e 是局部完备的，如果三中的每一个局部c a u c h y 列都是局部收敛的； 称集合ace 是局部完备的，如果a 中的每一个局部c a u c h y 列均局部收敛于 中元素； 包含集合a 的所有局部闭集的交集称为a 的局部闭包，记为l c l ( a ) 集合a 的局部极限点的全体做成的集合称为a 的局部序列闭包，记为工s c f ( a ) 显然，l 3 一c l ( a ) cc l ( a ) 3 内蒙古大学硕士学位论文 定理1 1 6 ( 1 1 ，其中i i i 见【2 0 】命题1 6 ) 关于上述定义有以下结果：在局部凸 h a u s d o r f f 空间中： ( i ) 局部完备集的局部闭子集是局部完备，局部完备集是局部闭的； ( i i ) 局部c a u c h y 列是c a u c h y 列，局部收敛列一定收敛，进而序列闭集是局部闭集， 序列完备集是局部完备集； ( i i i ) 局部c a u c h y 列若收敛则一定局部收敛； ( i v ) 设e 是可度量的局部凸空间，则局部收敛列与收敛列等价，局部c a u c h y 列与 c a u c h y 列等价，从而闭集、序列闭集和局部闭集等价，完备集，序列完备集和局部完备 集等价； ( v ) 局部闭集的交是局部闭的 定理1 1 7 ( f 2 0 1 推论1 7 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 的局部完备的圆 盘，则b 是e 的b a n a c h 圆盘 定理1 1 8 ( ( 1 ) ( 2 ) 见 1 】命题51 6 ，( 3 ) ( 4 ) 见【2 0 命题1 8 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f 空间，则以下条件等价： ( 1 ) e 是局部完备空间； ( 2 ) e 中每个闭圆盘是b a n a c h 圆盘； ( 3 ) e 中每个序列闭圆盘是b a n a c h 圆盘； ( 4 ) e 中每个局部闭圆盘是b a n a c h 圆盘 命题1 1 9 ( 【1 2 命题13 ) 设e 是局部凸h a u s d o r 空间，a 是e 的局部闭子集， 则对于每个圆盘b ，a n e 日在丘0 中是闭的 引理1 1 1 0 ( 2 0 】引理l1 0 ) 设( e 1 ，n ) ，( 易，1 2 ) 是两个拓扑线性空间，令e = e 1 e 2 ，r 是e 上的乘积拓扑，则对于e 中的网“奶，蛳) ) 畦d ，( ，y 6 ) 二- ( z o ，y o ) 的充 分必要条件是二马知且蜘一珈 引理1 1 1 1 ( 【1 命题513 ) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，则以下结果等价： ( 1 ) ( z 。) 局部收敛于o ； ( 2 ) ( 。一z ) 局部收敛到0 点； ( 3 ) 存在递增的正实数序列( 口。) 满足一+ o o ，使得( 口。( z 。一z ) ) 在e 中收敛到 0 点 命题1 1 1 2 ( 1 2 l 命题1 4 ) 设( e 1 ，n ) ，( e 2 ，见) 是局部凸h a u s d o r f f 空间，令e = e ，xe 2 ，r 是e 上的乘积拓扑，则e 中的序列“z 。，鼽) ) 。( 3 0 ：。在( e ，f ) 中局部收敛于 4 内蒙古大学硕士学位论文 ( ，”o ) 当且仅当 x 。) 在( e - ，n ) 中局部收敛于2 ：0 且( 鼽) 在( e 2 ， r 2 ) 中局部收敛于f o 命题1 1 1 1 3 ( 【2 0 l 命题1 1 3 ) 设( e l ，下1 ) ，( e 2 ， r 2 ) 是局部凸h a u s d o r f f 空间，令e = e - e 2 ，r 是e 上的乘积拓扑则e 中的序列( ( z 。，鼽) 器l 是( e ，r ) 中局部c a u c h y 列的充分必要条件是 。 是( e l ，丁1 ) 中的局部c a u c h y 列且 蜘) 是( e 2 ，记) 中的局部 c a u c h y 列 命题1 1 1 4 ( 【2 0 命题1 1 4 ) 设( e 1 ，n ) ，( e 2 ，乃) 是局部凸h a u s d o r t t 空间，令e = e 1 e 2 ，f 是e 上的乘积拓扑又设a 皇a 1xa 2ce ，其中a lce 1 ，a 2ce 2 ，则a 是 ( e ，r ) 中局部完备集( 局部闭集) 的充分必要条件是a 。是( e 1 ，n ) 中的局部完备集( 局 部闭集) 且a 2 是( 岛，见) 中的局部完备集( 局部闭集) 在定理1 1 6 ( i i ) 中提到序列完备集( 序列完备空间) 是局部完备集( 局部完备空间) 且序列闭集是局部闭集，但反过来不成立，见下面的例子 例1 1 1 5 ( 【l 】例5 1 1 2 和( 4 】例3 1 ) 对于空间( c o ，a ( c o ，h ) ) ( 弱拓扑叮( c 0 ，1 1 ) 的定 义见 2 】) ，令s = 仁c o ：0z0 。= 1 我们有以下结果： ( 1 ) 空间( c o ，口( c 0 ，i i ) ) 是局部完备的但不是序列完备的； ( 2 ) 集合s 是( c o ，口( c 0 ，f - ) ) 中的局部闭集但不是( c o ，a ( c o ，f 1 ) ) 中的序列闭集； ( 3 ) 集合s 是( c o ，a ( c o ，1 1 ) ) 中的局部完备集但不是( c o ，口，f - ) ) 中的序列完备集； 根据定理1 1 6 ，我们可以证明下面结论： 推论1 1 1 6 在局部凸h a u s d o r f f 空间中，局部完备集的交是局部完备的 证明：设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，设a ，b 是e 中的局部完备集，由定理1 1 6 知a ，b 是e 中的局部闭集，并且a n b 是e 中的局部闭集，因此a n 目是 和b 的 局部闭子集，所以再由定理1 1 6 就可以得到anb 是e 中的局部完备集 命题1 1 1 7 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，e 中的序列 z 。) 局部收敛到z o e 则对于任意的一e ，都有( z 。+ 一 局部收敛到z o + 一 证明： 由于( z 。 在e 中局部收敛到2 ：0 ，所以存在e 中的圆盘，使得( z 。 在 e 中收敛到2 0 ，这里的m i n k o w s k i 泛函q 是e 中的范数，因此z 。! 与。o 令g 为彬u t z 7 ) 的绝对凸闭包，则g 是e 中的圆盘设q g 是g 的m i n k o w s k i 泛函，则口g 是1 1 g 中的范数，并且! 乌。o 所以 口g ( + z ) 一( x 0 + z ，) 】= q a ( x 。一x o ) _ o m o o ) 5 内蒙古大学硕士学位论文 即z ，。+ z 7 与x o + 2 7 7 这也就是说( z 。+ 一) 局部收敛到z o + 一 命题1 1 1 8 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，b 是e 中的局部完备集( 局部闭集) ， 则： ( i ) 对于任意的d r ，a b 也是e 中的局部完备集( 局部闭集) ； ( i i ) 对于任意的2 7 e ，z + b 也是e 中的局部完备集( 局部闭集) 证明：( i ) 若q = 0 ，结论显然成立否则设 z 。 是a b 中的局部柯西列，显然 ( ：z 。) 是b 中的局部柯西列因为b 是局部完备集，所以存在：t o b ，使得 ：z 。) 局 部收敛到z o ，所以 z 。 局部收敛到d 。o a b 故a b 也是e 中的局部完备集 ( i i ) 设f ) 是。+ b 中的局部柯西列，则存在e 中的圆盘，使得 。) 是e w 中 的何西列设( 。) c b ，使得z n = z + ，v n n 令g 为i 矿u p ) 的绝对凸闭包，则g 是e 中的圆盘我们可以证明 。 是冶中 的柯西列 事实上，由于 x 。 是b y 中的柯西列，所以ve 0 ，存在n n ，当m ，n n 时， 有z m z 。e w 故当m ，几 n 时， 一蜘= ( z 。一x ) 一( z 。一x ) j 20 m x n e wce g 即( y 。) 是e 0 中的柯西列 因为b 是局部完备集，所以存在y o b ，使得 。) 局部收敛到y o ，所以据命题 l1 1 7 z 。) ( z 。= y n + 。，v n n ) 局部收敛到蜘+ 。b + z 故b + x 也是e 中的局部 完备集 根据以上的证明过程和命题1 11 7 ，本命题中有关。局部闭集”的证明是显然成立 的 命题1 1 1 9 设 x n ) 是局部凸h a u s d o r f f 空间e 中一局部柯西列，且f z 。 有子列 z 。；) 局部收敛于x 0 e ，则 z 。) 局部收敛于。o 证明： 由于 。) 是e 中的局部柯西列，故存在e 中的圆盘b ，使得 。) 是e 售 中的柯西列由于 2 。) 局部收敛于z o ，故存在e 中的圆盘s ，使得 z 。) 在冶中收敛 于z o 令g 为b u s 的绝对凸闭包，则g 为e 中的圆盘，同时 z 。) 是e a 中的柯西列且 z 。) 的子列 卫。) 在e g 中收敛于勒因此 。在e a 中收敛于。o 所以说 z n 局部 6 内蒙古大学硕士学位论文 收敛于z o 命题1 1 2 0 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间， z 。) 是e 中任一局部柯西列，则对于 任意的十可西数列( k ) ， t 。z 。) 仍是e 中的局部柯西列 证明： 由于 z 。) 是e 中的局部柯西列，故存在e 中的圆盘，使得扛。) 是赋 范线性空间e w 中的柯西列很容易证明 t 。z 。) 是赋范线性空间e 中的柯西列，因此 。z 。) 是e 中的局部柯西列 51 2 有关k ( b ) 和d r o p 的基础知识 定义1 2 1 ( 9 ) 设e 是线性空间，x 0 e ，b 是e 的凸子集，称单点集( ) 与 b 的并的凸包为2 ：0 与b 生成的一个d r o p ，记为d ( x o ，b ) ，即d ( x o ，b ) 垒c o ( b u z o ) 定理1 2 2 ( 6 】引理5 1 )设e 是赋范线性空间，b 是e 的有界凸子集，满足 p 聋bk ( b ) 皇 。= t b ：t 0 ，b b ) 若b 是闭的，则k ( b ) 是闭凸集；若b 是完备 的，则k ( b ) 是完备集 定理1 2 3 ( 【6 】引理5 4 ) ( 文中没有给出证明) 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空闻，b 是e 的有界凸子集，满足0 聋b k ( b ) 皇忙= t b ：t 0 ，b b ) 若b 是局部闭的，则 ( b ) 是局部闭凸集；若b 是局部完备的，则k ( b ) 是局部完备集 证明： 由b 是局部闭的推出k ( b ) 是局部闭凸集的证明部分见文 1 2 】引理5 3 。我 们只证明另一部分 设b 是局部完备的， z 。) 是k ( b ) 中任一局部柯西列则存在e 中的圆盘，使 得 z 。) 是e w 中的柯西列这里w 的m i n k o w s k i 泛函q 是e 中的范数，不妨设 w ) b ( 否则，取w u b 的绝对凸闭包代替w 即可) 由于b 是局部完备的，据定理1 1 6 知b 是局部闭的注意到b n e 日= b ，由命题 l j l 9 知b 在e b 中是闭的据k ( b ) 的定义，我们假设 = k 6 。，k 0 ，k b ，y n n ( i ) 如果e n ， k ：礼n ) = 0 ，则存在 。) 的子列 k 。) ，使得当 一时k 。一0 ， 则当i o 。时z = h ，b m - ! - 0 因而当凡。o 时。= k k ! 与0 ( b ) ，即 ( ) 局部收敛于0 ( i i ) 如果t n ， k ：n n ) 0 ，记目垒t n ， k ：n n 则k 7 0 ，v n n ，由于 柯西列是有界的，所以存在p 0 ，使得( z 。) 口，v n 又因为b 在e b 中是闭的， 7 内蒙古大学硕士学位论文 且0 芒b ，所以存在6 0 ，使得q w ( b ) d 0 ，v b b 所以我们就有 a 。6 a 。q w ( b n ) = q w ( a 。6 。) = 口。( z 。) p ，v n n 于足 k ) c 叩，钮 由于h ， 】是紧的，故存在 h 的子列 h ，使得k 。一h h ，乳所以当i o 。 时，( k 。一a o ) b 。一0 注意到 a 。：b 。) 。n 仍是e w 中的柯西列，所以 a o b 。) = a 。，b 。) + ( o a 。) b 。， 是e 中的柯西列由于a o r l 0 ，所以 h 。) 也是e 中的柯西列，从而 b n ， 是一局部柯西列由题设b 是局部完备的知，存在b o b ，使得 k ) 局部收敛于6 0 所以 z 。， = a 。b m 局部收敛于b b o k ( 日) 据命题1 11 9 知， z 。 局部收敛于 a o b o ( b ) 由此可知k ( b ) 是局部完备集 命题1 2 4 设e 是线性空间，b 是e 的非空凸子集，则k ( b ) + k ( b ) = k ( b ) 证明：对于任意的0 1 ，x 2 k ( b ) ，设x 1 = t l b l ，0 2 = t 2 6 2 ，其中t l ，t 2 0 ，b 1 ，b 2 b 若z 1 ，2 7 2 至少有一个为口，则z l + x 2 k ( s ) 显然成立故不妨设z l ，x 2 均不为口，则 t l ，t 2 ，b 1 ，b 2 均不为日于是 0 1 + 2 2 = h b x + t 2 5 2 = ( t 1 + t 2 ) ( 石6 1 + i 6 2 ) f t l + t 2 ) b ck ( b ) 所以g ( s ) + k ( b ) ck ( b ) 另一方面由于0 k ( b ) ，故k ( b ) + g ( s ) dk ( b ) 所以 k ( b ) + k ( s ) = k ( b ) 命题1 2 5 ( 1 3 】引理2 2 ) 设e 是线性空间，b 是e 的非空凸子集，满足0 譬b ，o e ：卢 0 记b 0 垒p b + z o 如果a d ( z o ，b ) 且。萑b o ，则k ( b ) = k ( b o 一2 0 ) c ( b 0 一o ) 定理1 2 6设e 是线性空间，。o e ，b 是e 的非空凸子集，满足日聋b 则 d ( z o ，b ) = 知+ k7 ( b 一知) 其中7 ( b ) 皇 z = t b ：0 t l ，b b ) 8 内蒙古大学硕士学位论文 证明：对于任意的z d ( x o ，日) ，存在t 0 ，t l ，b b ，使得 。= t x o 十( 1 一t ) b = 。o 一( 1 一t ) x o + ( 1 一t ) b = z o + ( 1 一t ) ( 6 一z o ) x o + k f b z o ) 因此，d ( x o ，b ) c2 7 0 + k ( b 一2 0 ) 另一方面，对于任意的z z o + k 7 一z o ) ，存在t ( 0 ，l lb b ，使得z = z o + t ( b 一：t o ) = ( 1 一t ) x o + t b d ( x o ，b ) 因此z o + k ( b x o ) c d ( x o ，b ) 所以，d ( z o ，b ) = 。o + k ( b x o ) 9 内蒙古大学硕士学位论文 第二章局部凸h a u s d o r f f 空间中有效点的存在性定理 有关向量值最优化解的问题，郑喜印教授在2 0 0 2 年把其推广到一般的拓扑向量空 间，并给出了拓扑向量空间中有效点的存在性定理本章我们在一般的局部凸h a u s d o r f f 空间讨论有效点的存在性定理，并得出了更具特色的结果 5 2 1 关于凸锥的一些概念 定义2 1 1 ( 5 】定义2 1 ) 设e 是拓扑线性空间，称g 是e 中的锥，如果对于任意 的c 和a 0 ，都有蛔c 显然对于e 中任意的锥c ，一定有p c 称e 是e 中的凸锥，如果对于任意的1 ，9 2 c 和a l ，a 2 0 ，都有a l 1 + a 2 抛c 如此定义的凸锥c 必然是一个锥，而且是一个凸集事实上，对于任意的v c 和a 0 ， 据本定义我们有a y = a y + 0 y c ，故e 是一个锥；c 的凸性是显然的反之，若e 是 锥且是凸集，易证e 是凸锥 称锥c 是带基点的，如果g n ( 一c ) = 毋 定义2 1 2 ( 4 定义1 1 ) 设e 是拓扑线性空间，g 是e 中的凸锥称e 中的集合 e 是e 的基，如果e 是凸集，0 隹d ( o ) 并且 c = k ( o ) 垒 p x ：。e ，p 0 ) 称集合e 是凸锥e 的有界基，如果e 是e 的基，且e 是e 中的有界集实际上， 如果e 是凸锥g 的基，则e 一定是带基点的 设z co ( - c ) 若z 口，则由z c 且一z c 知，存在p l 0 ，p 2 0 和 日1 ，目2 e ，使得z = p t 6 t ，一r = p 2 0 2 显然p l 0 ，p 2 0 且日1 0 ，如p 由e 是凸集 知，口= z z = p l p l + p 2 0 2 ( p l + p 2 ) e 从而日e ，这与目隹d ( e ) 矛盾! 定义2 1 3 ( 文【5 】) 设e 是拓扑线性空间，g 是e 中的凸锥通过c 可按照以下方 法定义e 中的序。： 对于任意的z ，”e ，如果y z c ，则称z 。y 并称。为由凸锥g 定义的序 显然，上述由凸锥c 定义的序。满足以下性质； ( 1 ) 对于任意的z e ，都有z 。z ( 自反性) ； ( 2 ) 如果z ，口，2 e ，满足z 。v ，y 。2 ，那么可以得到z 。2 ( 传递性) ； 再若c 是带基点的，即c n ( - c ) = o ，那么。还满足； ( 3 ) 如果z ，y e ，满足z 。y ，口。o ，那么可以得到z = v ( 反对称性) 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 也就是说由凸锥g 定义的序。是一个偏序 定义2 1 4 ( 4 】定义11 ) 设e 是拓扑线性空间，c 是e 中的凸锥ace ，称a a 是a 的一个有效点，如果当z a 且x 。a 时，一定有a 。o ，即a n ( a c ) ca + c 注2 1 5 显然，若c 为带基点的凸锥，则上述定义等价于a n ( d c ) = o 记m ( a ，c ) 或m i n ( a ，c ) 为a 中的有效点集 按照上面的方法，我们可以在局部凸h a u s d o r l t 空间e 中定义锥，凸锥和凸锥的基， 凸锥的有界基以及和凸锥有关的序和有效点有效点集。 定义2 1 6 设e 是局部凸h a u s d o r 任空间，e 是e 中的凸锥，称g 中的集合e 是 c 的类基，如果e 是凸集，口岳l s c ( e ) 并且 c = k ( e ) 皇 雄：z e ，尹o 称集合e 是凸锥g 的类有界基，如果e 是e 的类基，且e 是e 中的有界集显 然，基一定是类基类似于定义2 1 2 如果e 是凸锥e 的类基，则c 一定是带基点的 命题2 1 7 设是局部凸h a u s d o r f f 空间，g 是e 中的凸锥，ace ，对于任意的 “【“2 a ，如果a 2 ca l ，则 a n ( 啦一c ) c a n ( a 1 一c ) 证明；对于任意的z a n ( a 2 一e ) ，有z a 且z ( a 2 一g ) ，则z 龟a 2 ，故由毛 的传递性知z 。a l ，即z ( a l c ) 因此z a n ( a 1 一e ) ，所以 a n ( 口2 一c ) c a n ( a l e ) 2 2局部凸h a u s d o r f f 空间中有效点的存在性定理 本节我们给出局部凸h a u s d o r f f 空间中有效点的存在性定理首先介绍文 4 】推广了 的拓扑向量空间中有效点的存在性定理 定义2 2 1 ( 4 】定义3 1 ) 设e 是拓扑线性空间，c 是e 中的凸锥，ace 称j 4 是 c 一序列完备的，如果a 中任意一个按照由凸锥g 定义的序。是递减的柯西序列均收 敛于a 中一点 注；以下所提到的个集合中的序列是g 一递减的均指按照凸锥e 定义的序。是 递减的 】1 内蒙古大学硕士学位论文 显然，如果a 是序列完备的，则a 一定是e 一序列完备的 类似于e 一序列完备的定义，我们提出局部凸h a u s d o r f f 空间中c 一局部完备的概 念； 定义2 2 2 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，g 是e 中的凸锥，ace 称以是e 一 局部完备的，如果a 中任意c 一递减的局部柯西序列均局部收敛于a 中一点 定义2 2 3 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，c 是e 中的凸锥，ace 称z e 是 a 的c 一局部极限点，如果存在c 一递减的序列 。) ca ，使得( z 。) 局部收敛到嗣称 a 是e 一局部闭的，如果a 的e 一局部极限点都在a 中 显然，e 一局部极限点一定是局部极限点；局部闭集一定是c 一局部闭集 定理2 2 4 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，e 是e 中的凸锥，则以下命题成立： ( i ) g 一局部完备集是c 一局部闭的； ( i i ) c 一局部闭集的交仍是c 一局部闭集； ( i i i ) c 一局部完备集的c 一局部闭子集是e 一局部完备集； ( i v ) e 一局部完备集的交是g 一局部完备集； ( v ) c 一局部完备集和e 一局部闭集都具有平移不变性 证明：( i ) 设a 是e 中的g 一局部完备集，且oe e 为a 的e 一局部极限点，则存 在a 中递减的序列 z 。) 局部收敛到x 因此 z 。) 是a 中递减的局部柯西列由于a 是c 一局部完备的，故存在z o a ，使得 z 。) 局部收敛于o o 注意到e 是h a u s d o r f f 空 间，因此2 7 = z o 这表明 z 。) 的g 一局部极限点z a ，所以j 4 是e 一局部闭的 ( i i ) 设a ，b 是e 中的e 一局部闭集，且x 为a n b 的c 一局部极限点，则存在a n b 中递减序列 z 。) 局部收敛到z ，由于 z 。) ca 且 z 。) cb ，而a ，b 是e 中的c 一局 部闭集，故z a 且z b 即z ( a n b ) 所以a n 且是e 中的e 一局部闭集 ( i i i ) 设a 是e 中的c 一局部完备集，b 是a 的c 一局部闭子集设( z 。) 是b 中递 减的局部柯西列，则 z 。) 也是a 中递减的局部柯西列，由于a 是c 一局部完备的，故 存在z a ，使得 z 。 局部收敛到z ，又由于b 是c 一局部闭的，故z b 所以b 是 e 一局部完备的 ( i v ) 设a ，b 是e 中的c 一局部完备集，由( i ) 知a ，b 是e 中的c 一局部闭集，再 由( j i ) 知a n b 是e 中的c 一局部闭集，故a n b 既是j 4 的c 一局部闭子集，又是b 的g 一局部闭子集，所以由( i i i ) 得到a n b 是e 中的g 一局部完备集 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 ( v ) 由命题111 8 的证明可知，该结论是显然成立的 根据局部完备、c 一序列完备和c 一局部完备的定义，我们可以证明下面的命题： 命题2 2 5 设e 是局部凸h a u s d o r f f 空间，e 是e 中的凸锥，a c e 则： ( 1 ) a 是局部完备的辛a 是g 一局部完备的； ( 2 ) a 是g 一序列完备的号a 是e 一局部完备的 证明： 结论( 1 ) 是显然成立的因为局部柯西列均为柯西列，并且局部柯西列若收 敛则一定也局部收敛，所以结论( 2 ) 也是显然成立的 注； 本文的例3 14 可以说明命题2 2 5 中( 1 ) 的逆命题不成立，也就是说存在 是e 一局部完备但不是局部完备的集合；另一方面我们用本文的例1 1 1 5 说明命题2 2 5 中( 2 ) 的逆命题不成立例ll _ 1 5 中集合s 是( c o ，j ( c 0 ，1 1 ) ) 中的局部完备集但不是 ( a ( c d ，f 1 ) ) 中的序列完备集令c = c o ，则s 中的所有序列都是c 一递减序列，因此s 亦不是( c 0 ，口，1 1 ) ) 中的c 一序列完备集又局部完备集都是e 一局部完备集，所以s 是 ( c o ，( c 0 ，f 1 ) ) 中的c 一局部完备集但不是( c o ，a 湎，f 。) ) 中的c 一序列完备集 命题2 2 6 设富是局部凸h a u s d o r i t 空间，c 是e 中的凸锥，且局部完备的凸集 e 是e 的有界基则e 中的任意局部闭子集都是c 一局部完备的 证明：设a 是e 中任一局部闭子集， z 。 是a 中任一g 一递减的局部柯西列则 由z 。z l ，v n n ，可知 2 。 c a f - ( 。l c ) ，且 。 在e 中是有界的我们只黎证 明( x 。) 局部收敛于a 中的点取序列( t 。，c r + 和序列 以) c o ，使得 = z 1 一如如，vn n 因为p 薯西( e ) ，所以存在平衡的p 点邻域y ，使得 y n 0 = 0 由于 “) 是有界的，故存在6 0 ，使得 t 。= o l 一n 占k vn n 又因为y n 0 = d ，所以有 詈靠聋e ，v