（基础数学专业论文）交连续、拟连续及超连续dcpo的研究.pdf

戴向梅 交连续、拟连续及超连续d e p o 的研究 中文摘要 本文对交连续d c p o 、拟连续d c p o 及超连续d c p o 的性质进行了深入的研究利用内蕴 拓扑和代数学的技巧作为工具探讨了交连续d c p o 、拟连续d c p o 以及超连续d c p o 在某种意 义下的遗传性和不变性，并研究了它们之间的关系，主要结果如下： 首先，证明了交连续d c p o 对于s c o r 开集和s c o t t 闭集均为可遗传的，并给出反例说 明交连续d c p o 对于主滤子不可遗传；证明了在交连续d c p o 上添加最大元，去掉或添加最 小元后仍为交连续的；证明了交连续d c p o 的收缩核仍然是交连续的：给出了d c p o 交连续 当且仅当每一主理想交连续这结论的直接证明；构造反例说明了所有主滤子交连续的 d c p o 本身不一定是交连续的，由此说明了d c p o 的交连续性与其主滤子的交连续性之间一 般没有必然的蕴涵关系 其次，证明了拟连续d c p o 对于s c o a 开集和s c o t t 闭集都是可遗传的；证明了拟连续 d c p o 的收缩核仍为拟连续的；给出了d c p o 成为拟连续d c p o 的两个充分条件并举例说明了 利用该条件判断d c p o 拟连续性的优越性，还构造了反例说明了它们不是必要条件 然后，说明了超连续( 代数) d c p o 必为连续( 代数) d c p o ，并构造了相应的反例说明连续 ( 代数) d c p o 未必是超连续( 代数) d c p o ；证明了超连续( 代数) d c p o 对于s c o a 开集是可遗传的； 证明了超连续d e p o 的有限积保持超连续性；另外还证明了超连续d c p o 的子空间仍然是超 连续的d c p o 最后，利用d c p ol 上内蕴拓扑的分离性、紧性等研究了交连续d c p o 、拟连续d c p o 、 超连续d c p o 之间的关系，证明了超连续d c p o 为交连续的且区间拓扑是t 2 的，证明了对于 完备格而言，超连续等价于交连续且区间拓扑是t 2 的 关键词：交连续；拟连续；超连续；d o m a i n ；s c o r 拓扑；l a w s o n 拓扑：区间拓扑； 主理想；主滤子；遗传性 一 塑丛丕堂堡主笙壅 一一一2 _-_-_-_-_-_-_-一一一一 a b s t r a c t t h i sp a p e rc a r r i e so nd e t a i l e ds t u d i e so fm e e tc o n t i n u o u sd c p o s ，q u a s i e o n t i n o u sd c p o sa n d h y p e r c o m t i n u o u sd c p o s i nt e r m so fi n t r i n s i ct o p o l o g i e sa n da l g e b r a i cm e t h o d sw ee x p l o r e h e r e d i t ya n di n v a r i a n c eo fm e e tc o n t i n u o u sd c p o s ，q u a s i c o n t i n u o u sd c p o s a n dh y p e r c o n t i n u o u s d c p o si ns o m er e a s o n a b l es e n s e w ea l s od i s c u s s t h er e l m i o n so ft h e m m a i nr e s u l t sa l e ： f i r s t l y , m e e tc o n t i n u o u sd c p o sa l eh e r e d i t a r y f o rs c o t to p e no rc l o s e ds u b s e t s ，a c o u n t e r e x a m p l ei sc o n s t r u c t e d t os h o wt h a tm e e tc o n t i n u o u sd c p o sa l en o th e r e d i t a r yf o r p r i n c i p a lf i l t e r s d c p o so b t a i n e db ya d d i n gat o p e l e m e n to rab o t t o me l e m e n tt om e e tc o n t i n u o u s d c p o sr e m a i nm e e tc o n t i n u o u sd c p o s r e t r a c t i o n so fm e e tc o n t i n u o u sd c p o sa l e a l lm e e t c o n t i n u o u sd c p o s ad i r e c tp r o o ff o rm ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mt h a tad c p oi sm e e tc o n t i n u o u s i f fe v e r yo fi t sp r i n c i p a li d e a l si sm e e tc o n t i n u o u si sg i v e n ac o u n t e r e x a m p l ei sc o n s t r u c t e dt o s h o wt h a tad c p om a yn o tb em e e tc o n t i n u o u se v e nw i t he a c hp r i n c i p a l f i l t e rb e i n gm e e t c o m i n u o u s 。s ot h e r ei sn oi m p l i c a t i o nr e l a t i o n sb e t w e e nam e e tc o n t i n u o u sd c p oa n d i t sp r i n c i p a l f i l t e r si ng e n e r a l s e c o n d l y , i ti sp r o v e dt h a tq u a s i c o n t i n u o u sd c p o sa r eh e r e d i t a r yf o rs c o t to p e no rc l o s e d s u b s e t sa n dt h a tr e t r a c t i o n so fq u a s i c o n t i n u o u sd c p o sa r ea l lq u a s i c o n t i n u o u sd c p o s t w o s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rad c p ot ob eq u a s i c o n t i n u o u sa r eg i v e n a ne x a m p l ei s c o n s t r u c t e dt o s h o wt 王l a tt h eu s i n go ft h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sm e n t i o n e da b o v ei sc o n v e n i e n ta n de f f i c i e n t w e a l s oc o n s t r u c tc o u n t e r e x a m p l e st os h o wt h a tt h et w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa l en o tn e c e s s a r y t h i r d l y , i ti sp r o v e dt h a th y p e r c o n t i n u o u s ( a l g e b r a i c ) d c p o sa r ec o n t i n u o u s ( a l g e b r a i c ) d c p o sa n dt h a th y p e r c o n t i n u o u s ( a l g e b r a i c ) d c p o sa l eh e r e d i t a r y f o rs c o t to p e ns u b s e t s a c o u n t e r e x a m p l ei sc o n s t r u c tt os h o wt h a tt h ec o n v e r s eo ft h ea b o v ea s s e r t i o nd o e sn o th o l d w e a l s os h o wt h a tf i n i t ep r o d u c t sa n ds u b - d c p o so f h y p e r c o n t i n u o u s ( a l g e b r a i c ) d c p o s h y p e r c o n t i n u o u s ( a l g e b r a i c ) d c p o s a lea l s o f i n a l l y , w i t hs e p a r a t i o na n dc o m p a c t n e s so fs o m ei n t e r v a lt o p o l o g i e s ，w ee x p l o r er e l a t i o n s o fm e e tc o n t i n u o u sd c p o s ，q u a s i c o n t i n u o u sd c p o sa n dh y p e r e o n t i n u o u sd c p o s i ti ss h o w n t h ma h y p e r c o n t i n u o u sd c p oi s m e e tc o n t i n u o u sa n di t si n t e r v a lt o p o l o g y0 ( p ) i sh a u s d o r f f f o ra c o m p l e t el a t t i c el ，h y p e r c o n t i n u i t yo fl i se q u i v a l e n tt om e e tc o n t i n u i t yo flw i t ht h ei n t e r v a l t o p o l o g y0 ( l ) b e i n gh a u s d o r f f k e y w o r d s ：m e e tc o n t i n u o u s ；q u a s i c o n t i n u o u s ；h y p e r c o n t i n u o u s ；d o m a i n ；s c o t tt o p o l o g y ； l a w s o nt o p o l o g y ；i n t e r v a lt o p o l o g y ；p r i n c i p a li d e a l ；p r i n c i p a lf i l t e r ；h e r e d i t y 戴向梅 交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 符号 1 8 上b 个x 上x d c p o s u pd x 文献【1 6 】中，作者针对d c p o 提出了子空间概念并研究了连续d o m a i n 的遗传性和某种 意义下的不变性文献【2 8 】中，作者利用主理想的连续性刻画了d c p ol 的连续性文献 3 3 】 中，作者研究了局部d c p o 和相容d c p o 的交连续性文献 1 7 1 ，作者利用主理想的交连 续性间接刻画了d c p ol 的交连续性 本文第二章则是在前人研究的基础之上，对交连续d c p o 进行了深入的研究，首先证明 交连续d c p o 对于s c o a 开集和s c o a 闭集均为可遗传的，并给出反例说明交连续d c p o 对于 主滤子不可遗传；其次证明在交连续d c p o 上添加最大元，去掉或添加最小元后仍然为交 连续的；最后证明交连续d c p o 的收缩核是交连续的d c p o 本章还给出d c p o 交连续当且仅 当每一主理想交连续的直接证明；举例说明d c p o 交连续不能由主滤子的交连续得到因 此说明d c p o 的交连续性与其主滤子的交连续性不存在必然的联系 另一类特殊的d c p 卜拟连续d c p o 是由文献【3 】通过将点与点之间的“ ”关系推广到集 合与集合之间的“ ，则记个b = 个b 和上b = 儿若b = 个b ( 或b = 山b ) ，则称b 为上集( 或下集) 定义1 2 2 【1 l设( p ，) 是偏序集，a 非空且a p 若va ，b e a ，了t e a 使asc 戴向梅 交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 7 且bsc ，则称a 为p 的定向集 定义1 2 3 【1 1 设( p ，) 是偏序集，若p 的每一定向子集d 均有上确界( 记为s u pd ) ， 称p 为定向完备偏序集( 简称d c p o ) 定义1 2 4 【l j设( p ，) 是偏序集，对于p 中的任意元x ，y ，若对p 中的任一定向集 d ，当y s u pd 时存在d d 使xsd ，则称x 逼近于y ( 也称x 双小于y ) 记作x y 若 x x ，则称x 为p 的紧元，用k ( p ) 表示p 的紧元集，对x p ，记8 x = y ply x ) ，f f x = y px y ) 定义1 2 5 【1 1 设l 为一个d c p o ( 1 ) 称l 为连续d o m a i n ，如果v x l ，0 x 定向且x = s u p8 x ( 2 ) 称l 为代数d o m a i n ，如果v x l ，上xr 、k ( p ) 为定向集且x = s u p ( $ xnk ( p ) ) 定义1 2 6 【1 1 设p 是一个d c p o ，如果u p 满足t y 0 条件： ( 1 ) u 为上集； ( 2 ) 对任意定向集d ，若s u pd u 则有d n u 囝； 则称u 为s c o t t 开集p 上的全体s c o t t 开集构成一个拓扑，称为s c o t t 拓扑，记为o ( p ) ；s c o t t 开集的余集称为s c o t t 闭集，p 的s c o t t 闭集全体记为r ( p ) 定义1 2 7 【u 设l 为偏序集，以 l 上xlx e l ) 为开予基生成的拓扑称为上拓扑，记 为v ( l ) 以 l 个xlx l ) 为开子基生成的拓扑称为下拓扑，记为c o ( l ) 定义1 2 8 t 1 】设l 为一个偏序集，l 上的s c o t t 拓扑与下拓扑的上确界称为l 上的 l a w s o n 拓扑，记为九( l ) ，即九( l ) = o ( l ) vc o ( l ) 定义1 2 9 【1 1 设p 和l 为d c p o ， 映射f p l 称为s c o t t 连续，若v u 6 ( l ) ， 有 f - i ( u ) o ( p ) 注1 2 i t l l 映射f 是s c o t t 连续的等价于f 保定向并，即f ( s u pd ) = s u p 坟d ) ，其中 d p 定向 定义1 2 1 0b 6 设p 为一个d c p o 如果p 的非空子集a 中的每一定向集d 在p 中的上确界总在a 中，则称a 是p 的子d c p o 定义1 2 1 1p 6 1 定向完备偏序集p 的子集a 称为p 的一个子空间，如果满足 ( 1 ) a 为p 的一个子d c p o ； ( 2 ) o ( p ) la = o ( a ) ( 即集合a 上的s c o t t 拓扑恰是p 的s c o t t 拓扑在a 上的限制) 定义1 2 1 2 【1 q设d 和e 是两个d c p o ，若存在s c o t t 连续映射e ：d 寸e ，p ：e d 使得p 。e = 1 0 ，e 。p - i e ，则称d 是e 的嵌入子d c p o 扬州大学硕士论文 定义1 2 1 31 1 6 】设d 和e 是两个d c p o ， 使得c 。i = 1 d ，i 。c - 1 e ，则称d 是e 的商d c p o 定义1 2 1 41 1 6 】设d 和e 是两个d c p o ， 使得s 。r = l d ，则称d 是e 的收缩核 8 一 若存在s c o t t 连续映射i ：d 寸e ，c ：e d 若存在s c o t t 连续映射r ：d 寸e ，s ：e d 定义1 2 1 5 【1 1设l 为偏序集，在l 上定义二元关系 为：v x ，y l ，x y 当且仅 当y e i n t v ( v ) l x 若v x e l ， y l ：y x ) 定向且x = s u p y l ：y x ) ，称l 为超连续的d c p o 若 y e l ：y y & y x ) 定向且x = s u p y l ：y y & y sx ) ，则称l 为超代数的d c p o 定义1 2 1 6 4 1设l 为d c p o 称l 为交连续的，若v x l 及定向集d ，当x s u p d 时，有x ec l 口( 土d 厂、j x ) ，即x 为s dns x 的s c o t t 闭包点 定义1 2 1 7 1 1设l 为d c p o ，f 和g 为l 的非空子集，如果个g i f ，则称f g l 的一族非空子集称为定向的，如果对于族中任意两个元f l ，f 2 ，存在族中的元f 使f l ，f 2 f 称p ( l ) a ) 中的元g 双小于h ，如果任一定向集d l ，当s u p d e i h 时有dc 、i g 彩， 并记为g h ，当h = x ) 时，简记为g x 类似地，若g = y ) ，记为y h 定义1 2 1 8 f 1 1 设l 为d c p o ，如果v x l ，集族f i n ( x ) = flf 有限，f x ) 都是定 向族，且当x 诺山y 时，存在f e f i n ( x ) 使y 正个f ，则称l 为拟连续的d c p o 易见，l 为拟连续d c p o 当且仅当如下三点同时成立： ( 1 ) l 为d c p o ； ( 2 ) f i n ( x ) 定向，v x l ； ( 3 ) n l fif e f i n ( x ) c _ l x ，v x l 为了后面证明的需要，下面给出几个关于d c p o 连续性方面的引理： 引理1 2 1 4 1 设p 为连续的d c p o ，则p 为交连续的d c p o 引理1 2 2 t 1 1 设p 为连续的d c p o ，则p 为拟连续的d c p o 引理1 2 3 t 1 1 设p 为d c p o ，若p 是交连续的且p 是拟连续的，则p 为连续的d c p o 引理1 2 4 1 4 一个d c p ol 交连续当且仅当vu o ( l ) ，v x l ，有个( u 厂、山x ) o ( l ) 下面几个引理是关于d c p o 的连续性及其内蕴拓扑的 引理1 2 5 【1 6 1 设p 为d c p o ，u 为p 中的s c o t t 开集，则u 为p 的子空间 引理1 2 6 【1 6 1 设p 为d c p o ，f 为p 中的s c o t t 闭集，则f 为p 的子空间 戴向梅 交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 9 m 引理1 2 7 【1 6 】设p 为连续d o m a i n ，u o ( p ) ，则u 为p 的连续子空间 引理1 2 8 【1 6 1设p 为连续d o m a i n ，f r ( p ) ，则f 为p 的连续子空间 引理1 2 9 【1 6 】 设p 为代数d o m a i n ，u o ( p ) ，f r ( p ) ，则u ，f 均为代数d o m a i n 引理1 2 1 0 1 1 】连续d o m a i n 的收缩仍为连续d o m a i n 引理1 2 1 1 【1 1 设p 为连续( 代数) d c p o ，则下列各条等价 ( 1 ) p 为超连续( 代数) d o m a i n ； ( 2 ) vx ，y e p , x v ( p ) y 当且仅当x y ； ( 3 ) v ( p ) = a ( p ) 下面两个引理是关于拓扑空间的非常有用的结论 引理1 2 1 2 2 6 1 若y 为拓扑空间x 的开子空间，则y 中的开集必为x 中的开集 引理1 2 1 3 ( 紧t 2 拓扑的恰当性) 设( x ，t 1 ) 和( x ，t 2 ) 是拓扑空间且百l i ；2 如果t 2 是 紧的，t l 是t 2 的，则t l = 1 ：2 证明 作恒等映射i d ：( ) ( ，t 2 ) 一( x ，下1 ) ，由于t i t 2 ，则i d 是连续映射下证t 2 1 7 1 ，只 要证t 2 的任一闭集f 必为t l 闭集，事实上，由于f 为t 2 闭集且t 2 是紧的，则由紧性的对闭 子集的遗传性可知f 为t 2 紧集，又连续满映射保持紧性，故f = i d ( f ) 为1 7 1 紧集再由t l 是t 2 的且t 2 空间的紧集必为闭集可知f 为f l 闭集因此1 7 2 s1 7 1 ，从而1 7 1 = 1 7 2 结论成立 扬州大学硕士论文 第二章交连续d c p o 1 0 本章对交连续d c p o 进行了系统的研究，首先证明交连续d c p o 对于s c o t t 开集和s c o t t 闭集均为可遗传的，并给出反例说明交连续d c p o 对于主滤子不可遗传：其次证明在交连 续d c p o 上添加最大元，去掉或添加最小元后仍为交连续的：最后证明交连续d c p o 的收缩 核是交连续的d c p o 本章还给出d c p o 交连续当且仅当每一主理想交连续的直接证明；举 例说明d c p o 交连续不能由主滤子的交连续得到 2 1 交连续d c p o 的遗传性 本节证明交连续d c p o 对s c o t t 开集和闭集遗传，构造反例说明交连续性对主滤子不可 遗传 定理2 1 1 若p 为交连续的d c p o ，u 为p 的s c o t t 开集，则u 交连续 证明 要证u 交连续，由引理1 2 4 ，即要证va o ( u ) ，v x u ，有个u ( an 山u x ) o ( u ) 由于p 为d c p o ，u 为p 的s c o t t 开集，则由引理1 2 5 知u 为p 的开子空间，根 据a 6 ( u ) 可得a a ( p ) ，3 l l 玉lp 交连续且xep ，所以( an 上p x ) o ( p ) 再由u 是 p 的开子空间得个p ( a 厂、山p x ) r 、u 1 3 ( u ) 下证个p ( a 厂、山p x ) nu = t o ( an 上u x ) 首先显然an 山p x = an 上ux 设ma t u ( an 上ux ) ，则存在n an 山ux = an 山px 使m 1 1 故m e 个p ( an 山p x ) r 、u ，从而个u ( an 0ux ) 个p ( an 上p x ) 厂、u 反过来，设sa l p ( an 上p x ) nu ，则s u 且存在t a 厂、山p x = an 山ux 使s t ，由 此得s 个u ( a 厂、山ux ) ，l p ( an 山p x ) nu 个u ( an 占ux ) 于是个p ( an 山p x ) 厂、u = 个u ( a n 上u x ) 再由个p ( ar 、山p x ) 厂、u 6 ( u ) 知个u ( an 山ux ) o ( u ) ，所以由引理1 2 4 得u 交连续 推论2 1 1 若p 为交连续的d c p o ，a 为p 的若干紧元构成之集，则u = 个a 为交 连续的d c p o 证明显然v k a ，个k = f lk g ( p ) ，从而u = k - ) k a f lk = i a eo ( p ) ，根据定理2 1 1 即得u 为交连续的 设p 为有限的d c p o ，则p 的所有上集都是连续的d c p o ，从而为交连续的d c p o 但对于 戴向梅 交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 一般交连续的无限d c p op 而言，p 的主滤子不必为交连续的 例2 1 。1 设p = t ，x u a i ，j ，b 。，t ii ，j ，s ，t = 1 ，2 ) 在p 中定义“”关系使具 有自反性和传递性且满足： 对任意的正整数i ，j ，s ，t ，k 有a l ，l x t ，b l ，t x ，a i ，j a i , k b 。，t ( j k t 且s ，u b 。，l = 山 b 。+ l ，tls ，t = l ， 2 ) ，l l b 。，t = 山 b 。，t is = 1 ，2 ，t = 2 ) 由此可见对p 的任一元m 有i l m 定向且逼近 于m ，从而p 为连续d c p o 由引理1 2 1 得p 为交连续的d c p o 易见p 中主滤子个a i ，l = t ，x u a l 。jj = 1 ，2 ) 是典型的不交连续的完备格( 见文献 【1 】中0 4 5 ) ，从而不是交连续的d c p o 注2 1 1 文献 2 8 】例4 2 也是一个交连续格但其中存在不交连续的主滤子的例那 里的p 是一个带有最大、小元的连续( 代数) d o m a i n ，从而由引理1 2 1 知p 为交连续的 d c p o 但是对p 中的元x 有l x = 【x ，y 】= c ii i - 1 ，2 u x ，u ，y ) 为文献【1 】中0 4 5 的典型 的不交连续的例 定理2 1 2 若p 为交连续的d c p o ，f 为p 的s c o t t 闭集，则f 交连续 证明要证f 为交连续的，由引理1 2 4 即要证va o ( f ) ，v x f ，有个f ( an 山f x ) o ( f ) 由于p 为d c p o ，f 为p 的s c o t t 闭集，由引理1 2 6 知f 为p 的闭子空间由于a 6 ( f ) ，可得存在a o ( p ) 使a = a nf 由引理1 2 4 以及p 为交连续得个p ( a + 厂、jp x ) o ( p ) ，从而个p ( a + n 山p x ) 厂、f g ( f ) 下证个p ( a r 、上p x ) 厂、f = 个f ( a 厂、山f x ) 任取m 个f ( a 厂、山f x ) ，则存在1 1 a 厂、山f x 使m 1 1 且m f ，从而n a ，n f 且 1 1 x 再由a = a r 、f 知n a + ，又n x ，贝u1 1 a n 上p x ，又m 1 1 贝| jm 个p ( a + 厂、山p x ) ， 再由m f 即得m 个p ( a + n 山p x ) 厂、f ，从而有个f ( a 厂、山fx ) 个p ( a n 山p x ) 厂、f ； 反过来，设s 个p ( a + n 上p x ) r 、f ，则s f 且存在t a n 上p x 使s t ，故t a + 且t x ，由于f 为s c o t t 闭集，从而为下集，则t f ，故t a r 、f = a ，则t ar 、山f x ，又s t 且s f ，从而s i f ( an 山f x ) ，n i p ( a n 山p x ) nf 个f ( an 上fx ) 因此个p ( a + 厂、上p x ) 厂、f = 个f ( an 上fx ) ，故个f ( a 厂、0fx ) 6 ( f ) ，则f 交连续 扬州大学硕士论文 2 2 交连续d c p o 的不变性 1 2 本节主要证明交连续d c p o 上添加最大元或最小元均为交连续的d c p o ，还证明交连续 d c p o 的收缩核为交连续的d c p o 定理2 2 1 一个d c p ol 为交连续的当且仅当lu 1 ) 为交连续的，其中l 为添加 的最大元 证明“仁”：设lu 1 ) 为交连续的d c p o ，由于 1 ) a ( lu 1 ) ) ，故l 为lu 1 ) 的 s c o t t 闭集，根据定理2 1 2 ，交连续d c p o 的s c o t t 闭集为交连续的知l 为交连续的 “”： 设l 为交连续的d c p o ，要证lu 1 ) 为交连续的，即要证v x lu 1 ) ， v 定向集d lu 1 ) ，当x s u p d 时有x e ll u l ( 上dr 、s x ) ，分三种情况： 1 。若x = l ，当x s u pd 时有1 d ，则上dr 、山x = lu 1 ，故x e ll u 1 ) ( 山dnh ) ； 2 。若x l 且1e d ，贝i j 上dr 、上x = 山x ，也有x c ll u l ( 上dn 上x ) ； 3 。若x el 且1 诺d c _ l ，当x - - - - - s u pd 时，由于l 是交连续的，有x c ll ( 山dr 、山x ) 又 因为l 为lu 1 ) 中的s c o t t 闭集，从而x c ll ( 上dn 上x ) = c ll u l ( j d 厂、k ) 综合l o ，2 0 ，3 0 得l u 1 ) 交连续 命题2 2 1设l 为d c p o ，且l 带有最小元0 ，则o ( l ) = o ( l o ) ) u l ) 证明设u 仃( l ) ，则u = l 或u l 若u = l ，则u 6 ( l 0 ) u i a 若u l ， 下证u 巧( l o ) ) ，由于 o ) 为s c o t t 闭集，从而由引理1 2 5 知l o ) 为开子空间又0 甚 u ( 否则u = l ) 且u o ( l ) ，故u o ( l 0 ) ) ，即o ( l ) o ( l o ) ) u l 反过来，设v g ( l 0 ) ) u l 若v = l ，则v o ( l ) ；若v o ( l o ) ) ，由l 0 ) 为开子空间知v o ( l ) 从而o ( l o ) uls1 3 ( l ) ，因此1 3 ( l ) = g ( l 0 ) ) u l 定理2 2 2 设l 为有最小元0 的d c p o ，则l 交连续当且仅当l o ) 交连续 证明“”：由于 0 ) 为s c o t t 闭集，从而l 0 为s c o t t 开集又由定理2 1 1 及l 交连续得l o ) 交连续 仁”：设l o ) 交连续，要证l 交连续由引理1 2 4 即要证v u o ( l ) ，v x l 有 个l ( un 上l x ) o ( l ) 事实上，若u = l ，则有个l ( un 山l x ) = 个l ( 山l x ) = l o ( l ) ；若u l ，且x = 0 ，则有个l ( u 厂、上l x ) = 彩o ( l ) ；若u l 且x o ，根据命题2 2 1 可得u 6 ( l o ) ) 又由l o ) 交连续及u l 得 tl ( un 上l x ) = 个l ( t jr 、山l 、 o x ) = 个l 、 o ) ( u 厂、土l 、 o x ) a ( l o ) ) 6 ( l ) 戴向梅 交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 总之vu o ( l ) ，vx l 有个l ( un 山l x ) o ( l ) ，故由引理1 2 4 得l 交连续 推论2 。2 1设l 为d c p o 则l 交连续当且仅当lu o 交连续，其中0 为添加的 最小元 证明：因lu o 是有最小元的d c p o ，故由定理2 2 2 得lu o ) 交连续当且仅当l 交 连续 定理2 2 3 交连续d c p ol 的收缩核m 还是交连续的d c p o 证明：由定义1 2 1 6 ，要证m 交连续，即任取x m ，定向集d m 当x s u pd 时， 要证x ec l 。( m ) ( 山m dr 、山m x ) 由闭包的定义只要证对于x 的任一s c o t t 开邻域u 有un ( , i m d n 山m x ) 囝 事实上，由m 为l 的收缩核知存在s c o t t 连续映射r ：l m ，j ：m 专l 使r j = 1 m ，由 于j 是s c o t t 连续的，则由注1 2 1 知j 保序且保定向并，因此j ( d ) l 定向，j ( x ) j ( s u p d ) = s u pj ( d ) ，因x = r ( j ( x ) ) e u o ( m ) ，r 为s c o t t 连续映射，故rd ( u ) c o ( l ) ，从而j ( x ) rd ( u ) e o ( l ) 再由l 交连续得j ( x ) e l 。( l ) ( 上l j ( d ) 厂、上l j ( x ) ) 及r 。1 ( u ) r 、( 上l j ( d ) nj ，l j ( x ) ) o 取 a er 。1 ( u ) n ( 山l j ( d ) 厂、山l j ( x ) ) ，则存在d e d 使a j ( d ) j la j ( x ) 和r ( a ) eu 又r 为s c o t t 连 续，保序，从而r ( a ) r 。j ( d ) = d d ，r ( a ) ra j ( x ) = x 且r ( a ) em ，故r ( a ) un ( 4 m dr 、4 m x ) 彩因此x e l 。( m ) ( 上m df 、4 m x ) ，即m 交连续 推论2 2 2 交连续d c p o 的嵌入子d c p o 和商d c p o 均为交连续的d c p o 证明：由定义1 2 1 2 和定义1 2 1 3 及定理2 2 3 即得 2 3 交连续d c p o 的进一步刻画和相关反例 本节给出d e p o 成为交连续d c p o 的进一步等价刻画并构造反例说明d c p o 的交连续性 不能由主滤子的交连续性得到 定理2 3 1 【1 7 1设p 为d c p o ，则p 为交连续的当且仅当v x p ，上x 为交连续的 证明此定理实为文 1 7 1 推论4 1 ，这里给出一个直接证明如下： t t j ”；v x p ，4 , x 为p 的主理想，从而为p 的s c o t t 闭集，由定理2 1 2 ，交连续d c p o 的s c o t t 闭集山x 为交连续的d c p o t t 仁， 要证p 为交连续的d c p o ，由定义1 2 1 6 只要证v x p , 任一定向集d 冬p ，当x s u pd 时有x e c l 。( p ) ( 山p dn 山p x ) 扬州大学硕士论文 1 4 事实上，令s u pd = d ，则由条件得f = 妇为交连续的d c p o ，又由于x s u pd = d 且d a f 为定向集，则xc o l 。( f ) ( j ，f d 厂、上f x ) ，由kd = 如d ，山f x = 上p x 以及引理1 2 6 可得 e la ( f ) ( 山fd 厂、lfx ) e l 口t v ) ( cp d 厂、上p x ) ，从而x e l 。( p ) ( 山v dn 山p x ) ，故p 交连续 推论2 3 1 设p 为d c p o ，则p 为交连续的当且仅当v f c f ( p ) ，f 为交连续的 证明“j ”：由定理2 1 2 即得 “仁”：v x p ，贝, j c x r ( p ) ，由条件可得上x 为交连续的，由定理2 3 1 ，p 交连续 注2 3 1 定理2 3 1 中主理想不能换成主滤子，有如下两个方面： ( 1 ) 若d c p op 交连续，则p 的主滤子不必交连续，反例参见上面例2 1 1 和注2 1 1 ( 2 ) 对于一个d c p op 而言，即使p 的任一主滤子都是交连续的，p 也不必交连续，反例 如下： 例2 3 1 设p = 0 ，a l ，a 2 ，l u m ) ，在p 上定义偏序“”使0 a 墨a j 1 ( i j = o ，1 ，2 ) ，m l ，其他都不可比较，则p 是d c p o 注意l m = m ，1 ，1 0 = o ，a l ，a 2 ，1 ) ， l a i = a i ，a i + l ，1 ) ( i _ 1 ，2 ，) ，1 1 = 1 ) ，故p 的任一主滤子都是连续d c p o 由引理1 2 1 得p 的任一主滤子都是交连续的下说明p 不交连续，事实上，取定向集d = 0 ，a l ， a 2 ，1 ) ，x = m ，l y , i j c dr 、c x = o ，从而有e l 。( 、l dn 山x ) = g ，因此x 诺e l 。( 山dt 3s x ) ，这 说明p 不是交连续的d c p o 定理2 3 2设p 为d e p o ，则p 是交连续的当且仅当vu c o ( p ) ，p 的任一下集a 有个( u 厂、a ) = u x a t ( ur 、c x ) o ( p ) 证明“”：由于p 为交连续的d c p o ，则vu 6 ( p ) ，v x p ，有个( ur 、s x ) g ( p ) ， 因p 中s c o t t 开集的任意并还为s c o t t 开集，从而u x a 个( u 厂、c x ) c o ( p ) ，因为a 为下集，则 上a = a ，故个( una ) = 个( ur 、c a ) = 个u x a ( ur 、s x ) = u x e a 个( unc x ) c o ( p ) t 仁：要证p 交连续，由引理1 2 4 ，要证vu o ( p ) ，v x e 有t ( un 山x ) 6 ( p ) 事 实上，由于x p ，s x 为p 的下集，由假设条件可得个( u 厂、c x ) c o ( p ) ，故p 交连续 戴向梅交连续、拟连续及超连续d c p o 的研究 第三章拟连续d c p o 本章重点考察了拟连续d c p o 的一些性质，得到了拟连续d c p o 对于s c o t t 开集和s c o t t 闭集都是可遗传性的；证明了拟连续d c p o 的收缩核仍为拟连续的d c p o ；给出了d c p o 成为 拟连续d c p o 的两个充分条件并举例说明了利用该条件判断d c p o 拟连续性的优越性，还构 造了反例说明了它们不是必要条件 3 1 拟连续d c p o 的遗传性 本节要证明拟连续d c p o 关于s c o t t 开集和s c o t t 闭集均具有遗传性，为此，先给出如下 引理： 引理3 1 1 设s 为拟连续的d c p o ，u 为s 的s c o a 开集，则v x a u ，存在有限集f su 使得f x 证明设u 为s 的s c o t t 开集，v x e u ，任一定向集d ，当s u p d e 个x 时，由u 为上集知 s u p d u ，再由s c o a 开集的定义1 2 6 知dnu