（通信与信息系统专业论文）基于小波变换的信号降噪技术的研究.pdf

南京邮电大学硕：j ：学位论文 摘要 摘要 小波分析是- - i - 正在迅速发展的新兴学科。小波变换在时间和频率上都有很好的局部 性。小波分析与很多学科的实际应用紧密联系在一起。当前数学界和工程界正在不断探讨 有关小波的新理论、新方法以及新应用。 随着小波理论的日益完善，它在信号降噪领域已经得到越来越广泛的应用。本论文首 先讨论了小波分析的基本理论，介绍了小波变换的定义、多分辨逼近的概念和离散二进小 波变换的快速分解与重构算法。其次讨论了四种降噪方法：模极大值降噪法、阈值降噪法、 平移不变量法、基于各尺度下小波系数相关性降噪法。通过理论分析和m a t l a b 仿真实验可 以知道，当信号中含有较多奇异点时，可以采用小波变换模极大值降噪法，但这种方法计 算速度太慢，在应用中需要综合考虑降噪效果和计算速度；当信噪比较高时，可以选用阈 值降噪法，这种方法计算速度快，具有广泛的适应性：当信号中含有若干个不连续点时， 可以采用平移不变量法，但计算速度要比阈值降噪法慢；当需要分析信号的边缘特征时， 可以选择小波系数相关性降噪法。 在论文中，针对若干算法提出了改进措施，并将改进算法与原方法进行了比较。通过 m a t l a b 仿真实验说明，改进算法能有效地提高降噪效果。 关键词：小波分析信号降噪阈值模极大值m a t l a b 仿真 南京邮电大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sar a p i d l yd e v e l o p i n ga r e ao fr e s e a r c h w a v e l e tt r a n s f o r m i sg o o da tl o c a l i z a t i o ni nb o t hf r e q u e n c ya n dt i m ed o m a i n w a v e l e ta n a l y s i si s a s s o c i a t e dc l o s e l yw i t hm a n yo t h e rs u b j e c t s n o w a d a y sm a t h e m a t i c a la n de n g i n e e r i n g f i e l d sa r ep a y i n gm u c h i n t e r e s tt ot h ed e v e l o p m e n to fn e wt h e o r ya n dm e t h o d c o n c e r n i n gw a v e l e tw i t hi t sa p p li c a t i o n w a v e l e tt h e o r yh a sb e e nw i d e l yu s e di ns i g n a ld e 。n o i s i n gd u et oi t st h e o r e t i c a l c o m p l e t e n e s s f i r s t l yt h i st h e s i si n t r o d u c e sw a v e l e tt h e o r y ，t h ed e f i n i t i o no f w a v e l e tt r a n s f o r ma n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s t h et h e s i st h e ns t u d i e st h e m e t h o d o f f a s td e c o m p o s i t i o na n ds i g n a lr e c o n s t r u c t i o nw i t h d i s c r e t ed y a d i c w a v e l e tt r a n s f o r m a f t e rt h a tt h et h e s i st u r n st ot h ed i s c u s s i o no ft h ef o u rm e t h o d s o f s i g n a ld e n o i s i n g t h a ti s ，t h em o d u l u s m a x i m u md e n o i s i n g ，t h ew a v e l e t t h r e s h o l dd e n o i s i n g ，t h et r a n s l a t i o n i n v a r i a n ta n ds s n f ( s p a t i a l l ys e l e c t i v e n o i s ef i l t r a t i o n ) t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dm a t l a bs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t m o d u l u sm a x i m u md e 。n o i s i n gi ss u i t a b l ef o rs i t u a t i o n sw h e no r i g i n a ls i g n a ls u f f e r s f r o mm a n y s i n g u l a rl o c a t i o n s b u ti t sc o m p u t a t i o n a l s p e e d i ss os l o wt h a t d e n o i s i n ge f f e c t i v e n e s sa n dc o m p u t a t i o n a ls p e e dm u s tb ec o m p r o m i s e da saw h o l e ： t h r e s h o l dd e n o i s i n gi sa p p l i c a b l ew h e ns n ri sh i g h i t sc o m p u t a t i o n a ls p e e di s r a t h e rf a s ts ot h a ti th a sf o u n dw i d ea p p l i c a t i o n s ：t i ( t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t ) c a n b eu t i l i z e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a to r i g i n a ls i g n a li sw i t hs e v e r a ld i s c r e t e l o c a t i o n s b u ti t sc o m p u t a t i o n a ls p e e di ss l o w e rt h a nt h r e s h o l dd e n o i s i n g ：s s n f c a nb ea p p l i e dw h e ns i g n a l se d g ec h a r a c t e r i s t i c sn e e dt ob ea n a l y z e d t h i st h e s i sp r o p o s e ss o m ei m p r o v e m e n to v e rc l a s s i c a ld e n o i s i n gm e t h o d sa n d c o m p a r e so u ri m p r o v e dn e wm e t h o dw i t ht h eo l d e ro n e s t h em a t l a bs i m u l a t i o nr e s u l t s c o n f i r mt h a to u rm e t h o di se f f e c t i v ea n de n j o y ss o m ea d v a n t a g e si nr e m o v i n gs t r o n g n o i s e s k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，s i g n a ld e n o i s i n g ，t h r e s h o l d ，m o d u l u sm a x i m u m ， m a t l a bs i m u l a t i o n 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名： 名：虹魄型尸 南京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 小波( w a v e l e t ) ，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它 有两个特点：一是在时域具有快速衰减性；二是正负交替的波动性，即直流分量为零。 小波分析是为了克服傅里叶变换的不足而逐渐发展起来的。小波变换作为一种新的多 分辨分析方法，可同时进行时域和频域分析，具有时一频局部化和多分辨特性。它能自动 地随着频率增高而调节成窄的“时窗 和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时 窗”和窄的“频窗 ，以适应实际分析的需要。小波分析由于可以由粗及精地逐步观察信 号，所以被誉为分析信号的“数学显微镜 。 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是近2 0 年来发展起来的一个数学分支。小波分析从一 开始发展就与很多学科的实际应用紧密联系在一起。小波分析的发展推动着许多其他学科 和领域的发展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。小波分析是当前数 值分析、时一频分析、逼近论等诸多学科交叉融合后最完美的结晶。小波分析不仅受到数 学工作者的关注，也引起了工程技术人员的极大兴趣。当前数学界和工程界正在不断探讨 有关小波的新理论、新方法以及新应用。 1 1 d , 波变换的由来 自从1 8 2 2 年傅里叶发表“热传导解析理论 以来，傅里叶变换一直是传统的信号处理 的基本方法。傅里叶变换的基本思想是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信 号从时间域转换到频率域。而人们在分析信号时，常常需要对信号先作时域局部化处理， 传统的傅里叶分析对时一频局部化要求是无能为力的。 为了研究信号在局部时间段的频域特性，1 9 4 6 年，g a b o r 提出了窗口傅里叶变换( 简记 为w f ，i ) 方法。它的基本思想是对信号加窗，然后对窗内的信号进行傅里叶变换。它可以反 映出信号的局部特性，对弥补傅里叶变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这 个问题。因为实际应用中高频信号持续时间短，而低频信号持续时间较长，我们希望对高 频信号采用小时间窗进行分析，对低频信号采用大时间窗进行分析。w f t 分析信号时，其 时一频窗总是形状相同且面积相同的，显然不能满足我们分析信号的要求。 小波变换继承了窗口傅里叶变换的思想，同时又对信号的时一频局部化处理提出了新 南京邮电大学硕1 ：学位论文 第一章绪论 的理论小波变换中窗口大小不变，但窗口形状可以改变，是一种时间窗和频率窗都可改 变的时频分析方法，在时频域都具有很强的表征信号局部特征的能力。 1 2 小波分析在多个领域的应用 小波理论的发展一直是伴随着实际应用的。小波分析虽然发展历史不长，但已经在多 个领域得到了应用，并取得了引人注目的进展。小波理论的应用主要集中在以下几个方面： 1 、小波分析在信号降噪中的应用 随着小波理论的日益完善，它在信号降噪领域已经得到越来越广泛的应用。目前主要降 噪方法有：阈值降噪、模极大值降噪、基于各尺度下小波系数相关性降噪等。 2 、小波分析在信号处理中的应用 由于小波分析具有局部分析和细化的功能，所以小波分析能揭示信号的间断点、趋势和 自相似性等性质。小波分析还能在没有明显损失的情况下，对信号进行压缩和降噪。 3 、小波分析在图像处理中的应用 图像处理领域是小波分析应用最广泛和最成熟的领域。小波分析在图像数据压缩、去噪、 融合、边缘检测等方面都有着广泛的应用。 4 、小波分析在机械故障诊断中的应用 小波分析已经广泛应用于旋转机械、齿轮、轴承等的状态监测和故障诊断中。采用不同 的小波基函数，并与分形、模糊评判等方法相结合，解决了大量工程实际问题。 5 、小波分析在数字水印中的应用 数字水印是信息隐藏技术的一个重要研究方向。采用小波水印算法大大提高了水印提取 或检测的准确率。 6 、小波分析在语音信号处理中的应用 目前小波分析在语音信号处理中的应用非常广泛。例如信号预处理、语音端点检测、语 音分析与合成等。 7 、小波分析在解积分方程中的应用 小波分析在解积分方程中的应用是积分方程数值解法研究的重大进展。用小波函数作基 底将积分方程离散化所得到的方程组的系数矩阵是稀疏的，这是小波解积分方程的最大优 点。 2 南京邮电大学硕士学位论文 第一章绪论 1 3 小波分析在信号降噪方面的研究概况m 随着小波理论的日益完善，它在信号降噪领域已经得到越来越广泛的应用。m a l l a t 是 最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一。他建立了小波变换快速算法，运用于信 号和图像的分解与重构。m a l l a t 及其合作者又通过l i p s c h i t z 指数可以刻画信号奇异性的 特点，深入研究了小波变换在信号奇异性检测中的应用。即利用信号和噪声在小波变换各 尺度上的不同传播特性，提出了小波变换模极大值降噪方法。该方法在对小波系数的模极 大值处理之后，去除由噪声对应的模极大值点，保留由真实信号所对应的模极大值点，然 后进行信号的重构。然而仅仅利用有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此， 基于模极大值原理进行信号降噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。另外， 模极大值降噪方法计算量也很大。 1 9 9 4 年x u 等人提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法。根据信号与噪声的小波变 换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波。该方法虽然不够精确，但很直接，易于实现。 在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。p a n 等人推导出噪声能量阈值的理论 计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有效方法，使得空域相关滤波算法具有自适 应性。 1 9 9 5 年d o n o h o 和j o h n s t o n e 等人提出了信号降噪的软阈值方法和硬阈值方法，推导出 计算通用阈值的公式和基于s t e i n 无偏估计的s u r e 阈值公式，并从理论上证明了该阈值是 最优的。同年，c o i f m a n 和d o n o h o 提出了平移不变量小波降噪法。g a o 和b r u c e 把d o n o h o 的 软阈值和硬阈值方法进行推广，提出了s e m i s o f t 阈值方法。s e m i s o f t 阈值方法具有比硬阈 值方法连续性好，比软阈值方法有更小的偏差等优点。 1 9 9 7 年j a n s e n 等人采用g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 估计器来估计小波阈值， 从而对图像中的相关噪声进行去除。 1 9 9 8 年d o w i n e 和s ii v e r m a n 提出了多小波的通用阈值公式，同年b u i 和c h e n 把平移不变 量小波降噪推广到多小波的情形。 1 9 9 9 年h s u n g 等人提出一种基于奇异性检侧的降噪方法，与m a l l a t 的模极大值原理降 噪方法类似，但它不进行模极大值检测与处理，因而避免了复杂的重构。它通过计算一个 锥形影响域内小波系数模的和值来估计信号的局部正则性，从而对小波系数进行滤波。该 方法几乎不需要噪声的先验信息，并易于推广到二维图像的降噪。 1 9 9 9 年e j c a n d e s 和d l d o n o h o 建立了脊波( r i d g e l e t ) 变换和曲波( c u r v e l e t ) ，并 3 南京邮电大学硕士学位论文第一章绪论 将它们应用到图像降噪中，与相应的小波方法相比，脊波或曲波的降噪效果更好，特别是 对噪声较为严重的信号，曲波方法可以得到非常好的处理结果。 2 0 0 0 年，在基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布( g e n e r a l i z e dg a u s s i a n d i s t r i b u t i o n ，简记为g g d ) 的假设前提下，c h a n g 等人提出一种针对图像的b a y e ss h r i n k 阈值降噪方法，取得了很好的降噪效果。 最近几年来人们已经在小波降噪方面取得了很多研究成果。本论文主要分析阈值降噪 法、平移不变量法、模极大值降噪、基于各尺度下小波系数相关性进行降噪这四种方法； 并对若干算法进行了一定的改进，将改进算法与原方法进行比较，通过m a t l a b 仿真实验说 明各算法的优劣特性以及适用范围。 4 茸京邮电大学硕士学位论文第二牵小波变换概述 第二章小波变换概述 2 1 小波变换 2 1 1 小波、小波变换的定义2 1 我们在分析确定性时域信号时，通常将其分为平稳信号和非平稳信号。平稳信号的变 _ | | 二比较平缓，通常表现为低频信号；非平稳信号的变化急剧，甚至有突变现象。例如音乐 售号、语音信号、电网中含有用电故障表现的电压信号等，都是非平稳信号。对于非平稳 售号，人们常常需要了解某局部段的时域信号所对应的频谱特性，也常常需要了解某频段 i 勺频谱表现所对应的时域表现。例如对于语音信号，人们希望了解按单词读音将时域信号 分段，分析每段时域信号的频谱特性，以便判断这段信号所代表的单词读音。 所以，人们在分析信号时，常常需要对信号先作时域局部化处理，例如按要求分段， 再作频域分析；也常常需要对信号先作频域局部化处理，例如低频分离处理、频带分离处 理和高频分离处理，再用频域信号的改变来获得所需的时域信号；我们有时还希望时域和 频域都能作出时一频局部化处理，以建立局部时域信号和局部频域信号的对应关系。这些 就是实际需要中所提出的关于短时段时域信号所对应的局部频域特性的要求，即时一频局 部化的要求。 傅里叶变换一直是传统的信号处理的基本方法。仔细观察傅里叶变换的表达式， f ( 缈) = 陟( f 耐a r t ，国r ( 2 - 1 ) 五 我们可以知道傅里叶分析对上述时一频局部化要求是无能为力的。这是因为：一方面，傅 里叶变换要求提供厂( f ) ，f r 的全部信息，即使截取短时段信号厂o ) ，f - - r 2 ，t 2 】，但 f ) 提供的是关于缈r 的全部信息，主要反映这个短时段时域信号的那些局部频域特性 无法知道；另一方面，时域信号厂o ) 的局部改变会影响其，0 ) 的全局改变，f 0 ) 在某个 特定的c o * 处的表现不可能通过局部时域信号得到，它需要提供厂( f ) ，f r 的全部信息，特 别值得注意的是，f p ( f ) 】= 1 ，f 1 p ) 】= i 2 , r ，这清楚得表明：时域中某点的局部变化会影 响频域；同样，频域中某点的局部变化也会影响到全部时域。因此傅里叶分析方法没有时 一频局部化功能。 在实际的时一频局部分析中，需要一种自适应的时一频窗。在分析低频信号时，它的时 5 南京邮i 乜大学硕士学位论文 第二覃小波燹换概述 窗宽而频窗窄：在分析高频信号时，它的时窗窄而频窗宽。这就需要有一个合适的窗函数 来适应这些要求。我们把对模拟信号( f ) 的积分变换 ( 口，6 ) = 少( ，眵曲( f 涉 ( 2 2 ) 称为小波变换，其中小波基函数 y 动o ) = l 口l 啦缈( 讲一b ) ( 2 - 3 ) 是由母小波y o ) 经平移和缩放所产生的一组函数。y ( ，) 称为基本小波函数或母小波，它必 须满足两个条件，即波动性p ( f = o 和衰减性妙( f ) l c o + l f l ) - 1 f g o ) 。 ( 注：有的参考资料中，小波基函数定义为：y 曲o ) = 去y ( 字) 。由于定义的不同，所 得到的时一频窗表现及离散小波变换定义等也不同。但是最终小波理论的结论及应用是一 致的。) 2 1 2 小波变换的白适应时一频窗 在小波变换定义中，小波基函数曲( f ) 是窗函数，它的时一频窗表现了小波变换的时一 频局部化能力。窗函数y 曲o ) 中，记f 为时窗中心，a ，为时窗半径，彩为频窗中心，埘 为频窗半径；特别当口= 1 ，b = o 时，上述标记分别为f y 、y 、。、矿。此时，窗函数沙曲o ) 时一频窗中心为 时窗宽度为 频窗宽度为 时一频窗面积为 + 6 k ) ， 2 a l = 2 a 咿| n ， 2 a m = 2 口驴， 2 ，2 a 珊= 4 a r 驴。 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 对于同一个时窗中心而言，随着频窗中心上移，小波变换的频窗宽度被拉宽，其时窗 宽度相应被压窄。 9 , 4 、波窗函数y 曲( ，) 的参数选择方面观察。当口较大时，频窗中心口自动地调整到 较高的频率中心的位置，且时一频窗形状自动地变为“瘦窄 状；因为高频信号在很短的 6 南京邮电大学硕士学位论文第二覃小波变换概述 时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“瘦窄一时一频窗正符合高频信号的局 部时一频特性。同样，当a 较小时，频窗中心口钆自动地调整到较低位置，且时一频窗形状 自动地变为“扁平 状；因为低频信号在很宽的时域范围内仅有较低的频率含量，所以这 种“扁平 时一频窗正符合低频信号的局部时一频特性。所以小波变换的时一频窗是灵活可 调的，是自适应的。 2 1 3 离散小波变换 在实际应用中，通常将动( f ) 中的连续变量口和6 取作整数离散形式，将吵曲( ，) 表示为 y 似( f ) = 2 j 1 2 u ( 2 j t 一七) ， ( 2 8 ) 相应的小波变换表示为离散小波变换 ( ，后) = 扩( f ) ， ( f ) ) ( 2 9 ) 的形式。 由上式可见，离散小波七o ) 是由小波函数( f ) 经2 7 整数倍放、缩和经整数七平移所 生成的函数族 妙， o ) ) ，七z 。若o ) 满足允许小波条件，则y 肚( f ) 也是允许小波：若y o ) 具有时一频局部化表现，则j ( f ) 也具有时一频局部化表现。若痧0 ) 的频窗中心和频窗宽度 分别为。和矿，则 痧肚) 的频窗中心为彩奉= 2 j ， ( 2 1 0 ) 痧0 ) 的频窗半径为a = 2 a 矿。 ( 2 1 1 ) 离散小波变换 哆( ，七) = p o 眵肚o 净 ( 2 1 2 ) 是关于频率指标，和平移指标七的函数，由 c 厂( f ) ，沙肚o ) ) = 去驴o ) ，痧，如) ) ( 2 1 3 ) 和矿j 白) 的频窗范围可知，经( ，) 作用的小波变换实际上把信号厂o ) 的频率范围夕0 ) 限 制在b 。一一，缈+ 厶。j 子频带内，小波变换结果是这个频带内的时域分量。小波y j ( ，) 是 南京邮电大学硕上学位论文 第二章小波变换概述 一带通函数，小波变换在频域方面的局部化作用由_ ，调节，在时域方面的局部化作用由k 调 节。 我们除了分析小波变换的时一频局部化特点外，还需要构造合适的小波函数。到目前 为止，人们经过不少的探索和尝试，已经构造出多种不同性能的小波函数。例如s h a n n o n 小波、h a a r 小波等。 2 2 多分辨逼近与正交小波级数 2 2 1 函数的多尺度逼近圆 人们熟知和常用的函数多尺度逼近方法，是一种基本的离散逼近方法，在许多领域都 有重要应用。它的基本思想有三部分内容。 第一是在0 尺度下构造关于模拟信号厂o ) l 2 q ) ( l 2 似) 是函数线性空间) 的近似函 数厂。( f ) 。先将时间轴f ( - ，佃) 采用间隔o 作等距离散分划，节点为 。j ，节点编号为 | z ：再将基函数矽( f ) 的整节点平移( f 一七) 定义为关于节点k 处的基函数。这样便可以构 造出0 尺度下的近似函数 f o o ) = c 。o 矽o 一七) 。 ( 2 1 4 ) 第二是在尺度下构造关于模拟信号厂o ) r 似) 的近似函数厂( f ) 。所谓_ ，尺度分划就 是对0 尺度分划的j 次细分，此时的等距间隔为= o 2 ，节点编号仍为k z 。但注意 尺度下的编号为2 j 刀的节点正好对应着0 尺度下的编号为 的节点：此时的基函数办j o ) 是关于o ) 的整数倍平移和放缩的形式 办j o ) = ( 2 ，f 一七) ， ( 2 - 1 5 ) 在歹尺度下，每个节点七仍对应着一个基函数办 ( f ) 。这样便可以构造出_ ，尺度下的近似函 数 7 ( f ) = q 7 九。( f ) 。 ( 2 1 6 ) 第三是要保证j 岭时有厂( ，) 专o ) 。我们应该看出，在尺度，指标和基函数钫o ) 给定的前提下，不同的组合系数芒。 对应着不同的厂( f ) ，这些函数可归为同一类函数， 叠 南京邮电火学硕士学位论文 第二章小波变换概述 它们都是由基函数钫j ( ，) j 表述的这个函数类记为 巧= 厂7 ( ，) i 厂。( ，) = c 。办j ( f ) ，厂( f ) l c r ) ( 2 1 7 ) l鼻e j 显然，巧是一函数线性空间，且是r q ) 的子空间，巧r 俅) 。再变动尺度j f ，因为厂o ) 的近似函数厂，o ) 匕，所以厂7 0 ) 专o ) 从函数子空间角度可以描述为 c 巧c 巧+ 。c r 亿) 。 ( 2 1 8 ) 于是，e j 越是一个嵌套式的子空间逼近序列。不难想象，在每个巧中取定一个关于厂o ) 的近似函数厂o ) ，由此得到的近似函数序列扩7 0 冼。是逼近厂( f ) r 伍) 的。 从上述分析可知，多尺度逼近是用基函数钫 ( f ) j 及组合系数譬1 7 j 构造近似函数厂o ) 的，这种构造形式对7 ( f ) 、# 。7 和钫( f ) j 有限制要求。即要求钫j ( f ) j 满足条件 彳耻。下区。，办啡b ；川2 ， ( 2 - 1 9 ) 其中a 、b 是正整数。匕式也称为r i s e z 基。 2 2 2 多分辨逼近 1 、多分辨逼近m r a 的定义 1 9 8 6 年，s m a l l a t 和y m e y e r 在多尺度逼近的基础上提出了多分辨逼近 ( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称m r a ) 的概念。m r a 是指一串嵌套式子空间逼近序列 e 愆，它满足下列要求： 1 、c 巧c 巧“c c t - l 2 ( r ) j n e z v j2 0 旦巧2r l 2 、巧= 印口船钫jo ) l 办，( f ) = 2 肌矽( 2 ，f 一七) 后z ： 3 、双尺度方程式：矽o ) = 魂( 2 ，一疗) 玩) ，2 ； 4 、侈( ，一七) ) 是r i s e z 基。 ( 2 2 0 ) 从上述条件可知，m r a 在多尺度逼近基础上仅增加了少量条件： 第一，在m r a 中要求办j ( f ) = 2 m ( 2 7 t - k ) ，这是为了使办( f ) 的形状更适宜作局部分 9 雨京邮电大学硕上学位论文第二苹小波变换概述 析的时窗函数，也为了使小波变换的时一频窗具有自适应性。 第二，在m r a 中重点强调双尺度方程式是一种显式的线性关系，而强调双尺度方程有 利于表述子空间y ，间的递推关系，有利于实现快速算法。 2 、m r a 所表明的几个重要事实 ( 1 ) 从双尺度方程式可知，由( f ) 生成了巧，矽o ) 生成了m r a ，矽o ) 是m r a 的生成元。 ( 2 ) 因为巧c 巧+ ，记= 巧+ 巧，即是巧在巧+ 。中的补子空间，所以有 巧+ 。1 1 巧o ，其中，记号“o 表示子空间直和关系。可以把这种关系传递下去，见图 2 一】。 叫万一”罗+ 1 ”一( r )j w ow i w j 图2 - 1l 2 ( r ) 的子空间直和分解关系 所有子空间的总和为 r q ) 2 是 这表明r q ) 可表示为关于子空间的直和分解关系。 ( 2 - 2 1 ) ( 3 ) 记的基函数为秒( f 一七) ) ，则( f ) w o 一定可由k 中的基函数线性表示，即 y o ) = g 。矽( 2 t - n x g 。 ，2 ， ( 2 2 2 ) n e z 其中少o ) 称为小波函数。上式称为y o ) 所满足的双尺度方程。 由此我们可以得到 = s p a n 驴t l , k ( f ) = 2 肌y ( 2 ，一七l 尼z ) ( 2 2 3 ) 因为是一个函数线性小波子空间，它的小波基是杪，j ( ) j ，所以中的小波分量 力7 0 ) 的表述形式为 国，o ) = 矾，少 ( f ) ，k ，j 九 ( 2 2 4 ) 七e z ( 4 ) 任一个( f ) r 伍) 可以分解为各个子空间分量国( ，) e 的直和，即 厂( f ) = 国。( ，) = 吐7 j c ， ( ，) ，可( ，) r q ) ， e z，t z 七t z l n 南京邮电大学硕- j ：学位论文第二章小波变换概述 r 取) = 聊以l c ， o ) i z ，七z ( 2 - 2 5 ) 这是( ，) 的小波展开级数。 ( 5 ) m r a 所确定的小波子空间分解关系r ) = j 国e z 矽j 表明，任一个信号厂( ，) r q ) 的的频 率被分隔为若干互不重叠的子频带的直和。也就是说厂( f ) 在m r a 框架下分解为若干表示 子频带的分量力。o ) 的直和，厂( ，) 的任何局部位置的高频带分量部分或低频带分量部分将分 别表现在不同的小波子空间中。m r a 提供的这种子频带分析方法，是与傅里叶频域分析方 法不同的。m r a 在时域和频域中同时提供了一种多分辨分析方法。 ( 6 ) m r a 为构造小波提供了一个统一框架。从原则上讲，只要给定o ) 和玩) 满足m r a 的要求，只要求出k 打) 并满足下述条件： p o ) = 吃矽亿一刀x 沙o ) = 岛( 2 ，一栉) ， (2-26) l e z 1 ow o = k ， 小波函数杪( r ) 就是存在的且能被构造出来的。 一 2 2 3 正交小波级数和正交小波变换 1 、正交小波级数 设矽o ) 生成m r a ，称矽o ) 为尺度函数，称y ( f ) 是小波函数，记双尺度方程为 ) = h f j ( 2 t - 1 ( f ) = g 。矽亿一玎) ( 2 _ 2 7 ) i n i g 打= ( 一1 ) ”h i 一驴 设移o 一玎) ) 是标准正交的，( f ) r q ) ，则有 ( 1 ) v s - 的基函数钫( ，) j 关于平移指标七是标准正交的； ( 2 ) w s 的基函数妒， ( f ) j 关于尺度指标j 正交，关于平移指标七标准正交； 南京邮i 乜大学硕士学位论文 第二章小波变换概述 ( 3 ) v j + l = 匕o ，上，j z ： ( 4 ) 渺肚( r ) ，k z 是r ) 的标准正交基，厂( f ) r ) 可展开为正交小波级数，即 儿) = d k 7 缈肚( r ) ， ? 订 “、 ( 2 2 8 ) d 。7 = ) ，y 雎( f ) ) = 腓釉 2 、正交小波变换 从前面分析可以知道，在m r a 框架下，正交小波分解关系有以下几个特点： ( 1 ) 随着_ ，指标的增大，信号厂7 ( f ) 无论是在时域还是在频域中的表现都会逼近厂( f ) ；反 之，随着，指标的减小，采样间隔增大，f 7 0 ) 所表现的频率范围减小，低频量突出，信号 表现为“粗糙”、“模糊”和“平缓”。 ( 2 ) 因为巧是巧+ 中的低频表现部分，巧的频率范围仅是巧+ 。的一半，是巧+ 。巧的频 带部分，所以可以认为，巧表现了+ 。的“概貌，表现了巧+ 。的“细节 。这种细节的 时域表现形式是缈。( f ) ，由于沙似o ) 的正交性，其展开系数为 以7 = 砒( f ) ) = 肌厩珊。 ( 2 2 9 ) 在正交小波分解以及相应的小波变换中，取 缈j o ) = 2 ，7 2 缈( 2 7 ，一七) ，( 2 - 3 0 ) 尺度按2 变化，正交小波变换是一般小波变换中的特殊情形。 由上述分析可知，正交小波杪卅o ) j 就是我们前面要求的小波函数 y 曲o ) = 坨y o f b ) 关于- a = 2 。和6 z 的离散表现，它也是由同一个小波函数o ) 经2 进伸缩和整节点平移生成的。这种离散特性和正交特性对实际计算和实际应用都带来了方 便。 2 2 4 离散小波分解所表现的局部时一频分析方法 由m r a 所确定的离散小波分解中，把( f ) 分解为若干子频带分量彩( ，) ，它用确定的 离散数据k 7 j 来表现，通过对小波分量国o ) ( 实际上是通过对离散数据仅7 ) 的分析来 1 2 南京邮电大学硕士学位论文第二覃小波变换概述 达到局部时频分析的目的。 在离散小波分解中，小波分量国( f ) 是时域表现的分量，但它频率含量是局限在子频带 范围内的；对于不同的_ ，这些子频带在频窗意义下是相互不重叠的。换句话说，时域信 号厂o ) 被分解为若干个时域的细节信号缈。o ) ，o ) 的频率范围被分解为若干个频域的子频 带细节，某个局部信号的低频含量及局部细节、高频含量及局部细节都将在不同的小波分 量缈。( f ) 中得到表现。这个局部信号的频域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个子频 带中，这个局部信号的时域特征将综合地、然而又是细致地表现在各个小波分量中。据此 道理，离散小波分解能将某个局部信号的局部时频特征表现得更细致。 离散小波分解通过离散数据轨， 来表现局部的时频信息，由于国7 ( f ) = 以，j ，所 七e z 以缈7 0 ) 对应的子频带及它的局部时- 频窗都由y j 来决定。时窗宽度和频窗宽度分别为 2 a ，= 2 a y 2 ， 和 2 a = 2 x 2 j 驴 ( 2 3 1 ) 其中，矿和矿是由y o ) 决定的已知值。各子频带中关于离散小波分解所确定的时- 频窗示 意图见图2 2 。 尺度j 尺度j - 1 尺度j 一2 图2 2 离散小波分解时频窗示意图 1 3 育京邮电大学硕士学位论文第二章小波变换概述 离散小波分量在不同尺度上都有表现，时- 频窗形状随不同子频带而自动调整。j 值大 尺度细，相应小波分量国7 ( f ) 表现了某个子频带信号，其频率中心较高且频带较宽，瘦窄的 时频窗正好有利于对这种高频端子频带信号作局部分析。同样，当j f 值较小时，彩，( f ) 表 现了另一类子频带信号，其频率中心低且频带窄，扁平的时频窗正好有利于对低频端子频 带信号作局部分析。离散小波分解具有自适应的时频窗，且可聚焦分析信号的局部时域位 置和局部频段。 2 3 正交小波的快速算法 正交小波的快速算法为应用小波提供了非常便捷的手段，特别是在应用这些快速算法 作信号的时一频分析时，仅需要待分析信号的有关数据和双尺度方程的传递系数玩) 和 倍。 ，并不涉及尺度函数( f ) 和小波函数( f ) 的具体表达式。因此我们可以采用正交小波 的传递系数玩) 和k 一 ，直接应用快速算法作小波分析。 2 3 1m al ia t 算法 1 、尺度空间的有限分解及数据表征 m r a 框架表明厂( f ) l 2 伍) 可以分解为无穷个小波分量的直和，但在实际应用中，仅 知道厂o ) 的近似函数厂”( f ) 。此时可以在m r a 框架下理解为f “o ) 圪。于是就有如下的尺 度空间的有限分解表现： 圪+ = 既0 圪 = o 呒一lo 圪一l ( 2 3 2 ) = o 一io o o 其中，子空间及其分量表述为 f ( f ) = q ，力。( f ) 厂7 0 ) _ ， 七e z 缈( f ) = d k y 肼( r l 缈7 ( ，) ， k t z ( ，) = 九一刀) ( ，) ， 1 4 南京邮电大学硕士学位论文 第二窜小波变换概述 缈( ，) = g 。矽( 2 f 一刀) ，沙o ) ( 2 - 3 3 ) 圪+ 。的有限分解关系仅是m r a 无穷分解中的一部分，因此，有限分解就子空间而言、 就函数分量而言、就频率范围而言，其含义都同于m r a 。例如，匕+ 中的元素厂肿1o ) 是有 限频率范围的，f 。( f ) 是厂肘1 0 ) 最低频表现，中的元素缈7 0 ) 是具有特定带宽的，它 们互不重叠，这些频带的总和正是厂肘1 0 ) 的频率范围。 为了数字计算和分秽r 处理的目的，需要将f 和国o ) 用离散数据来表示。显然， p 力，2 是合适的，因为厂7 0 ) = c 。7 办j ( f ) 表明厂7 ( f ) 巧和p 如，：是一一对应的，或者 说利用p ，) 就定可以恢复t ) 。同理可知，可用数据p ? ) ，2 来表示彩( ，) 。这类 数据p z ) 和p ，) 分别对应着厂7o ) 和国o ) 在时域中的离散表现，也分别对应着它们在频域 中的频带表现，表示尺度方面的二进规则离散，k 表示整节点标记的时移离散。 2 、分解算法 函数( 模拟信号) 按正交小波展开的分解算法和回复算法一起称为m a l l a t 算法。它是 一种纯数字的快速递推算法。 分解算法要实现的目标是：在彩( f 一刀) 是标准正交基条件下，已知p f + 1 、玩) 和k 。 ， 求p z ) 和p ? ) 。 当k = w oov o ，在已知：) 、玩) 和k 。) 的情况下， c ：；= 2 舭c ：吃嘲， 量 钟= 2 - v 2 c 嘲。 七 ( 2 - 3 4 ) 当巧+ - = o 巧时，由于k 、和之间的关系与匕+ 。、巧和呢之间的关系相同，这两 种情形的双尺度方程关系相同，所以 = 2 一v 2 + 1 吃一：一 k 酬= 2 邮c f g 胁。 七 ( 2 - 3 5 ) 3 、回复算法 回复算法是分解算法的逆过程。此时已知数据p f ) 和p ) ，o j m 一1 ，我们可以 1 5 塑室堡垒奎兰堡主兰竺垒茎 墨三皇尘婆壅垫塑垄 _ _ l _ l _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - - - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - _ l - _ l _ _ - l _ _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - o o o o o l o o o o 1 。一一一一 利用这些数据快速准确地重构出数据p y 假设：由j 尺度层“低频量疗备z 回复到，+ 1 尺度的，用钾t ) 标记；由尺度层反应细节的搿高频量 p f 徊复到，+ 1 尺度的，用哥+ 1 j 标记。则回复公式为 阿1 = 2 - v 2 c ：埘， 彭+ 1 = 2 - 1 2 z a ：g 柚i ， ( 2 门6 i c ：+ 1 = 彰“+ 彭+ 1 计算钾+ 1 ) 可以分为两步进行： 第一步计算_ + 1 尺度层上的偶数编号采样点处的欲1 ，此时可对，尺度层采样点循序 渐进，用靠模仇。，九：j ，按公式 磁= h 2 c n 生i + c ：+ 舡2 c 0 ( 2 3 7 ) 计算出，+ 1 尺度层上的偶数编号处的相应值。 第二步计算歹+ l 尺度层上的奇数编号采样点处的戳，此时可对歹尺度层采样点循序 渐进，用靠模池。啊，h 一。 ，按公式 。 2 2 j 川+ i = 如c 乙+ 啊c ：+ 九l c 厶l ( 2 3 8 ) 计算出，+ 1 尺度层上的奇数编号处的相应值。 同样计算哥+ 也可以分为两步进行： 荟0 1 = g ：d 厶+ g 。d ：+ g 一：d 厶， 苓掣t = 9 3 巧0 l + g i 彤+ g l d o l 。 ( 2 3 9 ) 4 、m a l l a t 算法所表现的频域分解特点 有限尺度空间的正交小波子空间的直和分解关系，例如 巧= o 匕 = o ok ，(2-40) = o