（基础数学专业论文）沿曲线的超奇异积分算子的有界性.pdf

摘要 v 7 8 0 6 8 4 摘要 本文着重研究豫2 上沿曲线的超奇异积分算子 以沪舢m 一扩删e 叫圹4 蒜( n 加。) 沿曲线r ( t ) = ( t ，7 ( ) ) 的1 2 有界性，同时也得到了沿变曲线的超奇异积分算子 m 川= 掣1 f ( x - t , y - p ( ty 咖) e “川。蒜( a ，”0 d 1 ) 死p ，( z ，) = p u z ) 7 ( t ) ) e “ l ”i 去( q ，卢 ) o i o l 沿变曲线r 。( t ) = ( t ，尸( z ) 7 ( t ) ) 的p 有界性，其中p ( z ) 是n 次实值多项式。 全文共分三章，第一章介绍沿曲线和变曲线的超奇异积分算子的发展历 程，并给出了对本文的证明至关重要的一些引理和性质。 第二章以两种不同的方法研究上述算子“。日的口有界性，推广了c h a n d a r a n a 【5 和陈一范一王 7 】的结果。 受算子“础的护有界性研究的启发，在第三章中我们得到了沿变曲线的 超奇异积分算子的有界性结果。 关键词：沿曲线的h i l b e r t 变换，浯曲线的超奇异积分算子，沿变曲线的h i l b e r t 变换，沿变曲线的超奇异积分算子，p 有界 a b s 仕a c t a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yl v b o u n d so fh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r “。，p ，( z ，9 ) = p u ，( z t ， j 一1 仲) ) e - i n - 4 蒜( 邢 。) a l o n gt h ec u r v er ( t ) = ( t ，7 ( t ) ) i n 瓞2 ，w ea l s og e ts o m er e s u l t so nh y p e r s i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r m 川= p m m p ( z ) ，y 。) ) e - q t l - 9( 。，卢 。) a l o n gt h ev a r i a b l ec u r v ef 。( t ) = ( t ，p 扛) 7 0 ) ) i nr 2 ，w h e r ep ( x ) i sar e a l - v a l u e d p o l y n o m i a lo fd e g r e e 礼 o u rp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eh a v ea ni n t r o d u c t i o nt ot h eh i s t o r yo f t h ea b o v et w oo p e r a t o r s ，o u rm a i nr e s u l t s ，a n ds o m ei m p o r t a n t l e m m a sa n dp r o p o s i t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d y 驴b o u n d so ft h eo p e r a t o r 咒d 口i nt w om e t h o d s ， t h i sw o r ki m p r o v e st h er e s u l t so fc h a n d a r a n a 5 a n dc h e n - f a n w a n g 【7 】f u r t h e r - m o r e ，t h es e c o n dm e t h o dw i l lh e l pn sc o n s i d e rt h eo p e r a t o r 咒，口 i nt h et h i r dc h a p t e r , w eg e ts o m er e s u l t so fh y p e r s i n g u l a ro p e r a t o ra l o n gv a r i a b l e c l l t 弋，e r k e yw o r d s ：h i l b e r tt r a n s f o r ma l o n gc m v e s ，h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o ra l o n g c u r v e s ，h i l b e r tt r a n s f o r ma l o n gv a r i a b l ec u r v e s ，h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o ra l o n g v a r i a b l ec u r v e s ，l vb o u n d s i i 第一章绪论 第一章绪论 我们知道许多数学家和学者都深入研究过奇异积分算子、超奇异积分算子 和振荡奇异积分算子的有界性，它们在形式上分别定义为 孔f ( x ) = ，。，( o ) = 乃f ( x ) = k ( z ，) ，扫) d y b ( 1 y 恻尚) 扩i 一“m y ) d y ，v 。o e i p ( 。y ) k ( x ，y ) f ( y ) d y 其中q 需满足一定的条件，k 是奇异核，详见 1 8 ，p 1 9 ， 1 8 ，p 3 2 9 】， 8 和 1 4 等，这里不再赘述。 ，慷，瓜，慷 1 1 沿曲线的超奇异积分算子理论的发展 沿曲线的h i l b e r t 变换h r 形式上定义为 埘书仁m - r ( 啪譬( 地叫) ( 1 1 ) 其中r ( t 1 和下文中提到的7 ( t ) 均为r “中的曲线。s t e i n 和w a i n g e r f 1 9 】，w a 试g e r 【2 1 】研究了上述算子对某一特殊的r ( t ) 的l p 有界 性，l p 0 ，= l ，2 ，n ) 时的口有界性，1 o 时的有界性。如果21 ，易得l m ( ，o ) 1 = o 。；如果0 3 a ，且 1 + 型垡! ! 卢( p + 1 ) 4 - ( 卢一3 a ) 对三维情形，他考虑下述算子 4 a ，且 - + 丽 p 3 0 ，且 2 臼2 口 。2 3 - 3 a p 4 n ，且 f ? 口 赢 p 蠡 注1 易证 蒜 ，+ 万一胁。a f l - 2 a 3 a 时， 帅f l l ) 1 1 1 1 1 驯叫，熹 2 ( k + 2 1 。，有 刘删，e i l f l l 州) ，志 3 a 时， 帅f l l 僻) i i f l l 州哟，熹 p 8 a ，下式成立。 州b ( 仅，p i l f l l 呻z ) ，志 p 袅。 一8 一 第二章沿曲线的超奇异积分算子的三p 有界性 2 2 定理的证明 取径向函数中c o 。( 琏) 满足0 圣( z ) 1 ，且s u p p d pc z 璃：1 2 2 ) 。令呜( z ) = 圣( 2 j z ) ，且对任意的z 0 ，有墨一。中，( z ) = 1 。注意 s u p p 西jc z 娃：2 一一1 1 嚣l 2 - j + 1 ) 。 其中 定理2 1 的证明：不妨设1 ”0 ，7 ”0 ，且 ：1 m t ，一1 ( t ) ) e 一鬲d t j 0 。 ：妻m ，) ， 小，” 7 ( t ) ) 屯( fe - i t 而d t 根据m i n k o w s k i 不等式，并做适当的变量代换可得 由( 2 1 ) 式可知 因此只需证明 ，2 一”1d 亡 h j f l l 驯舻) i l f l l 州r 2 ) 上- 2 1 毒j 2 一 o c 2 ”i l f l l l ，f r 。1 ( 2 1 ) 0 e i i h j f l l l ( n 。) c l i f l i l ，( n z e i i f l l p ( r 2 ) c l l f l l l ，( 衅) ( 2 2 ) j = o 我们先给出，的一个l 2 估计。容易得到，的f o u r i e r 变换 砑( ) = ( ) 讯) ，= ( 。，。) 9 笙三童塑些塑堕塑童壁型坌簦王塑墨：壹墨丝 其中 第一个等式中 z 1 喇矿熹 z ，8 序扩旷熹 t 一4 一1 t 一已7 ) ，t 0 ，1 且t s u p p 中j 当2 0 时，由条件知 皿”( o i = l z ( z + 1 ) t 一芦一2 6 ，y ”( 亡) i z ( z 十1 ) t 一口一2 当2 0 时，有 皿w 0 ) l = l 卢( 卢+ 1 ) ( 卢+ 2 ) t 一目一3 一已，y ”( t ) l p ( 卢+ 1 ) ( 卢+ 2 ) t 一目一3 再参照引理1 经计算我们得到 从而有 m a e ) l c 鼍，一 i ； ：；：；：i ：c 毛，一。j ( d s ) 把( 2 1 ) 式写成如下形式 f l l l z ( r z ) 曼瓯，口2 j ( ”g ) l l f l l l 。( r ：) ( 2 3 ) f i l l r ( r 。) sc 2 j 。i i f l i l r ( r 。) ，1 0 刘l ，( r z ) 巴，口2 j ( a9 8 ) l l f l l l ，( r 。) ，1 p o 。，且p 2 。 ( 2 5 ) 1 0 笙三里堂些垡盟塑重量塑坌篁鲤墨! 壹墨丝 实际上，0 = 筹高。因此当r 一1 时 杀 p 0 ，使得 0 2 ( 1 一：) ，如果。一g 日 0 ，那么 若。一g 目 0 ，则2 p 丽2 f l 。根据上 爿j f l l 州r 2 ) 瓯护一6 i l f l l 州，羔 p 3 a 时 妻| i 州州衅) ，i l f t l 州r 2 ) ，万警五 p 篆 j = o 故( 2 2 ) 式成立，从而( i ) 得证。 由假设知存在常数c 使得。l i m 。+ 7 ( t ) 。c 。如果记7 ( t ) 2c t + 7 ( t ) 一c c t + ，那么l i m + 他) = 0 ，彳”0 ，矿0 ，且 令 当f 2 0 时 当2 0 时 = z 1 喇扩羔 划。z ”叩) e i i ( 2 ：t ) a 。 p 2 = 掣。2 e 一“2 8 一8 + 2 “l + 。2 + 2 一”2 1 中( t ) t 一1 一。d t( 2 7 ) ( 2 j 气一目+ 2 一( 1 + c f 2 ) + 彳( 2 - j t ) 岛) z ( z + 1 ) 2 j 9 t 一口一2 + 2 - v & “( 2 一t ) 卢( 卢+ 1 ) 掣气一4 2 亩”7 ( t ) l =l 一卢( 卢+ 1 ) ( 卢+ 2 ) 2 卢t 一卢一3 + 2 一甜2 亏“( 2 一t ) 口( 口+ 1 ) ( 卢+ 2 ) 2 j 4 t p 一3 一1 l 一 第二章沿曲线的超奇异积分算子的三p 有界性 注意啊( f ) 的积分区域是1 2 t 2 ，应用引理l ，得到 令 ”t ，c e ，i c 毛，一 ：；：i ；：塞i ：c 毛，一( d p 3 ) c ：s ， a = j en u 0 ) ：孔2 1 ) 1 6 1 卢2 j p 2 一口一l 一；2 一，i - + z l ；p 2 ，p 2 一卢一1 再次应用引理1 得 彳。( 2 - 3 t ) 6 ( 2 1 ) l l z l 叻( ) i 既，p 2 j ( 。一国，j f 1 卢2 妒t 卢一1 + 2 一( 1 + c 已) + 2 2 - l 1 + c 4 2 l 一2 - i ( 2 一。t ) 1 l 矗 ；2 - j l ，+ 而| _ 啷“ ；卢2 口2 p 一2 卢2 口2 口 ；卢2 ) 口2 口 。彳( 2 口2 气 t ) 2 臼一1 ( 2 1 0 ) m a ) l 曼瓯8 2 j ( 。一鳓，j f 2 ( 2 11 ) 同证明集合a 中元素至多只有有限多个一样，可以证得f 3 中元素亦至多只有 有限多个，又由( 2 8 ) 得 令 m ，( ) i 瓯，口2 j ( 一勤，j 玛 ( 2 1 2 ) j n u 0 ) ：i ，+ 如l 茎们1 。1 ) i 。i 2 ) 1 3 第二章沿曲线的超奇异积分算了的上p 有界性 e1= e2= e3= j e ：卢2 ，4 2 廿1 2 - j + i 吲彳( 2 - j + 1 ) ) j e ：5 p 2 9 2 4 2 - j 2 1 ( 2 一卜1 ) ) ， e ( e l u e 2 ) 类似上述证明过程，当j e 时 由引理1 得 同理可得 画0 ) i = i 一卢2 4 t 一口一1 + 2 一( 1 + 延2 ) + 2 7 ( 2 一j r ) 6 3 2 j 4 2 一p 一1 2 一i 1 + c l 一2 l 彳( 2 一t ) l l f 2 卢2 ，卢2 一p 一1 一；2 一，彳( 2 一，+ 1 ) i 。1 ；卢2 ，口2 一卢1 m ，( ) i 兰瓯，口掣( 8 一们，j e a m ，( ) i 巴，p 2 j ( 。m ，j e 2 易证屁中至多只有有限多个元素，且 ( 21 3 ) f 2 1 4 ) ( ) l c 2 。( 。一4 7 ”， j e 3 ( 2 ，1 5 ) 则由( 2 9 ) ，( 2 i o ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 得 慨( ) i 曼i m j ( ) l + i m a ) l 茎c j 0j e a u e s u f 3j e e i u e 2 0 f i u f 2 至此定理2 1 证毕。 下面我们来看定理2 2 的证明。 证：不妨设7 心) 和r ( t ) n 0 - i n n n ，和定理2 1 的证明开始部分分析的那 1 4 第二章沿曲线的超奇异积分算子的l 一有界性 样，我们只需证 又 j | 川州r z ) sc l l fj i c r ( r ：) ( 2 1 6 ) d = o - l f 1 ：。( 。) = fz 1f f ( x - t , y - 7 ( 粥e 叫，由哆( 。e “”熹性。( r 2 ) 钏z 1 x - t , w ) e 吨喇e 叫一均案悒：， ：jf 1 五 一t ，) 哆( 旷删熹d t 嵫哟= j z 五( ，) ( z t 煳哆( 啦! 。邓州。i f 石i l ! z 帮) = | | 乃，( 五( 州，) ) ( 。) 怯( r 。) ( 2 1 7 ) 上式巾五( ，) 表示对f 的自变量的第二个分量作f o u r i e r 变换。记函数o ，( t ) ( t ) x i o ，1 1 ( f ) ，令 其中 ：ol g ( z t ) 中，( t ) e i ( t - 9 + “( t ) ) t ，d 。t0 上如) 。如一s ) e 。“r 洲p 。赤j rk z 一5 j 玛，( ，s ) 9 ( s ) d s( 2 1 8 ) j r 玛， ( 。，8 ) 鱼生二型e - i ( ( ) 一日+ “( ) ) 一s ) 1 + “ 那么弓，f 的对偶算子巧e 形式为 巧 ( 9 ) ( 。) = g ( s ) 吩，( s ，z ) d s ( 2 1 9 ) j r 易得 乃，f 。巧f ( g ) ( z ) = g ( s ) 砀，f ( z ，s ) d s ( 2 2 0 ) j r 整三里监些垡堕壑童墨塑坌兰乏堕墨：查墅丝 共叶4 畅，( z ，2 ) = 玛，( z ，s ) 玛，( g ，s ) d s j r ：厂鱼竺二型竺：! ! ! 二盟e q ( ) 一( ) 一口( 1 ( ) 一1 ( ) ) 】d s 一厶( z s ) h n ( 2 一s ) 1 + 。 ： i ；! ! ! i ；：! ；! ! ：；：j ；兰e “扛一s ，一目一c ，一4 + ；c ，c ，一，c z 一。，”d s 。 一( z s ) 1 _ 。心一s ) ”。 + ! 。，。i j ! ! ! ：i ；：；! ；! ；，! ；! ；每e 【c 一，一口一c z 一8 ，一4 + t c ，t = 一s ，一1 c ，”a s 。一 。一。( 。一5 ) 1 + 。( z s ) 1 + o 。 ：i ； ：! ! ；l j + ! a ! ；i ! ；! ；! ；未e “c = 一s ，4 一c ，一。+ e ( ，( ，c z 一。” d s 。一。c ：。扛一s )( 。一s ) 1 + 。 具体地 该式中 + ( - - s i 卢( 卢+ 1 ) 【( z s ) 一p 一2 一x s ) 一口一2 + h ”( 。一5 ) 一1 ”( z s ) z ( z + 1 ) ( z s ) 一4 2 一( z s ) 一9 2 p ( p + 1 ) ( 卢+ 2 ) ( z 一) ( 啦一s ) 一4 3 岛5 2 j ( z + 3 ) 再次应用引理l 得 l j ，( z ，z ) l 瓯，口6 一i 12 一，( g 一2 2 ，a 注意到( 2 2 4 ) 式，我们有2 一zs3 - 2j 一，故 s u p i l j ，( z ，z ) l d z 曼g ，口2 2 ，。2 + 1 2 吲g 一 + 2 吲g 一 ) 6 一 z j z - x 6 g ，口2 2 j “ ( 2 一j ( 口+ 1 6 1 ) + ( 2 一j ( p + 1 ) d 一1 ) 】 2 当z 一9 7 5 时 s u p z l l j ，( z ，z ) l d x z d 。u pf ；= 一z dj 2 - j c d 2 j ( 2 + 2 。) 5 2 一j 口2 2 j 。2 j 5 1 x - - 8 z - - s 2 - j + l ( x s ) 1 + 。0 一s ) h 。 取6 = 2 - j 。归= g + 1 ) ，且0 ( 2 + 1 ，卢+ 1 6 0 ) ，则 2 ，6 = ( 2 一j ( 口+ 1 ) d 一1 ) ( 2 一j ( 芦+ 1 ) 6 1 ) 一1 7 一 d s d x 第二章沿曲线的超奇异积分算子的工p 有界性 综合1 与2 的讨论知 同理可得 从而 s u p f l j ，f ( z ，z ) l d xsg ，z 2 2 j “2 j 6 ： j r = g 口2 2 j 。2 一，g s u p i l 越( z ，z ) l d z 口，p 2 枷2 一j 2( 2 2 6 ) oj r 乃p 臻( 目) ( z ) 恢r ) = | g ( s ) l j ，( 叩) + l j , f ( s , x ) d s d x j r j r ，r 2 | 9 ( s ) | | 岛，f ( 。，8 ) l d s d x j rj 豫 r s2 s u p | l 雉( z ，s ) l d x l l g l l 0 ，使得 因而 定理2 2 证毕。 7 - j f l l 驯蚴_ c a , 8 2 - j 5 i l f l l 岬。) ，熹 p 袅 州b ( 蚴曼瓯，口i l f t l 州r 2 ) ，忐 2 ( + 2 ) o t 。：f l l 郴。) 瓯属t l l f l l 矾，志 5 2 当。一z 5 时 s u p j z - x 5j 岛，e ( ，。) d 。s ：。j ，z - x 0 使得 因而 丹闩 乃州圳蚴s 巴，p , 女2j e l l f l l 删) ，f 击嘶 p 两靠 定理3 1 证毕。 日口 萨矗面邱 丽 2 4 第三章沿变曲线的超奇异积分算子的i ，有界性 令 接下来证明定理3 2 。 仿照( 3 2 ) 式的计算得 死忆。( n z ) = i l 上：无( ，) ( z 一“) e q m r _ q 妒扛h 蒜忆獬。) “ 一 ，1。，个一“pi(it一口+p(。)1()dttg(。) 2 j _ 1 9 ( z 一。) e 一” 扛h 。”矸 一 “l “l = 2 一。，g ( s ) e 一“”一“4 + p z 7 ”i ；：舞i j 1 z s l 1 l 4。，l 山 。 只需证 l i t g l l l 。m ) 茎瓯i l g l l l z ( r ) 见文献 1 。设为多项式p ( x ) 的最高次项系数，取u 满足一7 ) u “o = 1 ，则 其中q ( z ) = 一7 ( w ) p ( w x ) ，u ( z ) = 糟，显然乱( 1 ) = 1 ，因此我们只需证 7 9 ( x ) 。i 。击郎) e _ i l w ( z _ s ) l8 e i p ( x ) 7 ( x - s ) x - - 8 f 磊i w 击( 币i ( 3 1 5 ) j l i 由 p 一5 ， 。一6 j 当尸( z ) 是首项系数为1 的n 次实值多项式，7 ( 1 ) 一l 时的l 2 ( 瓞) 有界性a 我们发现( 3 1 5 ) 式是限制在球b 占x ) 上的积分，冈此可以将g 的支集看成 “l 是这样的球，不妨设支集球的中心为b ，且0 6x ) = p ( x ) 一( z b ) “，那么( z ) 是最高次数小于n 的多项式。下砸我们就对n 进行归纳假设。 筇三章沿变曲线的超奇异积分算子的l p 有界性 当n = 0 时，我们证明7 - g ( z ) 是l 2 有界的。 吲垆0 ；由如) e - 州吣叫一叫酬1f 舞 不妨设 碘) 2 厶；由而芒杀e 叫- 口( p 刊岫s = ，曼l ! 由群吲。 21 赤，塞删 同定理2 ，1 的分析，我们只需考虑 悟9 慨r ) s 瓯川口( r j = o 若记o j ( t ) 。( t ) x t o ，舢) ，则 ? j ，( z ) = ：! ! ! ；：i ! ! - ： ；害e 一“f r 一9 c ) 一p 一7 ( f s ”d s = 夕( s ) k s ) d s d 皿 故 虿9 ( z ) = g ( s ) ( s ，z ) d s j r 易证( 类似定理2 2 证明过程中的讨论) 巧圳l 。( r ) ，口，。2 。2 一j gl l g l l l z ( r ) 第三章沿变曲线的超奇异积分算子的p 有界性 由于u 由1 决定，故 因而 i i 巧g l l l t ( n ) 既以，i i g l l l 。( n ) j = o ? 匆( r ) sg ，口，1 蚓k ( r 假设p ( z ) 最高次数小于几时t g ( z ) 也是铲嘤) 有界的，令 死g ( z ) = g ( s ) e t i u ( ) j i i ! 由 日e q 6 ( ? ) 1 ( i ；：j j j l 。：i ：；二二研 那么 l 丁9 ( z ) 一死9 ( 删= i 9 ( s ) e 一i “( ) p p p ( 。) ，( ) 一e 。仉( 。) 1 ( ) j i z s i ! 击 f i 雨d 再s 错k 击 = 错l 由 p f 。 一。一。i 由 m 钏警裂幽 i g ( s ) j 等掣 错l 由叭s 川掣如 q ，。l g ( s ) i z s l ! 击 s l ! 击陋 因此当p ( z ) 最高次数为n 时，丁g ( z ) 也是l 2 ( 豫) 有界的，定理证毕。 参考文献 参考文献 1 】b e n n e t ta n dj o n a t h a n m ，h i l b e r t t r a n s f o r m sa n d m a x i m a l f u n c t i o n sa l o n g v a r i a b l e f l a tg n l v e s ， t r a n s a m e r m a t hs o c 3 5 4 ( 2 0 0 2 ) ，n o1 2 ，4 8 7 1 4 8 9 2 2 】a c a r b e r y , mc h r i s t ，j v a n c e ，s w a i n g e ra n dd kw a t s o n ，o p e r a t o r sa s s o c i a t e dt of l a t p l a n ec u t v c s ：pe s t i m a t e sv i ad i l a t i o nm e t h o d s ，d u k em a t h j 5 9 ( 1 9 8 9 ) ，6 7 5 7 0 0 3 a c a r b e r ya n ds p & e z ，m a x i m a lf u n c t i o n sa n dh i l b e r tt r a n s f o r m sa l o n gv a r i a b l ef l a tc u r v e s ， m a t h r e s l e t t 6 ( 1 9 9 9 ) ，n o 2 ，2 3 7 - 2 4 9 4 a c a r b e r y , s w a i n g e ra n djw r i g h t ，h i l b e nt r a n s f o r m sa n dm a x i m a lf u n c t i o n sa l o n gv a r i - a b l e f l a t p l a n ec u r v c s ，j f o u r i e r a n a l a p p l 1 9 9 5 ，s p e c i a l i s s u e ，1 1 9 - 1 3 9 5 s h a r a d c h a n d a r a n a ，l n b o u n d s f o r h y t x i n g u l a r i n t e g r a l o p e r a t o r sa l o n g c u r v e s ，p a c i f i cj o u r - n a lo f m a t h e m a t i c s ，1 7 5 ( 1 9 9 6 ) ，n o 2 ，3 8 9 - 4 1 6 6 】s h a r a dc h a n d a r a n a ，h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa l o n gs p a c ec u r v e s ，p m p r i n t 7 】j i e c h e n gc h e n ，d a s h a nf a na n dm e n gw a n g ，l v - b o u n d sf o rb y p e r s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s a l o n gc u r v e s ，p r e p r i n t 8 】j i e c h e n gc h e r t ，d a s h a nf a na n dy i m i n gy i n g ，c e r t a i no p e r a t o r sw i t hr o u g hs i n g u l a rk e r n e l s c a n a d jm a t h v 0 1 5 5 ( 2 0 0 3 ) ，n o3 ，5 0 4 5 3 2 9 9 陈杰溅，王斯雷，现代实分析，杭州：杭州大学出版社，1 9 9 99 。 1 0 】j i e c h e n gc h e n ，x i a n g r o n gz h u ，l 2 - b o u n d e d n e s so f h i l b e r tt r a n s f o r m sa l o n gv a r i a b l ec u r v e s ， p r e p r i n t 1 1 c f e f f e r m a n ，i n e q u a l i t i e s f o rs t r o n g l ys i n g u l a rc o n v o l u t i o n o p e r a t o r s ，a c t a m a t h1 2 4 ( 1 9 7 0 ) 9 - 3 6 1 2 c f e f f e n n a na n de m s t e i n ，h vs p a c e so fs e v e r a lv a r i a b l e s ，a c t am a t h 2 2 9 ( 1 9 7 2 ) ，1 3 7 1 9 3 1 3 ii h i r s c h m a nj r o nm u l t i p l i e rt r a n s f o r m a t i o n s ，d u k em a t hj o u r n a l2 6 ( 1 9 5 9 ) ，2 2 1 - 2 4 2 1 4 s h a n z h e nl ua n dy a nz h a n g ，c r i t e r i o no nl v b o u n d e d n e s sf o rac l a s so f o s c i l l a t o r ys i n g u l a r i n t e g r a l sw i t hr o u g hk e r n e l s ，r e v m a tl b e r o a m e r i c a n a8 ( 1 9 9 2 ) ，n o 2 ，2 0 1 2 1 9 1 5 a l e x a n d e r n a g e l ，n m r i v i a r e ，a n d s t e p h e n w a i n g e r , o n