（基础数学专业论文）非交换子群具有某种正规性的有限群.pdf

摘要 在有限群论中，对有限群进行同构分类是人们研究的最终目的然而研究发现， 这个问题是惊人的复杂和困难，因此不得不对某些具有特殊性质的有限群进行分 类这方面人们做了很多的工作，如d e d e k i n d 给出了既套壬稚赶正规的有限群的 完全刻画，r 6 d e i 给出了其子群都交换的有限非交换群的分类等 f 一、一 在有限群论中子群的交换性与正规性是两个最基本最重要的性质，许多非常 重要的事实与它们有关例如：幂零群类和可解群类是有限群论中两个十分重要的 群类，而它们都与。交换性。和。正规性。有着非常紧密的关系如：有限群g 为 幂零群的充要条件是对g 的每个主因子h k ，都有h k 包含在g k 的中心内 而有限群g 为可解群的充要条件是对g 的每一个主因子h k ，都有h k 为交 换群 而通过子群的多个性质对有限群的结构进行研究是近年来人们非常感兴趣的 问题，因此本文考察了较多子群或者具有交换性或者具有正规性的有限群的结构 我们在第一部分首先研究了每一子群或者为交换群或者为s - 拟正规子群的有 限群的结构因为幂零群的每一子群都为s - 拟正规子群，所以我们只关心非幂零 的有限群 由于s - 拟正规子群一定是次正规子群，而次正规子群不必为s - 拟正规子群 所以我们也研究了每个子群或者次正规或者为交换群的有限群的结构因为幂零 群的每个子群都是次正规子群，所以这节也只讨论非幂零的情形 每个极大子群都交换的有限非交换群即内交换群已经有了完全的刻画，每个 极大子群都正规的有限群是幂零群，因此自然地我们考虑极大子群或者正规或者 为交换群的有限群这正是本文的第二部分同样我们只讨论非幂零的情形 关键词： s 拟正规子群，次正规子群，极大子群，a 群，f r o b e n i u s 群，不可约 作用，非幂零群，超可解群 a b s t r a c t t h em a i no b j e c t i v eo ff i n i t eg r o u p si st os t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o np r o b l e m ，h o w - e v e r ，t h i sp r o b l e mi sc o m p a r a t i v e l yd i f f i c u l ta n dc o m p l i c a t e d i n s t e a do fs t u d y i n g t h ec l a s s i f i c a t i o no faf i n i t eg r o u p ，p e o p l eu s u a l l yi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r e so ft h e f i n i t eg r o u p sh a v i n gs o m es p e c i f i cp r o p e r t i e s i np a r t i c u l a r ，t h ef i n i t eg r o u p sa r ef i r s t c h a r a c t e r i z e db yd e d e k i n du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ta l ls u b g r o u p so faf i n i t eg r o u p a r en o r m a l ，a n dt h ef i n i t eg r o u p sa r ec h a r a c t e r i z e db yr & l e iu n d e rt h ec o n d i t i o n t h a ta l ls u b g r o u p so faf i n i t eg r o u pa r ea b e h a n i nr e c e n ty e a r s ，t h et r e n do fr e s e a r c hi ng r o u pt h e o r yi st os t u d yt h ef i n i t e g r o u ph a v i n gs e v e r a ls p e c i f i cp r o p e r t i e s ，i np a r t i c u l a r ，n o r m a l i t ya n dc o m m u t a t i v e p r o p e r t yo ft h es u b g r o u p s i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w es t u d yt h es t r u c t u r e so ft h ef i n i t eg r o u p sw h o s e s u b g r o u p sa r ee i t h e ra b e h a no rs - p e r m u t a b l e w ec o n c e n t r a t eo nn o n - n i l p o t e n t g r o u p sb e c a u s ee a c hs u b g r o u po fan i l p o t e n tg r o u pi ss - p e r m u t a b l e s i n c ea n ys - p e r m u t a b l es u b g r o u pm u s tb es u b n o r m a la n da n ys u b n o r m a ls u b - g r o u pi sn o tn e c e s s a r i l ys - p e r m u t a b l e ，w ew o u l di n v e s t i g a t et h ef i n i t eg r o u p sw h o s e s u b g r o u p sa r ee i t h e ra b e l i a no rs u b n o r m a l s i n c et h es u b g r o u p so fan i l p o t e n tg r o u p a r es u b n o r m a l ，w eo n l yn e e dt os t u d yn o n - n i l p o t e n tg r o u p s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t cg r o u p sw h o s em a x i m a l s u b g r o u p sa r ee i t h e ra b e h a no rn o r m a l s i n c et h es t r u c t u r e so ft h en o n - a b e f i a n g r o u p sw h o s em a x i m a ls u b g r o u p sa r ea b e l i a nh a v eb e e nd e s c r i b e da n di n v e s t i g a t e d ， i t i sn a t u r a lt oc o n s i d e rt h em o r eg e n e r a ls i t u a t i o n s o m en e wr e s u l t so ft h i st o p i c a r eo b t a i n e da n dw ea l s oo b t a i ns o m ea d d i t i o n a lr e s u l t so nn o n - n i l p o t e n tg r o u p s k e y w o r d s ：s - p e r m u t a b l es u b g r o u p ，s u b n o r m a ls u b g r o u p ，m a x i m a ls u b g r o u p ， f r o b e n i u s - g r o u p ，a - g r o u p ，i r r e d u c i b l ea c t i o n ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p s i i 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 鹳触燃确严 6 客f f p 第一章引言 在有限群论中子群的交换性与正规性是两个最基本最重要的性质，许多非常 重要的事实与它们有关例如：幂零群类和可解群类是有限群论中两个十分重要的 群类，而它们都与。交换性”和。正规性。有着非常紧密的关系如：有限群g 为 幂零群的充要条件是对g 的每个主因子h k ，都有h k 包含在g k 的中心内 而有限群g 为可解群的充要条件是对g 的每一个主因子h k ，都有h k 为交 换群 正因为交换性在有限群论中重要的地位，人们希望通过某些子群的交换性对 有限群进行研究如i t 8 曾证明： 定理1 0 1 【2 8 】：设g 是有限群，那么 ( 1 ) 对于固定的奇素数p ，假设g 的一切p 阶子群均包含在z ( g ) 中，则g 为 p 一幂零的 ( 2 ) 若g 的2 阶及4 阶元均属于z ( g ) ，则g 为2 一幂零的 从而自然地可以得到下面结论 定理1 o 2 【2 8 】：设有限群g 是奇阶群如果g 中凡素数阶的子群都在z ( g ) 中，则g 为幂零群 称有限群g 是a 群，如果g 可解且其所有s y l o w 子群都是交换群h u p p e r t 在 1 】中系统地研究了a 群的性质 定理1 0 3 【1 】：设有限群g 是a 一群，则成立g ，nz ( g ) = 1 定理1 o 4 【1 】：设有限群g 是a 一群，d 是g 的系正规化子，则d 为g ，在 g 中的补 z a s s e n h a u s 还利用交换子群的正规化子和中心化子之间的关系给出了有限群 为交换群的一个充分条件： l 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 定理1 o 5 【2 9 】如果有限群g 的每个交换子群a 恒有r g ( a ) = c g ( a ) ，则 g 为交换群 进一步，m m i y a m o t 利用交换子群的正规化子和中心化子之间的更一般的关 系得出了有限群为可解群的一个充分条件： 定理1 o 6 【1 8 】：若对有限群g 的每个交换予群a 恒有n g ( a ) c c ( a ) 竺 a u t ( a ) ，则g 为可解群 而关于子群的正规性，人们不得不提到著名的s c h u r - z a s s e n h a u s 定理在一定 意义下它是s y l o w 定理的推广所以它被认为是有限群论中最重要最基本的定理 之一 定理1 o 7 【2 a - 设是有限群g 的正规厶k f j 子群，则 ( 1 ) n 在g 中有补i ( 2 ) 若或g i n 可解，日和日l 是在g 中的两个补群，则存在仳n 使得h u = 凰 g a s c h u t z 和i t 6 研究了所有极小子群均为正规子群的有限群，并把这类群称 为p n - 群 定理1 o 8 【1 ，i v 5 7 】：设有限群g 是p 一群，则g 是可解群，并且g 的导 群是p 一幂零的，其中p 是任意奇素数 j o s e p hb u c k l e y 进一步研究了p - 秣并证明t 定理1 o 9 【8 】：设g 是有限群，q 是g 的阶的最大素因子且令q 是g 的 s y l o wq 子群如果g 是p 群，则q 在g 中正规 定理1 0 1 0 【8 】：设有限群g 是奇阶尸群，则g 是超可解群 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 正规子群有许多良好的性质如若 r 是有限群g 的正规子群，则对g 的任意 子群k ，恒有k = k ，k n n 璺k 这些性质被人们从不同角度进行了各种 各样的推广，如s - 拟正规，半正规，覆盖远离性等我们统称为广义正规性利用 某些子群的广义正规性研究有限群的结构已成为一个重要的研究课题 前面我们提到了利用有限群的某些子群的交换性以及正规性可以有效地刻画 有限群的结构，所以一个自然的想法就是对于具有较多交换子群的有限群和具有 较多正规子群的有限群进行分类实际上，人们在这方面已经做了大量的工作 例如，对于具有较多交换子群的有限群，r & l e i 在文【1 5 】中研究了每一子群都 为交换群的有限群的结构，这类群或者为交换群或者为每一子群为交换群的非交 换群，后一类群被称为内交换群对有限内交换群，r & l e i 在文【15 】中给出了完全 的分类 定理1 o 1 1f 1 5 】：设有限群g 是内交换群如果g 是幂零群，则此时g 是 p - 群，并且只有下述三种类型： ( 1 ) 四元数群g = ，一= 1 ，b 2 = 铲，b a = a - 1 6 j ( 2 ) g = ，a f = 6 矿= 矿= 1 ，b a = a b c ，c a = 0 c ，c b = b e ； ( 3 ) g = ，犷= 矿= 1 ，6 n = o l 十矿b ，o t 2 注：当p = 2 时，( 3 ) 中q = p = l 的群与( 3 ) 中n = 2 ，= 1 的群重合且同 为8 阶二面体拜仇 定理1 0 1 2 【1 5 】：设有限群g 是内交换群如果g 是非幂零群，则此时g 是矿阶群，其定义关系如下? 口p 口= c 口= 岛= = 岛= 1 ，c 勺= 勺q ， i ，j = 1 ，2 ，p 露= c i + l ，i = 1 ，2 ，卢一1 ；略= c d t c 字孝 其中，0 ) = 扩一勘扩一一d 2 ：r - d l 在日上不可约，且为妒一1 的因子 跟随这个思想，人们考虑了交换子群具有某种性质时有限群的结构例如对 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 有限群g 的每个交换子群a ，恒有a c g ( a ) n o ( a ) h z a s s e n h a u s 证明了 极端情况c r g ( a ) = n c ( a ) 下有限群必然为交换群李世荣研究了另外一种极端情 形，即对每个交换子群a 恒有c c ( a ) = n c ( a ) 或c d a ) = a 时有限群g 的结构 他把这类群称为d 群，其可解时的结构如下 定理1 o 1 3 【1 4 】：设g 为有限可解群，则g 为n c 一群当且仅当g 同构于 下述群之一t ( 1 ) 交换群； ( 2 ) 非交换矿阶群，p 是c e l t ； ( 3 ) & 对称群j ( 4 ) f r o b e n i u s 群p ，其中f r o b e n i u s 核p 是矿阶初等交换群，f r o b e n i 懈 补是奇数m 阶循环群，并且( m ，兀茸一1 ) ) = 1 ， 佗 1 i ( 5 ) q s 磊，其中旧8 ，磊】1 ； ( 6 ) v ) 4 ，其中v = ， m 是奇数且mi ( p + 1 ) 对于具有较多正规子群的有限群人们首先注意到了每一子群都正规的有限群， 此类群被人们称为d e d e k i n d 群这类群首先由d e d e k i n d 给出了完全分类 定理1 o 1 4 【4 】：设g 是有限群，如果g 的所有子群皆正规，则g 或是交换 群或是四元数群与奇阶交换群和初等交换2 拜的直积，即g = o s a b ，其中 q 8 是四元数群，a 是奇阶交换群，b 是初等交换2 - 群 对于部分子群正规的有限群我们有： 定理1 o 1 5 【2 8 】有限群g 为幂零群当且仅当g 的每个s y l o w 子群是g 的 正规子群 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 定理1 o 1 6 【2 8 】：有限群g 为幂零群当且仅当g 的每个极大子群是g 的正 规子群 对于广义正规性人们也做了大量的研究，这里我们仅列出如下m a s a a d 和 p i r o s k a 的结果以示说明 定理1 o 1 7 【1 6 】：设有限群g 是复阶可解群，如果g 中不合8 阶四元数拜 并且f ( g ) 的素阶子群都在g 中s 一拟正规，则g = u 4w ，其中u 是幂零的奇 阶h a l l 子群并且在g 中正规，w 是超可解的且阶与u 互素的h a l l 子群此外 u 的素阶子群在g 中s 拟正规 正是上述具有较多交换子群的有限群和具有较多正规子群的有限群的研究的 启发，我们希望考虑具有较多交换子群或者正规子群的有限群的结构实际上，我 们在本文第一部分中首先研究了每子群或者为交换群或者为争拟正规子群的有 限群的结构由于幂零群的每一子群都为s 拟正规子群，所以我们的结果只关心 非幂零的有限群 定理i 设有限群g 是非幂零群则g 的每个非交换子群都争拟正规当且仅 当g z ( g ) 是以循环群k z ( g ) 为补，f ( g ) z ( g ) 为核的f r o b e n i u s 群，并且满 足下述条件： ( 1 ) 存在素数p 使得f ( g ) 的s y l o wp - 子群p 是g 的s y l o wp - 子群并且p 或是交换群或是超特殊矿阶群此外f ( g ) 的h a l lf - 子群含于z ( g ) 中 ( 2 ) k z ( c ) 的每个非单位元在f ( g ) z ( g ) 上的作用是不可约的 由于s 拟正规子群一定是次正规子群，而次正规子群不必为s 拟正规子群 所以我们也研究了每个子群或者次正规或者为交换群的有限群的结构因为幂零 群的每个子群都是次正规子群，所以我们也只讨论非幂零的情形 首先我们作如下约定： 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 设有限群g 的s y l o wl o 子群p 正规，且p z ( g ) p 是g 的主因子，则我们称 g 具有性质砟，其中z ( g ) p 是z ( g ) 的s y l o wp - 子群 定理i i 设有限群g 是非幂零群，则g 的每个非交换子群都次正规当且仅当 存在g 的正规的s y l o wp - 子群p 使得g p 交换并且对g 中任意的- 子群a ， 或者a p 幂零或者a p 具有性质砟 每个极大子群都交换的有限非交换群即内交换群在前面已经给出了完全的刻 画，每个极大子群都正规的有限群是幂零群，因此自然地我们考虑极大子群或者正 规或者为交换群的有限群这正是本文的第二部分因为幂零群的每个极大子群都 是正规的，所以只讨论非幂零的情形 定理i i i 设有限群g 是非幂零群，则g 的每个极大子群或者交换或者正规当 且仅当g 满足下述条件： ( 1 ) 存在g 的正规的s y l o wp - 子群p 使得g p 交换 ( 2 ) 如果m 为g 的极大子群，则m 里g 或m = a z ( g ) p ，其中a 是g 的某 个h a l l 少子群，z ( g ) p 是z ( g ) 的s y l o wp - 子群 在我们的研究中，采用最多的研究方法是极小反例法，各类归纳法，分步骤证 明本文中所采用的符号都是标准符号，所涉及的群都是有限群 第二章预备知识 作为全文的准备工作，本章介绍贯穿全文要用到的基本概念以及重要结论本 文所涉及的符号都是标准符号，请参考文献【2 8 】 2 1基本概念 本文中所涉及的群都是有限群，所用到的基本概念请参考文献 i ，4 ，2 8 下面 给出本文中常用的基本概念 定义2 1 1 【2 8 】设g 是有限群，称群列1 = h o h i 以= g 为g 的主群列，如果该群列满足：每个子群凰都是g 的正规子群，而且在皿一1 和凰 之间不能再插入g 的另一正规子群，亦即甄风一l 是g h i l 的极小正规子群 而把每个凰h i l 称为g 的主因子 定义2 1 2 【2 8 】若有限群g 存在主群列1 = g o g 1 g n = g ，使得 该列的每个主因子是交换群，则称g 是可解群 若g 是可解群，则g 的子群、商群仍是可解群反之，着群g 有正规子群 使得与g n 均可解，则g 也可解 定义2 1 3 【2 8 】若有限群g 存在主群列l = g o g l g n = g ，使得 该列的每个主因子是循环群，则称g 是超可解群 超可解群的子群、商群与直积仍是超可解释 定义2 1 4 【2 8 】若有限群g 存在主群列1 = g o g i g n = g ，使 得该列的每个主因子是中心主因子，即对每个i ，l = i ，2 ，n ，均有g i l g i is z ( c g , 一1 ) ，则称g 是幂零群 幂零群的子群、商群仍是幂零群两个正规幂零子群的乘积仍是幂零群 7 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 8 定义2 1 5 【2 8 】设g 是有限群若存在g 的正规的s y l o wp 子群，则称g 是p 闭群若g 存在正规的h a l l 矿一子群，则称g 是p 幂零群 p 幂零群的子群、商群仍是p 幂零群两个正规少幂零子群的乘积仍是p 幂零群 定义2 1 6 有限群g 的子群日称为s 拟正规的( 或者7 r 拟正规的) ，若日 与g 的每个s y l o w 子群都可交换 这个概念首先是k e g e l 在文 2 1 】中提出的显然8 - 拟正规子群是正规子群的 一种推广 记7 r 是某些素数所组成的非空集合，丌是7 r 在全体素数集合中的补集合如 果7 r 只包含单个素数p ，则我们将7 r 和7 r 简单地分别记作p 和p 定义2 1 7 2 s 1 如果g 是有限群，则我们用7 r ( g ) 表示整除g 的阶的所有 素数的集合有限群g 的子拜日称为g 的7 r 子群，如果1 日i 是7 1 - 数有限群 g 的子群h 称为g 的肌f f1 1 子群，如果h 是g 的7 r 子群且i g ：h l 是7 r 数 有限群g 的h a l ll r 子群也称为g 的7 r 补，进一步，正规的h a l l 丌一子群称 为g 的正规卅补当7 r 只包含素数p 时，我们把丌- 补和正规卅补分别简单地称 为p 补和正规p 补 定义2 1 8 【2 8 】设g 是有限p - 群，如果g 是初等交换p 一群或者满足z ( c ) = g ，= 垂( g ) = q l ( z ( g ) ) 的非交换p 群，则称g 为特殊p 群而如果g 又满足 i z ( g ) i = p ，则称g 为超特殊p 一群 下面我们给出了有限群中最重要的三个概念： 子群 定义2 1 9 2 8 】设g 是有限群，称g 的全部极大子群的交为g 的f r a t t i n i 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 如果群g 没有极大子群，则称g 本身为g 的f r a t t i n i 子群我们用西( g ) 表 示g 的f r a t t i n i 子群，显然圣( g ) 为g 的特征子群 定义2 1 1 0 【2 8 】设g 是有限群，则g 的所有幂零正规子群的乘积仍为g 的幂零正规子群，叫做g 的f i t t i n g 子群 我们用f ( g ) 表示g 的f i t t i n g 子群，显然f ( g ) 为g 的特征子群 定义2 1 1 1 【2 8 】设，f 为两个抽象群，q ：f _ a u t ( n ) 是同态映射，则 和f 关于q 的半直积g = n af 规定为g = fkn = ( z ，a ) l x 只a ， 定义2 1 1 2 【4 】若有限群g 存在主群列1 = g o g l n c ( 尸) ，而由2 2 2 4 知g ( p ) = g d y c ( p ) ) ，矛盾因此g d p ) 是 1 4 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 5 交换的并且g ( 尸) = c g ( p ) 由b u r n s i d e 定理知g 是p 幂零的故对任意素数 pe 丌( g ) ，或者g 的s y l o wp - 子群正规或者g 是p 幂零的 令7 r = 切7 r ( g ) ig 的s y l o wp - 子群正规 显然7 r 不是空集设日和 k 分别为g 的h a l l7 r 子群和h a l l 丌子群，则日是g 的幂零的正规子群对 v q 7 r ，有g 是口- 幂零的，从而k 是口- 幂零的，因此k 也是幂零的因为g 非幂零，必然存在日的s y l o w 子群兄，使得k r g 非交换，即k r 在g 中3 正规由引理2 2 1 6 有k r 里g 即k r r 粤g r 而因k r r 竺k 幂零，故有 g r = h r k r r 幂零，而由题g 为a 群，故g r 为a 群于是g r 交 换口 定理3 1 3 设g 是有限群如果g 是非幂零n a p 群，则存在g 的正规的 s y l o w 子群p 使得g p 交换此外$ - 4 - 尸是s y l o wp 子群，则p z ( c ) p 是g 的 主因q - 并- s p 或者为交换群或者为p 3 阶超特殊p - 群，其中z ( g ) p 是z ( g ) 的 s y l o w p - 子群 证明：如果g 是a 群，则由引理3 1 2 可知存在g 的正规的s y l o w 子群，令 为p ，使得g p 交换 如果群g 不是a 群，则我们可以假设p 是g 的非交换的s y l o w 子群，并设 为s y l o wp - 子群从而由引理2 2 1 4 我们可知p 里g 令q 是g 的s y l o wq - 子 群，其中q p 因为尸非交换，则p q 非交换，从而由题设得知p q 在g 中s - 拟 正规故由引理2 2 1 3 得p q 璺g 由q 的任意性，我们可知g p 是幂零群如果 g 中存在不同于p 的非交换的s y l o w 子群，令为r 则类似于上面的过程，同样 可得c r 是幂零群于是有g 是幂零群，矛盾因此p 是g 的唯一的非交换的 s y l o w 子群，从而也可得g p 是交换群 下面记z = z ( g ) 并令乙勋f p ( z ) 因为g 非幂零，则g z 非幂零，从而 存在g z 的非正规的极大子群，令为m z 此时m 在g 中不正规，从而由引理 2 2 1 2 有m 是交换的如果i g z ：m z i 是矿数，则尸sm 从而因g p 是交换 群可得m 翼g ，矛盾而由引理3 1 1 知g 可解，即g z 可解，故i g z ：m z i 是p 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 6 的幂令a 是m 的h a u 矿子群，屿是m 的s y l o wp - 子群，易知a 同样是g 的 h a l l 矿子群并且是交换群从而g = p a 因g 的s y l o w p - 子群正规，则m = 鸩a 和a 知= c p ( a ) 结合引理2 2 2 0 和p 璺g ，我们有垂( p ) s 圣( g ) m ，从而 圣( p ) c p ( a ) 故c p ( a ) 鱼p 此时易知【a ，c p ( a ) ，卅= 1 和【c p ( a ) ，p a 】= 1 从而由三子群引理2 2 4 有【p ，a ，c p ( a ) 】= 1 ，则因为尸= ) 防卅得 c p ( a ) z ( p ) 故c p ( a ) z ( g ) ，于是c p ( a ) = 磊 设1 尸l 乙 p 磊并且只里g ，则有m = a 磊a 尸l a p = g ，而m 是g 的极大子张故乙= p l ，从而p 磊是g 的主因子 如果p 非交换显然乙z ( p ) p 2 ，故可令h x z ( p ) 和 h 2 z ( p ) 是p z ( p ) 的两个不同的极大子群，此时研n 凰z ( p ) 因为p 乙是 g 的主因子，可知凰z ( p ) 在g z ( p ) 中不正规，即凰在g 中不正规于是由引 理2 2 2 6 知皿在g 中不是8 拟正规的故由题设得凰是交换的( i = 1 ，2 ) 从而 皿nh 2 z ( p ) ，即风n 日2 = z ( p ) 因此 i p z ( p ) l = i p ：h x i i h , ：日1nh 2 l = i p ：h i l i p ：玩i = p 2 故p z ( p ) 交换，即p z ( p ) 由引理2 2 1 9 ，得p j p ，= c f p p ，( a ) x 【p p ，州记p l p ，= c p p , ( a ) 则因z ( 尸) p c p p ，( a ) 里p p 得只璺g 且z ( p ) p 1 如果只= p ，则 g p ，= p 尸，a p p 幂零，而因p ，s 垂( p ) s 圣( g ) ，故g 垂( g ) 是幂零的，即g 为幂零群，矛盾因此p 1 p 又p 磊是g 的主因子，于是p l = z ( p ) 如果 是满足条件p = z ( p ) w 和p ，w 的p 的子群此时因p 非交换，则非交换， 因此在g 中s 一拟正规于是由引理2 2 2 6 得w 雯g 下面令叫p ，= 【p p ，州 类似的讨论得y 塑g 因p 非交换，则p z ( p ) 非循环从而w p ，2p z ( p ) 是 非交换的矿阶群令w p ，= ( b 1 ) x 仇) ，其中b x 和6 2 均是p 阶元如果p aa 令a o = fna 则z = 磊a o 并且 f z = f ( g z ) ，其中乙s y l ( z ) 由推论3 1 4 知g z 是以循环群a 引z 为 补，f z 为核的f r o b e n i u s 群令k = a z 令1 k i z k z ，1 n g ( p ) ，与g a ( p ) = n g ( n c ( p ) ) 矛 盾故g ( p ) 交换，从而g c ( p ) = c g ( p ) ，于是由b u r n s i d e 定理得g 是p 幂零 的故对任意素数p 7 r ( g ) ，或者g 的s y l o wp - 子群正规或者g 是p 幂零的 令7 r = 伽丌( g ) ig 的s y l o wp - 子群正规) 显然7 r 非空设日和k 分别为 g 的h a l l 丌子群和h a l l 一一子群，则日是g 的幂零的正规子群对v q 一，有g 是俨幂零的，从而k 是口- 幂零的，因此k 也是幂零的因为g 非幂零，必然存在 日的s y l o w 子群兄，使得k r g 非交换，即k r 在g 中次正规由引理2 2 1 3 有k rgg 即k r r 里g r 而因k r r = k 幂零，故有g i r = h i rxk r r 幂零，而由题g 为小群，故g r 为小群于是g i r 交换1 3 首先我们作如下约定： 如果有限群g 的s y l o w p - 子群p 正规且p z ( g ) p 是g 的主因子，则我们称 g 具有性质砟，其中z ( g ) p 是z ( g ) 的s y l o wp - 子群 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 定理3 2 3 如果非幂零拜g 的每个非交换子群都次正规，则存在g 的阶的 素因子p 使得g 的s y l o wp - 子群p 在g 中正规且g p 交换此外g 具有性质 盛p 证明：若g 是a 一群，则由引理3 2 2 知存在g 中正规的s y l o w 子群p 使得 a p 是交换的若存在g 中非交换的s y l o w 子群p ，不妨设为s y l o wp - 子群，此 时p 在g 中次正规由引理2 2 1 3 有p 璺g 取g 的s y l o w 口- 子群q ，其中q p 显然p q 非交换，故尸q 在g 中次正规由引理2 2 1 3 得p q 璺g 因p q p 是 g p 的s y l o w 铲子群且q 是不同于p 的任一素因子，故得g p 是幂零的如果g 中存在另一个非交换的s y l o w 子群圮则类似可知g r 幂零，从而g 是幂零的， 矛盾因此p 是g 的唯一的非交换s y l o w 子群，此时g p 交换且p 是g 的正规 子群总之，存在g 中正规的s y l o w 子群p 使得g p 交换，令p 为s y l o wp - 子 群 记z = z ( g ) ，且取乙s y l , ( z ) 因g 非幂零，则g z 非幂零，故存在g z 的极大子群m z 使得m z 在g z 中不正规，此时m 在g 中不正规，则有题设 及引理2 2 1 2 有m 交换若i g z ：m z i 是矿数，则p m ，于是m 璺g ，矛 盾由引理3 2 1 可知g 可解，即g z 是可解群，从而i g z ：m z i 是p 的幂令 a 是m 的h a l l 一子群，比较阶易知a 为g 的h a l l ，一子群，从而m = a c p ( a ) 且g = a p 由西( p ) 西( g ) m ，可知圣( p ) c ( a ) ，从而c ( a ) 璺p 于是 有【a ，c p ( a ) ，p 】= l 和【c p ( a ) ，只a 】= 1 由三子群引理，【p a ，o ( a ) 】= 1 又因p = c - p ( a ) 【p 州，知c p ( a ) sz ( p ) 故c p ( a ) z ( g ) 即c - p ( a ) = 磊 令p l 乙是g 磊的正规子群且p l 磊 p 磊，则m = a z p a r 1 因a 引zsn a z ( f z ) 且 a 引z 交换，有a 纠z n a z ( f z ，( ) 】) ，则【f z ，( h ) a z 又f z2p z ( a ) p ， 而p z ( a ) p 是g 的主因子，即州z 是g 的主因子，从而f z 是a z 的极小正 规子群故叫z = 【f z ，( ) 】，即c f z ( h ) = 1 因此a z 是以f z 为核，a 纠z 为补的f r o b e n i u s 群又因交换的f r o b e n i u s 补是循环群，得a z 膨是循环群口 在定理3 2 3 的证明中，若取g 是超可解群，则当i a z ：m z i 是p 的幂 时，有i a z ：m z i = p ，即i p ：) l = p ，从而c p ( a ) 是p 的极大子群又 c p ( a ) z ( p ) ，故z ( p ) = p 或z ( p ) 是p 的极大子群若z ( p ) 是p 的极大子 群，则由z ( p ) 里p