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山东大学硕士学位论文 能表为一个素数和两个素数平方和的整数分布 刘文剑 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) e - m a i l ：w j l i u m a i l s d u e d u c n 中文摘要 在这篇论文里，我们将证明除了至多0 ( 最托) 的例外集，所有的正整数n n 满足一些必要的同余条件都可以表为一个素数和两个素数的平方和的形式得到的 结果改进了这个问题先前得到的一些结论。 我们经常只用圆法去处理堆垒素数问题，包括本文的课题。在处理中，我们有 一个大的障碍，那就是在余区间上的指数和估计如果我们只用圆法，最好也就是 用a g h o s h 和任秀敏的指数和估计，但上述方法也只能对我们的问题做有限的改 进 这里，我们将结合圆法和g h a r m a n 与a v k u m c h e v 发展的筛法，引进一个 满足一些必要性的筛函数p ，它是素数集上特征函数的一个非平凡下界通过p ， 我们可以改进余区间上的估计，从而得到一个较好的结果 关键词：圆法，筛法，c a u c h y 不等式，d i r i c h l e t 特征，主区间，余区间 1 1 山东大学硕士学位论文 d i s t r i b u t i o no fi n t e g e r st h a ta r e s u m so fap r i m ea n dt w os q u a r e so f p r i m e s w e n j i a nl i u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ) ( j i n a n2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) e - m a i l ：w j l i u q m a i l s d u e d u c n a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ep r o v et h a tw i t ha tm o s t0 ( 备+ 5 ) e x c e p t i o n s ，a l lp o s i t i v ei n t e g e r s 几ns a t i s f y i n gs o m en e c e s s a r yc o n g r u e n c ec o n d i t i o n sa r et h es u mo fap r i m ea n d t w o s q u a r e so fp r i m e s t h i si m p r o v e ss u b s t a n t i a l l yt h ep r e v i o u sr e s u l t si nt h i sd i r e c t i o n u s u a l l yw ej u s tu s e t h ec i r c l em e t h o dt od e a lw i t hm a n ya d d i t i v ep r i m ep r o b l e m s i n c l u d i n gt h eo n e i nt h i sp a p e r t h e r ei sa l w a y sav i t a lo b s t a c l ei no u rr e s e a r c h ，t h a t i s ，t h ee s t i m a t e so fe x p o n e n t i a ls u m si nm i n o ra r c s i fw eo n l yu s et h ec i r c l em e t h o d ， w eh a db e t t e ru s et h ee s t i m a t e so fa g h o s ha n dx i u m i nr e n ，b u tt h i sc a nd ot h e l i m i t e di m p r o v e m e n tt oo u rp r o b l e m h e r ew ew i l lc o m b i n et h ec i r c l em e t h o dw i t ht h es i e v em e t h o d ，d e v e l o p e db yg h a r m a na n da v k u m c h e v b yi n t r o d u c i n gp ，an o n - t r i v i a ll o w e rb o u n df o rt h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no ft h es e to fp r i m e s ，w i t hm a n yn e c e s s a r yp r o p e r t i e s ，w ec a n i m p r o v et h ee s t i m a t ei nm i n o ra r c ss ot h a tt h eb e t t e rr e s u l tw i l lb eo b t a i n e d k e yw o r d s ：c i r c l em e t h o d ，s i e v em e t h o d ，c a u c h y si n e q u a l i t y , d i r i c h l e tc h a r - a c t e s ，m a j o ra r c s ，m i n o ra r c s 山东大学硕士学位论文 符号说明 e u l e r 函数 m s b i u s 函数 v o nm a n g o l d t 函数 除数函数 a ，b 的最小公倍数 模g 的d i r i e h l e t 特征 d i r i c h l e tl - 函数 l o g n 0 ，对于所有的充分大的自然数，我们有 e f 1 告“ 2 第二章证明纲要 定理1 的证明是建立在下面即将证明的定理2 的基础上，我们在此先进行一些 必要的介绍令 p ： 一c q = 而n ， m = n l “ ( 2 1 ) 根据d i r i c h l e t 有理逼近的引理，每一个o 皓，1 + 专】可以写为如下形式 口= ；“而1 ， ( 2 2 ) 其中，a ，q 是整数，且1 d g 0 ，( d ，g ) = 1 我们用瓢( n ，g ) 表示所有满足 ( 2 2 ) 的q 的集合，并且定义主区间9 n 与余区间m 如下： m = 虿1 ，- + 扫懈 因为2 p q ，所以主区间蛳( o ，q ) 是没有交集的 令 s ( q ) = ( 1 0 9 p ) e ( p 2 a ) ， r ( n ) = ( 1 0 9 p ) e ( p d ) ， g ( o ) = p ( m ) e 2 n ) ， ( 2 3 ) 其中函数p 满足 ， p c m ， ： 姜差i m 是素数 c 。q p ( m ) x l ， 其中 x 换言之，p 是( m ；，】上素数集特征函数的一个非平凡下界在以后的篇幅里， 我们会对p 的一些必要性质做出介绍从技术的层面，适当修正主区间上的口( 口) ， 口 。弧 。u 器 u 妒 l | 妍 山东大学硕士学位论文 可以消除m 的素因子( 当“m ) 0 时) 和渐进估计的分母之间产生的一些影响我 们引进一个函数口( m ，o ) ，如果存在整数a ，q 满足 i q a - - a l 虿1 ，( 。，口) = 1 ，g p j ( m ，口) 能够被一个素数p n , h 整除，则口( m ，a ) = 0 ，其余情况皆为1 令 ( 。) = 乏二 p ( r n ) 口( m ，n ) e ( 。r m 2 ) ，( n ) = g ( 口) 一 ( n ) m m 2 ， 我们注意到当口m 时，有 ( a ) = 9 ( o ) ，而且对所有的n ，有 ( n ) ( 2 5 ) 对x m o d q ，我们定义 一= 壹h 瓣( 警) ，叫州 ，o ) = 霄( ) e ( 等) ， ，o ) = c ( xo ) = l c ( x 、4， c ( q 0 ，妒壹h 瓣( 警) ，叫州 ，o ) = 又( ) e ( 警) ， ，o ) = d ( n ) = l d ( x 、17 d ( q 01 如果x l ，x 2 ，x 3 是m o d q 的特征，那么 啪) _ b o x 奴0 ) 嘶) 2 萎鬻 引理2 1 令均m o d r j ，j = 1 ，2 ，3 为原特征，r o = 【r l ，r 2 ，r 3 】，而且x o 是r o o d q 的主特征我们便有 萎南旧n , q , x z x o , x 2 x 。, x 3 x 。胚i 扣5 1 0 9 1 0 。 证明本引理的证明和l e u n g 与l i u 1 0 】中的引理7 的证明相似上式左边 莓盟鼍铲 一f ，p f ，- r l u l 口 4 n x do cd x ( ) 、 蕃i o 一 ， e 。蒜 = 曲 xxg nb 山东大学硕士学位论文 其中，妒是r o o d u r o 的主特征，并且 c r = 2 tr 0 ， 4 r o ， 2 l lr 0 根据v i n o g r a d o v 估计i c ( x ，n ) i 撕d ( 口) ，其中( o ，q ) = 1 ，则 蕃逝型矿掣( u r o台 ) ( u r 。) 一 + 。百扣 以及 。量帮z q d 2 q ) l o g l o g q m 。丢矿( q ) 一z 6 i “r o ) = l 在上述估计中我们运用了如下的结果t 和 s ( n ，g ) l = i 妻眦( 一警) 僦妒c 脚o ， 口2 舻( q ) 了a t ( q ) 1 0 9 4 q 如y 5 0 0 3 x d x c 0 1 x g 、毫| o 一 ， e 。盘 = 第三章小区间上9 ( a ) 的估计 根据g h o s h 【1 1j 的估计，如果l q a o l q ，( d ，q ) 21 ，那么 s c 。，舌“+ ；“( ；+ 号) 。 上式右边指数位置上的矗是我们在做余区间指数和估计时所遇到的最大障碍 h a r m a n 和k u m c h e v 【5 5 证明了下面的引理，这个引理对于余区间上的估计是 至关重要的我们令 帅，= ：裂一跎 引理3 1 假设o m ，( 2 3 ) 中的函数p 有如下性质； ( 1 ) p ( m ) = 0 ，除非妒( m ，蠢) = 1 i ( 2 ) p ( m ) 是d ( f ) 项如下双线性和形式的线性组合 瓦， 其中，有isd ( u ) c 和i 晶i d ( ) c ，这里 冬| i v 吾，或者 j ，并且对于 所有的 ，有凡= 1 i ( 3 ) p ( m ) 是o ( l e ) 项如下双线性和形式的线性组合 妒( 邺) ， 族罨知 其中，有1 7 1 d ( u r 和u ，而且： 2 u ，那么 9 ( n ) “ 在【5 】中作者运用产生于【l2 j 中发展于【1 3 】和【1 4 】中的筛法证明了确实存在一 个函数p 拥有性质( 1 ) 一( 5 ) ，性质( 4 ) 和( 5 ) 会在接下来的篇幅里介绍 6 第四章主区间 在这一苹里，我们将估计主区间上积分，即定理2 定理1 可由定理2 推出 定理2 假设函数p 满足性质( 1 ) 一( 5 ) ，那么对于所有的整数n 8 ，有 s ) 丁( o ) ( 酌e ( 一a n ) d a n l ， j 研 其中，我们定义8 = 4 n ( 譬， 1 我们将借用l i u 和z h a n 【3 】中的方法，并且用筛权p 做一些修改我们定义主 区间上的函数( q ) ，r ( n ) ( 在( 4 6 ) 中我们将引入( ) ，k ( a ) 的定义) ： 洲= 帮嘲 t ) = 帮咻妒旧j 其中，令i q o t d l 1 ，有x ( m ) = 0 ，因此e ( m ，a ) = 0 ，从而_ i l ( 口) = 0 ) 为了给出 ( a ) 的渐进估计，我们假设p 有如下性质， 山东大学硕士学位论文 ( 4 ) a ，b 0 是给定的，x 是m o d q 的非主特征，这里口胪，z 是( f ， 】 的子区间，那 p ( m ) x ( m ) j 1 l 一4 ；( 4 2 ) ( 5 ) a 0 是给定的，z 是f ， 的子区间，那 p ( m ) = p ( m ) + o ( 一4 ) ( 4 3 ) = 6 1 z i l 一1 + d ( l 一2 ) ，( 4 4 ) 其中，p 是( m ，j i ，却上的光滑函数，6 0 是绝对常数 ( o ) 在主区间上的渐进 估计将由下式给出，如果i g a a l 0 ，( 4 5 ) 等于o ( n l “) 定义 ( a ) = e ( m 2 a ) ，( a ) = e ( m a ) ， ( 46 ) u ( x ，a ) = ( 1 0 9 p ) x ( p ) e ( p a ) 一奴e ( m a ) ， w ( x ，a ) = ( i o g p ) x o ) e p 2 a ) 一& e ( m 2 ) ， i ( x ，a ) = p ( 仇) ) ( ( m ) e ( m 2 a ) 一奴p ( m ) e ( m 2 a ) ， 其中，当x 为主特征时，有奴= 1 ；x 为非主特征时，有氏= 0 同样定义 吩= ( 疋i v a ) , ) 1 2 d a ) 5 ，渊，。， m ) 2 沙r 】- 和，篆：i 磷( x 一) i ， r p ym o d r ”o 一q 山东大学硕士学位论文 ) 5 沙pr 】- 扣5 。r o o d ：i 磷划， r ，r l 一瞌r 口 驴书e。modr(层iw(x,x)12dap r o o d) 5 ，r ，。一；石， =驯*。modr(层iv(x,a)12dp m o dr r 0 ，有 。( x ) 1 彤1 l a + n r l c r r _ 2 rx r a o d r 其中，有4 仅) 2 i 慈凳j 4 ( 船3 ) 1 引理4 1 ，4 2 可参考w a n gf 9 】，引理4 ，3 ，4 4 ，4 5 可参考l i u z h a n 3 】，引理4 7 详见i - i a r m a n 和k u m c h e v 【5 i 我们将在本文第五章证明引理4 6 定理2 的证明我们将主要研究( 4 5 ) 中所产生余项的最复杂部分，也就是下 面的这个多重和 善南石。占。磊。b 似似：m ，z o n 枇。巾叫d a ( 4 7 ) 利用f 5 】中的方法和f 3 】中的迭代。我们可以得到( 47 ) l 1 。扣+ + r 4 ，a)咿(地a)慨x3ia)i以-l i w 8 ( x r l p r 2 ( _ p r a p x 1 m e a t r i n m o d q r o o d r aj 一丽 l ”+ ( w 4 ( x - ) + r i 2 嚣) f ，? i w ( x ： r l _ p 舢m o d r l q px 2n d nk j - ；南 荟矿：。虽( 詹驯锄) 。 脚5 夏i 争5w 圻播) l 茎p x lr o o d n n l a 1 0 山东大学硕士学位论文 用以f 的囊卒估计 哪) - 村蒹e ( 叫幽( ，丙1 ) 朋m ：j v 。 我们得到 耻( 小阳a ) 5 、 ( ；，一d a l 。 何， 且 k ( a ) = 一e ( a u 2 ) d a + o ( 1 ) j o m = 百1 m j e ( m a ) + 0 0 ) 。，蒹。m 也( 叫幽( 何，而1 旷) ， f m _ 、7 我们得到 尥= ( i v z ( a ) 1 2 d a ) ( 上：n d n ( ，击j a i 一2 ) d a ) 5 ( z 赤厶扣矿 回忆( 4 7 ) 只是( 4 5 ) 余项中最复杂的一项，其它的各个余项都可以用j ( 9 ) ， k c o ) ，7 ( g ) ，k 铂) ，甄，( i = 1 ，2 ) 来估计，要得到它们的上界会更加的容易，因此我 们得到( 4 5 ) 的上界是o ( n l “) 最后。参考【5 】和 9 中的讨论，我们得到 厶州妒和) 州州一叫d n ：西m ) n l 一1 f + o ( l 一1 ) ) + o ( n l 一2 1 山东大学硕士学位论文 其中，6 7 是( 4 4 ) 中6 的倍数，而且 嘶，= 未鬻q s p 7 根据以上的讨论，我们可以得到 ，s ( 口) 丁( 口) ( o ) 8 ( 一a n ) d a j 蛳 = 圣( 佗) l 一1 ( + o ( l 一1 ) ) 在【9 】中，作者证明西( n ) 1 ，因此 s ( a ) t ( o t ) h ( o t ) e ( - o t n ) d a l ， j 毋f 由此。定理2 得证 第五章k 7 ( 9 ) 的估计 为了证明引理4 6 ，我们在这一章中将综合使用围道积分，大筛法，h e a t h - b r o w n 恒等式等多种方法 令 疗= ( a ( m ) x ( m ) 一5 x ) e ( m a ) ， m 0 时成立由g a u a g h e r 的引理( 参考【1 5 ，引理1 ) 可知 疋帆划2 ( 南) 2 仁l 。三r 。( 岫c 巾奴，卜 ( 南) 2 止量0 懒c 巾奴，卜 z ， l 秘一p 7虿 r r 陋 b 础唧 1 2 l j 山东大学硕士学位论文 令 y = m a x ( v ， f ) ，x = m i n ( ( v + r q ) ，) ( 5 2 ) 中最后一项和可以写为 ( a ( m ) x ( m ) 一奴) ( 5 3 ) y m x 咖，= 殿鸶置矗5 。 饰m ( s ，x ) _ 磊。絮掣， a ( m ) 2 妾c ) ( - 1 ) 卜l 。篆一( 1 0 s m 1 ) p ( 鸭+ 1 ) p ( 嘞) a ( m ) x ( m ) ， ( 5 4 ) 口( u ，m ) = o ( m - ) x ( m ) a l o ( m l o ) x ( m t o ) “：，裟梦。 1 4 山东大学硕士学位论文 兵中，m 表不同量【肘l ，m 2 ，m 1 0 ) 利用p e r r o n 求和公式，并且把积分围道移到左边，我们有 嘶，m af ，f ( 扣x ) 等a t + 。( 等) 其中，t 是满足2 t n 的一个参数很明显 ! 警= 兰2 ，( x 2 2 “一 + g d u i 矿2 一，( 1 一。2 = ；r u 嘎( 去k s u ) a u x ；一y m 一 r o 另一方面，我们有平凡估计 x j + i t y + i t + i t 综合以上两个上界，我们有 x n 可可 曲( m - ；r q ，鲁)矿i ，可j 舳n ( 簧，等) 取t = n ，t o = 8 7 r n 0 r ，那么 小，m ，警缸如) i 因此，( 5 2 ) 就变为了 a t + ；上7 j ，t o 。；r ，( ；+ 抒，x ) i 嵩+ 。c 上2 ， 疋阢小汗讯l “蹬( 剧f ( 扣x ) 阿 + 丽n 2 l a 4 职t k f ；t 懒) 黔+ 面两肾l 厶。t l ，i 互扣厶x 川雨 酽4 + 丽i i ， 山不大学坝士字位记又 上式中的最后一项在( 5 1 ) 的左式中产生的余项 p 扣、，等一 r r r o o d r 。 因此，我们得到( 5 1 ) 的左式 矿肾pr 】一扣。乏t 限删，讣 + 器嘴渺r 】一扣量l ；，懒) 懦 + n 一 因为g p ，所以n i “在( 5 1 ) 中显然是可以接受的因此为了证明( 5 1 ) ，只需要 证明如下估计， ( 1 ) 当r p 且0 乃t o 时，有 乏曲一- ；+ z 高厶2 1 ，i ( 扣，x ) 卜，_ + 嘣 s ， ( 2 ) 当r p 且 b i n 因此，我们可有 i 上跏) 丁( 嘞( 啪( a ) 幽+ 厶跗) m ) 坳) 砸) d a l 3 1 n 一 回忆定理3 , 1 和( 2 5 ) ，我们可以得出 1 3 1 l ( 上愀妒( 咖( a ) 砸) i 出 + z 11 鼬) m ) ) 弛) i 血) 一+ 5 j ( 11 跏) t ( n ) 弛) 1 7 山东大学硕士学位论文 最后，我们用不等式及w o o l e y 【17 中的方法，有 j ( 1i s ( n ) 丁( 。) z ( n ) i d n ( 0 1i s ( a ) z ( n ) i 。d “) 5 ( 0 1l 丁( a ) i 。d 。) 5 ( n 1 3 i + 1 3 1 2 1 ； l 2 1 3 1 n i + t ， 立刻可以得到 1 3 l 击“ 由此。定理1 得证 1 8 参考文献 1l k h u a ，s o m er e s u l t si nt h ea d d i t i v ep r i m en u m b e rt h e o r y , q u a r t j m a t h ( o x f o r d ) 9 ( 1 9 3 8 ) ，6 8 - 8 0 【2 】j y l i ua n dt z h a n ，d i s t r i b u t i o n0 ，i n t e g e r st h a ta r e8 r i m so ft h r e es q u a r e so f p r i m e s , a c t aa r i t h 9 8 ( 2 0 0 1 ) ，n o 3 ，2 0 7 - 2 2 8 【3 】j y l i ua n dt z h a n ，t h ee x c e p t i o n a ls e ti nh u a st h e o r e mf o rt h r e es q u a r e so f p r i m e s ，a e t am a t h e m a t i c ss i n i c a ，e n g l i s hs e r i e sj a n ，1 9 9 9 ，v 0 1 1 5 ，n o 1 ，p p 1 - 1 1 【4 】x m p e n ，o ne x p o n e n t i a ls u m so v e rp r i m e sa n da p p l i c a t i o ni nw a r i n g g o l d b a c hp r o b 1 e m , s c i c h i n as e r a4 8 ( 2 0 0 5 ) ，n o 0 ，7 8 5 - 7 9 7 【5 】g h a r m o na n da v k u m e h e v ，o n5 u ，wo ，s q u a r e so ，p r i m e s , m a t h ，p r o e c a m b p h i l s o c ( 2 0 0 6 ) ，1 4 0 ，1 【6 】g h ，h a r d y , j e l i t t l e w o o d ：s o m ep r o b l e m so ， p a r t i t i on b m e r o r b m ”i i i ：o nt h e e x p r e s s i o n 巧an u m b e r as a mo fp r i m e s ，a c t am a t h ，4 4 ，1 - 7 0 ( 1 9 2 3 ) 【7 】y u v l i n n i k ，h a r d 口一l i 扰l e w o o dp r o b l e mo nt h er e p r e s e n t a t i o n t h es “mo fap r i m e a n dt w os g u m 岛d o l da k a dn a u ks s s r ，1 2 4 ，2 9 - 3 0 ( 1 9 5 9 ) f 8 】y u v l i r m l k ，a na s y m p t o t i cf o r m u l a 讥a na d d i t i v ep r o b l e md ，肌嘞a n dl i 托l e w o o d , i z va k a dn a n ks s s r ，s e rm a t ，2 4 ，6 2 9 - 7 0 6 ( 1 9 6 0 ) 【9 】m q w a n g ，t h ee x c e p t i o n a l t 讯t h et w op r i m es q u a r e sa n dap r i m ep r o b l e m ，a c t a m a t h e m a t i c as i n i c a ，e n g l i s hs e r i e sj a n ，1 9 9 9 ，v 0 1 1 5 ，n o 1 ，p p i - i i 【1 0 】m c l e u n g ，m c l i u ，o ng e n e r a l i z e dq u a d r a t i ce q u a t i o n s 讥t h r e ep r i m ev a r i a b l e s ， m h m a t h ，1 1 5 ，1 3 3 - 1 6 9 ( 1 9 9 3 ) ， 【1 1 】a g h o e h ，t h ed i s t r i b u t i o no yo p 2m o d u l o1 ，p r o e l o n d o nm a t h s o c ( 3 ) 4 2 ( 1 9 8 1 ) ， 2 5 2 - 2 6 9 【12 】g h a r m a n ，o nt h ed i s t r i b u t i o no o pm o d u l oo n e ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 2 7 ( 1 9 8 3 ) ， 9 - 1 8 【1 3 】r c b a k e r ，g h a r m a na n dj p i n t z ，t h ee x c e p t i o n a ls e tf o rg o l d b a c h sp r o b l e mi n s h o r