（固体力学专业论文）基于偶应力理论的无网格法.pdf

山东大掌硕士掌位论文 摘要 应变梯度理论是为解释材料在微米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一 种理论。本文基于对当前国内外的应变梯度理论和无网格法的细致分析及综合整 理，将偶应力理论与无网格伽辽金法有机的结合，发展了一种新型的无网格法， 并在此基础上编写了m a t l a b 程序，通过实例验证了此方法的可行性及有效性。 本文主要研究内容和结论有： 对偶应力理论的力学行为进行了系统的描述研究并推导了平面应力及平面 应变状态下偶应力理论的本构关系和控制方程，本文为讨论方便仅详细讨论了平 面应力变形下弹性偶应力理论的情况。 系统地分析总结了近年来无网格方法的发展，针对无网格伽辽金法发展了一 种基于偶应力理论的新型的无网格方法。基于移动最小二乘法的无网格伽辽金法 摆脱了有限元法节点和单元之间彼此联系的约束，能够比较自由的根据实际几何 实体情况布置节点、积分子区域，并能够根据可能的位移形式采取合适的基函数， 所以计算精度比较高。在此基础上，编写m a t l a b 程序，验证经典算例。 本文分析了带中心小孔的无限平板在单轴拉伸及纯剪状态下的应力集中情 况，验证无网格法在分析小孔应力集中问题时的可行性、正确性及有效性，并讨 论了影响无网格法计算精度的因素，着重分析了几种常用权函数在数值计算时的 特点、权函数影响域的大小对计算结果的精度的影响等等。偶应力的存在对圆孔 周围应力集中起了缓解作用，当小孔半径与材料内禀长度相当时。应力集中因子 偏小，并且应力集中因子随a l 的增大而增大，最终趋近于经典塑性理论解。应 力集中因子还与泊松比有关，随泊松比的减小而减小算例证明了该方法具有效 率高、精度高和稳定性好等优点。 最后，对基于应变梯度理论的无网格法的应用及发展做了展望。 关键词尺寸效应；应变梯度理论；偶应力理论；无网格法；最d x - 乘法 1 1 1 山东大掌硕士学位论文 一 a b s t r a c t h io r d e rt oe x p l a i nt h es i z ee f f e c tf o rm a t e r i a l si nt h es c a l eo f m i c r o nm e t e r s t h e s t r a i ng r a d i e n tt h e o r yw a sd e v e l o p e d b a s e do nt h ea n a l y s i sa n da r r a n g e m e n to f p r e s e n ts t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e sa n de l e m e n t f r e em e t h o d s ，t h ee l a s t i c i t yc o u p l es t r e s s t h e o r yi sc o m b i n e dw i t he f g m ( e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ) i nt h i sp a p e r , a n d d e v e l o p e dan e we l e m e n t f r e em e t h o d m a t l a bp r o g r a m sa r ec o m p i l e d0 nt h i s m e t h o d ，t o g e t h e rw i t hs o m ee x p e r i m e n t s ，p r o v e di t sf e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c y t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n ta n dc o n c l u s i o na r es t a t e da sf o l l o w e d ： t h em e c h a n i c sc h a r a c t e ro fc o u p l es t r e s st h e o r yi sa n a l y z e d s y s t e m i c a l l y e q u a t i o no fb a l a n c e ，e q u a t i o no fm o t i o n , e q u a t i o no fc o m p a t i b i l i t ya n dc o n s t i t u t i o n e q u a t i o no f c o u p l es t r e s st h e o r ya r ed e r i v e di nb o t hp l a n es t r a i nd e f o r m a t i o na n dp l a n e s t r e s sd e f o r m a t i o n f o rt h ec o n v e n i e n c eo fd i s c u s s i n g , e l a s t i c i t yc o u p l es t r e s st h e o r y i np l a n es t r e s sd e f o r m a t i o ni ss t u d i e di nt h ep a p e r a n e w e l e m e n t - f r e e m e t h o d i s d e r i v e d , w i t h t h ee l a s t i c i t yc o u p l es t r e s st h e o r y c o m b i n e dw i t he f g m t h ed e v e l o p m e n to ft h ee l e m e n t - f r e em e t h o d sd u r i n gr e c e n t y e a r si ss t u d i e d ，a n dt h er e s e a r c hp r o g r e s si ne l e m e n t - f r e em e t h o d si sd i s c u s s e di n d e t a i li nt h i sp a p e r e f g m ，w h i c hi sb a s e do nt h em o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ，i sn o t c o n s t r a i n e db yt h ec o n n e c t i v i t yb e t w e e ub o d e sa n de l e m e u t si nt h ef i u i t ee l e n x e n m e t h o d i tc a nf r e e l yd i s t r i b u t en o d e sa n di n t e g r a t i o ns u b d o m a i n sa c c o r d i n gt ot h e a c t u a lg e o m e t r y , a n di tc a n a p p l yt h ep r o p e rb a s i sf u n c t i o na c c o r d i n gt ot h ep o s s i b l e d i s p l a c e m e n tf u n c t i o n ，h a v eag o o dc o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o n m a t l a bp r o g r a m s a r e c o m p i l e dt ov a l i d a t es o m ee x p e r i m e n t s t od e a lw i t hs t r e s sc o n c e n t r a t i o np r o b l e m s ，t h ep r o b l e m so f t h ec i r c u l a rh o l ei na f i e l do fu n i f o r mt e n s i o no ri naf i e l do ft e n s i o no rc o m p r e s s i o n si nt w op e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n sa r es o l v e d t h ec o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o no fm l s ( m o v i n gl e a s t s q u a r e s ) - b a s e d e l e m e n t f r e em e t h o di s a n a l y z e d ，s o m ec o m m o n l yu s e dw e i g h t f u n c t i o n sa r es t u d i e d a tt h es a m et i m e , t h ee f f e c to ft h ec o m p a c ts u p p o r to nt h e c o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o ni ss t u d i e d w h e nc o u p l es t r e s sm u s tb ec o n s i d e r e d ，t h es t r e s s c o n c e n t r a t i o nf a c t o rd e c r e a s e sa n di n c r e a s e sw i t ha l ( h o l er a d i u s c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h ) i n c r e a s e s ，a n df i n a l l yi ta p p r o a c h e sc l a s s i c a la n s w e r t h es t r e s sc o n c e n t r a t i o n 山东大掌硕士掌位论文 f a c t o r a l s o d e p e n d so np o i s s o n sr a t i o n , d e e r e a s i n g w i t h p o i s s o n sr a t i o n a l l t h e s e s h o wt h a tt h en e wm e t h o dp o s s e s s e ss e v e r a la d v a n t a g e s ，s u c ha sh i g ha c c u r a c y , h i g h s t a b i l i t y , a n dh i g he f f i c i e n c y l a s t l y , t h ed e v e l o p m e n to fd e m e n t 一矗e em e t h o db a s e do ns t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s i sf o r e e a s t e d k e y w o r d ss i z ee f f e c t ；s t r a i ng r a d i e n tt h e o r y ；c o u p l es t r e s st h e o r y ；e l e m e n t f r e e m e t h o d ；m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：毯鲞藿一日期：2 盟丛丛 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解l b 东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：魏盘童导师签名：至望墨盈日期：旦 ：堕：兰f 山东大掌硕士掌位论文 第1 章绪论 1 1 材料的应变梯度效应 近年来，随着科学技术的迅猛发展，微型产品的尺寸已经小到微米及亚微米 量级，为了把连续介质力学成功的应用于细观尺度，必须精确的测量细观尺度下 材料的性质，它可能与常规尺度下材料的性质有很大的差异。新近的一些试验表 明：微尺度下，材料的行为和常规材料有显著的不同。如f l e c k 掣1 l 在细铜丝拉 伸及扭转试验中观察到，微米量级的不同直径的细铜丝在拉伸试验中材料没有出 现明显的尺寸效应，但在扭转试验中，当细铜丝的直径从1 7 0 p m 减少到1 2 m 时， 无量纲化的扭矩增加至原来的3 倍。s t o l k e n 和e v a n s l 2 1 在薄梁弯曲实验中观察到 当梁的厚度从1 0 0 z m 减少到1 2 5 p m 时，无量纲化的弯曲硬度也显著增加。在微 米量级的尺度下，微米及亚微米压痕实验与颗粒增强金属基复合材料中也观察到 尺度效应，压痕压入深度小于5 0 z m 时，压痕硬度表现出非常强烈的尺寸效应， 对于金属材料，所测得材料硬度值随着压入深度的减小可达到传统硬度值的2 倍 到3 倍左右【”】；对于以碳化硅颗粒加强的铝硅基复合材料，l l o y d 8 】观察到当 保持颗粒体积比为1 5 的条件下，将颗粒直径从1 6 a n 减为7 5 p m 后复合材料的 强度显著增加。以上这些试验现象都是由于材料的应变梯度效应，即材料在微米 尺度下的尺寸效应。 传统的塑性理论中，本构关系不包含任何特征长度尺度，所以它不能预测微 米尺度下的尺度效应然而，在工程实践中迫切需要处理微米量级的设计和制造 问题。例如，厚度在l ，删或者更小尺寸下的薄膜；整个系统尺寸不超过1 0 z m 的 微传感器、微致动器和微电子机械系统( m e m s ) ；零部件尺寸小于1 0 的微 电子封装；颗粒或者纤维的尺寸在微米量级的先进复合材料及微加工等等。现在 的设计方法，如有限元方法( f e m ) 和计算机辅助设计( c a d ) 等等，都是基于 经典的弹塑性理论，在这一微小尺度不再适用。另一方面，目前还不可能按照量 一 山东大掌硕士掌位论文 子力学和原子模拟的方法进行微米尺度构元所需要的实时与实际尺度的量子与 原子模拟。所以，建立连续介质框架下、考虑尺寸效应的本构模型就成为联系经 典塑性力学和原子模拟之间必要的桥梁发展细观尺寸下连续介质力学理论的另 一个目的是在韧性材料的宏观断裂行为和原子断裂过程之间建立联系。经典塑性 理论不能很好的模拟裂纹尖端小尺寸范围内的变形。h u a n g 等关于应变梯度理论 在断裂力学上的应用在文 9 】中做了详细的介绍，应变梯度塑性理论在材料断裂中 的应用也相当重要。 1 2 应变梯度理论背景、发展现状及应用 二十世纪初，c o s s e r a t 兄弟1 1 0 l 提出微极非线性弹性理论，该理论中考虑每一 个材料粒子作为一个完美的刚性颗粒。变形时不仅有位移产生，还伴随着转动， 每一个物质元有6 个自由度，导致了应变和应力张量的非对称性。此理论为非线 性理论，当时并非用来分析弹性理论框架下的一些问题，而是考虑了一些非理想 的流体，并试图分析了一些电子动力学问题，但它没有引进本构关系，所以一直 没有引起人们的关注。到了2 0 世纪6 0 年代，一些学名将原先的c o s s c r a t 理论加 以拓广，仅利用位移矢量来描述连续介质理论。t o u p i n 讨论了在连续介质中引入 高阶梯度的基本原理，假定应变能密度函数不仅依赖于应变而且依赖于转动梯 度，得到线弹性偶应力理论f 1 1 l 。m i n d l i n 认为连续介质中每一个物质点从微观角 度可以看作一个胞元，这个胞元不仅跟随连续介质作宏观运动和变形，而且自身 还有微观位移和微观变形。因此，应变能密度函数不仅依赖于应变张量，而且依 赖于变形张量及微观变形梯度。1 9 6 8 年，g r e e n ，m c i n n i s 和n a g h d i 提出了一种 塑性微极理论【1 2 】；另外n a g h d i 和s r i n i v a s a 发展了c o s s e r a t 理论并分析了含有位 错演化的问题。所有这些理论都是基于简化的偶应力理论基础上，也就是只有位 移矢量为变量，物质转动矢量与位移矢量相互联系，即妒：国：( 娑一娑) 2 。 0 霄 c r y 近年来，引进表示长度量纲的参数已提出了几种应变梯度理论。a i f a n t i s 等 把应变梯度表示为等效应变的一次和二次拉普拉斯算子，但在他们的理论中没有 定义应变梯度的功共轭量。1 9 9 3 年，f l e c k 和h u t c h i n s o n 从几何必需位错及统计 1 山东大掌硕士掌位论文 储存位错角度出发，发展了一种只考虑转动梯度影响的应变梯度理论一- - c s ( c o u p l es t r e s s ) 应变梯度塑性理论0 3 1 。随后f l e c k 和h u t c h i n s o n 又提出了一套完一 整的应变梯度理论一- - s g ( s t r e t c ha n dr o t a t i o ng r a d i e n t ) 应变梯度理论【1 4 】，既考 虑了转动应变梯度，又考虑了拉伸应变梯度，可以用来分析裂纹尖端场或微米压 痕问题。s h u 和f l e c k ( t s 在f l e c k 和h u t c h i n s o n 理论框架上提出了一种适用于晶 体的应变梯度公式，并用来分析了强度及变形都与尺寸有关的单晶材料及金属基 复合材料的微观应变场n i x 和g a o 发展了一种简单的位错模型，用来估计圆锥 压头下的几何必需位错密度【1 6 】；1 9 9 9 年，g a o 和h u a n g 等在n i x 和g a o 的启示 下，发展了一种基于位错机制的应变梯度塑性理论，简称m s g ( m e c h a n i s m - b a s e d s t r a i ng r a d i e n t ) 理论【m 培l 。m s g 应变梯度理论通过一个多尺度，分层次的框架， 实现了宏观塑性理论和位错理论的联系。然而上述几种理论都引入了高阶应力， 本构关系及边界条件都相当复杂。a c h a r y a 和b a s s a n i 1 9 1 讨论了一种率无关框架， 在这个框架下，应力增量和应变增量通过塑性硬化模量相关，而这个塑性硬化模 量不仅依赖于塑性应变，而且依赖于塑性应变梯度，c h e r t 和w a l l 分2 0 】在j 2 形变 理论增量形式的基础上，给出了一种具体的硬化关系，应变梯度仅作为内变量来 影响材料的切向硬化模量。随后c h e r t 和w a n g 在一般偶应力理论框架下提出了 种新的转动梯度理论【2 l 】，结合考虑拉伸应变梯度的增量硬化关系，形成了一套 完整的应变梯度理论【2 2 1 同样为了避免引进高阶应力的复杂性，h u a n g 等在2 0 0 1 年提出了一种n 盯理论f 2 3 1 。另外，黄克智院士，余寿文教授等对应变梯度理论 也有系统的研究。 利用偶应力理论( c s 应变梯度塑性理论) 对前面提到的细铜丝扭转、薄梁 弯曲和颗粒增强金属基复合材料等进行分析，理论结果与实验结果基本吻合。 f l e c k 和h u t c h i n s o n 应用应变梯度理论计算了由于稀疏的刚体颗粒夹杂引起的宏 观强化，由于稀疏孔洞引起的宏观软化等等。很多学者利用应变梯度理论对微米 及亚微米压痕、裂纹尖端场断裂也进行了研究。e l s s n e r 等【冽测量了单晶铌蓝 宝石界面的宏观断裂韧度和原子分离功。使用专门设计的四点弯曲试件测量宏观 断裂功，以测出界面韧性。原子分离功通过界面上的微观孔隙平衡形状来确定。 尽管铌是韧性材料，具有很多位错。但这两种材料的界面裂纹仍保持为原子尺度 一 山束大掌硕士掌位论文 的尖裂纹，即裂尖没有外钝化。原子点阵或强界面分离所需要的力约为o 0 3 e 或 者仃，( e 为弹性模量，q 为拉伸屈服应力) 。而按照经典的塑性理论， h u t c h i n s o n 2 5 1 指出裂纹前方最大应力水平只能达到4 5 倍o r r ，远远小于在试验 中观察到的结果，不足以达到使原子分离。为了解释这一现象，利用偶应力应变 梯度理论，文 2 6 - 2 9 1 获得了i 型、i i 型和混合型的裂纹尖端渐进解；偶应力理论 中，位移的二阶梯度只涉及旋转梯度，没有考虑拉伸应变梯度，而i 型问题的裂 尖场是无旋的，旋转梯度变为低阶项，f l e c k 和h u t c h i n s o n 提出s g 理论( 拉伸 和旋转梯度理论) ，此理论中既考虑了旋转梯度，还考虑了拉伸梯度，得到了比 偶应力理论高的多的裂尖应力场。对于压痕问题，b e g l e y 和h u t c h i n s o i a 3 0 1 利用 f l e c k 和h u t c h i n s o n 理论同时考虑了转动及拉伸梯度，分析了不可压缩情况下当 微尺度小于压痕接触面径向半径时的情况，并将分析结果应用于s t e m a s h e n k o 等 人关于钨的压痕试验结果中，获得该材料的微尺度参量在0 2 5 0 5 2 n w 之问。 h u a n g 等利用m s g 理论，不考虑弹性变形和材料压缩性研究了微米压痕实验。 w e i 等采用f l e c k 和h u t c h i n s o n 塑性应变梯度模型并对可压缩弹塑性一般情况进 行了分析，还对单晶铜和单晶铝进行了微压痕实验研究，理论预测结果和实验结 果很好地吻合。对于颗粒增强金属基复合材料，颗粒强化及尺寸效应主要是通过 应变梯度效应来表现的。文 3 1 - 3 2 利用体胞模型研究了颗粒的长径比、颗粒的体 积份数、及基体材料的硬化指数对复合材料性能的影响，并发展了一些定量关系， 预测结果与实验结果复合。b o l a n d 等利用实验系统研究了一系列不同体积分数金 属纤维增强铝合金基体复合材料。实验结果表明颗粒增强金属基复合材料的力学 特性对颗粒尺寸的大小非常敏感。2 0 0 1 年，w e i 3 3 】利用f l e c k 和h u t c h i n s o n 应变 梯度理论研究了颗粒的尺寸对复合材料强度的影响，结果与实验结果大致相符。 1 3 基于应变梯度理论的无网格法 1 3 1 无网格法的背景及现状 4 传统的计算方法像有限元法、有限差分法等等在分析处理一些大变形的冲压 山东大掌硕士掌位论文 成型，裂纹扩展等问题时，遇到许多问题。主要原因是网格的存在妨碍了处理与 原始网格线不一致的不连续性和大变形。在处理随时问变化的不连续性和大变形 时，常用的是网格重构，这样不仅计算费用昂贵，而且会使计算精度严重受损 同时，复杂三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。边界元法只需要 在边界及裂纹表面布置节点，避免了网格重新划分的问题，但是边界元法在处理 多介质问题、复杂非线性问题及模拟施工过程方面所遇到的困难限制了它在工程 数值分析中的应用。 无网格法是近年来兴起的一种与有限元法相类似的数值计算方法。无网格法 摆脱了传统的单元和网格的概念，仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信 息，不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了连续性好，形式灵活的场函数， 在处理弹塑性，裂纹扩展，移动界面，高速碰撞以及具有大变形特性的工业成形 问题时具有广阔的发展前景。 最早对无网格法的研究是二十世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的研究 3 4 - 3 5 1 ，1 9 7 7 年l u c y t 和g i n g o l d 等分别提出了光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e d p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，简称s p h ) ，并且成功的用于天体物理领域中。j o h n s o n 等提出了归一化光滑函数算法【3 6 1 ，提高了s p h 的精度，并使其能够通过分片试 验，可以正确模拟常应变状态；张锁春对s p h 方法进行了综述【翊，贝新源等将 s p h 方法用于高速碰撞问题【3 8 1 。n a y r o l e s 等于1 9 9 2 年将移动最d , - - 乘近似 ( m o v i n g l e a s ts q u a r e ，简称m i s ) 引入g a l e r k i n 法中，提出了散射元法( d i f f u s e e l e m e n tm e t h o d ，简称d e m ) 。b e l y t s c b k o 等对d e m 进行了两点改进，在计算形 函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略掉的所有项，并利用拉格朗日乘子法引入本质 边界条件，提出了无单元g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，简称 e f g ) f 3 9 1 ，给出了误差估计，并成功地应用于动态裂纹扩展数值模拟和三维撞击 分析。b e l y t s c h k o h e 等对e f g 方法中的数值积分方案以及近似函数的计算方法进 行了深入的研究。并将e f g 方法用于动态裂纹扩展的数值模拟，克服了有限元 方法在模拟裂纹扩展时需要不断进行网格重新划分的缺点：l h l 等将e f g 和边界 元法相祸合，用于固体的应力分析i 柏】；b e l y t s c h k o h e 和h e g e n 等将e f g 方法和 有限元法耦合，以发挥各自的优势；庞作会等也对e f g 方法进行了介绍【4 1 】，并 一 山东大学硕士掌位论文 将其应用于边坡开挖问题中【4 2 1 ；陈建等采用e f g 法计算含边沿裂纹功能梯度材 料板的应力强度因子【4 3 】。研究表明：e f g 法精度和收敛度都高于有限元法，而 且没有体积锁死现象，但是e f g 法计算量大，并且需要借助背景网格进行数值 积分。o n a t e 等利用移动最小二乘法来构造近似函数，并采用配点格式进行离散， 提出了有限点法( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ，简称f p m ) ，该方法不需要背景网格， 效率高，主要用于流体动力学领域。l i u 等根据函数积分变换的思想，基于伽辽 金法提出了重构核点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，简称r k p m ) ，并 结合小波( w a v e l e t s ) 概念，构造了多尺度重构核点法( m u l t is c a l er e p r o d u c i n g k e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，简称m r k p m ) 。o h s 等用重构核函数近似和配点法，提 出无网格配点法( m e s h l e s sp o i n tc o l l o c a t i o nm e t h o d ，简称p c m ) ，并用于分析 压电元件。o d e n 等利用移动最4 , - - 乘法建立单位分解函数，由此构造权函数和 试函数，再通过g a l e r k i n 法建立离散格式，提出了i - i p 云团( c l o u d s ) 法。b 如u s k a 等将单位分解法与有限元法相结合，提出了单位分解有限元法和广义有限元法， 该方法在求解动态裂纹扩展问题时，可以处理任意裂纹形状，并且不需要重新划 分网格。a f l u r i 等提出局部边界积分方程法( l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d ，简称l b i e ) 和无网格局部法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d ， ； 简称m l p g ) 。这两种方法都是用移动最小二乘法建立场函数的近似，用局部 p e t r o v g a l e r k i n 法建立无网格格式，积分时不需要背景网格。基于g a l e r k i n 法的 无网格法精度高，但需要数值积分，计算量大，而且要引入背景网格基于配点 法的无网格法计算效率高，但精度低，稳定性差。张雄等基于最4 , - 乘法提出了 最小二乘配点无网格法t 4 4 和加权最小二乘无网格法【4 5 1 ，该方法兼有g a l e r k i n 法和 配点法的优点，是一种很有发展前途的无网格法。 与有限元法不同，无网格法中使用的近似函数大都不具有插值特性，因此处 理本质边界条件时有一点困难。b e l y t s c h k o 、a t l u r i 、m u k h e r j e e 、l i u 和张雄等都 对本质边界条件的处理进行了深入的研究，提出了直接配点法、拉格朗日乘子法、 修正变分原理、罚函数法【妊4 8 】、与有限元耦合法、容许近似法、达朗伯原理、修 正配点法和位移约束方程法等方法。 无网格法从本质上说都是基于变分原理和加权残值法的。由于它采用的形函 6 山幕大掌硕士掌位论文 一 一数以移动最小二乘的方式来拟和真实解，因此比有限元法有更高的精确度，其解 的收敛性往往取决于权函数的构造形式。对边界非线性，如疲劳裂缝开展，接触 问题，应力集中等问题，无网格法具有独特优势。有限元法在解决这类问题时往 往在处理边界变化过程中对网格需要迭代修改，计算精度差，且工作步骤繁琐， 而无网格法在技术处理上一般只需要在变化边界上加密布置节点即可反应其变 化过程。 建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似( 而非插值) 以及采用不同 的形函数是无网格法与有限元法的主要区别。采用定义在离散点上的( 通常具有 紧支特性) 的一组权函数和基函数来构造近似函数，而不用定义在全域上的级数 展开形式是无网格法与经典加权残量法的主要区别。无网格法具有以下优点【4 9 】： 1 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的困难， 适用于处理高速碰撞、动态断裂、塑性流动、流固耦合等涉及大变形和需要动态 调整节点位置( 网格) 的各类应用问题。 2 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，适用于 分析各类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题。 3 ) 采用紧支函数的无网格法和有限元法一样具有带1 犬稀疏系数矩阵的特点， 适用于求解大型科学与工程问题。 4 ) 无网格法的自适应很强。在 自适应分柝中不需要重新划分网格，且极 易实现p 自适应分析，若引进小波函数还具有多尺度分析功能。 5 ) 无网格法的前处理只要节点位置信息，不用网格信息，比有限元法简单。 6 ) 无网格计算的结果是光滑连续的，不必再进行应力光顺化等后处理。 1 3 2 考虑偶应力的无网格法的研究目的及意义 考虑应变梯度理论的实际问题很难获得解析解，用有限元法来求解的主要困 难在于，计算结果与单元的选取有很大的关系，单元的选取也比较复杂，尤其是 其对本构关系的敏感性。而且单元位移试解有更高的连续性要求，应力不仅和应 变有关，还和应变梯度有关，所以要求位移试解引；c 1 另外，与经典弹性理论 不同，偶应力理论的应力分量在本构关系中并不都是确定的，考虑平衡方程时还 7 山东大掌硕士掌位论文 r ! ! 自g ! e 目| g ! ! ! ! ! ! g ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! g 自目自自目e = ! ! 目j 目! g 目e 自目目目e _ j _ e _ g 自自| ! 目! 目_ _ g g g 自e ! ! e ! ! ! 置 应注意到不确定的应力分量。x i a 和h u t c h i n s o n t 2 9 1 曾经针对平面应变裂纹问题， 讨论了应变梯度有限元实现的困难。偶应力弹性体比经典弹性体具有更多的材料 常数，迄今只有少数的平面问题有了解析解。经典连续介质力学提出的各种变分 原理以及有限元法等在偶应力问题中的应用也不多在h c r r m a n n t 5 0 1 和w o o d 卯l 等几篇探讨偶应力问题的有限元方法的论文中，所采用的单元或者数值性能并不 理想或者计算效率较低。鉴于此，本文尝试结合无网格法求解偶应力问题，也可 以说是发展一种考虑偶应力理论的新型的无网格法本文中，考虑到偶应力问题 的特点及工程实用性，而且限于时间及篇幅等问题，针对e f g 方法结合偶应力 理论进行了详细的推导论证。 无网格法的产生虽然已有2 0 多年的历史，但发展缓慢，直到最近几年才略 见起色。和有限元法相比还有很多不成熟的地方，比如计算效率、严格地数学论 证、边界条件处理和大量应用实例等方面，更未形成有效地应用软件。另外，用 m l s 和r k p m 等建立无网格近似函数时，涉及到对矩阵求逆，计算量较大基 于g a l e r k i n 法的无网格法( 如e f g 、r k p m 、l m p g 等) 需要在每个背景网格中 使用高阶高斯积分以保证计算精度，计算量比较大基于配点法的无网格法计算 效率高，但精度低，稳定性差。虽然无网格法还远不成熟，但出于它不需要网格， ： 因此它在超高速碰撞、裂纹扩展、金属加工成型等领域中具有广阔的发展前景。 当然，理论是为工程所应用有效地理论将直接影响工程的应用，提出更简 单可行的理论及有效地计算方法将是实际工程更迫切需要的。考虑偶应力的无网 格法，目前在国f q # f 还没有发现类似功能的商品化软件。所以开发此类无网格软 件，或对现有的无网格应用软件进行扩展，设计良好有效的接口程序，具有广阔 的发展前景和良好的经济效益本课题的研究将在此方面做相应的理论准备，因 此具有较强的现实意义。 1 4 主要研究内容 ( 1 ) 对偶应力理论的力学行为进行了系统的描述。 从一般应变梯度理论( 偶应力理论) 出发，推导出平面问题的弹性偶应力理 论，建立弹性偶应力理论的本构模型和控制方程。由于出现了偶应力分量以，凡， 山东大掌硕士掌位论文一 为了确保微元体的转动平衡，应力张量可以是不对称的另外，不同于经典弹性 理论及微极理论，偶应力理论的应力分量在本构关系中并不都是确定的，因此考 虑平衡方程时还应注意到不确定的应力分量。 ( 2 ) 系统地分析总结了近年来无网格方法的发展，针对无网格伽辽金法发 展一种基于偶应力理论的无网格方法。 。 用上面推导出的本构模型及控制方程代替传统的本构模型及控制方程，创建 一种新型的无网格方法。传统的位移模式为矿= 函川7 ，考虑偶应力后变为 矿_ 【u | 口l r ，口为角位移应变分量由原来的。= 【1 r 变为 = k5b 五以n 增加了两个弯曲应变分量苁和磊应方分量也由原来 的口= 【吒乃】r 变为盯= 【吒q 以以】r ，f l 为切应力对称分量本文中 只讨论切应力对称分量，以和以为偶应力分量。偶应力理论的平衡方程、应交 位移关系、本构关系以及弹性体的应变能和应变余能都需要在经典弹性力学的基 础上做一些修正，考虑偶应力的无网格法在强加边界条件、变分原理以及最后的 数值实现过程等方面都要发生相应的变化，这样大大增大了计算难度。同时本课 题的又一重要任务就是对无网格法进行改进，最终能找到一种效率高、精度高、 稳定性好的理想的计算方法 ( 3 ) 应用前面推导的考虑偶应力的无网格法，编写m a t l a b 程序、验证经典 算例，从而验证此方法的可行性、正确性及有效性。 ( 4 ) 针对小孔应力集中问题进行分析。 本文分析了带中心小孔的无限平板在单轴拉伸及纯剪状态下的应力集中情 况，验证无网格法在分析小孔应力集中问题时的可行性、正确性及有效性，并讨 论了影响无网格法计算精度的因素，着重分析了几种常用权函数在数值计算时的 特点、权函数影响域的大小等等。对于考虑偶应力的应力集中问题，应用本文推 导的考虑偶应力的无网格法进行试算，并与经典解进行比较。偶应力的存在对圆 孔周围应力集中起了缓解作用，当小孔半径与材料内禀长度相当时，应力集中因 子偏小，并且应力集中因子随a l 的增大而增大，最终趋近于经典塑性理论解。 应力集中因子还与泊松比有关，随泊松比的减小而减小。 一 山东大掌硕士掌位论文。 第2 章偶应力理论 2 1 偶应力基本理论 材料进入塑性变形后，其内部位错的积聚可分为两类：一种是在简单拉伸、 压缩等均匀变形中位错相互随机捕获，从而导致位错在晶粒周围大量缠结 ( t r a p p i n g ) ，通常把这部分位错称为“统计储存位错”( s t a t i s t i c a l l ys t o r e d d i s l o c a t i o n s ) ；另一种是与材料在剪切、弯曲等载荷作用下其形状改变相协调的 “几何必需位错”( g e o m e t r i c a l l y n e c e s s a r y d i s l o c a t i o n s ) 。a s h b y l 5 2 1 证实，材料的 尺寸效应主要由与变形协调相适应的几何必需位错控制。 现在已经提出了多种应变梯度理论，f l e c k 和h u t c h i n s o n ”肄根据上面提到 的位错理论发展了一种应变梯度塑性理论，它是经典的以形变或，z 流动理论的 推广。在理论中为了考虑旋转梯度的影响，引入了偶应力【1 1 ”5 1 并且满足二阶变 形梯度本构律的c l a u s i ud u h e m 热力学限制条件 5 6 , _ s 7 1 前面绪论中提到的细铜丝 扭转、薄粱变曲和颗粒增强金属基复合材料的尺寸效应等都能通过偶应力理论得 ； 到很好的解释。 在偶应力理论本构关系中为了平衡应变和应变梯度的量纲，引入了材料常数 ，( 长度量纲) ，它是依赖于材料的微结构 1 j 9 l 的特征常数，称为材料的内禀长 度。当所讨论的物理现象( 如裂纹长度，小孔半径、波长等等) 的特征尺寸工比 材料内禀尺寸，大得多时，应变梯度效应小到可以略去，因为应变梯度项比应变 项占的贡献小得多，即l d s i d x 一( 1 l l ) e “占，此时该理论退化为经典的，：塑性理 论：但是当特征尺寸工与材料内禀尺寸，属于一个数量级时，应变梯度效应就很 重要，偶应力的影响必须考虑在内 从本质上讲，在偶应力理论中，考虑每一个材料粒子作为一个完美的刚性颗 粒，材料在发生变形时，不仅发生简单的位移，还伴随有微粒自身的转动。这样， 每一个物质元有六个自由度，增加了微转动自由度和偶应力分量，导致了应变和 i o 山泵大掌硕士掌位论文 应力张量的非对称性。偶应力理论的平衡方程、应变位移关系、本构关系以及弹 性体的应变能和应变余能都需要在经典弹性力学的基础上做一些修正。另外，不 同于经典的弹性理论的一点，偶应力理论的应力分量在本构关系中并不都是确定 的，因此考虑平衡方程时，还应该注意到不确定的剪应力分量。 2 2 控制方程 2 2 1 平衡方程 图2 1 直角坐标系中的正应力，切应力及偶应力 如图2 1 示，考虑偶应力后，平面微元体的应力分量在经典弹性理论的基础 上增加了偶应力以和以。 图2 2 为考虑应力分量沿长度方向微小变化时的应力图。 一 山东大学硕士学位论文 _ | 目目i l l 目e _ e 自目! g | ! s ! e 目j 自! e 目目j e ! ! e _ e ! ! e 目l ! ! ! _ 目e j s 自目_ _ _ 目e ! ! i | 目目 + 詈氐 氐 图2 2 直角坐标系中的正应力、切应力及偶应力 ( 考虑应力分量沿长度方向的微小变化) 由力平衡e = d ，0 = d 及力矩平衡以；d ( d 为微元体左下角点) ， 可得到( 不计体力和体力偶时) ： 1 2 ( 吒+ 等瓯一吒坶+ ( k + 等。一域= 。 ( 2 2 1 a ) ( 巳+ 等g 训州勺+ 誓疋叫删 ( 以+ 警疋刊。+ + 等。训疋+ ( + 誓鹕纠k + 等说+ ( 巳+ 等g 吲驴2 叱+ 誓瓯训和= 。 ( 2 2 1 b ) ( 2 2 i c ) 一 山东大掌硕士掌位论爻 从而得到平衡方程( 考虑到微元体的尺寸比较小，正和为微小量，可忽 略式( 2 2 1 e ) 中高阶小量) ： ( 2 2 2 a ) ( 2 2 2 e ) 由于偶应力的出现，剪应力和f ，不再恒等。习惯地将剪应力写成对称分 量r ，和反对称分量。两部分： 式( 2 2 3 ) 也可写作： f l = ( f f + f ) 2 t 。= q 口一t b ) 2 t h 2 t l + t 口 幺。一 趁一垣 y y y 图2 3 剪应力对称分量和反对称分量产生的剪应变及微转动 f 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) + 一 ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) i i = 可 爹争秒 盘砂 盘砂 钞 等等咎 由式( 2 2