（基础数学专业论文）smarandache函数及相关函数的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 函数的均值估计问题在解析数论的研究中占有十分重要的位置，许多著 名数学难题皆与之相关因此，在这一领域的任何实质进展都必然对解析数 论的发展起到重要作用著名的美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 一生中引入了许多十分有趣数列和数论函数，并提出了许多问题和猜想 他在1 9 9 1 年发表的只有问题，没有解答! 一书中提出了1 0 5 个关于数论 函数和序列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题和猜想，并且有的 已经得到了一些十分重要的结果 本文研究了s m a r a n d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 原函数、s m a r a n d a c h e 对偶 函数和s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一些性质和相互关系，得到了一些漂亮的结 论并且用初等的和解析的方法研究了第二类s m a r a n d a c h e 伪5 倍数数的倒 数所形成的级数的性质、次阶乘部分序列和优阶乘部分序列的性质，给出 了级数收敛的充分条件而且通过研究s m a r a n d a c h e - r i e m a n nz e t a 序列的性 质推翻了m m t h y 的一个猜想本文还研究了正整数的六边形数的补数部分 函数与除数函数、欧拉函数的混合均值性质以及多组组合数c 。k 。l k 。) 在q 函数 上的值分布性质 关键词：s m a r a n d a c h e 函数；方程的解；均值；渐近公式 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em e a nv a l u ep r o b l e m so ff u n c t i o n sp l a y 觚i m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo f a n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to f a n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h e i n t r o d u c e dh u n d r e d so f i n t e r e s t i n gs e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dp r e s e n t e d m a n yp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e si nh i sf i f e i n1 9 9 1 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d o n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n - j e c t u r e sa b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e si ni t ，m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s e s e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k ，a n do b t a i n e di m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h ep u o p e r t i e so fs m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，s m a r a n - d a c h ep r i m i t i r ef u n c t i o n ，s m a r a n d a c h ed u a tf u n c t i o na n ds m a r a n d a c h ec e l lf u n c t i o n a n dg e ts o m eb e a u t i f u lr e s u l t s ，w ea l s os t u d yt h et h em e d 2 1v a l u ep r o p e r t i e so ft h e s m a r a n d a c h ep s e u d o - m u l t i p l e so f5n u m b e rs e q u e n c eb yu s i n ge l e m e n t a r ya n da n n , - 1 3 t i cm e t h o d s ，t h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fa ni n f i n i t es e r i e si n v o l v i n gt h ei n f e r i o ra n d s u p e r i o rf a c t o r i a lp a r ts e q u e n c e s ，a n dg i v ea ns u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ec o n v e r g e n c e p r o p e r t yo ft h es e r i e s b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i 档o ft h es m a r a n d a c h e - r i e m a n nz e t a s e q u e n c e ，w es o l v eac o n j e c t u r ep o s e db ym u r t b y b e s i d e s ，w es t l l d yt h em e a nv a l u e p r o p e r t ys e q u e n c eo ft h ec o m p l e m e n to fh e x a g o nn u m b e r sp a r ta n dt h eh y b r i dm e a n v a l u ep r o p e r t yw i t ht h ed i v i s o rf u n c t i o na n de u l e rf u n c t i o n l a s t ，w es t u d yt h ev a l u e d i s t r i b u t i o np r o p e r t i e so ft h ep r i m ed i v i s o rn u m b e rf u n c t i o na c t i n go nt h em u l t i - g r o u p c o m b i n a t o r i a ln u m b e r s 础 k e y w o r d s ：s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ；t h es o l u t i o nt oe q u a t i o n ；m e a nv a l u e ；a s y m p - t o t i cf o r m u l a r 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：_ 三曼i 盘一指导教师签名：j 攀蜥 州年月f 日研年6 月于日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：杰i 之 讥_ 7 年6 月f 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要， 数的概念进一步扩充为整数人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐 步熟悉了整数的特性利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有 趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学 家不断地研究和探索。数论这门学科最初就是从研究整数开始的，所以叫 做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。 数论在历史上常是推动数学发展的原动力，例如现代数学中域、环、理 想等重要理论，都来自数沦随着数字计算机和数字通信为标志的信息时 代的到来，数论( 以及它关联的离散数学) ，更显示出空前的重要性大量数 字化信息的传播，处理，储存和应用是知识( 数字) 经济时代的特征，数论 及其关联的数学正是这一切的灵魂，基础和智囊比如在计算方法、代数编 码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；此外， 数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析，差集合，快速变换等方面 得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续 量而达到所要求的精度已成为可能。 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代 开始，在解析数论、丢番图方程，一致分布等方面都有过重要的贡献，出现 了华罗庚、闵嗣鹤，柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和 估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究得 到了更大的发展特别是在”筛法”和”歌德巴赫猜想”方面的研究，已取 得世界领先的优秀成绩。而陈景润在1 9 6 6 年证明”歌德巴赫猜想”的”一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后， 在国际数学界引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作， 是筛法的光辉顶点至今，这仍是”歌德巴赫猜想”的最好结果。 第一章绪论 解析数论起源于素数分布，哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研 究，是解决数论中艰深问题强有力的工具比如，对于”质数有无限多个” 这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷 级数的若干知识俄国数学家车比雪夫等也对用数学分析来解决数论问题 的发展做出过贡献分析方法在数论中的应用可以追溯到1 8 世纪欧拉的时 代的欧拉恒等式，这是数论中最主要的定理之一随后d i r i c h i l e t 创立了研 究数论问题的两个重要工具，即d i r i e h i l e t ( 剩余) 特征标与d i r i c h i l e t l 函 数，奠定了解析数论的基础 解析数论的方法主要有复变积分法、圆法，筛法，指数和方法，特征和 方法、密率等。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提 出了”三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。 我国数学家陈景润在解决”哥德巴赫绪想“问题中使用的则足解析数论中 的筛法。 数沦在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过”数学是科学的皇后，数 论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难 问题，叫做”皇冠上的明珠”，以鼓励人们去”摘取”比如费尔马大定 理，孪生素数问题，歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题 现代的数论已经高度发展融合，远不只是研究整数了，它还研究代数 数，研究代数函数，代数几何中的代数簇，椭圆曲线，模形式，局部域，表 示论，超越数等等现代数论的方法已是代数，解析，几何的高度综合，融 合着数学最现代的思想和成就 但是，数论发展到今天，仍然有很多的世界难题，数论需要发明更强有 力的工具才能有所发展想要在数论领域有所建树，不仅仅是解决几个世 界难题，如果仅仅利用现有的方法解决了遗留的世界难题，那么是比较遗 憾的我们需要的是高屋建瓴统揽全局的先进思想方法与解决一般问题与 一般方法的统一以期在解决数论问题中发现新的思想方法与工具从而 推动数论科学向前、向更广阔，向更深入的领域发展。 2 第一章绪论 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了s m a r 眦l d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 原函数，s m a r a n - d a c h e 对偶函数和s m a r a i l d a c h ec e i l 函数的一些性质，得到了一些漂亮的结 论并且用初等的和解析的方法研究了第二类s m a r a n d a d ”伪5 倍数数的倒 数所形成的级数的性质、次阶乘部分序列和优阶乘部分序列的性质，给出 了级数收敛的充分条件而且通过研究s m a r a n d a c h e - r i e m a n nz e t a 序列的性 质推翻了m u r t h y 的一个猜想本文还研究了正整数的六边形数的补数部分 函数与除数函数、欧拉函数的混合均值性质以及多组组合数c 盥在q 函数 上的值分布性质这些内容分布在第二至第四章具体说来，本文的主要 成果和内容组织如下； 1 研究了方程s p ( 1 ) + 品( 2 ) + + 昂f n ) = 昂( 专业) 的可解性，并给出 了该方程自0 所有正整数解它们是n = 1 ，2 ，【止2 盟】 2 利用初等方法研究方程s ( s ( n ) ) = 妒( n ) 的可解性，并给出了该方程 的所有正整数解为竹= 1 ，8 ，1 2 3 用初等方法研究了级数! 。岩的收敛性质，得到了两个有趣的恒 等式： 薹孚= 萼薹志，薹学= 1 9 0 薹_ 击 4 研究了函数瓯( n ! ) 的值分布性质，给出了一个较强的渐近公式 5 证明了m u r t h y 的猜想是不成立的 6 利用初等方法研究了第二类s m ”a n d a c h e 伪5 倍数数的倒数所形成 的级数，并得到了一个有趣的渐近公式 7 研究了如下的两个包含次阶乘部分序列o ( n ) 和优阶乘部分序列6 ( n ) 的无穷级数： k 萎南，肚圣南， 给出了他们收敛的充分条件 8 讨论了正整数的六边形数的补数部分a ( n ) 的均值性质，以及o ( n ) 与 第一章绪论 除数函数。n ( n ) 与欧拉函数的混合均值性质 9 利用初等方法研究多组组合数c 盟在q 函数上的值分布性质，得到 了一个较强的渐近公式 4 西北大学硕士学位论文 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 对于任意给定的自然数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为：s ( n ) = m i n m ：m n ，nim l 关于s m a r a n d a c h e 函数及与s m a r a n d a c h e 函数相关的函 数，许多学者研究了它们的性质本章研究了s m a r a n d a c h e 函数、s m a r a n d a c h e 原函数、s m a r a i l d a c h e 对偶函数和s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一些性质，得到了一 些漂亮的结论 2 1一个包含s m a r a n d a c h e 原函数的方程 2 1 1 引言及结论 设p 为素数，n 为任意正整数，我们定义s m a r a n d a c h c 原函数品( n ) 为 最小的正整数使得p “旧目_ 品( n ) = m i n k n ：p ”i ! ) 例如，昆( 1 ) = 3 ，5 3 ( 2 ) = 6 ，岛( 3 ) = 9 ，昆( 4 ) = 9 ，在【1 】中的第4 7 ，4 8 和4 9 个问题中，美籍罗马尼亚著名数论专家f s n m r a n d a c h e 教授建议我们研究函 数品( n ) 的性质为方便起见，我们称函数昂( n ) 为s m 缸a n d ”h e 原函数 s m a r a n d a c h e 原函数昂( n ) 与著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 之间有着非常紧密 的联系，此处 s ( n ) = m i n m ：m n ，i i m ! ) 从s ( n ) 的定义我们容易得到s ( p ) = p ，且当佗4 ，n p 时，s ( n ) n 因此 我们有 心卜- + 苎n = 2 剐 其中丌( 。) 表示小于z 的素数的个数 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，s m a r a n d a c h e 原函数s ( n ) 以及关于s m a r a n d a c h e 原函数方程的研究是数论中一个重要且很有意义的课题 5 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 因此许多学者郡对此作7 _ 研究，见【2 j ；f 3 】，斟和【6 1 ，张文鹏和刘斌 森【2 】给出了s ，c n ) 的一个有趣的渐近公式即就是，对任意给定的素数p 和 任意的正整数最有 s ( = 匆- 1 ) 。( 南l n 0 梁放池和易嫒【目指出：令p 为素数，n 为任意的正整数，则对于任意实数 z 2 ，有 =；+。(警)n p ，则 品 p 因此假如! 妇笋至p 即1 ”i 网一- 1 此处川表示不超过z 的 最大整数那么 s ( 掣) = 掣p m ， 注意到【学 p ，因此当1 n 学】时， 昂( 1 ) + 昂( 2 ) + + s a 几) = p + 2 p + + 印= 掣p ( 2 1 3 ) 结合( 2 1 ，2 ) 及( 2 1 3 ) ，我们容易得到n = 1 ，2 ，【学】是方程( ) 的解 如果【学】 p ，那么 品( 掣) 掣鼽 然而 昂( 1 ) + 昂( 2 ) + + s ( n ) ：掣p 因此，方程( ) 无解 如果n = p + 1 ，则昂( 1 ) + 品( 2 ) + + s a - ) = p + 印+ + p p + p p = 改笋p 则当p = 2 时，s a i ) + s p ( 2 ) + + s a - ) = 岛( 1 ) + ( 2 ) + 岛( 3 ) = 芈产2 = 1 0 ， 而昂( 驾产) = 岛( 6 ) = 8 1 0 所以此种情况下方程( + ) 无解 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 当p = 3 时，s a x ) + 昂( 2 ) + + s a n ) = 岛( 1 ) + 岛( 2 ) + 昆( 3 ) + 岛( 4 ) = 鼍盟3 = 2 7 ，而昂( 号产) = 岛( 1 0 ) = 2 4 p + 2 ，那么总存在m 。 i ，f i = 1 ，2 ，n ) 使得 所以 昂( 1 ) = m a p ，昂( 2 ) = k p ，昂( n ) = m n p 5 ；( 1 ) + 5 ( 2 ) + + 昂( n ) = m l p + m 2 p + + m 。p = ( m l + m 2 + + m 。) p ( 2 1 4 ) 事实上，我们有m l = 1 ，m = = 2 ，m p = p 并且由s a n ) 的定义，我们有 j 争t 型p 1 j ，( 1 j 2 9 存 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 时，利用g a u s s 取整函数k 】的性质并结合引理1 ，2 及( 2 1 5 ) 我们有 砉 业等产坚 一慨一，+ 妻 坠等芦蛆】 = m l + 1 1 1 2 + + m n 一1 + r ( m l + m 2 + + m 。一1 扫+ p 一1 【歹一 = m 。+ m 。+ + m 。一+ 薹 兰羔兰垒! 上旦二l 三尘2 已专：堕l 二型 忙2l 1 j m - + m 。+ + m 。一t + 蔓；= 置2 兰生塑p i1 j + 喜 ! 生二! 竺型兰 i 型 一慨蚶喜 业号型 ( 唧+ 喜+ ( 一喜酬) + = 壹；= 1 l 型p 1 j + 喜 等 + ，+ 喜 等 l + 2 + + n ：! 堕1 2 9 也就是说 p 掣i ( ( m l + m 2 + + m 。) p 一1 ) ! 因此 昂( 掣) 跏t + m 2 + 。) p - 1 昂( 掣) 所以，当n p + 2 时方程( + ) 无解 综合以h 各种情况，我们立刻完成定理的证明 础 、 塑矿 。m 十- ，一 + 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 2 2一个包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 2 2 1 引言及结论 对于任意正整数n 1 ，e u l e r 函数妒( n ) 定义为不大于n 且与n 互素的正 整数的个数，即 妒( n ) = 1 k = l 其中表示对与凡互素的正整数k 求和 对于任意给定的自然数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( 竹) 定义为： s ( n ) = m i n ( m ：m n ，n i m ! ) 关于s m a r a n d a c h e 函数及s m a r a n d a c h e 类型的函数，许多学者研究了它们的 性质a s h b a c h e r c 研究了s m a r a n d a c h e k u r e p a 和s m a r a n d a c h e x v a g s t a f f 函 数的一些性质，b e g a v , a 给出了s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一些性质，m a r k f a r r i s 和p a t r i c km i t c h e l l 研究了s m a r a n d a c h e 函数的有界性，k e v i nf o r d 研究 了s m a r a n d a z h e 函数的一般性质见参考文献 6 1 ，【8 8 和f 9 1 本文的主要目的是利用初等方法研究方程s ( s ( n ) ) = 妒( n ) 的可解性，并 给出了该方程的所有正整数解，即就是证明了下面的 定理设n 为任意给定的正整数，则方程 s ( s ( n ) ) = 妒( n )( + + ) 的所有正整数解为n = i ，8 ，1 2 2 2 2 定理的证明 为了完成定理的证明，我们需要引入一个简单的引理 引理n 1 为任意给定的正整数，我们有： 咖胁瓢( 1 - ；) ， 其中1 i 表示对n 的所有素因子求积 p i n 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 证明见1 10 中的定理2 4 现在我们来完成定理的证明 首先，我们注意到s ( s ( 1 ) ) = 妒( 1 ) = 1 ，所以n = 1 显然是方程( ”) 的解 现在我们分两种情况来讨论方程( ”) 的解： 1 当n = p a 时 由弓i 理我们有妒( n ) = 妒( p 4 ) = p o 一1 ( p 一1 ) ( 1 ) 当o s p 时，s ( n ) = s ( p 。) = 叩，所以 s c s c n ，= s c s c p 。，= s c 叩，= n 2 p ：柔：三： 此时方程( ”) 变为 l2 p = p p 。一1 ) ，如果n = p ( 2 2 1 ) ip = p a - 1 ( p 一1 ) ，如果n p 时，我们有_ s 妒) c t p ，则s ( s ( p 。) ) 2 n ，即p ( 2 。) s ( s ( 护) ) ，方程( ”) 无解 当p 3 即o t 4 时，有矿一1 p 一1 ) 叩，即妒( 矿) s ( s ( ? 严) ) ，方程( ”) 无 解 2 当n = p 口，谬西时，其中p l 见 弛即n 表示为它的标准素因 数分解式( 1 0 1 ) ，此处s 2 由e u l e r 函数的性质我们有 妒( n ) = 妒( 硝1 ) 妒( 砖2 ) 妒) ， 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 由s m a r a n d a c h e 函数的性质我们有 s ( n ) - 。m 、a x s ( p t l ) 不妨记s ) 2 器笼 s ( 妒) ， ( 1 ) 当ms p k 时，同理与第一种情况中( 1 ) 的分析，我们有 s c s c n ，= s c s c 瑶t ，= s c n 印一，= ：翥蓁：三p p k k ：2222三； 【p ， 如果口k ( 4 ) 此时，由e u l e r 函数的性质及引理，我们有 妒( n ) = 妒( p ? 1 ) 妒( 跨2 ) 妒( p ；。) = p 一1 ( p k 一1 ) 妒( p ? 1 ) 妒f p ；2 ) 铲( ：= ) 妒( p l w ) 妒f p ；。) ( 2 2 5 ) 由( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) 我们有： 2 p k = 壤”1 ( p k 一1 ) ( 贯) ( ? ) ；2 ) # ( 、。p k 一- 1 1 ) ：冀1 ) 乒0 ；3 ) 当p k = 2 时，a k = 2 ，上式变为 4 = 2 妒1 ) l p ( p 尹) 妒( = ) 妒雠+ k + 1 1 ) 妒) 所以，为使方程( ”) 成立，n 的素因子中除2 外只能有3 ，且3 的次数为1 ： 即r t = 2 2x3 = 1 2 为方程( ”) 的解 当p k 3 时，2 p k 2 0 也就是 妒( n ) s ( s ( 2 “) ) 方程( ”) 无解 当m 3 a 4 时，碟”1 魄一1 ) o r k p k 即妒( n ) s ( s ( p ) ) 方程( ”) 无解 所以方程( ”) 只有3 个正整数解n = l ，8 ，1 2 1 4 第二章关于8 m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 2 3关于s m a r a n d a c h e 对偶函数 2 3 1 引言及结论 对于任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为最小的正整数 m 使得n i m ! 即就是， s ( n ) = m i n m ：n i m f s m a x a n d a c h e 教授在【1 中对这个函数做了介绍，而且他建议我们研究s ( n ) 的性质如果竹= p a l p ；2 赡表示n 的素因数分解式，容易知道s ( n ) = m a x s ( p ? 1 ) ，s 2 ) ，s ( p ) ) 因此，我们可以通过研究s ( p ? 1 ) 的性质来研 究s ( n ) 的性质关于s ( n ) 的性质，许多学者对此很感兴趣，见 1 1 1 2 和 f 1 3 1 例如，f a r r i sm a r k 和m i t c h e l lp a t r i c k u l 研究了s m a r a n d a c h e 函数的有界 性问题，并且给出了s ( p o ) 的上界和下界，即就是 ( p 一1 ) a + 1 s ( f ) ( p 一1 ) ( 1 + 1 + l o g 。d + 1 w a n gy o n g x i n g 【1 q 研究了s ( n ) ，用初等方法得到了下面的渐近公式 薹跏，= 薹鑫+ 。( 盖) 类似的，我们介绍另外一个函数，它与s m a r a n d a c h e 函数有着密切的关 系，即s m a r a n d a c h e 对偶函数9 ( n ) 它表示最大的正整数m 使得m ! ln ，其 中n 表示任意的正整数即就是 s ( n ) = m a x m ：m ! in ) 关于这个问题，j s a n d o r 【1 4 j 认为 s ( ( 2 女一1 ) ! ( 2 女+ 1 ) ! ) = 口一1 ， 其中k 是一个正整数，q 为2 + 1 后的第一个素数这个猜想被乐茂华l - 目 证明 1 5 第二章关于s m a r a n d a e h e 函数及相关函数的方程 在本文中，我们用初等方法研究了级数妻n = l 掣的收敛性质，得到了 两个有趣的恒等式也就是，我们证明了下面的： 定理对于任意实数nsi ，无穷级数 竺盟 鲁俨 走发敢a 9 ，当( 9 1 时是收敛的，且 薹掣刊薹赤， 其中 1 ，由s ( n ) 的定义，我们有 耋学= 壹1 = im 壹= l 南 定理得证 = 薹蒜( 喜刍一砉南) = 三o 。研m 洳，( 一南) = “a ， m f 一薹群舔) = “a ，( 卜薹南) = “。，耋志 2 4关于s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一个渐近公式 2 4 1 引言及结论 对于给定的正整数k 和任意的正整数n ，s m 8 r 吼d 8 c h ec e i l 函数瓯( n ) 定义 如下： ( n ) = m i n m n ：h i m ) f s m a r a n d a c h e 教授最早介绍了这个函数在【1 】中，i b s t e d t 提出s k ( n ) 是一 个可乘函数也就是说， ( v a ，b n ) ( a ，b ) = 1 = & ( n 6 ) = 瓯( o ) & ( 6 ) 显然有& ) = p f 譬1 ，其中p 是一个素数，卜1 表示比z 大的最小整数因 此，如果令n = 硝- 理一霹r 表示n 的素因数分解式，那么我们显然可以得 】7 一n m 一严一 删。品 第二章关于s m a m n d a c h e 函数及相关函数的方程 到f 面的恒等式： s d n ) = 最0 0 l t l p 2 。t z p o ，) ：p ： 1 d 早1 0 警1 ( 2 4 1 ) 素因数个数函数q 定义为q ( n ) = o 。+ n 2 + + m 本文中我们用初等方法 研究了最( n ! ) 的值分布性质，给出了一个有趣的渐近公式即就是下面的： 定理令k 为给定的正整数，则对任意整数n 3 ，我们有渐近公式： n ( & ( n ! ) ) = 如l n n + c ) + o ( 南) ， 其中g 是可计算常数 2 4 2 两个引理 引理1 令n 为任意正整数，我们有下面的渐近公式； 薹击2 击+ 。( 志) ， 其中p 表示素数 证明由a b e l 恒等式( 见 1 1 ) ，我们有 萎面1 刊去+ 知) 熹比 其中霄( n ) 表示不超过n 的素数的个数由于 砌，= 击+ 。( 击) ， 我们可以得到 薹击2 h n 。+ 。( 击) 这就证明了引理1 引理2 令m 为任意正整数，我们有下面的渐近公式： 三兰=lnlnn+a+op ( 志) ， ：，一 l n n 其中a 是一个可计算常数 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的方程 2 4 3 定理的证明 这节我们来完成定理的证明令n ! ；西1 鹾2 霹r 由( 2 4 1 ) 和q 函数的 完全可加性，我们有 啉) ) - n ( p r 钏j 翱州2 善聃 显然 啦2 善卧扛啦，r 注意到如果矿 n 那么 多 = o ，由引理1 惭= p 口1 0 ， 其中啦= 0 或1 ，i = 1 ，2 ，5 ，则a ( 2 n ，2 ) = 毗 对于任意复数5 ，r e ( s ) l ，r i e m a n n - z e t a 函数的定义为 一 ( ( s ) = 軎 n = 1 。 对于任意的正整数n ，令l 满足下面等式的数 亓2 ” ( ( 2 n ) = ， n 其中7 r 表示圆周率则序列t = 矗) 墨l 就被称为s m a r a n d a c h e - r i e m a n nz e t a 序列m u n h y 认为矗为整数序列同时，他提出了下面的： 猜想瓦中任意两项不互素 本文将证明下面的结论： 定理存在无穷个正整数n 使得瓦不是整数 从这个定理我们知道m u r t h y 的猜想是不成立的，因为存在无穷个正整 数n 使得死不是整数 第三章关于s m a r a n d a c h e 相关的序列 3 1 2 两个引理 引理1 如果a r d ( 2 ，( 2 n ) ! ) q 2 o t l 0 ，则a ( 2 n ，2 ) 3 对于这些m 由引理1 我们有瓦不是一 个整数既然存在无穷多个正整数a - ，o t z ，n 。和o t t ，这就意味着存在无穷个正 整数n 使得a ( 2 n ，2 ) 3 因此，存在无穷多个正整数n 使得矗不是整数 至此完成定理证明 3 2关于第二类s m a r a n d a c h e 伪5 倍数数列 3 , 2 1 引言及结论 如果一个数本身不是5 的倍数但经过若干次置换后成为5 的倍数，这样 的数称为第二类s m a r a n d a c h e 伪5 倍数数例如：5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，1 0 1 ， 1 0 2 ，1 0 3 ，1 0 4 ，1 0 6 等数都是第二类伪5 倍数数令4 表示第二类s m a r a n d a c h e 伪5 倍数数的集合同样我们可以定义第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数和第二类 s n m r a n d a c h e 伪奇数令b 表示所有第二类s m a r a n d a c h e 伪偶数的集合，c 表 示所有第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数的集合在1 中，f ，s m a r a n d a c h e 教授建 议我们研究伪5 倍数序列的性质关于这一问题，王晓英【1 目证明了 m ) = m ) + d ( m 。器) ， n n e s a 。 “s 。 这里f ( n ) 是任意的算术函数，并且m = m a x i f ( n ) l 取，( n ) = d ( n ) 或q ( n ) ， 这里d ( n ) 是除数函数，n ( n ) 表示所有n 的素因子，她证明了 d ( n ) = z l n x + ( 2 7 一x ) x + d 0 器+ 。) ， n n s o 2 2 第三章关于, g m a r a n d a c h e 相关的序列 这里7 表示e u l e r 常数，s 是任意给定的正数，及 这里b 是可计算的常数本文中，我们利用初等方法研究了第二类s m a r a n - d a c h e 伪5 倍数数的倒数所形成的级数，并得到了一个有趣的渐近公式，即 就是证明了如下的： 定理1 对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 ；= 亏4 n 半一a + o ( 。而i n 8 d ) ， 其中一是一个常数 定理2 对任意实数z2l ，我们有渐近公式 薹1 华- b + o ( 。咄) 其中b 是一个常数 定理3 对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 薹石12 产1 卅半- c + o ( 茹瑚) 其中g 是一个常数 s 2 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理，首先有 引理1 对任意实数z 21 ，我们有渐近公式 三：乩m + 。( ；) ， 其中7 是e u l e r 常数 证明见【1 0 】中的定理3 2 、l ，三 ，f f i 、 d + zb + fnnz = nc ： 髫 第三章关于8 m a r a n d a c h e 相关的序列 引理2对任意实数z 1 ，令d 表示所有十进制数字中各位数字为 1 , e , s , 4 ，只z 毋9 的自然数的集合那么我们有渐近公式 f 三：a + 0 蒜一t 1 为n 7 n z 其中a 是一个可计算常数 证明从集合d 的定义中我们发现，d 中元素的各位数字为1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，9 不包含0 和5 所以，在d 中所有的一位数字有8 个，所有的2 位数字有8 z 个，所有的m 位数字有8 m 个因此，我们有 薹：。i 1 + 互1 + i 1 + 互1 + - + 1 1 时，级数，收敛当口1 时，级数，发散利用同样的方法， 我们就能得到级数s 收敛的充分条件特别的，令a = 2 ，我们就得到一个 漂亮的恒等式 薹南2 三石与2 荟嘉- e 鲁n 2 ( n ) 名一1 ) ! 名m ! 至此完成定理的证明 西北大学硕士学位论文 第四章关于六边形数和多组组合数 对任意给定的正整数m ，我们称自然数m ( 2 m 一1 ) 为六边形数对于