（基础数学专业论文）kenmotsu流形的斜子流形和半斜子流形.pdf

摘要 2 0 世纪9 0 年代初，作为全纯浸入和完全实浸入的推广，b y c h e n 在复流形的子流形 上引入了斜浸入的概念( 见【1 6 】) ，在此之后斜子流形的微分几何性质引起了许多学者的关 注j l c a b r e r i z o 、a c a r r i a s o 、l m f e r n a n d e z 和m f e r n a n d e z 经过研究，得出了s a s a k i a n 流 形的斜子流形的一部分微分几何性质，并且给出了几个这类浸入的有趣的例子( 见【1 7 】、 1 s 1 ) ，他们还证明了到s a s a k i a n 空间的斜浸入的存在唯性定理c 觅【l9 】) ，这与 2 0 1 中由b y c h e r t 和l v r a n c k e n 所给出的定理类似 近年来，n p a p a g h i n c 在h e r m i t i a n 流形中引入了一类新的子流形，称之为半斜子流形 ( 见 1 5 j ) 在 2 1 】中，j l c a b r e r i z o 、a c a x r i a z o 、l m f e r n a n d e z 和m f e r n a n d e z 研究了有关 s a s a k i a a 流形的半斜子流形的微分几何性质，得到了许多几何刻画 1 9 7 2 午，k k e n m o t s u 提出了另类非常重要的近切触黎曼流形一一k e n m o t s u 流形， 它是与s a s a k i a n 流形的结构十分相似的另一类近切触黎曼流形那么，自然就会有这样的 疑问，是否k e n m o t s u 流形的斛子流形和半斜子流形也有着与s a s a k i a a 流形的斜子流形和 半斜子流形类似的性质? 运用与对s a s a l d a n 流形的斜子流形和半斜子流形相类似的研究 方法，本文引入并且研究了k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子流形，得到如下结论t 定理1 ：若m 是k e n m o t s u 流形庸的半斜子流形，且d 。o ，那么分布d l 不可积 定理2 ：若m 是k e n m o t s u 流形府的半斜子流形，那么斜分布d 。不可积 定理3 ：若m 是k e n m o t s u 澈形麝的半斜子流形，那么我们有， ( i ) 分布d t o p 是可积的当且仅当 口( 妒y x ) = 盯( 垂墨y ) ，x ，y d 1 ( 越) 分布d 2 $ 是可积的当且仅当 p l ( v x t y v y t x ) = 尸l ( a n y x a n x y ) ，盖，y d 2of 关键词：s a s a k i a n 流形、k e n m o t s u 流形、斜浸人、斜子流形、半斜子流形 a b s t r a c t a tt h eb e g i n n i n go f1 9 9 0 s ，b y c h e nd e f i n e da n ds t u d i e ds l a n ti m m e m i o n si nc o m - p l e xg e o m e t r ya san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fb o t hh o l o m o r p h i ci m m e r s i o n sa n dt o t a l l y r e a li m m e r s i o n s ( s e e 【1 6 】) l a t e rm a n ya u t h o r sh a v es t u d i e ds u c hs l a n ti m m e r s i o n si n a l m o s th e r m i t i a nm a n i f o l d s i n 1 7 a n d 1 8 ，j l c a b r e r i z o 、a c a r r i a z o 、l m f e r - n a n d e za n dm f e r n a n d e zh a v es t u d i e da n dc h a r a c t e r i z e ds l a n ts u b m a n f f o l d so fs a s a k i a n m a n i f o l d sa n dt h e yh a v eg i v e ns o m e i n t e r e s t i n ge x a m p l e so fs u c hi m m e r s i o n s m o r e o v e r ， i n 【1 9 】，t h e yh a v ep r e s e n t e de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m sf o rs l a n ti m m e r s i o n si n t o s a s a k i a n s p a c ef o r m s ，w h i c ha r e s i m i l a rt ot h a to fb y c h e na n dl v r a n c k e ni nc o m p l e x g e o m e t r y 2 0 r e c e n t l y , i n 【1 5 】n p a p a g h i u ch a si n t r o d u c e dac l a s so fs u b m a n i f o l d si na na l m o s t h e r m i t i a nm a n i f o l d ，c a l l e dt h es e m i - s l a n ts u b m a n i f o l d s i n 2 1 ，j l c a b r e r i z o 、a c a r - r i a z o 、l m f e r n a n d e za n dm f e r n a n d e zh a v es t u d i e dt h es e m i - s l a n ts u b m a n i f o i do f s a s a k i a nm a n i f o l d ，m a n yg e o m e t r i cr e s u l t sh a sb e e no b t a j n e d i n1 9 7 2 k k e n m o t s ui n t r o d u c e da n o t h e rc l a s so fa l m o s tc o n t a c tr i e m a n n i a nm a n - i f o l d ，c a l l e dk e n m o t s um a n i f o l d k e n m o t s um a n i f o l di ss oc l o s et os a s a k i a nm a n i f o l di n s t r u c t u r et h a tt h e r em i g h tb es o m es a m ec h a r a c t e r i s t i c si nb o t hm a n i f o l d i nt h ep r e s e n t p a p e r ，w ei n t r o d u c e da n ds t u d i e ds l a n ts u b m a n i f o l da n ds e m i - s l a n ts u b m a n i f o l do fk e m - m o t s um a n i f o l da n dw eg e tt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m l l e tmb eas e m i - s l a n ts u b m a n i f o l do fak e n m o t s um a n i f o l dm s u c ht h a t d 1 0 ，t h ed i s t r i b u t i o nd 1i sn o ti n t e g r a b l e t h e o r e m 2 l e tmb eas e m i - s l a n ts u b m a n i f o l do fak e n m o t s um a n i f o l d 府t h e n t h es l a n td i s t r i b u t i o nd 2i sn o ti n t e g r a b l e t h e o r e m 3 l e tmb eas e m i - s l a n ts u b m a n i f o l do fak e n m o t s um a n i f o l d 府t h e n w e h a v e ： ( i ) t h e d i s t r i b u t i o nd 1 0 i s i n t e g r a b l ei fa n do n l yi f 口( x ) = 口( 咖x ，y ) ，x ，y d 1 ( i i ) t h ed i s t r i b u t i o nd 2 0 i si n t e g r a b l ei fa n do n l yi f 只( v x t y v r t x ) = p l ( a n y x a x y ) ，x ，y d 2 0 f k e yw o r d s ：s a s a k i a nm a n i f o l d ，k e n n n o t s um a n i f o l d ，s l a n ti m m e r s i o n ，s l a n t s u b m a n i f o l d ，s e m i - s l a n ts u b m a n i f o l d i i 前言 1 9 5 9 年，g r a y 给出了近切触结构的定义( 见【3 ) t 如果可微流形m 2 n + ，的切丛上的结构 群可以简化为u ( n ) 1 ，则称m 2 “+ 1 上有一个近切触结构1 9 6 0 年，s a s a k i s 给出了近切触 结构的另外一个等价的定义( 用) t 当可微流形m 2 “+ 1 上的切空间的自同态场仍向量场f 和1 形式满足； q ( f ) = 1 和 矿= 一i + q o f 则m “+ ，有一个近切触结构( 吼口) 进一步，s a 8 a k i s 还给出了近切触度量结构的定义t 如果近切触流形m n + ，上有一个黎曼度量g 满足， 9 ( 妒x ，妒y ) = g ( x ，y ) 一q ( x ) q ( y ) 则m ：一t 有一个近切触度量结构，又称m 2 “是一个近切触度量流形1 9 5 9 年，l i b e r m a n n 提出了一类近切触度量流形，称为余辛流形( 见【9 】) t 如果近切触度量流形m 2 n + 上存在 整体1 形式q 和整体2 形式庐使得 口 口“6 则流形m 2 n + i 是余辛流形1 9 6 2 年，s a s a k i s 又提出了一类近切触度量流形，称为s a s a l d a n 流形( 见【2 2 】) ；当且仅当； ( 守x ) r = g ( x ，y ) f 一”( y ) x 成立时，近切触度量流形m 2 n + 1 是个s a s a k i a n 流形，其中z ，y t 霸1 9 7 2 年，k k e n m o t s u 又提出了另外一类非常重要的近切触度量流形，后来称为k e n m o t s u 流形( 见【2 3 】) ：当 ( 奇。l p ) y = 一”( 1 ，) ，y g ( x ，妒y ) f 和 守。f = x 一”( x 碡 成立时，近切触度量流形舻”t 称为k e n m o t g u 流形，其中亏是关于度量g 的协变微分 2 0 世纪9 0 年代初，作为全纯浸入和完全实浸入的推广，b y c h e n 在复流形的子流形 上引入了斜浸入的概念( 见【1 6 】) ，斜浸入是指，黎曼流形m ，等距地浸入到近切触度量流 形( 府，以f ，仉g ) ，假设结构向量场f 与m 相切，用d 表示t m 上与f 正交的正交分布，则有 正交直和分解为： t m = d o 用p 僻) 表示西x 和t m 闻的夹角，当口伍) 是常数时，称这样的浸入为斜浸入当斜浸入的 角度为0 和吾时，分别称这样的斜浸入为不变和反不变浸入在此之后斜子流形的微分 几何性质引起了许多学者的关注在1 1 4 l 中，a l o t t o 提出了由黎曼流形到近切触流形的 斜授入的概念2 0 0 0 年，在【1 8 】中j l c a b r e r i z o 、a c a n 妇z o 、l m 融一目和m f a a n d e z 对s a s a k i n 流形的斜子流形进行了研究，得出：如果m 是s a s a l 【i m 流形府的斜子流形， 那么v 口= 0 当且仅当m 是反不变的；如果m 是s a b 8 k i a n 流形麝的斜子流形使得f t m ， 那么m 是斜的当且仅当t ( 1 ) 在m 的每一点自同态0 l d 只有一个特征值( 2 ) ，存在个函 数a ：m 【0 ，l 】使得 ( v x q ) y = 0 ( x ，t y ) f q ( y ) t x ) x ，y t m ，而且，如果日是m 的斜角。则 = c 0 5 2 巩如果m 是s a s a j a n 流形府的3 维子 流形，使得f t m ，那么m 是斜的当且仅当存在一个函数 ：m _ + f o i l 】使得 ( v x q ) r = 地( x ，2 y ) e 一目( y ) t x ) x ，y t m ，而且，如果口是m 的斜角，则 = c 0 8 2 口j l c a b r e r i z o 、a c a x r i o 、l m n 如 和m f e r n a n d e z 除了证明了以上这些结论外，还证明了到s m h u 空间的斜浸入的存在唯 性定理( 见 1 9 】) ，这与【2 0 】中由b y g h 和l v r a n c k m 所给出的定理类似。 近年来，n p a p a g h i n c 继续在近h e r m i t i a m 流形中引入了另外一类新的子流形，称之为 半斜子流形( 见【1 5 】) ，半斜子流形指的是；当存在子流形m 上的两个正交的分布d - 和岛， 使得： i ) 2 ，m = 口i e d 2 0 ， ( i i ) 分布d - 是不变分布，也就是矿( d ，) = d t ， ( m ) 分布d 2 是斜的，斜角日0 则子流形m 称为半斜子流形例如c r - 予流形和斜子流形这两类予流形都是半斜子流形 的特例在f 2 l 】中，j l c a b r e r i z o 、a c a r r i 、l m 硒n i 船和m 硒们又研究了有 关s 划d a n 流形的半斜子流形的微分几何性质得出有关半斜子流形的正交分布的些性 质：如果m 是s a k m 流形廊的半斜予流形，d ，0 ，那么不变分布d t 是不可积的；如果 m 是$ a s a k i a n 流形麝的半斜子流形，那么斜分布d ：是可积的当且仅当m 是一个半不变 子流形；如果m 是s u a k - m 流形廊的半斜子流形，那么t ( i ) 分布d t o p 是可积的当且仅当 盯( x ，母y ) = 一( y 毋x ) ，x ，y d 1 ( 劫分布如审 是可积的当且仅当 p l ( v x t y v r t x ) = n y x a n x y ) ，置y d 2 0 f 2 作为另外一类非常重要的近切触黎曼流形，从定义中可以看到k e n m o t s u 流形是与 s a s a k i s n 流形的结构十分相似的另一类近切触黎曼流形但许多年来，对k e n m o t s u 流形 的研究比较少，对其子流形的研究就更不多了下面的问题是很自然的，是否k e n m o t s u 流 形的斜子流形和半斜子流形也会有与s a s a k i a n 流形的辩子流形和半斜子流形类似的一些 性质呢? 结合前人的经验，运用与对s a s a k i a n 流形的斜子流形和半斜子流形相类似的研 究方法，本文对k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子流形进行了研究，得到以下结论； 定理1 ：若m 是k e n m o t s u 流形府的半斜子流形，且d t 0 ，那么分布d 。不可积 定理2 ：若m 是k e n m o t s u 流形霸的半斜子流形，那么斜分布d 。不可积 定理3 ；若m 是k e n m o t s u 流形府的半斜子流形，那么我们有t ( i ) 分布d l 毋 是可积的当且仅当 仃( 币r x ) = 口( 曲盖，l ，) ，x ，y d 1 ( i i ) 分布d ：o 是可积的当且仅当 p 1 ( v x t y v y t x ) = p 1 ( a n y x a s x y ) ，x ，y d 2 0 f 同时，本文还对j l c a b r e r i z o 、a c a r r i a z o 、l m f e r n a n d e z 和m f e r n a n d e z 所写文章【1 8 】、 1 2 1 】中的部分定理和命题给出了完整的证明 3 k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子巍形 l 预备知识 1 1 切触流形 m “+ 1 是( 2 n + 1 ) 维的o * 流形，当m 2 - 的整体可微1 形式q 在舻z 上处处满足t 目 ( 砌) “0 这里n 表示第n 次外幂，则m z n + l 被称为是切触流形，或者说有一个切触结构( 严格意义 上的) ，并称q 为切触形式，在这个意义下的切触流形是可定向的为了定义广义的切触 流形，首先回忆一下经典的d a r b o u x 定理( 见【1 1 、【2 1 ) 定理1 1 1 ：令。是可微流形m n 上的1 形式，假设在m “上： u a ( d u ) 9 0 ， ( d _ ) ”1i0 ， 那么在每一点都有一个坐标系满足( z 1 ，妒，矿，y ”，) t w = 妇p + 1 一如 = l 因此，对于切触流形m 2 n + l 上的每一点，都存在坐标系( x i , 矿，z ) ，i = 1 ，j ，使得 目= d z 一咖 i = 1 现在设( 一，矿，= ) ，i = l ，n 是斧n + ，的笛卡尔坐标系且满足： 目= 如一矿d x i 1 如果伊。微分同态f ：u 一+ u ，( 其中u 和u 是舻n + 。的开子集) 和u 上的非零函数g 满足 ，t q = 9 q ，则称f 是切触变换，所有这样的切触变换的集合r 对并运算封闭，有逆运算，因 此构成了一个伪群。 如果存在m 。n + l 上的一个开覆盖 以 ，同胚，口：巩_ c 脚“，对于所有的a 和卢使 得，口。疗1 r 成立，可微流形m 2 1 称为广义上的切触流形当，；。后1 e r ，图册 ，厶) 和t 哦，只) 称作是等价的称这样的等价类为m 2 n + 1 上的广义切触结构因此，由d a x b o u x 定理易知严格意义上的切触流形也是广义上的切触流形反过来，在1 3 、【4 】、【5 l 中证明了 下面的定理； 定理1 1 2 ：如果m ：”，是广义上的可定向切触流形，其中n 是偶数，那么它是严格意义上 的切触流形 下面列举几个有关切触结构的实例： a ：j 产“+ 1 易知q ：d z 一：。g 出t 是r 2 n + l 上的切触结构，( ，扩，z ) 是笛卡尔坐标系，向量场f 4 k e n m o t v a 流形的斜子流形和半斜子流形 是击，切触分布d 由下式扩展得到； 置= 丽0 “瓦0 ，+ t = 参 b ：r ”+ 1 p r ” 现在来看一个在严格意义上不是切触藏形，但是在广义上是切触流形的例子考虑 冗1 ，坐标系为( 。1 ，z ”+ 1 ) ，实射影空间p 舻上的齐次坐标为( “，t 1 ) ，令m 2 + l = r + 1 x p r n ，子集 “t ) ，i = l ，n + 1 ，屯0 构成了m “+ ，的坐标领域的一个开覆盖。在“) 上定义 1 形式协为q 。= 寺蒿t y d 口j ，那么协 ( 咖) “0 ，且仇= 磬啦，因此，m “在广义上有一个 切触结构，但是对于n ，m “+ ，是不可定向的，因此它没有整体的切触形式 c ：m 2 n + 1cr 2 n + 2 首先证明如下定理： 定理1 1 3 ：设。：m 2 - + - - + r 2 n + 。是超曲面到萨2 上的浸入，假设m 2 - + l 的切平面不 包含r 2 - + 2 的原点，那么m 2 n + t 有一个切触结构 证明t 设( 一，z 2 n + 2 ) 是r 2 - + 2 上的笛卡尔坐标，考虑下面的1 形式； a = z 1 如2 一矿如1 + + z 2 n + l d ：r 2 - + 2 一2 时2 如2 1 令h ，k 。，是一组在点知= ( 。b ，碚“2 ) 处线性无关的向量，定义向量u 在。o 的分量 为； ” = * d r ( h ，亿n + 1 ) 其中* 表示r 2 n + 2 上欧基里得度量的h o d g e 星算子那么u 与由，- k + ，扩展而成的超 曲面正交，把。看作是分量为z 0 的向量，那么： ( 口a ( 出) “) m ，1 ) = 知 因此，如果没有m 。n 的切平面被看作是r 2 n + 2 上包含原点的超曲面，那么q = 。a 是 m 。，上的切触形式作为特例，我们看看带有切触结构的奇数维球面s 2 1 。因为a 在 过原点的射线下是不变的，( 。，：r 2 n + 。) - ( 一一，一x 2 n + 2 ) ，因此，p 舻”1 的射影曲面也是 个切触流形。 类似地考虑1 形式口= n ；+ l l 出“一，甩r ? “和遐“表示由一= 0 和z ”件k 0 各鲁 定义的字空间，江1 ，柚+ l ，那么当且仅当 m 跏+ 1 n r n + 1 = o 。，n 蝣+ 1 是一个n 维子流形，且没有在蝣+ 1 中的m 2 ”1n 矽1 的切平面包含了明“ 的原点，从而口诱导了m 。n + ，上面的一个切触结构 证毕 5 k e n m o t s u 漉形的斜子流形和半斜子流形 1 2 近切触流形 1 2 1 近切触浇形的结构群 在定义近切触结构之前，先证明切触流形的向量丛的结构群可以简化为u ( n ) 1 ( 见 3 、 6 】) 定理1 2 1 ：m 2 n + t 是切触流形，那么t m 2 n + 1 的结构群可以简化为u ( n ) x 1 证明：因为m 2 n + i 是可定向的，则t m “+ 1 上的结构群可以从g i ( 2 , + 1 。r ) 简化到s o ( 2 n + i ，r ) 而且，由于切触形式1 分别决定了维数为2 n 和l 的余分布，可以简化结构群为s o ( 2 n ，r ) s o ( x ，r ) ：s o ( 孤，m xi 现在设 ) 是m 2 - + 1 上的开覆盖，使得在 ) 上满足t n 却= 矿 口州 t = l 其中和0 - + i 是 ) 上的l - 形式 定义g o d ：u o u u 口- - - + s o ( 2 n ，硒掣s o ( 2 n ，矗) 1 是关于开覆盖 以) 的转移函数，并在 s o ( 2 n , r ) 中g a o 是一个矩阵假如f 是冬l 萨 口州的分量矩阵( 限制在d 上) ，那么 g a 8 f = f g a b 但是 f = ；( 二：) 其中i 是1 1 , n 的单位矩阵 因此 g 卵= ( 一a 丑：) 其中 = ( 叼) ，b = ( b ) 都是n n 矩阵 现在命 妒( g 叩) = ( 8 玎+ 乒q b o ) 那么 可耐= 妒( g ：口) = 妒( g 品) = 妒( g n 口) 一1 其中妒( g 。口) u ( n ) 由于妒一t 映射u ( n ) 到全部矩阵g s o 协，r ) 的集合上并且满足； 因此 g f = f g 币： g $ 0 ( 2 n ，固 g f = f g ) _ f 6 k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子流形 是u ( n ) 上的同构，则t m 2 + ：上的结构群可以简化为f ( n ) x1 证毕 1 2 2 近切触结构 由上面证明的定理，下面给出近切触结构的概念当可微流形m 2 ”1 的切丛的结构群 可以简化为u ( n ) 1 ，则称m z n + ，有一个近切触结构( 3 】) 。 在接下来的部分里，将给近切触结构一个新的定义，这样有利于今后问题的讨论首 先定义( 妒，) 结构当可微流形m 。n + - 上的切空间的自同态场忆向量场f 和1 形式口满 足 q ( f ) = 1( 1 2 1 ) 和 妒2 = 一j + q o f( 1 2 2 ) 其中i 表示单位变换( 7 1 ) ，则m 2 n + t 被称作有一个( 妒，f ，q ) 结构在( 忱f ， ) 结构的定义当 中还蕴涵 磷= o( 1 2 3 ) 和 口。| p = 0( 1 2 4 ) 但是这些都是可以通过( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 推导出来的，即下面的命题t 命题1 2 2 ：假设m 2 n + z 上有一个( 仍矗q ) 结构，那么畦= 0 和q 。妒= o ，并且自同态l p 的阶 数为2 n 。 证明：首先，注意到由( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 得到， l p 2 f = 一f + q ( f ) f = 0 那么或者庆：0 ，或武是妒对于特征值。的非平凡特征向量因此再次利用( 1 2 2 ) 得到： 0 = i p 2 妒= 一妒e + q ( 戚k 或 成= q ( 心) f 假设妖是妒对于特征值0 的非平凡特征向量，那么 q ( | p ) 0 且 o = 矿f = q ( 妒 ) 2 0 得出矛盾，因此讲= 0 7 k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子瘫形 由于偌= 0 ，由( 1 2 2 ) 得； 叩( 妒x 姥= 矿x + 牡r = 一仁_ ：i + 妒( 叶( x ) 甜+ 妒x = o 对于任何向量场x 成立，因此。妒= o 最后，由于伏= 0 ，因为f 0 且r a n k ( 1 ；p ) 2 n + 1 ，如果向量场i 满足吠= 0 ，由( 1 2 2 ) 可得： 0 = 一 + 口( a f 那么i 与f 平行，因此r a n k ( o ) = 2 n 证毕 如果具有如f ，”) 结构的流形m ：n + ，上有一个黎曼度量g 使得 曰( 弘e 妒y ) = 譬c z ，y ) 一印( 善) 智( y )( 1 2 5 ) 其中x ，y 是任意的向量场，那么m ；”t 有一个( 6 玑9 ) 结构或者一个近切触度量结构， 并且称g 是一个相容度量( 7 1 ) 让y = f ，立即可得”是的协变形式，即： 【x ) = 9 ( 毛x )( 1 2 6 ) 从现在开始假设在每一个带有( 慨f t 口) 结构的流形上都存在这样的一个度量 命题1 2 3 ：如果盯“+ 是个有( n 矗r ) 结构的流形，那么m “十1 有一个黎曼度嚣g 满足 g x ，妒y ) = g ( 五y ) 一 ( x ) 口( r ) 证明；令h 是 护州上的任意一个黎曼度量。通过下式定义h ， h ( x ，y ) = ( p 2 x ，l p 2 y ) 十竹( 盖) 叶( 1 ，) 那么 ( f ，x ) = q ( 工) 易证h 是一个黎曼度量定义g l 9 ( x ，y ) = ；( ( x ，y ) + 妇x ，v ) + 町( x ) 町( y ) ) 显然g 也是一个黎曼度量并且； 9 ( 1 p x ，妒y ) = 丢( ( 弘x ，妒y ) + ( x + 町( x ) 矗一y ) + 町( y ) f ) = 妄( ( 仁瓦妒y ) + ( x ，y ) 一2 叩( x ) 叩( y ) + 叼( x ) 田( r ) ) = g ( x ，y ) 一q 僻) ”( y ) 注意上面所提到的度量不是唯一的证毕 在一个有( 帆仉g ) 结构的流形胛”t 上面可以找到一个非常有用的局部标准正交 基令玩是一个坐标邻域，在巩上取个与f 正交的单位向量x ，那么由( l 2 5 ) 和 r k e n m d t s u 流形的斜予流形和半斛子流形 ( 1 2 6 ) 得知妒x 也是与f 和噩都正交的单位向量现在，再在上取一个与f ，x 。，硝。 考5 正交的单位向量屁。那么妒溉是与f ，蜀，妒x 。，恐都正交的单位向量，一直这样进 行下去，可以得到一组局部标准正交基 置，五一妒噩，酋 汪1 ，2 n 称之为妒标准基。下面证明近切触结构的定义和( p ，m 结构的定义是等价的( 【7 1 ) 定理1 2 4 ：如果流形舻，有一个( 弘f ，目) 结构，那么它的切向量丛的结构群可以简化为 矿( n ) 1 反过来，一个近切触流形一定有一个( ，”) 结构 证明t 假设流形m 2 n + l 有一个( 仍目) 结构，令g 是一个相窖度量， ) 是一个开覆盖， 而磁，甄= 妒墨，f ) 和t z 夏，凸分别是和上面的妒标准基关于这些基，妒的矩 阵是 ，0 一10 l joo i ( 1 2 7 ) o o o 如果x 是m 。n + 1 中任意的向量，m u 0 ，( x ) 和a 日分别表示和上 面的妒标准基的列向量分量，那么： a ( 蜀= i e o b 0 do i 伍) o 1 肌且a ，o 跏瓣删帅州黼；) 艇她燃个矩 阵和( 1 2 7 ) 是可交换的，因此z d = ag = 一丑 所以扣m 反过来，假设m 2 n + 1 带有一个近切触结构， ) 是m 。州的一个开覆盖，使得可以选 择局部标准正交基作用于c ，( n ) l 上，在邻域的交集上进行变换那么对于这样的坐标通 过下面的矩阵可以定义 ) 上的自同态妒。t o ) 但是这个矩阵可以和f ( n ) 1 交换，因此决定了自浔态妒的个整体场现在通过定 k e n m o t s u 流形的辫子流形和半斜子流形 义如上的矩阵分量分别定义f 和目为 f 和目被整体定义，显然 ( ； 妒2 = 一j + 呀0 f q ( f ) # l 因此近切触结构的定义和( 妒，6 q ) 结构的定义是等价的，我们常常说近切触结构矗们 证毕 1 2 3 切触度量结构 在f 8 、1 9 】中，给出了近切触结构的另一种定义；如果可傲流形m 2 - + l 含有个整体1 形式q 和一个整体2 形式使得处处都有q 妒0 ，则称m 。，有个近切触结构 假设 护1 有一个近切触结构，令g 是一个耜容度量，那么定义m 2 - + i 上的2 形式 为： 庐( 墨y ) = g c x ，妒y ) 由等式( 1 2 5 ) ，( 1 2 4 ) ，( 1 2 2 ) 立即可以得到的斜对称为t g ( x 。妒y ) = 口妇z ，妒2 y ) = - g ( 妒x ，y ) 把称为近切触度量结构( 协6 仉g ) 的基本2 形式，显然r a n k ( _ l o ) = 2 r t ，且目 妒o 因此， 具有近切触结构( 协f ，”) 的流形 护”1 是近切触的下面证明在一个切触流形上近切触度 量结构( 妒，r ，g ) 的存在性，并且切触形式”满足曲= 却 命题1 2 5 | 如果可微流形m 。1 上具有整体1 形式”和个整体2 形式处处满足q 妒0 ，那么m 2 一，含有个近切触结构如果m 2 ，件是一个带有切触形式目的切触流形，那么 存在一个近切触度量结构( 1 p ，仇口) 使得基本2 形式满足十= 却 证明；第个条件下，由于m 2 ”1 是可定向的，并且事是一个最大维数的2 形式，那么存 在一个非空的向量场一使得 ( f ，x ) = 0 对于所有的向量场x 成立令h 是m 。t 上的任意个黎曼度量，将f 正规化成为单位 向量f ，定义一个1 形式为： 矿( x ) = h ( x ，) 1 0 k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子葫形 在切触条件下已经有了一个特征向量毛因此，如果酽是 庐一- 上的任意一个黎曼度量， 如下定义h t h c x ，y ) = ( 一x + 钉( x ) 一y + 町( y ) 舌) + 叩( x ) 町( y ) 则h 是一个黎曼度量使得q 伍) = h ( x ， ) ，因此，在第一种条件下取给定的形式口，第二种 条件下令口：却，是f 的正交补上的辛形式，那么存在的正交补上的一个度量矿和个 自同态妒使得 孽，( x ，妒y ) = 毋( x ，y ) 萨= 一j 在f 方向上将矿扩展成g 且与h 致，同时扩展妒使得戚= o ，则( 1 p ，q ) 是第一种条件下的 近切触结构，( 忆仉口) 是切触条件下的近切触结构，并且口= 却对于切触结构目，满足= 幽的近切触结构被称为相伴近切触结构，简单地。用沁，鼎口) 表示切触度基结构，或者用g 表示相伴度量相伴度量当然不是唯一的，可以由m z 一上的任意个黎曼度量得到 证毕 下面列举一些有关近切触度量结构的例子： a ：r 2 ”+ 1 在实例2 1 a 中考虑带有常切触结构d z - 至銎。矿拱的冗2 ”1 ，可以看到它的切触分布d 是由毒+ 矿器和毋扩充得到的，其中江1 ，柚对于通常的情形，取r 2 ”+ 1 上的标准切 触结构，1 形式： ( 出一。n ) ，特征向量场f 是2 是，黎曼度量为t 9 = ；( 珂圆q + ( ( d x 9 2 + ( d r ) 。) 由此给出了r 。n + - 上的切触度量结构，同时可知g 的矩阵分量形式为： 互1 f 如+ i ：印一1 张囊场妒的矩阵形式如下 向量场噩；2 毋，如+ i - 2 ( 杀+ 击) ，f = 1 ，n ，f 组成了切触度量结构的妒基黎曼度量g 在这儿有下面的性质，向量场f 产生了g 的等距单参数群，f 是k i l l i n g 向量场任何含有 f 的平面的截面曲率等于l ，任何由与f 正交的向量x 和妒x 扩充而成的平面的切面曲率 等于3 。 b ： f 2 8 r 令m 2 - 是带有近复结构j 的近复流形。考察流形m 2 ”1 = 吖“最用( 五瑶) 表示 m t n 上的向蕾场，其中x 与m ：n 是相切的，t 是r 的坐标，f 是御”+ 1 上的沪函数郊 1 1 、l， 0 o 0 岛0 矿 ， o & 0 ，1 k e n m o t 目u 流形的斜子流形和半斜子流形 么取定； q = d t f 邓，差) 和 妒( 五，芸) = ( j x l 0 ) ( 忆己”) 显然是一个m 。“+ - 上的一个近切触结构 1 3 k 切触结构和s a s a k i a n 结构 1 3 1 正规近切触结构 前面已经介绍t 近切微褫形，即带碉鞲构群u ( n ) 1 的流形，凼此这些佩形司以看 作近复流形的奇数维情形设 护n + - 是带有近切触结构( f ，q ) 的近切触流形，考察流形 m 2 1 r ，用( x ，岳) 表示m “+ 1 r 上的向量场，其中x 与m “+ 1 相切，t 是r 的的坐 标，f 是m “r 上的c * 函数，定义m 2 “+ 1 r 上的近复结构玉 t ，( x ，否d ) = ( 妒x 一，”x 盖) 易得l ，2 = 一1 ，如果j 是可积的，则称近切触结构( 鼽己叩) 是正规的 正如j 的n i j e n h u i s 张置为0 对于可积性是充分必要条件，在这也试图用妒的n u n h u i b 张量来表示正规化条件因为，1 是( 1 ，2 ) 型的张量场，对m 2 n + 1 上的向量场x 和y 满 足运算j 】( ( x ，o ) ，o ) ) 和【j ，j ( ( x ，o ) ，( o ，熹) ) 【j ，j 】( ( 工，0 ) ，( e 0 ) ) = 【( 碱( y f 0 ) 】+ 州x ) 岳) ，( 删y ) 罢) 一， 0 置”，丢) ，c y ，。) 】一j c 置吼0 e ”c y ，罢) = 一( i x ，l ，l ，o ) + ( 【l p x ， ，( 。，x 目( y ) 。靠q c x ) ) 盖) 一0 “墉，y j + ( y 叩( 盖) ) ，叩( 陋置y j ) 面d ) 一( 妒瞄，妒y 1 + ( x ( y ) ) ，q ( i x ，g ，y 1 ) ，面d ) = ( 【仍纠( 盖，y ) + 2 却( x ，y ) f ，( ( 工，x ”) ( y ) 一( 工，r q ) ( x ) ) 未) 弛j 】( ( x ，o ) ，( o ，差) ) = 一【( x ，。) ，( 0 ，丢) + 【( 妒瓦”( x ) 袅) ，( 一f ，。) 】 k e n m o t s u 流形的斜子流形和半斜子流形 一， ( m c 硼丢) 印孛d j 【( x ，0 ) ( 一o ) 】 = ( 书碉 ( x ) 丢) + m x 恿慨胡) 岳) = ( ( k 妒) x ，( k ”) ( x ) 姜) 由此，我们可以定义四个张量( 1 】1 ( ”，n 鸭) ( 1 ) ( x ，y ) = 妇，纠( x ，y ) + 2 d 町( x ，y ) f ( 2 ) ( x ，y ) = ( l p x 叩) ( y ) 一( l f y 町) ( x ) ( 3 ) ( x ) = ( k 妒) x ( 4 ) ( x ) = ( l 叼) ( x ) 显然近切触结构( _ p ，已q ) 是正规的当且仅当这四个张量为0 为了证明( 1 ) 为0 蕴含 着( 。l ，( ，( 为0 。而且由此正规条件为t 眙，纠+ 2 d r o f = 0 下面将要证明有关这四个张量( “，( ”，”，( 4 ) 的重要的命题 命题1 3 1 ，对于近切触结构( 仍毛们，( 1 ) 为。蕴含着( 2 ) ( 3 ) ，“) 为0 证明t 由( 1 ) = 0 得； 0 = 睁，纠( x ，) + 2 d t ( x ，f k = 一暇，翻+ q ( i x ，刳) f 一妒1 9 戊，d + ( x 叶( f ) k 一( 翱( x ) k 一叼( 【x ，f 1 ) = 匿，x 】+ 妒瞳，0 斌】一( 轫( x ) ) f ( 1 3 1 ) 将口带入等式，得到 0 = q ( 障，x 】) 一曲( x ) 即 t 4 ) ( x ) = k 1 = 0 注意到假如用妒x 代替x 有； q ( 瞎，沛 ) = 0 ( 1 3 2 ) 现在将妒带入( 1 3 1 ) 式，得到； 0 = 妒k x k 恤r + 町( 健，妒x 1 ) = ( k 妒) x 因此( 3 ) = o 最后再次由于( 1 ) = 0 0 = 妇，纠( 妒工，y ) + 2 却( 妒置y 硅 1 3 k e n m o t s u 澈形的斜子流形和半辩子流形 = 一【耐，y 1 + 叩( x ，明) f + f x + 町( x ) l p 卅 一妒卜x + 呀( x ) 厶明一妒胁x ，剜 + ( 妒r 玎( y ) ) f 一( 1 ，唧( x ) k 一( 妇x ，y l k = 一【弘l y l 一瞵，妒y l 一( 叶( 盖) ) 一叼( x ) 睁k 目 一妒【x + 叩( x ) 矗y i 一妒i 怛y ，】+ ( 仁x 叩( y ) ) e 将目带入。由( 1 3 2 ) 有 讧x 碍( y ) 一钾( 陋x ，y 1 ) 一l p y r ( x ) + q ( 【妒k x l ) = 0( 1 3 3 ) 得到( 2 ) = 0 注意到( 1 3 3 ) 也可以写成 却( 妒x ，y ) + d 叶( 盖，l p y ) = 0( 1 3 4 ) 从中可以看到( 。) = 0 也蕴含着d n ( x f ) = 0 。因此由( 1 3 4 ) 可得 却( 怛墨7 ) = 却伍，y )( 1 3 5 ) 反过来易证( 1 3 5 ) 包含( 1 3 4 ) 因此对于近