（基础数学专业论文）musielakorlicz空间的β性质.pdf

喻尔滨堙丁人学璀学坝f 学位论文 m u s i e l a k o r l i c z 空间的性质 摘要 根据各种学科发展和应用的需要，o r l i c z 空间有各种不同形式的推广， m u s i e l a k o r l i c z 空间是较为常见的一种。一致凸性质、卢性质和弱性质都 是b a n a c h 空间的重要几何概念，它在逼近论、控制论及变分不等式等领域 有着重要的应用。 本文主要讨论了m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的若干几何性质，全文共分 四部分，主要工作如下： 首先，回顾了o r l i c z 空间和m u s i e l a k o r l i c z 空间理论的发展历程，总 结和评价了前人的主要研究成果，阐述了本文各部分所讨论的辛要内容、背 景和意义。 本文在第二章中给出了关于赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k o r l i c z 序列 空间中的性质、局部一致凸、弱局部一致凸和局部性质的判别准则。 我们知道卢性质、弱卢性质和弱不动点性质都是b a n a c h 空问几何理论 的重要几何性质，颇受人们关注。经典o r l i c z 空间的弱卢性质和弱不动点 性质已经有了很多的讨论，然而由于m u s i e l a k o r l i c z 空问的复杂性，l jh d 为止，关于上述性质的讨论并不是很多，本文在第三章中给出了m u s i e l a k o r l i c z 序列空间k 的g a r c i a f a l s e t 系数足0 ) 及弱性质和弱不动点性质主 间的关系。 本文在第四章指出了b a n a c h 空间具有c l u r 性质的充要条件是陔空问 具有c l k r 和m 性质。此外，还给出了赋o r l i c z 范数的o r l i c zi 列。w i 具有c l k r 性质的充要条件。 关键词m u s i e l a k - o r l i c z 空间；声性质：弱不动点；c l u r 性质 ：；：，一 些尘篓些，! ；耋兰些兰竺兰丝篁兰 f lp r o p e r t yi nm u s i e l a k o r l i c zs p a c e s a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h er e q u i r e m e n to fv a r i o u ss u b j e c t sa n da p p l i c a t i o n s t h e r ea r e m a n yg e n e r a l i z a t i o n so fo r l i c zs p a c e s m u s i e l a k o r l i c z s p a c e s a r ec o m m o n g e n e r a l i z a t i o n u n i f o r m r o t u n d i t y , 8p r o p e r t y a n dw e a k bp r o b e r t ，a r c i m p o r t a n tg e o m e t r i cp r o p e r t i e si nb a n a c hs p a c e s t h e r ea r em a n yi m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si na p p r o x i m a t et h e o r y , c o n t r o lt h e o r ya n dv a r i a t i o ni n e q u a l i t i e se t c i nt h i s p a p e r , w em a i n l yi n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so fm u s i e l a k o r l i c z s p a c e s i tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r es u m m a r i z e d a sf o l l o w i n g ： f i r s ti tr e v i e w e dt h a tas u r v e yo ft h et h e o r yo fo r l i c za n dm u s i e l a k o r l i c z s p a c e s ，a n di te v a l u a t e da n ds u m m a r i z e dt h ep i o n e e r s m a i nr e s e a r c hr e s u l t sa n d s h o w i n gt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h ec o n t e n to fe a c hp a r ti nt h i sp a p e r s e c o n d l yt h ec r i t e r i af o rf lp r o p e r t y , l o c a lu n i f o r mc o n v e x i t y ，l o c a lw e a k u n i f o r mc o n v e x i t ya n dl o c a l p r o p e r t yi n m u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c e s p a c e s e q u i p p e dw i t ht h el u x e m b u r gn o r ma r eg i v e ni nt h ec h a p t e r2 i ti sw e l lk n o w nt h a t8p r o p e r t y , w e a k8p r o p e r t ya n dw e a kf i x e d p o i n t p r o p e r t ya r ea l li m p o r t a n tc o n c e p t si nb a n a c ht h e o r y p e o p l eh a v ep a i dm u c h a t t e n t i o no ni t t h e r ea r e m a n yd i s c u s s i o n sa b o u tt h ec r i t e r i af o rw e a k 口 p r o p e r t ya n dw e a kf i x e dp o i n tp r o p e r t yi nt h ec h a s s i c a lo r l i c zs p a c e s h o w e v e r b e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t i o no fm u s i e l a k o r l i c zs p a c e s ，a tp r e s e n t ，t h e r ea r eo n l y af e wd i s c u s s i o n sa b o u tt h e m l a s tw eg i v eg a r c i a f a l s e tc o e f f i c i e n t r ( f “) a n d t h er e l a t i o nb e t w e e n pp r o p e r t ya n dw e a kf i x e dp o i n tp r o p e r t yi nt h ec h a p t e r3 w eg i v et h a tab a n a c hs p a c ei sc l u ri fa n do n l yi ft h es p a c eh a sc l k r a n dw m i p r o p e r t i e s f u r t h e r m o r e ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r c l k r p r o p e r t yi no r l i c zs e q u e n c es p a c e se q u i p p e dw i t ht h eo r l i c zn o r mi sg i v e n i nt h ec h a p t e r4 k e y w o r d s m u s i e l a k - o r l i c zs p a c e ；p r o p e n y ；w e a kf i x e dp o i n t ；c l u rp r o p e r t y 哈尔滨理丁人学理学倾 学位论义 第1 章绪论 1 1o r l i e z 空间理论的创立及其发展 1 9 31 年波兰数学家w o r l i c z 联系积分方程的需要，首先引进了以他的名 字命名的o d i e z 空间“。，o r l i c z 空间是上空间的推广，作为一类具体的 b a n a c h 空间，它几乎涵盖所有的b a n a c h 空问类，为其研究准备了臣人小富的 模型库，使一般的b a n a c h 空间研究得以启迪和借鉴，而且也成功地应用到积 分方程、控制理论和预报算子等许多领域。 自1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的著作t h e o r i eo fo p e r a t i o n l i n e a i r e s ) ) 出版以后，人们开始了b a n a c h 空问理论的系统研究。1 9 3 6 年j a c l a r k s o n 首先引入了一致凸b a n a c h 空间的概念，丌创了从b a n a c h 卒间中何球 的几何结构出发来研究b a n a c h 空间性质的方法。 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年o r l i c z 给出了簋。空间及o r l i c z 范数的定义”“，只本数 学家n a k a n o z a i 在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空涮的一般理论进行了深入 的研究，发展了以o r l i c z 空问为特例的模半序空问理论，其成果集中收集在他 写的模半序线性空间一书中”1 。1 9 5 5 年，w a l u x e m b u r g 在他的博士论 文中为o r l i c z 空间引入等价的l u x e m b u r g 范数。，井对o r l i e z 空问性质进行丁 深入的讨论，极大地推进了空间理论的研究。与此同时，m a k r a s n o s e l s k i i 和y b r u t i c k i i 为了求解非线性分析若干问题，系统地研究了由不满足五条件 的o r l i c z 函数生成的o r l i c z 空间，并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o r l i c z 空问 理论的专著凸函数与o r l i c z 空间“1 ，并总结了以前特别是他们本人的工 作，这一专著的出版标志着o r l i c z 空间理论已基本形成。 自六十年代以来，o r l i c z 空间理论又有了重要的发展，1 9 6 0 年，t a n d o 和m m r a o 分别给出了o r l i c z 空问上有界线性泛函表达式“，1 9 6 2 年， 郭大钧给出了u r y s o n 算予全连续的充分必要条件”。，1 9 6 6 年王廷辅得到了 o r l i e z 空间列紧集的充分必要条件“。丁夏畦1 ，n s t m d i n g e r “”则从不同方 面推广了s 曲o t e v 嵌入定理，o r l i c z 空闽理论应用于偏微分方程理论。1 9 6 7 年 v f g a p o s k i n ”4 证明o r l i c z 空1 1 日j 有无条件基的充分必要条件是空蚓臼反。 七十年代初，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 用空间引入常数的方法对o r l i c z 序列空间的基和同构问题进行了一系列的讨论，得到了许多重要的结果。之 后，波兰的数学工作者进一步研究了模空间的一般理论和o r l i c z 空间的几何结 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 构。 进入八十年代以来，以吴丛忻、王廷辅、陈述涛和王玉文等为代表的哈尔 滨数学工作者对o r l i c z 空间的许多几何性质进行了系统的研究，j 于取得了 人 批成果。吴丛忻、王廷辅的( ( o r l i c z 空间及应用”，吴丛烁王廷辅、陈述涛 和王玉文的o r l i c z 空间几何理论“，及陈述涛的g e o m e t r vo fo r l i c z s p a c e s ) ) “7 3 这三部专著的问世，极大的丰富了空间理论特别是几何理论，使之 更加完善系统化，也使中国哈尔滨成为o r l i c z 空间的研究中心之一“1 。 自二十世纪三十年代至十一世纪的今天，在几代数学t 作者的不懈锷力 下，o r l i c z 空间理论取得了长足的发展，其内容只益完善，同时不断开拓新方 向，进行各种推广和深化，应用范围逐渐扩大，渗透到数学的许多分支扭“1 。 关于o r l i c z 空间一致凸这一重要的几何性质，近几年来，国内外数学工作 者做了大量的工作，取得了一大批出色的成果。一致凸点、弱一致凸点、紧一 致凸点的结果由王廷辅和王全迪获得，+ 一致凸由李岩红和千廷辅获得，关 于以上那些性质已经有了很多讨论，本文将讨论性质和一致凸性之削的关系 以及弱不动点和弱口性质之f b j 的关系。 1 2 广义的o r l i c z 空间 根据各种不同理论和应用的需要，o r l i c z 空划有各种小问形式的推j 、。 m u s i e l a k o r l i c z 空间是一类具体的b a n a c h 空间，是经典o r l i c z 空间的推广。 这类空间不仅包含三。，。( 1 p o 使得砌r 触，= p r 五x r f 脚 0 ：p ( p ( 缸) ) 1 ) 另外记 鼬h n r c 0 ：几( 言 2 和 0 ，使得 m ( 2 u ) k m ( u )( 甜1 1 0 ) m ( “) 占2 n ( u ) j 2 定义1 4 如果对任意的 0 ，部存在1 个5 0 ，使得! jx 足个f i 】。 分序列的弱极限点时，有 0 ，使得m ( 五x ) o ，存在，使得肘( a 工( j ) ) 0 ，都存在一个占 0 ，对于工，y s ( x ) ，当 忙一y lj g 时，有 陟力卜巧 则称范数i 为一致凸的( 简记为u c ) 。 在上述定义中我们可以用 i n f l l z i ：z c o n v ( x ，_ y ) ) s 成立，则称该序列为s 可分序列。 定义2 6如果对每个s 0 ，都存在一个j ( 0 ，1 ) 使得对每个序列 ( x n ) 匕b 且s e p ( x ) 占有 c o n v ( ( x ) ) n ( 1 - a ) b o 成立，则称b a n a c h x 为接近一致凸的( 简记为n u c ) 。 很容易得到每个n u c 空间都有u k k 性质，并且每个具有u k k 性质的 b a n a e h 空间都有h 性质。h u f f 1 证明了x 是n u c 的充要条件为x 是自反的 且具有u k k 性质。 定义2 7 在b a n a c h 空间z 中，范数l 称为一致凸的( 简记为a u c ) 指如果对任意的s 0 ，都存在一个占 0 ，使得对每个e c b ( x ) ，a ( e ) s ，有 i n 删石i i ：工e 0 ，都存在 一个占 0 ，使得当l l l x l l 0 ，使 得对每个x b ( x ) 和每个序列( 矗) c b ( j ) ，且蚓必矗) s ，都有指标k 使得 降卜占 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 根据上面的讨论我们有 ( u c ) j ( ) j ( a u c ) 营( n u c ) 等( r f c )( 2 - 1 ) 其中( 肪) 表示自反。 定义2 9 一个b a n a c h 空间x 具有局部口性质是指对任意的s 0 和 x s ( 工) ，都存在一个占 0 ，使得对每个序列( ) c 矗( z ) ，f 1 s e p ( x ) 占，都 有指标k 使得 降卜占 很容易得到，具有局部一致凸性质的b a n a c h 空间一定具有局部口性质， 具有局部口性质的b a n a c h 空间一定具有k a d e c k l e e 性质“。 定义2 1 0 称m u s i e l a k - o r l i c z 函数m 满足( ) 条件是指如果对于任意 的s ( o ，1 ) ，存在一个j 0 ，使得对所有f 和“n ，当m ( “) 1 _ 占时，有 m ，( ( 1 + 8 ) u ) l 定义2 1 1如果在单位球面上，序列的弱收敛与范数收敛等价，则称 b a r l a c h 空间具有k a d e c k l e e 性质( 或h 性质) 。 2 2 一定条件下k 具有的若干性质 引理2 1 如果m u s i e l a k - o r l i c z 函数m 满足( ) 条件并且m 嗄，那么 对每个占 0 ，都存在一个占 0 ，当p m ( z ) 0 ，都存在一个占 0 ，当砌( x ) c n 几( y ) 巧时，有 p m ( x + y ) 一p m ( x ) i s 哈尔滨理工大学理学颁j 一学位论文 引理2 3 如果m u s i e l a k - o r l i c z 函数肘五，那么存在口( o ，1 ) 和一个序列 ( ) c r + 且m ( ) o 。，x c f 每+ f n 和满足m ( 啊) m ( 甜) 1 的“，有 m ( 争半蜘) 引理2 4 如果m u s i e l a k o r l i c z 函数m 满足( $ ) 条件并且m 文，那么 = 1 p m ( x ) = 1 引理2 5 1 如果m 盛互，那么存在0 = o i 1 l - “一l + i 对于k = 1 ，2 ，都成立。 定理2 1如果m u s i e l a k o r l i c z 函数m 满足( ) 条件，那么下而结论足 等价的： ( a ) 0 具有性质； ( b ) 0 是a u c 的 ( c ) 0 具有d r o p 性质 ( d ) m 满足暖和嘎条件，也就是0 是自反的。 证明通过式( 2 1 ) ，我们有( a ) j ( 6 ) j ( c ) j ( d ) ，为了完成证明，我们 需证( d ) j ( 口) 假设这个结论不正确，给定占 0 ，对于每个序列( ) c b ( 。) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r s e p ( x ) f ，我们有s 印( 矗( f ) q ) 占( 对所有的研都成立) ，因此对 每个n 都存在一个n ，使得当 时，有 因此m 嘎，则存在一个占 0 ，对所有的n n ，有 p 。( k ( f ) 乞) 艿 ( 埘= l ，2 ，) 由于m 互，则存在口( o ，1 ) 和一个序列( ，) cr + 且m ( 吩) 0 ，当p m ( 工) 1 和m ( y ) 磊时，有 砌( z + y ) 一p m ( 工) i i 6 0 对于任意的x b ( 0 ) ，3 i o n ，使得 因此 m ( 工( f ) ) 点 i = i e 十1 艺m ( 囊) 0 、jok 。_ l 旦玺至矍：奎：墨兰堡圭兰竺兰兰 州华) = 宝纵掣) = ，( 丛掣) + 宝m ( 塑掣) s 与( 艺m ( 嘞+ 艺磁( _ ( 溯+ 艺m ( 掣) + 誓s 专( m ( 嘞+ 磁( _ ( 溯+ m ( 三掣) + 孚 ，= i ，= il o 昙( 艺m ( x ( f ) ) + t om ( ( f ) ) ) + 半芝蟛( ( f ) ) ( m ( x ( f ) ) + m ( ( f ) ) ) + 三孚蟛( ( 跏 + 芝m ( 吩) + i 8 0 三窆i = im ( 川) ) + 三喜m ( 矗( 劝一号熹m ( 矗( f ) ) + 鲁 l 一旦占+ 翌：1 一翌 因为m 五且满足( $ ) 条件，通过引理2 1 ，存在0 臼 n 时，确 0 盥b 02 | | 那么0 具有性质。 定理22 如果m u s i e l a k o r l i c z 函数m 满足( 牛) 条件，那么下面结论是 等价的： ( 1 ) 0 是局部一致凸的； ( 2 ) 0 是弱局部一致凸的； ( 3 ) i ) m e 嘎和m s c o ，蜂1 ( 昙) 】： i i ) m 互或m ，s c o ，m 1 ) 】( 对所有的i n ) 。 证明必要性( 1 ) ；( 2 ) 是显然的。 ( 2 ) j ( 3 ) 因为0 是弱局部一致凸的，则0 是严格凸的，因此( 3 ) 中的i ) 成立：如果( 3 ) 中的i i ) 不成立，那么假设存在一个仿射区f h j 口，明c 圻1 ( 委) ，m i - ( 1 ) 】和吖芒夏，那么由引理2 5 ，存在o = l ，l 0 ，对于 疗n 有 k ( j 0 ) 一x ( i o ) l - 占。 因为眠s c o ，m ：。( 1 ) ，由文献 2 0 ，存在一个p ( o ，1 ) ，使得 坂( 兰堕产) 时，有 m ( ( j ) ) 1 一s 故 m ( 矗( j ) ) = l 一m ( ( f ) ) l - o - c ) = s ，= + li l l n l l t m 暖，则( 毛) 具有等度绝对连续范数，所以_ 一x 观察定理2 2 的证 明并利用定理2 1 以及下面这个结论：即m u s i e l a k o r l i c z 函数m 满足( ) 条 件，那么0 有k a d e c k l e e 性质的充要条件是m 疋我们将很容易得到下面的 结论 哈尔滨理工大学理学坝士学位论文 定理2 3 如果m u s i e l a k o r l i c z 函数m 满足( ) 条件，那么0 具有局部 性质的充要条件是 ( 1 ) m 暖； ( 2 ) m 五或者m s c o ，何1 ( 1 ) 】 推论2 1，8 具有口性质的充要条件是 l l 。i m i n f p ls 熘s u p p f 栅p 证明如果对于所有的”r 和f n ，都j f f m , ( u ) = l u l 8 ，则m i 的余函数 m 定义为 并且 帅) = c , i 圹，( 去+ 扣- c = ( b ) 8 ( 吼) “ 很容易得到m 4 的充要条件是 此外m 互的充要条件是 l i m s u p p , 0 0 1 l i m i n f p 推论22 下面的结论是等价的 ( 1 ) ，具有局部一致凸性： ( 2 ) ，8 具有局部口性质； ( 3 ) 1 l i m i n f p , i - - + 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 3 本章小结 本章在给出了五个预备引理及一些定义之后，阐明了m u s i e l a k o r l i c z 雨数 m 满足( 十) 条件下0 所具有的p 性质、a u c 性质、d r o p 性质以及自反性之 间的关系，进而得出m u s i e l a k - o r l i c z 函数m 满足( $ ) 条件下0 具有的局部 致凸和弱局部一致凸性质的关系。 喻尔滨理丁大学理学硕 学位论文 3 1 引言 第3 章弱性质 设x 是一个b a n a c h 空间。x 为其对偶空问。 定义3 1 如果一个映射丁：c e x 哼x ，对于任意的x ，y c ，都有 | i r z - r y l l - cu x - y l i 则称此映射为非扩张映射。 定义3 2t 的不动点集是指 f i x ( t ) = x c ：t x = x 定义3 3 如果对于空问爿的每个非空有界闭凸子集合c 和每个非：| r 张j 狄 射t ：c c 都有 f i x ( t 、o 则称空嵋j x 具有不动点性质( f p p ) 。 类似的得到弱不动点性质( 蹄聊叩) 。 在b a n a c h 的1 9 2 2 年的著作中给出了压缩映射的主要理论。 设t ：盖寸x 是一个压缩映射，那么存在一个常数k ( 0 ，1 ) ，使得 i i t x - z y l l k l l x - y l i 对每个x ，y 工都成立。 由此我们可得到下面的结论： ( 1 ) 7 1 有唯一的一个不动点x o ： ( 2 ) 对于每个x x ，p i c a r d 序列 t ”( x ) ) 收敛于 如果将b a n a c h 的压缩映射理论中的压缩映射换成非扩张映射会产生什么 结果呢? 例3 1 对于一个非扩张映射丁，当z y 时，有 恪一圳 l 时，我们称b a n a c h 空问爿具自正规结构。 1 9 9 7 年，g a r c i a f a l s e t 给出了不具有正规结构的b a n a c h 空间仍具有弱不 动点性质，它就是我们下面要讨论的弱口性质。 定义3 5 称b a n a c h 空间z 具有弱口性质，是指j 艿 0 ，对于v x s ( x ) 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 及b ( ) 中的任意一个弱收敛于0 的序y d ( x o ) ，有k 1 ，满足 降卜巧 设x 是一个b a n a c h 空间，假定其不具有s c h u r 性质，即存在的一一个弱 收敛序列不是范数收敛的。s ( 肖) 和占( z ) 分别表示x 的单位球面及单位球，1 0 表示所有实数序列全体。 为了获得b a n a c h 空间中的弱不动点性质，g a r c i a - f a l s e t ”中引进了下面的 系数 r ( x ) = s u p 婪墨i n f l l x 。一x l i ：( x 。) cb ( x ) ，x 。一专o ，x b ( x ) ) 并且已经证明了胄( 工) 0 ，j 玎 0 ，如 果对于t ( 0 ，刁) 和b ( x ) 中的一个基序列( 乙) 都存在后 1 使得 i i x l + 忙1 + t e 成立。 定义3 7 称b a n a c h 空f 自j x 是w n u s 的i “，是指对丁某个f 0 ，j ，7 0 ， 如果对于r ( 0 ，叮) 和b ( x ) 中的一个基序列( z n ) 都存在k 1 ，使得 | l 五+ 0 1 + t e 命题1 3 t下列结论是等价的： ( 1 ) m 最 ( 2 ) 对任意的占 o ，j 屯 o ，u ； o 和，q o ( f 之) ， ，m ，( 甜) ( 甜。) 。 ( 3 ) 3 e e ( 0 ，1 ) ，c f o ( f ) ， 0 使得 ， 1f m ( 争茎旦m ( v ) + e ( f ，( v ) s k ) 命题3 2 n 盈的充分必要条件是| p ( o ，1 ) ，占( o ，1 ) ，i o ，u o 和一个序列 矍垒篓塞三盔兰翌：竺当兰堡篁兰 ( c f ) ，q o ( f 乇) ，c i o 和m ( ”) 时，有 r m i ( o u ) ( 1 一j ) 口 t ( “) + c i 证明充分性令吼( v ) 是m ( v ) 的右导数，则 m 。( 吼( v ) ) + n ，( v ) 2v q ，( v ) = 否丽1 占g ，( v ) ( 1 一占) v 茎 m ，( o q , ( v ) ) + ，( ( 1 一占) v ) ) 蜊川v ) ) + 而与杀与( 1 卅v ) 当i f 0 且m ( 吼( v ) ) u o 时，我们有 ，( v ) 否i r ! 酉，( ( 1 一占) v ) + 石i ! j 万 因此n 磊 必要性的证明与充分性的证明类似，故省略之。 3 2 乙的g a r c i a - f a l s e t 系数的计算 引理3 1 0 的一个子集彳是“一弱序列紧的充分必要条件是对r 任意的 y f 有 l i m s u p z i x ( f ) y ( 刊= o x e ：， 。 引理3 2 k 的一个子集a 是“一弱序列紧的充分必要条件是 熄烛磐丢半= 。 堕堡鎏翌王奎耋墨兰堡圭耋竺篁三 一，。一 对于任意的x s g )( x ) 是有限的，我们给出c ，的定义 。= 憋s u p c x , y 0 ：几( 考) + ( 考叫 砂叫帅脚l i m 。掣c 去 定理3 1对于m u s i e l a k ，o r l i c z 序列空问i m 有 r ( 1 m ) = s u p g ：x 芒s q m ) 且( x ) 是有限的) 证明令d m = s u p g ：x s ( 0 ) 且( x ) 是有限的) ，则对任意的s ( o ，d ”) ， 孤s ( 1 u ) ，且 ) 是有限的，使得 cx d m s 由c ，的定义知道存在h ，n 使得 s u p o ：砌( ) + 内( ) = 1 ，y s ) r n ( _ y 胁，烛掣 如 当竹时，由上确界的定义，现s ( 。) 且( m ) _ l 。i 。r a 。业c ，1 生 得 c xv j d m s 也就是 因此，存在心 一，使得 由于如 ，我们也有 几( 去) + 砌( 丧) l 砌舞卜。姜。m 罄 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 叩 o ：砌( 考) + 砌( 考) _ 1 ，y s ) ，且伤，l 。i 。m 纽笋 一及烛旦弯争业 d m 一5 也就是 m ( 去) + 砌( 惫c l m ) l a u 一 一 因此存在 2 啊，使得 砌c 去卜，耋m c 老笔p 如此进行下去，则存在一个序列( 以) ：c s ( 0 ) 和一个自然数序列 伟 甩2 d 。一s 由l i - + m o s u p p m ( 2 y i ) 2 = o 和s u p p ( 一) 是有限的，我们有( x ，) 是弱零序列。因此 有 l 鳃i i l 列坼一x l l - a 一, 一占，胄( 0 ) 九一s 并且由s 的任意性可得 r ( 0 ) d m 下面我们证明 r ( 0 ) 如 由九的定义有 l i m s 毗户( 专+ 几( y - - - ) = l , y e s ( 似帅脚，脚掣 0 ， i o , j o n 2 3 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 缸 对于上面的s 和= x ( i ) e 存在 i o ，使得当n 时有 s u p h ， o ：砌乒) + m ( 攀= 1 ，砂s ( o ) ，( y ) h ) d m 。岛y i n 。如，y 由于序列( 屯) c s ( 0 ) 是一个弱零序列及引理3 2 ，存在f 0 j o ，使得 l i r a s l l p 手竺堡塑! 时，我们有 因此 b 水s 0 = l0 i i x - x o l l = 隆( 时艺郴k 一鼓( 肾o o 甜蛔l | | t = l i = j o + l j = l i = j o + l 为了方便我们设 阻肾委, l o 。刊卜 | | j o 心矗j i 翰i ：1 一矧r 占 时，有 砌肖d m 蔫) 2 砌( 考笔) + 砌( z 笔) g + g d m + sd m + 因为 矗，则有 ! i + m 。i n f0 x 一x i i - ( 罢川) 固定k 及对任意的 0 ，j n ，使得 k m ( 以( f ) ) 1 - s ，# i 令 一k 意制 。钳 = 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则 吨 砌皇，+ 砌e ，= 砌c 妻 。妻韵 翻x k ( o e , 慨( 争z 除啪，r m 2 砌( 委生笋) + 砌( ) + 砌( ，薹i 丁x k ( i ) e , ) 一s = 砌皇) + 砌( ) 一占 = 1 一三一占 k 这表明 i i 瓦+ 0 2 ( 1 i 1 一占) 因此 气 2 ( 1 - ：- 一s ) 再由占和的任意性我们得到 r ( 1 t w ) = 2 充分性 因为m 互( 1 ) ，3 e o ( o ，1 ) 和n ，当几( x ) = 1 和( x ) i 。时 有 砌( 争t 1 - - 占0 几( x ) 对于v x ，y s q ) 且n ( x ) 是有限的，n ( y ) n ，不失去一般性，我们假定 m a x ：i ( z ) n 和即2 t 因此有 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 几( 争m ( 争2 - 三2 因为吖嘎，故存在o 口 l ，使得当几( z ) 2 一委时有 口 因此 h 口 也就是 i i x + y 忙2 口 因此尺( 乙) 2 9 1 ，l i m p n = p 聊，则 oc ll 我们有不等式2 c ”l ，故有r ( i 8 ) 2 p ，综上得r ( t ) = 2 p 3 4 本章小结 本章在给出了弱不动点、弱性质、以及g a r e i a - f a l s e t 系数r ( x ) 等一 些预备知识之后，计算了b a n a c h 空间0 的g a r c i a f a l s e t 系数r ( 1 m ) ，从而得 出弱口性质蕴涵着弱不动点性质这一重要的结论。 哈尔滨璀t 人学理学颂l ：学位论义 第4 章赋o r l i c z 范数的o r l i c z 序列空间的 c l k r 性质 4 1 引言 紧局部一致凸性( c l u r ) 是b a n a c h 空间几何学中重要性质之一，它纽遥近 论和控制论等分支中有很广泛的应用。本文讨论了c l u r 的推广性质紧局部全 k 凸性质( c l k r ) 与b a n a c h 空间中某些凸性之间的关系，并给出了赋o r l i c z 范 数的o r t i c z 序列空间具有c l k r 性质的充要条件。 定义4 1 设x 是b a n a c h 空间 1 ) 如果对任意的x , y s ( x ) ，当牡+ y l l = 2 时，有x = y ，则称x 足严格 凸的( 简记为r ) 。 2 ) 如果对任意一个x s ( x ) 和( h ) c 8 ( x ) ，当l im 1 1 矗+ x l = 2 时，有 渤k x i i - 0 则称x 是局部一致凸的( 简记为l u r ) 。 3 ) 如果对任意一个x s ( x ) 和( x 。) b ( x ) ，( x ? 1 ) 是( x ，) 的任意j ，列，、1 1 忙+ 或”+ 2 ”+ 拶j i 斗i + 1 ( n o o ) 时，有 恢一硎寸。伽斗卿 则称x 是局部全k 凸( 简记l k r ) 似2 ，k n ) 。 4 ) 如果对任意一个x s ( x ) 和( 矗) c b ( x ) ，当l i m 慨+ x l i 呻2 时，有 扛。：f n 是列紧的，则称x 是紧局部。致凸的( 简记为c l u r ) 。 5 ) 如果对任意一个x s ( x ) 和( ) c 7 8 ( x ) ，( x 。1 1 ) 是( x 。) 的任意子列， ( f _ l ，2 ，露) ，当i i x + x n 0 + 2 + + 拶i 斗k + l o 斗) 时，有g ：n n ) 是 列紧的，则称x 是紧局部全k 凸的( 简记为c l k r ) 任2 ，k n ) 。 定义4 2 如果对于任意一个z s ( x ) 和任意( x 。) c b ( x ) ，当 i i x + x l f 斗2 ( m 斗o o ) 时，存在，爿( x ) = ，s ( x ) ，厂( x ) =