（基础数学专业论文）homology+classes+of+the+circle+space+on+spheres+and+the+discontinuity+of+deations.pdf

摘要 著名的l u s t e r n i k s e h n i r e l m a n n 定理断言s 2 上的任意r i e m m n i a n 度量都具有 3 个简单无自交点的闭测地线。w ，k l i n g e n b e r g 在其著作”r i e m a n n i e a ig e o m e t r y ”( 2 e d e d ) 第3 7 节中给出了这一定理的一个变分证明。我们在本论文中指出这一证明中 关于s 2 上圆空间中的3 个非平凡相对同调群的生成元的构造是错误的，并给出了这 些生成元的显式构造，另外，我们还构造反例说明w 。k h n g e n b e r g 在有穷维空间上所 作的形变收缩是不连续的，因而其证明是不完全的。 关键字：z 2 一同调群，二维球面，邑一闶链，大园，玩一作用，s 1 一作用，形变，不连 续性。 a b t r a c t t h ef a m o sl u s t e r n i k s e h n i r e t m a n nt h mc l a i m st h a t ”o na $ 1 t 1 如c c 吖g e t y 【) t h e r ee x i s t 耐l e a s tt h r e es i m p l ec l o s e dg e o d e s i c s ” 4 ( k l i n g e n b e wg i v e nav a r i a t i o n a lp r o o ， i nh i sb o o k ；r i e m a n n i a n g e o m e t r y ”( 2 e de d ) i nd rt h e s 。s 7 es h o wt h a t c o n s t t a c t i o n 吖t h et h r e en 。n t r i v i a l7 v l a t i v eh o m o l o g yc a s s e s 拥t h ec i 化l es p a c eo ns 2i nh i sp m 站 i n c o r n c t ，a n dw e9 w ene x p l i c i tc o n s t 7 乱c t i o no ft h i sh o m o l o g yc l a s s e s f r a d d i t i o n 。 c d 扎8 r g tnc o u n t e 卜e x a m p l e os h o wt h a t 搋gd e o r m a t i o nr e t r a c t i o ni sd l ，c o n t i n u o u sz nt h e f i n i t e d i m e n s i o n a la p p w x i m a t es p a c ec o n s t r u c t e db y w k l i n g e n b c r g ，t h e r e f o r eh i sp r o 盯 n o tc o m p l e t e k e y w o r d s ：z 2 一h o r a o i o g yc l a s s 、s 2 ，z 2 一c y c l e ，g r e a tc i r c l e ，z 2 一a c t i o n s 1 一a z t i ) n d e f o r m a t i o n 、d i s c o n t i n u i 谤 l i n t r o d u c t i o n i n1 9 2 9 ll u s t e r n i ka n dt 。s c h n i r e l m a n na n n o u n c e di nf l u s l lt h e i rf a m o u st h e o r e m ： t h e o r e m1 1 o nas ? m r f a c eo f g e n u s0t h e r ee x i s ta tl e a s tt h r e es i m p l ec l o s e dg e o d s s i c s b e c a u s eo ft h em u l t i p l ec o v e r i n gp r o p e r t yo fg e o d e s i c sf o u n da sc r i t i c a lp o i n t so ft h ee n e r g y f u n c t i o n a la n dg r o u pa c t i o n sw i t hf i x e dp o i n t s jl n s t e r n i ka n ds c h n i r e h n a n n so r i g i n a lp r o o fi sn o t c o m p l e t e s i n c et h e n ，t w ok i n d so fm e t h o d sh a v eb e e ni n t r o d u c e di n t ot h ep r o o ff o rt h i sf a m o u s t h e o r e m ：t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d ( c lf o re x a m p l e ， k l i 2 ) b a l l ， j o s l d ，a n dt h ec u r v es h o r t e n i n g f l o wm e t h o d ( c f f o re x a m p l e ，【g r a l ， c h z l ) s p e c i a l l yi nt h es e c t i o n37o f k l i l ，a l lv a r i a t i o n a l p r o o ff o rt h e o r e m1 1 i sg i v e nb yt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d c o m p a r i n g w i t ho t h e re x i s t i n gp r o o f s ： t h ei d e ao fk l i n g e n b e r g sp r o o fi ns e c t i o n3 7o f k l i 2 】i ss i m p l e ra n dm o r ed i r e c t n o t et h a te x p l i c i tc o n s t r u c t i o n so fg e n e r a t o r so ft h et h r e en o n t r i v i a lr e l a t i v eh o m o l o g yc l a s s e s i nt h ec i r c l es p a c eo n 铲i si m p o r t a n ti no r d e rt o 百v eas i m p l ep r o o fo ft h el n s t e r n i k s c h n i r e l m a n n t h e o r e m b u tu n f o r t u n a t e l yt h ec o n s t r u c t i o ng i y e ni np r o p o s i t i o n3 7 1 9o np a g e s3 4 7 - 3 4 8o f 【k l i 2 l i si n c o r r e c t ，b e c a u s et h em a p si n t os 2c o n s t r u c t e dt h e r ed on o tc o i n c i d ep o i n t w i s eb u to n l yt h e i r t o t a li m a g e ss e t sc o i n c i d e ，w h i c hi sn o te n o u g ht oc l a i mt w os i n g u l a rm a p st ob et h es a m e h e r e w ec o n s t r u c tg e n e r a t o r se x p l i c i t l yf o rt h e s et h r e en o n t r i v i a lh o m o l o g yc l a s s e si ns e c t i o n2b e l o w i nk l i n g e n b e r g sp r o o fo ft h el u s t e r n i k s e h n i r e l m a n nt h e o r e m ，i no r d e rt oa v o i ds e l f i n t e r s e c t i o n tp o i n t si nt h ef i n i t ed i m e n s i o n a la p p r o x i m a t es p a c eo fb r e a k g e o d e s i c s ，ad e f o r m a t i o ni s c o n s t r u c t e db a s e do nd i s c o n t i n u o u sv e c t o r 乱l d s u n f o r t u n a t e l yt h i sd e f o r m a t i o ni sn o tc o n t i n u o u s s h o w nb yo u rc o u n t e r e x a m p l eg i y e ni ns e c t i o n3 w er e f e rr e a d e r st o b a n l 】o fv b a n g e r tf o ra l le x c e l l e n ts u r v e yo r lt h ep r o b l e mo fc l o s e d g e o d e s i c so n r i e m a n n i a nm a n i f o l d s b e c a u s et h ev a r i a t i o n a lm e t h o di sr e l a t i v e l ys i m p l e ra n dm a y b ee a s i e rt ob ee x t e n d e dt oh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e s t h i si sw h yw et h i n kt h a tt h e s ed e , t a i l ss h o u l d b ep r o v i d e da n dm a yb eu s e f u if o rf u r t h e rs t u d i e s 2 c o n s t r u c t i o no ft h e 历- h o m o l o g yc l a s s e so ns 2 l e tn ，z ，a n drd e n o t et h es e t so fn a t u r a li n t e g e r s ，i n t e g e r s ，a n dr e a ln u m b e r sr e s p e c t i v e l y l e ts 1 = r z l e ts 2b et h eu n i ts p h e r ei nt h es t a n d a r de u c l i d e a ns p a c er 3w i t hc o o r d i n a t e s ( z o ，x l ，z 2 ) f o rz s 2 ，a su s u a l od e n o t e si t sa n t i p o d a lp o i n t f o l l o w i n gk l i n g e n b e r g ，w en e e dn o t a t i o n sf r o md e f i n i t i o n3 7 ，1 8o f ( k i l l 】 f i lt h es p a c ea s 2o fp a r a m e t e r i z e dc i r c l e so ns 2c o n s i s t so ft h em a p p i n g sc ：s _ s 2 w h e r ee i t h e rci sa ne m b e d d i n go ft h ec i r c l es 1w i t hp a r a m e t e rb e i n gp r o p o r t i o n a lt ot h ea r cl e n g t h w h o s ei m a g ei st h ei n t e r s e c t i o nc i r c l eo ft h es p h e r e 铲a n da2 - d i m e n s i o n a lp l a n ew h i c hi sa w a y f r o mt h eo r i g i nb yad i s t a n c el e s st h a n1 ，o rci sac o n s t a n tm a pw h i c hi sc a l l e dap o i n tc i r c l e w e u s ea o s zt od e n o t et h es u b s p a c eo fc o n s t a n tc i r c l e so ns 2 3 r i i ) ap a r a m e t e r i z e dg r e a t c i r c l ei sac i r c l ew h e r et h ei m a g el i e si na2 - p l a - n et h r o u g h0 r 3 t h a t 诲a s i m p l ec l o s e dg e o d e s i co ns 2w i t hp m a r a e t e ri n t e r v m 忙，球b yb s 2 w ed e n o t et h es p a c e o fg r e a tc i r c l e so ns 2 l e ta s 2b et h es p a c eo fc l o s e dh 1 _ c u r v e s w ec o n s i d e ra s 2 、a o s 2 a n db s 2a ss u b s p a c e s o fa s ”w i t ht h ei n d u c e dt o p o l o g y t h ef o l l o w i n gz 2a n ds 1g r o u pa c t i o n sa r ed e f i n e do ne v e r y c f a s 2 ： 0 。e ( t ) = c ( 1 一t ) ， v t s 1 ， ( 2 1 ) e “d z t 。c ( t ) = c ( t + 尝) ， v r ( 22 ) n o t et h a tt h e s et w oa c t i o n sc o m m u t et oe a c ho t h e ro n l yw h e no = 7 r s oa n o t h e rz 2 一a c t i o no n a s 2i st h e nd e f i n e db y 口7 ：矿汀。目：0 0 矿仃f 23 、 t h e q u o t i e n ts p a c e so fa s 2 ，a o s 2 ，b s 2u n d e rt h ez 2 一a c t i o ng e n e r a t e db y0a sw e l la s0 a r e d e n o t e db y 五s 2 ，育1 s 2 ，a n d 百s 2a sw e l la sa s 2 ，a + o s 2 ，a n db + s 2 r e s p e c t i v e l y t h e ya r ev i e w e d a ss u b s p a c e so fx s 2 ：a s 2 0a n da + s 2 = a s 2 0 t h eq u o t i e n ts p a c e so fa s 2 a o s 2a n d1 3 s 2 u n d e rt h ez 2 z 2 一a c t i o ng e n e r a t e db y0a n d0 7a r ed e n o t e db y 才+ s 2 ，j 州s 2 ，a n d 百+ s 2r e s p e c t i v e l y l a n da r ev i e w e da ss u b s p a c e so f 万s 2 = a s 2 i o 0 3 i t i s w e l 】k n o w n t h a t f o rk = 】2 o r3 t h e r eh o d s 女( 万+ s 2 ，五牛u s 2 ；z 2 ) 0 ( 2 4 1 e x p l i c i tc o n s t r u c t i o n so ft h e s en o n t r i v i a lh o m o l o g yc l a s s e sa r ei m p o r t a n tf o rg i v i n gas i m p l ep r o o f o ft h et h e o r e mo fl u s t e r n i ka n ds e h n i r e l m a n n o np a g e s3 4 7 3 4 8i np r o p o s i t i o n37 1 9o fi k l i 2 】 c o n s t r u c t i o n sf o rt h e s en o n - t r i v i a lh o m o l o g yc l a s s e sa r eg i y e n ，w h i & a r ei n c o r r e c tu n f o r t u n a t e l y t h i ss e c t i o ni sd e v o t e dt og i v ee x p l i c i tc o n s t r u c t i o n sf o rt h e s ec l a s s e s i no r d e rt oi n t r o d u c er e p r e s e n t a t i o n so ft h eh o m o l o n c a lc l a s s e si na s 2 ，w en e e dt oi n t r o d u c e s e v e r a lr o t a t i o n sa n dc o n t i n u o u sm a p s d e f i n i t i o n2 1 f o ra n yf ，卵1 0 ，7 r 】a n d 。s 2 ，l e tf ( 。) b et h ep o i n ti ns 2o b t a i n e db y r o t a t i n gx8 2 o u n dt h ex o a x i sc o u n t e r c l o c k w i s e l yb y na n g l ef b y ”a r o u n dt h e 。o a x i sc o u n t e r c l o c k w i s e l y ”w el ，【l e a n t h a tt h er o t a t i o nf o l l o w st h er i g h th a n dr u l ew i t ht h et h u m bt o w a r d st i l e p o s i t i v ex o a x i s v i at h ea b o v er o t a t i o ng e n e r a t e db yt h ea n g l e ，t h ez 1 一a x i si s r o t a t e dt oan e w z ；一a x i sw h i c hp o i n t sf r o mt h eo r i g i no t ot h ep o i n t ( 0 j c o s ，s i n e ) ，l e tw ( z ) b et h ep o i n ti n ，9 2 o b t a i n e db yr o t a t i n gza r o u n dt h ez i a x i sc o u n t e r c l o e k w i s e l yb ya na n g l e 叩t h i sd e f i n e st w o c o n t i n u o u sa c t i o n so fa n g l e si n ( 0 ，州o ns 2 f o r 妒1 0 ，州，w ed e f i n e ( ，) = 曲+ i 妒， r 。、f7 r 一2 妒+ 2 ， i f 妒庐， 印( 妒妒= 17 r + 2 妒一2 妒，i f 妒s 毋， 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) d e f i n i t i o n2 2 f o ra n yr 【- 1 ，1 】w ed e f i n ef ( t 0 ，0 ) t ob et i mp a r a m e t e r i z e di n t e r s e c t i o n c i r c l ec ：s 1 _ s 2o ft h eu n i ts p h e r es 2a n dt h ep l a n ep 一) p a r a l l e lt ot h ep l a n ez 2 = 0 a n d p a s s i n gt h r o u g ht h ep o i n t ( 0 ，0 ，r ) w i t hi n i t i a lp o i n te ( o ) = ( s i n w ，0 ，r ) a n dt h ei n i t i a lv e l o c i t y e ( o ) = ( o ，1 ，o ) ，w h e r eu = a r c c o s r t h e n w ed e f i n eam a p 广g ( - 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x f r o mt h eo r i g i not oai sp e r p e n d i c u l a r t ot h ep l a np a s s i n gt h r o u g hea n dp a s s i n gt h r o u g ht h ec e n t e ro ft h ec i r c l ec f r ) t h e 妒- a c t i o ni n ( 2 1 3 ) o nt h ec i r c l eer o t a t e sea r o u n dt h ex 0 - a x i sc o u n t e r c t o c k w i s e l yb ya n a n g l eq o u n d e rt h i sr o t a t i o n jt h ec i r c l e ci sm o v e dt oan e wc i r c l e ，= 妒。c ，t h ep o i n t saa a l d b = 4 0 1 a r em o v e dr e s p e c t i v e l yt o a 7 = ( 0 ，一s i n 妒，c o s 妒) a n d b 7 = ( s i n w ，一rs i n 【p ，rc o s 妒) = c ，( o ) ( 2 1 5 ) 5 t h e x 2 - a x i si sm o v e d t ot h en e wz ；一a x i sf r o mt i l eo r i g i no p o i n t i n gt ot h ep o i n ta ，a n dt h ex 1 一a x i s i sm o v e dt ot h en e wz i a x i sf r o mt h eo r i g i no p o i n t i n gt ot h ep o i n t = ( 0 ，c o s 妒，s i n 妒) = 妒扣) w i t h = ( 0 ，1 ，0 ) n o t et h a tt h ei n i t i a lv e l o c i t yo fc i s0 7 ( o ) = v 7 n o w t h e ( 7 f 一2 妒) p a c t i o ni n ( 2 1 3 ) 0 1 2t h ec i r c l ec ，三妒。( c ) r o t a t e s a r o u n dt h ez ；一a x i s c o u n t e r c l o c k w i s e l yb ya na n g l e ”一2 妒u n d e rt h i sr o t a t i o n ，t h ec i r c l ec ，i sm o v e dt oan e wc i r c l e c ? = ( 丌一2 妒) 妒。c ，t h ep o i n t s a a n d b = 一( 0 ) a r e m o v e d i n t h ep l a n es p a n n i n g b y 。1 2a n dx 0 a x l e s r e s p e c t i v e l yt ot h ep o i n t s a ”= = b ”= 一2 妒) 口a 7 ， ( s i n ( 2 妒) ，s i n c o s ( 2 妒) ，一c o s c o s ( 2 妒) ) ， ( 丌一2 妒) 口b 7 ( 一s i n ( w 一2 妒) ，c o s ( u 一2 妒) s i n 妒，一c o s ( u 一2 妒) c o s 妒) c ”( 0 ) ， a ss h o w ni nf i g u r e2 1 n o t et h a tt h ei n i t i a lv e l o c i t yo fd i sg i v e nb y s t e p2 c o m p u t a t i o n sd n9 ( r ，7 r ，妒) w h e n 曲= ”，b y ( 2 5 ) 一( 2 6 ) w eo b t a i n b yd e f i n i t i o n4 2 ，w eh a v e ( 0 ) = 7 ( 7 r ，妒) = 丌+ 妒，叩( 7 r ，妒) = 一7 r + 2 妒 f 2 1 6 1 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) f 2 1 9 1 g ( r ，7 r ，妒) = f ( r ，( 7 r ，妒) ，叩( 7 r ，铲) f ( o ，妒) ) = ，( r ，丌+ 妒，( 一7 r + 2 妒j 。+ 妒) = ( 一7 r + 2 妒) ”+ p 。( 7 r + 妒) 。c ( 22 0 ) t h e ( 7 r + c p ) 一a c t i o ni n ( 2 2 0 ) o nt h ec i r c l ecr o t a t e sca r o u n dt h ex 0 一a x i sc o u n t e r c l o c k w i s e l yb y a na n g l e7 广+ 妒u n d e rt h i sr o t a t i o n ，t h ec i r c l eci sm o v e dt oan e x vc i r c l ed ，= oc 、t h ep o i n t sa a n db = 4 0 ) a r em o v e dr e s p e c t i v e l yt o d 7 = ( 0 ，一s i n o r + 妒) ，一c 0 8 ( 丌+ 妒) ) = ( 0 ，一s i n 妒，一c o s _ p ) = 一a 7 e i = ( s i n 。，r s i n 妒，一c o s 妒) = ( o ) ， ( 2 2 1 ) f 2 2 2 1 t h ex 2 。a x i si sm o v e dt ot h e z 一a x i sf r o mt h eo r i g i n0 p o i n t i n gt ot h ep o i n td7 ，a n dt h ez 1 一a x i s i sm o v e dt ot h e z i 。a x i sf r o mt h eo r i g i n0 p o i n t i n gt ot h ep o i n t 一 7 = ( o ，一c o s 妒，一s i n 妒) = ( ”+ 妒) ( u ) w i t hu = ( o ，1 ，o ) n o t et h a tt h ei n i t i a lv e l o c i t yo fd i sd ( o ) = 一u 7 ， n o w t h e ( 一7 r + 2 妒) ”+ 妒一a c t i o ni n ( 2 2 0 ) o nt h ec i r c l ed 7 三( 7 r + 妒) o ( c ) r o t a t e sd 7a r o u n dt h e 一。i a x i sc o u n t e r c l o c k w i s e l yb ya na n g l e 一丌十2 妒u n d e rt h i sr o t a t i o n ，t h ec i r c l ed 7i sm o v e dt oa n e wc i r c l ed ”= ( 一丌+ 2 妒) + 。d ，t h ep o i n t sd a n de 7 = ( o ) a r em o v e di nt h ep l a n es p a n n i n g b y 一。! a n dx 0 一a x l e sr e s p e c t i v e l yt ot h ep o i n t s d ” = ( 一7 r + 2 妒) 口+ d 7 ， = ( 一s i n ( 2 妒) ，一s i nc o s ( 2 妒) ，c o sc 0 8 ( 2 妒) ) ， e ” = ( 一丌+ 2 妒) 。+ 妒e 7 = ( 一s i n ( ：a + 2 垆) ，一c o s ( u + 2 妒) s i n 妒，c o s ( l d + 2 妒) c o s 妒) = ( o ) ， a ss h o w ni nf i g u r e2 1t o o n o t et h a tt h ei n i t i a lv e l o e i t yo fc ，7i sg i v e nb y ( o ) = 一u 7 s t e p3 t h ep r o o f0 | 2 ，1 0 ) n o t et h a tb y ( 2 ，1 7 ) a n d ( 2 2 4 ) w eo b t a i n = ( o ) = 一( e ”、仃。c ，7 ) ( o ) = 一一( 1 2 ) i f ( 22 3 ) f 2 2 4 1 f 2 2 5 1 f 2 2 6 、 h e r et h ep o i n tfi ss h o w ni nf i g u r e2 1t o o o nt h eo t h e rh a n d ，b y ( 2 t s ) ，( 2 , 2 5 ) ，a n d ( 2 2 6 ) ，w e o b t a i n 双。) = - 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