（基础数学专业论文）hermitian对称空间.pdf

中走摘要 中文摘要 本文的主臻目的是描述h e r m i t i a a 对称空间。对称空间分三种类型：紧的，非紧 的和欧氏的。濑鼹根据对称空间等距自间构群上的李代数g 的性艨来划分的。我们主 要是来证明，那蝗非紧犁的h e r m i t i a z l 对称空间蛤恰就是e n 中船对称有界域，其上 戆黎曼度量l 鸯b e r g m a n 度萎给出，以及黠不可约h e r m i t i a a 对称窀阗躲刻画。 第一章中我们培出t h e r m i t i a n 对称空闻的基本定义秽健矮，并且讨论了菲紧 型盼对称空间。在笳_ 章中我们对论g n 中的对称有界域并蝓出主要结粜。不可 约h e r m i t i a n 对称窀问的内容在第i 章- f 精出。 k e y w o r d s ：对称李代数，h e r m i t i a n 对称空问，b e r g m u n 度最，对称育界域 i i 竺! ! 竺三! ! ：! ! ! ! ! 塑堡! ! ! ! ! ! 翌堡! a b s t r a c t t h eg o a lo ft h i sp a p e ri st od e s c r i b eh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s t h e r ea r e t h r e eb a s i ct y p e so fs y m m e t r i cs p a c e ：c o m p a c t ，n o n e o m p a c t ，a n de u c l i d e a n ，d e f i n e d i nt e r m so fp r o p e r t i e so fg ，t h el i ea l g e b r ao fi t sg r o u po fi s o m e t r i c s o u rm a i ng o a li s t op r o v et h a tt h o s eo fn o n c o m p a c tt y p ea r ee x a c t l yt h eb o u n d e ds y m m e t r i cd o m a i n s i nc ”w i t hr i e m a n n i a ns t r u c t u r eg i v e nb yt h eb e r g m a nm e t r i c a n dt oc h a r a c t e r i z e t h ei r r e d u c i b l eh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s c h a p t e rlg i v e sb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s ， a n dd i s c u s s e st h es y m m e t r i cs p a c e so fn o n - c o m p a c tt y p e ，w ed i s c u s sb o u n d e ds y m m e t r i cd o m a i n si nc ”i nc h a p t e r2a n dg i v et h em a i nr e s u l t t h ec h a r a c t e r i z a t i o no f i r r e d u c i b l eh e r m i t i a ns y m n l e t r i cs p a c e sa r eg i v e ni nc h a p t e r3 k e y w o r d s ：s y m m e t r i cl i ea l g e b r a ，h e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e ，b e r g m a nm e t r i c ， b o u n d e ds y m m e t r i cd o m a i n 竺竺兰三鳖坚! 型竺兰! 竺塑 c h a p t e r1 h e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s a s w e k n o w ，a r i e m a n n i a n m a n i f o l d m i s c u l l e das y i i m l e t r i cs p a c e i f f o re a c h p m ， t h e r ee x i s t sa r ii s o m e t r ys f i x i n gps u c he h 武d 品= 一fo n 昂( 掰) 掰i ss a i dt o b eh e r m i t i a ns y m m e t r i ci fmi sac o n n e c t e dc o m p l e xm a n i f o l dw i t hah e r m i t i a n s t r u c t u r e ，a n df o re a c hp m ，t h e r ee x i s t sah o l o m o r p h i es y m m e t r y s e c t i o n1d e a l sw i t hs o m eb a s i cf a c t sc o n c e r n i n gm a n i f o l d sw i t ha h n o s tc o m p l e x s t r u c t u r e ，a n d 棼y e st h ed e f i n i t i o na n db a s i cp r o p e r t i e so fh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s 。 a sw i t ht h er e a ls y m m e t r i cs p a c e s ，t h e r ea r et h r e et y p e so fh e r m i t i a ns y m m e t r i c s p a c e s ，n a m e l y , c o m p a c t ，n o n c o m p a e ta n de u c l i d e a n i nf a c t ，t h e s e & r ea l w a y ss i m p l y c o n n e c t e da sp r o v e di ns e c t i o n2 m e a n w h i l e i ti ss h o w nt h a ta n ys i m p l yc o n n e c t e d h e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c ec a l lb ew r i t t e na 83p r o d u c to fh e r m i t i a ns y m m e t r i c s p a c e so fe u c l i d e a nt y p e ，c o m p a c t 锣p ea n dn o n c o m p a c tt y p e 1 1 b a s i c so nh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s d e f i n i t i o n1 1 1l e tmb eac am a n i f o l da na l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r eo nmi s at e n s o rf i e l djo ft y p e ( 1 ，1 ) s u c ht h a tj ( j x ) = 一xf o re a c hv e c t o rf i e l dxo nm ， a na h n o s to o m p t e xm a n i f o l di sap a i r m ，j ) w h e r emi s8c ”m a n i f o l da n d ji sa g a l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r eo nm n o t et h a ti fm i sac o m p l e xm a n i f o l do fd i m e n s i o nm t h e nm c a l lb ev i e w e da s ar e a lm a n i f o l do fd i m e n s i o n2 m f o ra n yp o i n tp m ，t h et a n g e n ts p a c e 蜀( m ) o f t h ea n a l y t i cm a n i f o l dmh a sab a s i s 嚣张n 谤t h ev e e t o r s ( 矗) ，( 杀) ，) ，( 毫) ， c h a p t e rl 。h e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s t h ee n d o m o r p h i s m 山：昂( m ) - - - + 弓( m ) g i v e nb y j 弋, 。0 i ) ，= ( 杀) ，而( 杀) ，( 蠡) ， f o r1 i ms a t i s f i e s 露= 一j t h et e n s o rf i e l dj ：p “占i sa la l m o s tc o m p l e x s t r u c t u r eo nm w h i c h 、ec m lt c a n o n i c a lm m o s tc o m p l e xs t r u c t n r ea s s o c i a t e dt o t h ec o m p l e xs t r u c t u x e0 1 2m c o n s i d e rn o wa ni m p o r t a n tm a p p i n gs ：t ( m ) t ( m ) _ t ( m ) g i v e nb y s ( x ，y ) = 盖，y 3 + d d x ，y j + j x ，j y 】一【j x ，j y 3 f o rx ，y r ( m ) u s i n gt h er e l a t i o n f x ，# y l = ，g 瞄，y j + f ( x g ) y g ( y 妇x f o rf ，g c ”( 幻i tf o l l o w se a s i l yt h a ts ( f x ，9 y ) = ，9 s ( x ，y ) s i n c ej ( f x ) 一 f j ( x ) ，i d e n t i 移s 研搬t h e m u l t i l i n e a r m a p p i n g ( 。，盖，y ) 一u ( s ( 五y ) ) o f ，( 掰) 4 t ( m ) t ( m ) i n t o c a ( m ) t h u s s i sa t e n s o r f i e l do f t y p e ( 1 ，2 ) ，c a l l e d t h e t o r s i o n t e n s o ro ft h ea l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ej o b v i o u s l ysi ss k e ws y m m e t r i c ，t h a ti s ， s ( x ，y ) = 一s ( y x ) ，i f s = 0 ，t h ea l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ei ss a i dt ob ei n t e g r a b l e d e f i n i t i o n1 1 ，2 l e t ( 蝇j ) a n d ( 拶，；b ea l m o s tc o m p l e xm a n i f o l d sa n d 萤a d e f f e r e n t i a b l em a p p i n go fmi n t om 7 ：t h em a p p i n g 壬i sc a l l e da l m o s tc o m p l e xi f d 垂p 。南= 嚣。d p m r e m a r k ：s u p p o s en o wma n dm ! a r ec o m p l e xm a n i f o l d sa a d3a n d3 tt h e i rt o r t e - s p o n d i n ga l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r e s i ti so b v i o u sf r o mt h ec a u c h y - r i e m a n ne q u a - t i o n st h a tah o l o m o r p h i cm a p p i n gi sa l m o s tc o m p l e x o nt h eo t h e rh a n d ，s u p p o s e am a p p i n g 蛋：m _ mi sa l m o s t c o m p l e x l e t 盈， a n df ”一，鞔 2 m a s t e rt h e s i so fz h a n gu n i v e r s i t y b ec o m p l e xl o c a lc o o r d i n a t e si nan e i g h b o r h o o do fpi nm a n do f 蛋i a 膨。p u t = q + 锄( 王j r n ) ，k = “k + i r k ( 1 南n ) s i n c e 峨。矗( 南) ，枷，( 杀) ， 2 莩煎铲| ，( 焘) 。+ 莩o ( v 勘ko 辔) | ，( 去) 酬 ，。螂( 南) ，= ，( 莩笺铲| ，( 去) 嘞，+ 善笋| ，( 去) ) 2 莓警，( 最) 吣，一莩掣| ，( 去) 吣， n o wt h a t 圣i sa l m o s tc o m p l e x ，i tf o l l o w 8t h a t o ( u k0 圣) 晷f 冁0 蚤) o x j嘞 翌塑堡! 至2 ：一堡f 堡! 曼2 a 氍& 1 w h i c hi m p l i e st h a t * i sh o l o m o r p h i c t h i ss h o w st h a ta na l m o s tc o m p l e xm a p p i n g o fac o m p l e xm a n i t b l di n t oa n o t h e ri sh o l o m o r p h i c t h e o r e m1 1 3l e t ( m j ) b ea 4 2a l m o s tc o m p l e xm a n i f o l do nw h i c ht h ea l m o s t c o m p l e xs t r u c t u r ei si n t e g r a b l e ，t h e nt h e r ee x i s t sam f i q u ec o m p l e xs t r u c t u r eo i lm s u c ht h a t 了i st h ea s s o c i a t e da l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r e ( f r s l i e h e r ) d e f i n i t i o n1 1 4l e tmb eac o n n e c t e dm a n i f o l dw i t ha l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ej a r i e m a n n i a n m e t r i c o n m i ss a i d t ob e h e r m i t i a n i f = f o rv e c t o rf i e l d sxa n dy a n di ti sk a b l e r i a ni fa l s ov x j = 0 h e r m i t i a nx d e f j i $ t h a tja c t sb yi s o m e t r i c sa n dk a l a l e r i a nm e a n st h a tji si n v a r i - a n tu n d e rp a r a l l e l i s m s u p p o s em i sac o n n e c t e dm a n i f o l dw i t hh e r m i t i a ns t r u c t u r e in o ww ed e f i n ea 2 - f o r m u ( x ，y ) 篇x ，j y o n m ，n o t e t h a t ( x ，y ) = 一u ( e x ) a n d w eh a v e t h e f o l l o w i n g 。 p r o p o s i t i o n1 1 5t h er i e m a r m i a ns t r u e t m eo fm i sk a h l e r i a ni fa n do n l yi fui s c l o s e d 3 c h a p t e r1 h e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s p r o o f i ”j ”s i n c ef o ra n yv e c t o rf i e l d sx ，y ) z ，( v z j ) x = v z ( j x ) 一j ( v z x ) ，i t f o l l o w st h a tv z ( j x ) = j ( v z x ) i fmi sk a h l e r i a a ls o v 孑扣( x ，y ) ) = ( v z ) ( 置y ) + 蚶( v z x ，y ) + u ( 互，v z y ) o nt h eo t h e rh a n d ， = ( v 三搿) 盖，y ) + - t - v 茗( x ，l ，) ) - v z + s of v z w ) ( x ，y ) = 0 ，i e ，v z w = 0w h i c hi ss u f f i c i e n t l yt os a yt h a td w = o ”# ”s u p p o s ed w = 0 t h e n v z o j = 0 s o w h i l e v z ( 叫( x ，y ) ) = + v g x ，y ) ) = + w h i c hs h o w sv z ( 3 y ) = | ，v z y ，t h u sw eh a v e ( v z j ) x = v z ( j x ) j ( v z x ) = 0 i , e ，v z j = 0 。s o m 遗k a h l e r i a n d e f i n i t i o n1 1 6l e tmb e c o n n e c t e dc o m p l e xm a n i f o l dw i t hac a n o n i c a lh e r m i t i a n s t r u c t u r e mi ss a i dt ob eah e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c ei ff o re a c hp m ，t h e r ee x i s t s ah o l o m o r p h i ci s o m e t r ys f i x i n gps u c ht h a td 昂一一1o n 马m tt h er e a lt a n g e n ts p a c e h e r e ，si sc a l l e dt h e , s y m m e t r ya b o u tp ， 、v ed e n o t eb ya ( m ) t h eg r o u po fh o l o m o r p h i ci s o m e t r i c s a sw i t ht h er e a l s y m m e t r i cs p a c ei nt h ec o m p a c to p e nt o p o l o g y , t h ei d e n t i t yc o m p o n e n tc = a s ( m ) a c t st r a n s i t i v e l y lm f o rp ma n dst h es y m m e t r ya b o u tp ，l e thb et h ei s o t r o p y 4 m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i t y s u b g r o u po f pi ng t h ea u t o m o r p h i s m 口( g ) = s g sm a k e st h ep a i r ( g ，h ) s y m m e t r i c a n d m = g h l e m m a1 _ 1 7t h eh e r m i t i a ns t r u c t u r eo fah e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c ei sk a h l e r i a n p r o o f f o ra n yp m ，a n dx 耳( m ) ，l e t7 x ( t ) = e z p ( t x ) ，t r ( n o t et h a t s y m m e t r i cs p a c ei sc o m p l e t e ) l e ts tb et h es y m m e t r ya b o u t 协( t ) i f 丑= 8 5 0 ，t h e n t h 五i s8o n e p a r a m e t e rs u b g r o u po f g t t ( 力= 8 ) = z x ( t ) l e tx 2 k ( 一) ( 订) ，ra n d 唯b et h ep a r a l l e lt r a n s l a t i o na l o n gof r o m1 x ( 一t ) t o r x ( t ) a n dpr e s p e c t i v e l y t h e nd s 。f ”( t ) a n d & 0 1 p 唯x = 一印xa r ep a r a l l e l w i t hr e s p e c tt ot h eg e o d e s i cf r o mpt o7 x ( t ) s i n c e xa n dt xo r ep a r a l l e l ，s o & 0 1 o ( x ) = 一r x ，w h i c hs h o w st h ea b o v ed 正bi st h ep a r a l l e lt r a n s l a t i o na l o n g 7 xs i n c e 以i sh o l o m o r p h i c ， h e n c e d t t 。0 = j m ( t ) 。d 丑 0 = v r x ( t ) ( d t eo 山( y ) ) = v 1 羔( t ) ( 。( t ) 。d 五( 1 ，) ) = ( v 1 叠( ) ，( ) ) d 丑( y ) f o ra n yy 耳( m ) t h u s ，v 1 ；( ) x ( t ) = 0w h i c hi m p l i e sv x j = 0f o ra n yv e c t o r f i e l dx s omi sk a h l e r i a n l e tgb eac o n n e c t e dl i eg r o u pa n dhac l o s e ds u b g r o u po fgs u p p o s eji sa g - i n v a r i a n ta l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r eo i lm = g ha n dp u tp = 7 r ( e ) 如i sal i n e a r t r a n s f o r m a t i o no n 耳ms u c ht h a t ， 2 厶c o m m u t e sw i t ht h ee l e n a e n t so ft h el i n e a ri s o t r o p yg r o u ph + t h ef i r s t i sc l e a r t h es e c o n df o l l o w sf r o mt h ef a c tt h a tji sg i n w r i a a t ，s o j q 曲9 = d t g j p w h e r eq = t g p 、t gd e n o t et h ea c t i o no fgo i lm f o ra n yp o i n tgch ， s i n c eq = 聊= p ，w eh a v e 如b = 帆占，ie 矗c o u l n n l t e s w i t h t h ee l e m e n t so f h + 5 c h a p t e r1 h e r m k i a ns y m m e t r i cs p a c e s p r o p o s i t i o n1 1 。8l e t ( g ，h ) b e as ：f f n m e t r i cp a i ra n dp = w ( e ) c l h m l e t b ea n yg i n v a r i a n tr i e m a n n i a nm e t r i co nms u p p o s e 如i sa ne n d o m o r p h i s m 蜀ms u c ht h a t 1 七= 一i 2 = f o ra l l x 、y 耳m 3 i3 bc o m m u t e sw i t ht h ee l e m e n t s 哇t h ef i n e a ri s o t r o p yg t o n ph 、 t h e nj pe x t e n d st oam f i q u eg - i n v a r i a ma l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ejo nm t h e 彤e m a n n i a s t r u c t u r ei st t e r m i t i a na n dji si n t e g r a b l e a n dw i t ht h ec o r r e s p o n d i n g c o m p l e xs t r u c t u r e ，mi sah e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e t p r o o f ：s i n c eg i sal i et r a n s f o r m a t i o ng r o u po fg h ，a n dga c t st r a n s i t i v e l yo i l g h + f o ra n yq m ，t h e r ee x i s t sg g ，s u c h t h a t p = q t h u s w - e c a nd e f i n e 而 b y 3 q o 如g = 拙g e3 p c l e a r l y 露= 一t ，a n dg ”占d e f i n e sa na l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r ej o nm s u c ha g - i n v a r i a n ts t r u c t u r ei su n i q u e s i n c eji sg - i n v a r i a m ，a n d i sag - i n v a r i a n tr i e m a n n i a nm e t r i c ，f r o m2w e m u s th a v et h er i e m a n n i a nm e t r i ci sh e r m i t i a n l e t 盯b ea n yi n v o l u t i v ea u t o m o r p h i s mo fg s u c ht h a t 掰chcf 4 ，t h e s y m m e t r ysa b o u tp i sd e f i n e db ys o = o 口i n o r d e r t os h o ws i sh o l o m o r p h i c ， w e j u s tn e e dt op r o v et h a tsi sa h z l o s tc o m p l e x l e tq m a n df 墨m f i n dg s ot h a t 勺p = qa n ds e t = d 勺一l ( 口) n o t e ，靠( g ) 蒜s sf o ra i lg ga n dt h u s w eh a v es 。擘拦b 0 。ss i n c esi si n v o l u t i v e s i n c ed s v 揣f ，托f o l l o w st h a t 6 m a s t e rt h e s i so fz h e j i a n gu n i v e r s i 毋 d s p o3 p = j p 。a s p n o t et h a tji sg - i n v a r i a n t ，s o d 岛( 山口) = d & ( j q d 勺) = d 岛d t g ( 矗嘶) = 颤哟) 而( d s p v , ) = 如( q ) d b ( 9 ) d 昂( 口p ) 一t 西( g 】d s q d 勺( 邯) = g s ( 神( d s q v ) i e si sa l m o s tc o m p l e x + t os e et h a tji si n t e g r a b l e w em u 8 ts h o wt h a t x ，y 】+ ， j x ，y 】+ ，陇，j y l 一 1 ，x ，y 】= 0 f o rv e c t o rf i e l d sxa n dyo i lm a smi sh o m o g e n e o u s ，w ei l e 谳o n l yc h e c kt h i sa t t h ep o i n tp m l e tub ean o r m a ln e i g h b o r h o o do fpa n df o rv e c t o r 玛马m ， e x t e n dt o8v e c t o rf i e l do nus ot h a tx qi st h ep a r a n e lt r a n s l a t i o no f 墨a l o n gt h e u n i q u eg e o d e s i cj o i n i n gpa n dq ，i fyi sav e c t o rf i e l do nua l s oo b t a i n e db yp a r a l l e l t r a n s l a t i o n ，t h e n 【x ，y 3 p = ( v x y ) p 一( v r x ) p = 0 hs u f f i c e s t oc h e c k f o r c t o r f i e l d s o f t h i s t y p es i n c e t h e l e f th a n ds i d e o f t h e , e q u a t i o n w ea r eg o i n gt op r o v ei sg ”( m ) 一l i n e a r i fxa n dya r ef o r m e db yp a r a l l e lt r a n s l a t i o n ，s i n c eji si n v a r i a n tu n d e rg ，i np a r t i c u l a ru n d e rp a r a l l e l i s m ，i tf o l l o w st h a t t h e v e c t o rf i e l d s3 x 、3 ya r ea l s oo b t a i n e di nt h i sw a y t h e r e f o r eji si n t e g r a b l e d u et ot h e o r e m1 1 3 t h ec o m p l e xs t r u c t u r eo nm c o r r e s p o n d i n gt oj i su n i q n e w i t ht h i ss t r u c t u r e ，si ss t i l lh o l o m o r p h i c ，a n df o ra n yo t h e rp o i n t m ，t h es y m - m e t r ys 4 = b 一la b o u tqi sc l e a r l ya l m o s tc o m p l e x h e n c ea r ea l lh o l o m o r p h i c ，s o mi sah e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e 7 ! 竺坐：至兰型! ：罂墅竺竺：! ：兰! ! 兰： 1 2s y m m e t r i cs p a c e so fc o m p a c tt y p ea n dn o n - c o m p a c tt y p e d e f i n i t i o n1 , 2 。1l e t 掰b e8h e r m i t i a ns , n n m e t r cs p a c e 。mi ss a i dt ob eo fe u c l i d - e a r nt y p e ，c o m p a c tt y p eo rn o n - c o m p a c tt y p ed e p e n d i n go nt h et y p eo ft h es y m m e t r i c p a i r ( a o ( m ) ，) ，w h e r eh i st h ei s o t r o p yg r o u po fap o i n ti nm t h e o r e m1 2 2l e tmb eas i m p l yc o n n e c t e dh e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e 。t h e nm i sap r o d u c tm 篇娲船一婚w h e r ee a c hf a c t o rb8s i m p l yc o n n e c t e dh e r m i t i a n s y m m e t r i cs p a c e m o2g 8f o rs o m em tm i so fc o m p a c tt y p e ，a n dm + i so f n o n - c o m p a c tt y p e p r o o f il e t g = a o ( m ) ，l e t p b ea p o i n t i n ma n d h t h e i s o t r o p ys u b g r o u p o f ca t p l e t g ，棚b et h eu n i v e r s a lc o v e r i n gg r o u po fg a n dhi st h ei d e n t i t yc o m p o n e n to f 垂一1 ( 嚣) t h e n m g ha n d 莲g i s t h e l i e a l g e b r a o f g ：8 d e n o t e t h ea n t o m o r p h i s m o fgw h i c hc o r r e s p o n d st ot h ea u t o m o r p h l s mghs g so fgw h e r esi st h ei s o m e t r y a b o u tpt h e nt h ep a i r ( g ，s ) i sa ne f f e c t i v es y m m e t r i cl i ea l g e b r a l e tbb et h ef i x e d p o i n t so fs ，w ec a nd e c o m p o s e 尊竺踟园霉一。雾+ ，套= b e o 垂一$ b + w eo b t a i nd e c o m p o s i t i o n s 毒= g o g 一g + ，膏= h 0 n 玑 a n dt h es p a c e sa 曳= c o 嚣o ，m 一= g 一h 一，m = g + h a r es i m p l yc o n n e c t e d r i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e sw h o s ep r o d u c ti sm l e tp ，p o ，p 一，p + d e n o t et h e - 1 e i g e n s p a c e so f8 w eh a v e p = p 0 0 p 0 p + l e tjb et h ea l m o s tc o m p l e xs t r u c t u r eo nm ，qt h er i e m a n n i a ns t r u c t u r e ，国i st h e n 8 m a s t e rt h e s i so fz h e j i a z a gu n i v e r s i t y a b i l i n e m f o r mo np pa n d 。i sa ne n d o m o r p h i s mo fp f o r y p o ，w r i t e 厶y = 十n + 耳 淞c o r d j n gt ot h ed e c o m p o s i t i o no fp 。l e ta dd e n o t et h ea d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n 晷 f o ra n yh n 爿+ ，a d ( h ) y = ys i n c e 【p o ，b l = p o ，目+ 】= 0 s i n c ej pc o m n l u t e sw i t ha d ( h ) 8 0 d ( l + r ) = a d ( h ) 占( y ) 一a d ( h ) 殇= 而y 一砀一l + 耳 f o ra n yh i n h x 撇。+ t h i s i n f a c t h o l d s f o ra n yh i n hs i n c e i fh 嚣i ，a d ( h j f i x e s a i lo fp o p + f o rt h ef a c tt h a t 0 0 ，p 一】一 自o ，p + l = 0i tf o l l o w st h a tf o ra n yx ， a d x ( v _ + y + ) 一0 ，i e 1 + 耳c o m m n t e 8 e l e m e n t w i s e w i t hbs o l + y + n o ，w e s h a l lh a v e l + 琉一0 s o 占沁cp 0 + a r g u i n gs i m i l a r l y w e8 t h a tp a n dp + a r e a l s oi n v a r i a n tu n d e r0 ”f i n a u y , p r o p o s i t i o nt 1 8i m p l i e st h a t 嫩o ，酝一a n d 辩+ a r e h e r u f i t i a ns y m m e t r i cs p a