（基础数学专业论文）rh模上算子代数与算子理论.pdf

摘要 本文在第一章中给出了一些预备知识，内容主要涉及到郭铁 信所提出的随机泛函分析的一些基本概念：r n 空间；r n 空间上随 机算子与随机泛函的a s 有界；i n 模及其完备化( 我们称之为 r b 模) ；r i p 空间，r i p 模及其完备化( 我们分别称之为r h 空间， r h 模) ；另外还给出了已经证明的r h 模上a s 有界随机线性泛函 的r i e s z 表示定理。 在第二章，定义了随机b a n a c h 代数以及其中元素的谱，并研 究了其基本性质，将经典b a n a c h 代数理论中的许多结果推广到了 随机b a n a c h 代数中。为了给出一个合适的谱的定义，我们进行了 许多尝试。如果不注意到随机变量本身的特性，而是直接用经典 的谱定义，那么许多结果变的很坏，甚至没有任何的规律性。举 例来说，我们就看l ( a ，c ) ，这个特殊的随机b a n a c h 代数，考察随 机变量 釉，= 怯三i ： 其中a 口且p ( 爿) = 这是一个自伴元，但如果按照经典的谱定义 的话，那么它的谱将不会是实的，例如复值随机变量 i a 1 7 ( 。) 2 1 j 硭4 其中a 盯且p ( 爿) = ，它就在其中。从这个例子中我们也初步地看 到正测集扮演着重要的角色，这导致我们最终采用了现在的定义。 在第三章，定义了随机c _ 代数以及其中的正常元，自伴元， 投影，酉元，其上的a s 有界的随机正线性泛函，算予的a s 下有界等概念，并证明了代数中酉元和自伴元的谱定理：作为 类特殊的随机c - 代数的b ( ，我们利用定理3 2 把算子的谱的 问题转化为算子的a s 下有界的问题，并证明了自伴算子和正算 子的谱定理。另外在随机c 一代数上a s 有界的随机正线性泛函 存在的情况下，我们给出了相应的g n s 构造。 文 1 4 得到随机内积模上正算子及正交投影算子的一些性 质，为了继续研究正算子的性质，在第四章中给出了r h 模上与正 算子相关的一些不等式，以及由此得出的相关结论，这些结果有 利于进一步研究f h 模上正算子的性质。 关键词r h 模，随机b a n a c h 代数，谱，随机c 代数，a s 下有 界，正算子 a b s t r a c t i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e rs o m ep r e l i m i n a r i e sa r eg i v e n t h ec o n t e n ti sm a i n l ya b o u ts o m eb a s i cn o t i o n so fr a n d o mf u n c t i o n a l a n a l y s i s g u ot i e x i ni n t r o d u c e d ：r n s p a c e ；a s b o u n d e d n e s s o f r a n d o m o p e r a t o r a n dr a n d o mf u n c t i o n a lo nr n s p a c e ；r n m o d u l ea n d i t sc o m p l e t i o n ( w ec a l li tr b m o d u l e ) ；r i gm o d u l ea n di t sc o m p l e t i o n ( w ec a l l i tr bm o d u l e ) ；r i ps p a c e ，r i pm o d u l ea n di t s c o m p l e t i o n ( w es e p a r a t e l yc a l lt h e mr hs p a c e ，r hm o d u l e ) ；m o r e o v e r , w eg i v e t h ep r o v e dr i e s zr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e ma b o u ta s b o u n d e dr a n d o m 1 i n e a rf u n c t i o n a lo nr hm o d u l e i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed e f i n er a n d o mb a n a c h a l g e b r aa n d s p e c t r u mo f i t se l e m e n t ，a n ds t u d yi t sb a s i cp r o p e r t i e s ，a n dg e n e r a l i z e m a n yr e s u l t si nt h ec l a s s i c a lb a n a c ha l g e b r at h e o r yt ot h e c a s ei n r a n d o mb a n a c ha l g e b r a i no r d e rt o g i v e as u i t a b l ed e f i n i t i o no f s p e c t r u m ，w ed i dm u c ht r y i fw et u r nad e a f e a rt ot h ep r o p e r t yo f r a n d o mv a r i a b l ea n du s et h ec l a s s i c a ld e f i n i t i o no fs p e c t r u m ，t h e n m a n y r e s u l t sb e c o m e b a d l ya n d e v e nh a v en o r e g u l a r i t y f o ri n s t a n c e ， l e tu sc o n s i d e r l ( n ，c ) ，ap a r t i c u l a rr a n d o mb a n a c ha l g e b r a ，i n s p e c ta r a n d o mv a r i a b l e 掌) = 茹 爿 国a w h e r ea 盯a n d p ( 4 ) = t h i si s as e l f - a d j o i n te l e m e n t ，b u ti fw e u s et h ec l a s s i c a ld e f i n i t i o no f s p e c t r u m ，t h e ni t ss p e c t r u m w i l ln o tb e r e a l f o re x a m p l e ，ac o m p l e xv a l u e dr a n d o mv a r i a b l e 叩( 国) = 骺 国爿 0 9ga w h e r ea 仃a n d p ( 4 ) = ，i ti s i ni t w ei n i t i a l l ys e et h ei m p o r t a n t r o l et h ep o s i t i v em e a s u r es e tp l a y sf r o mt h i se x a m p l e ，w h i c hl e a d s1 i s t ou s et h ep r e s e n td e f i n i t i o n i nt h et h i r d c h a p t e g w ed e f i n es o m en o t i o n so fr a n d o m c * - a l g e b r aa n di t s n o r m a le l e m e n t ，s e l f - a d j o i n te l e m e n t ，p r o j e c t i o n u n i t a r ye l e m e n t ，a s b o u n d e dr a n d o mp o s i t i v el i n e a rf u n c t i o n a l ，a s b o u n d e db e l o wo fa n o p e r a t o re t c ，a n dp r o v et h es p e c t r u m t h e o r e mo f u n i t a r y e l e m e n ta n ds e l f - a d j o i n te l e m e n t ；a sap a r t i c u l a rr a n d o m c + - a l g e b r ab ( 回，w eu s et h e o r e m3 2 t ot r a n s f o r mt h ep r o b l e mo f s p e c t r u m i n t ot h e p r o b l e mo fa s b o u n d e db e l o w , a n dp r o v et h e s p e c t r u m t h e o r e mo f s e l f - a d j o i n to p e r a t o r a n dp o s i t i v e o p e r a t o r m o r e o v e r , w eg i v et h ec o r r e s p o n d e n tg n sc o n s t r u c t i o nu n d e rt h e c a s et h a ta na s b o u n d e dr a n d o mp o s i t i v el i n e a rf u n c t i o n a lo na r a n d o m c * - a l g e b r a e x i s t s s o m e p r o p e r t i e s o f p o s i t i v eo p e r a t o r s a n d o r t h o g o n a l p r o j e c t i o no p e r a t o r s o nr a n d o mi n n e r p r o d u c t m o d u l eh a v eb e e n o b t a i n e di nt h ep a p e r 1 4 1 i no r d e rt ok e e po n s t u d y i n g t h ep r o p e r t i e s o f p o s i t i v eo p e r a t o r s ，w eg i v e s o m e i n e q u a l i t i e s a b o u t p o s i t i v e o p e r a t o r so nr h m o d u l ei nt h ef o u r t hc h a p t e r t h e s er e s u l t sw i l lb e a d v a n t a g e o u s t of u r t h e rr e s e a r c hi nt h e p r o p e r t i e s o f p o s i t i v e o p e r a t o r so n r hm o d u l e k e y w o r d s ：r h m o d u l e ，r a n d o mb a n a c ha l g e b r a ，s p e c t r u m ，r a n d o m c * - a l g e b r a ，a s b o u n d e db e l o w , p o s i t i v eo p e r a t o r 引言 从1 9 4 2 年，k a r lm e n g e r 首先提出概率度量空间 1 】的概念以 来，这一领域取得了许多重要成果近年来，这一理论习益渗透到 其他一些领域例如郭铁信教授的一系列工作 2 - r 使随机度量理 论渗透到了随机分析领域，深化了人们对许多问题的认识如果把 这些看成是经典泛函分析的随机推广，那么一个自然的想法是隶属 于泛函分析的算子代数与算子理论也应该有其随机推广这无论是 对发展理论还是扩大应用都有一定的意义作者循此思路提出了随 机b a n a c h 代数，随机c 匕代数，下有界等概念，并证疆了许 多关键的结果。 本文在第一章中给出了一些预备知识，内容主要涉及到郭铁信 所提出的随机泛函分析的一些基本概念：r n 空间；r n 空间上 随机算子与随机泛函的a s 有界；r n 模及其完备化( 我们称之 为r b 模) ；r i p 空间，r i p 模及其完备化( 我们分别称之为r h 空间，r h 模) ；另外还给出了已经证明的r h 模上a s 有界随机 线性泛函的r i e s z 表示定理。 在第二章，定义了随机b a n a c h 代数以及其中元素的谱，并研 究了其基本性质，将经典b a n a c h 代数理论中的许多结果推广到了 随机b a n a c h 代数中为了给出一个合适的谱的定义，我们进行了 许多尝试。如果不注意到随机变量本身的特性，而是直接用经典的 谱定义，那么许多结果变的很坏，甚至没有任何的规律性。举例来 说，我们就看l ( q ，c ) 这个特殊的随机b a n a c h 代数，考察随机变 量 小 i 并 其中a 矿且p ( 4 ) = ，这是一个自伴元，但如果按照经典的谱 定义的话，那么它的谱将不会是实的，例如复值随机变量 枇，= | 髫 其中a 仃且p ( a ) = j 1 ，它就在其中从这个例子中我们也初步 地看到正测集扮演着重要的角色，这导致我们最终采用了现在的定 义 在第三章，定义了随机c + 一代数以及其中的正常元，自伴元， 投影，酉元，其上的a s 有界的随机正线性泛函，算子的a s 下有 界等概念，并证明了代数中酉元和自伴元的谱定理；作为一类特殊 的随机c l 代数的召( s ) ，我们利用定理3 2 把算子的谱的问题转化 为算子的a s 下有界的问题，并证明了自伴算子和正算子的谱定 理。另外在随机c + 一代数上a s 有界的随机正线性泛函存在的情 况下，我们给出了相应的g n s 构造。 文 1 4 得到随机内积模上正算子及正交投影算子的一些性质， 为了继续研究正算子的性质，在第四章中给出了r h 模上与正算子 相关的一些不等式，以及由此得出的相关结论，这些结果有利于进 一步研究r h 模上正算子的性质 2 第一章基本概念 以c 表示复数域，c 表示广义复平面，( q ，盯，p ) 是一给定的 概率空间l ( n ，c ) 表示所有定义在( q ，o - ，p ) 上的c 值随机变量 等价类全体，其中a s 相等的随机变量构成一个等价类；相应地有 工( q ，r ) ( q ，r ) ，v ，八) 表示l ( f 2 ，r ) 中元素在a s 点式序“s 。 ( p q = 亭p ( u ) 口) a 8 ) 之下所成的完备格【8 l ( q ，c ) = el ( 1 2 ，c ) ii f ( u ) l ) n ( q a ) 】= 尸 u ：1 ) ( 珏魄) 一 x p ( 甜) l n ( q a ) 】sp 【 。：| x “。孙一p ( u ) | n ( q 直) 】，b 琶 o ，两边令n o o ，即有p h u ：i ( u ) i s ) n ( q a ) 】一0 令甄= 妇：l 孙扫) l q 囊) ，n u 是1 委& 。 于是v u 岳( au ) ，有郑) = 0 ，从而( a u g ) x p = 0 ，而 氐( 焦。) 。p = 奴a 。p ，觳哦五洳= 0 ，于是瓠a 。p = 器孛酶 零髭) ，故p = i ao p + ao p = i a 。p 证毕 定义2 。3 称集p ( p ) = 健( q ，c ) j3 a 盯，p ( a ) 0 使如o ( 专oe p ) g l ( l 4o ) ) 为p 的正则集而称o ( p ) = ，c ) p ( p ) 秀p 懿谱集。 6 命题翟1 砌，q a ，有；粥) l ( f 2 ，e ) | p k 搿n | ( ) = o 】 o 一矿( g p ) f i ( f 2 c ) 1p u q1 毒( u ) = o ) 】 o 证明若盛g ( p q ) 且誊 l ( q ，c ) jp 【q1 亭( ) = o o ) ，则 3 a 正p ( a ) 0 ，及r i ao ，使得r 厶o 毒oe p q ) = ，a 。( 0e p q ) r = l 。e ， - 扶嚣i a 0 r ( p q ) = 如f 。r i a 。e = 矗。( p q ) r ，致。( e + q r p ) i a 。 ( f 。e q p ) = o ( f 。8 一q p 十。q r p q r p q p ) = h 。睡0 e 一 印+ 孽篮。# 一p q ) r p t = 厶o ( oc 一跆q p ) = & f 。8 ，霹榉可涯： f 0 ( 。e q p ) “o - ( e 十q r p ) = h 。e 这表明 _ 10 ( e + q 7 p ) 是i a 。( 0e q p ) 在i a0 a 中之递，依 定义，o ( q p ) 于是盯( p q ) l ( q ，c ) ip 。qi 薯( u ) = 0 1 o ) 垦 巧( ) 专三( q ，e ) ! p 【 。e - q ；乏( 澍) = o j o ，森p ：窖戆彳壬意 性，可知殿包含关系成立。证毕。 弓l 理2 2 设a 是单位的r b 代数，且p a 清足x 。- p 0 ，使x p 一- 一。竺坐! 竺笃0 于a 上从而当 竞充分大g 雩，x 珏。( p - i p a ；, - - e ) = f 姨( p 一。鲰，。j o ，使i a 。f 。e 二) 在如。a 中 可遂，墨 ”“ 。 x 。 。( n 。e p ) 一f 。e p ) = x ，d ( f 。一) 。 = ，“矗毒 与0 ， 故乡? ( 厶? 8 一芦) _ 厶。( 善。e p ) 。类似于弓l 理2 3 ，可取裂a l 仃，p ( 囊l n a ) 0 ，使得 。阮。( 墓n k o e p ) 卜i n a 7o 一( f 毗o e - p ) 8 瞧 铲o孓矗训洳帮阮m o 0 ，i a0 ( 喜0e b ) g l ( i a0 瑟，强譬玎( 妨，虽1 ( 6 ) = 仃( 6 ) 证明对于后一情形，结论显然；现设艿是极大交换酶，器， 弼b c = c b ，有【i a o ( o e - b ) 未 c = c 陬。( 。e 山) 未_ ，k 譬盯( 6 ) 因c 是任意的，且嚣是极大交换的，救陬。e 一6 ) l 如- i 厶0 琶k 簪仃( 张这又仡羯为蹭一情形证毕。 命题2 5 设a 是单应戆r b 代羧，p a 滚怒：岔p = p 2 e 令_ 8 = p a p ，则a s ( b ) 盯( b ) ，且扩( 6 ) s 仃蓐( 6 ) u l ( f l ，c ) lp f 。ql ) = g 】 o ，v 8 。 证明设聋( 6 ) ，c = 阮o ( 。e 一6 ) “- - i 帅于怒 厶0 p = p c l i0 ( 毒。一b ) v = p c p i a0 谨0 p b ) = p i ao 偿0e 一6 ) c p = i a 。( 毒0 p b ) p c p ， 9 即毒芒口8 ( 6 ) 。麟此盯8 ( d ( 啦装g 黜飘f 譬 ( q ，c ) ip f 。ql ( 叫) = o ) 】 o ，掰3 a 正p ( a ) 0 ，使 h 。 。e 一6 ) 即- 1 嚣存在，记为c 且记 o d = ( o c + i a 。p i r a o 尽， 燹 故 i a 。( d p ) ( 一1 。b p ) = 一1 。6 ) j a 。d p ) = i a 0 p = 。( f d b d ( - l b ) = 8 。 即乏芒盯( b ) 证毕。 1 0 的 o l f 沁 0 “ 回巳 0 & 第三章r c + 代数中的谱定理 定义3 1 若一4 是单位的r b 代数，4 上的对合是一映射 p _ p + 满足下列条件： ( 1 ) p ”= p ，v p a ( 2 ) ( 。p + 叼og ) + = o p + + 可。q + ，v ，叩l ( q ，c ) ，v p ，q a ( 3 ) ( p q ) + = q + p + ，v p ，q a 进一步若) ( 矿p = x ：，v p a 则称4 为随机c + 代数( 简称r c + 一代数) 定义3 2 设a 为一r c + 代数，p a 称p 为正常元，若p p + = p + p 称p 为自伴元，若p = p + a 的自伴部分( 即全体自伴元) ，记 为m 坳a ，元素j ( p + p + ) a 。称为p 的实部，元素 一；( p p + ) a 。称为p 的虚部： 称p a 。为投影，若p 2 = p 注3 1 a 。是4 的一个闭的实子模，且v p a ，具有唯一 的分解p = q + i r 其中q ，r a 。 注3 2 当a 有一单位元时，记其单位元为e 或e 因 e + = e ，x 。= x ：，设a = u q 】x 。( u ) o ) ，贝0 x 。= i a 一般地，p ( a ) 1 ，故4 一般不是单位的 定义3 3 称一单位的r c 4 代数中的元u 为酉元，若u * u = u + 2e 注3 3 因) ( ：= x 。= ) c 。= l ，故x 。= 1 定义3 4 若4 是一r b 代数，则a 上指数映照记为e x p ，定 义为： e x p 。寺矿 ( 1 ) 引理3 1 著么是一r b 代数，鼠a ，b a ，a b b a ，剡 e x p ( 8 + 5 ) = e x p 8e x p 6f 2 ) 证明级数( 1 ) 的依随机范数收敛指明了下述算式是正确的： ( 3 ) 式中最后一个等式建到了a b = b a 酶事实，于是( 2 ) 式成立。 证毕 命题3 1 设a 为一单位酶r 驴一代数，且p ea 。了刚仃( p ) l ( q ，强) 若u a 是一酉元，则盯( 札) l ( q ：c ) i 蚓一l 证明设程燕一攀位的r c 。一戈羧盛酶酉元，且拶f 让) 若p ( u ql 薯( u ) = o ) 0 ，令a = “qi ( u ) 一o ， 则如毒= 0 ，于是i a0 f0e 豇) = 一i a0 珏。透瓤是虿嚣，鼓 厶。( 。8 一乱) g l ( 厶oa ) 这矛盾! 于是p ( 和ql 芒) = o ) = 0 丽f q o ( t z q ) ，因? 一= 札+ 也憋一酉元，故依定理 2 1 ，郛青： 矧茎x 。= 1 ，扩1 ；5x 。* = 1 及丽旧= 1 数有 盯( “) 薯l ( 9 ，c ) i 蚓= 1 对p a 。，易知“= e x p ( 2 剐是 一酉元( 珏8 = e x p ( 一毋) ，若f 玎) ：强譬= 甚l 必跫导烂， i a 。 e x p ( 4 p ) 一e ( 蟠】=a 。 e x p ( i l a o ( v 一) ) 一e 小i ) “。一f ) o 匿p ，q 交换，且i a 。( p 一) g l ( i 。叠) ，v a o , p ( a ) 0 敬a 。【e x p ( i v ) - - e u g ) 硭g l ( i a 。4 ) ，v a ，p ( a ) 0 即e l 1 2 型硝 江 脚 =糖 一功 旦卜一爵 。 l 一拜 。脚 一 旦积 。一 驴一硝 c r ( e x p ( 印) 故 e ( 礴l = 1 从丽l ( f 2 ，础牧d sl ( a ，r ) 证华。 季l 莲3 2 设( sx j 。) 秀装g 上豹潋，吼p ) 鸯蓥兹聪模， t 为s 上a s 有界随机线性算子，则必存在唯一的a s 有界随机 线性莽子p ：sjs ，使对u p ，g s 成立：x t p ，= x p 置 b t ，= b t ， 证明对任何q s 令l ( p ) = ) 0 ，使( 口+ p ) ( u ) 0 ，y w a ， 而西( g + p ) ( u ) = 0 ，v u 圣a 令 志c 沪 守葛 员| j 簪( 9 4 奶粥知= 如- 取毒= i 痧( q 彩 东前，其中t 鼹，于是有： t 2 i a 够( p + p ) + 2 t i a l 曲( g + p ) i + 厶西( g q ) 0 ( 此处用到了咖 + p ) = 垂( 歹妨费事实) 若几咖( 矿p ) = 0 ，上式变为2 t z a 曲( q + p ) i + 以西( 矿j ) 0 ，令 t - 一。，有_ r a ( 譬由l = o 若厶曲( p 4 p ) 0 ，贝0 = 4 i j l 0 ( q 8 p ) j 2 4 嫒( p + p ) 西( 矿q ) 冬o ， 昱p 厶l 声( g + p ) 1 2 i a 乒( p 4 p ) 西( g + g ) 总之有： z al 毋( 4 窈1 2 曼i a 多( p 国毋沁4 q ) 曼西( p 芦) 西( q + 口) ， 再滚意到如a o ( q 4 p ) = 0 ，故 证华 痧( 9 4 ) | 2 一 z a 季( q 。爹) | 2 西( p p ) 咖( q 4 尊) 定义3 6 r c + 一代数盛懿一个表示，鄂( s ，霄) ，诧鲑s 为一 r h 模， ：a _ b ( s ) 是一，阋态 定理3 1 对单位的r c + 代数4 上每一个a s 有界随机正线 性泛函毋，存在一表示( & 、丌唾1 证瞬定义的左核为蕊= 扫a ：妒( 矿p ) = o 闲咖连 续，故为闭子模于是由引理3 4 知9 为闭左理想，在d 上定义妒：叠l 略蠢蕊- 乞( q ，c ) 为：x ；d = 莎( 4 彩；耱验涯 上述定义是良定义的，再次用引理3 4 ，4 小如成为一r i p 模 令岛为冀完备讫，鄙r h 模。定义强国) ( 量) = 霹，v p ，。a ，甄 为良定义的，事实上，若y a ，使雪= 牙，则p ( 可一z ) 心因 此，是a p 如上模同态而且， 一x 0 帮 一垂( z + p + p x ) sx ：( z z ) 一) ( ；妒： 因此熊被唯一地延攘为岛上满足b 。( p ) 蹙洳的纂子，仍记为 邓一显然和( 瑚) 一和砀( 叮) ，丽且群。( p ) 蜘= 面( 可4 a x ) = 磁0 m ( p ，) 口j 这表明； 如( p ) 】+ = 和( 矿) 嚣此给出了表示证毕 定义3 7 设丁是r h 模s 上a s 有界线性算子，定义 k e r t = s ：，p = o 及r a n t = t p ：p s ， 命题3 2 k e r t = ( r a n t “) 上且k e r t + = ( r a n t ) 上。 证明砌k e r t 刚x t ，粕：= x 口，即= 0 ，萝因此， p 上r a n t 4 ，即p ( r a n t + ) 上反之， v p ( r a n t 4 ) 上，x ? p ，= ) ( p ，一= 0 ，勖s ，嚣琵，t p 一0 ，鼯p k e r t 跌两 k e r t = ( r a n t 。) 上，k e 7 + t 8 = ( r a n t + + ) 上= ( r a n t ) 上诞毕 定义3 8 设丁是r h 模s 上a 有界线性算子，称r 烂a s 下有界的，若j + ( q ) 使得蕊弱，v p s ， 命题3 3 设丁是r h 模s 上a s 。有界线性算子，则t 可逆 当是仅当? a 矗下鸯赛且r a n t = s 证明若丁可逆，则r a n t = s ，而且b t t 勋p2 融一t 。= 珏，v p s 。 嚣题、一t l + ( q ) ，这表暖ra s 下毒努，反之，若 ? a s 下有界，剥哥l + ( q ) 使f 勋弱，v p s 因此，若 7 k 是1 为r a n t 中一c a u c h y 序列，则由不等式： 弱。一p 。s 元唧。一t p 。 1 6 知 m ) 是l 亦为s 中一c a u c h y 列记p = l i mp n 则功= l i mt p 。r a n t 即r a n t 为s 的闭子模故r a n t = r a n t = s 显然t 是a s 下有界蕴涵着丁是一一的于是丁。是良定义的 设q = t p ，则珏一t 口= 珏晒，= 趸。，因此t _ 1 是a s 有界 的证毕 推论3 1 若t ，t + 均a s 下有界，则t 是可逆的 证明若t + 是a s 下有界的，则k e r t + = o ) 因为( r a n t ) 上= k e r r 4 = o ) 我们有( r a n t ) 上= o ) ，即而丽= ( r a n t ) 上上= o 上= s 于是由命题3 3 知丁是可逆的证毕 定义3 9 设丁是r h 模s 上a s 有界线性算子，则 ( 1 ) t 是正常的，若t r + = t 4 t ( 2 ) t 是自伴的，若t = t + ( 3 ) t 是正的，若x t 卯+ ( q ) ，坳s ( 4 ) t 是酉的，若丁+ t = t t + = j 命题3 4 t 是自伴的当且仅当x t p ，p 工( q ，碾) ，v p s 证明若t 自伴，v pes ，则) ( 砷护= 晒，t p = 洳，功= 砩故 _ x 功，p l ( q ，r ) 反之，若v p s ，x t p ，p 三( q ，碾) ，则v p ，q s ， 利用极化恒等式： x t p ，口= ；( x t ( p + 礼p + 口一) 0 冠和) = 0 洲= ：黝三： 从而p + s ( 1 ) ，且 丽 霉x 7 p ，p = x t ( 爱p t 叩) ，蔓圹。p = x t ( 而竹。p ) ，趸p 卵叩 2 ) 臼( 蟊。矿) ，氧帮。 x 是p | x p x t 移, p x 砷巾一露 敖霹趸墨p 芝趸p i 虢一专趸i 。j 。若a = 。q ( 。) 0 ，则 易觅a 冬露敖 “m i a 乏 厶戈：。 且有露。强( “。p ) 更加- - c l 又 三：南u b c 、 【0u b 趸；。- t 1x t d r ；。加趸“。p 1 一b ) ( ；-。加2x “。+ 2 f a n b o p 2 x ! a o p ， 从藤妒( ) 矛羼l 教f 芝溉同理可涯fsm 诞毕。 2 1 ；r 霹 及 c 则嗡 小 露妨o m qa 钉如 = “嚣 令令 第四章r h 模上与正算子相关豹不等式 定理碡。1 设t 、钗s ) ，旦? 蠹莲露遂算子，熨妇s ，宿： x p 2 ps x t p ，芦x t 一1 p 谬 证明令f ( t ) = x t p 护t 2 2 x p ，p + x t l p ，t 琏，贝归茸 f ( t ) = x f 庐。? - 2 t + t - 1 ，p 纠 i ；t 2 t 一2 t 十t 一1 = t 一1 擘t d 2 ，t 一1 亦是正算子，鑫而有正的平方根( t 。) i ，且( t 。) 与t t i 可交换因此t 2 t 一2 t + t _ 是正算子故f ( t ) 矿( q ) 故 a 一【2 x p ，j 2 - - 4 x t p , p ) i t i p ，p 0 ，器x 轰psx t p ，p x t l p 证毕 定理4 。2 设t 器s ) ，曼f 为正霹遂算予，裂渤 s ，v 血，口+ ，有： x 荔。sx 孚a pp 。) ( 芋一j p ，p 为此先证骤如下弓 理。 弓i 理4 1 记m = 八x r 脚，m vx t p 加奠中s ( i ) = p s ( 1 】p e s 0 1 p s 蟊曼1 ) ，设 g ：i 融，蠢翻- - 三q ，鞠，连续，置 ，( 薯) g ( 薯) ，v 荨 【m ： ( 随机区间) 则f ( r ) 芝9 口) 证明设e 一( 最) 埏田显) 力丁的隧枕谱系，受l ，( 丁) ：ff ( a ) d e a ， j i 泓，& 强 g ( t ) = 夕( a ) 矗取 l m ，蚶b 由随机谱积分的定义易见，( t ) ，o ( t ) s ( s ) 且f ( t ) 尊口) 证 华 定理4 2 的证明若p = 目，则显然镲号成立。坳s ，且p 目， 令= f 堡o ! t x t 。p , pl 蠢，更l 0 ，令，( 天) = 毒。a 。喜一8 a 一8 ，v a 2 2 五十( q ) 且a 0 则，( a ) 三= ( ! ) 南+ ( 言) 南从而当a 【两，蚓l 时，旃，( 对三由上述写l 理帮，( q fo t 。羊f 邓o r 一9 l o i s 从而p ) ( t 。”十x t 一口”乞x p p 将代入上述式 子并讫箍得：嘉x 鬻，p 、a ，t 霹- ：3 帅2l x p 莰简p ，p 婚一郎一x 蹄4 证毕 注4 。1 ：当8 一声= 1 时，既不等式辩为定理4 1 串密褒的 不等式，故定理4 2 中不等式是定理4 1 中不等式的推广 设五，t 2 5 ，用丑。乃表示2 2 算子矩阵； 吾芝1 视英为s 9 s 上酶算子巅有： ( 1 ) b t l 9 如2 b f 01 t 10 羁j ( 2 ) 毋奴e 孔= 岛、v b - z , 事实上，注意餮 正0 繁繁芝 【蚓，丽 ：。1 为s $ s 上酉算子，妇s s 上算子范数昭酉不变性，知( 1 ) 式成 立又 b 袭国恐 = v 赣魂毋噩l e 曲 p o q ( s o s ) ( 1 ) = v强，锄 p e 暂( s 书s ) i ) 茎 v谠，+v强。 p o 鼋s o s ) ( i )芦国碍( s 鬯s ) ( 1 ) 曼( b nv b 乃) 2 ( 更；+ 趸；) = 暑丑v 蟊是严露e q s ( 民vb n ) 2 放o 琵v 冀一方面，记a = 如ql ( “) ) ) 又v p ，口s ( 1 ) ，令r = 厶op oi d coq ，注意到 薅 于是 b 巍国噩 鬈一h 霹+ 五c 霹 曼i a + la c 一1 x 孤e t 2 ) r x 五。n p e a v o 乃q k 磊p + 厶c 连g ，v p ，q s ( 1 ) 鹋l e 孔 酸+ i a c b 。2 b ( i a b 豇f 枣b 是) 2 ( b 丁lvb 为) 2 教马j 学豇v 最j ，跌谣有( 2 ) 戏立。 定理4 。3 设置，聂b ( s ) 基为正算子，则蠢： b t tv 廖n + b 一 一； j ，i ， 2 4 证明 而 鬼+ n 2 b 7 1 + 乃01 i ooj 一船0 o 1 t 0 一船0 2 b 兀本磅1 1 罨本噩j =b i 五 lo s b r 下 l l l0 o 砰霹i 土量i 珂矸 o ； 圹 鑫警 2 b t l b r 她t 臻蛐t 臻 b t ；t ； 故上述不等式成立证毕 b ( 本杏 b 埒1 t j l ， 定理4 4 设正，正b ( s ) 为正算子，且p u qj 民) = o ) = o ，i = 1 ，2 若女，圹磁，则+ 孔= 鬼+ 证明因b 4 4 = b 萎1 1 ，则存在s ( 1 ) 中两列 焘) 及 ) 使得。l + i r a o o x 本一鼽舢= b 丢1 磁i 由s c h w a r t z 不等式知： 磋= l i r a x 肌 磁熙秘如 s b 磊b 磊 l1 故熙秘= 砬即熙) ( 。= 同样可得熙硒m 。 = 令。 f 已i o p n ，n _ l ，2 ，此蛐= 店篱， 已= 、，跞t l + b t 2 贝4 趸，。= 1 ，r 。s ( 1 ) 蛐矿b 县本t 孝2r l 霹砰i 砬x f 孓。本钆 朋。1 2 + | 霹矸t 2l 把此不等式右边展开即有：+ 乃b n + b 如另一方面b n + 乃s + 故+ 孔= 玩+ 证毕 定理4 5 设置，噩b ( s ) 为正算子，且p u qib t ) = o ) = o ，待1 ，2 若b n 乃= ，则本= 1 磁1 2 6 从而 证明若b n 乃= b n b 孔，则 b t t b r 2 b t 嫡t 弦 s b t b t ；t b t = b ；l b 砖砖b 甍 黾b 氛s b t 独 s b t b t = 菇砬 故女z j2 b 芋。b 磊证毕a 定理4 6 设五，正b ( s ) 为正算子，且p 。qi 毋) ： o 20 ，i = 1 ，2 则巫= b n 成立当且仅当b t i 。n = + 成立。 一 证明若b t 。t 2 = b t 。b t 2 成立，则由定理4 4 及定理4 5 可知 + 而2 b t i + b t , 成立反之，若鬼+ 乃= b n + b t 2 成立，则 + b t f + 2 b t 。b t ：= 毕即b t i b t 西又孔，故b t i 噩= 成 立证毕 。 定理4 7 设五，正b ( s ) 为正算子，且p 。ql 岛，1 ： o 2 0 ，i = l ，2 ，且b n = b 孔则b n 孔= 2 b n 成立当且仅当 。毒2 b t i 成立 9 7 乃眈麓跚聊 证明若。露2 鬼成立，则由定理4 4 可知 b 了、+ 乃= 2 k + b 死 = 2