（基础数学专业论文）cur2的一类小波生成元.pdf

摘要 摘要 关于l 。( r ) 的小波构造和分解已取得丰硕成果1 9 9 6 年，c h a r l e s kc h u i 与c h 。l i 研究了r 上有界一致连续函数空间的小波构造和瓮解，但章许多实 际问题中，用到的是二维空间的情形本文通过引进与m = i i 相关的 【1 o j 插值多分辨分析概念，给出了兄。上有界一致连续函数空间的稳定的小波生成 元的构造 本文是按如下方式组织的第一章给出了本文所用的记号、概念及研究 背景和主要结论；第二章简化了插值多分辨分析的概念并给出了一些例子； 第三章给出了r 。上有界一致连续函数空间上插值多分辨分析的稳定生成元的 构造；第四章构造了相应小波空间的稳定生成元 关键词：多分辨分析；插值小波；稳定生成元 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t m a r wr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e da b o u tt h ec o n s t r u c t i o na n dd e c o m p o s i t i o no fw a v e l e t si nl 2 ( r ) i n1 9 9 6 ，c h a r l e skc h u ia n dc h u nl is t u d i e dt h e c o n s t r u c t i o na n dd e c o m p o s i t i o no fw a v e l e t si nt h es p a c eo fb o u n d e du n i f o r m l y c o n t i n u o u sf u n c t i o n so nr b u tm a n ya p p l i c a t i o n se m p l o yt w o d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n i nt h i st h e s i s ，b yt h ei n t r o d u c t i o no fi n t e r p o l a t i n gm u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i sr e l a t e d t ot h em a t r i xa ，= l1 l一1 w eg i v et w os t a b l ew a v e l e t g e n e r a t o r si nt h es p a c eo fb o u n d e du n i f o r m l yc o n t i n u o u sf u n c t i o n so nr 2 t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，s o m en e c e s s a r yn o t a t i o n s a n dd e 矗n i t i o n s ，t h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eg i v e n ； t h ed e 矗n i t i o no fa ni n t e r p o l a t i n gn l u l t i r e s o l u t i o ni ss i m p l i 6 e d ，a n ds o m ee x a m p l e sa r ep r o v i d e d i nc h a p t e r2 ；i nc h a p t e r3 ，t w os t a b l eg e n e r a t o r so f a ni n t e r p o l a t i n gm u l t i r e s o l u t i o na r ec o n s t r u c t e di nt h es p a c eo fb o u n d e du n i f o r m l yc o n t i n u o u sf u n c t i o n s o nr 2 ；t w os t a b l eg e n e r a t o r so f t h ec o r r e s p o n d i n g w a v e l e ts d a c ea r eo b t a i n e di nl a s tc h a p t e r k e y w o r d s ： m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；i n t e r p o l a t i n g r a v e l e t ；s t a b l eg e n e r a t o r i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 概念与记号 g ( r 2 ) 表示r 2 上连续函数的全体 瓯( r 2 ) = ，：，在r 2 上一致连续且有界) 瓯( r 2 ) 空间的范数：对任意，瓯( r 2 ) ，| i ，( 训o o = s u p ，( z ) t f r z f o 。( z 2 ) ：z 2 上一切有界的复数列构成的集合 称定义在r z 上的函数，具有紧支撑：若再i 可了两了可是紧的 对，l 1 ( r 2 ) ，定义，的f o u r i e r 变换 冗一) = 厶：出，( z ) b 1 ( 一) 整篇文章中m 总表示矩阵 ：! 。1 定义1 设x ：x ( r 2 ) 是r 2 上的函数的一个赋范线性空间，x ，称， 是f o 。稳定的，若存在常数a ，口，o o ，( 6 1 ) ，对 于v 。，z ”兄2 ，如果i i z 一z ” | 6 ，则有l ( z ) 一曲( z ”) i o 。 胙际习 7 f 干酽， ( | | c | | o 。= o 时，；o ，显然一致连续) 对于v z ，r 2 ，如果陋一训 d ，必存在( m ，n ) z 2 ，使得z m ，m + l 】h n + l 】，同时 m l ，m + 2 1 n l ，n + 2 1 ，下面将证明i ，( z ) 一，( ) 6 l ，( z ) 一， ) i = l c k ( z 一) 一c k 曲( 一k ) i 女z 2k z 2 = l l c m 一l ( z k ) 一 一k ) i z 2 易证( 一女) 一b 一) 不为。的女的个数至多为( 2 + 4 ) 2 注意至u1 l ( 。一k ) 一( 一k ) 1 i j ，所以 l 妒( z k ) 一( 一) 1 o ，满足坳 山有 所以 于是 ，( m 一女+ g ) 一，( z + g ) i 厶( m 一) 一厶( z ) l o ，使得当j 一如时，掣z ， 2 一l ，1 2 ，假定s 唧( 妒) c 一，n 则当j 一矗时， ，( z ) 一，( 可) is a 一1l j ，l j 七 一 y 2 咖 一七一z2 + 呲 粤 一 北京工业大学理学硕士学位论文 令j _ + 一o 。，得，( z ) = ，( ) ，由z ，的任意性，( ) ；c ( 常数) 所以 n jc c j z ( b ) 再证n 巧) c j z 根据文献 2 ，知庐( 一) = 爹( o ) ，由条件孑( o ) = 1 ，得咖( 一) = 1 k z 2 k z o 所以n 巧 c 证毕 j z 22 例子 定理2 设瓯( r ) 是咒上有界一致连续函数空间，若紧支集函数庐是 生成瓯( r ) 的插值多分辨分析的尺度函数【“，且石( o ) = l ，则石( 钆现) = 咖( z 1 ) 咖( z 1 + z 2 ) 是生成g ( r 2 ) 的插值多分辨分析的尺度函数 证明：显然由曲g ( r ) 紧支集知孑瓯( r 2 ) 且石是紧支集的据定 理1 ，我们只需证石满足以下条件： 只需证石( ) = p ( m ) 石( m ) ，其中p ( ) = ；一m e l ( ，) ， z 2 脚t f 。0 ( z 2 ) 即可设m = m 。( j ) ，m 。( ) = 磊c t e l 2 f ”( z ) 则 ；( 亭)= j d z 孑( z l ，z 2 ) e t ( z ，f ) = - 厂d z ( z 1 ) ( z l + 。2 ) e 一2 。1 f l e 一2 。2 2 = ，d z l ( z 1 ) e 一4 。l ( f 1 一如) ，d 。2 ( z i + z 2 ) e 一扛1 + 2 2 ) 2 = 庐( l 一2 ) ( 2 ) 1 0 c 第2 章插值多分辨分析定义的简化和例子 孑( ) = m o ( 鱼手) 每( 学) 石( 。) 一篡 ( 2 ) 对任意r 2 ，墨( ) = 孑( k ) e 一2 ( ，f o z 2 因为对任意q r ， 所以对任意f r 2 圣( q ) = ( ) e 1 幻o k z 面( ) = 石( ) e 一。( ，f k z o = ( 1 ) 妒( 女1 + 2 ) e 一拙1 f - e 一4 。2 f 2 k z o = 曲( h ) e 一慨( f - 一f z ) ( 2 ) e i 2 t f z h r 2 = 西( 1 一f 2 ) 垂( 亭2 ) 0 ： ( 3 ) 咖( o ) = 1 由( 1 ) 知，石( o ) = 每( o ) 2 = 1 证毕 北京工业大学理学硕士学位论文 憾! 裟州舶“瑚，一 则由f 1 】知：对v m 1 ，2 。是生成瓯( r ) 的插值多分辨分析的尺度函数易 证厩。( o ) = 1 据定理2 ，对任意m 1 ， 庐扛) = j 。 1 ) 2 。扛l + 。2 ) 生成瓯( r 2 ) 的一个插值多分辨分析 2 3 本章小结 在这一章里，我们对g ( r 2 ) 空间的插值多分辨分析进行了研究在第一 节我们首先给出了两个引理，然后简化了插值多分辨分析的定义在第二节中 我们给出了生成瓯( r 2 ) 空间的插值多分辨分析的尺度函数的定理，并根据此 定理列举出许多非平凡的例子，进而也说明了我们研究此问题的意义所在 1 2 第3 章嵋空间的稳定生成元 第3 章巧空间的稳定生成元 3l 定理及其证明 可 引理3 在定义3 中巧是瓯( r 2 ) 的闭子空间 证明：因为嵋= ，( m j ) ：，) ，故只要证k 是瓯( r 2 ) 的闭子空间即 ， 即 根据引理2 知，存在a ，b ，o a b 。，使得对v c f 。( z 2 ) ，有 a 1 1 c f s1 1 c 咖( 一岛) l o 。sb l ；c i ( + ) z 2 设 ( ) = ，曼c 2 庐( 一k ) ，n ，满足占黯l l ，n 一州o 。= o ，下证 z 2 。 由占ij 厶一州o 。= o ，知。譬霉。o j i 一，n | | 。o 。o 所以由( + ) 知 。| i 薹：( c h 州“川b 刨 。鹄霉o o i c “一c i i p 2o 因f 。( z 2 ) 是完备的，故存在 c ) f 。( z 2 ) ，使 撬桫一c 5 o 1 3 斗_ 得 q 用 一 利 姒 枷 删玉 碱 砥占卜 令 北京工业大学理学硕士学位论文 由 极限的唯一性得，= f 所以，结合引理l ，引理证毕 引理4 在定义3 条件下，丸且九( 。) ：( 叩) ，： 1 n = 徊 丁 i o n ( o ，o ) r 证明：( 1 ) 由 r i ) f 1 ( z 2 ) 知n ) f o 。( z 2 ) ，再由的定义得 丸( ) = q 咖( 一f ) k 设s t t p p ( ) c 一v ， 2 ，贝4 i r f | | 咖( k ) i =ir f | | 咖( ) | 女z 2f z 2k f 一 v ，v 1 2f z 2 = n 咖( 扎一f ) e 一4 ( “，f ) = r f ( n f ) 】e 一( “，f ) 札( n ) = n ( n f ) = k 脚) t 定理3 在定义3 条件下，对任意j z ，曲和札都是巧的稳定生成 证明：由巧的定义及引理2 知曲是巧的稳定生成元下证九是巧 的稳定生成元注意到对助z ，巧= t ，( m j - ) ：，) ，只要证札是 一1 4 第3 章巧空间的稳定生成元 ( a ) v d f 。( z 2 ) ，以l ( 一k ) k z 2 因为瓯( r 2 ) 具有紧支撑，所以 j 也l h 一l | 咖( 一f ) | = ( l 以l h 一女j ) 1 ( 一f ) 女z 2lz2“；z2 k z 2 s ( “d i l 。l n l ) l 垂( 一 ) l z 2f z 2 。 于是有 d k 咖l ( 一) = d 女n ( 一f 一) z 2 z 2f z o = d 七n 一咖( 一f ) 女z 2f z 2 = ( 如r f k ) 币( 一f ) 0 z 2k z 2 显然 如r f k ) f z ：f 。( z 2 ) ，所以 如札( 一) z 2 ( b ) v c 严( z 2 ) ，存在4 p ( z 2 ) ，使k 邑。( 一2 ) 2 吕。以咖l ( 一。) 根据引理4 ， k 邑：曲( 2 ) 札( 一2 ) 3 邑：( m l 丕：f 西( 一2 2 ) z 2z 2 l z 2 = 咖( k ) n 一i j 5 ( 一f ) k z 2f z 2 = ( ( ) r f 一) ( 一f ) l z 2k z 2 = 妒l ( n ) ( 一f ) f z 2 = 咖( ) 一1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 所以 。k ( 一k ) = 。k 曲( f ) l ( 一k f ) k z 2 z 2f z 2 = c k 咖( f 一) 咖l ( 一f ) z 2f z 2 = c ( f 一女) 庐l ( 一f ) z z 2 崩= z 2 = d f l ( 一f ) f z 2 其中d l = c 妒( f k ) ，由t j 5 紧支撑知d p ( z 2 ) k z 2 由( a ) 与( b ) 知= 巩札( 一) ： 以 2 0 。( z 2 ) ) k z 2 ( c ) l 是f o o 稳定的 ( i ) 右不等式 | | d k 曲l ( 一 ) i l o 。i l d m o 。1 l ( 一) l k z 2 k z 2 i i d m 一lr f ( 一f 一) l 女z 2f z 2 兰1 | d 叭一i q i i 曲( 一f k ) l l z 2k z o 忙一g h i f z 2 其中g 是一常数 ( i i ) 左不等式只需证v r 2 ， 无( + 2 丌f ) ) f z 。是非零向量 由( ) = 毋( k ) 九( 一k ) ，知石( ) = 西( ) 孔( - ) 由引理2 ，我们已说明 z 2 石( + 2 ”f ) ) f ( z z ) 是非零向量，所以j 1 0 z 2 ，使得爹( + 2 ”f 0 ) o ，根据 孑( + 2 丌f o ) = 圣( + 2 7 r f o ) 死幢+ 2 7 r f o ) 因此孔( + 2 ”f o ) o ，所以v r 2 ， 五( + 2 丌f ) k z ：是非零向量 1 6 第3 章k 空间的稳定生成元 由( a ) ，( b ) 及( c ) 命题得证 32 本章小结 在这一章中，我们主要研究了巧空间的稳定生成元首先我们证明了k 是瓯( r 2 ) 的闭子空间，这是稳定生成元定义的条件之一，然后我们给出了基 本函数曲l 的插值性质，在上述铺垫的基础上，我们给出了本章的核心定理， 即在定义3 的条件下，对任意j z ，咖和札都是k 的稳定生成元 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 第4 章空间的稳定生成元 4 1 定理及其证明 定理4 在定义3 条件下，定义插值小波 妒( 。) = ( 一1 ) + ：一1 ( 一( 1 ，0 ) 7 ) 毋( 。 彳z k ) k z 2 妒l ( z ) = 妒l ( 彳z 一( 1 ，o ) 丁) 则对任意j z ，咖和讥都是的稳定生成元 为证明此定理，我们需要作如下准备 引理5 在定义3 条件下，对z ，巧+ l = 巧0 ，( 注：o 不是正 交和而是直和) 证明：显然巧+ l = 巧+ ，所以只要证巧n = o ) 即可因为巧和 都是线性空间，所以( o c 巧n 下证巧n c o ) ( i ) v ，k ，b ，= ， 设，( ) = 出咖l ( m ，一) 则，( m j f ) = 比九( z k ) = d f ，于是 女z 2z ? ( b ，) ( ) = ，( m 一，f ) 丸( m ，一f ) f z o = d f 九( m 一f ) f z 2 = ，( ) ( i i ) o kn 1 8 第4 章空间的稳定生成元 v ，kn ，则由，知j g 巧+ 1 ，使得，= 9 一弓g ，由，嵋 帮p 3 f ：f 所以p 3 f = g p 3 9 ，黟而 9 = p 3 j + p ，9 = p 1 l j + 9 1 v 3 于是b 9 = 9 由，= 9 一弓9 得，= 9 一g = 0 ，所以 o ) 巧n 证毕 因为尺度函数咖c ，所以存在序列 m ) f o o ( z 2 ) ，使得 庐( ) = p k 庐( m 一女) ，我” 记： k z 2 p ( )= b ( f ) = p + ( ) = ；一( 崩z 2 p k e 一2 ( 。，f ) 。k z 2 1 ) 1 + 乜m e t ( 2 ，f ) 西( )= ( ) e 一2 ( ，f ) z 2 西+ ( )= ( 一1 ) - + 乜( 女) e 一( 6 ，f ) 女z 2 目i 理6 垂( 埘1 ) = p ( ) 垂幢) + p + ( ) 垂+ ) 证明 p ( f ) + p + ( ) 一k 邑。粥稚k 邑：( 一1 ) 枞p 旷眦 = ( 5 p m k e t ( 彳女，f + p f 女十( 1 ，o ) 7 e 一。( m 2 + ( 1 ，o ) 7 ，) 。k z 2 k z 2 + ( ( 一1 ) 2 k l p m k e l ( m ，f + 。( 一1 ) 2 l + 1 p m 女+ ( 1 ，o ) 7 e 一2 m + 1 ，o 7 ，) z 2 z 2 = p m 女e 一。( m 。，曲 k z 2 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 同理 p ( ) 一p + ( f ) = 曼。p m + ( 1 ，o ) r e 一2 ( ”+ ( 1 ，o ) 7 ，甜， k z 2 圣( ) + 西+ ( )= 2 咖( m 七) e 一2 ( m ，o ， z 2 垂( ) 一西t ( )= 2 曲( 彳七十( 1 ，o ) t ) e z ( m + ( 1 ，o ) 7 ，o k z 2 因为尺度函数紧支连续函数且整平移稳定，所以 m 女。z z 是指数衰 减的 ，因此阢j 。又因为咖( z ) 紧支有界，所以 从而 j p l ( m 一f ) e 一m l 圳1 ( m k f ) 1 。 z 2 z 2 l z 2女z 2 垂( m ) = ( ) e 一。( ，m f ) 崩i z o = 咖( k ) e 一2 ( 彳，f ) k z 2 = p f 曲( m k f ) e 一。( m ，f ) = 陋m i ( m 七一m f ) + p f f + ( 1 ，o ) 7 毋( m 七一m f 一( 1 ，o ) t ) 】e 一1 ( m ，) = p 肘f e 一1 ( m 。，f ) ( m 七一m f ) e 一4 ( m 一 f ，f ) + 莩p 腓( 蛐) r e 叫肼加7 一手西( m 七一m f 一( 1 ，o ) 丁) e 叫肌肌加7 = p m f e 一 m 。，f ) ( m 七) e 一( 彳， ) + 莩m 删) 旷州呱荨妒( m 一( 1 ，o ) r ) e 叫肌7 斟 = p 嬉) + p - ) 型学+ 尸( ) 一p + ) 型学 = p ( ) 西( ) + p + ( 毒) 西+ ( f ) 证毕 2 0 定义 容易验证 第4 章空间的稳定生成元 q ( ) ：；e 一帆。) 7 ，e ) 币+ ( ) q t ( ) ：一；。叫( 1 ，。) 7 舟垂( ) 西( f ) = q ( m 。) 西( m 。) 其中p ( ) = 一m e l ( 2 ， k z ? 书( f ) = p ( m “) 每( m _ 1 ) 引理7 对于尺度函数和插值小波妒，存在正常数a 兰口使得对于所 有的c = c ) k z 2 f o o ( z 2 ) ，d = d 女) z 。f o o ( z 2 ) ，有 a ( 1 i c m 。+ l i d l l p ) | | c 女庐( 一k ) + d 女妒( 一k ) i i o o b ( 1 l c m 。o + i i d i | p ) k z 2 k z 2 证明：因妒，妒具有紧支撑，故据【2 】，我们只需证明w r 2 向量 组 石( + 2 州) f z 。与 每( + 2 丌f ) ) f z ：是线性独立在引理2 证明过程中得 v f r 2 ， 石( f 十2 州) ) f z 。是非零向量注意到 石( + 2 7 r f )= p ( 彳一1 ( + 2 丌f ) 】孑 彳一1 + 2 7 r f ) 每( + 2 7 r f ) = 0 彳一1 ( + 2 7 r f ) 蓼 m 一1 旺+ 2 7 r f ) 只要证明向量组 p m 一1 任+ 2 丌f ) m z ：， q 阻一1 心+ 2 丌f ) 】) i z 。线性独立即可 设cl p m 一1 嬉+ 2 丌f ) + c 2 q 【m 一1 ( f + 2 丌f ) 】= o 对任意f z 2 成立则上 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 式等价于 只要证明该方程只有零解即可，这等价于证明 lp 阻。刳q m 。刳 ip 阻。1 目q + ( m 。刳 雠播州罴荔竺划 = 一；e 一。( ( 1 ，o ) 7 ，m - 1 f p ( m 一1 ) 圣( f 一1 f ) + p + ( m = 一扩m o ) 7 ，m “f ) 西( ) 引理8 = 氕m ) l ，) 证明：( a ) c ，( m ) i ， v ，根据的定义，j f 巧+ 1 使得 ，( ) = f ( - ) 一弓f ( - ) 又因为嵋+ l = f ( m j ) i j ；) ，所以| f n ，使得f ( ) = f ( m ) ，所以 2 2 划 泸州 托 魏k妒 第4 章空间的稳定生成元 f ( m j ) = 卢( ) ，于是 = f ( ) 一f ( 彳一) l ( m 一) z 2 = f ( m ) 一f ( k ) 丸( m 3 一k ) z 2 = f ( m ) 一( p o f ) ( m ) = ，( m j 。) 其中厂：卢( ) 一( p 0 户) ( ) w ，0 ，因此 冗m ) i ，w ，0 ( b ) ) ( m ，) 1 ，) 即证v ，甄，( m ) 根据眠的 定义，则j 亏，使得 则 ( ) = f ( ) 一p o f ( ) = f ( ) 一f ( 女) l ( 一) k z 2 冗m ) = f ( m j ) 一f ( ) l ( m 一) 女z 2 又因为k + 1 = f ( m j ) 1 f ) ，所以f ( ) = f ( m ) + 1 显然 f ( m j ) = j ；( 女) 于是 冗m j ) = f ( ) 一f ( m 一，k ) 札( m 一k ) z 2 = f ( ) 一弓f ( ) 证毕 定理4 证明：根据引理8 ，= ，( m ) l ， ，只要证明讥，妒 均是m ，的稳定生成元即可 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 忱是w ，0 的稳定生成元 ( a ) 札是稳定的 因为札稳定，存在o a b o 。使对任意( 。k ) f 。( z 2 ) ，有 对v c f ”f z 2 ) ，有 a l i c l i f 曼| | c l ( 一七) i i o 。b l i c i l f 。k 妒l ( 一k ) = 。咖l ( m 一 f k 一( 1 ，0 ) 下) z 2女z 2 = 。九( m 一) z 2 f c k 一m z 2 + ( 1 o ) 7 其中c = lo 芒m z 2 + ( 1 ，o ) t l 所以 c k 妒l ( 一k ) l l 。= l l c k ，咖l ( m _ 一 ) 1 | 。 z 2k z 2 = | | c k ，丸( 一) 怯 z 2 注意至ua i ic ，m 。| | 。毋l ( 一k 7 ) l 1 0 0 b l l c 7 m 一，且i l c m 。= l l c m * ，所以 z 2 a | i c i i f | j c 妒l ( - 一七) l i b l l c l i f o 。 ( b ) - = 。k 妒l ( 一) ： 钆) f o 。) 女z 2 ( i ) w ，0c ( c k 忱( 一k ) ： “) l 。 z 2 2 4 第4 章空间的稳定生成元 设9 ，则 ，h ，使得 又因为p 1 是从瓯( r 2 ) 到的投影算子，根据引理5 的证明可知 ，( ) = ( p l ，) ( ) = ，( m - 1 女) 九( m 一k ) 又因为丸( ) c v 札( ) = ( p l l ) ( ) 所以 = 九( m 一1 k ) 札( m 一) k z 2 ：咖l ( k ) 咖l ( 4 一 4 ) + 庐l 陋+ 女( 1 ，1 ) t ) 妒l m ( 一) 一( 1 ，o ) t 女z 2 z 。 = 曲l ( m ) + l 啤+ ( 1 ，1 ) t ) 】妒l ( 一) = ，( 玎一1 ) l ( 彳一) 一一，( f ) 庐l ( 一f ) k z 2 f z 2 3 。戛。，陋+ ( 1 ，1 ) 7 讥( 一) 。蚕。，( f ) 。邑。札陋一。+ ( 1 1 t 帆一2 由定理3 的证明过程知i 九( 一k ) l o 。，又因为忱( ) = 札( m - 一( 1 ，o ) t ) ， 所以i 札( 一动f o 。，因此， k i 妒l ( 一k ) i i ，( f ) l ( k f + ( 1 ，1 ) 了1 ) i = 事i 妒l ( 一k ) i 军i ，( + f ) c i i l ( 一f + ；( 1 t 1 ) t ) 1 ：l 妒l ( 一) il i ，1 1 。o l 咖l ( 一f + ( 1 ，1 ) t ) 2 5 。 北京工业大学理学硕士学位论文 所以 g ( ) = ，( + ( 1 ，1 ) 丁) 一，( f ) 曲l ( 女一f + ( 1 ，1 ) t ) 砂l ( 一) 女z 2f z 2 = ，一p 0 ，】陋+ ( 1 ，1 ) ? 妒l ( 一k ) z 2 因为，一p o ，瓯( r 2 ) ，所以( ( ，一p 0 ，) ( k + ( 1 ，1 ) ) ) f 。( z 2 ) ，于是 9 ( ) c k 妒l ( - 一) ： c ) f 。) 女z 2 从而w ，0c 。帆( 一 ) ： 。女) f o 。) k z 2 ( i i ) w ，0 。k 妒l ( 一女) ： c k ) f o 。) k z 2 v g ( ) = c k 讥( 一k ) ， ) f o 。( z 2 ) ，根据九的插值性质及对任意 k z 2 f z 2 ，m f 一( 1 ，0 ) 丁o ，我们有饥( f ) = 九( m f 一( 1 ，o ) t ) = o ，所以 从而 9 ( f ) = c 女札( f 一女) = o 女z 2 ( p o g ) ( - ) = g ( f ) 札( 一f ) = o 0 z 2 又因为讥( ) = 丸( m 一( 1 ，o ) t ) ，所以 于是 9 ( - ) = c k 钆( 一) h k z 2 g = 9 一p 0 9 即i 3 。k t i l ( 一k ) ： 。k ) 2 。) k z 2 2 6 第4 章 空间的稳定生成元 ( 2 ) 砂是的稳定生成元 引理7 已经证明了砂是稳定的，故只要证明 w ，0 = 一。k 妒( 一) ： 。 f o 。( z 2 ) ) 即可 z 2 ( a ) 易证 西( f ) 圣( f ) 2 ，曼。( 。曼。西( m ) 西 m u k ) j 一。曼，( m k + ( 1 ，o ) 7 ) m j m 一( 1 ，o ) 了1 ) e 一。( ，z 2 女z 2f z 2 。 。 、 。 一叼e 2 ( ”，f ) ，z 2 其中= ，曼。曲( m k ) 庐( m 0 一k ) - 。妒( m + ( 1 ，o ) 7 ) 妒 蛳一m 一( 1 ，o ) 丁 由 z 2 z 2 。 咖具有紧支撑知 码 f 1 ( z 2 ) ， ( ) = 勺e 一1 ( ，聃，其中 0 z z f 1 ( z 2 ) ， j 所以 于是 i r 。一聊扩4 ( ”，f j o o j z 2n z 2 。邑。( ，邑：q 7 n m ，) e 1 扣2 ，邑。e 1 “针。邑。r n m ，e 1 恤一州 n z 2j z 2 j z 2n z 2 。 = 蜥e 一1 ( m j ，f ) r 。e 一。( “，f ) ，z 2n z 2 = 西 ) 西 ) ( 咖( ) j 一1 垂+ ( f ) ( 一1 ) “1 + “2 ( n ) e 一( n ，f ) n z 2 又因为 q r 。一) 。f 2 ( 矛) ， ( 一1 ) “t + “。( n ) ) f 2 ( z 2 ) ，所以 t o 叶k m j ，z 2 北京工业大学理学硕士学位论文 ( b ) 。k 砂( 一) ：( 。女) f 。( z 2 ) h ；z 2 = 呦咖l ( m 一m j 一( 1 ，0 ) t ) j z 。 = m 一 巧一( 1 ，o ) 了1 叫 j z 。 t z 。 = 叶曼。一m j 一( 1 ，o ) 7 眦一n j z 2 n z 2 。 = ( 一1 ) ”t + “z 一1 ( n 一( 1 ，o ) ? ) 西【m n n z 2 = 妒( ) 而我们在( 1 ) 中已证明w o = c 讥( 一) ： c k ) ! 。o ( z 2 ) ) ，所以上述等式 k z o 说明f c k 妒( 一) ： 。女) f 。( z 2 ) ) c k z 2 ( c ) c k 妒( 一k ) ： 。女) f o o ( z 2 ) 3 k z o 我们已知对比r 2 ，西( f ) o ，所以，对比r 2 西+ ( ) = 西暖+ ( 丌，丌) 丁) o 所以西( f ) 垂+ ( ) o 在( a ) 中已证过西( ) 圣+ ( ) = 呦8 一。( 肼，。，( q ) f 1 ( z 2 ) 所以【虫( ) 圣+ ( ) 一1 = t ? j e 一1 ( m j ，酗， 叫，) f 1 ( z 2 ) 由p ( ) 垂( ) p ( f ) 垂+ ( f ) _ 1 = l ，得三，q 一，2 醣，( o ，o ) ，于是 姒) 3 k 邑。“1 ( 0 1 0 ) 7 蚶一。) = 嘶巩一，】吡( 一) k j z 2 = ，【u k 币l ( - 一一j ) j z 2 k z 2 2 8 第4 章空间的稳定生成元 由( b ) 知札( 一j ) = 妒( ) ，所以帆( ) = u 。妒( 一j ) ，其中 嘶) ，z o 1 z f 1 ( z 2 ) 根据w ，0 = 。女札( 一女) ：( c f 。( z 2 ) ，证得 z 2 证毕 4 2 本章小结 c 妒( 一k ) ： c k ) 。( z 2 ) ) ) k z 2 这一章的核心内容是研究w ，j 空间的稳定生成元我们首先引入了四个 引理，它们分别说明了巧空问与空间的关系圣函数的等式关系，插值 小波的的稳定性和w 0 空间与w j 空间的递推关系在这四个引理的基础上， 我们完成了本章也是本文的核心定理的证明 一2 9 北京工业大学理学碗士学位论文 结论 关于三2 ( 固的小波构造和分解日取得丰硕成桑。l 9 6 午，g h a r l e sk g h u i 与c h u nl i 研究了r 上有界一敬连续函数空间的小波构造和分解，但在许多 实际问题中，凰到的是二维空瓣的情形。 提奖的捶缎多分辫分翦亍概念，给出了 r 2 上商界一致连续函数空间的稳定的小波生成元的构造为完成这一黉要结 论鳇诬骥，我口】作了许多镶垫王终首先楚化了捶缓多分辨分掇匏撰念，即出 原始概念中酶蕊个条件衙 ：为两个条件，两时也简亿了寻找菲平凡的傻子翡 程序；然后我们给出了r 2 上有界一致连续函数空间上擂值多分辨分析的稳定 生成元灼构造；最后我囊j 构造并诬盟了摆戍小波空耀的稳定生成元 在这方向还有许多问题尚须讨论：如瓯( r 2 ) 空间的对偶空间的理论 以及它嬲之闻魑联系；这一空蚓的蝤数在上述构造的小波生成元下的表示； 更裔维的有界一致连续函数空黼的稳定的，j 、渡生成元酶梅造等等 1lllifjlll l l l l ，。，。；，。l | | 埘 与避过道文本 参考文献 参考文献 1c h a r l e sk c h u ia n dc h u nl i ，d y a d i ca 抒i n ed e c o m p o s o t i o na n df u n c t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m s ，s i a mj m a t h a n a l ，2 7 ( 1 9 9 6 ) ，8 6 5 8 9 0 2r q j i aa n dc am i c c h e l l i ，u s i n g t h er e 6 n e m e n te q u a t i o nf b rt h ec o n s t r u c t i o no f p r e w a v e l e t si i ：p o w e ro f t w o ，i nc u r v e sa n ds u r f a c e s ，p j l a u r e n t al em e h a u t e ，a n dl l s c h u m a k e r ，e d s ，a c a d e m i cp r e s s ，b o s t o n ，1 9 9 l 2 0 9 2 4 6 3i j s c h i e n b e r g ，c a r d i n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，c b m s n s fs e r i e s i n a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h i l a d e p h i a ，1 9 7 3 4r q j i aa n dc am i c c h e l l i ：u s i n gt h er e f l n e m e n te q u a t i o nf o rt h ec o n s t r u c t i o no fp r e w a v e l e t sv ：e x t e n s i b i l i t yo ft r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l s ，c o m p u t i n g 4 8 ( 1 9 9 2 ) ，6 l 一7 2 5r u d i n ，j j ，a ni n t r o d u c t i o nt oh o m o l o g i c a la l g e b r a ，a c a d e m i cp r e s s n e wy o r k 1 9 7 9 6 s t r o m b e r g ，j ，am o d i 丘e d f r a n k l i ns y s t e ma n dh i g h e r o r d e rs y s t e mo fr “ a su n c o n d i t i o n a lb a s e sf o rh a r d ys p a c e ，c o n f e r e n c e i nh a r m o n i c a n a l y s i si nh o n o r o f a z y g m u n d ，v 0 1 2 ，p p ，4 7 5 4 9 3 ，e d b yw b e c k n e r ，e t c w a d s w o r t h m a t hs e r i e 8 3 l 一 北京工业大学理学硕士学位论文 7m e y e r ，y jp r i n c i p l ed i n c e r t i t u d e ，b a s e sh i b e r t i e n n e se ta l g e b r e sd o p e r a t e u r s b o u r b a k is e m i n a r ，n o 6 6 2 、1 9 8 5 1 9 8 6 8d a u b e c h i e s ，i ，0 r t h o n o r m a lb a s e so f c o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t s ，c o m m p u r ea p p lm a t h ，4 2 ( 1 9 8 8 ) ，9 0 9 9 9 6 9m a l l