（基础数学专业论文）krausekussin代数的hochschild上同调.pdf

中文摘要 摘要 k o s z u l 代数是一类十分重要的代数类型它在代数拓扑、交换代数、l i e 代 数理论以及量子群中都有着重要的应用而有限维代数的h o c h s c h i l d 上同调理论 在代数表示论中扮演着重要的角色，它与代数的单连通性、可分性质及形变理论 有重要联系本文主要对一类特殊的k o s z u l 代数i i 】k r a u s e k u s s i n 代数的上同调性 质进行深入研究 设a = a n 是k r a u s e k u s s i n 代数，即射影概型x = 露上的凝聚o x 模的倾斜 复形t = 兀队( i ) 的自同态代数a n = e n d o x ( t ) 本文首先利用b u l t e f f a l k i n g 的 方法构造了a 的极小投射双模分解，然后用平行路的语言和组合的方法计算 了a 的h o c h s c h i l d 上同调群，最后通过计算a 的各阶h o c h s c h i l d 上同调群的七基， 刻画了人的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构，给出了其h o c h s c h i l d 上同调环的一个 实现，从而提供了一类具有有限整体维数且其h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是 非平凡的代数的例子 关键词：k o s z u l 代数；k r a u s e k u s s i n 代数；h o c h s c h i l d 上同调群；h o c h s c h i l d 上同调 环：乘法结构 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t k o s z u la l g e b r ai saq u i t ei m p o r t a n tc l a s so fa l g e b r a s ，w h i c hh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n st oa l g e b r a i ct o p o l o g y , c o m m u t a t i v ea l g e b r a , l i et h e o r ya n dq u a n t u mg r o u p s t h et h e o r yo fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yo ff i n i t e d i m e n s i o n a la l g e b r a sp l a y sa ni m p o r o r a n tr o l ei nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , a n dt h e yh a v ei m p o r t a n tc o n n e c t i o n sw i t hs i m p l e c o n n e c t e d n e s s ，s e p a r a b i l i t ya n dt h ed e f o r m a t i o nt h e o r y i nt h i st h e s i s ，h o c h s c h i l dc o - - h o m o l o g yp r o p e r t i e so fas p e c i a lc l a s s e so fk o s z u la l g e b r a s ，i e ，t h ek r a u s e k u s s i n a l g e b r a ，a r ei n v e s t i g a t e d l e ta = a nb et h es o c a l l e dk r a u s e k u s s i na l g e b r a ，i e ，t h ee n d o m o r p h i s ma l g e b r aa n = e n d o x ( t ) o fa t i l t i n gc o m p l e xt = 兀魄( i ) o f c o h e r e n to x m o d u l e so v e r ap r o j e c t i v es c h e m ex = 磺w ef i r s tc o n s t r u c tam i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o no fa b a s e do nt h em e t h o do fb u t e ra n dk i n g s ，a n dt h e nc a l c u l a t et h ed i m e n s i o n so fa l lt h e h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so fa b yc o m b i n a t o r i a lm e t h o da n di nt e r m so fp a r a l l e l p a t h s f i n a l l y , w ed e s c r i b et h em u l t i p l i t i v es t r u c t u r eo ft h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g y r i n g so fat h r o u g hc a l c u l a t i n gt h ek b a s i so ft h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g ys p a c e so fa a sac o n s e q u e n c e ，ap r e s e n t a t i o no ft h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g so fai sg i v e nb y g e n e r a t o r sa n dr e l a t i o n s t h u sw ep r o v i d eac l a s so fa l g e b r a so ff i n i t eg l o b a ld i m e n s i o n w h o s eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yt i n g sh a v en o n t r i v i a lm u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e k e yw o r d s ： k o s z u la l g e b r a ；k r a u s e - k u s s i na l g e b r a ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g y g r o u p ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g ；m u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e 一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名召鹏揖 签名日期：a 子年堂月加曰 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 敝储魏召潞 签名日期：以对月；d 日 名；椽密团 签名日砌萨臼凋 第一章绪论 1 1h o c h s c h i l d 上同调 第一章绪论 设a 是域七上的有限维结合基( b a s i c ) 代数( 含单位元1 ) ，人e = a 印。七a 是a 的 包络代数m 是七上有限维a 双模，贝1 j h o c h s c h i l d 复形俨= ( c ，) 讵z 定义如下： 6 - = o ，v i 0 ， 其中a o 表示k 上的张量积aoa 圆o 人( 共有i 次) ，映射为 d o ：m _ h o m k ( a ，m ) ，d o ( m ) = 【一，叫，其中【- m 】( 口) = a m - m a ，v a 人； ：一+ 1 由下述法则给出：w ，a l 圆pa 件l a p ( 件， ( a u f ) ( a l 圆oa i + 1 ) = a i f ( a 2o 啦+ 1 ) + ( 一1 ) 歹，( 口1p o + lp 圆a i + 1 ) + ( - - 1 ) i + 1 f ( a i 圆oa i ) a i + 1 直接代入验证可知+ 1 = 0 由此定义 h h ( a ，m ) = h h ( g 。) = k e r # t i m ， v z ， 为a 的系数在m 中的第i 次h o c h s c h i l d 上同调群特别地，当m = a 时，我 们记h h ( a ) ：= h h ( 人，a ) ，且称h h ( a ) 为人的第i 次h o c h s c h i l di - 同调群【3 3 1 此h o c h s c h i l d 上同调理论是1 9 4 5 年由h o c h s c m l d 引入，经c a r t a n 和e i l e n b e r g 发展并 逐步完善的 a 的h o c h s c h i l d 上同调环定义为 h h + ( a ) = i ih h ( a ) ， i o 并且唧+ ( a ) 在y o n e d a 积诱导的乘法结构下作成分次交换环【1 9 1 从理论上讲，计算代数的h o c h s c h i l d 上同调群是切实可行的，但实际操作起来 是比较困难的尽管如此，一些特殊代数的上同调群还是被计算，例如有限维遗传 代数 1 7 , 3 2 ，i n c i d e n c e 代数【1 5 t 3 0 ，具有狭窄箭图的代数 3 2 , 1 7 】，根方零代数b 6 1 ，外代 数【4 9 】，截面代数 5 3 , 1 3 , 3 9 ，单项式代数【川，具有n o r m e d 基的特殊双列代数【5 0 】等 湖北大学硕士学位论文 近年来，有限维结合代数的h o c h s c h i l d 上同调群得到了广泛的研究，并在 数学及物理的很多领域扮演着重要的角色例如h o c h s c h i l d 上同调群是结合代 数的m o r i t a 等价不变量、t i l t i n g 等价不变量以及导出( d e r i v e d ) 等价不变量等；并 n i - i h l ( a ) 与a 的g a b r i e l 箭图的顶点的可分性质密切相关【4 5 】，g e r s t e n h a b e r 证明 t h h 2 ( a ) 与人的形变理论有着紧密的联系【3 1 1 ，臣p h o c h s c h i l d 上复形实际上形成 了一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数控制了该结合代数的形 变h o c h s c h i l d 上同调环近年来也得到了普遍的关注，如广义四元数群的整群 环【3 4 1 ，半单l i e 代数的包络代数的正则极大本原商【4 引，循环块【4 7 】，交换h o p 玳 数f 4 1 1 ，群代数湖，外代数 4 9 1 ，s t r i n g 代数【4 】，k o s z u l 代数i s ，根方零代数f 1 8 】，自入 射n a k a y a m a 代数【2 0 1 ，有限表示型自入射代数1 2 4 及截面代数【5 3 】等然而，大部分 有限维代数的h o c h s c h i l d 上同调群还不为人们所知，人们对它们的h o c h s c h i l d 上 同调环了解的更少到目前为止，人们发现很多有限维代数的h o c h s c h i l d 上同 调环的乘法结构是平凡的，如不带定向圈的根方零代数【1 8 】，二次三角s t r i n g 代 数1 4 ，f i b o n a c c i 代数【2 1 】等等而且人们已经知道很多自入射n a k a y a m a 代数 的h o c h s c h i l d 上同调环有非零的乘积，但对整体维数有限且其h o c h s c h i l d 上同 调环的乘法结构是非平凡的这样的代数仍然知道得不多 1 2k o s z u l 代数与k r a u s e - k u s s i n 代数 1 2 1 k o s z u l 代数 首先我们回忆一下k o s z u l 代数的定义 2 6 , 2 7 】设k 是一个域，a = a o + a 1 + 是域k 上的一个分次代数若对每个佗1 ，k = a 1 k 一1 ，则称a 是由0 次元 和1 次元生成的我们用e ( a ) 表示y o n e d a 代数 e ( a ) = 1 - ie x t , 爻( a o ，a o ) ， n 0 这里乘法结构是通过y o n e d a 积给出的贝j j e ( a ) 是域七上的一个分次代数，其 中e ( a ) n = e x t x x ( a o ，a o ) 我们称一个分次代数a ；是k o s z u l 代数，如果它满足以下 三个条件：( 1 ) a o 是域k 上的半单a r t i n 代数，即形为忌xkx x 七；( 2 ) a 是由0 次 元和1 次元生成的；( 3 ) e ( a ) 也是由0 次元和1 次元生成的 k o s z u l 代数是一类非常重要且有趣的代数，它在有限维代数的表示理论中起 2 第一章绪论 着十分重要的作用。l 6 f w a l l 、b e i l i n s o n 等人的结果表明k o s z u l 代数在交换代数、 代数拓扑、l i e 理论、代数几何以及量子群的研究中有着广泛的应用【7 ，删而且 它是一类相当好的代数一方面，它不仅在代数上存在k o s z u l 对偶，在模范畴和 导出范畴上也存在k o s z u l 对偶1 7 2 1 q ；另一方面，对任意一个k o s z u l 代数，它的极大 半单商代数的极小投射a - 分解以及它的极小投射a 双模分解我们都已相当清 楚 1 1 , 2 3 目前，我们已经知道很多代数都是k o s z u l 代数，如路代数【2 7 1 ，根方零代数【4 3 1 ， 整体维数为2 的二次代数【2 6 】，无限表示型的有限维不可分解三次根方零自入射 代数【4 3 】以及许多预投射代数【2 9 1 等等而且，从一个k o s z u l 代数出发，我们可以构 造新的k o s z u l 代, 数，如k o s z u l 代数的反代数是k o s z u l 代数【7 2 7 1 ，两个k o s z u l 代数的 张量代数是k o s z u l 代数1 2 7 ，也可以通过g a l o i s 覆盖来构造k o s z u l 代数【3 6 】，等等 本文主要研究一类特殊的k o s z u l 代数的上同调性质，臣p k r a u s e 与k u s s i n 在文 献【3 7 中所研究的自同态代数k = e n d o x ( t ) 。 1 2 2k r a u s e k u s s i n 代数 为了度量a r t i n 代数与有限表示型代数的距离，a u s l a n d e r i j l 入了表示维数的 概念【2 1 ，并证明了有限维代数人是有限表示型的当且仅当a 的表示维数至多为2 。 而且有限维遗传代数的表示维数不超过3 然而之后近三十年，人们对表示 维数的了解都非常少直到最近，i y a m ao 证明a l 6 n 代数的表示维数总是有限 的，随后人们发现了很多a n i i 代数的表示维数的上界，但表示维数的下界却不 为所知，人们甚至不知道是否存在表示维数大于3 的a r t i n 代数2 0 0 5 年r o u q u i e r r 通过研究三角范畴的维数首次发现了表示维数大于3 的代数他证明礼维 向量空间的外代数的表示维数等于礼+ l ，从而证明了a r t i n 代数的表示维数 是无界的k r a u s e 和k u s s i n 通过证明射影概型x = 殿上的凝聚o x 模的倾斜复 形t = 兀呶( 1 ) 的自同态代数k = e n d o x ( t ) ( 我们称为k r a u s e k u s s i n 代数) 的 表示维数大于或等于n ，从而简化了r o u q u i e rr 关于a r t i n 代数的表示维数无界的 原始证明 3 7 1 本文的目的是进一步地考察代数k 的h o c h s c h i l d 上同调行为，从而 提供了一类具有有限整体维数且其h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是非平凡的 代数的例子 3 湖北大学硕士学位论文 1 3 本文主要研究工作思路与论文内容组织 本文主要研究一类特殊的k o s z u l 代数甚p k r a u s e k u s s i n 代数的上同调性质，旨 在讨论以下三个方面的内容： 一、利用b u l t e r 与l ( i n g 的方法构造了k r a u s e k u s s i n 代数的极小投射双模分 解： 二、用平行路的语言和组合的方法计算了k r a u s e k u s s i n 代数的h o c h s c h i l d 上 同调群： 三、给出这类代数的h o c h s c h i l d 上同调环的实现，从而提供了一类具有有限 整体维数且其h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是非平凡的代数的例子 本文按如下形式组织：第二章主要构造了k r a u s e k u s s i n 代数的极小投射双模 分解，第三章主要是对k r a u s e k u s s i n 代数的h o c h s c h i l d 上同调群的维数进行了计 算，第四章主要是对k r a u s e k u s s i n 代数的h o c h s c h i l d 上同调环进行了讨论 第二章 极小投射双模分解 第二章极小投射双模分解 设a 是域k 上的有限维结合代数它的包络代数为a 8 = 人印固七a 其中a 叩 是a 的反代数设a = 嘘k r a u s e - k u s s i n 代数，即射影概型x = 毋上的凝聚魄 n 模的倾斜复形t = 兀魄( t ) 的自同态代数凡= e n d d x ( t ) 且人竺k q i ，其 i - - - - 0 中q 是如下的有限箭图： q x 0 01xlon 一受 j 是由r = x t i x t + t d - - x t j x t + i ，, i t = 0 ，1 ，n - l ；l ，j = 0 ，1 ，佗) 生成的七q 的允 许理想设e o ，e 1 ，e n 为a 的一组本原正交幂等元，可看作q 中长度为0 的路这 样我们可以将q 中的路按长度左字典序排列，a p e o e 1 e t l 且鼢j z 融如 果i i 仇o ，j = 0 ，1 ，n m ) ，令7 0 口= 勺，j = 0 ，1 ，佗，# = x j i l ，j = 0 ，1 ，扎一1 对于m 2 和o j 礼一m ， 瑶 。可由 f 墨( 一1 ) t - 。- z 。n p - 啦! , 一j 。“r + m 一，奶 若m 是偶数； m jjt = l “m 概 1 曼( 一1 ) 蚪- z ，；n 。- ；1 , j “。巧+ 仇一。 ，若m 是奇数 。 t = l ( 2 1 ) 湖北大学硕士学位论文 归纳定义得到，其中7 一= 0 = t ，m + 矿i , j 。+ 。，j = 0 ，1 ，n m 令f ( m ) = 7 毫i 几i l i 2 i m o ，j = 0 ，1 ，竹一m ) 显然， i f ( m ) i = ( n + 1 一m ) ( = 1 ) 由此我们可得到 引理2 1 对所有的0 m n ，j = 0 ，1 ，扎一m ，有 7 n u 一 ，i l i 2 i m 一 证明我们对m 进行归纳显然m = 1 ，2 时命题成立假设命题对m 一1 的情 形成立，以下只需证明该命题对m 的情形成立即可由公式( 2 1 ) 及归纳假设可 知，当m 是偶数时， = ( 一1 ) 7 = 拦墙一巧+ m 嘶 t = l mt 一1 ( 一1 ) 。匹( 一1 ) 脚讪- f “- 2 j 一+ 一山一+ t = 1k - - - - 1 ( - - i ) 后巧“瑶二亳篇一址m 】+ m 嘶 k = t + 1 竹i k - - - - - i k - 1 t = l m ( - - 1 ) t + k + l x j “7 = 乏羔一一+ t = k + 1 ( 一1 ) 蚪七该东翟芝一。一，；。 以。】+ m 一。矗 t = k + 1( - - 1 ) 。蕊芝“小一+ 仇- l 屯+ 1 ) 州嚣象篇一址m 一钿巧+ m - l 矗】 = ( 一1 ) m 吼习二拦k 以。 k = l 当m 是奇数时，可类似地证明综上可得命题成立证毕 对t k q 中的任意非零元素z ，如果在q o 中存在点u 和v ，使得z = u x v ， 则称z 是一致的( u n i f o r m ) 易知对任意的厂f ( m ，都是致的，我们 6 一 m + 1 ，“一，b 札 一 咒 ，” + 1一 仇湖 一 柑 第二二章极小投射双模分解 记o ( f ) 和t ( f ) 为，中出现的所有路的共同起点和终点 记 ：= q 七，令：= u a o ( 一f ) o t ( - ) a ，m 0 ，且定义：一p m 一1 为 7 e f ( m ) 如( d ( 厂- - m , 3 。i t ，i ) 圆亡( 瑶) )ee ( 一1 ) 州巧如。亡( 7 = “1 , j + m l ；。) t = l + ( 一1 ) 。( 瑶二翌。“r ) 圆巧+ m _ l 矗】 定理2 2 设a ：是k r a u s e - k u s s i n 代数，则复形( 只，以) ： 0 一r 乌一p m + 16 一m + 1p m 鱼1 只鸟p o 一0 是a 的一个极小投射双模分解 证明令x = z “i t = 0 ，1 ，妃一1 ，i = 0 ，1 ，珏) ，冗是上文给出的j 的一组 生成元由于a 是k o s z u l 代数，根据文献【1 l 】中第九节关于极小投射双模分解的构 造，我们只需证明f ( m ) 是k 向量空间k n ：=nx p 兄y 口的一组k 基即可 p + q = m - 2 首先，我们用归纳法证明所有的瑶k m 当m = 2 时结论是显然的。 假设此结论对m 一1 的情形是成立的，只需证明对m 的情形成立即可由归纳假 设和公式( 2 1 ) 可知，瑶r x m 一2 n k m l x ；由归纳假设和引理2 1 可知， z x i 。x m - 2 r n x 一1 且= r x ”_ 2 n x m r n x k m ln 一1 x ，因 此结论成立 其次，所有的f ( m ) 必然是k 线性无关的，因为它们有互不相同的支撑而 且，a 的二次对偶a 2 = k q i 上同构于它的y o n e d a 代数e ( 人) ，其中i 上= ( z “z 件1 ，j + x t j x t + l , i t = 0 ，1 ，扎一1 ；z ，j = 0 ，1 ，佗，且i j ) 所以，a 在a 8 上的极小投射 双模分解的b e t t i 数是d i m 忌k 竹= ( n4 - 1 一m ) ( 2 1 ) 因此，f ( m ) 是j o 的一组基 最后，由文献【1l 】和【2 3 1 可知，当m 是偶数时， 如( 0 ( 穰；。) 。亡( 碟l m ) ) = ( 一1 ) 州巧缸。亡( 东w 1 , j + l 一钿) + t = l ( 一1 ) 仍( 一1 ) t o ( - f ：, - l ，d 。“+ 。) p 巧+ m 一1 ，矗】 7 湖北大学硕士学位论文 当 t t 是奇数时， 【( 一1 ) 乱。i z k - - - m - - 吨l , 一j + l 。- - 1 i r a ) + t = l ( - - i ) 。o 、州- - m - l dm t 。) p + m 吐i 。】 如( 。( 7 黧钿) 。亡( 7 寰m ) ) e l ( 一1 ) 州乱圆t ( 东臻一i m ) + t = l ( 一1 ) m ( 一1 ) 。+ 1 吼, 几, - - m 。- “l d 一。i 件。) 。巧+ m l ，赴】 【( 一1 ) 洲巧赴。t ( 万二臻一) + t = l ( - - i ) 。o l 几- ；m r - - t l , 一jm + 1 “。) 。+ t ，l l 】 微分以可由此得出证毕 由于9 1 d i m a = p d i m a 。a ，因此我们有 推论2 3 设a 是k r a u s e k u s s i n 代数，贝j j 9 1 d i m a = n 8 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 在本章中，我们将计算k r a u s e k u s s i n 代数a 的各阶h o c h s c h i l d 上同调群的维 数设x ，y 是k q 中一些一致元素组成的集合，我们记集合x i i y = 0 ，q ) xxy i o o ) = d ( g ) ，亡= 亡( g ) ) k ( x i y ) 表示以集合x y 为基的k 一向量空间 为了方便起见，我们考虑另外一个与a 的极小投射双模分解( 只，民) 同构的线 性投射解( q ，“) 令r ( m ，j ) = 群= 。+ 1 ，t ：巧+ m 一1 。l n i l i 2 i m o ) ， r ( m ) = ur 协棚，则r = ur ( 仇) 构成了a 的二次对偶a l 的一组k 一基很容易得 出l r ( m ) l = ( 礼+ 1 一仇) ( 喘1 ) ，且 ( - - 1 ) 扣1 乱名- “l 。, ! j 盐r = 群互。= ( 一1 ) 一。嚣- 4 1 , j “r + m - 1 如 令q m ：= ua d ( ，) o t ( f ) a ，且定义d m ：q m 呻q m 一1 为 ，r ( m ) ( d ( 霸譬4 。) 亡( 六翟一。) ) = 【( 一1 ) 扣1 如 t ( f m ，- 。l d 一+ 。l 扩i 。) + t = l ( - - i ) m ( - - 1 ) m o ( 、一f m - m l , j k ) 椰 “】 = 【( 一1 ) 扣1 吼pt ( f m r - w l j 一+ l ) + t = l ( 一1 ) 2 0 ( f m r - w l , jt + 1 t 。) p q - m - 1 t t 】 不难检验( q ，盯) 与( 只，民) 同构，这样我们就得到了a 在a 。上的另一极小投射 解( g ，d r ) 将函子h o m h c ( 一，人) 作用于a 的极小投射双模分解( q ，几) 上，则我们可得 至i j h o m a c ( ( g ，几) ，a ) = ( q ：，盯：) ，其中q 麓= h o m a e ( q m ，a ) ，且对任意的 q 乏一，有a 磊( ) = 矽仃m 为了符号记法的简便，我们记a i 。珏一。= o ，1 ，n ) l ，i 2 ，) ，其 中z l i 2 为任一递降序列且对任意的8 o ，1 ，扎) 和z ( i l ，i m ，s ) ，如 果i 七8 i 七+ 1 ，我们用i l i 2 来表示递降序列i l i k s i 南+ 1 i m ，用p ( z ) = 肚。i 矿i 。( z ) 表示z 关于这个递降序列i l i 2 的位置函数特别地，肛( s ) = 尼+ 1 o 湖北大学硕士学位论文 引理3 1 同调复形( q ：，虻) 垒( m 。，7 - ) ，其中m m ：= a ( u m r ( 仇) ) ，且当歹= o ，1 ，n m 时，对任意的( 6 ，艇) r ( 删，有 t m + 1 ( 6 f m m , j t 。) =【( 一1 ) 小( x j _ l , s b f r o m + l j 枷- l ，) 8 1 2 m + ( 一1 ) p ( 。( 6 z j + 仇，。，芝1 “, j 。) 】 证明由于q 麓= h o m a 。( q m ，a ) = h o m a e ( u ( o ( f ) 圆知t ( ，) ) a 。，a ) 笺 u ( a d ( ，) q 知( ，) ) 笺 i l ( o ( ，) m ( ，) ) 从而由定义可知后k r m ) 构成了m m f e f ( m )f e f ( m ) 的一组k 基 由于尼( 丘m r ( m ) ) 与q 名同构，且对任意的( 6 ，f ) 点m r ( 川，很容易验证忌- 线 性空l f i h o m a 。( a o ( f ) 圆t ( f ) a ，a ) 与南( 6 仇 厂) ) 在七一线性映射：7 7 ( 6 ，) h ( b ，) 和 逆映射妒：( b ，f ) h 即 ，) 下同构，其 u ( b ，d h o m a c ( a o ( f ) o 是t ( f ) a ，a ) ， 且叩( 6 ，) ( d ( 厂) o 舌( 厂) ) = b 所以对任意的( 6 ，础) r ( 删，必存在线性映 射叩：= ：j 1 ，使得对任意的9 r ( 删，如果9 = 艨1 5 2 ，则叩6 ( d ( 夕) t ( 夕) ) = b ， 否则为o 且- - 1 蠢+ 1 ( 铂) = 7 7 b m + 1 q 麓+ 1 考虑条件中出现的集合：，对任意 的8 t ，幻 。，我们有 叼+ l 、o ( f m + l , 。j 。) 。t ，j ，i m l i + 2 - i m ) ) ，7 l + 1 = 刁 【( 一1 ) 川一1 巧泌qt f f m r d 。+ 。1f + 1 言) + ( 叫1 y , o , ) o ( f m r j t - l i t + l i m s ) = 1 圆x i + r n , i t + ( 一1 ) p ( 8 ) 一1 。o 亡( 片鬻土_ ) + ( 一1 ) p 8 o ( 片譬) q 吻+ m ，s ) = ( 一1 ) p ( 耳) 一1 奶。b + ( 一1 ) p ( 5 ) 6 _ 斗帆，。， 这与豇( + 1 r e m + 1 ) ) 中的( 一1 ) p ( s ) 一1 ( 巧一l ，。b ，群嚣) + ( 一1 ) p s ( 嘞+ m 一 磁! 之；) 相对应证毕 要计算a 的各阶上同调维数，由呱m ( a ) = k e r r m + l i m t 仇可知， d i m 七h h m ( a ) = d i m ak e r t m + 1 一d i m k i m t m = d i m 知m m d i m 詹i m t m + 1 一d i m 南i m 7 m 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 又因为m m = k ( b m r ( m ) ，d i m k m m = ( 死+ 1 一m ) ( n # ) ( 篙1 ) ，故只需求 出d i m 七i m p + 1 即可 我们规定序列r 1 8 1 8 m ，如果存在1 亡m ，使得n = s i ( 1 i t ) j j _ r t & ，其中n ，8 i o ，n ) ( i = 1 ，m ) 然后我们在玩上定义序如 下：b r a d f l r m 6 m 一8 2 。，如果以 歹2 ，勒1 = 如但f i r 2 8 1 8 2 8 m 类似地， 在r ( 仇) 上定义一个序：麓孪 ，f 兢r 7 1 j 2 0 ，如果歹l 如，勘l = 如但i l l 2 i m k l k 2 k 从而诱导了r ( m ) 上的一个序如下： ( b l ， ) ( b 2 ，五) ，如果 h m t o ) ，t = u 銎。正；对任意的i = 0 ，1 ，m 一1 ，s = 湖北大学硕士学位论文 ( 死一i ) r l r 2 r m 一1 ，n ( n 一1 ) ( 几一i ) h l h 2 h m 一 一1 ) ln i r l r 2 r m 一1 0 ，佗一i 一1 h i h 2 h m i 一1 o ) ，s = u & 不难发 现t n s = o ，且t u s 是矩阵a 中所有行向量的指标集 首先，我们断言以t 中元素为指标集的a 的行向量是线性无关的，因为它 们的最后一个非零分支互不相同事实上，a 的( 7 - l ，n ( n 一1 ) ( 礼一i + 1 ) h ，一t ) 行向量的最后一个非零分支为( 机一i ) r l r m ，n 一1 ) ( n i ) h l h m t ) 分支 接下来我们将证明a 中任一以s 中元素为指标集的行向量能表示成若 干个以t 中元素为指标集的行向量的线性组合也就是说任一以s 中元素为 指标集的行向量p ，不妨假设其行指标为( ( 礼一i ) r ，r 2 r m 一1 ，n ( 死一1 ) ( 死一 i ) h l h 2 m i 一1 ) s ，只需证明p =( 一1 ) p 1 “m 一。( 町 s e a n ( n 1 ) ( n i ) l h 2 m t 一1 风。h 。一( 木) 即可，其中风。h 。一是矩阵a 中以( r 1 一1 ，n ( n - - 1 ) ( n - i + 1 ) 九1 h m 一) t 为指标的行向量下面我们将分三步来完成 第一步，我们考虑卢的非零分支对任意的8 a n ( 几一1 ) ( n o h 。h ：h 。一，且 假设鳓r h 。一；( s ) = q + 1 ，由7 - m + 1 的定义可知，声的( 一i ) r l 一1 ，死( 死一 1 ) ( 礼一i ) h 1 h m - i - 1 ) 分支为( 一1 ) 件1 + 升1 ，其余分支为0 第二步，对任意给定的s a ，；一1 ) ( 扎一i ) h 。h 扩h 。一，考虑玩r h 。一，的非零分 支不难发现，阮r k 一的( ( n - i ) r l 一1 ，n ( n - 1 ) ( n - i ) h l m 一扣1 ) 分 支是( 一1 ) i + 1 ；如果对任意的危a n ( n 一1 ) ( n t ) r h 。一。且r 。一，元( 九) = p + 1 ，则当h s 并f l h ，考虑p 和所有的阮r h m - i - 。k 的其它非零分 支( r 1 r m l u v ，n ( n 一1 ) ( 佗一i + 1 ) h 1 h , n - i - 1 ) 不难发现，前者为0 ， 后者有两种情形：8 = u ，h = 和s = v ，h = u ，分别为( 一1 ) 件q + 2 和( 一1 ) + 舛1 ， 1 2 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 且( 一1 ) i “h 1 h m t l 矗( u ) ( - 1 ) 件口+ 2 + ( _ _ 1 ) t * h v - - h , n t 一- 。( ) ( 一1 ) “计1= 0 ，所 以( 木) 对和所有的风p h 。一的其它非零分支( 7 1 一1 ，n ( 仡一1 ) 一 i + 1 ) h l h m - i l ) 也同样成立，其中s n 协一1 ) ( n 1 ) l l l 。h 2 h 。_ l - 1 因此， 夕= ( 一1 ) 地r 也m 一- 。( 鲫风r - - i - - 1 毒 s e a n ( n 一1 ) ( n o h l b h m 一 一l 综上可得，r a n k a = i t l = ( n ：? ) ( = ) 所以 定理3 3 对任意的0 m 佗一1 ，我们有 证明因为 仇 r 心r a + l c 礼叫( 三) ( 蚪：“) ( n + 一m - ) ( 扎：m ) + ( 佗：m ) + ( 佗：m ) + f n l i - - - - 0 ( 他+ m - ) + 1 ( ( n + ：二：+ 1 ) 一( n 仇+ 一m 。一- 1 i 、+ l ( = 二：) 一m 引- l ( n 一+ m - 1 - - i 、+ 1 ( 礼：m ) + ( 捌+ ( 扎：m ) + ( = ) ( 时：“) ， ( 裟二：) 一 r a n k t 叶1 = ( n m ) r a n k a m = m m ) i - - - - 0 1 3 ( 扎- - 州i + m ) g 二乏) ! l = 墨 、一、 0 l 一 一 呼叫 拜 玎 一谢一：i 证毕 湖北大学硕士学位论文 m ( 死一m ) i = 0g ) ( 几+ 一m - i ) c ，( 三) 娄( n - - m - - 2 ) c 舰刊( 三) ( 叶：“) 下面我们来计算k r a u s e k u s s i n 代数人的各阶h o c h s c h i l d 上同调群的维数 定理3 4 设a 是k r a u s e k u s s i n 代数，则对任意的m 0 ，我们有 d i m kh h m ( a ) = 其中当m n 时，( 三) = 0 所以 ( 三) ( 时? m ) ， 证明很明显，当m n 时，d i m 南h h m ( 人) = 0 由引理3 3 - i 得， r a n k r m + 1 + r a n k r m c 死刊g ) ( 叶三“) 均一m 川n 1 ) ( 捌 伽一m ，鱼立! i 署半拶( n ：1 ) ( n ：m ) 坳一m 删丽m 2 ( 佗三1 ) p ：m ) ( 姹一m + 南) ( n 未1 ) ( 礼：m ) ， d i m 南h h m ( a ) = d i m km m 一( d i m ki m r + 1 + d i m ki m t m ) d i m km 仇一( r a n k r m + 1 + r a n k r 仇) c 刊( 礼：m ) ( 佗三1 ) 曲一m + 1 4 m 2 ( n + 1 ) 2，( 仡：1 ) ( n ：m ) 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 = n + l - m 一( 扎一m + = 帮( 卅m1 ) ( =_ - _ ( 礼+ 1 ) 2 = ( 三) ( 叶m ) 证毕 m 2 + 1 ) 2 刀十册) l m ) ( 礼：1 ) ( 扎：m ) 1 5 湖北大学硕士学位论文 4 1 预备知识 第四章h o c h s c h i l d 上同调环 设q = ( q o ，q 。) 是有限箭图，其中骗是顶点