（基础数学专业论文）hilbert空间下的再生核理论研究.pdf

i i i i iiii ill l l11 111 1 11 1i y 18 0 5 7 8 2 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 舻 日 期：2 趔f 2 。豆坞 学位论文 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： j 一 摘要 这是一篇关于h i l b e r t 空间下的再生核理论的研究综述本文主要分为三部分：第一部 分主要介绍了再生核的产生，以及介绍一些相关需要的定义，定理；第二部分主要介绍了当 我们所研究的函数是解析时，单位圆盘上的再生核表示形式以及相关定理，结论；第三部分 主要介绍了当我们将上述形式推广到多维时，相关定理及其部分应用我们最后利用一些 已有的几何方面理论对一些再生核空间进行分类，这给出了一种新的证明方法 关键词：再生核；再生核空间；单位圆盘；高维单位球；解析函数空i - 1 ；h i l b e r t 模 a b s t r a c t t h i si sar e p o r ta b o u tr e p r o d u c i n gk e r n e lo nh i l b e r ts p a c e s i tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s t p a r tf o c u s e so nt h er e g e n e r a t i o no fr e p r o d u c i n gk e r n e l ，a n di n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n sn e e d e d t h es e c o n dp a r ti sm a i n l ya b o u ts o m er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sa n dr e s u l t so fr e p r o d u c i n gk e m e l w h e nt h eh i l b e r ts p a c ec o n s i s t so fa n a l y t i cf u n c t i o n so nt h eu n i td i s k i np a r tt h r e e ，w ee x t e n dt h e r e s u l t so f p a r t2 t om u l t i d i m e n s i o n a lc a s e a tl a s tw ew i l lg i v es o m ec l a s s i f i c a t i o no fs o m et y p e s o fr e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c eb yu s i n gs o m eg e o m e t r i c a lm e t h o d si no p e r a t o rt h e o r y t h i s g i v e san e wp r o o fo ft h ec l a s s i f i c a t i o n k e y w o r d s ：r e p r o d u c i n gk e r n e l ；r e p r o d i n gs p a c e s ；u n i td i s k ；h i g h e rd i m e n s i o n a lu n i tb a l l ； a n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e ；h i l b e r tm o d u l e s 目录 中文摘要i 英文摘要i l 目录i i i 引言 1 正文： 3 1 再生核与再生核函数空间 3 1 1 再生核的定义及基本性质3 1 2 再生核函数的几点性质3 2 单位圆盘上的再生核6 2 1 解析函数所构成的再生核空间6 2 2 单位圆盘上具有w 不变核的再生核空间 8 2 3 几种特殊的w 不变再生核9 3 一类吖不变再生核的分类1 2 3 1 几何分类定理1 2 3 2 多维变量的再生核空间1 4 结论1 6 参考文献1 7 致谢1 9 i 东北师范大学硕士学位论文 己l 吉 ji 口 h i l b e r t 空间再生核框架理论在19 3 0 年产生并发展起来，并已经被广泛应用于泛函分析 各个分支或相关领域中许多发表的研究报告显示该方法具有很多突出的优点，在分析和 处理一些非线性问题时尤为巧妙 b e r g m a n 在19 3 0 年研究下述微分方程问题时 券+ 券+ 口( x ，y ) 塞+ 卢( z ，y ) 赛+ 畎z ，y ) “= 0 其中口( x ，y ) ，卢( x ，力，r ( x ，y ) c 2 ( q ) ，q 是有界区域，口( z ，力，卢( z ，力，畎x ，y ) 是q 内的实解 析函数，首次给出了再生核的概念及表达式 j e ( z ，三，d 三e ( z ，三，t ) e x p - fa ( z ，万) 却+ 刀( 力 石 其中n ( z ) 是关于z 的一个任意解析函数，彳( z ，z - - ) 是系数函数，a ( x ，力，觑五力是延拓函 数的一个变换e ( z ，三，f ) 是方程 ( 1 + 产) 岛一f - 1 岛+ 2 纪( 岛+ 匾+ 雎) = 0 的解 b e r g m a n 称函数重( z ，三，d 为微分方程的生成函数( 也称b e r g m a n 核函数) 自此为再生核 的理论研究掀开新的一页 再生核理论产生于积分理论，那时的核被认为是正定积分算子的连续核这个理论是 由d m e r c e r 提出并命名为“正定核” 在3 0 年代，e h m o o r e 也发现了同样性质的核函数k ，力并给出了m ) = i f ( x ) ，k ( x ，力) 的形式自此得到再生核的严格形式的定义与此同时b o c h n e r 研究了具有实变量x 的连 续函数( 力，令核k ，y ) = 妒 一力，此函数k o ，力具有正定积分方程连续核的性质 十九世纪3 0 ，4 0 年代，所讨论的再生核大都是b e r g m a n 核，b e r g m a n 给出了一元或多 元调和函数，分析函数相对应的核1 9 4 3 年n a r o n s z a j n 概括前人的工作，形成了包括特 例b e r g m a n 核函数在内的系统的再生核理论再生核理论为每一个特殊例子研究奠定了基 础，而且大大地简化了一些证明过程在这个理论中，函数族的核函数的再生性起着重要的 作用，同时也证明了再生核也具有正定的h e r m i t i a n 矩阵的性质自此，再生核理论逐步成 熟起来h i l b e r t 空间的再生核框架理论在近2 0 年得到了迅速地发展，并已经应用于小波 变换，随杉q 3 2 _ 程处理，信号处理，机械学习，并且注意到再生核空间框架对以前处理不好的 实际问题有了很好的应用 现在我们所研究的空间多为单位圆盘上的h i l b e r t 空间如h a r d y 空间，b e r g m a n 空间 等由此可见再生核还是有很好的发展前景 东北师范大学硕士学位论文 本文总结了再生核的一般理论，再对一些平面上的解析函数构成的函数空间的理论进 行了总结，这些结论又可以推广到多维区域上去我们最后利用一些已有的几何方面理论 对一些再生核空间进行分类，这给出了一种新的证明方法 2 东北师范大学硕士学位论文 再生核与再生核函数空间 1 1 再生核的定义及基本性质 设，是定义在占上的函数构成的复的h i l b e r t 空间先做如下约定： 设i ，正f ，其内积规定为，以) 厂e 厂的范数为l i 刀l ，且若fe 只有f ff 称为一 个函数空间下面给出其再生核的定义 定义1 1 【2 】如果x , y e ，称二元函数r ( x ，力为，的再生核，如果它满足： 1 对于任意的y e ，k ( x ，y ) 作为x 的函数属于f 2 对于任意的y e ，任意的f e f l y ) = f f ( x ) ，k ( x ，y ) ) ， 此时我们称，为再生核函数空间，记疋f y ) = k ( x ，力则髟f 称为y 处的再生核 1 2 再生核函数的几点性质 ( 1 ) 再生核空间与再生核的对应关系 再生核空间的很多性质可以通过它的再生核来研究，再生核空间和其再生核之间存在 着密切的关系 再生核的存在性( 见文献 2 】) 函数空间，存在再生核r ( x ，力v g e ，如下定义的泛函为连续的： v f 只f 6 0 = 他) 这是因为i f ( y ) i i l f l l ( r ( x ，力，k ( x ，y ) ) 2 i = k ，力1 1 2 i 们i 另一方面，如果f ( y ) 是连续泛 函，那么在h i l b e r t 空间的一般理论中均存在一个函数g r ( x ) f 使得u ) = ( 厂( x ) ，函( x ) ) ，那 么令k ，y ) = g y ，因此得到了与之对应的再生核 首先如果r ( x ，力是空间，的再生核，那么容易证明k ，力满足下面的性质： a 对于任意的有限点a l ，a 2 ，a 。e ，矩阵【k ( , t i ，a 朋。抑0 ，此时我们称k ( x ，力在 e h m o o r e 下是一个正定矩阵 b 对于a l ，如，, t m e ，口l ，o 2 ，o t m c ，等式口f 邵( a f ，乃) = 0j o i k a ，= 0 t , j i = 1 下面我们说明若再生核存在，则是唯一的事实上，如果k ( x ，力和k 7 0 ，y ) 是空间f 的 再生核，那么对v y e ，由再生核的定义有： l 峰一蟛0 2 = ( 晦一蟛，髟一蟛) = ( 巧一蟛，晦) 一( k y 一髟，晦) = k t y ，y ) 一( 髟，蟛) 一( 巧，蟛) + ( 蟛，蟛) = k ，力一k ，夕) 一k ，力+ k t y ，y ) = 0 所以凰= kv y ，唯一性得证 如果给定一个e 两元函数k ，力满足定义1 1 中的条件则令 3 东北师范大学硕士学位论文 a = “，允l ，五2 ，厶e ，其中口l ，口2 ，a 聊c l ， f = 1 ，”， 定义彳上的内积运算为( 口，b ，b k p j ) = a i b j k a ，( ) 易说明这满足内积的定义 如果么不是完备的，设其完备化空间是h ，则h 是e 上的再生核空间，且其再生核 为k ( x ，力，这样我们得到了再生核空间与再生核的一一对应关系这种一一对应关系为我们 通过再生核研究函数空间本身提供了极大的便利 ( 2 ) 再生核空间的收敛性 我们考虑再生核空间中的收敛关系，得到如下结论： ( a ) 设k ，力是空间f 的再生核，则f 中任意一个强收敛到的函数列五是逐点收敛 的如果3 m 0 ，使得，i k ( x ，x ) f 0 ，我们可以选取一个 有限集0 j ，y 2 ，y t ) ce l ，这样对于抄e 1 ，至少存在一个肌满足：l i k ( x ，力- k ( x ，y k ) l i 南， 这里m = 1 u b 。0 厶m 更进一步，如果我们取定n o ，当以 n o 且v o , ) 一石饥) i 丢时，对于咖e l ，我们有 v o , ) 一工) i = i 一f o k ) ) + 懒) 一l 0 k ) ) + 0 , k ) 一石) ) i l y 0 k ) 一 ( 欺) l + i ( 厂( x ) 一石( z ) ，k ( x ，力一k ，肌) ) l ；+ i i 一石l li i k ( x ，力一k ( x ，y k ) l l ；+ 2 m 南 f ( 3 ) 再生核的和 下面我们考虑再生核的一些重要的运算性质，一个重要的结论是； 定理1 2 【2 】 k l ，力与岛( x ，力分别是再生核空间，l ，足的再生核，其中f l ，足都是 e 上的函数空间，且f 1 ，足的范数表示形式分别为l l 忆2 ，其中k l ，恐为正定矩阵，那 么k = k 1 + 娲也是正定矩阵，如果，是所有= z + 正组成的函数类空间，f 中范数规 定为i l f l l 2 = m i n e l l a l l ；+ i i a i l ； ，最小值从所有= 石+ 正的分解中取到，其中彳r ，i = 1 ，2 那么k 是空间f 的再生核 坩 有了上述定理我们就可以求出个再生核的直和的相关性质，也就是说k ( x ，力= z ，z f - l 只，并且范数表示形式为岍1 2 = m i n em 嘲 f = l 一个特别有用的情形是，当，ln 足= o ，f 的范数表示为l l 刀1 2 = 岍略+ l 咙峨这里f l 与r 在空间f 中是互补的，即f = f l 兮，2 ，这时f 为f l 与r 的直和，f = ，五) 历f i 4 飞 ， 东北师范大学硕士学位论文 内积规定如下：f = ，正) ，g = q l ，9 2 ) ，则 = 接下来我们考虑再生核的差分定义 定义1 3设e 上的二元函数k 1o ，力，k ( x ，y ) 是两个正定矩阵，如果k ( x ，力一k i ( x ，力 也是一个正定矩阵，那么我们记作k l k 这样我们可以在再生核的集合中建立一种偏序标志 定理1 4 【2 】如果k 与筠是e 上函数类f 与，l 的再生核，并且只f l 的范数表示分 别为，1 ，如果k l k ，那么f lc 只i 忻0 i 们i ，啊f 1 ( 4 ) 再生核的积 定理1 5 p f 1 ，f 2 分别是e l ，e 2 上的再生核空间，其再生核分别是k l ( x ，y ) ，& ( x ，力， 则直积空间f = f 1o r 的再生核为 k 7 0 l ，x 2 ；y i ，y 2 ) = k l ( x l ，y 1 ) k 2 2 ，y 2 ) x i f l ，y i f 2 ，i = 1 ，2 这里f 中元素石。五为e lx e 2 上的函数 一个有趣的例子如下： 例lf l o ，1 3 】：算子理论与函数论中一个十分有趣的例子是h a r d y 空间 h 2 ( d ) = ：d _ c 解析i 且s u p 击f i f ( r d 。) 1 2 d o + 1 u r 1 0 2 ，r2 ，r 规定y f h 2 ( d ) ，i l 1 1 2 = 耋里五i ，l 八) 1 2 d o = 牌五if i f ( r e 棚) 1 2 d o u r l 时吼是加权的b e r g m a n 空间：( d ，( 1 一i z l 2 r 2 d a ) 例2 1 1 令他) = 1 一l n ( 1 一z ) = l + z n 由这个幂级数导出的再生核空间为经典 的d i r i c h l e t 空间d ，由定理2 7 其标准正交基底为 1 ，z ，少诉，) ，我们说明这个空间的 内积运算为：曲= f ( o ) g ( o ) + ( 厂，) 厶( d ) ，v , g 望) 2 ( 2 2 ) 证明：设易，4 为d 2 在五，, f f n g 生核，其中e o = 1 ，= 杀，由( 2 1 ) 知e a = e n ( a ) e ，邑= e n ) 万 故有( e a ，邑) = ( 1 + e u ( a ) e n ，1 + 岛) e 。) = 1 + e n ( a ) e n ( i t ) ( e 。，e n ) = 三毛磊+ t ：1 + 至挈 西( 0 ) = 1 + ( a ) ( o ) = 1 同理得q ( 0 ) = 1 髟( z ) = 三( 五) ( z ) = 圣南意少_ 1 打= iw = l 髟= 乞南少_ 1 l o 夕 东北师范大学硕士学位论文 陋：，e ) = j 髟髟q ) 出国 d = f 量7 少一，量矽一d a z ) ( 其中d a ( z ) = 竽= 半) ：；，于量7 阳厂h 以陀f ) 肌r d r d o ：，于黑巩m v 硼 ：泣砟m ，弘+ n - i e i ( n + r n , , a ) d 8 只有当门m 时均为零所以当刀= m 时 原式= ；三而一j 1 户户川d e = ；1 兰砟”荔 ：兰- - 1 砟一2 1 伍_ ，b ) = e ，l ( o ) e a o ) + ( 髟，髟) l ：( d ) 由于s p a n e ：a d 1 在驴中稠密，从而 v f , g 驴有( 2 2 ) 成立 定义2 7如果再生函数空间硝r 的标准正交基底为 口：7 2 少：a n 0 1 ，这里a l = 0 ，且 算子必满足够少= a 。n - 。i 尹一，则称必是竹上的坐标乘法算子 定理2 8 t 1 1 】对于坐标乘法算子，我们有下面的结论： 1 m 7 m ：= 2 - - i 矛： 。* 2 i v ：, m 。? = 兰l 。 一 q n + i 推论2 9 【1 l 】如果尬是纠，上的坐标乘法算子，则有： 1 算子必是有界的当且仅当s u p 丑a n + i o肼o 一 一， 6 = 秽，6 ( ) = 翻 1 3 东北师范大学硕士学位论文 代入( 3 1 ) 式我们得到锄( 止y = ( c ) ( 石矾) ( b m ( 止) ”) ( 3 2 ) h 0k z 0z 0o 令t = 0 得到a 0 = b o c o ( c ) 七2 0 由上述印的展开式每一项都是常数，我们得到c k = 0 ，k 1 代入上述( 簟) 式得到 ( 埘”= i c o l 2 b m ( 七) ” 由定理2 1 1 ( 3 ) ，因为竹与乓的酉等价所以算子【，满足u f = 矾又因为6 = c o ，所 以u f = c o f 因此有l c o l 2 = 1 代入上述等式我们得到 a n ( 脚”= b m o z ) ” 由上述展开式对应的系数相等我们得到a n = b 。，y n n + 故得证 通过这种新的证明方法，我们得到a n = b 。，也就是本文的重要结论事实上，上述结论 在多维空间中同样成立，后面我们给出证明 3 2 多维变量的再生核空间 定义3 4设q ，h 是q 上的解析函数构成的h i b e r t 空间对于y a q 在h 上 都能找到与之唯一对应的连续线性函数f ( a ) = k a ) ，f hk a 称为函数空间日的再生核 定义3 5 1 2 】 球 z c d ：i z l ，- 记作b ：，设妫是球b ：上的再生核，称k 是w 不变 的，如果满足：对于任意一个酉映射u ：c d - c d ，有k v a ( u z ) = k a ( z ) ，y a ，z 嵫 我们知道一个再生核空间是由它的再生核唯一确定的，这一章节我们主要研究当再生 核是多维变量的时候前面介绍的主要定理和性质是否成立 同样由一个常规的证明方法可以得到对于b 二上的w 不变核k 存在唯一一个具有非负 系数的幂级数f = 少满足当收敛半径r r 2 ，使得k a 0 ) = 八 ) 盯 这样，我们将其拓展为b y ，因此就容易去检验是否具有一个非负系数的幂级数厂= 使得k a ( z ) = 锄 ”，其中k a ( z ) 是b y 上的w 不变再生核，这里r 是这个级 盯月 _ 数的收敛半径接下来我们就可以考虑b y 上由w 不变再生核导出的函数厂现在定义形 为函数厂构成的再生函数空间 定理3 6 【1 2 】再生函数空间彰有标准正交基 a l a l 詈弘严：a h a l 0 1 证明：设是具有一组标准正交基底的h i l b e r t 空间，我们令= a l 。l 簪】 严那么对于 y h h ，h 可以表示为h = b a e a ，并且有阮1 2 对于任意的leb y ，在a 点对h 的赋 口仃 值e a ( h ) 满足： 1 4 i 东北师范大学硕士学位论文 i e 。( 办) l = i 善6 口( a ) is ( 荟1 6 口1 2 ) i 2 ( 、y 口, l e , , ( a ) 1 2 ) 2 = l 川2 ) 顾邮) = - 沥( i , t 1 2 ) l l h l l 这就意味着易是连续的，并且很容易证明e a = p 口( a ) 更进一步说，如果易( 办) = 0 ，我们有表达式 刮“i 自( ) ln 矾卜硎b ：o 一“ 得到b 。= 0 ，故h = 0 同样我们可以得到s p a n e a ：a b 严】在日中是稠密的，对于任意的a ，乒b 夕，我们有 h - - , - = 八 ) 有了这个定理我们接下来讨论高维区域上再生核的一些结论： 定义3 7 t 5 9 】 设域山eq c 所，若b ( 7 - t ) 中的肌重算子组t = ( t l ，乃，l ) ，满足： ( 1 ) r a nd r ，是闭集，这里d 7 _ ：甜_ i to 秽有：d r h = ( t l h ，l ) ，h 7 - t ，山q ； ( 2 ) s p a n l k e r d 7 。：u q l 在何中是稠密的； ( 3 ) d i mk e r d p 。= k ，v 叫q 则将集合b ( 斜) 记为b k ( f 1 ) 定义3 8 如果再生函数空间7 的标准正交基底为 a l a , l 普】 严：口蚓o 】这里口一l = 0 ，且算子组必= ( 必l 一，心) 满足 严= 罨嚣 z 口一日，其中口一e i = ( 口1 ，口f 一1 ，蚴) 则称必是弼上的坐标乘法算子组 1 2 1 定理3 9 【1 2 l对于上述坐标乘法算子，我们有下面结论： 1 必f 蜂严= 黼严； 2 心必，严= 怒严； 推论3 1 0 1 2嘭上的d 维数组 必l 一，屹 具有下面的结论： 1 算子组 必1 一，屹l 是有界的当且仅当s u p 焘 o o ； 2 算子组 必l 一，心l 是本质正规的当且仅当j 鲤 焘一等】= 0 同c 上的证明情形类似，我们可得到如下结论： 定理3 1 l如果硝和群是单位球q 上的解析h i l b e r t 空间，这里地，a ) = 八 ) = a a ”是空间州的再生核，弛，五) = 甙 ) = b 。 ” 是空间野的再生核，空间喇的标准正交基底e a = k 蚓簪 2 尹，空间罗苫的标准正交基底 吒= 【6 跚簪】m 严，若州上的坐标乘法算子组曲= ( 必l ，一，心) 与群上的坐标乘法算子 组s 尹= ( 必1 一，心) 酉等价，则a c t = 6 口，这里口= ( a l ，口2 ，a d ) 此定理的证明过程与一维情况下是相同的 1 5 东北师范大学硕士学位论文 结论 我们上述结论主要通过考虑再生核的性质来研究再生核空间，再生核再生了函数任意 一点的函数值考虑了再生和的和，积，差分，以及其收敛性，并给出了与之对应的空间形 式，及其空间内积运算，这样我们就得到了其范数表示形式接下来强调的是解析函数所构 成的h i l b e r t 空间，这样我们就可以研究单位圆盘上的再生核及其性质w 不变再生核的定 义给出也就顺理成章了有了“不变再生核我们就可以具有非负系数的级数与其联系，也 就给出了本篇文章的重点我们用了一种特殊地方法证明了具有酉等价的两个再生核函数 空间级数的系数是相等的并且当我们将这个结论推广到多维时，结论同样成立 1 6 ， 矿 、 t 一 t 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 j i ma g l e ra n dj o h ne ，m c c a r t h y , p i c ki n t e r p o l a t i o na n dh i l b e r tf u n c t i o ns p a c e s m ，g r a d u a t e s t u d i e si nm a t h e m a t i c s ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e r ，2 0 0 2 ，x x + 3 0 8p p f 2 a r o n s z a j n n ，t h e o r yo fp r o d u c i n gk e r n e l s j ，t r a n s a c t i o n so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 19 5 0 ，3 3 9 3 6 3 3 c o n w a y j o h n b ，ac o u r s ei nf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e n c o n de d i t i o n ) m ，g r a d u a t et e x t si n m a t h e m a t i c s9 6 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 0 4 c o w e n m ja n dd o u g l a s r g ，c o m p l e xg e o m e t r ya n do p e r a t o rt h e o r y , a c t am a t h 141 ( 19 7 8 ) n o 3 - 4 ，1 8 7 - 2 6 1 5 c o w e n m ja n dd o u g l a s r g ，o p e r a t o r sp o s s e s s i n ga no p e ns e to fe i g e n v a l u e s ，m e m o r i c a l c o n f f o rf b j e r - r i e s z ，c o l l o q m a t h s o c j b o l y a i ，19 8 0 ，3 2 3 3 41 6 c h e nx i a o m a na n dg u ok u n y u ，a n a l y t i ch i l b e r tm o d u l e s m ，c h a p m a n & h a l l c r cr e s n o t e sm a t h v 0 1 4 3 3 ，2 0 0 3 【7 d o u g l a s r o n a l d g ，b a n a c ha l g e r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y ( s e n c o n de d i t i o n ) m ，g r a d - u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s17 9 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，j u l y19 9 8 【8 d o u g l a s r o n a l d ga n dv e m ip a u l s e n ，h i l b e r tm o d u l e so v e rf u n c t i o na l g e b r a s m ，p i t m a n r e s e a r c hn o t e si nm a t h e m a t i c ss e r i e s217 l o n g m a ns c i e n t i f i c & t e c h n i c a l ，h a r l o w , c o p u b l i s h e d i nt h eu n i t e ds t a t e sw i t hj o h nw i l e y & s o n s ，i n c ，n e wy o r k ，19 8 9 【9 r o n a l d g d o u g l a sa n dg m i s r a ，e q u i v a l e n c eo fq u o t i e n th i l b e r tm o d u l e s i i j ，t r a n s h m e r m a t h s o c 36 0 ，2 0 0 8 ，n o 4 ，2 2 2 9 - 2 2 6 4 1 0 k e n n e t hh o f f m a n ，b a n a c hs p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s m ，d o v e rp u b l i c a t i o n s ，i n c ，n e w y o r k ，1 9 6 2 11 g u ok u y u n ，r e p r