（基础数学专业论文）permanence+on+predatorprey+system+and+backward+bifurcation+for+sis+model.pdf

学位论文独创性声明 y 9 8 1 0 0 9 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名t 日期： 学位论文使用授权声明 超遮 1 5 ：垒：! 兰 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 作者签名：簦拯作者签名：登! l 缝 日 期：立：垒：! 兰 n ，m j i n gn o r m a lu n i v e r m t ya c k n o w l e d g e m e n t a c k n o w l e d g e m e n t i ti sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d et om y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rc u ij i n g a 1 1 i 锄g r a t i t u d ef o rh i sw a r m h e a r t e da n dd e v o t i o n f o rt h r e ey e a r s ，h eh a so f f e r e dm em u c hk n o w l e d g ea n dh i ss t r i c t n e s sa n di n s t r u c t i o n s e n l i g h t e n e dm ed e e p l y w i t h o u th i si m p r o v i n ga d v i c e ，t h ec o m p l e t i o no ft h ep r e s e n t t h e s i sc o u l dh a v eb e e ni m p o s s i b l e ia l s oe x p r e s sm yh e a r t yt h a n k st op r o f e s s o rl u od i n g j u nf o rg i v i n gm el e s s o n s m y i n d e b t e d n e s si sa l s oo w n e dt ot a ny u a n s h u n w h oh a sg i v e nm em u c hh e l pa n d e n c o u r a g e 1w o u l dl i k et oe x p r e a sm y s i n c e r et h a n k st oo t h e rt e a c h e r so fd e p a r t m e n t o fm a t h e n a t i c s ，w i t h o u tt h e f th e l p ，1w o u l dn o th a v ef i n i s h e dm ys t u d ys os m o o t h l y f i n a l l y , io w em yt h a n k st om yd e a rp a r e n t sf o rt h e i rs u p p o r ta n dm yc l a s s m a t e s e s p e c i a l l yw a nh u ia n ds o n gy i l i n 1w i l la l s os h o wt h a n k st ot a ox i na n dl i u y i p i n g t h ef i n a lw o r db e l o n g st om yb o y f r i e n dc h e nl i u y u a nf o rh i sg r e a ts u p p o r t 1 m ux i a 0 0 d a m a r c h ，2 0 0 6 n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d yt w os y s t e m s ，o n ei sap r e d a o r - p r e ys y s t e ma n dt h e o t h e ri sad y n a m i c a ls y s t e ma b o u ti n f e c t i o u sd i s e a s e i nt h ef i r s tm o d e lw em a i n l yd i s c u s st h ee f f e c to ft h ed i s p e r s a lo nt h ep o s i t i v ee q u b l i b r i n ma n dp m c e w eo b t a i nt h a tt h ed i s p e r s a ls y s t e mh a sa tm o s to l l ep o s i t i v e e q u i l i b r i u m t h e nd i s c u s st h ep e r m a n e n c ea n do b t a i ns o m en e wc o n d i t i o n sw h i c ha b e t - t e l , t h a n 【1 l 】 i nt h es e c o n dp a r tw ep r o p o s e 曲s i sm o d e lw i t hs a t u r a t i o nr e c o v e r yf r o mi n f e c t i v e i n d i v i d u a l st 0u n d e f s t a n dt h ee f f e c to fl i m i t e dr e s o u r c e sf o rt r e a t m e n to fi n f e c t i v e so i lt h e e m e r g e n c yd i s e 自t s ec o n t r 0 1 i ti ss h o w nt h a ts a t u r a t i o nr e c o v e r yf r o mi n f e c t i v ei n d i v i d u - a l sl e a dt ov i t a ld y n a m i c s ，s u c ha sb i s t a b i l i t ya n db a c k w a r db i f u r c a t i o n ，w h e nt h eb a s i c r e p r o d u c t i o nn u m b e rr 0i sl e s st h a nu n i t y , w h i c hr wm a n yn e wc h a l l e n g e st oe f f e c - t i v ei n f e c t i o nc o n t r 0 1 w ea l s os h o w nt h em o d e le x i b i t sb o g d a n o v - t a k e n si e t h e r ea r e s a d d l n o d eb i f u r c a t i e n ，s u b c r i t i c a lh o p fb i f u r c a t i o na n dh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n k e y w o r d s ：d i s p e r s a l ；p e r m a n e n c e ；r a t i o - d e p e n d e n tf u n c t i o n ；s a t u r a t i o n ； b a c k w a r db i f u r c a t i o n ；e n d i m i c 3 n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 摘要 摘要 本文考虑了两个系统：一个是食饵一捕食系统，另一个是传染病动力 学系统 第一部分主要研究一类依赖于比率的食饵一捕食系统，考虑扩散对它 的正平衡点个数及持久性的影响，得到了扩散使系统至多存在一个正平 衡点接着讨论了系统持续生存的条件，该条件改进了文【l l l 中的结果 第二部分提出了一个康复率具有饱和效应的s i s 传染病模型并研究 了有限的治疗条件对疾病控制的影响，得到t e p 使当硒 0 i st h er e m o v a lr a t e t h i si sar e a s o n a b l ea p p r o x i m a t i o nt ot h et r u t hw h e nt h en u m b e ro f t h ei n f e c t i o u si n d i v i d u a l si sn o tt o ol a r g ea n db e l o wt h ec a p a c i t yo fh e a l t hc a r es e t t i n g s s o m e t i m e st h i sa p p r o x i m a t i o nc a nn o tr e f l e c tt h er e a lr e c o v e r y w h e nas e v e r e l yi n - f e c t i o n sd i s e a s et a k et h ew o r l db ys u r p r i s e ，f o re x a m p l eb l a c kd e a t hi n1 3 4 7 ，i n f l u e n z a p a n d e m i co f1 9 1 8 ，i tw i l lb r i n ga l le x p l o s i v es u r g ei nt h en u m b e io fm n e s sa n dd e a t h ss u f - f l e i e n tt ot e m p o r a r i l yp a r a l y z ep u b h es e r v i c e sa n de c o n o m i cp r o d u e t i 、，i t y i ft h ei n f c c t e d i n d i v i d u a l sc a nn o tr e c o v e ru n l e s st h e yw e r eg i v e nt i m e l yt r e a t m e n ti nh o s p i t a l s t h e nt h e n u m b e ro fi l l n e s sn e e dt ob et r e a t e di nh o s p i t a l sm a ye x c e e dt h en u m b e ro ft h es i c k b e d s 6 堕竺塑! ! g 堕! ! 竺型型! 堡! 堡! 堡! ! ! 垒! ! i nt h i sc a s e ，t h er e c o v e r yf r o mi n f e c t i v ec l a s sw i l lr e a c ham a x i m u m ( s a t u r a t ) ，e s p c c i a l l y i nt h er u r a la r e a si nm a n yd e v e l o p i n gc o u n t r i e s i no t h e rw o r d ，i ft h en u m b e ro fi l l n e s s e x c e e daf i x e dl a r g es i z et h e nt h en u m b e ro f r e c o v e r e di si n d e p e n d e n to f f u r t h e rc h a n g e si n i n f e c t i o u ss i z e i nf a c t ，e a c hc i t yh a si t sl i m i t e dt r e a t m e n tc a p a c i t y s t a t i s t i c s 【1 4 s h o w s t h a t ，f o re x a m p l e ，t h e r ea r e1 6 4s i c k b e d sf o re v e r y1 0 0 0r e s i d e n t si nj a p a no na v e r a g ei n 1 9 9 9 ，b u tt h ec o r r e s p o n d i n gd a t aa r e2 6 ，2 4a n d1 1 ，r e s p e c t i v e l yi nt a r k e y , c h i n aa n d m e x i c o t h e s ef a c t su r g e da st oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：h wd o e st h es a t u r a t i o nr e - c o v e l ta f f e c tt h ed y n a m i c so fe p i d e m i cm o d e l s ? i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h i sp r o b l e mb yp r o p o s i n gac l a s ss l sm o d e lf i r s t ，i nw h i c ht h e i n f e c t i v eh a ss a t u r a t i o nr e c o v e r y , s a y ，i ( ，) ，a n dt h e na n a l y z i n gi t sd y n a m i c s h e r e ( j ) 8 a t i s f i e sh ( o ) = o ， ( o o ) = c 岫d 丽d h o ，w h e r ec j sap o s i t i v ec 嘲t 呲w h i c h i m p l i e s t h e l n s j d n l u mr e c o v e r e dn u m b e rf r o mi n f e e t i v ec l a s s o n ew a yw h i c hh a sb e e nu s e dt om o d e laq u a n t i t yw h i c hi si n c r e a s e sf o rs m a l lp o p u - l a t i o n sa n da p p r o a c h e san 1 越mf o rl a r g ep o p u l a t i o n si sw i t has m o o t hv e r h u l s t - t y p e f u n c t i o n 3 4 w ea d o p tt h ev e r h u t s t - t y p ef u n c t i o n 螂) = 晶 ， t om o d e lt h er e c o v e r e dp a r tw h i c hi n c r e a s e sf o rs m a l li n f e e t i v e sa n da p p r o a c h e sam a x - i m u mf o rl a r g ei n f e c t i v e s h e r ecg i v e st h em a x i m u mr e c o v e r yp e ru n i to ft i m e ，a n db ， t h ei n f e c t e ds i z ea tw h i c hi s5 0 s a t u r a t i o n ( ( 砷= c 2 ) ，m e a s u r e sh o ws o o ns a t u r a t i o n o c c u r s o u ra n a l y s i ss h o w st h a tt h em o d e lm a ye x h i b i tm u l t i p l es t a b l ee q u i l i b r i aw h e nt h e b a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r ( a o ) i sl e s st h a nu n i t y i nm o s te p i d e m i cm o d e l s ，t h ed i s e a s ew i l lb ee r a d i c a t e df r o mt h ep o p u l a t i o ni f 1 【1 5 ，1 7 ，1 8 ，2 4 1 h o w l e r ，r e c e n tw o r kh a ss h o w nt h a tt h en e c 瞄8 8 r y c o n d i t i o n 硒 o ，i = 1 ，2 ，3 t h en o t a t i o nz 0 d e n o t e sz i n t 财f o re c o 峪c mr e a s o n $ ，w ec o n s i d e rs y s t e m ( 0 5 ) o n l yi ni n t 财l e t c + = c ( 【一 0 1 ；聪) d e n o t et h eb a n a c hs p a c eo fa l ln o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n s w i t h 睁0 = s u p 归( s ) i s e l - , o j c h o o s i n gt h ei n i t i a lf u n c t i o ns p a c eo fs y s t e m ( 0 5 ) t ob ee + ，i tj se a s yt o t h a tf o r a n y 垂= ( 圣l ，圣2 ，垂3 ) c + a n d 壬( o ) 0 ，t h e r ee x i s t s n 0 a n da u n i q u es o l u t i o n 善o ，圣) o fs y s t e m ( 0 5 ) o n 【- - t , n ) ，w h i c hr e m a i n sp o s i t i v ef o ra l lt 【0 。n ) i nt h er e s to ft h e c h a p t e r w ea l w a y sa u mt h a t 垂c + ，圣( 0 ) 0 l e tt h er i g h t h a n ds i d eo f ( 0 5 ) b ez e r o $ l ( a l - - a l l ；r l a l i b i 一意) + d l ( ( x 2 咱) = o 善1 一磊磊而j 十1 一1 j = u 钇( n 2 一w 2 2 x 2 ) + d 2 ( x l z 2 ) = 0 ( 1 1 ) z a ( 一n s + 老) = o 、 f r o mt h et h i r de q u a t i o no f ( 1 1 ) w eh a v e lr a g 3 x 3a 3 1 0 , 3 9 ( 1 2 ) c 。h a p ，t e r 1 1 1n u m b e ro fe q u i l i b r i u m z la n d x 3s t a y t h es a m es i g n i fa n do n l y i fa 3 1 一口3 0h o l d s f r o mt h es e c o n de q u a t i o no f ( 1 1 ) w eg e t z 1 ；a t 2 x 2 * - 酉( d 2 一- a 2 ) x 2 ( 1 3 ) i f 吼一d 3 0 ，历一衄 0 a n dx 3 0w h e nx 2 笋h o l d s ，s y s t e m ( 0 ，5 ) h a sp o s i t i v ee q u i l i b r i u m i f d 3 l 一3 0 ，1 ) 2 一a 2 0 t h e ng l 0a n d 如 0 w h e n 却 0h o l d s ，s y s t e m ( o 一5 ) h a sp o s i t i v ee q u i l i b r i u m f r o m ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) t h ef i r s te q u a t i mo f ( 1 1 ) c a nb er e w r i t t e n 血2 + b x ；+ c z 2 + d = 0 w h e t ea = 警，b = 麴等型， c ；掣+ 掣一 产， d = a 1 3 ( d 2 面- a 历s ) ( a - 3 1 - a s ) 一( a l - d 面1 ) ( _ d 2 - a 2 ) 一。1 m 0 3 l 如 u 2 l e t ，( z ) = a x 3 - b b z 2 + l ? z + dt h e n ，( 霉) = 3 a x 2 + 2 b x + c e q u a t i o n ，( 动= 0h a s t w or o o t s 磊= 生俨，i = 1 ，2 t h ef o l l o w i n ga r et h ed i s c u s s i o no fe q u i l i b r i u mo f s y 8 t e m ( o 5 ) t h e o r e m1 1 可s y s t e m 似印s a t i s f i e d ( h 1 ) a 3 1 a 3 ，( h 2 ) 啦一d 2 0 ，t h e ns y s t e m o 5 ) h a snu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m p r o o f f r o m ( h 2 ) w ec a nd e r i v eb 0 ，孟l = = 星= 铲 。 n 2 2 3 a3 吻 3 t h e nt h es m a l l e rr o o t 而l i e s l e f to f t h ep o i n t 霉= 沪t h a ti s 雪l 0 b yc a l c u l a t i o n ，( 訾) = 一d i 0 ，l e ta ；，( 牙1 ) ，慨) c h a p t e r1 1 1n u m b e ro fe q u i l i b r i u m w h e n 孟l 0 w h e n 孟l 0s e ef i g2 ，( a ) i st h ee a s ea 皇基盐 孟o ( b ) i st h ec a 钾o f = 0 t h es m a l l e ri n t e r s e c t i o np o i n to ff ( x ) a n dp o s i t i v ex - a x i si sc o i n c i d e n c ew i t h 乱t h a ti s 雪 訾 孟1 ( c ) i s t h e e a s ea = 0 ，s i m i l a r l y 孟 笋 峦1 f r o m f i 9 1a n d f i g2 w e k n o wo n l yo n ep o s i t i v er o o ti sb i g g e rt h a n2 皆w h e na 0 ，t h e no n l yo n ee q u i l i b r i u m e x i s ti ns y s t e m ( 0 5 ) ( 缸) a 0 ，( 当专笋) 0s t i hh o l d s ，e q u a t i o n ，7 ( z ) = 0h a sa tm o s to n er o o to f m u l t i p l i c i t y2 ( s e ef i g3 ) ( a ) i st h ec a s eo f 字 0 ( b ) i st h ec a s eo fa = 0 却i s t h eo n l yr o o to f m u l t i p l i c i t y2o fe q u a t i o n ，( z ) = 0 ，易= 一矗 0 a n da tt h i sp o i n tt h es l o p eo ff ( x ) i sz e r o w es t i l lh a v e2 皆一易= 璺皆 0 t h a t i s 孟 璺学 却f r o m ( a ) a n d ( b ) o n l yo n er o o to f ，( $ ) = 0i sb i g g e rt h a n 2 ：争s y s t e m ( o 5 ) h a so n l yo n ee q u i l i b r i u m ( i ) a n d ( i i ) p r o v e dt h et h e o r e m t h e o r e m1 2 可( h 1 ) a 3 1 a 3 ( h 3 ) a 2 一d 2 0 ( h 4 ) d 0h o l d , t h e ns y s t e m 似砂 h a so n l yo l l ep o s i t i v ee q u i h b r m l r l p r o o f f r o m ( h 3 ) w eh a v e b 0 f r o m ( h 4 ) d 0 w eh a v e ，( 0 ) = d 0h o l d s w h e n 牙2 0 t h e f i g u r eo f f i s a s f i g4 f r o m ，( o ) 0 w ek n o w t h e r ei sau n i q u ei n t e r s e c t i o np o i n t 孟o ff ( x ) a n dx - a x i s w h e n 孟2 0s f i g5 ，8 i n l i l 8 r l y e q u a t i o nf ( x ) = 0h a so n l yo n ep o s i t i v er o o t t h a ti ss y s t e m ( o 5 ) h a so n l yo n ep o s i t i v e e q u i l i b r i u m ( i i ) i f a 0 ，t h e f i g u r e o f f ( x ) a r e a s f i g6 ( a ) i s t h ec a s e o f = 0 e q u a t i o n ，仁) = 0 h a sa t m o s to n e m u l t i p l er e a lr o o t 昂，知= - f i 0 s i n c e ，( o ) 0 ( b ) i s t h ec a s eo f o , z l 0 ，瓦) 0 位 y 。 0 |h 1 l ：己。 0 7 。 ( c ) y 砟上 o ? | ，h 、 魄m 3 ：w h e na o ，夏 0 五- ot h e 丘g m o f m z ) - y |。 i 。 一 厂 1 ) 置曩， 八 ， 。 ( c ) y 。 八矽1 d y l 1 f f 罨m e 6 ：w k 丑兰o “瑰m o f f 【对 y ，卜、r ， 五 。y 1 f 1 9 m 7 ：w h e n 吗一马s 0 ，d 0 位埏m o f 虹x ) 里皇! 旦! ! ! ! ! ：! 翌! 里坠竺! ! ! 旦! ! ! ! 堕! ! ! 里 ( i ) a n d ( i i ) p r o v e dt h et h e o r e m t h e f i g7 0 f f ( x ) c a ns a t i s f y f r o m f i 9 7 w ec a n d e r i v e ( 0 ) = d o 渤= 二旦= 吆p 匝 c。甘刿与产一可an(d2-o2)2mj22a31 ( 1 t ) l j 2口2 2 d 、7 d = t t l 3 ( d 2 1 - 磊t l i 2 ) 五( a _ 3 1 一- - a 3 ) 一( a l - 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