（基础数学专业论文）cn中全纯函数空间上的cesàro算子和复合算子.pdf

摘要 本论文研究了c “中几个全纯函数空间上的c e s a r o 算子和复合算子，全 文由四章组成 在第一章，我们对c e s a r o 算子和复合算子的有界性以及紧性问题的历 史背景与现状进行了综述，并列出了论文主要结果 在第二章，我们研究了当9 。和夕。为正规函数时，就所有的o o 时，单位球上f ( q ) 空间到 b l o c h 型空间伊的加权c e s a r o 算子乃的有界性和紧性问题，并给出了毛 为f ( g ) 到矿的有界算子和紧性算子的充要条件 在第四章，我们研究了多圆柱( 扩) 上的b l o c h 型空间伊上复合算子。 几个紧性条件是否具有等价性，并给出了紧性条件的最简表示 关键词：c e s a r o 算子，复合算子，b l o c i l 型空间，b e r g i n a n 型空间，有 界性，紧性 a b s t r c t t h i sp a p e ri sd e o t e dt oc e s a r oo p e r a t o r sa n dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nh o l o m o r - p h i cf u n c t i o ns p a u c e so fc “i tc o 璐i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n tc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e df o rt h e8 t u d yo fb o u n d e d n e 鹤a n dc o m p a c t n e 褐o fc e s a r oo p e r a t o r sa n dc o m p 伊 s i t i o no p e r a t o r s ，a n dw eh n et h em a i nr e s u l t s0 ft h ep a p e r 船f o l l o w 8 i nc h a p t e r2 ，l e t9 1 ，9 2b en o r 】：i l a lf u n c t i o 璐f o r “o oa r es t u d i e d a n dt h en e c e s s a 珂a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n s 盯e 舀v e nf o rt h ec e s a r oo p e r a t o r 乃 i nc h a p t e r4 ，t h ee q u i v a l e n c 圈o fs o m ec o m p a c t n e 豁c o n d i t i o 璐f o rc o m p o s i t i o n o p r e a t o rb e t w e e nb l o c hs p a c e 8o nt h ep o l y d i s co fc na r e8 t u d i e d a tt h es a m et i m e ， t h eb e s 乞s i m p l ee x p r e s s i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：c e s a r o ，o p e r a t o r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，b l o c ht y p es p a c e ，b e r g m a n 乞y p es p a c e ，b o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e 鼹 i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法 律结果由本人承担 学位论文作者签名： 痃i 壹谚 溯眸fz 月，锣日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 ，不保密嘭 、( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：葱偿磷日期：溉g 年，2 月，口日 导师签名：i 苦聋 日期：认l ，年、- 月1 日 3 9 c n 中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 1 绪论 复变函数理论自1 9 世纪三位杰出的数学家c a u d l y 、w b i e r s t r 鹳8 和彤e - m a n n 创立以来，已有一百多年的历史它发展迅速，很快就成为了数学学 科的重要分支之一而在复平面上由解析函数构成的函数空间，如h a r d y 空 间、b l o c h 空间、b e r g m a n 空间、d i r i c h l e t 空间等自然就成为了重要研究对 象随着单复变函数理论的日臻完善，多复变全纯函数空间理论也得到了 迅速的发展无论是实分析还是复分析，函数空间是一个最基本的数学范 畴归根到底，就是在一些函数类上进行研究函数空间理论对多复变的 研究也起到重要作用，如著名的l e v i 问题就能用l 2 空间的方法得到彻底 的解决再如，s b o l v e 空间与多复变双全纯映照理论更密不可分还有， b e r g m a n 空间的再生核已成为复几何和复分析的重要工具和研究对象 就函数空间上的算子理论而言，她一直是国际数学界一个非常重要的 研究方向，其文献浩如烟海、举不胜举，并有一系列专著问世，特别是全纯 函数空间上的g l e a s o n 问题、复合算子理论、b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算 子和h a n k e l 算子等是近二十年来国际数学界的研究热点之一，由于算子理 论的应用性非常广泛，所以对其研究几乎使用了所有现代数学的概念和方 法复分析中很多问题都需要对各种函数空间特征及某些辅助算子的性质 ( 包括有界性、紧性、s c h a t t e n 类、谱结构等) 以及系数乘子和点态乘子进 行深入研究关于这方面，早些时候所取得的成果主要是关于单复变解析 函数空间的，如上世纪九十年代前后，a x l e r 、l u e 出n g 、z h u 、彭立中、任 福尧等许多著名数学工作者对单复变函数空间的算子理论进行了广泛的研 究，使得一些算子理论( 如b e r g m a n 空间和h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子、 h a n k e l 算子及其复合算子等) 在单复变情形已有相当完整的结果但对于 多复变函数空间而言，由于问题的复杂性，更主要是由于多变量全纯函数 与单变量解析函数有许多本质不同的特性，例如多复变中没有类似于单复 变中的r i e m a n n 映照定理，从而不同域上函数空间的结构可能有很大的差 异，这决定了其上的算子理论和单复变情形可能有本质的不同其次，单 高校教师在职硕士学位论文 复变中一些行之有效的处理方法( 例如b l a s d k e 乘积、n e v a n l i n n a 计数函数 等) 在多复变情形往往不再适用或不能简单移植，而且在多复变中全纯函 数t a y l o r 展开出现的多重指标使得许多问题( 例如内函数问题以及系数乘 子问题等) 比单复变情形要困难得多，这样就导致了多复变数函数空间上 算子理论的研究荆棘重重。尽管如此，近十几年间多变数全纯函数空间上 的算子理论仍然有了较大的进展，许多原来在单变数全纯函数空间研究的 国外代表人物( 如a r a z y 、l u e d d n g 、s h a p i r o 、z h u 、a x l e r 、 c 盯l e s o n 、 c o w e n 、s h i e l d s 等) 都被吸引到这一方兴未艾且充满前途的领域，此外国 内许多数学工作者( 如以史济怀、任广斌等为代表的研究团体，以及任福 尧、陈怀惠、胡璋剑、周泽华、乌兰哈斯、娄增建、欧阳才衡等等优秀数学 工作者) 也在从事此领域的研究 本论文主要对c n 中单位球上b e r g i n a i l 型空间等函数空间上的c e s a r o 算 子以及多圆柱上b 1 0 c h 型空间之间复合算子的性质做些探讨 在复平面上，c e s a r o 算子和加权c e s a r o 算子已经被研究相当长的时间 了，在h a r d y 空间、b m o a 空间、b l o c h 型空间、b e r g m a n 空间、混合模空 间等典型函数空间上获得了一系列成果( 见”【7 】) ；对于多复变情形，最近 文献【8 】- 【1 0 】分别讨论了单位球上b l o c h 空间，混合模空间以及b l o c h 型空间 与d i r i c h l e t 型空间之间的加权c e s a r o 算子的有界性和紧性问题 本文第二章的主要工作就是探讨单位球上具有正规权的加权b e r g m 锄 空间之间加权c e s a r o 算子的有界性和紧性条件一般来说，人们主要在 b e r g m a n 空间或者权为( 1 一i z l 2 ) 。( q 一1 ) 的加权b e r g m a n 空间之间讨论算 子理论，即使单复变也是如此在单位球上具有正规权的加权b e r g m a n 空 间之间讨论c e s a r o 算子的性质应该尚属首次本章主要结果为： 定理2 3 1 设o p 、口、r ，妒日( b ) 以及9 l 和夕2 是【o ，1 ) 上的 正规函数，则：a ；。一a ；2 是有界算子的充要条件为： ( i ) 当。 阳 o 。时噬罢毯黼紫 o o ； z b口1 l i z i ) l l l z i ) p c “中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 ( i i ) 当o g p 时，矿( h ) ( 1 一i z l ) - 1 鳄( ) 咖( z ) ，其中 s = 南，豇= 踹m 旃洲) = 上骅州洲a c b ) 定理2 4 1 设o p 、g 、7 ，矽日( b ) 以及9 1 和卯是【o ，1 ) 上的 正规函数，则：镶一a 戋是紧算子的充要条件为： ( t ) 当。 p g o 。时，矽a 丕且i 碧m l 坐塑丛耋等嚣罟君学= 。； ( i i ) 当o q p o ，则乃：f ( 口) 一伊为有界算子的充 要条件为： 掣卜m 。凹芒评l 励( z ) l 一礼一l 、口 o ，则l ：f ( q ) 叶伊为紧算子的充要 条件为： i 鸨( 1 叶| 2 ) 口z 叼南l 励( 训_ o 对于复合算子的研究，无论在单复变还是在多复变情形都有很多结果， 其中m a d i g a n 和m a t h e s o n 【1 8 ，1 9 】研究了单位圆盘上b l o c l l 空间和l i p s c h i t z 空 间上复合算子的有界性和紧性，s o h n o 和r z h a 0 【2 0 】讨论了b l o c h 空间上加 3 高校教师在职硕士学位论文 权复合算子的相关问题，文献【2 1 】和【3 1 】在单位圆盘上p _ b l o c h 空间之间对 同样的问题进行了探讨；对于多变量情形，史济怀和罗罗【2 z 】以及周泽华【2 3 】 等分别研究了超球上b l o c h 空间或b l o c h 型空间复合算子的有界性和紧性条 件，文献【2 4 】探讨了超球上一般正规权的b l o c h 型空间之间加权复合算子的 有界性和紧性，周泽华障，2 6 】、徐辉明 2 7 j 、胡璋剑 2 8 j 等在多圆柱上对b l o c h 空间、l i p s c h i t z 空间、b l o c h 型空间、正规权b l o c h 型空间的复合算子之紧 性和有界性进行了深入研究 对于多圆柱上( 包括n = 1 的单位圆情形) b l o c h 型空间的紧性条件，不 少研究者都进行过探讨，各类文章中出现过许多不同的表述形式，那么这 些表述形式是否等同? 是否有些表述有欠科学或者错误的地方? 实质性的 表述又该如何? 本章就这个问题做点归纳探讨本章主要结果如下： 定理4 1 1 当p 1 时，表述1 表述5 ( 见后文) 是等同的 从而当p 1 时，扩上b l o c h 型空间之复合算子紧性定理的最简表述 形式为： 定理4 1 2 设p 1 ，妒= ( 妒l 妒。) 是泸_ 扩的全纯映射，则。 是伊( 泸) 上的紧算子之充要条件为： 比5 喜喜( 南躲) p l 掣i - 0 定理4 1 3 当o p 1 时，( n ) 表述2 以及表述5 和表述3 是等同的； ( 6 ) 表述1 不等同于表述3 ；( c ) 表述4 不等同于表述3 和表述1 从而当o p 1 时，护上b l o c h 型空间之复合算子紧性定理的最简表 述形式为： 定理4 1 4 设o p 1 ，妒= ( 妒1 ，妒。) 是u ”一泸的全纯映射，则 g 是伊( 泸) 上紧算子之充要条件为：对一切f = 1 ，2 ，n 有卿伊( 泸) 且 胁凯。喜( 南辚) p l 掣( 一n 4 c n 中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 2 单位球上b e r g m a n 型空间 之间的加权c e s 打。算子 2 1 问题的引进和定义 用b 表示c n 中的单位球；咖和如分别表示b 和a b 的正规l e b e s g u e 测度，h ( 口) 表示b 上全纯函数全体；日一表示b 上的有界全纯函数全体； 一个【o ，1 ) 上的正的连续函数9 称为是正规的，如果存在常数o 口 6 使得： 矗氅每在r 【。，1 ) 上单调递减且粤石些每= 。； 矗磐每在，( 0 ，1 ) 上单调递增且磐矗氅每= o 。 设o p o 。，夕为【o ，1 ) 上的正规函数，b 上的加权b e r g m a j l 空间钙是 日( b ) 中满足 m = i ，( z ) m p ( 1 一。1 咖( z ) o ，r 3 o ，则存在常数 c o 使得 糟端c 对所有的z ，叫b 且p ( z ，叫) 0 ，o p o 使得 i 他巾南厶r ) i 他) l p 如( 叫) 对所有的，h ( b ) 和所有的z b 成立 引理2 2 4 设，( b ) ，o p o ，o p o 使得 l 化) i p 矿访南丽厶，) i 他) m l 伽i ) ( 1 一。d 口( 叫) 对所有的，h ( b ) 和所有的z b 成立 证明对埘e ( 石，r ) ，由正规函数得定义，我们有 o 使得一1 夕( ) g ( m ) g 7 夕( ( 叫e ( z ，r ) ) ， 再由引理2 2 3 即可证得结论 引理2 2 6 ( 文献【1 4 】中引理2 3 ) 设p 是b 上的正有限b o r e l 测度，9 为 正规函数，o g ； 2 3 关于c e s 打。算子的有界性 定理2 3 1 设o p 、g 、r ，矽( b ) 以及9 1 和仍是+ 【o ，1 ) 上的 正规函数，则：a ；。_ a 戋是有界算子的充要条件为： ( i )当o p 口 时， 骝甓黼警 o o ； ：套 9 l ( h ) ( 1 一2 ) 盖 7 7 高校教师在职硕士学位论文 ( i i )当o 口 p 时， z 矿( ) ( 1 一) _ 1 货( 吲) 如( z ) o 。， 其中s 2 南，jbp q 丘= 舌兰粼，p 妒烈船( 月) = f 尘塑掣d ( z ) ( a b ) 证明( i ) 当o p 口 o o 时，若 骝毯黼缚= m c 打 则厶a ；，且i 川k 再由引理2 2 1 和2 2 5 以及( ，) ( o ) = o 得 厶f n l i g 积f l f l 一| n | 2 ) 鼍产 夕；( i n l ) ( 1 一f o l 2 ) 等 c ；i a 器上( 。，) l r 妒( z ) i 。9 ；( i z i ) ( 1 一 z 1 ) 一1 d ( z ) c上。，l冗妒(z)ia；芋ik习j；：；j!)；9；(fzi)(1一izl2)9(1一1名i)一1d口(z) c l r 妒( z ) 厶( z ) l a 9 ；( 1 2 1 ) ( 1 一l z l 2 ) 9 ( 1 一l z l ) 一1 幽( z ) jb c i ( 厶) ( z ) l 。醒( 1 2 1 ) ( 1 一l z | ) - 1 d ( z ) jb c 恻s c ( c ) 9 ， 由a 的任意性得 骝哗黼学 z 白 夕l ( 1 2 1 ) ( 1 一h 2 ) i ( i i ) 当o q p o 。时，利用引理2 2 5 和2 2 6 以及豇的定义类似( i ) 的证明可得结论 高校教师在职硕士学位论文 2 4 关于c e s 打。算子的紧性 足埋2 4 - l议0 p 、口、r ，妒爿( b ) 以及夕1 利夕2 悬【u ，1 ) 上网 正规函数，则：a ；，一a 戋是紧算子的充要条件为： ( t ) 当。 p q 时，砂a 岔且i 碧m l 坚等裂罱嚣铲= 。； ( i i )当o q p o 。时， 上以川1 _ ) 。刑枷如( z ) 。o ，”南， jbp q 豇= 舌兰硼，弘妒m ( a ) = 上竺塑掣d ( z ) ( a b ) 证明( i ) 当o o ，当1 2 1 r b 时有 警揣尚乒“ 仁4 夕l ( h ) ( 1 一h 2 ) ； 、 设 厶。) 是在b 的任意紧子集上一致趋于o ，且在月；。上有界的任一序列， 则存在k 对所有的m 有 ，| 厶( z ) i 研( ( 1 一h ) - 1 咖( z ) k ( 2 4 2 ) jb 且存在m o ，当m m 以及h 时有 厶( z ) i m 时有 i 耳( ，m ) ( z ) l 。鲳( ( 1 一- 1 如( z ) c ( i 而( 厶) ( o ) l + ，_ l r ( 孔( 厶) ) ( z ) i 。9 9 ( i z j ) ( 1 一h 2 ) a ( 1 一1 2 1 ) _ 1 咖( z ) ) jb， = c ，lr ( 凡( 厶) ) ( z ) i g 夕墨( ( 1 一2 ) a ( 1 一_ 1 如( z ) = c i 冗妒( z ) 厶( z ) i a 鳢( i z l ) ( 1 一i z l 2 ) a ( 1 一i z i ) _ 1 d ( z ) sc lr 咖( z ) 厶( z ) i a 9 ；( 1 z i ) ( 1 一i z l 2 ) 口( 1 一l z i ) 一1 如( z ) + c 上一伯bij酰步(名)i口1f赢(z)ip甲9；(izl)(1一izl2)口(1一izi)一1du(z) c e lr 妒( z ) l o 夕墨( 1 z i ) ( 1 一l z l 2 ) 口( 1 一l z f ) 一1 d 口( z ) +gii，击ll蕊?上一，。b11塑生i芒!芎堡；辫i，击(z)ip9(1zi)(1一lzl)一1du(z) c e l 妒( z ) 1 9 9 ；( 1 2 1 ) ( 1 一l z l ) 一1 d ( z ) ，b + c e | i 厶| l 菜p l 厶( z ) i p 贫( h ) ( 1 一) - 1 如( z ) ”j b r o b c e ( i | 砂l i 二勤+ i l 厶l l 二；。) c e ( i i 矽i i 二；。+ k 9 ) 由上式可得 i ( 厶) ( z ) i - 鲮( ) ( 1 一h ) - 1 咖( z ) _ o ( m 一) ， 因此：a ；，_ a 刍是紧算子 若耳：a ；。_ 铭是紧算子，则巧必为有界算子取，= 1 得耳( 1 ) = 詹1 r 矽( z ) 譬= 妒( z ) 一妒( o ) ，所以妒a 刍，且对任意在上有界且在b 的任 意紧子集上一致趋于。的序列 厶) 有 ，| 耳( ，m ) ( z ) l q 醴( h ) ( 1 一h ) “咖( z ) _ o ( m _ ) ( 2 4 4 ) 因此任取【口m ) cb 且l o m l _ 1 ( m _ o o ) ，令 眦，= 丽斋芸杀产) ；( d 妒1 ) ， 高校教师在职硕士学位论文 则 ，仇) 在b 的任意紧子集上一致趋于o ，且由定理2 3 1 的证明知厶a ；， 且i l 厶i k c ， 因此由引理2 2 1 和2 2 5 以及孔( ，) ( o ) = o 得 ! 墨丝( 竺竺21 1 旦! ! ! 竺竺! ! ( ! 二! 竺! ! 罡2 1 夕 ( i i ) ( 1 一i n 。i z ) 警 c；ii再三：i器上。幽。，)l兄矽(z)19鲳(izl)(1一lzl)一1d(z) c上。，i冗砂(z)l。；i_=：f5；e三j：姜!南)爹鲳(izi)(1一lzl2)9(，一lzl)一1du(z) c r 妒( z ) 厶( z ) l a 醴( i z l ) ( 1 一i z l 2 ) 。( 1 一l z i ) 一1 d u ( z ) ，b c 疋刚( 硎。以川1 一h ) q 如( 砂 由( 2 4 4 ) 式有 l i m 咝刨幽型! 二单! ：o 吲一1 夕l ( ) ( 1 一1 2 1 2 ) ； ( i i ) 当o 口 p o o 时，若 矿( h ) ( 1 一h ) _ 1 贸( h ) 咖( 石) o 存在o 时有 。 “ ( z ) m ( ( 1 - 一l 如( z ) p 时利用h 6 l d e r 不等式和( 2 4 5 ) ( 2 4 8 ) 式有 l i ( ) ： c 厶c 尚耥，南端似伽， 宁 ； + q 儿b c 尚嘏揣，南黜州叫，) 宁 上一。b 上垒器咖( 伽) ) ；2 c m e 高校教师在职硕士学位论文 所以i i 而( ) i 暇一o ( 后_ o 。) ，这就证得耳：a ；。_ a 戋是紧算子 若而：a 舅一a 塾是紧算子，则而，妒：a ；，_ l ；2 肯定是有界算子，则由 定理2 3 1 显然可得 矿( ( 1 一_ 1 贫( 咖( z ) 。o 1 ，b 推论设o g p 一佗一1 ，如果，日( b ) ，且 删确) - 忡) i + 8 u p 加一m al 兄化) p + 1 扩( 那) 咖( z ) r o ，如果，( b ) 且 i l ，i i 胪= i ，( o ) i + s u p ( 1 一l z l 2 ) ai r ，( z ) i o 。， 就称，属于b l o c h 型空间p 。，其中空间p 1 和伊( o q 一n 一1 ，则对所有的叫，n b 都有 么f 与等辚岛酬枢c - ，b1 1 一 i q + 刑11 1 一 1 2 n ”v 、叫二“ 证明对任意o b ，设 化) = z 凹( 1 一 ) ( 叩= 尚) ， 由于，b m d a ，所以l l 厶i i b m o a c ，这里厶( z ) = z 0 9 ( 1 一 ) 通过 文献【1 l 】中定理5 1 4 知 上f 等第精批陋厶1 1 一 l 凯i l 一 1 2 ”u 叫二“ ( z ) 当口1 一n 时： 么旺等笫等黔嘶)，口1 1 一 1 2 “ 1 一 i 口+ n + 1 ”。0 4 7 钳上庐等笫酢， c ( 撕)当一1 一死 g l ，对任意o 彬b 和o r 1 2 ，设 g ( 叼) = z b ：1 1 一 i r 2 ) ( 叩= 尚) ， 由文献【1 1 】中引理5 2 3 知， t ，葶茄州z )j q ，( 叩) 1 1 一 i g + ”+ 1 “叫 上。，。，。一，。，。，1_r二?!兰亏器du(z)， ( 3 2 1 ) 这里 ，州= f a b 1 1 一 j 一1 ，由( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 式知 若q + n = o ，则 l 芸器州z ， c r 2 棚仁r 2 ( 1 + 墨广一班 =c r 2 ( 11 十鲁) 中 c 尹2 后( 1 _ 刊箬 cr p z 2 + 口+ “ o ，通过( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 式，结果 是显然的因此， j q r、善爿筹斋嘶) c ，鼽，) i l 一 1 9 佃+ 1 r 7 一。 ( 1 一2 ) q + “ l 一 l 口相+ 1幽( z ) 是一个c a r l e s o n 测度，由文献【1 l 】中定理5 4 知 ( 1 一l n l 2 ) ”( 1 一2 ) 升“ 1 一 1 2 ”1 1 一 i q + ”+ 1 引理3 2 2设口 一n 一1 ，若 如( z ) c ，f ( g ) ，贝| j ，p 1 且i l ，i l 口- c i i ，i l f ( 口) 证明若，f ( 口) ，对任意n b ，通过i ( r ，) o 妒n i 口+ 计1 的次调和性知 r 厂( n ) 1 9 + “+ 1 = l ( r ，) o 妒。( o ) l a + ”+ 1 4 “ l ( 兄，) o 妒。( 叫) i 口+ ”+ 1d ( ) j 川 1 8 c n 中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 卅乙眦) i q 咎端蝌 ，i l p 。( ；) l o 、9 ( b ) ，则乃是f ( g ) 到伊紧 算子的充要条件为：对f ( 9 ) 中任意有界序列 办) ，只要【乃) 在b 的任何 紧子集上一致收敛于o ，就有l i 乃乃l | 胪_ o ( 歹_ ) 证明此结果可以通过利用m o n t e l 定理和引理3 2 2 获得，详细过程不 再赘述 3 3关于c e s a r o 算子的有界性 定理3 3 1 设q 一n 一1 、a o ，则乃：f ( g ) 一伊有界的充要条件 ：酱( 1 一h 2 ) 。2 叼r 币l 励( 列 ( 3 3 1 ) 证明首先，如果乃：f ( 口) 一伊是有界的，则对任意叫b ，我们取 丘( z ) = 2 叼f 差而 1 9 高校教师在职硕士学位论文 由引理3 2 1 和文献【1 l 】中的定理2 2 2 ( i v ) 有 i 兄厶( z ) i 升1 ( 1 一”) a 扩( z ，) 如( z ) j i 妒口( 名) i l 2 “一1 l r 厶( z ) i a + “+ 1 ( 1 一l z l 2 ) 。( 1 一l 妒。( z ) 1 2 ) “d u ( z ) ，言s i l p 。( ：) i 1 c 上f 蒜筹篙岛螂 另一方面，由文献【1 1 】中的定理2 2 2 和定理2 2 6 得 i r 厶( z ) l 叮h “( 1 一2 ) a 扩( z ，o ) 咖( z ) ，j 妒o ( z ) l 壹 l i ；d 器埘南嘶， = 乜d 蒜糯旺糯埘高嘶，i 。l o ，则马：f ( 口) 一伊为紧算子的充要 条件为： i 碧m l ( 1 邛| 2 ) az 叼南俐圳= 。 ( 3 4 1 ) 证明首先，设乃是f ( g ) 到伊的紧算子 假定( 3 4 1 ) 式不成立，则存在b 中序列 夕) 满足蚓_ 1u o o ) 和 常数e o o 使得 ( 1 一蚓2 ) 。f 凹二锛l 励( 别缸 ( 3 4 2 ) 取 肫) - ( f 叼高杀) 以好f 者万 通过计算易知l i 厶i l f ( 。) c 且在b 的任意紧子集上一致有厶_ o ( 歹一。) ， 由引理3 2 3 有 熙忆厶怯= o 但通过( 3 4 2 ) 式又有 l 乃厶i i 卢a ( 1 一l 夕1 2 ) 。乃( 乃) i 励( 夕) l = ( 1 卟个) 0 2 。9 = 旆l 均( 别孙 这样就得到一个矛盾! 因此( 3 4 1 ) 式必成立 反过来，设夕日( b ) 且( 3 4 1 ) 式成立，则对任意e o ， 使得当6 1 时 ( 1 卟| 2 ) 。z 叼南| 励( 圳 e 存在o 6 1 ( 3 4 3 ) 高校教师在职硕士学位论文 任给f ( g ) 中序列 厶) 满足i l 乃| l f ( 。) 1 且在b 的任一紧子集上一致趋 于o 由( 3 3 2 ) 和( 3 4 3 ) 式得 i i 毛厶l i 胪曷彗 l 励( z ) 厶( z ) i + 5 躲。c ( 1 一m 。z 凹f 评l 励( 圳俐f ( 口)5 l上一l 石l 。 s 曷彗 1 砌( z ) 厶( z ) i + 口一芘 0 _ o o ) 这表明 恕忆乃怙= o 因此，由引理3 2 3 知乃是f ( 口) 到p 。的紧算子 2 2 c “中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 第四章多圆柱上b l o c h 型空间之间复合 算子紧性条件的有关讨论 4 1 问题的引进和定义 设扩= z = ( z 1 ) c n ： o ，泸上的b l o c h 型空间伊( 沪) 定义如下： 胛卜 川刨( 沪) 且| i 川刊们卅嚣喜( 1 2 刑掣i 一) ， 众所周知，伊( 泸) 是一个b a n a c h 空间，p = l 时为b l o c h 空间，o o ，妒= ( 妒”) 是扩_ 泸的全纯映射，则。是伊( 扩) 上的紧算子之充要条件为：g 是伊( ”) 上的有界算子且( 4 1 1 ) 式成立 表述3 设p o ，妒= ( 妒”) 是泸_ 沪的全纯映射，则。 是伊( 扩) 上的紧算子之充要条件为：对一切f - l ，2 ，n 有坝伊( 泸) 且 ( 4 1 1 ) 式成立 表述4 设p o ，妒= ( 妒1 ，妒。) 是扩一扩的全纯映射，则。是 伊( 泸) 上的紧算子之充要条件为：对一切z = 1 ，2 ，n 有研伊( 泸) 且( 1 ) 当p 1 时( 4 1 1 ) 式成立( 2 ) 当o o ，只要d i s t ( 妒( z ) ，a 泸) 6 就有喜喜( 南辚) pl 掣i q 成立( 4 - 1 2 ) 式也表示类似意思，这 里就不赘述了 上面列举的这些表述在一些文章中经常可见，有出现在单位圆上b l o c h 型空间上的，也有直接出现在泸上b l o c h 空间或b l o c l l 型空间上的( 如文献 【1 8 】【2 1 】和【2 5 】 3 1 】等) 抽象到一般问题来看，表述1 的必要条件只涉及到 妒( z ) 本身靠近边界时的情况，没有其他附加条件；表述2 的必要条件除了 2 4 c n 中全纯函数空间上的c e s h o 算子和复合算子 涉及到妒( z ) 本身靠近边界时的情况外还附加了有界性这个条件；表述3 的 必要条件除了涉及到妒( z ) 本身靠近边界时的情况外还附加了妒的每个分量 函数要属于后一个空间，显然这里涉及的不只是妒本身靠近边界附近的问 题；表述4 的必要条件除了涉及到妒本身靠近边界外附加了妒的每个分量 函数要属于后一个空间，且根据p 的大小将妒本身靠近边界附近的情况作 了不同形式的刻划；表述5 的必要条件除了涉及到妒( z ) 本身靠近边界时的 情况外还对妒作了一些限制 上述( 4 1 1 ) 式本质上是指：如果存在点列 ) c 泸，只要有一个f o 满足 i 妒f 。( 夕) i _ 1o o o ) ，那么就对一切z 1 ，2 ，n 】- 都有 慧喜( 南旆) pi 警l = o ， 不管当歹一o 。时这个慨( 夕) i 是否趋于1 ( 4 1 2 ) 式本质上是指：如果存在点列 夕) c 扩使得某个l ( 夕) l _ 1u _ 。o ) ，那么对这个! o 必有 熙喜( 高) pi 掣| 一o ， 至于对其他不满足( 夕) l _ 10 _ 。) 的f 当j _ 。时 砉( 南旆) pl 掣f台l 一怵衫) 1 2 i a 。 是否趋于。不必管它 现在的问题是：上述这些表述是否等同，在什么情形是等同的，多圆柱 上b l o c h 型空间的紧性条件如何表述才是完整且简明的? 4 2 讨论及其结论 定理4 1 1 当p 1 时，表述1 表述5 是等同的 2 5 高校教师在职硕士学位论文 证明首先由于。是伊( 扩) 上有界算子的充要条件为( 见文献【2 7 j 中 定理2 1 之妒( z ) = 1 的情形) 黜喜喜( 南) pi 掣i ， 故表述2 和表述5 是一样的 设p 1 ，妒= ( 妒”妒。) 是泸_ 扩的全纯映射对一切f ，七= 1 ，2 ，n ，由于铆( 魂) 将| 魂i 1 映入i 训k l 1 ，根据p i 出s c h w a r z 定理知 怂i 掣i 1 ( z u n ) ， 1 一i 妒f ( z ) 1 2 。a 魂。一、门 因此当p 1 时 黜喜喜 南) ，l 掣胁2 ， 这说明。总是伊( 泸) 上的有界算子又由于p 1 时 喜( 1 制) p l 掣l = 砉( 1 叫) p _ l ( 1 制圳2 ) 南旆i 掣协， 七= l 。七 女：l l y l 、。，i 。矗 故当p 1 时总有忱伊( 泸) ( f _ 1 ，2 ，佗) ，这表明表述1 表述5 等同 从上述讨论可知，当p 1 时，o 的紧性条件仅和妒本身靠近边界附 近的情况有关，这主要因为。在伊( u “) 总是有界的从而当p 1 时泸 上b l o c h 型空间复合算子紧性定理的最简表述形式为： 定理4 1 2 设p l ，妒= ( 妒l 妒n ) 是泸_ 泸的全纯映射，则。是 胛n ) 上的紧算子之充要条件为比5 喜喜( 高辚)