（基础数学专业论文）f空间中的共鸣定理与算子空间.pdf

2 0 0 3 级 南京师范大学基础数学宋明亮 硕士论文 摘要 本文主要研究f + 空间上的线性、非线性算子族的共鸣定理和有界 线性算子空间理论包括以下四个方面内容： 第一章回顾p 空间的定义，利用“标准生成拟范数列”p 给出它 的一种特征刻画然后，在此空间中引入p 有界集、p 半有界集和弘 无界集的概念，并研究它们的某些性质 第二章利用p 空间的特征刻画，在这类空间中建立点态弘有界、 点态弘半有界，点态弘非无界的下半连续线性算子族及一类准齐性 算子族的共鸣定理 第三章作为第二章中给出的共鸣定理的直接应用，建立m e n g e r 概 率赋范空间和模糊赋范空间中相应的共鸣定理 第四章在p 空间上给出线性算子关于一个给定有界集的拟范数 的定义，研究它的某些性质在此基础上，建立f 4 空间上有界线性算 子空间的理论 关键词：f 空问；p - 半有界集；共鸣定理；算子空间；m e n g e r 概 率赋范空间；模糊赋范空间 ! ! ! ! 竺鱼童堑丝查兰墨丝丝兰：叁塑耋丝圭篁圭 1 i i a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h er e s o n a n c et h e o r e m s f o rf a m i l i e so fl i n e a ra n dn o n l i n e a ro p e r a t o r s ，a n dt h et h e o r yo f b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rs p a c ei nf + s p a c e s t h em a i ni n c l u d e s f o u rs e c t i o n sa sf c ) l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ed r e v i e wt h ed e f i n i t i o no ff + s p a c e ，a n dg i v e ac h a r a c t e r i z a t i o no fi tb yt h e “s t a n d a r dg e n e r a t i n gs e q u e n c eo f q u a s i - n o r m s po ff + s p a c e a n dt h e n ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t s o fp b o u n d e ds e t s p s e m i - b o u n d e ds e t sa n dp u n b o u n d e ds e t si n af s p a c e ，a n d8 t u d ys o m eo ft h i e rp r o p e r t i e s i nc h a p t e r2 ，b 矿u s i n gt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ff + s p a c e ，w ee s - t a i b l i s ht h er e s o n a n c et h e o r e m sf o rf a m i l yo fl o w e rs e m i - c o n t i n u o u s l i n e a ro p e r a t o r sa n df a m i l yo fak i n do fq u a s i - h o m o g e n e o u so p e r a - t o r so fp o i n t w i s ep b o u n d e d ，p o i n t w i s ep - s e m i - b o u n d e da n dp o i n t - w i s ep n o n - u n b o u n d e di ns u c hs p a c e s i nc h a p t e r3 ，a st h ed i r e c ta p p l i c a t i o no ft h er e s o n a n c et h e o r e m s w h a td i s c u s s e di nc h a p t e r2 ，w ee s t a i b l i s hc o r r e s p o n d i n gt h er e s o - n a n c et h e o r e m si nm e n g e rp r o b a b i l i s t i cn o r m e ds p a c e sa n df u z z y i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fq u a s i n o r mo fl i n e a ro p - e r a t o rw i t hr e s p e c tt oag i v e nb o u n d e ds e ti nf + s p a c ea n ds t u d y s o m eo fi t sp r o p e r t i e s o nt h eb a s i so ft h i s ，w ee s t a i b l i s hat h e o r y o ft h es p a c eo fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nf + s p a c e s k e yw o r d s ：f s p a c e ；p s e m i b o u n d e ds e t ；t h er e s o n a n c et h e - o r e m ；o p e r a t o rs p a c e ；m e n g e rp r o b a b i l i s t i cn o r m e ds p a c e ；f u z z y n o r m e ds p a c e 2 0 0 3 级 南京师范大学基础敷学宋明亮 硕士论文 i v 前言 共鸣定理，也称一致有界原理，与开映照定理、h a h u - b a n a c h 延拓定理一起， 号称经典泛函分析的三大基本定理它在求和法理论，插值理论，偏微分方程的 稳定性理论，算子方程的近似解，抽象函数的非线性分析理论，机械求积公式的 收敛问题等方面都有广泛而深刻的应用 自1 9 2 7 年b a n a c h 与s t e i n h a u s 建立共鸣定理以来，许多学者致力于该理论 的推广研究工作关于共鸣定理的推广基本上可分为两种类型一类是空间框架 的开拓，例如将共鸣定理涉及的空间从赋范线性空间推广到某一类局部凸空间， 比如桶形空间【l o ，定理9 - 3 4 l ，b a n a c h - m a c k e y 空间f l o ，定理l m 垂7 或3 9 ，定理 1 】另一类是在原有的赋范空间框架下将有界线性算子族推广为某些非线性算子 族这方面最早的原刨工作可见1 3 6 ，3 7 1 最近，李容录在【3 8 l 中引入了准齐性算 子的概念，这类算子包括了所有的线性算子及一大类非线性算子之后，丘京辉 在【4 0 ，4 1 ，4 2 】中给出了一些具有特殊定义域或者具有特殊值域的准齐性算子族 的共鸣定理 1 9 6 3 年s e r s t n e v 参照m e n g e r 建立的概率度量空间理论，引入m e n g e r 概率赋 范空间1 8 ，9 】的概念1 9 9 9 年肖建中在( 27 | 中利用m e n g e r 概率赋范空间的几类 集合的独特性质，在此空间中建立了点态概率有界点态概率半有界及点态非概 率无界的有界线性算子族的共鸣定理，从而开拓了点态非有界算子族的共鸣定理 的研究 1 9 9 2 年f e t b i 1 7 l 受k a l e v a 和s e i k k a l e 1 6 】建立的模糊度量空间理论的启发， 引入模糊赋范空间的概念最近，肖建中在f 3 2 】中引入模糊有界集、模糊半有界 集等的概念，并在模糊赋范空间中建立了点态模糊有界、点态模糊半有界及点态 非模糊无界的有界线性算子族的共鸣定理 众所周知，m e n g e r 概率赋范空间按照它的( e ，a ) 拓扑构成f 空间，即满足 第一可数公理的h a u s d o r t f 拓扑向量空间( 见文【1 1 ，2 7 ，3 5 1 ) 模糊赋范空间按照由 2 0 0 3 级 南京师范大学基础数学宋明亮硕士论文v 模糊范数导出的拓扑也构成f + 空间( 见文【2 8 1 ) 于是，自然地产生了下面的问 题；能否在f 空间中建立相应的共鸣定理，来推广文【2 7 ，3 2 l 的结果本文将在 f 空间中引入半有界集，非无界集的概念，并研究它们的某些性质在此基础 上，建立这类空间上点态半有界和点态非无界的下半连续线性算子族及一类准齐 性算子族的共鸣定理作为其推论，得到了m e n g e r 概率赋范空间和模糊赋范空 间中相应的共鸣定理 此外，大家知道，有界线性算子空间理论也是经典泛函分析的重要组成部 分如何将这一理论从赋范空间推广到更加广泛的空间框架中，也是值得研究的 课题肖建中在文1 2 5 ，2 6 】，龚怀云在文f 2 0 j 中分别引入了m e a g e r 概率赋范空间 上线性算子的概率范数概念而后，文1 2 6 ，3 5 】【2 0 】利用这些概念分别研究了概 率有界线性算子概率范数的性质和算子空间及其完备性另外，肖建中在【3 0 l 中 引入了模糊赋范空间上线性算子的模糊范数概念，并利用这一概念研究了模糊有 界线性算予模糊范数的性质和算子空间及其完备性由于m e n g e r 概率赋范空间 与模糊赋范空间都是p 空间，并且在一定条件下m e a g e r 概率赋范空间又是一 类具体的模糊赋范空间( 见文 2 8 1 ) 另外，文1 2 0 ，2 6 ，3 0 l 中引入的算子范数概念各 不相同，放相应的算子空间理论互不协调为此，本文将在f + 空间这一统一的 空间框架下引入线性算子的拟范数概念在此基础上，进一步研究f 空闻上有 界线性算子拟范数的性质，并建立算子空间理论。从而统一和协调了m e n g e r 概 率赋范空间与模糊赋范空间相应的算子空间理论 本文得到的p 空间中的共鸣定理改进和推广了文【2 7 ，3 2 ，4 0 ，4 l ，4 2 j 的相应结 果，所建立的算子空间理论完善和发展了文f 1 3 ，2 0 ，2 6 ，3 0 ，3 5 j 的相应结果 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 ，坚持以。求实，创新”的科学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意 作者躲瘟尬 日期；趔：幺 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密 后适用本规定 作者躲盛啦 日期：趔! 幺( 第一章f 空问的特征刻画与半有界集 第一章f 空间的特征刻画与半有界集 在本章中，我们首先回顾p 空间的概念，并利用它的“标准生成拟范数列” p 给出一种特征刻画然后，在此空间中引入弘有界集，弘半有界集和弘无 界集的概念，研究它们的某些性质最后，我们用引理的形式来给出f 空间的 某些相关性质，为后面的讨论作准备 1 1f 空间的特征刻画 定义i i 设x 是数域( 实或复数域) k 上的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，且满 足第一可数公理( 即a i 公理) ，则我们称x 是f 空间如果x 是完备的f 空 间，则称它为f r e c h e t 空间 注i i 按照b o u r b a k i 的术语，称完备的局部凸f 空间为f r e c h e t 空间，而 按照b a n a c h 的术语，称完备的f 空间为f r e c h e t 空间本文采用b a n a c h 的术 语 以下均设r + 是非负实数集，n 是自然数集，d ； i 1 ：n n ) u 煮：”n ， d o = d 1 ) 为了下面讨论的需要，本节先给出f 空间的一种特征刻画， 引理1 1 i 设x 是f + 空间，b = ；i ：n n ) u 希：n n ) ，则x 中必存在 零元口的可数平衡邻域基“= 以：a d j ，满足：a ，p d ，a s 以c 乩， 即 cu x 。c c 哇c 鸭c c 喙c cu l ， ( 1 1 ) 其中u 希= ；帛仉，n = l ，2 第一辛 f ”空问的特征刻画与半有界集2 证因为x 是p 空间，所以x 中存在口的可数平衡邻域基8 = ( b n ：n6n 令 矾= b l ，= 蒲巩，l = 1 2 - 2 n b 2 ，2 n 玩，l = 2 ，3 ， 易知， “= 玖：a 6d ) 即为所求的0 的可数平衡邻域基 口 定理i i 1 设x 是数域( 实或复数域) k 上的p 空间，则存在x 上的一列 拟范数p = 硼从：a d ) ，满足t ( q 一1 ) 对每个z x 和a d ，l l z 0 o ；且0 z i l ：= 0 ( v a d ) = = 争。= p ； ( q - 2 ) 0 七0 = i k i j l = i i ，z x ，k ； ( q 一3 ) p ，a d 且p a = = 争i i x l h 0 。l b ，z x ； ( q - 4 ) v d ，| p d ，p 曼a ，使得对任何z ，x ，有 i 陋+ v l h i i z o p + 训k( 1 2 ) ( q - 5 ) v n n ，南。( 1 + 驯吼似8 - p i i z 舱i 且由该拟范数列p 导出的x 上的拓扑，即x 上以层= u ( a ，a ) ：ae d ) 为0 的 邻域基的拓扑与x 上的原拓扑相一致，其中 u ( a ，a ) = z x ：i i zj | 0 ：z 6 t u ，。x( 1 4 ) 不难验证p = 硎从：a d ) 是x 上满足条件；( q - 1 ) 一( q - 5 ) 的拟范数列 由( 1 4 ) 易知俐| 0 且f l e l l = 0 因x 是h s u s d o r f f 拓扑向量空间，所 以n 巩：aed ) ；p 由此推得；i i z l l = 0 ( v a d ) = = 争z = 0 ，( q 一1 ) 得证 ( q 2 ) ，( q - 3 ) 是显然的 第一章f 空间的特征刻画与半有界集 由拓扑向量空间中0 邻域基的性质知，vu x 甜，3 “，使+ cu x 显然，c 以，即p a 设i i x l l p = 口，川i p = b ，由( 1 4 ) 知，对任给的e 0 ，存 在0 t 口+ 及0 a 0 ：t ，看专矾 = 垦 i n f s 0 ：z s u t ) = ( 1 + 去) 0 2 8 1 因为巩x ，存在；g o x 巩，故有s u p l l i i 。o l h 1 ( q 一5 ) 得证 下面证明由该拟范数列p = 钏从：a d ) 导出的x 上拓扑r 与x 上的原 拓扑丁是一致的事实上，利用( q - 2 ) - ( q 一4 ) ，不难验证屡= ( 矿( a ，a ) ：a d ， 其中( a ，a ) 由( 1 3 ) 定义，具有以下性质： ( 1 ) 每个成员v ( x ，a ) 是平衡，吸收集； ( 2 ) 对每个a d ，存在p d ，使u m ，卢) + u ( ，l ，p ) c u ( a ，a ) ； ( 3 ) 对任何a ，p d ，存在y d ，使u ( p ，) c u ( a ，a ) nc ，( p ，p ) 于是，据【1 】中第四章的定理1 3 ，x 上存在唯一的拓扑r ，使( x ，r ) 成为拓扑向量 空间。且蓐为口的邻域基 显然，对任何 d ，u ( x ， c u x ，从而t c 瓦另一方面，对任何u ( x ，砷b ， 取充分大的ken 使击 a 由口的邻域基性质知，对巩e “，存在甜，使 2 c + + c 巩，从而c 毒巩于是，我们有 鲈十 霉【0 茸z 矗巩爿z 8 s 去 a 畸z u ( ，对， 3 董三兰竺：窒塑丝壁垒型皇皇圭童墨叁 4 即知c u ( a ，a ) ，从而t ct 因此r = 丁口 注1 2 从今以后，我们称满足定理1 1 1 中( q 一1 ) 一( q 5 ) 的拟范数列p ： m b ：a d ，为p 空间x 的标准生成拟范数列，并将p 空间x 表示为( x ，p ) 或( x ，硼队) d ) ，其中p = 队) e d 是它的标准生成拟范数列 注1 3 如果f 空间x 中存在异于x 本身的口的凸邻域，则必存在x 的 标准生成拟范数列 1 1 队) d ，使得对每个a d x = ( 元备：n 一 u 1 ) ，j j 队是 个半范数事实上，我们只要在定理1 1 1 的证明中，将矾换成它的凸包即可 得此结论 定理1 1 2 设x 是数域( 实或复数域) k 上局部凸的f 空间，则存在x 上 的一列拟范数p = 硼眠：a d ，满足- ( q 1 ) ( q - 2 ) ( q 3 ) ，( q 一5 ) 及 ( q - 4 + ) ( q 4 ) va d ，对任何z ，y x ，有， 0 。+ 8 s0 。0 + j 阿l i ( 1 5 ) 且由该拟范数列p 导出的x 上的拓扑，即x 上以b = c ，( a ，a ) ：a d ) 为0 的 邻域基的拓扑与x 上的原拓扑相一致 证事实上，由x 是局部凸的f 空间知，我们只要在定理1 1 1 的证明中取 口的凸邻域基即可 口 1 2f 空间中的有界集、半有界集与无界集 定义1 2 设( x ，p ) 是f 空间，其中p = 川队h d 是x 的标准生成拟范 数列，a cx ( 1 ) 如果对每个 d o ，a 能被u ( a ，a ) 吸收，则称a 为弘有界集； ( 2 ) 如果存在某个a o d o ，使得u ( a o ，知) 吸收以，且当a 抽时，a 不被 r ( ，砷吸收，则称a 为弘半有界集； ( 3 ) 如果对每个a d o ，a 不被c ，( a ，a ) 吸收，则称a 为弘无界集； 第一幸f 空间的特征刻画与半有界集 ( 4 ) 如果存在某个a o d o ，使a 被u ( i o ，i o ) 吸收，则称a 为p 非无界集 注1 4 在一般拓扑向量空间中，已经有“有界集”和“无界集”概念不难 看出，在f 。空间中，。有界集”与。弘有界集”是等价的，但“无界集。与。弘 无界集。是不等价的 注1 5 a 是弘无界集# 争a 既不是只有界集，也不是p 半有界集 一 a 是弘非无界集 = 争a 是p 一有界集，或者是弘半有界集 由于本文总在p 空间的框架下讨论，为了方便起见，在不引起混淆的情形 下，我们分别将弘有界集，弘半有界集，弘无界集和弘非无界集简记为有 界集、半有界集、无界集和非无界集 定理1 2 1 设( x ，( h d ) 是f 空问，a c x ，则 ( 1 ) a 是有界集 = 争vae d o ，s u p 忙弘 + 。o ； ( 2 ) a 是半有界集幸= 争ja o d o ，使s u p j 知 + o o ，当a d 且a 。 0 使act u ( a ，a ) 由此推 得s u pj i = 1 t s t a + o o 2 a 充分性：v a d o ，设s u p 捌i = m + o o 则v z a ，有忙队 m + 1 令 t = 高，即得0 蚓i a 从而有4c c ，( a ，a ) ，即a 被每个u ( a ，a ) 吸收，因此以 是有界集 ( 2 ) 必要性：设a 是半有界集，则3a o d o ，使a 被c ，( a o ，) 吸收，且 当a d o ，a 0 使 a c m o u ( 知，知) ，由此推得s u p i 知m o a o + o o 下面证明当a d o 且a l o 时，s u p 叫i = + c o 5 第一幸f + 空间的特征刻画与半有界集 假设存在p d o ，卢 抽，使。8 u p i i z 札= m + o 。令2 靳，则v m a ，我 们有t x 矿( “p ) ，即得ac ；u ( 卢，p ) 这表明a 被u ( p ，芦) 吸收，与半有界集的 定义相矛盾因此，va 知，s u p 例i = + o o z e a 充分性：假设存在知d o ，满足， ( a ) s u p 叫k = 如 + o 。；( b ) 当 d o ，a 知时，s u p 忙队= + o o # z e a 则由( 8 ) 容易推得ac2 每矿( 知，知) ，即4 被u ( a o ，a o ) 吸收由( b ) 可推得 v d o ， 抽，a 不能被，( a ，a ) 吸收。若不然，即有某个p d o ，p 0 使acm u ( p ，p ) ，从而有s u p 吲 。m 十o o ， 导致矛盾因此a 是半有界集 口 定义1 3 设( x ，_ p ) 是f + 空间，其中p s 硼队) d 是x 的标准生成拟范 数列，acx 令 7 r ( a ) = 1 一i n f x d o ：s u p l | z f i a + o 。 ， a 则称霄( a ) 为集合a 的。有界度。，记为7 r ( a ) 显然，如果a 是有界集，则 ( a ) = l ；如果a 是半有界集，则0 ( a ) l ； 如果a 是无界集，则口( a ) = 0 另外，由( q 3 ) 和( q - 5 ) 知： 0 2 ls s1 l 正0 ；南s si l z j i s z | f s9 叫l 茎s | l z | l 者s ， 篓；i ；南 + 。骨。8 - a p i i 。0 l n o 时，有s u p 恻1 1 0 ，使a c t u ( a ，柚 充分性：设va d ，jt 0 ，使act u ( a ，a ) 则v $ a ，有峰队 a 即 叫l t a 故有s u p 蚓 t a 0 ，使s u p i i z l l m 记m = 8 警，贝岫( 2 3 ) 得 8 u p 8 u pi i i 死( ) ls k o m o ：m 注意到 口u 死( a ) 哥3 q a 及u a 使寥= 死( t ) 耐i i l y l l l , = 1 1 1 ( ) h hsm ， 所以，我们有 唧扯川：，u 露c a ， m a e a 0 ，v t ( 0 ，+ ) 注2 1 以e ) 记 ， 扣：r r l 妒c ( o ) ，且当e ( i ，+ ) 时，6 s 妒( ) 护) ( 2 7 ) 其中6 ( 0 ，1 ) ，p 2i 都是常数由于c ( 0 ) cc ( o ) ，故若妒c ( o ) 满足引理2 2 1 的其它条件，则妒也具有上述性质( 1 ) ( 3 ) 引理2 2 2 设( x ，钏h 艇d ) 是局部凸的f 空间，则对每个a d ，玖= 伽x ：i i = i i 1 ) 是闭凸吸收集 第二章f 空间中点态半有界算子族的共鸣定理 1 2 证据定理1 1 2 证明知，如果f l 空间x 是局部凸的，则我们可以要求x 的标准生成拟范数列p = 删) e d 中，每个“队是半范数所以，对每个 a d ，h 是凸吸收集，下面只需证闭性 令 码) 器lc 玖，且巧一z0 一o o ) 于是，由半范数的性质知i l s l b 一。 - 6i l q 弘i k 一硼 + 1 再据引理1 3 2 ，令j o 。，得i 1 即 z 氓口 定理2 2 1 设( x ，刊从， 印) 是f r e c h e t 空间，( y i 圳刚 ) a d ) 是局部凸的 p 空间又设 死：x y l a a ) 是连续算子族，满足以下条件， ( a ) 一致准齐性的，即vo t a ，3 c ) ，使得 霸( t ) = 妒。( t ) 死( ) ，v ( t ，o ) r x ， 且 鳃( t ) = 0 对于口a 一致成立； ( b ) 按拟范次可加，即对每个a a 及 d 有 i l i 0 + y ) l l l x 川墨( z ) l l l x + i | i b ( 1 ，) l l l x ，vz ，x 并且，对任一z x ， 死( z ) ：a a 是y 中的有界集，则对x 中的任一有界集 a ，u 冗( 以) 为y 中的有界集 口a 证va d o ，令玖= 扫y ：s 1 ) 由引理2 2 2 知h 为y 中闭凸吸 收集令- 玖= n 鬈1 ( 垤) 因为是连续的，h 是闭集，故每个了1 ( 玖) 是 x 中闭集由( 8 ) 知死( 口) = 0 ，v 口a 于是，矸么= n 东。1 ( 玖) 是x 中的闭 集，且0 h 么 按假设，对任一霉x ， ( z ) ：n 是y 中的有界集，由定理1 2 1 知， v d o ，j 肘j 0 使s u p l i i t , , ( z ) l l l x m x ，即0 l 丁：( g ) i l hs 肘j ( v 口a ) ，由于 舰( t ) = 0 对于a ea 一致成立，且妒( t ) 0 ，v t ( o ，+ o 。) 于是，对于上述 螈，j t r u n t 使得v 口a 有0 0 ，v 。a 有i i = 1 1 os ，于是由( 2 1 1 ) 可推得 8 u p s u p 刚霸( z ) s u pm a x i ，2 ( k o 知l l z l l x 。) 4 zeanxea m “ ；，2 ( 知埘o ) 9 ) 0 ，v z a 有捌l h m o 于是由( 2 1 3 ) 得 s u p s u p j 死( 删i i lsm “ 0 则称( x ，只) 为m e a g e r 概率赋范线性空间( 简称m e a g e rp n - 空间) ，其中，是 概率范数 设僻，只) 为m e n g e r p n - 空间，a ( 0 ，1 1 ， 0 ，记 ( e ，a ) = z x ：b ( ) 1 一a 引理3 1 1 【3 5 】设( x ，一) 是m e a g e r p n 空间，其中扣范数满足条件 p ( t ，t ) = 1 ( 3 1 ) 0 0 ：z 以) ，善x 则以下结论成立： ( 1 ) 对给定的。x ，蚓l 关于a 在( 0 ，l