（基础数学专业论文）marcinkiewicz积分算子有界性问题的研究.pdf

中文摘要 本论文主要繇究了m 黜t c i n k i e w i c z 积分算子在勰寝h e r z 空闯上黪有舞梭 问题，分两个部分。 第一章，讨论了带褪糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分舞子在一类笳较h e r z 空闽 上的有界性，得到如下结聚： 定理l 。1 1 设nel 7 ( 驴。) ( re ( 1 ，o 。】) ，0 p 。，1 q r 且ne ( 一：，n ( 专一j ) + ；) ，则弘q 是 霹，p ( w l ；w 2 ) 有界的。 第二章，讨论了带粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分算子在加权h e r z 型h a r d y 嶷 间上的有界性，主臻结果如下： 定理2 1 。1 设0 e l ，1 g 。，0 p 。，n ( i i k ) a m a x q ，寥，( 1 g + i q 7 = 1 ) 镬零导qel 7 ( 酽以) 且满足 ，1 螋甜 。 ? o6 l “一 则脚是从k 孑，p ( w i ；w 2 ) 到蚜t p ( w 1 ；叫2 ) 有界的。 定理2 1 2 设1 g 1 使得 f 0 1 学( 1 0 9 否1 ) 嘶 。， 委l 脚是歇科秘( 1 q ) , p ( w l ；蜘2 ) 羁秘( 11 ，秘带( 饼l ；删2 ) 有赛静。 推论2 1 3 设1 q m a x q ，q 0 使得q l 7 ( 轳。) 著且满足f d i 碰条件( 2 1 2 ) ，爱l 肛n 鼹 从尉秘。1 口) ，1 ( u i ；枷2 ) 到聊( 1 1 目) 。( w 1 ；铷2 ) 有界的。 2 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h eb o u n d e d n e 8 so fm a r e i n k i e w i c z i n t e g r a lo p e r a t o r so nt h ew e i g h t e dh e r zs p a c e s 、w h i c hc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hr o u g hk e r n e l so nt h ew e i g h t e dh e r zs p a c e s ，a n dg e tt h e f o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m1 1 1l e tq l ”( s “一1 ) f o rs o m er ( 1 ，。 ，0 p ，1 r a n d ( - i ，弛( 嘉一；) + ) , t h e n 芦oi s b o u n d e d0 n 鳕9 ( 埘1 ；钍j 2 ) i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l yd i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i e z i n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hr o u g hk e r n e l0 1 1t h ew e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e s ， a n dh a v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m2 。1 1l e t0 1 ，1 窜 ，0 p m a x q ，q ( 1 q + 1 q 7 = 1 ) s u c ht h a t n l 7 ( 伊一1 ) a n ds a t i s f i e s z 1 髻歇。， t h e n 芦ni sb o u n d e d 蠡。m 掰蝣1 9 ( 钳】；蜘2 ) i n t o ；0 ( 掣l ；w 2 ) t h e o r e m2 1 2l e t1 q 1s u c ht h a t 1 华( 】o g 扣s o 。， t h e n # 妞i sb o u n d e df r o m 尉砑( 1 1 ) ，9 ( 划1 ；姓7 2 ) i n t o 秘( 1 1 q ) ，9 ( 铷l ；州2 ) 3 c o r o l l a r y2 1 3l e t1 q m a x q ，9 7 ) s u c ht h a tq l ( 铲一1 ) a n ds a t i s f i e s 五7 一d i n i c o n d i t i o n ( 2 1 2 ) ，t h e n ni sb o u n d e df l o m 刎譬( 1 - 1 曲，1 ( 1 ；1 0 2 ) i n t o 霹( 1 1 2 曩钍 l ；鳓) ， 4 第一章m a r c i n k i e w i c z 积分算子在加权h e r z 空间上 的有界性 1 1 引言与结果 1 9 3 8 年，m a r c i n k i e w i c z 1 5 考虑了下面类似于9 函数的积分算子， ( ，) ( 。) = ( z 2 ”l ! 量三! = _ 盟_ = 三：；二幽d ，z 【0 2 丌 其中f ( z ) = 厝f ( t ) d t 1 9 5 8 年，s t e i n 1 8 把m a r c i n k i e w i c z 积分算子推广到t n 维情形，定义如 下：以铲_ 1 表示r ”2 ) 的单位球面，赋以l e b e s g u e 测度d a = d a ( x ，) x 7 = x i x i ( 对任意x o ) 。设q 是定义在舻上的零次齐次函数且满足如下上咖。( o a 1 ) 条件：q 是铲。上的连续函数并且满足 l q ( z 7 ) 一q ( f 引曼c l x 7 一剪7 i 。，v x 7 ，y 7 s “一1 又设q 满足消失性条件 上q ( 。，) d 口x 7 ) = o ( 1 1 1 ) 对于舒上的局部可积函数，高维m a r c i n l 【i e w i c z 积分p n ( ，) 定义为 ( 州z ) = ( z 。俐z ) d t 1 2 ， ( 1 1 2 ) 其中 ( 垆l ；。警瓣m 油 s t e i n 证d f j 了若q 满足l 硒。条件时，肛n 是( p ，p ) ( 1 p 2 ) 和弱( 1 ，1 ) 型有 界的。b e n e d e k ，c a l d e r o n ，p a n z o n e 在文 1 中证明了如果nec 1 ( 酽q ) ，则 对于1 p 。，n 是妒有赛的。t o r c h i n s k y 和s ，w a n g 1 9 i 正帮了当q l i p 。( s “一1 ) ( 0 o 茎1 ) ，贝i 对于1 p o o ，w a v ，有ij 舻n ( ，) lj l 篓 g l i 州蠊应当指出，在【1 l l 踟i 1 9 】中给出的上述结果均是在q 被限青在单位球 面的较强的光滑性条件后获得的。在5 中，绘出qe 日1 ( 铲。) 时，脚，的妒( 1 p 。) 有界往，这遥口1 ( 扩q ) 为伊q 中的h a r d y 空间， 茚f q ，棼( 夕) 。) = ( f 。l 蜀，# ( 。；1 2 万d t ) 1 卢，0 j” 其中 ( 垆l g 等鬻蚓。一i ) f ( v 油时) 州剐 关予其有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分箨子这一谦题，还有大量的研究成 果，参见文献【4 6 网【1o 】等等。 另一方面，h e r z 空间是近代谲和分析的灌要函数空间。1 9 6 8 年，c h e r z 9 引入如下形式的h e r z 空闻的定义。 对于庇z ，记b k 一 西r “：2 k ) ，晚= b k b k i ，躲；x 仇为集 合q 的特鬣蘧数。定义h e r z 窆闯为： 定义设r ，0 p o o ，0 q 。 ( 1 ) 齐次h 艘z 窆闽霹，( 蟊。；定义为 k 孑( r ”) = ，三乇。( r “o ) ：l l f l l k ；，一f r n ) 1 加 ( 2 ) ；齐次王薹e f z 空麓j 窜1 ( r e 。) 定义为 砑”) 一 ，e 上( 形) ：l i f l k ；，f 舻) 。) 6 其中 。 l i 州曰，( 舻) = i f x b 。i l i o ( 一) + 2 ”i l f x k l l 2 。( 口) ) 1 加 k = 1 显然，碑，一( 口) = 瑶，( 形) = ( 舻) 最近，文 2 讨论了具有粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子在h e r z 空间的有 界性，得到如下结果： 定理a 设n l ( s n - 1 ) ( r ( 1 ，。1 ) ，n 是r “上的零次齐次函数，( ，) 如 ( 1 1 2 ) 定义，0 p 0 0 ，1 g r 7 ，血( 一i n ，n ( 专一j ) 十；) ； ( 2 ) q no ( 礼( i j ) 一；1 ，n ( 1 一：) ) 则肛n 是孵，一( 口) 有界的。 近年来，陆和杨等人在前人工作的基础上，对h e r z 空间理论进行了广泛 而深入的研究得到了大量重要的结果，文献i n 是其中的一个综述。在 1 2 中， 首先引入t d n 权h e r z 空间的概念，并且得到其中的函数刻画。 受文 2 】和【1 2 的启发，本章讨论具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分算子在 加权h e r z 空间上的有界性，并得到了相应的结果。首先介绍若干定义与记号。 定义1 1 1 设q r ，0 p o 。，0 q o o 且”1 ，叫2 为r n 上的非负权 函数。 ( 1 ) 齐次加权h e r z 空间j 0 ，9 ( 1 ； 2 ) 定义为 k 苫9 ( u ，1 ；w 2 ) = ，工k ( 。尺，o ，w 2 ) ：l i i l k ；，( 。，；。1 0 ，称叫是一个a ，权函数，记作叫a p ，若对任 意b 有 高上 ( 。) d z ) 高上 ( z ) 一古如r 1 a 称i t ) 为a 1 权函数，记作w a l ，若满足 m w ( x ) c w ( x ) ， a e z r ” 其中m ( z ) 为训的h a r d y - l i t t l e w d o d 极大函数，即 ( m 训z ) = ：錾高厶m g ) l d y 当a 1 ，j 七时， 蔫鲫沪m 6 ，( 川 1 ) ( 马) p q ( “n 可两叫 8 关于上述性质证明，可参见1 2 0 t 在文1 1 7 中，作者引进一类特殊权函数满足如 下性质： 一s u p + ，叫( z ) 曼c2 。一。s i i n 。f 1 1 2 。+ ，w ( z ) t(113)2k 2 l z l 2 k + 1 。 1 i 。1 2 下文总假设q 是彤。上的零次齐次函数且满足( 1 1 1 ) ，主要结果如下： 定理1 1 1 设n 口( 酽一1 ) ( r ( 1 ，。1 ) ，0 p 0 0 ，l m a x q ，q ) ，1 1 ) 2 a 1 ，1 q o ，0 d 茎r ，且一礼+ 掣 p o 。则 ( fi q ( 茁一g ) i 。i 1 4 d z ) g l 可i 生产0 q i 【l r ( s n 一，) j | g i a l y i 定理1 1 1 的证明： 设，砑，p ( w u ”2 ) ，记 ，( z ) = f x j ( x ) = f j z ) - 则有 ： 曼 w l ( b 。) “( ，) x * 。) ； 茎g 眇，( b ) ”7 ”( l 弘n ( 办) x j t l i 碣：) 9 ，i 1 r z 1 = 一 ，= 一 9 + g ”1 ( b k ) ”加( l l p d t g x 女i i l 3 。) 9 ) ； k j = k 一1 o 。o 。 + c r 【w ，( b ) 】”加( i i # n ( 办) ) ( 1 1 q 。尸) ； k = 一 j = k + 2 = c i l + c 1 2 + c i x j 由引理1 2 1 可知脚是口( 2 ) 有界的，则 o 。 k + 1 如= f 铷，慨) ) a p n ( 脚( 办) 矧b ) ，) ； k = - e o j = k 一1 w 慨) 】”肛l l f l l c psc i i f l l g ；。) 对。，考虑 麒胀川= 厶( al 型等高舶油1 2 矿d r 嘶m ； s 石。( z k li 五训9i ；! ；云薯乃( 们匆1 2 窘) 。( 。) 血) ； + 厶( 厨l g 等鲁加) d y l 2 努酬埘j ：= 巩+ 巩 当z c k ，y b ，js 一2 时，有l z y i 一吲，由中值定理有 l 阡1 一而1v li 岛y 1 31 。1 21 z 一2 。上1 z 一 利用叫2 的性质与m i n k o w s k i 不等式得 厶 厶警裂i a ( 洲( k 卜兆序d t 1 2 m 挑) 2 g ( 。i 。n 。f 。 。) 五。皈。罟篁乔型f 乃( 蚓f 赤一f 三开f 训9 出) ； 1 0 一 一 阢 g 哿九“。警裂i f j ( 洲品州嘲； sc r 哿m 厶吆警裂| m 川器训一 时坼“周2 妒s 避吲训 厶。 厶z 刊) l d y 地) ； 若q 7 r ，选取_ 臼满足“ 一卢+ 专一； n ( 吾一j ) + ；，由引理1 2 2 得： c 2 - k n - j z 2 - 一2 1 ( e s s 。i n 马fw 2 ( z ) ) ；1 1 1 ，j | | l 一( 只n ) 厶( 厶m z 刊m ii 所剐弦 c 2k n - j z 2 一等( 圳盛衄。( 洲1 龇r ，2 业锄咖妒( 五。d z ) ； c 2 - k n - j 4 2 一等2 丛4 掣2 n 专一i 1 i l h l l 碍。2 钏n 慨舒一，) c 2 。4 十；一争一 i i f l l l ：。i l a l l l ，( s 。一z ) 为估计u 2 ，利用m i n k o w s k i 不等式与| z y f l x l ，她的性质，有 二。 厶。警裂i ( 辰。妒卵蜊嘲； a ( i n f 。w 2 ( 圳 厶 厶。警剃i f j ( 训南钟嘲j e 。r w 2 慨( b l k ) 1 1 - 2 “ 五。眨i n ( 一) l l f ( 可) l d y 忱) ； c 2 - k n - j 9 ( e s s 避训。( z ) ) ；1 1 止1 1 州叫 厶 厶捌“争瑚皈l a ( 。一y ) l l i 肿d y ”d x q 1 一 一 一 一 巩 一 一 一 一 l 时 用h s l d e r ；不等式，当o p 忌+ 2 n ：g 罟黠c 2 0 “h 6 ( o 6 一；时，有： c o。 ， 厶c l f q | | 驴( 伊一，) 眇。( 岛) 】8 加2 。一耐+ 警+ 1 1 l j 乃l k ，) ； k = - o oj = k + 2 + c i l n l l l r ( s 。- i ) 阻- ( 马) 。”2 肛鲥+ 警惦慨q ， ，) ； k = - o oj = k + 2 c h ( 岛) 一“恻k ) ；= c l f l l g g ，r ( 。) ，= 一 故定理得证。 1 3 第二章m a r c i n k i e w i c z 积分算子在加 权h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 2 ，1 引言与结果 设s ”1 是r ”( 竹2 ) 的单位球面，q l 1 ( 酽一1 ) 是形上的零次齐次函数 且满足 止一q ( z 7 ) 出( 一) = o ( 2 1 1 ) 其中= 。( v z o ) 。m a r c i n k i e w i c z 积分肛n ( ，) 定义为 州，) ( 垆( 上”酗删2 耖2 ， 其中 晶“z ) = 正吲g 詈竺昴碧，( ，) 由 最近陈和张在文【3 讨论了具有齐性核的m a r c j n l ( i e w i c z 积分算子在h e i z 型 h a r d y 空间上的有界性，得到如下结果： 定理b 设o e 1 ，1 g 。，0 p c 。和n ( 1 1 g ) 茎血 q ，使得q l r ( s m 一1 ) 且满足 j ，1 螋d 6 。 o5 1 + e “。、。 则n 是从日砖，( 舒) 到柳，r ( 尼1 ) 有界的。 另一方面，陆和杨在 1 4 中引进加权h e r z 型h a r d y 空间，建立了它的原 子分解理论，得到其函数的刻画。受 3 和 1 4 】的启发，本章讨论具有齐性核 的m 跗e i n l 【i e w i c z 积分算子在加权h e r z 型h 盯d y 空间上的有界性。首先给出一 下定义和记号。 1 4 定义2 1 1 1 4 设0 a 0 0 ，0 p o 。，1 g 0 0 ，。k w l ，叫2 a 1 ( 1 ) 伴随砖，”( w ，；伽2 ) 的齐次h a r d y 空间日曰( 叫；”2 ) 定义为 并规定 日砑9 ( ”- ；伽2 ) = ，s 7 ( r “) ：g f 碍9 ( 叫，；叫。) ) f ll b g a ，( w l ；w 2 ) = l g 刑船，( w l ；w 2 ) ( 2 ) 伴随j 曙一，( 叫- ；叫2 ) 的非齐次h a r d y 空间日蝣9 ( w l ；w 2 ) 日叼1 ( w l ；w 2 ) = ，s 7 ( r “) ：g f 增9 ( 叫l ；叫z ) ) 并规定 1 日田，9 ( w l ；w 2 ) = l g 刷畸，( w l ；w 2 ) 其中g ( ，) 为，的g r a n d 极大函数即 g ，( z ) = s u pi 矿( ，) ( z ) a n a = 妒s ( r ”) ：s u pi z 。d 卢妒( z ) 1 ) ，n2 礼+ 1 1 a l ，i 剧曼 定义2 1 2称n 满2 = l r d i n i 条件，如果q 口( s n - 1 ) ( r 1 ) 是舒上的 零次齐次函数且满足 ：1 半抓。 其中u ，( 6 ) 表示q 的r 阶积分连续模，定义为 “，r ( 6 ) = 2 i s ，l i i 。p 6 ( ，s 。一，l q ( p z 7 ) q ( z ) 1 7 “z ) 1 7 ” 这里p 表示彤冲的旋转i p l = 怕一， 1 5 ( 2 1 2 ) 下文总假定n 怒酽上的零次齐次函数且满足( 2 1 1 ) ，本章主要结果如 下： 定理2 1 王 n 0 l ，1 窜 o o ，0 p 。藕札( 1 一t q ) 茎 “ m a x q ，口) ，使得qel ( 铲一1 ) 且 j ，1 尝瓣 。，o5 l 船 ( 2 。1 3 ) 购是从丑蟛，p ( w l jw 2 ) 到醒一( 钍j l ；她) 有界的。 适当限s u p 的范豳，在= 凡( 1 1 口) 时，可以把定理2 1 1 的条件放宽， 得到： 定理2 。1 。2 设1 l 使得 z 1 华( 1 0 s 抄e 1 5 0 0 ， ( 2 ) 则芦n 是从日( 1 - 1 9 ( 1 ；她) 到掰( 1 - ； 9 ( 缸 l ；t 2 ) 有爨的。 当p = 1 ：一( 1 一l q ) 时，可以整条箨2 ，1 ，3 ) 秘( 2 。1 ，4 ) 进一步赦爨 成d i n i 条件。 推论2 1 3 设1 g m a x q ，口) 使得q l ( 伊川) 并且满2 = l 7 d i n i 祭4 牛( 2 1 2 ) ，则p q 是 从露霹1 _ j ，1 ( 甜l ；姚) 到霹( i - 争，1 ( 科】；铷2 ) ，有界的。 注2 。1 1 上逑缝论对穗应兹j 赛次馕形遣或立 t 6 2 2 定理的证明 为证明本章的定理，需要用到加权h e r z 型h a r d y 空间的原子分解理论。 定义2 2 1 1 1 4 】 设 1 ，w 2 a l ，1 口 。，n ( 1 1 q ) 曼o 。非负整 数s2b + n ( 1 q 一1 ) ，称函数( z ) 为中心( 理，q ；7 1 1 1 ，蚍) 原子，如果满足： ( 1 ) s u p p acb ( o ，r ) ：= z r ”：l 。lsr ) ； ( 2 ) t l a l l 碍。sf w ，( 日( o ，r ) ) 一“加； ( 3 ) f o ( z ) 茁口d x = 0 ，v l 卢j 茎s 引理2 2 1 【1 4 1 设 1 ， 2 a l ，1 q 。，0 p o oa n dn ( 1 1 q ) s 口 o 。则，日船，( t ；w 2 ) n k t 2 n f ( z ) = 是一。k 吼( z ) 在分布意义下 成立，其中k ) 为中心( o ，q ；w l ，7 1 ) 2 ) 原子 l s u p p a 风，e 7 - - 一o 。l a k l 9 。进 一步有， i l f l l 日船，( 。) 一i n f 9 ) ”， 其中下确界是对，的一切上述分解而取的。 引l ! i i 2 2 2 【6 】设n l 7 ( 眇- 1 ) ，如果1 q m a x q ，9 7 ) ，w 2 a 1 ， 则有| 1 n ( 删i 碍，曼c l l f l l l o ， 引理2 2 3 1 7 1 设0 a 1 ) 满足一d i n i 条件如果 存在常数0 a o 1 使得引 a o r ，那么 c k 。r 1 警器一器阳s 僻一1 t 罂+ 如如l 。掣学姗 定理2 1 1 的证明： 设，日研9 1 ；叫2 ) ，g 了弓l n _ 2 2 i 在分布意义下有，( z ) = 器一。oa j a j ( z ) 其中哟为中心( 盘，q ； 1 2 1 ，训2 ) 原子上1 s u p p a j 马， p n ( 删b ，( 。) ( w ，( 研) 1 ”“l 1 7 一3 c ”t ( b ) ”加( l a ，z n ( ) x | | l o 。尸 k = 一o oj = 一 o o。 + c 【w 1 ( b k ) 。9 加( l 上n ( ) 躲i l ：) ， k = 一o o j = k 一2 = c d l + g d ， 对d 2 ，由引理2 2 2 知是口( 2 ) 到口( ”2 ) 有界的结合的尺寸条件有 d 。冬c ( l 川酬碍， w ，( 玩) 】一) ， k = 一。o j = k 一2 。 o o 。o 。 c ( 2 枉。) 9 c j 如尸( 2 1 ) k = - o oj = k 一2 j = - o o 其中最后一步把p 分成两种情况考虑。当0 1 时，由h s l d e r 不等式得： ( 2 ( 。一m 6 ) ， k = - o oi = k - 2 对d 1 ，当js 七一3 时， ( 9 2 。一) 却2 ) k = - o oi = k - 2 。oo o ( 2 ( 。一加如2 ) v v k = - o aj = k - 2 o 。 j + 2 。 曼 ( 2 杠。如2 ) s i ， 刚咖圳sg 厶( 肘l ! 。罟瓣响汹拶d ts 嘶叫 十c 厶( el g 等鲁响) d y l 2 扩d r 喇姗j ：= c d l l + c d l 2 ( 2 2 2 ) 1 8 由i g i 的定义可知l q l 2 h ，当sk 一3 5 1 x c k ，y 马，有i 。l z y l 一2 2 于是由中值定理得 i _ 吲1 i 一阿1 器 使用m i n k o w s k i 不等式与叫2 的性质得： d 1 1 le o , 警剥i 删( k 卜啦。d t ) 1 铆蜊掣。 s g ( 墨叫。( 圳v 。 厶 厶罟篁剥i ( 训吾芝耪捌9 如) 1 a 曼伢蛐+ l 2 唧2 等等 1 9 厶( 厶俄。一，) l l a j ( 蚓坩酬a 厶( 上。z - v ) l 忱) 圻倒玑。1 响) l d y c 2 一州7 2 2 j 7 2 2 概7 9 删l r ( p z ) 吲1 - - 1 q 蚓k c 2 一。一。一“7 9 + 1 7 2 1 伽1 ( 马) r 。”qj | p ( s 一) ( 2 2 3 ) 对d 2 ，$ 4 n a j 的消失矩条件和m i n k o w s k i 不等式得： d 1 2 g ( 魅吲硼珈 厶喝l 詈拿辫一爵薯( 洲( 岳窘向卯如。 c z l 哿 1 9 厶 厶l 警器一器恸凇卯妒 弦2 。 w 2 吲( b j ) 1 珈厶l ( 厶i 等鲁一器_ 1 刚卜炒匆 眇舻叫铘蕊酬) 1 。厶l ( 势l y l 2 “1 半删引2 2 4 ) 1 9 由 町 动 d y z ，慨 v v p 哪 鲫 蕊避 船 黯 胆 胆 妒 口 胆 肛 “ n n 一 一 2 2 ( ) a 一 一 注意到o e 1 ，利用条件( 2 1 3 ) 和的尺寸条件得 d 1 2 茎c 2 “呐一( 啪箍叫2 ( z ) ) 1 7 9 舻“+ 2 ( 似”岫i l r s m 伊i 。2 “1 喾以”) l d y c 2 2 “7 ”t l a j l l ：。吲1 - 1 1 q ( 2 j 一2 + 2 。 c 2 ( j 一) ( 卅m 1 ( 马) _ 。” 蛳上1 糕姻 ( 2 2 5 ) 记卢一亿一n l q + l 2 ，7 = 凡一n q + e ，( = m i 礼 卢，7 ，则由( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) 可得： o o k - 3 d g 幽( b ) ”7 “ i ) , s l ( d n - i - d 1 2 ) 9 虹= 一o 。 j = - c o 。 k - 5 e l j l ( 2 ( a - j r ”4 + 2 ( k - j ) ( 。- 7 ) ) 缸= 一j = - o o o ok - 8 c i 眇一j ) 。一) 9 k = 一j = - e o 当0 p 冬1 时，注意到n ( 1 1 q ) 曼 ，交换上式最后一项求和顺序，可 得_ d 1 茎c 一。一。吲9 当1 p ，注意到a ( 并用h 6 1 d e r 不等式得 d 1 c ( 2 ( k - j ) ( c 1 - c ) v 2 ) ( 2 ( k - j ) ( a - ( ) p 2 ) 9 兰一j = - 。cj = 一。 。 c i b l 9 ( 2 ( n ) 。一) 9 7 2 ) c 9 j = - o ok = 1 + 3j = - o o 综合上面的讨论，定理2 1 1 得证。 定理2 1 2 的证明： 记。= n ( 1 1 g ) ，对，h r g ，p ( w 1 ；w 2 ) ，有，( z ) = 器一。b 。j ) ，其 2 0 中是中心( 血，q ；w 1 ，叫2 ) 原子且s u p p a j 马，由定义11 1 有1 1 # n ( 删l * ，一( 蚍。) 茎d 1 + d 2 ，其中d 1 和d 2 与定理2 1 1 的证明中一样。 类似于( 2 2i ) 有0 2 茎c e j 一o 。i ) 、a p 为估计d l ，先估计 l 肛n ( 吩) 瓢l k o ：同 ，211 中取d 1 1 ，d 1 2 有| | n ( ) 弛l o 。sd n + d 1 2 同理可得： 从而 d 1 l 茎g 2 ( j 一) ( ”一”q + 1 2 1 ( b ) r ” 由( 2 2 4 ) ，注意到d = 礼( 1 1 q ) 并使用条件( 2 1 4 ) 有 则有 d 1 2 c 2 - k ae 8 8 蝉叫2 ( z ) ) 1 9 z 廿。 小h 郴刊一- j f l y i y l 2 “1 半( 1 0 9 扣啪咖 仃。( e s s 避 z ( z ) ) 珈 2 j - k + ( 七一j ) 一”) 厶1 ( 可) l 由 sc 2 一。l 马1 1 1 9 2 一+ ( k j ) 一” 1 ( b j ) 一。“ 。 伽- ( b ) ”加d 邑sc 2 0 一1 94 - ( 一j ) 一印l c k = 寸卜3k = j + 3 则当0 p 曼1 时，有 k - 3 。 d ，c 9 ( 取) ”“( d r ，4 - d ) 曼c l r k = - c o = 一o 。j = - o o 综合上述讨论得 脚( 删l 岛；蚓c l l ” 2 1 g 一 胆 一 0 2 3 计 一 p u d n “ a 日札 3 计 推论2 1 1 的证明： 与定理2 12 证明类似，注意到p = 1 与。= n ( 1 一v q ) ，k t ( 2 ，2 4 ) 知 ：鼠) p d l 2 c 。萎，取) m 一瓣，w 2 ( z ) ) 1 q 2 山“ = j + 3 k = ，+ 3 3 厶m + i v l y i 2 “1 竺7 - 由 c 妻旷2 k-4-膦“1半伽ck=j+3 i ”j ：。竺掣伽 。f u 重复定理2 1 2 证明中其它部分，可完成推论2 1 1 的证明。证毕。 参考文献 ( 1 】b e n e d e k ，a ，c a l d e r o n ，a p ，p a n z o n e ，r ，c o n v o l u t i o no p e r a t o r so nb a n a c h v a l u ef u n c t i o n s p r o c n a t a c a d ，s c i u s a ，4 8 ( 1 9 6 2 ) ，3 5 6 3 6 5 2 jc h e n ，d x ，c h e n ，j c ，b o u n d e d n e s so f m a r c i n k i e w i e z i n t e g r a l s w i t hr o u g hk e r - n e lo nh e r zs p a c e s ，a d v a n c e si nm a t h 3 4 5 ( 2 0 0 5 ) ，5 9 1 5 9 9 3 c h e n ，d x ，z h a n g ，p t h em a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lw i t hh o m o g e n e o u sk e r n e lo n t h eh e r z t y p eh a r d ys p a c e s ，c h i n e s ea n n a l so fm a t h 2 5 ( a ) ，3 ( 2 0 0 4 ) ，3 6 7 - 3 7 2 【4 c h e n ，j c ，f a n ，d s ，y i n g ，y m ，an o t eo nr o u g hm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo n p r o d u c ts p a c e s ，s t u d i am a t h ，1 5 3 ( 2 0 0 2 ) ，4 1 5 8 5 d i n g ，y ，f a n ，d s ，p a n ，y b ，2 一b o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s w i t hh a r d yf u n c t i o nk e r n e l ，a c t am a t h s i n i c a ( e n g l i s hs e t ) ，1 6 ( 2 0 0 0 ) ，5 9 3 6 0 0 【6 d i n g ，y ，f a n ，d s ，p a n ，y b ，w e i g h t e db o u n d e d n e 8 sf o rac l a s so fr o u g h m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s ，i n d i a n su n i v m a t h j v 0 1 4 8 ，n o 3 ( 1 9 9 9 ) ，1 0 3 1 0 5 5 7 d i n g ，y ，l u ，s z h o m o g e n e o u sf r a c t i o n a li n t e g r a l so nh a r d ys p a c e s ，t o h o k u m a t h j ，5 2 ( 2 0 0 ) ，1 5 3 1 6 2 【8 f a n ，d s ，s a t o ，s ，w e a kt y p e ( 1 ，1 ) e s t i m a t e sf o rm a r c i n k i i w i c zi n t e g r a l sw i t h r o u g hk e r n e l ，t o h o k um a t h j 2 0 0 1 2 6 5 2 8 4 【9 h e r z ，c ，l i p s c h i t zs p a c e sa n db e r s t e i n st h e o r e mo na b s o l u t e l yc o n v e r g e n t f o u r i e rt r a n s f o r m s ，j m a t h m e c h1 8 ( 1 9 6 8 ) ，2 8 3 3 2 4 1 0 h o r m a n d e r ，l ，t r a n s l a t i o ni n v a r i a n to p e r a t o r s ，a c t am a t h 1 0 4 ( 1 9 6 0 ) ，9 3 1 3 9 1 1 】l u ，s z ，h e r zt y p es p a c e s ，a d v a n c e si nm a t h ，3 3 3 ( 2 0 0 4 ) ，2 5 7 - 2 7 2 1 1 2 】l u ，s z ，y a n g ，d c ，t h ed e c o m p a s i t i o no ft h ew e i g h t e dh e r zs p a c e sa n di t s a p p l i c a t i o n s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r a ) ，3 8 (